2025年中考數學常用公式及性質匯編（精華版）

1.乘法與因式分解

①(a+6)(a—6)=3一4；②(a±8)'=#±228+凡③(a+拉(/一ab

(4)(a—Z7)(a2+aZ?+Z>2)=a3—Z73；a2+Z72=(a+Z?)2—2aZ?；(a—Z7)2=(a

+6)2—4a6。

2.塞的運算性質

②4目=￥，③(H)〃=”；④(a〃n=dlf；⑤(/)〃

b

_an

一官

⑥-=《，特別：(5)”=?)";⑦a°=l(aW0)。

3.二次根式

①(而)2=a(a20)；②必=|a|；③而？=而*次;④/=、(/

>0,820)。

4.三角不等式

a|-|b|<|a±b|<|a|+|b(定理);

加強條件：Ua1-|b||W|a土b|W|a|+|b|也成立，這個不等式也可稱

為向量的三角不等式(其中a,b分別為向量a和向量b)

a+b|^|a|+|b|；a-b|^|a|+|b|；|a|Wb〈=>—bWaWb；

a-b|a|-|b|；-|a||a|；

5.某些數列前n項之和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+l)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…

+(2n-l)=n2；

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+l)；12+22+32+42+52+62+72+82+…

+n2=n(n+l)(2n+l)/6；

l3+23+33+43+53+63+-n3=n2(n+1)74；l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+-

+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；

6.一元二次方程

對于方程：ax+bx-\-c=0：

①求根公式是x=—"J"、"J其中△=52—4ac叫做根的判別式。

2a

當△>()時，方程有兩個不相等的實數根；

當△=()時，方程有兩個相等的實數根；

當△<()時，方程沒有實數根.注意：當△》()時，方程有實數根。

②若方程有兩個實數根荀和蒞，則二次三項式+可分解為a(x

一冬)(X—應)。

③以a和方為根的一■兀二次方程是*—(a+8)x+a8=0。

7.一次函數

一次函數/=履+從左力0)的圖象是一條直線(6是直線與評由的交點的

縱坐標，稱為截距)。

①當">0時，魂x的增大而增大(直線從左向右上升)；

②當“<0時，魂x的增大而減小(直線從左向右下降)；

③特別地：當8=0時，p=Ax(AW0)又叫做正比例函數(p與x成正比例),

圖象必過原點。

8.反比例函數

反比例函數y=*(4W0)的圖象叫做雙曲線。

①當A>0時，雙曲線在一、三象限(在每一象限內，從左向右降)；

②當4<0時，雙曲線在二、四象限(在每一象限內，從左向右上升)。

9.二次函數

(1).定義：一"■般地，如果y=ax?+6x+c(a,4c是常數，a^O),那么y

叫做x的二次函數。

(2).拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點。

①。的符號決定拋物線的開口方向：當a>0時，開口向上；當a<0時，

開口向下；

同相等，拋物線的開口大小、形狀相同。

②平行于y軸(或重合)的直線記作x=久.特別地，y軸記作直線x=Qo

(3).幾種特殊的二次函數的圖像特征如下:

函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標

y=ax2x=0(y軸)(0,0)

y=ax2+kx=0(y軸)(0,k)

當a>0時

y=a[x-h)2x-h(肌

開口向上0)

y=a{x-hf+kx-h(h,k)

當a<0時

(2

開口向下b4ac-b

b

y=ax2+Z?x+cx-------2a4a

2a

)

(4).求拋物線的頂點、對稱軸的方法

24OC-￡,...頂點是

①公式法：y=^+bx+c=aX+1-+

(2a4a

（-2,如土），對稱軸是直線x=-2。

2a4a2a

②配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a（x-町+左的

形式，得到頂點為（力，左），對稱軸是直線％=人

③運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形,

對稱軸與拋物線的交點是頂點。

若已知拋物線上兩點&?）、（9,y）（及P值相同），則對稱軸方程可以

表示為：x=土上

2

（5）.拋物線>中，。也。的作用

①。決定開口方向及開口大小，這與丁=以2中的°完全一樣。

②b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線>=依2+公+。的

對稱軸是直線。

x=-—,故：①。=0時，對稱軸為y軸；?->0（即a、b同號）

laa

時，對稱軸在y軸左側；③2<0（即a、b異號）時，對稱軸在y

a

軸右側。

③C的大小決定拋物線y=&+法+C與y軸交點的位置。

當x=0時，y=c,.?.拋物線>=++6%+c與y軸有且只有一個交點（0,

C）:

①c=0,拋物線經過原點;②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸

交于負半軸.

以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸

右側，則2<0。

a

（6）.用待定系數法求二次函數的解析式

①一般式：y=ax?+6x+c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選

擇一般式.

②頂點式：y=a（x-"2+吼已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點

式。

③交點式：已知圖像與x軸的交點坐標修、乙，通常選用交點式：

y=a（x-X]）（x-%）。

（7）.直線與拋物線的交點

①y軸與拋物線y=ax?+故+c得交點為（0,c）o

②拋物線與x軸的交點。

二次函數了=以2+法+。的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標修、聲，是

對應一元二次方程

分+法+c=o的兩個實數根.拋物線與左軸的交點情況可以由對應的

一元二次方程的根的判別式判定：

a有兩個交點o（A>0）o拋物線與x軸相交；

b有一個交點（頂點在x軸上）o（A=0）o拋物線與x軸相切；

c沒有交點。（A<0）o拋物線與x軸相離。

③平行于1軸的直線與拋物線的交點

同②一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩

交點的縱坐標相等，設縱坐標為左，則橫坐標是"?+b%+C=k的

兩個實數根。

④一次函數丁=丘+"（左。0）的圖像/與二次函數丁=以2+法+《”0）的圖

G的交點，由方程組丘:"的解的數目來確定:

y=ax+bx+c

a方程組有兩組不同的解時o/與G有兩個交點；

b方程組只有一組解時o/與G只有一個交點；

c方程組無解時。/與G沒有交點。

⑤拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y=a/+"+°與％軸兩

交點為4打0），B（X2,0）,則AB=|石-引

10.統計初步

（1）概念：①所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一個考察對

象叫做個體.從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本，樣本

中個體的數目叫做樣本容量.②在一組數據中，出現次數最多的數（有

時不止一個），叫做這組數據的眾數.③將一組數據按大小順序排列，

把處在最中間的一個數（或兩個數的平均數）叫做這組數據的中位數.

