熱點13導數

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

2024年基本不等式、極值、最值、導數的應用

2023年導數的綜合應用導數的綜合應用

2022年極限及其運算

熱點題型解讀

題型1導數的概念與幾何意義

/力耀2曼的■算

題型3利用導數研究函數的單調性

導數題型4利用導數研究函數的最值

題型5利用導數研究函數的極值

題型6利用導數研究函數的恒成立、能成立

題型7利用導數研究函數的零點

題型1導數的概念與幾何意義

00日

i.導數的概念

（1）函數y=*龍）在X=xo處的導數記作，（X0）或y1=%.

於o+Ax）~/（X0）

（祝）=棲）a=蛔Ax

L

（2）函數y=/（x）的導函數（簡稱導數）

f（3=1B―AT^-

2.導數的幾何意義

函數>=/）在x=xo處的導數的幾何意義就是曲線y=段）在點尸（xo,人配））處的切線的斜室，相應的切線方i

I程為,"一/Txo）==（xo）（x—xo）.

II

3.在點處的切線與過點的切線的區別

（1）在點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條.

；（2）過點的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條.

II

1.（2023?上海青浦?一模）若函數y=/（x）在x=x0處的導數等于。，則|加/國+［&一?）的值為

Ax

（）.

A.0B.。C.2aD.3。

,,、』、_,一聲、ln（A+4）-21n2

2.（2023?上海閔行?二模）lim—----------------=______________.

川h

3.（2024?上海靜安?二模）已知物體的位移d（單位：m）與時間，（單位：s）滿足函數關系d=2sinf,則

在時間段fe（2,6）內，物體的瞬時速度為hn/s的時刻/=（單位：s）.

4.（2024?上海?模擬預測）某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深8cm,上口寬6cm,若以3cm3/s的

勻速往杯中注水，當時間為3s時，酒杯中水升高的瞬時變化率是cm/s

5.（2024?上海靜安?一模）已知物體的位移d（單位：m）與時間”單位：s）滿足函數關系［=5siW-2cosf,

則該物體在，=時刻的瞬時速度為（m/s）.

6.（2024?上海三模）設曲線/（"=改+6和曲線g（x）=cos，+c在它們的公共點P（0,2）處有相同的切線,

則加+c的值為.

7.（2024?上海虹口?一模）2024年10月30日"神舟十九號"載人飛船發射成功，標志著中國空間站建設進入

新階段.在飛船豎直升空過程中，某位記者用照相機在同一位置以同一姿勢連續拍照兩次.已知"神舟十九

號”飛船船體實際長度為X,且在照片上飛船船體長度為肌比較兩張照片，相對于照片中的同一固定參照

物飛船上升了".假設該記者連按拍照鍵間的反應時間為3并忽略相機曝光時長，若用平均速度估算瞬時

速度，則拍照時飛船的瞬時速度為.（用含有〃、h、m、/的式子表示）

8.（2022?上海）已知函數y=〃x）為定義域為夫的奇函數，其圖像關于x=l對稱，且當xe（0,1］時，

=,若將方程/（%）=%+1的正實數根從小到大依次記為國,馬，'3，%〃，則Hm（x〃+i-％）=.

n—>co

9.（2024?上海崇明?一模）定義：若曲線G和曲線C?有公共點尸，且曲線G在點尸處的切線與曲線G在點

尸處的切線重合，則稱G與。2在點P處"一線切”.

(1)已知圓。-〃)，必=/&>0)與曲線y=x2在點(1,1)處"一線切"，求實數。的值;

(2)設/(x)=，+2x+a,g(x)=ln(x+l),若曲線了=/(x)與曲線y=g(x)在點尸處"一線切"，求實數。的值;

⑶定義在R上的函數>=/(x)的圖象為連續曲線，函數>=/(x)的導函數為y=/'(x),對任意的xeR,都

|//(x)|>|/(x)|

成立.是否存在點尸使得曲線>=〃尤)sinx和曲線了=1在點尸處"一線切"？若存在,請求

|/W|<V2

出點。的坐標，若不存在，請說明理由.

題型2導數的計算

-

1.基本初等函數的導數公式

基本初等函數導函數

Hx)=C(C為常數)f?=0

f(x)=xa(a^R,且aWO)f(x}=axa~l

fix)=sinxf'(x)=COSX

於)=cosXf(x)=~sinx

y(x)=QX(Q>0,且QWI)f(x)=ax\na

/W=ex/。)=更

fix)=logaX(6Z>0,且QW1)f'(x)

xlna

rd

/(x)=lnx

X

2.導數的運算法則

若/(x)，g'(x)存在，則有

師)士gaxr=f(%)土g'(》)；

[/(x)g(x)]'=f(X)g(x)+/?X)g'(%)；

??

