大題預測01（A組+B組+C組）

【A組】

（建議用時：60分鐘滿分：75分）

四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（14分）

在VABC中,角A氏C所對的邊分別為。，b,c,已知伍+c）（sinB-sinC）=（a-c）sinA.

⑴求B；

⑵若VA5C的面積為地，且須=2配，求的最小值.

4

【解析】(1)由正弦定理得3+c)0—c)=(a-c)a,

即a2+c2-b1=ac，..............................................................................................2

由余弦定理可得8$8=4匕2-"=絲=工,.......................3

laclac2

因為3?0,兀)，

jr

所以2=5...............................................................................................................5

(2)由已知S='acsin2=地,所以ac=3............................................6

△AOC2

__2__.

因為蒞=2覺，所以茄k=1而，

__...2..9.?.1.9?

^^BD=BA+AD=BA+-AC=BA+-AB+-BC=-BA+-BC,...........8

33333

所以畫2=g網2+g(研+2.|(麗㈣

1244142

=-CH---Cl2H---QCCOSbn=-C2H---Q2H---,.........................................................10

999993

1242^^122c

又一/+—/2+一之2?一c?一Q+—=2,

993333

當且僅當。=半，c=n時取等號，.................................13

所以8。的最小值為也..............................................15

17.（15分）如圖1,在平面四邊形RBCZ）中，已知3C_LP3,PD1CD,PB=6,BC=2,DP=2CD,

ZM_LPB于點A.將沿AD折起使得R4_L平面A3CD,如圖2,設礪=2而（0W比W1）.

圖1圖2

2

(1)若2=求證：/58//平面腸4(7；

⑵若直線AM與平面PCD所成角的正弦值為逅，求2的值.

3

【解析】(1)在平面四邊形尸3C。中，BC1PB,PB=6,BC=2,

所以CP=2師，tan/BPC=g,....................................................................................1

又PDLCD,DP=2CD,

所以CD=2拒，PD=4A/2,tanZDPC=~,....................................................................2

11

--1-

所以tanZBPD=tan(ZBPC+ZDPC)=■23-=1,所以ZBPD=45°.........................4

l--x-

23

所以在中，易得叢=AD=4................................................................................5

因為BCLPB,所以AD〃3c.

在四棱錐P—ABCD中，連接3。，設3OcAC=尸，連接MF,

2DM

因為八所以宓=2,

又槳=?=所以〃

2,MFPB..............................................................................................7

BCFB

因為叱u平面MAC,PBZ平面M4C,

所以尸3〃平面MAC.........................................................8

(2)由題意易知48,AD,AP兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(0,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,4),

則方=(-2,2,0),蘇=(O,4,T).............................................9

設平面PCD的法向量為分=(x,y,z),

n-CD=0f-2%+2y=0

則——，即，，八，

n-PD=0[4y-4z=0

fy=1—.、

令x=l,得J,BPn=(1,1,1).................................................11

由加=2而，得加=(O,4X,T/l),

故M(0,4—4九,44),斕=(0,4-4442).........................................13

由直線A"與平面PCD所成角的正弦值為逅,

3

得H甌訃雨|4-42+42|_76解得人;

..................15

,J(4-42)2+(42)2.733

18.(15分)已知函數/(x)=ln(2尤+1)—4aeX+(a-2)x(aeR).

⑴當。=0時，求/⑺的最大值;

⑵若g⑺=/⑺+3祀工對定義域內任意實數x都有g(x)W0,求。的取值范圍.

【解析】

(1)當a=0時，f(x)=ln(2x+l)-2x,定義域為［一；,+。，

所以尸(x)=K......................................................2

令r(x)>o,得一g<x<o,令r(x)<o,得x>o,

所以在卜M上單調遞增，在(o,+8)上單調遞減，.....................5

所以/(元)的最大值為/(。)=0..............................................7

(2)因為g(x)=ln(2x+l)-訛，+(4-2)》40恒成立，所以g(0)W0,得“20,

下面證明：當時，g(x)(0..........................................9

證明如下：因為g'(無)=月-碇，+(〃-2)在(-；,+/上單調遞減，

又因為g'(o)=o,所以當-g<x<。時，g'(x)>0,當x>0時，g'(x)<0,

所以g(x)在C上單調遞增，在(0,+。)上單調遞減，.....................13

所以g(x)Wg(O),又因為g(0)=-aW。，所以a?0時，g(x)<0.

