PAGE1（北師大版）七年級下冊數學《第2章相交線與平行線》專題平行線的性質與判定的綜合運用（基礎題&提升題&壓軸題）一、基礎題1．（2024秋?武功縣期末）如圖，在三角形ABC中，點D，E，F分別在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，還需要添加條件（）A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2【分析】根據平行線的性質，兩直線平行同位角相等，得出∠1＝∠B，再根據平行線的判定定理，找出符合要求的答案．【解答】解：A、∵∠B＝∠1，可由EF∥AB得出，不用添加，不能得出EF∥AB，故此選項不符合題意；B、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠1＝∠3，則∠B＝∠3，還是不能得出EF∥AB，故此選項不符合題意；C、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠3，則∠1＝∠3，還是不能得出EF∥AB，故此選項不符合題意；D、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠2，則∠1＝∠2，∴DF∥BC，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．2．（2024秋?丹東期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，則有BC∥AE【分析】根據平行線的判定和性質一一判斷即可【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A錯誤．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正確，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C錯誤，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D錯誤．故選：B．【點評】本題考查平行線的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．3．（2024秋?蓮池區期末）我市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，當∠MAC為（）度時，AM∥BE．A．15 B．65 C．70 D．115【分析】根據已知易得：AB∥CD，然后利用平行線的性質可得∠BCD＝∠ABC＝60°，再利用三角形內角和定理可得∠ACB＝70°，最后根據內錯角相等，兩直線平行可得當∠MAC＝∠ACB＝70°時，AM∥BE，即可解答．【解答】解：∵AB∥l，CD∥l，∴AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝60°，∵∠BAC＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，∴當∠MAC＝∠ACB＝70°時，AM∥BE，故選：C．【點評】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．4．①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D＝90°；④∠DBF＝60°．其中正確的個數是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】由BC⊥BD得到∠CBE+∠DBE＝90°，∠BCD+∠D＝90°，則可對③進行判斷；再由平行線的性質得∠D＝∠DBF，由角平分線定義得∠DBF＝∠DBE，則∠CBE＝∠BCE，而∠ABC＝∠BCE，所以∠ABC＝∠CBE，則可對①進行判斷；接著由BC平分∠ACD得到∠ACB＝∠BCE，所以∠ACB＝∠CBE，根據平行線的判定即可得到AC∥BE，于是可對②進行判斷；當∠DBF＝2∠ABC，3∠ABC＝90°，∠ABC＝30°，∠DBF＝60°，利用平行線的性質得到∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，又因為∠D＝∠DBE＝∠DBF，∠D≠∠BED，于是可得∠DBF≠2∠ABC，當則可對④進行判斷．【解答】解：∵BC⊥BD，∴∠CBD＝90°，即∠CBE+∠DBE＝90°，∴∠BCD+∠D＝90°，所以③正確；∵AF∥CD，∴∠D＝∠DBF，∵BD平分∠EBF，∴∠DBF＝∠DBE，∴∠CBE＝∠BCE，∵AB∥CE∴∠ABC＝∠BCE，∴∠ABC＝∠CBE，∴BC平分∠ABE，所以①正確；∵BC平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCE，∴∠ACB＝∠CBE，∴AC∥BE，所以②正確；當∠DBF＝2∠ABC時，3∠ABC＝90°，∴∠ABC＝30°，∴∠DBF＝60°，∵∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，而∠D＝∠DBE＝∠DBF，∠D≠∠BED，∴∠DBF≠2∠ABC，∴∠DBF≠60°．故④錯誤．故正確的結論有3個．故選：B．【點評】本題考查了平行線的判定與性質：平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系．應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．5．（2024秋?玉門市期末）如圖，AB∥CD∥EF，則下列各式中正確的是（）A．∠1＝180°﹣∠3 B．∠1＝∠3﹣∠2 C．∠2+∠3＝180°﹣∠1 D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根據平行線的性質可得到∠2+∠BDC＝180°，∠BDC+∠1＝∠3，從而可找到∠1、∠2、∠3之間的關系．