■黑.J(x)g(；)：%)g，(x)(g(x)#O)；J

[g(x)]-

[如)]'=cf'(x).

I_______________________________________________________________________________J

1.(2025?上海?模擬預測)設定義域為R的函數y=〃x),函數y=〃x)的導函數是歹=/(尤).對于

￡>=(-1,1),函數y=/'(x)在。上存在極值點.記

，

S={/(x)|VxeJD,/(l)(x-l)+/(l)</(x)<r(-l)(x+l)+/(-l)}.貝!JS中的函數y=/(x)一定不具有的

性質是()

A.41)=〃。)

B.「⑴=「(」)

c.函數y=/(x)在。上為嚴格增函數

D.函數了=/(x)(xe￡>)是偶函數

2.(2024?上海?模擬預測)現定義如下:當尤e(〃,〃+l)時(〃eN),若〃尤+1)=/(x),則稱/(x)為延展函數.

已知當xe(O,l)時，g(x)=e，且"x)=/，且g(x),〃(x)均為延展函數,則以下結論()

(1)存在了=履+。(左beR,左620)與y=g(x)有無窮個交點

(2)存在丁=履+“左。?R大。R0)與y=〃(x)有無窮個交點

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立.

3.(2024?上海嘉定?二模)已知曲線>=上有一點尸(2,0,則過尸點的切線的斜率為.

4.(2024?上海金山?二模)設〃x)=x3+ax2+x(aeR),若:=/(x)為奇函數,則曲線9=/。)在點(0,0)處

的切線方程為.

5.(2024?上海閔行?二模)函數>=4-x在x=l處的切線方程為.

X

6.(2024?上海?模擬預測)設〃為大于2的自然數，將二項式(l+x)"=￡(C%?)兩邊同時求導，可以得到一

k=0

些特別的組合恒等式“(1+尤廣=￡(比上1),結合課本中楊輝三角研究方法，可以得到￡儼《)=.

k=\k=\

7.(2024?上海奉賢?三模)已知〃x)=/-cosx,若非零整數凡。使得等式(/("+6))'=(/(s+d?恒成立,

則2+與得所有可能得取值為.

ca

8.(2024?上海?一模)(1)在用“五點法"作出函數＞=1-sinx,xe[0,2可的大致圖象的過程中，第一步需要將

五個關鍵點列表，請完成下表：

X0

-sinx0

1一sin%1

(2)設實數a＞0且awl,求證：(ax)=ax\na；(可以使用公式：(e*)=e")

(3)證明：等式/+依2+加+。=(工一再)(彳-工2)卜-尤3)對任意實數了恒成立的充要條件是

%+/+%3=~a

x1x2+x2x3+工3再=b

XxX2X3=-c

9.(2024?上海奉賢?三模)若定義在R上的函數＞=/(x)和y=g(x)分別存在導函數廣④和g，(x).且對任意

X均有了'(X)2g'(x),則稱函數y=是函數y=g(x)的"導控函數我們將滿足方程/'(x)=g'(x)的X。稱為

"導控點”.

⑴試問函數N=x是否為函數y=sinx的“導控函數”？

211

(2)若函數y=§工3+8x+l是函數y=]工3+6尤?+cx的“導控函數"，且函數y=1x3+&r2+cx是函數y=4x2的

"導控函數"，求出所有的“導控點"；

⑶若0(x)=e*+左尸，函數V=q(x)為偶函數，函數V=0(x)是函數y=q(x)的"導控函數"，求證："左=1"的

充要條件是“存在常數。使得O(x)-q(x)=c恒成立".

題型3利用導數研究函數的單調性

-4

1.函數的單調性與導數的關系

條件恒有結論

f?>0/（x）在區間（a,6）上單調遞增

函數v=/（x）在區間

f?<o於）在區間（a,6）上單調遞減

（Q,6）上可導

/(x)=0段）在區間（a,6）上是常數函數

2.利用導數判斷函數單調性的步驟

第1步，確定函數人x）的定義域；

第2步，求出導數，（x）的零點;

第3步，用，（x）的零點將以）的定義域劃分為若干個區間，列表給出，（x）在各區間上的正負，由此得出

函數>=Ax）在定義域內的單調性.