綜上，”的取值范圍為［0,+e)..............................................15

22

19.(15)設雙曲線已三-斗=1(°>0,6>0)的左、右焦點分別為過點耳且垂直于x軸的直線被￡截

ab

得的弦長為閨耳=2舊，過原點且斜率為手的直線/交E于民C兩點.

⑴求E的方程；

⑵求四邊形月2居C的面積.

【解析】

(1)過點耳且垂直于x軸的直線為x=-c,

22

將x=-c代入雙曲線方程可d得斗v=1,解得y=±h2；..............................3

aba

因此可得學=g,又閨閭=2c=2&Z,Ac2=a2+b2,

解得a=3,b=布,.................................................................5

22

故雙曲線E的方程為三—乙=1......................................................7

95

(2)如下圖所示:

y二------X

4，解得y=±差

聯立12

、,2

一匕=1

195

所以四邊形4的面積5=山西卜|汽|=2回、箸=6質

15

20.（16分）已知數列｛凡｝的前〃項和為S,,且滿足S?+2-2s.M+S“=2用+2,%-2出+4=2,記2=an-2".

⑴求證：也｝是等差數列；

1111

(2)若4=3,求證：—+—+——<-.

她她她+23

【解析】

⑴由S.-2S"M+S"=2用+2,得用）_（鼠「5“）=2m+2,

即為+2-4,+】=2向+2,................................................................................................................2

因為a=4-2",所以同2+*+2用）=2e+2,

所以2+2-2+1=2,①......................................................................................................................4

由%-2a2+q=2,彳導僅§+2）_2（%+2~）+（4+2）=2.

整理得4-29=0,

即4-%=Z?2-4,（2）.....................................................................................................................6

由①②得心「2=2,〃EN*,

所以｛2｝是公差為2的等差數列...............................................7

（2）因為4=4-2=1,所以么二2〃一1,

]_]11]

10

即姑〃+2（2n-l）（2n+3）412〃一12〃+3）..............................................................

111

所以——+---+…+-----

^3b2b4bnbn+2

1

2n+lJ+4><l2n-l....................12

<2n+3

—xId-------------..14

4I32H+12n+3

16

【B組】

(建議用時：60分鐘滿分：75分)

四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(14分)已知函數/(x)=xlnx-or.

⑴當a=0時，求函數“X)的單調區間;

⑵若對任意xe(O,y),恒成立，求實數”的取值范圍.

【解析】

(1)當。=0時，函數/(x)=xlnx的定義域是(0,+功，/,(x)=lnx+l,...................................2

令/'(x)<0,得lnx+l<0,解得0〈尤<：,故“X)的單調遞減區間是，,)，

令/'(x)>0,得lnx+l>0,解得故〃尤)的單調遞增區間是1J+j,............................5

綜上，的單調遞減區間是［。,力，單調遞增區間是［j+s］...........................................................6

(2)由任意xe(0,+oo),〃X)WX2+2知xinx<x2+ax+2恒成立.

2

因%>0,故aNlnx-％一一,在X￡(0,+oo)上恒成立.........................................8

設〃(x)=lnx—x—2(%>0),貝+N=2)!%+1),................................g

xxxx

令"(x)=。，得石=2,%2=-1(舍去)，

當九?0,2)時,/zr(x)>0,"(x)單調遞增，

當％42,+00)時，/zr(x)<0,"(%)單調遞減，............................................11

故當x=2時，力⑴取得極大值，也是最大值，且皿=M2)=ln2—3,

所以若在X￡(0,+oo)上恒成立，則=ln2-3,

故實數。的取值范圍是［ln2-3,y）14

17（15分）.在VA5C中，角A,氏C的對邊分別為〃也c,已知5=4A.

7T

⑴若。=2,A=—,求VABC的面積；

⑵若VA2C為銳角三角形，求證：b>Ma.