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2+∠BDC＝180°，即∠BDC＝180°﹣∠2，∵EF∥CD，∴∠BDC+∠1＝∠3，即∠BDC＝∠3﹣∠1，∴180°﹣∠2＝∠3﹣∠1，即∠2+∠3＝180°+∠1，故選：D．【點評】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的性質和判定是解題的關鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內錯角相等，③兩直線平行?同旁內角互補．6．（2024春?泰山區期中）如圖，AF與BD相交于點C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．判斷直線AB、CE是否平行？并說明理由．【分析】根據角平分線的定義結合對頂角得到∠ECD＝∠ACB，則可證明∠B＝∠ECD，根據平行線的判定即可證明AB∥CE．【解答】解：AB∥CE，理由如下：因為CD平分∠ECF，所以∠ECD＝∠FCD．因為∠ACB＝∠FCD，所以∠ECD＝∠ACB．因為∠B＝∠ACB，所以∠B＝∠ECD．所以AB∥CE．【點評】本題考查了平行線的判定，掌握“同位角相等，兩直線平行”是解題的關鍵．7．（2024秋?德城區校級月考）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于F．求證：BE∥DF．【分析】根據四邊形內角和定理及角平分線定義求出∠EBC+∠FDC＝90°，結合直角三角形的性質推出∠EBC＝∠DFC，根據“同位角相等，兩直線平行”即可得解．【解答】證明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠EBC=12∠ABC，∠FDC=1∴∠EBC+∠FDC=12（∠ABC+∠∵∠C＝90°，∴∠FDC+∠DFC＝90°，∴∠DFC＝∠EBC，∴BE∥DF．【點評】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關鍵．8．（2024秋?輝縣市校級期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，試說明：BE∥CF．【分析】按照所給的證明思路，利用平行線的判定與性質定理即可解答．【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），∴AE∥BC（內錯角相等，兩直線平行），∴∠EDC＝∠5（兩直線平行，內錯角相等），∵∠5＝∠A（已知），∴∠EDC＝∠A（等量代換），∴DC∥AB（同位角相等，兩直線平行），∴∠5+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），即∠5+∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠2（已知），∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代換），即∠BCF+∠3＝180°，∴BE∥CF（同旁內角互補，兩直線平行）．【點評】此題主要考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解答此題的關鍵．9．（2024春?平羅縣期末）如圖，∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°．（1）若∠2＝125°，求∠C的度數；（2）若∠1和∠D互余，你能試著判斷AB∥CD嗎？【分析】（1）根據平行線的判定得出CF∥EB，再根據平行線的性質得出∠C+∠2＝180°，據此計算即可得出答案；（2）先根據∠1＝∠B，余角的性質得出∠BFD＝∠D，推出∠BFD＝∠D，即可證明結論．【解答】（1）解：∵∠1＝∠B，∴CF∥EB，∴∠C+∠2＝180°，又∵∠2＝125°，∴∠C＝55°；（2）證明：∵∠1＝∠B，∠B+∠BFD＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，又∵∠1和∠D互余，即∠1+∠D＝90°，∴∠BFD＝∠D，∴AB∥CD．【點評】本題主要考查了平行線的判定和性質，余角的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定和性質．10．（2024秋?太康縣期末）如圖，△ABC中，D是AC上一點，過D作DE∥BC交AB于E點，F是BC上一點，連接DF．若∠1＝∠AED．（1）求證：DF∥AB．（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度數．【分析】（1）根據DE∥BC，得出∠AED＝∠B，又因為∠1＝∠AED，等量代換得∠B＝∠1，最后根據同位角相等，兩直線平行即可證明；（2）根據DE∥BC，得出∠EDF＝∠1＝50°，再根據DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝50°，最后在△CDF中利用三角形內角和等于180°即可求解．【解答】解：（1）證明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B，又∵∠1＝∠AED，∴∠B＝∠1，∴DF∥AB；（2）∵DE∥BC，∴∠EDF＝∠1＝50°，∵DF平分∠CDE，∴∠CDF＝∠EDF＝50°，在△CDF中，∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°．答：∠C的度數為80°．【點評】本題考查了平行線的性質和判定，解題的關鍵是掌握題中各角之間的位置關系和數量關系．