1.（2024?上海虹口?二模）已知定義在R上的函數的導數滿足/Uvg'（x）,給出兩個命題：

①對任意eR,都有（*2）忖/（石）-g&）|；②若g（x）的值域為［加，閔J（T）=加，〃1）=四,

則對任意xeR都有/（耳=g（x）.

則下列判斷正確的是（）

A.①②都是假命題B.①②都是真命題

C.①是假命題，②是真命題D.①是真命題，②是假命題

TT

2.（2024?上海奉賢?二模）如圖，在等腰梯形/8C。中，AD//BC,AD=\,BC=m（m>D,N4BC=§點E

是線段42上的一點，點尸在線段DC上，器DF=:.

命題①：若AE=^EB,則而.通隨著/的增大而減少.

命題②：設坐=x,若存在線段EF把梯形ABCD的面積分成上下相等的兩個部分，那么x>曰"=/（》）

一AB2m

隨著X的增大而減少.

A.命題①不正確，命題②正確B.命題①，命題②都不正確

C.命題①正確，命題②不正確D.命題①，命題②都正確

3.(2024?上海浦東新?三模)已知g(無為偶函數，若=則”.

4.(2024?上海?三模)若函數f(x)=Tx3+3x在(a,a+2)上存在最小值，則實數0的取值范圍是.

4

5.(2024?上海靜安?一模)設函數=尤+-,尤e.

⑴求函數＞=/(無)的單調區間；

(2)求不等式f(x)＜2x的解集.

6.(2024?上海?三模)設函數7=/(x)定義域為Z.若整數SJ滿足/(s)/?)40,則稱s與/"相關"于九

⑴設/'(xH尤+1|-2,xeZ,寫出所有與2"相關”于/的整數；

(2)設＞=/(x)滿足：任取不同的整數sJe[U0],s與/均“相關”于九求證：存在整數〃ze[l,8],使得

m,m+l,m+2都與2024"相關"于九

(3)是否存在實數使得函數/(x)=(l+?)e*+(a+l)x-l,xeZ滿足:存在x()eZ,能使所有與x0"相關"

于/的非零整數組成一個非空有限集？若這樣的。存在，指出/(尤。)和。的大小關系(無需證明)，并求出。

的取值范圍；若這樣的。不存在，說明理由.

7.(2024?上海普陀?二模)對于函數y=〃x),xe。[和〉=g(x),XED2,設2口2=。，若x2&D,

且X產乙,皆有|/（網）-/（々）|4巾（網）-8（x2）卜＞0）成立，則稱函數y=/（x）與y=g（x）"具有性質H。）".

⑴判斷函數〃》）=/,小口,2］與8（乃=2工是否“具有性質以2）”,并說明理由;

（2）若函數/（尤）=2+f,X€（0,1］與81）」“具有性質劭）”，求t的取值范圍；

X

⑶若函數/（好=3+21!1.3與夕=g（x）"具有性質〃⑴"，且函數y=g（x）在區間（0,m）上存在兩個零點為，

X

x2,求證X；+x；＞2.

8.（2024?上海奉賢?一模）若函數y=/（x）的圖象上存在上個不同點6、鳥、L、々（左N2,左eN）處的切線

重合，則稱該切線為函數＞=/（x）的一條無點切線，該函數具有左點切線性質.

⑴判斷函數＞=，-2國，xeR的奇偶性并寫出它的一條2點切線方程（無需理由）；

⑵設/（x）=e'-lnx,判斷函數y=/（x）是否具有左點切線性質，并說明理由；

閉設8（工）=3牘+2工，證明：對任意的加23,機eN,函數y=g（x）具有加點切線性質，并求出所有相應

的切線方程.

9.(2024?上海虹口，一模)設aeR,Fa(x)=〃尤)-e@-l,a)U+1).若函數V=/⑺滿足￡⑺>0

X—U

恒成立，則稱函數y=/(x)具有性質P(a).

⑴判斷y=situ是否具有性質尸(0),并說明理由；

(2)設〃x)=eJx,若函數y=〃x)具有性質產⑷，求實數。的取值范圍；

⑶設函數y=〃x)的定義域為R,且對任意aeR以及都有月(a-l)<￡(a+l).若當x<0時,

恒有〃無)<0.求證：函數y=/(x)對任意實數a均具有性質P(a).

10.(2024?上海)對于一個函數/(外和一個點祖(〃,6),定義5(；0=0-0)2+(/^)-。)2,若存在玖毛,/(%)),

使s(x0)是s(x)的最小值，則稱點P是函數〃x)到點M的“最近點”.