（2）公式：設有〃個數為，為，…，Xn,那么：

①平均數為：屋玉+%+……；

n

②極差：用一組數據的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據

的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差二

最大值-最小值；

③方差：數據占、%2...,X“的方差為S2,

則I=5就「工）？+（工2-x）?+-…+（X”-%）？

④標準差：方差的算術平方根。

數據修、x2...，乙的標準差S,

一組數據的方差越大，這組數據的波動越大，越不穩定。

11.頻率與概率

(1)頻率

頻率;壁整，各小組的頻數之和等于總數，各小組的頻率之和等于

總數

1,頻率分布直方圖中各個小長方形的面積為各組頻率。

(2)概率

①如果用P表示一個事件A發生的概率，則OWP(A)<1；

P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；

②在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法(包括列表、畫樹狀

圖)計算簡單事件發生的概率。

③大量的重復實驗時頻率可視為事件發生概率的估計值；

12.銳角三角形

①設N/是^ABC的任一銳角，則N力的正弦：sin/=K^,N/的

余弦：cos/=乙鬣5邊，的正切：tan/=蠹.并且sin/+

2

COST4=1o

0<sinJ<l,0<cosJ<l,tanJ>0.N力越大，NN的正弦和正切

值越大，余弦值反而越小。

②余角公式：sin(90°—A)=cosA,cos(90°—A)=sinJo

③特殊角的三角函數值:sin30。=cos60°=；,sin45°=cos45°=卑,

sin60°=cos30°=里，

tan30。=里，tan450=1,tan6()o="。

④斜坡的坡度：i=WC=J設坡角為a,則h

13.正(余)弦定理

(1)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中R表示三角形

的外接圓半徑。

正弦定理的變形公式:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c

(2)余弦定理b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC；

注：NC所對的邊為c,NB所對的邊為b,NA所對的邊為a

14.三角函數公式

(1)兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(

1+tanAtanB)

ctg(A+B)-(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/

(ctgB-ctgA)

(2)倍角公式

tan2A=2tanA/(l-tan2A)ctg2A=(ctg2A-l)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

(3)半角公式

sin(A/2)=V((1-cosA)/2)sin(A/2)=-V((1-cosA)/2)

cos(A/2)-V((1+cosA)/2)cos(A/2)=-V((l+cosA)/2)

tan(A/2)-J((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-J

((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=V((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-J

((1+cosA)/((1-cosA))

(4)和差化積

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/

2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

(5)積化和差

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB-cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

15.平面直角坐標系中的有關知識

(1)對稱性：若直角坐標系內一點P(a,b),則P關于x軸對稱的

點為Pi(a,一6),P關于y軸對稱的點為P?Q—a,b),關于原點對

稱的點為P31—a,—8)。

(2)坐標平移：若直角坐標系內一點P(a,b)向左平移力個單位，

坐標變為P(a—瓦6),向右平移力個單位，坐標變為P(a+瓦6)；

向上平移力個單位，坐標變為P(a,b+h),向下平移力個單位，坐

標變為P(a6—力).如：點A(2,-1)向上平移2個單位，再向

右平移5個單位，則坐標變為A(7,1)。

16.多邊形內角和公式

多邊形內角和公式：〃邊形的內角和等于5—2)180。(“23,刀是正

整數)，外角和等于360°

17.平行線段成比例定理

(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對

應線段成比例。

如圖：a//b//c,直線Ji與L分別與直線a、b、。相交與點/、B、

C和〃、E、F,

17n［后ABDEABDEBCEF

、前一百%一而'耘一而。

(2)推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，

所得的對應線段成比例。如1圖：△/夕。中，DE//BC,DE與AB、

AD_AE

力。相交與點小E,則有：-AD_AE_DEDBEC

DB-EC'AB—AC-BC'AB-AC

18.直角三角形中的射影定理c

直角三角形中的射影定理：如圖：Rt△/宛中，ZACB=90°,

，力夕于D,ADB

貝I］有：(1)CD2=ADBD(2)AC2=ADAB(3)BC2=BDAB

19.圓的有關性質

(1)垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質中的任意兩個性質:

①經過圓心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所對的劣弧；⑤平

分弦所對的優弧，那么這條直線就具有另外三個性質.注：具備

①，③時，弦不能是直徑。

（2）兩條平行弦所夾的弧相等。

（3）圓心角的度數等于它所對的弧的度數。

（4）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

（5）圓周角等于它所對的弧的度數的一半。

（6）同弧或等弧所對的圓周角相等。

（7）在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。

（8）90°的圓周角所對的弦是直徑，反之，直徑所對的圓周角是90°,

直徑是最長的弦。、

（9）圓內接四邊形的對角互補。

20.三角形的內心與外心

（1）三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心.三角形的內心就是

三內角角平分線的交點。

（2）三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就是

三邊中垂線的交點.

常見結論：①RtaABC的三條邊分別為：a、Ac（c為斜邊），則

它的內切圓的半徑一空”二

2

②AABC