11．（2024春?臨川區校級月考）如圖，已知點E在BD上，EA平分∠BEF，EC平分∠DEF．（1）試說明：AE⊥CE；（2）若∠1＝∠A，∠2＝∠C，試說明：AB∥CD．【分析】（1）根據垂直的定義，角平分線的定義解答即可；（2）根據平行線的判定解答即可．【解答】證明：（1）∵EA平分∠BEF且EC平分∠DEF，∴∠1=12∠BEF，∠2∵∠BEF+∠DEF＝180°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥CE；（2）∵∠1＝∠A，∠2＝∠C，∴∠1+∠A+∠2+∠C＝2（∠1+∠2）＝180°，∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠2）＝360°﹣2（∠1+∠2）＝180°，∴AB∥CD．【點評】此題考查平行線的判定和角平分線的定義，關鍵是根據平行線的判定定理解答．提升題1．（2024秋?北碚區校級期末）如圖，直線MN分別交直線AB，CD于點E，F，AB∥CD，EP與FP交于點P，且∠FEP＝2∠BEP，∠EFP＝3∠DFP，∠BEP＝40°，則∠P＝．【分析】由∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，得到∠FEP＝80°，∠BEF＝120°，由平行線的性質推出∠EFD+∠BEF＝180°，得到∠EFD＝60°，求出∠EFP=34×【解答】解：∵∠FEP＝2∠BEP，∠BEP＝40°，∴∠FEP＝80°，∠BEF＝3∠BEP＝120°，∵AB∥CD，∴∠EFD+∠BEF＝180°，∴∠EFD＝60°，∵∠EFP＝3∠DFP，∴∠EFP=3∴∠P＝180°﹣45°﹣80°＝55°．故答案為：55°．【點評】本題考查平行線的性質，關鍵是由平行線的性質推∠EFD+∠BEF＝180°．2．（2024秋?黔江區期末）將一副三角板如圖放置，則下列結論中正確的是（）①如果∠2＝30°，則有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，則有∠2＝45°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C．A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【分析】根據平行線的性質與判定，余角的性質，等逐項分析并選擇正確的選項即可．【解答】解：①∵∠2＝30°，∴∠1＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正確；②∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝∠2+∠1+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正確；③∵BC∥AD，∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°，又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°，∴∠3＝45°，∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③正確；④∵∠CAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠1＝∠CAD﹣∠DAE＝150°﹣90°＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，∴∠4＝∠C，故④正確；故選：D．【點評】本題考查三角板中的角度計算，平行線的性質與判定，能夠掌握數形結合思想是解決本題的關鍵．3．（2024秋?丹徒區期末）為了保護眼睛，小明將臺燈更換為護眼臺燈（圖①），其側面示意圖（臺燈底座高度忽略不計）如圖②所示，其中BC⊥AB，ED∥AB．經使用發現，當∠DCB＝140°時，臺燈光線最佳，此時∠EDC的大小為．【分析】過C作CF∥AB，得到CF∥DE∥AB，根據平行線的性質和角的和差關系即可得出結果．【解答】解：∵BC⊥AB，∴∠B＝90°，過點C作CF∥AB，∵DE∥AB，∴CF∥DE∥AB，∴∠EDC＝180°﹣∠DCF，∠BCF＝180°﹣∠B＝180°﹣90°＝90°，∵∠DCF＝∠DCB﹣BCF＝140°﹣90°＝50°，∴∠EDC＝180°﹣50°＝130°．故答案為：130°．【點評】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是過C作CF∥AB，得到CF∥ED，由平行線的性質來解決問題．4．（2024秋?淮陽區校級期末）一副直角三角尺按如圖1所示的方式疊放，現將含45°角的三角尺ADE固定不動，將含30°角的三角尺ABC繞頂點A順時針轉動至圖2的位置．在此轉動過程中，若BC與三角尺ADE的一直角邊平行，則∠CAE的度數為．【分析】如圖，當BC∥DE時，當AD∥BC時，根據平行線的性質即可得到結論．【解答】解：如圖，當BC∥DE時，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如圖，當AD∥BC時，∠CAE＝45°+60°＝105°；綜上所述，若BC與三角尺ADE的一直角邊平行，則∠CAE的度數為15°或105°，故答案為：15°或105°．【點評】本題考查的是平行線的判定與性質，根據題意畫出圖形，利用平行線的性質及直角三角板的性質求解是解答此題的關鍵．5．求證：（1）∠1+∠2＝90°；（2）BE∥DF．【分析】（1）根據四邊形的內角和，可得∠ABC+∠ADC＝180°，然后，根據角平分線的性質，即可得出；（2）由互余可得∠1＝∠DFC，根據平行線的判定，即可得出．