【解析】

所以SA”=』acsinB=，2-(4+26)?立=3+2相................................5

△ADC22、v12

(2)證：由_B=4A得sinB=sin4A=2sin2Acos2A=4sinAcosAcos2A,.........................7

bsinS

由正弦定理知，一=-----=cosAcos2A=2COS3A-COSA,...................................................9

4a4sinA

7TTT

因VABC為銳角三角形，所以0<5=4A<—,0<C=TI-B-A=7I-5A<-

22F

所以三<A<[,所以cosA>cos色=...................................11

10862

設cosA=九，令/(x)=2d一%

所以r（x）=6d_i>o,所以“工）在￥」單調遞增,....................................................13

因止匕一日=￥，

所以2〉也,即人>耳........................................................15

4a4

22

18.（15分）已知雙曲線C:三-1=l（a>0*>0）的左，右頂點分別為4瓦|明=4,C的右焦點/到漸近

ab

線的距離為2月，過點尸的直線/與C的右支交于尸，。兩點（點P在第一象限），直線AP與BQ交于點T.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵證明：點T在定直線上；

⑶記△TPQ,53的面積分別為，，邑，若卷=5,求直線/的方程.

【解析】

22

(1)雙曲線C：3-2=1的漸近線為法土分=0,....................................................................1

ab

設方(c,0),則廣八26,

22

而〃=2,所以雙曲線。的方程為工―2L=i,4

412

(2)由(1)知，A(-2,0),5(2,0),尸(4,0),直線/不垂直于1軸,設方程為％=。+4,

(%=fy+4

由。；2s消去x得(3〃-1)/+24"+36=。，..................................6

[3廠一y=12

設2(士,%),。(%,%)，

3/-12024f36△m3/、21

%+為=-^7]>必為=^3[<0，則。i%=-，(%+%)，r<-8

A=144(?+l)>0

直線ey=)X(x+2)，直線8Q：產由。-2),

聯才加-*⑸+6)__尹+為)+6%_-3%+9%__3

聯倚臺一解得X=1,

所以直線AP與8。交于點T在定直線尤=1上...............................................10

c^\TP\\TQ\sinZPTQ

0i_2____________\T_P__\__\TQ\x-lx-l

(3)由(2)知,={2

S2^\TA\\TB\sinZATB\TA\\TB\~3,1

則(明+3)(優+3)=15,即產必%+3KM+%)-6=0,.................................12

于是含一含一6=。，解得/J，即”±g，...................................14

所以直線/的方程為x=±gy+4,即3x±y-12=0

.......................................15

19.（15分）如圖，在三棱柱ABC-AMG中，4B=AC=AA=2,BA±BC,BA=BC.

(1)證明：平面ABC,平面ACG4；

⑵若直線AB與平面ABC所成角為60。，求平面A4C與平面A3C夾角的余弦值.

【詳解】(1)方法1：取AC的中點0,連接AO,BO,

G

AB

因為AA=AC,所以AQ_LAC,且4。2+。加=猛=4,.............................................1

因為BA=BC,。為AC的中點，所以。1=O3=OC,

所以402+042=402+032=4=432,所以AOJ.B。，.............................3

因為。4口。3=0，OAu平面ABC,03u平面ABC,所以A。，平面ABC，

因為AOu平面ACGA，所以平面ABC,平面ACGA.................................................................5

方法2：設。為4在底面ABC的射影，則A。，平面A3C,.....................................................1

因為AB=4C=A]A,所以OA=O3=OC

射影0為底面VABC的外心，又VABC為直角三角形，所以。恰為斜邊AC的中點，..........4

因為AOu平面ACC0,所以平面ABC,平面ACGA........................................................................5

(2)由(1)可知，平面ABC,所以AB與平面ABC所成角即為NAB。，所以NABO=60。，..…6

因為△4A。注△42。，所以/ABO=/AAO=60°,所以AO=K，AO=1,......................7

因為R4=BC,。為AC的中點，所以8OLAC,.............................................................................8