(1)對于〃x)=L(x>0),求證：對于點M(0,0),存在點尸，使得點尸是/(x)到點M的“最近點”；

(2)對于〃x)=e"請判斷是否存在一個點尸,它是/(x)到點M的“最近點”，且直線與f{x}

在點P處的切線垂直；

(3)已知/(x)存在導函數f'{x},函數g(x)恒大于零,對于點M(f-1,，點峪(f+1,>(f)+g(。),

若對任意feA,存在點尸同時是〃x)到點根與點AG的“最近點”，試判斷的單調性.

題型4利用導數研究函數的最值

:—4

1.函數次x）在區間［a,句上有最值的條件：

；如果在區間［a,6］上函數y=/（x）的圖象是一條連續丕斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.

2.求函數y=/（x）在區間⑷切上的最大（小）值的步驟：

!①求函數y=/（x）在區間（a,6）內的極值;

；②將函數的各極值與端點處的函數值也），血）比較,其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小

值.

3.求含有參數的函數的最值，需先求函數的定義域、導函數，通過對參數分類討論，判斷函數的單調性，

從而得到函數外）的最值.

I_______________________________________________________________________________J

1.（2024?上海靜安二模）已知實數ae（0,6）,記/⑶=.若函數＞=在區間［0,2］上的最小值

為-2,貝U。的值為.

2.（2024?上海黃浦?二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實線部分（它由線段CE,D尸與分別以

OC,O。為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點是線段48上的動點，點。為線段/民CD的中

點，點瓦廠在以為直徑的半圓弧上，且NOCE,/OZ）下均為直角.若/8=1百米，則此步道的最大長度為

百米.

3.（2024?上海,三模）中國古代建筑的主要受力構件是梁，其截面的基本形式是矩形.如圖，將一根截面為

圓形的木材加工制成截面為矩形的梁，設與承載重力的方向垂直的寬度為x,與承載重力的方向平行的高度

為y,記矩形截面抵抗矩用=：孫L根據力學原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強，則寬x與高y

O

的最佳之比應為.

4.（2024?上海?模擬預測）如下圖所示，甲工廠位于一直線河岸的岸邊/處，乙工廠與甲工廠在河的同側，

且位于離河岸40km的3處，河岸邊。處與/處相距50km（其中兩家工廠要在此岸邊建一個

供水站C,從供水站到甲工廠和乙工廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，間供水站C建在岸邊距離/

處.km才能使水管費用最省？

B

5.(2024?上海嘉定?二模)已知常數用eR,設/(x)=lnx+g,

⑴若加=1,求函數＞=/(x)的最小值；

(2)是否存在0＜再＜馬＜毛，且a，x2,X3依次成等比數列，使得/'(王)、/■(%)、/。3)依次成等差數歹皿

請說明理由.

⑶求證："加40"是"對任意A%e(O,+s),占＜%，都有了(")＞"飛卜""2)”的充要條件.

2xx-x2

6.(2024?上海?三模)設函數了=/(無)的定義域為D,對于區間/=［應如/=。)，當且僅當函數了=/(無)滿

足以下①②兩個性質中的任意一個時，則稱區間/是了=/(x)的一個"美好區間

性質①：對于任意％",都有/(不)€/；性質②：對于任意x°e/,都有〃X。)任/.

⑴已知/(X)=T+2X,xeR.分別判斷區間［0,2］和區間［1,3］是否為函數了=/(x)的“美好區間”，并說明

理由；

(2)已知"X)=；V--3x+12(xeR)且機＞0,若區間［0,詞是函數了=/(無)的一個“美好區間"，求實數加的

取值范圍；

⑶已知函數，=/(x)的定義域為R,其圖像是一條連續不斷的曲線，且對于任意。＜6,都有

f(a)-f(b)＞b-a.求證：函數y=f(x)存在"美好區間"，且存在％eR,使得/不屬于函數y=f(x)的

任意一個“美好區間

7.(2024?上海嘉定?一模)設A為非空集合，函數/'(x)的定義域為。.若存在使得對任意的xe。均有

/(x)-/(x0)e^,則稱/(%)為函數/(X)的一個A值，％為相應的A值點.

⑴若“=[-2,0],〃力=52.證明：%=2析+；兀，丘Z是函數/(無)的一個A值點，并寫出相應的A值；

(2)若/=[0,+8)，/@)=-》若3=尤2+工+1.分別判斷函數/卜"@)是否存在人值？若存在，求出相應的A

值點；若不存在，說明理由；

⑶若*=(f,0],且函數/(無)=lnx+辦2(aeR)存在A值，求函數/(x)的A值，并指出相應的A值點.