【解答】證明：（1）∵BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線，∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴2（∠1+∠2）＝180°，∴∠1+∠2＝90°；（2）在△FCD中，∵∠C＝90°，∴∠DFC+∠2＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠DFC，∴BE∥DF．【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質，關鍵是掌握四邊形內角和為360度，同位角相等，兩直線平行．6．（2024春?盧龍縣期末）如圖，∠A＝59°，∠D＝121°，∠1＝3∠2，∠2＝24°，點P是BC上的一點．（1）求∠DFE的度數；（2）若∠BFP＝48°，請判斷CE與PF是否平行．【分析】（1）根據同位角、內錯角以及同旁內角的定義，即可得出結論；（2）根據平行線的判定定理即可得到結論．【解答】解：（1）∵∠A＝59°，∠D＝121°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠DFE＝∠1，∵∠1＝3∠2，∠2＝24°，∴∠DFE＝72°；（2）CE∥PF，理由：∵∠DFE＝72°，∴∠BFC＝72°，∵∠BFP＝48°，∴∠PFC＝72°﹣48°＝24°，∵∠2＝24°，∴∠PFC＝∠2，∴CE∥PF．【點評】本題考查了平行線的判定與性質、同位角、內錯角以及同旁內角，解題的關鍵是：（1）能夠找出一個角的同位角、內錯角以及同旁內角；（2）得出AB∥CD；（3）熟悉各平行線的判定定理．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據相等（或互補）的角證出兩直線平行是關鍵．7．（2024春?濱海縣月考）已知：如圖所示，∠ABD和∠BDC的平分線交于點E，BE交CD于點F，∠BED＝90°（1）AB與CD平行嗎？試說明理由．（2）試探究∠EFD與∠BDE的數量關系，并說明理由．【分析】（1）已知BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠FBD+∠BDE＝90°，可得∠ABD+∠BDC＝180°，根據同旁內角互補，可得兩直線平行．（2）已知∠BED＝90°，那么∠EFD+∠FDE＝90°，將等角代換，即可得出∠EFD與∠BDE的數量關系．【解答】解：（1）AB與CD平行，理由如下：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠FBD=12∠ABD，∠BDE=1∵∠BED＝90°∴∠FBD+∠BDE＝90°，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∴AB∥CD；（同旁內角互補，兩直線平行）（2）∠EFD+∠BDE＝90°，理由如下：∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠FDE；∴∠BED＝90°＝∠DEF，∴∠EFD+∠FDE＝90°，∴∠EFD+∠BDE＝90°．【點評】此題主要考查了平行線的判定，平行線的判定定理是解題的關鍵，難度不大．8．（2024秋?達川區期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BE交AC于點E，過點E作DE∥BC交AB于點D，過點D作DF∥BE交AC于點F．（1）求證：DF是∠ADE的平分線；（2）若∠BED＝28°，若∠ACB＝81°，求∠AFD的度數．【分析】（1）利用角平分線的定義可得∠ABE＝∠CBE，再利用平行線的性質可得∠DEB＝∠CBE，從而可得∠DEB＝∠ABE，然后再利用平行線的性質可得∠ADF＝∠ABE，∠EDF＝∠DEB，從而利用等量代換可得∠ADF＝∠EDF，即可解答；（2）利用平行線的性質可得∠AED＝∠ACB＝81°，然后利用平行線的性質可得∠EDF＝∠BED＝28°，再利用三角形的外角性質可得∠AFD＝∠FDE+∠DEF＝109°，進行計算即可解答．【解答】（1）證明：∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠DEB＝∠ABE，∵DF∥BE，∴∠ADF＝∠ABE，∠EDF＝∠DEB，∴∠ADF＝∠EDF，∴DF是∠ADE的平分線；（2）解：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝81°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠BED＝28°，∵∠AFD是△DFE的一個外角，∴∠AFD＝∠FDE+∠DEF＝28°+81°＝109°，∴∠AFD的度數為109°．【點評】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，熟練掌握利用角平分線的定義，以及平行線的性質是解題的關鍵．9．（2024春?長安區校級期中）如圖，直線EF與直線AB，CD分別相交于點M，O，OP，OQ分別平分∠COE和∠DOE，與AB交于點P，Q，已知∠OPQ+∠DOQ＝90°．（1）若∠DOQ：∠DOF＝2：5，求∠FOQ的度數；（2）對AB∥CD說明理由．【分析】（1）由OQ分別平分∠DOE，得到∠EOQ＝∠DOQ，又∠DOQ：∠DOF＝2：5，推出∠EOQ=22+2+5×180°＝40°，即可求出∠FOQ（2）由角平分線定義推出∠POQ=12∠COD=12×180°＝90°，得到∠PQO+∠OPQ＝90°，又∠OPQ+∠DOQ＝90°，得到∠PQO＝∠DOQ【解答】解：（1）∵OQ分別平分∠DOE，∴∠EOQ＝∠DOQ，∵∠DOQ：∠DOF＝2：5，∴∠EOQ：∠DOQ：∠DOF＝2：2：5，∵∠EOQ+∠DOQ+∠DOF＝180°，∴∠EOQ=2∴∠FOQ＝180°﹣∠EOQ＝140°；（2）∵OP，OQ分別平分∠COE和∠DOE，∴∠POM=12∠COM，∠QOM=1∴∠POM+∠QOM=12（∠COM+∠∴∠POQ=12∠COD∴∠PQO+∠OPQ＝90°，∵∠OPQ+∠DOQ＝90°，∴∠PQO＝∠DOQ，∴AB∥CD．