2025年九年級中考數(shù)學(xué)三輪沖刺二次函數(shù)與面積的綜合訓(xùn)練

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=/+b尤+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)、B

(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)b=

(2)若點(diǎn)。在該二次函數(shù)的圖象上，且右43。=25”8。求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)尸是該二次函數(shù)圖象上位于X軸上方的一點(diǎn)，且SzsAPC=S"P8,直接寫出點(diǎn)尸

的坐標(biāo).

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：y=a/+bx+c交x軸于A(-1,0),B(3,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-1).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)。為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接過點(diǎn)B作8E，。。，垂足為E,

若BE=2OE,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)M為第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM,交BC于點(diǎn)、N,連接記

△BMN的面積為Si,3BN的面積為S2,求獸的最大值.

1

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，一次函數(shù)丫=-分+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸

交于點(diǎn)8,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),拋物線經(jīng)過A,B,C三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)。，且NBAO=ND4。，求證：OB=OD；

(3)在(2)的條件下，若直線與拋物線的對稱軸/交于點(diǎn)E,連接BE,在第一象

限內(nèi)的拋物線上是否存在一點(diǎn)尸，使四邊形BEAP的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)尸的

坐標(biāo)及四邊形2E4尸面積的最大值；若不存在，請說明理由.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=o%2+6尤+4QW0)經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)

和點(diǎn)B(4,0).

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸為該拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，直線CP將△ABC的面積分成2：1兩部

分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，當(dāng)NOC4

=N0C2-N0AM時(shí)，求f的值.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,拋物線

y=^C+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A,頂點(diǎn)為點(diǎn)M.

(1)求拋物線的關(guān)系式及點(diǎn)M的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)E是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接EB,EA,當(dāng)△E48的面積等于萬時(shí)，

求E點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)將直線42向下平移，得到過點(diǎn)M的直線y=Mv+",且與龍軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,取

點(diǎn)、D(2,0),連接。求證：ZADM-ZACM^45°.

6.如圖，拋物線(川+3)尤一(6m+9)與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,已

知2(3,0).

(1)求相的值和直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)尸為拋物線上一點(diǎn)，若S#BC=SAABC,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)。為拋物線上一點(diǎn)，若NACQ=45°,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

7.拋物線y=1?+法+c與x軸分別交于點(diǎn)A,B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-4).

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖1,回2CPQ頂點(diǎn)P在拋物線上，如果aBCP。面積為某值時(shí)，符合條件的點(diǎn)尸

有且只有三個(gè)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(3)如圖2,點(diǎn)M在第二象限的拋物線上，點(diǎn)N在延長線上，0M=20N,連接BN

并延長到點(diǎn)。，使ND=NB.MZ)交x軸于點(diǎn)E,/DEB與NDBE均為銳角,tanZDEB

=2tan/O2E,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

8.如圖，拋物線y=/+fcr+c(6,c是常數(shù))的頂點(diǎn)為C,與x軸交于A,8兩點(diǎn)，A(1,0),

AB=4,點(diǎn)尸為線段A2上的動(dòng)點(diǎn)，過尸作尸。〃8C交AC于點(diǎn)Q.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo).

9.如圖，拋物線y=-x2+fcc+c過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PC8是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；

(3)在(2)條件下，是否存在點(diǎn)M為拋物線第一象限上的點(diǎn)，使得SABCM=SABCP?

若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

y

M

10.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線k-1#+6x+c經(jīng)過點(diǎn)A(，1，27-)和點(diǎn)B(4,0),與

y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線和直線A8的解析式；

(2)如圖，點(diǎn)尸為第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作垂足為。，作PELx

Si49

軸，垂足為E,交A8于點(diǎn)F,設(shè)APDF的面積為Si,ABEF的面積為S2,當(dāng)言=石時(shí)，

求點(diǎn)尸坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)N為拋物線對稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N,使得直線BC垂直平分線段PN?

若存在，請直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

備用圖

II.如圖，拋物線y=-/+bx+c與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BC方程為

y=x-3.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)，若心必。=請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)。是拋物線上一點(diǎn)，若NACQ=45°,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a/+6x經(jīng)過A(4,0),B(1,4)兩點(diǎn).P

是拋物線上一點(diǎn)，且在直線的上方.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若△048面積是△B43面積的2倍，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖，0P交AB于點(diǎn)C,尸。〃3。交A3于點(diǎn)。.記"DP,ACPB,△CB。的面

積分別為Si,S2,S3.判斷詈+連是否存在最大值.若存在，求出最大值;

若不存在,

請說明理由.

13.拋物線y=/-4x與直線y=x交于原點(diǎn)。和點(diǎn)8,與x軸交于另一點(diǎn)A,頂點(diǎn)為D

(1)直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)。的坐標(biāo)；

1

(2)如圖1,連接。。，尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tan/PDO='時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,M是點(diǎn)2關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)

為相(0(根＜5),連接M。，BQ,與直線02交于點(diǎn)E.設(shè)△BEQ和的面積

分別為Si和S2,求善的最大值.

14.如圖，拋物線y=a/+6尤+3與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)C在直線45

上，過點(diǎn)C作無軸于點(diǎn)。(1,0),將△AC。沿C。所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落

在拋物線上的點(diǎn)E處.