方法1：如圖所示，以。為原點，分別以西，0B1您所在方向為X軸、y軸、z軸正方向，建立空間直

角坐標系，

則A(0,0,⑹，C(-1,O,O),瓦卜1,1,⑹，

所以■=(-[,1,0),璃=(0,1,石)，.......................................10

設平面44c的法向量為％=(x,y,z),

居?AB.=0,[—X,+y=0,_

則有＜__,，即＜/-令z=l,貝!）丁=-6，x=-y/3,

吊CB]=0,[y+j3z=0,

所以％=上百,-6,1),.....................................................................................................12

易知平面A3C的一個法向量為為=(0,0,1),...................................................................13

設平面A6C與平面ABC的夾角為。，所以cos0=3"

阿卜區|17x17

所以平面與平面43c夾角的余弦值為1..................................................................15

7

方法2：如圖，過C作A3的平行線/,因為所以/〃4耳，

過。作垂足為我,8

因為A。，平面ABC,C"u平面ABC,所以A。，。“，10

又OH1.CH,AlOC[OH=O,AO,08U平面A。8,

所以c”,平面A。"，因為4"u平面A。//,所以

所以平面A4C與平面ABC的夾角即為NAH。，....................................13

曰/rncBCA/2r-g..,,tanXA,HO=——==A/6.〃

易知。"=——=—,所以**OHJ2＞........................................................14

22-

2

所以cosZA.HO=近平面\BXC與平面ABC夾角的余弦值為近......................15

77

20.(16分)已知等比數列｛%｝的公比4+/+%=14,1+1是q，的的等差中項.等差數列也｝滿

足2bl=a2,b4=a3,

⑴%=%(〃eN),求數列｛4｝的前"項和；

an

⑵將數列｛%｝與｛2｝的所有項按照從小到大的順序排列成一個新的數列，求此數列的前2"項和.

【解析】

2

4+4+43=14[a,+alq+a,q=14

(1)依題有3/,1、2，....................................2

2(%+l)=q+%[2(qq+l)=〃i+axq

a.=2

因為">1,解得4=2…3

,、2々=4\b.=2

???數列也｝是等差數列，設其公差為〃，匕；3d=8'解得;=2，................5

數列｛%｝的前n項和記為S，、,則S.=q+c?+…與，

bn

因為。“=:=齊r，

an乙

LC、I012n

所以S”=無+夕+…產’.............................................................7

IS"=7+2?+,"F,

兩式相減有gs”=1+J+J+…

111〃n+2

=1H---1----F???H--------=2------.

21222"T2"2"

所以5“=4苦〃+2......................................................................9

（2）因為。,,=2",b?=2n,設新數列為｛ej,因為數列｛4｝與數列他,｝都是遞增數列，

n+1

且4=02T=2",an+l=b2?■=2,........................................................11

又因為（2"-一2"-1=2n-1-n>0,

所以數列｛e“｝的前2"項由｛%｝中的前”項和圾｝中的前2"-”項構成，

2n

所以Zq=G+4+…+e2n=（4+%---/）+僅1+”2+,??+%_九）...........................13

Z=1

=(2+4+8+...+2")+(2+4+...+2"1-2〃)

2(l-2")(2+2n+1-2n)(2n-n)

=-^2-+2

=2n+1-2+4n-nxT+1+n2+2n-n

=4"-（2H-3）-2,,+n2-n-2...................................................................................................................16

【c組】

（建議用時：60分鐘滿分：75分）

四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16（14分）.在VA5C中，已知內角A員C的對邊分別為0,4c,D為線段BC上一點，AD=1.

IT

⑴若。為2c的中點，且ZBAC=§,求VABC面積的最大值;

Um1iur7r

{2)^AC=2AB,BD=-DC,且ZBAO=—,求c.

【詳解】

（1）因為而=：（荏+元），ZBAC=|,

貝I］有AD?=而2=：卜2+62+A）2；兒，解得歷wg,...............................................................2

所以5人小?=《反點114=0兒4噂.（當且僅當6=c時取等）.......................4

△ABC243

所以VA5C的面積的最大值為1........................................................................................................5

3

—>1—.a2a

（2）因為30=5。。，所以5。=§,。。=彳.........................................6

CL214".2

1+-----C1+-------4。

記NAO3=%NADC=/，則有cose+cos尸=0,由余弦定理得一§——+——=0,

2xlx—2xlx—

33

A

BDC

解得9+2/-18C2=o...................................................................................................................................8

在△ABD中，ZBAD=~,則￡=i+c2_2xcxlx也，解得《=1+°2-?,.......................................12

6929

22

9+2a-18c=0「

聯立方程組則有力解得c=1..............................................................................14

—=1+C2-V3C2

19

17.(15分)已知函數f(x)=ln(x-l)-/.