【點評】本題考查平行線的判定，角平分線定義，關鍵是掌握平行線的判定方法；由角平分線定義，推出∠POQ=12∠COD10．（2024秋?青山區期末）如圖，已知點E、F在直線AB上，點G在線段CD上，ED與FG交于點H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）求證：CE∥GF；（2）試判斷∠AED與∠D之間的數量關系，并說明理由；（3）若∠EHF＝100°，∠D＝30°，求∠AEM的度數．【分析】（1）根據同位角相等兩直線平行，可證CE∥GF；（2）根據平行線的性質可得∠C＝∠FGD，根據等量關系可得∠FGD＝∠EFG，根據內錯角相等，兩直線平行可得AB∥CD，再根據平行線的性質可得∠AED與∠D之間的數量關系；（3）根據對頂角相等可求∠DHG，根據三角形外角的性質可求∠CGF，根據平行線的性質可得∠C，∠AEC，再根據平角的定義可求∠AEM的度數．【解答】（1）證明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF；（2）解：∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D＝180°；（3）∵∠DHG＝∠EHF＝100°，∠D＝30°，∴∠CGF＝100°+30°＝130°，∵CE∥GF，∴∠C＝180°﹣130°＝50°，∵AB∥CD，∴∠AEC＝50°，∴∠AEM＝180°﹣50°＝130°．【點評】考查了平行線的判定和性質，三角形外角的性質，平角的定義，平行線的性質有：同位角相等兩直線平行；內錯角相等兩直線平行；同旁內角互補兩直線平行；平行線的性質有：兩直線平行同位角相等；兩直線平行內錯角相等；兩直線平行同旁內角互補．11．（2024春?雙流區校級月考）如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．（1）填空：∠1＝°，∠2＝°；（2）如圖2，現把三角板繞B點逆時針旋轉n°，當0＜n＜90，且點C恰好落在DG邊上時，若∠2恰好是∠1的32倍，求n（3）如圖1三角板ABC的放置，現將射線BF繞點B以每秒2°的轉速逆時針旋轉得到射線BM，同時射線QA繞點Q以每秒3°的轉速順時針旋轉得到射線QN，當射線QN旋轉至第一次與QB重合時，則射線BM、QN均停止轉動，設旋轉時間為t（s）．在旋轉過程中，是否存在BM∥QN；若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據鄰補角的定義和平行線的性質解答；（2）根據∠2恰好是∠1的32（3）分兩種情況，根據∠AQN＝∠ABM畫出圖形，列方程可解得答案．【解答】解：（1）∵DG∥EF，∴∠AQG＝∠ABC＝60°，∠2＝∠ACF＝90°，∴∠1＝180°﹣60°＝120°；故答案為：120，90；（2）∵∠2恰好是∠1的32∴90+n=3解得n＝36，∴n的值是36；（3）存在BM∥NQ，理由如下：如圖：則∠FBM＝（2t）°，∠AQN＝（3t）°，∵BM∥NQ，∴∠AQN＝∠ABM＝∠ABF﹣∠FBM，∴3t＝60﹣2t，解得t＝12；如圖：∵BM∥NQ，∴∠ABM＝∠BQN，∴2t﹣60＝180﹣3t，解得t＝48，綜上所述，t的值為12或48．【點評】本題考查平行線的性質及應用，解題的關鍵是掌握平行線的性質定理并能熟練應用．三、壓軸題1．（2024秋?朝陽區校級期末）如圖，直線EF上有兩點A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝100°，CD與AB在直線EF異側．若∠DCF＝60°，射線AB、CD分別繞A點，C點以1度/秒和6度/秒的速度同時順時針轉動，設時間為t秒，在射線CD轉動一周的時間內，當時間t的值為時，CD與AB平行．【分析】分①AB與CD在EF的兩側，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據內錯角相等兩直線平行，列式計算即可得解；②CD旋轉到與AB都在EF的右側，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解；③CD旋轉到與AB都在EF的左側，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解．【解答】解：分三種情況：如圖①，AB與CD在EF的兩側時，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，要使AB∥CD，則∠ACD＝∠BAF，即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°，解得t＝4；此時（180°﹣60°）÷6＝20，∴0＜t＜20；②CD旋轉到與AB都在EF的右側時，∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°，解得t＝40，此時（360°﹣60°）÷6＝50，∴20＜t＜50；③CD旋轉到與AB都在EF的左側時，∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°，要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°，解得t＝40，此時t＞50，∵40＜50，∴此情況不存在．綜上所述，當時間t的值為4秒或40秒時，CD與AB平行．故答案為：4秒或40秒．【點評】本題考查了平行線的判定，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法是解題的關鍵，要注意分情況討論．2．（2024秋?