8.(2024?上海長寧?二模)設函數>=的定義域為D,若存在實數k，使得對于任意xeD,都有/(x)V4,

則稱函數y=/(x)有上界，實數人的最小值為函數y=/(x)的上確界；記集合M={/(x)y=券在區間

(0,+司上是嚴格增函數};

2

(1)求函數V=——-(2<x<6)的上確界；

x-1

32

(2)^/(x)=x-Ax+2x\wceMx,求A的最大值；

⑶設函數y=〃x)一定義域為(0,+司；若/(尤"〃2,且>=/(x)有上界，求證：/(x)<0,且存在函數

>=/(無)，它的上確界為0;

9.(24-25高三上?上海?期中)若定義在R上的函數母=/(0和y=g(x)分別存在導函數月(x)和g").且

對任意實數x,都存在常數上,使任(x)z炫'(x)成立,則稱函數y=/(x)是函數y=g(x)的“"控制函數",

稱左為控制系數.

(1)求證：函數/(x)=2x是函數g(j)=sinx的"2-控制函數"；

(2)若函數/卜)=一一一4/72/-20x是函數g(x)=e，的"左一控制函數"，求控制系數左的取值范圍；

⑶若P(x)=e*+加右，函數y=q(x)為偶函數,函數y=p(x)是函數y=q(x)的"1-控制函數",求證:"加=1"

的充要條件是"存在常數c，使得p(尤)-q(x)=c恒成立

10.(2023?上海)已知函數/(x)=--(a+l)/+x,g(x)=kx+m(其中a.0,k,m&R),若任意xe[0,

1]均有f(x),g(x),則稱函數〉=g(x)是函數y=〃x)的“控制函數”，且對所有滿足條件的函數〉=g(x)在

x處取得的最小值記為7(%).

(1)若a=2,g(x)=x,試判斷函數y=g(x)是否為函數y=/(x)的“控制函數”，并說明理由；

(2)若°=0,曲線y=/(x)在》=’處的切線為直線y=〃(x),證明：函數y=/z(x)為函數y=/(x)的“控

制函數”，并求了,)的值;

(3)若曲線＞=/(%)在％=%,%￡(0,1)處的切線過點(1,0),且C￡[%0，1],證明：當且僅當C=%0或0=1

時，f(C)=f(c).

題型5利用導數研究函數的極值

i.函數的極小值

函數y=/(x)在點x=a處的函數值/(a)比它在點x=。附近其他點處的函數值都小，f(a)=0；而且在點x

=a附近的左側(x)<0,右側f(x)>0,則a叫做函數y=/(x)的極小值點，大a)叫做函數了=小)的極小值.

2.函數的極大值

函數>=兀0在點x=6處的函數值負6)比它在點x=b附近其他點處的函數值都大，f(Z>)=0；而且在點x

=b附近的左側/'(x)>0,右側7I'(x)<0,則b叫做函數夕=加)的極大值點，叫做函數y=/(x)的極大值.

3.極小值點、極大值點統稱為極值點,極小值和極大值統稱為極值.

4.根據函數的極值(點)求參數的兩個要領

(1)列式：根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解.

(2)驗證：求解后驗證根的合理性.

________________________________________________________________________________________________」

1.(2024.上海.三模)已知函數.y=/(x)的定義域為(0,2),則下列條件中，能推出1一定不是N=/(x)的

極小值點的為()

A.存在無窮多個尤(0,2),滿足〃/)〈/⑴

B.對任意有理數(0,1)"1,2),均有

C.函數y=/(x)在區間(0,1)上為嚴格減函數，在區間。,2)上為嚴格增函數

D.函數夕=/(x)在區間(0,1)上為嚴格增函數，在區間(1,2)上為嚴格減函數

2.(2024?上海青浦,二模)如圖，已知直線歹=區+加與函數V=/(x),xe(O,+e)的圖象相切于兩點，則函數

>=/卜)一日有().

A.2個極大值點，1個極小值點B.3個極大值點，2個極小值點

C.2個極大值點，無極小值點D.3個極大值點，無極小值點

3.(2024?上海?三模)已知函數/(x)=在R上無極值，貝匹的取值范圍是

4.(2024?上海徐匯?一模)設aeR,/(x)=x2+"+lnx,若函數>=/(無)存在兩個不同的極值點，則。的取

值范圍為.

2

5.(2024?上海?一模)已知/(》)=0山。+1)+彳r-》，函數N=/(x)的導函數為y=/'(x).