⑴若曲線y=〃x)在點(2"(2))處的切線的斜率為l-e(e是自然對數的底數)，求。的值；

⑵若〃無)有且只有兩個零點，求”的取值范圍.

【解析】

(1)由題意得了(力的定義域為(1,田),r(x)=」：_a'T(lna)2,

X~1

則/'(2)=1-a(lna)2=1一e,即a(lna)2=e,

所以In[〃(lna)2]=Ine=1,即Ina+21n(ln?)=1,...........................................2

令m=Ina,則相+21nm=1,

又>=^+21n機在區間(0,+e)上單調遞增，且當根=1時，y=m+2[nm=l,

所以機=1,即lna=l,所以a=e................................................................4

(2)因為/(%)有且只有兩個零點，所以ln(x-1)-優力皿=。有且只有兩個大于1的實數根，

又ax~llna=ln(x-l),

所以方程(1—l"Ah，=(x—1)山(九一1),即(x—l)ln(x—l)=aRn優t有且只有兩個大于i的實數根，...6

令尸(x)=xlnx,貝F(x)=lnx+l,...................................................................7

由產'(x)=0,解得x=J,當x>!時，r(x)>0,當0<x<!時，F(x)<0,

eee

所以尸(無)在區間[o,：)上單調遞減且Wx)<0,在區間、,+s]上單調遞增且當xc(l,+?)時，F(x)>0,

①

又尸(a'T)=F(x-l),^-1>1,所以F(^1)>F(1)=°-

要使網優7)=尸(犬-1),則即Ina有且只有兩個大于1的實數根,

令。(切=也(尤>1)，則。'(x)=^^，..........................11

XX

當、>e時，Q，(x)<。，當l<x<e時，。'(%)>。,

所以。(可在區間(Le)上單調遞增，在區間(e,+8)上單調遞減，......................13

又。(e)=J當xf+8時，Q(x)>0,且無限趨近于0,作出。⑺的圖象，如圖②，

所以0<lna<：,gpi<fl<eL故。的取值范圍是」,e1............................15

【點睛】思路點睛：根據函數零點個數求參數范圍，一般采取參變分離，轉化為兩個函數圖象的交點問題,

然后利用導數研究單調性，結合函數變化趨勢、極值等作出函數圖象，結合函數圖象即可得解.

18.(15分)如圖，在四棱錐尸-ABCZ)中，且依=陽，底面ABCD是邊長為2g的菱形，ZBA￡)=|

P

⑴平面PAC1平面ABCD

3

⑵若直線CP與平面A3CO所成角的正弦值為《，點。為棱C尸上的動點(不包括端點)，求二面角

的正弦值的最小值

【詳解】(])連接8。交AC于點0,連接。尸,.............................1

由于用=尸。，。是5。的中點，故因D_LOP..............................2

又3D_LAC,ACcOP=O,AC,OPu平面ACP,

故3。工平面ACP,3E?u平面ABC。，

故平面PAC1平面ABCD..............................................................................................4

（2）過尸作PH_LAC于點//,

由于平面？AC1平面ABC。，且兩平面的交線為AC,

PHu平面PAC,故尸平面ABC。，.......................................6

PH3

因此ZPCH為直線CP與平面ABCD所成角的平面角,故sinZPCH

平面ABC。，ABu平面ABCD,故PH_LAB,

又P￡>_LAB,PDcPH=P,PD,PHu平面PDH,

故AB_L平面尸Z汨，DHu平面尸￡組，故AB_LDH,

結合3。_LAH可知H為△ABD的垂心，..........................................7

由于底面ABCD是邊長為2G的菱形，ABAD=~,故為等邊三角形，

因此//為AABD的重心，

AO=-AB=3,AH=-AO=2,OH=l,OC=3,OB=OD=y/3,..................................................9

23

以赤，旃建立羽y軸，過。平面ABC。的垂線作為Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

PH3「H4

由于sinNPCH=^=1,則cosNPCH=%=飛,CH=4,故PC=5,PH=3,

則A（0,—3,0）,0（0,3,0）,網后0,0）,0（一后0,0）,尸（0,—1,3）...............................................................10