徐州校級期末）如圖，AB∥CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，DQ，BQ分別平分∠GDE和∠HBE，則∠DFB，∠【分析】根據拐角∠F和∠Q的特性，作FT∥CD，QK∥AB，根據兩直線平行內錯角相等分別推出四個角∠DFT，∠TFB，∠DQK，∠KQB對應的相等角，再根據平角的定義和角平分線的定義推出∠DFB，∠DBQ兩者的數量關系．【解答】解：過點F作FT∥CD，過點Q作QK∥AB∵AB∥CD，∴CD∥FT∥QK∥AB，∴∠DFT＝∠CDF，∠TFB＝∠ABF，∠DQK＝∠GDQ，∠KQB＝∠QBH，∴∠DFB＝∠DFT+∠TFB＝∠CDF+∠ABF∠DQB＝∠DQK+∠KQB＝∠GDQ+∠QBH，∵∠ABF=2∴∠DFB=∠CDF+∠ABF=2∴32∵DQ，BQ分別平分∠GDE和∠HBE，∴∠DQB=∠GDQ+∠QBH=1∵∠GDE+∠CDE＝180°，∠HBE+∠ABE＝180°，∴∠DQB=1∴∠DQB=180°?12(∠CDE+∠ABE)∴∠DQB+3故答案為：∠DQB+3【點評】本題考查了平行線的性質，涉及到的是知識點有內錯角和角平分線的定義，解題過程中是否能熟練掌握兩直線平行，內錯角相等是解題重點，能否畫對輔助線是解題的關鍵．3．（2024秋?城關區校級期末）將一副直角三角板如圖1擺放在直線MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不動，將三角板ABC繞點C以每秒5°的速度順時針旋轉，旋轉時間為t秒，當AC與射線CN重合時停止旋轉．在旋轉過程中，當三角板ABC的AB邊平行于三角板EDC的某一邊時（不包含重合的情形），此時t的值為．【分析】分情況討論：當AB∥DE時；當AB∥CE時；當AB∥CD時；結合圖形求出∠ACE的度數，即可求出t的值．【解答】解：如圖1，當AB∥DE時，此時BC與CD重合，∴∠ACE＝30°+45°＝75°，∴t＝75°÷5°＝15（s）；如圖2，當AB∥CE時，∴∠BCE＝∠B＝90°，∴∠ACE＝90°+45°＝135°，∴t＝135°÷5°＝27（s）；如圖3，當AB∥CD時，∴∠BCD＝∠B＝90°，∴∠ACE＝90°+30°+45°＝165°，∴t＝165°÷5°＝33（s）；綜上，t＝15或27或33，故答案為：15或27或33．【點評】本題考查了平行線的性質，旋轉的性質，關鍵在于數形結合，分類討論．4．如圖，已知AB∥CD，P是射線AB上一動點（不與點A重合），CE，CF分別平分∠ACP與∠PCD，分別交射線AB于點E，F．（1）若∠A＝52°，求∠ECF的度數；（2）在點P的運動過程中，∠CPA與∠CFA的數量關系是否隨之發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出∠CPA與∠CFA的數量關系；（3）當點P運動到使∠AEC＝∠ACF時，探究∠ACE與∠FCD的數量關系，并證明你的結論．【分析】（1）根據AB∥CD，可得∠A+∠ACD＝180°，從而得到∠ACD＝128°，再由角平分結的定義，可得∠ECF=1（2）根據AB∥CD，可得∠CPA＝∠PCD，∠CFA＝∠FCD，再由∠FCD=∠PCF=12∠PCD，可得∠PCD（3）根據AB∥CD，可得∠AEC＝∠ECD，再由∠AEC＝∠ACF，可得∠ACE＝∠FCD，即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，又∠A＝52°，∴∠ACD＝128°，∵CE，CF分別平分∠ACP與∠PCD，∴∠ECP=12∠ACP∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=1（2）在點P的運動過程中，∠CPA與∠CFA的數量關系不隨之發生變化，∠CPA＝2∠CFA．理由如下：∵AB∥CD，∴∠CPA＝∠PCD，∠CFA＝∠FCD，又∵∠FCD=∠PCF=1∴∠PCD＝2∠FCD，∴∠BPA＝2∠BDA；（3）∠ACE＝∠FCD．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∵∠AEC＝∠ACF，∴∠ECD＝∠ACF，即∠ACE+∠ECF＝∠FCD+∠ECF，∴∠ACE＝∠FCD．【點評】本題主要考查了平行線的性質，有關角平分線的計算，熟練掌握平行線的性質定理是解題的關鍵．5．（2024秋?沙坪壩區校級期末）已知，四邊形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°．（1）如圖1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的鄰補角，判斷DF與BE的位置關系；（2）如圖2，若BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC的鄰補角，判斷DF與BE的位置關系．【分析】（1）由題意可知∠ADC＝∠NBC，在△BOG和△COD中，利用三角形內角和求出∠BGO＝∠DCO＝90°即可得結論；（2）再由角平分線的定義可得∠DHF=12∠ADM＝90°，再由（1）可得BE∥【解答】解：（1）∵四邊形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠NBC＝180°，∴∠ADC＝∠NBC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADO＝∠CDO，∵BE平分∠ABC的鄰補角，∴∠OBE＝∠NBE，∴∠OBE＝CDO，∵∠DOC＝∠BOE，∴∠DCO＝∠OGB，∵∠DCB＝90°，∴∠BGO＝90°，∴DF⊥BE；（2）過點D作DH平分∠ADC交BE于點H，由（1）可知，DH⊥BE，∵DF平分∠MDC，∴∠MDF＝∠CDF，∵BH平分∠ADC，∴∠DHF=12∠∴DH⊥BE，∵DH⊥DF，∴BE∥DF．