(1)當。=1時，求了=/(尤)在x=2處的切線方程；

(2)求函數了=/"(尤)的極值點；

(3)函數y=/(x)的圖象上是否存在一個定點(加,")(加刀€(0,+00)),使得對于定義域內的任意實數%(修*機)，

都有/(%)=-M+〃成立？證明你的結論.

6.(2024?上海?三模)已知〃x)=e，-ax-l,aeR,e是自然對數的底數.

⑴當“=1時，求函數V=/(x)的極值；

(2)若關于x的方程/(X)+1=0有兩個不等實根，求a的取值范圍；

(3)當。＞0時,若滿足/(W)=/'卜2)(再＜X2),求證：Xj+x2＜21na.

7.(2023?上海青浦?一模)設函數工(的=行+彘工(其中。是非零常數，e是自然對數的底)，記

Z,(x)=/L(x)("22,〃eN*).

⑴求對任意實數x,都有力(無)=力-(X)成立的最小整數〃的值(〃22,〃eN*)；

⑵設函數g“(x)=/；(x)+力(無)+…+/,(x),若對任意"23,neN*,V=g"(x)都存在極值點尤=乙，求證：

點4kg”(^?))(?23,"eN*)在一定直線上，并求出該直線方程；

⑶是否存在正整數后(左＞2)和實數X。，使%(%)=力-(%)=0且對于任意〃eN*,f“(x)至多有一個極值點,

若存在，求出所有滿足條件的左和毛，若不存在，說明理由.

題型6利用導數研究函數的恒成立、能成立

I

1.分離參數法解決恒(能)成立問題的策略

(1)分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

(2)a為(x)恒成立Qa27(x)max;

aq(x)恒成立Qa0(x)min;

a//(X)能成立Qa4/(x)min；

aW/(X)能成立QaWj(x)max.

2.“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質，深刻挖掘內含條件，進行等價變換，常見的等價

變換有

對于某一區間/

(l)Vxi,X2^I,/[xi)>g(x2)<=^/(x)mm>g(x)max.

(2)VxiG/l,Bx2^h,y(xi)>g(X2)<=v(x)min>g(x)min.

<

(3)3X1G/1,Vx2d/2,i/(Xl)>g(X2)^/(X)max>g(X)max.

1.(2024.J箍普陀?二植已向aeR,若關宇x而太至1￡今一2把-,-%>0加解集市有口板有一個負獎數，

則。的取值范圍是.

2.(2024?上海普陀?一模)設0>6>0,函數了=/(x)的表達式為〃x)=x-g+lnx,若f(a)=f(b),且

關于x的方程尸+ax+2ab\+\x2-ax+2ab\=2小的整數解有且僅有4個，貝I]。的取值范圍是.

3.(2024.上海虹口?二模)已知關于x的不等式(Inr-砌[,?一(左+3卜+4卜0對任意xe(O,+<?)均成立,則

實數k的取值范圍為.

4.(2023?上海寶山?一模)已知函數-辦-a,aeR.

⑴判斷函數/(x)的奇偶性;

(2)若函數尸(x)=x?/(x)在x=l處有極值，且關于x的方程產(耳=加有3個不同的實根，求實數小的取值

范圍；

⑶記g(x)=-e工(e是自然對數的底數).若對任意芯、起€[0同且不>馬時，均有

|/(再)-/(%)|<|g(%)-g(%)|成立，求實數°的取值范圍.

5.(2023?上海閔行?三模)已知函數/(x)=e*+eT+(2-b)x,g(x)=ax2+b,(a,beR).

(l)g(l)=/(O),g，(l)=/(O),求實數a,6的值；

(2)若。=1,6=2,且不等式/(x"彷，卜-工+2)-2對任意xeR恒成立，求上的取值范圍；

⑶設6=2,試利用結論砂+/2/+2,證明：若40,L040胃)，其中〃Z2,〃eN*,則

/(sin^)-/(cos6>?)+/(sin6?2)-/(cos6>?_1)+---+/(sin^_1)./(cos6*2)+/(sinQ)?/(cos〃)>6〃.

6.(2024?上海楊浦?二模)函數＞=/")、y=g(x)的定義域均為R,若對任意兩個不同的實數。，b,均

有〃a)+g(6)＞0或〃6)+g(a)＞0成立*則稱＞=/⑺與〉=g(x)為相關函數對.

⑴判斷函數f(x)=x+l與g(x)=-X+1是否為相關函數對，并說明理由；

(2)已知/(%)=eA與g(x)=-x+人為相關函數對，求實數k的取值范圍；

⑶已知函數V=與y=g(x)為相關函數對，且存在正實數對任意實數xeR,均有求

證：存在實數加,"(加＜〃)，使得對任意xe(嘰〃)，均有〃x)+g(x”-4

7.(2024?上海?模擬預測)已知函數/(x)=sinx,g(x)=H+貼*0).