設CQ=mCP=m(0,-4,3)=(0,-4m,3m),故C(0,3-4m,3m),(0<m<l),

設平面ABQ的法向量為/=（%,y,z）,

AB=(V3,3,0),AQ=(0,6-4m,3m)

AB?in=A/3X+3y=0,

則<

AQ-m=^6-4m)y+3mz=0

設平面BCQ的法向量為五=(%,％,z°),

屈=(6,—3,0),函=(0,—4九3m)

CB?n=y/3x0—3%=0,

，取七=百，貝服=.............................................12

CQ-n=(M-m)yQ+3mz。=0

設二面角A-BQ-C的平面角為凡

2

,??加印8+7m

則cos0\=cos(m,n)\==~r=-----------------------

1'm\n\(52/-----;--------------

1111J—J52/-48加+36

2

8+—m

=_________3_

2f13病-12m+9

23/|cos@=

^8+—m=t,則加=5(”8),................................................13

故|cos6?|的最大值為玄，因此sin<9的最小值為

...............................15

【點睛】方法點睛：求二面角常用的方法：

(1)幾何法：二面角的大小常用它的平面角來度量，平面角的作法常見的有：

①定義法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性質；

(2)空間向量法：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面法向量的夾角得到二面角的大小，但要

注意結合實際圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角.

19（15分）.在前〃項和為S”的等比數列｛%｝中，3。2=2卬+/，$4=30,S2=38-a5.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

（2）令。"=a?-logA,求數列色｝的前n項和Tn.

【解析】

（1）設數列｛%｝的公比為4,

由3%=24+%,得3qq=2°]+qq2,所以3q=2+/,解得q=l或q=2.....................2

若q=l,則由邑=30,得所以邑=15,38$=38-￡=3與$2=38-%矛盾，所以，qwl...4

若q=2,則由$4=3。，得4=2,所以$2=6,38-4=38-2x2,=6,符合................5

5—38—6?5,所以％=2,q=2,所以%=2".

故數列｛〃“｝的通項公式為：4=2".....................................7

(2)由2=a“Jog2a“=八2",

7；=lx2+2x22+3x23+...+(77-l)x2^1+nx2,'..............................9

兩邊乘以2得

27；,-1X22+2X23+3X24+...+(W-1)X2,"+HX2"+1,...........................11

兩式相減得：-7L=2+22+23+...+2"T+2"-〃X2"+I,...............................13

+1+i

:.Tn=nx2"-2,；)=(n-l)x2"+2

故數列也｝的前〃項和看=5T)x2"“+2...........................15

22

20.（16分）已知雙曲線氏事-2=1（。>0,6>0）的左，右頂點分別為A,A,|AA|=6,雙曲線E漸近

ab

線的方程為2x±3y=0,過（4,0）作斜率非零的直線/交E于M,N,直線與直線交于點P,直線A.M

與直線4N交于點Q.

⑴求雙曲線E的標準方程；

k,

⑵設直線4加與直線4N的斜率分別為勺，k2,求證U為定值；

⑶在無軸上是否存在定點T,使得定點T恰好在以PQ為直徑的圓上，若存在，求出T的坐標；若不存在,

說明理由.

【詳解】

(1)因為|A4|=6,所以2?=6................................................................................1

h?

因為雙曲線E漸近線的方程為2x±3y=0,所以2=9，......................................3

a3

22

解得Q=3,b=2,則雙曲線E的標準方程為土—2L=1.........................................4

94

(2)易知4(—3,。)，4(3,0),

如圖，設”(公%),N(%2，%)，直線/的方程為了=沖+4,...................................5

m2-9)9+32my+28=0,

-32m28

則4根2一9wo,A