【點評】本題考查角平分線的性質，熟練掌握角平分線的定義，四邊形的內角和定理是解題的關鍵．6．（2024秋?雙流區期末）已知：AB∥CD，直線EF交AB于點E，交CD于點F，點P是線段EF上一點，M，N分別在射線EB，FD上，連接PM，PN．（1）如圖1，求證：∠MPN＝∠EMP+∠FNP；（2）如圖2，當MP⊥NP時，MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，求∠MQN的度數．【分析】（1）過點P作PH∥AB，證明AB∥PH∥CD得∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP，∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP，由此即可得出結論；（2）根據角平分線的定義設設∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β，則∠EMP＝2α，∠DNP＝2β，進而得∠FNP＝180°﹣2β，∠FNQ＝180°﹣β，然后根據（1）的結論得∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ，由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得β﹣α＝45°，由∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ即可得出答案．【解答】（1）證明：過點P作PH∥AB，如圖所示：∵AB∥CD，∴AB∥PH∥CD，∴∠MPH＝∠EMP，∠NPH＝∠FNP，∴∠MPH+∠NPH＝∠EMP+∠FNP，即∠MPN＝∠EMP+∠FNP；（2）∵MQ平分∠EMP，NQ平分∠DNP，∴設∠EMQ＝∠PMQ＝α，∠DNQ＝∠PNQ＝β，∴∠EMP＝2α，∠DNP＝2β，∴∠FNP＝180°﹣∠DNP＝180°﹣2β，∴∠FNQ＝∠FNP+∠PNQ＝180°﹣2β+β＝180°﹣β，∵MP⊥NP，∴∠MPN＝90°，由（1）的結論得：∠MPN＝∠EMP+∠FNP，∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ，由∠MPN＝∠EMP+∠FNP，得：90°＝2α+180°﹣2β，∴β﹣α＝45°，∴∠NQM＝∠EMQ+∠FNQ＝α+180°﹣β＝180°﹣（β﹣α）＝135°．【點評】此題主要考查了平行線的性質，理解垂直的定義，熟練掌握平行線的性質是解決問題的關鍵．7．（2024春?翁源縣期末）將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起（如圖①），其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，設∠ACE＝x．（1）填空：∠BCE＝，∠ACD＝；（用含x的代數式表示）（2）若∠BCD＝5∠ACE，求∠ACE的度數；（3）若三角板ABC不動，三角板DCE繞頂點C轉動一周，當∠BCE等于度時，CD∥AB，請說明理由．【分析】（1）根據題意直接得出即可；（2）先得出∠BCD＝180°﹣x，再根據∠BCD＝5∠ACE解得x的值即可；（3）分情況討論求值即可．【解答】解：（1）由題知，∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣x，∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣x，故答案為：90°﹣x，90°﹣x；（2）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∴∠BCD＝90°+（90°﹣x）＝180°﹣x，∵∠BCD＝5∠ACE，∴180°﹣x＝5x，解得x＝30°，即∠ACE＝30°；（3）若CD∥AB分以下兩種情況：①如圖①，此時∠BCD+∠B＝180°，∵∠B＝60°，∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°+∠BCE，∴（90°+∠BCE）+60°＝180°，∴∠BCE＝30°；②如圖②所示，此時∠BCD＝∠B＝60°，∵∠DCE＝90°，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BCE＝90°+60°＝150°，綜上，當∠BCE等于30或150度時，CD∥AB．故答案為：30或150．【點評】本題主要考查平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．8．【問題情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于點G．【問題探究】（1）如圖1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，試判斷EF與CD的位置關系，并說明理由；【問題解決】（2）如圖2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，當AB∥CD時，求∠NCE的度數；【問題拓展】（3）如圖2，若AB∥CD，試說明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG．【分析】（1）根據平行線的判定得AB∥EF，再根據平行線的性質、角平分線定義及角的和差計算可得角相等，最后根據內錯角相等判定兩條直線平行；（2）根據平行線的判定和性質得∠FEA的度數，再運用角平分線定義計算求得∠GEC的度數，進一步求得∠FEC的度數，最后根據平行線的判定得EF∥CD，即可得出結論；（3）分析思路同（2），只是把具體角的度數抽象為字母表示，通過列方程即可得出三者之間的關系．