⑴若直線V=g(x)是曲線y=/⑶在(71,0)處的切線，求g(X)的表達式；

(2)若任意x”XzeR且無產元2,有|g(/(xJ)-g(/(X2))區后2"(g(xJ)_〃g(x2))|恒成立,求符合要求的數對

(左力)組成的集合；

⑶當6=0時，方程〃g(x))=g(/(x))在區間［0,2兀)上恰有1個解，求左的取值范圍.

8.(2024?上海徐匯?一模)已知定義域為。的函數y=f(x),其導函數為＞=/'(x),若點(%,%)在導函數

了=/(龍)圖象上，且滿足,(尤())/(%)20,則稱/為函數了=/(尤)的一個"類數"，函數了=/(x)的所有

"T類數”構成的集合稱為“T類集

⑴若/'(x)=sinx,分別判斷l和,是否為函數＞=/(》)的"T類數"，并說明理由；

(2)設＞=/'(x)的圖象在R上連續不斷，集合"=k"'(無)=0}.記函數y=“X)的"類集"為集合S,若

SuR,求證：M蠱；

⑶已知〃x）=-Lcos（0x+0）（0>O）,若函數y=/（x）的"T類集”為R時"的取值構成集合A,求當9?/

CO

時。的最大值.

9.（2024?上海長寧?一模）雙曲余弦函數coshx=厘土^,雙曲正弦函數3由u=吐"

22

⑴求函數coshx=二的單調增區間；

2

（2）若函數>=cosh2x-asinhx在［0,+切）上的最小值是:，求實數a的值；

⑶對任意工?&8$1132（：0殳+儂？恒成立，求實數加的取值范圍.

題型7利用導數研究函數的零點

---------------------------------------------------

1.利用函數性質研究函數的零點，主要是根據函數的單調性、奇偶性、最值或極值的符號確定函數零點的

個數，此類問題在求解過程中可以通過數形結合的方法確定函數存在零點的條件.

2.含參數的函數的零點個數，可轉化為方程解的個數，若能分離參數，則可將參數分離出來后，用x表示

參數的函數，作出該函數的圖象，根據圖象特征求參數的范圍或判斷零點個數.

3.涉及函數的零點(方程的根)問題，主要利用導數確定函數的單調區間和極值點，根據函數零點的個數尋

找函數在給定區間內的極值以及區間端點的函數值與0的關系，從而求得參數的取值范圍.

1.(2023?上海靜安■二模)已知函數/(x)=；x2-(a+l)x+alnx.(其中。為常數)

⑴若。=-2,求曲線/=在點(2)(2))處的切線方程；

(2)當。＜0時，求函數＞=/(x)的最小值；

⑶當04。＜1時，試討論函數＞=/(x)的零點個數，并說明理由.

2.(2023?上海浦東新?二模)設P是坐標平面xOy上的一點，曲線「是函數＞=/(無)的圖象.若過點尸恰能

作曲線「的左條切線("eN),則稱尸是函數＞=/(無)的"左度點".

⑴判斷點0(0,0)與點4(2,0)是否為函數y=lnx的1度點，不需要說明理由；

(2)已知0＜〃?＜兀，g(x)=sinx.證明：點3(0,兀)是y=g(x)(O＜x(加)的0度點；

(3)求函數y=V-X的全體2度點構成的集合.

3.(2024?上海黃浦?二模)若函數＞=/(x)的圖象上的兩個不同點處的切線互相重合，則稱該切線為函數

＞=/(無)的圖象的"自公切線"，稱這兩點為函數y=/(x)的圖象的一對"同切點”.

⑴分別判斷函數工(x)=sinx與啟x)=lnx的圖象是否存在"自公切線”，并說明理由；

(2)若aeR,求證：函數g(x)=tanx-x+a(xe(《q))有唯一零點且該函數的圖象不存在"自公切線"；

(3)設〃eN*」(x)=tanx-x+mi(xe(-H))的零點為七,,求證："存在se(2?t,+功，使得點(gsins)

與Csin。是函數y=sinx的圖象的一對，同切點，”的充要條件是"，是數列｛%｝中的項

4.(2024?上海?模擬預測)對于函數了=/(無)的導函數了=/'(x),若在其定義域內存在實數X。和/，使得

/(%)=廳(%)成立，則稱y=/(x)是“卓然”函數，并稱f是〉=/(力的"卓然值”.

⑴試分別判斷函數>=/+1，xeR和y=J,xe(O,+8)是不是"卓然"函數？并說明理由；

(2)若〃x)=sinx-"?是"卓然"函數，且"卓然值"為2,求實數優的取值范圍；

⑶證明：g(x)=e*+x(xeR)是"卓然"函數，并求出該函數"卓然值"的取值范圍.

限時提升練

(建議用時：60分鐘)

一、填空題

1.(22-23高三下?上海黃浦?開學考試)已知函數/(刈=2/(3八-72+向，則/(1)=.

2.(2023?上海普陀?模擬預測)函數y=sin2x+2sinx的最大值為.

3.(2023?上海嘉定三模)設函數J=/(x),xeR的導函數是/'(x),/(-x)+/(x)=x2,當x>0時，［(x)>x,

那么關于。的不等式〃2-°）-/伍）22-2°的解是.

4.（2023?上海?模擬預測）公園修建斜坡，假設斜坡起點在水平面上，斜坡與水平面的夾角為仇斜坡終點

距離水平面的垂直高度為4米，游客每走一米消耗的體能為（L025-cos。），要使游客從斜坡底走到斜坡頂

端所消耗的總體能最少，則。=.

5.（2023?上海青浦?一模）已知三個互不相同的實數。、b、c滿足a+b+c=l,a2+b2+c2=3,貝U。加的取

值范圍為.

6.（2023?上海普陀?一模）設函數/（力=溫-2/,若對任意e（0,1）,皆有lim小上工色上巴士&>0成

5。X-Xg

立，則實數。的取值范圍是.

7.（2023?上海嘉定?一模）對于函數/（無）=2前2工-Inx+lna,若對于任意的xe（0,+oo）,/（x）20恒成立，

求a的取值范圍__________.

8.（2024?上海閔行?二模）對于任意的％、x2eR,且%>。，不等式卜”-可+|111馬-切>。恒成立，則實數。的

取值范圍為.

12

9.（2024?上海?三模）已知函數/（x）=d+2x,若機>0,?>0,且〃2加=〃0）,則—+—的最

mn

小值是______

（27r7IT、

10.（23-24高三上■上海?期中）若函數/（x）=sin尤+OCOSX在[3■,李■）上是嚴格單調函數，則實數a的取值

范圍為.

11.（2023?上海徐匯?三模）設定義域為R的函數/（x）的導函數為/'（x）,對任意的xeR有

/（x）-/（-X）=2sinx恒成立，且/'3>COSX在（0,+8）上成立.若/]!■-/1-/（/）>cost-sin；,則實數/的取

值范圍為.

12.（2025?上海?模擬預測）如圖所示，尸是一處觀景臺，A、8分別為觀景區域的邊界，未教星工程隊計劃

修建MO與NO兩條道路.已知尸與。的距離為1km,且N40P=2NBOP,為了便于工程隊測量觀景臺的觀

景效果，現給出如下假設：假設1：觀景臺的觀景范圍為四邊形/心。；假設2：觀景臺尸、道路M9與NO

均處于同一平面內，其中0<NM9N<7t；假設3:PA1MO,尸3_LN0.當四邊形4PBO的面積為最大值時，

則AMON=.（結果精確至0.01。）

二、單選題

13.（2024?上海?三模）正方形區域。由9塊單位正方形區域拼成，記正中間的單位正方形區域為D對于O

邊界上的一點尸，若點0在。中且線段尸0與。有公共點，則稱。是尸的"盲點"，將尸的所有“盲點"組成

的區域。「稱為P所對的"盲區對于。邊界上的一點若在。邊界上含M在內一共有七個點所對的“盲

區”面積與相同，就稱M是皖級點"；若在。邊界上有無數個點所對的“盲區”面積與。材相同，就稱M

是一個“極點對于命題：①。邊界正方形的頂點是"4級點”；②。邊界上存在"極點說法正確的是（）

□r□

□E□

□L_□

A.①和②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①和②都是假命題

14.（2024?上海?三模）在區間/上,/'（無）＞0是函數y=/（x）在該區間嚴格增的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

15.（2023?上海嘉定?一模）已知f（x）=sinx+hix,定義極值點數列：將該函數的極值點從小到大排列得到

的數列，對于任意的正整數〃，判斷以下兩個命題：（）

甲：此數列中每一項都在（2hi+〃兀,2左兀+〃兀+兀），左eZ中.

乙：令極值點數列為｛%｝,則-三一2/7兀-1|｝為遞減數列.

A.甲正確，乙正確B.甲正