【解答】（1）解：EF∥CD，理由如下：∵∠1＝∠2，∴AB∥EF，∴∠AEF＝∠MAE，∵∠MAE＝45°，∠FEG＝15°∴∠AEG＝60°，∵EG平分∠AEC，∴∠CEG＝∠AEG＝60°，∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°，∠NCE＝75°，∴∠NCE＝∠CEF，∴EF∥CD．（2）解：∵∠1＝∠2，∴AB∥EF，∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°，∴∠FEA＝40°，∠FEG＝30°，∴∠AEG＝70°，∵EG平分∠AEC，∴∠CEG＝∠AEG＝70°，∴∠FEC＝100°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠NCE+∠FEC＝180°，∴∠NCE＝80°．（3）證明：∵∠1＝∠2，∴AB∥EF，∴∠MAE+∠FEA＝180°，∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG，∵EG平分∠AEC，∴∠GEC＝∠AEG，∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG，∵AB∥CD，AB∥EF，∴EF∥CD，∴∠FEC+∠NCE＝180°，∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°，∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE，即∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG．【點評】本題考查了平行線的性質與判定，解題的關鍵掌握平行線的性質與判定．9．（10分）（2024春?望奎縣期末）三角形ABC中，D是AB上一點，DE∥BC交AC于點E，點F是線段DE延長線上一點，連接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．（1）如圖1，求證：CF∥AB；（2）如圖2，連接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度數；（3）如圖3，在（2）的條件下，點G是線段FC延長線上一點，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度數．【分析】（1）根據平行線的判定與性質即可完成證明；（2）如圖2，過點E作EK∥AB，可得CF∥AB∥EK，再根據平行線的性質即可得結論；（3）根據∠EBC：∠ECB＝7：13，可以設∠EBC＝7x°，則∠ECB＝13x°，然后根據∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，13x+7x+100＝180，求出x的值，進而可得結果．【解答】（1）證明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠BCF+∠ADE＝180°．∴∠BCF+∠B＝180°．∴CF∥AB；（2）解：如圖2，過點E作EK∥AB，∴∠BEK＝∠ABE＝40°，∵CF∥AB，∴CF∥EK，∴∠CEK＝∠ACF＝60°，∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；（3）∵BE平分∠ABG，∴∠EBG＝∠ABE＝40°，∵∠EBC：∠ECB＝7：13，∴設∠EBC＝7x°，則∠ECB＝13x°，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，∴13x+7x+100＝180，解得x＝4，∴∠EBC＝7x°＝28°，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．【點評】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質．10．（2024秋?崇川區期末）如圖1，點E在BC的延長線上，已知AD∥BE，∠B＝∠D．（1）求證：AB∥CD；（2）連接AE，∠BAE的平分線和∠DCE的平分線所在的直線相交于點F（點F與點C不重合）．①如圖2，若∠BAE＝66°，∠DCE＝70°，且點F在∠DCE平分線的反向延長線上，則∠AFC＝°；②試探究∠DAE與∠AFC之間的數量關系，并說明理由．【分析】（1）先由AD∥BE得∠D＝∠DCE，再根據∠B＝∠D，由此可得∠B＝∠DCE，據此根據平行線的判定可得出結論；（2）①過點F作FM∥AB，延長FC交AE于H，先根據角平分線的定義求出∠BAF＝33°，∠DCH＝35°，再證AB∥FM∥CD，進而得∠AFM＝∠BAF＝33°，∠CFM＝∠DCH35°，然后∠AFC＝∠AFM+∠CFM可得出∠AFC的度數；②過點F作FN∥AB，延長FC交AE于P，設∠BAF＝α，∠DCP＝β，由角平分線的定義得∠EAF＝∠BAF＝α，∠BAE＝2α，∠DCE＝2∠PCE＝2β，由AB∥CD得∠B＝∠DCE＝2β，由AD∥BE得∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣2β，據此可得∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝180°﹣2（α+β），然后證FN∥AB∥CD，則∠AFN＝∠BAF＝α，∠CFN＝∠DCP＝β，由此得∠AFC＝∠AFN+∠CFN＝α+β，據此即可得出∠DAE與∠AFC之間的數量關系．【解答】（1）證明：如圖1所示：∵AD∥BE，∴∠D＝∠DCE，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD；（2）①過點F作FM∥AB，延長FC交AE于H，如圖2所示：∵∠BAE＝66°，AF平分∠BAE，∴∠BAF=12∠∵∠DCE＝70°，點F在∠DCE平分線的反向延長線上，∴C