(1)求拋物線解析式；

(2)連接BE,求△BCE的面積；

(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使NPEA=/BAE?若存在，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

15.已知拋物線y=/+b尤+c與x軸相交于A(-1,0),8兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0,-

3).

(1)求b,c的值；

(2)尸為第一象限拋物線上一點(diǎn)，△PBC的面積與△ABC的面積相等，求直線AP的解

析式；

(3)在(2)的條件下，設(shè)E是直線8C上一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于4E的對稱點(diǎn)為點(diǎn)P,試探

究，是否存在滿足條件的點(diǎn)E,使得點(diǎn)P恰好落在直線BC上，如果存在，求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=a/+6x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-2,

0)和點(diǎn)2(6,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,6).點(diǎn)。為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖1,求△A。。周長的最小值；

(3)如圖2,過動(dòng)點(diǎn)。作。尸〃AC交拋物線第一象限部分于點(diǎn)尸，連接B4,PB,記4

B4D與的面積和為S,當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大

值.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)＞=-/+6x-c的圖象與尤軸交于點(diǎn)A(-3,0)

和點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)如圖1,二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC：y=x+3交于點(diǎn)D若點(diǎn)M是直線AC

上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.

(3)如圖2,點(diǎn)P是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線/與BC平行，則在直線/

上是否存在點(diǎn)Q,使點(diǎn)B與點(diǎn)P關(guān)于直線C。對稱？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

圖1圖2

18.如圖，拋物線y=/+6x+c過點(diǎn)A(-1,0)、點(diǎn)8(5,0),交y軸于點(diǎn)C.

(1)求6,c的值.

(2)點(diǎn)P(xo,yo)(O<xo<5)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)xo取何值時(shí)，△P8C的面積最大？并求出APBC面積的最大值；

②過點(diǎn)P作尤軸，交8C于點(diǎn)E,再過點(diǎn)P作PF//X軸，交拋物線于點(diǎn)F,連接EF,

問：是否存在點(diǎn)P,使為等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

19.已知：y關(guān)于x的函數(shù)y=(67-2)/+(a+1)x+b.

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且a=4b,則a的值

是;

(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),并

與動(dòng)直線/：x=m(0<m<4)交于點(diǎn)P,連接PA,PB,PC,BC,其中B4交y軸于點(diǎn)

D,交BC于點(diǎn)、E.設(shè)APBE的面積為Si,的面積為

S2.

①當(dāng)點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求△PBC的面積；

②探究直線/在運(yùn)動(dòng)過程中，S1-S2是否存在最大值？若存

在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由.

A

X

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+6刀+c與x軸交于A(-2,0),B(4,

0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為直線8C上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接。尸交8C于點(diǎn)。，連接BP,當(dāng)學(xué)理=1

SAOBQ2

時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M為拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)NBCM=NACO時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

21.如圖，拋物線y=a/-2以+4(a￥0)與尤軸交于點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)。是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過。作。E〃AC交BC于點(diǎn)E,連接C。，當(dāng)△CQE的

面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)若平行于x軸的動(dòng)直線與拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)R點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,

0).問是否存在這樣的直線，使得△OOP是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

參考答案

L【解答】解：（1）:點(diǎn)A和點(diǎn)B在二次函數(shù)y=/+6尤+c圖象上,

則｛『二審,解得：尸二，

故答案為：-2,-3；

(2)連接5C,由題意可得：

A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),y=x1-2x~3,

1

S/\ABC='x4x3=6,

■:SAABD=2SAABC,設(shè)點(diǎn)。(機(jī)，m2-2m-3),

11

XABx|yD|=2X6,即3x4X|m2-Im-3|=2X6,

解得：根=1+，歷或1一同，代入y=/-2x-3,

可得：y值都為6,

：.D(1+同，6)或(1一同，6)；

(3)設(shè)P(?,/-2W-3),

1/點(diǎn)P在拋物線位于x軸上方的部分，

T或n>3,

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，即

可知點(diǎn)C到AP的距離小于點(diǎn)B到AP的距離，

?'.S^APC<S^APB,不成立；

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，即”>3,

,.?△4尸。和44尸2都以”為底，若要面積相等，

則點(diǎn)B和點(diǎn)C到AP的距離相等，即BC//AP,

設(shè)直線BC的解析式為y—kx+p,

則設(shè)直線A尸的解析式為y=x+q,將點(diǎn)A(-1,0)代入，

則-l+q=0,解得：q=l,

則直線AP的解析式為y=x+l,將尸(外后一2〃-3)代入，

即IT-2n-3=?+1,

解得："=4或"=-1(舍)，

n2-2n-3=5,

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,5).

2.【解答】解：(1)依題意，設(shè)y=a(x+1)(x-3),

代入C(0,-|)得：-3)=-|,

1

解得：〃=2，

.?.y=2(%+l)(x-3)=^x2-1；

(2)9：BE=2OE,

設(shè)OE為x,BE=2x,

由勾股定理得：OG+B彥=OB2,

X2+4X2=9,

解得：X2=(舍)，

..OE=-g-,BE=-g-,

過點(diǎn)E作TG平行于03,T在y軸上，過3作BGJ_TG于G,

???△ETOs△。碼

.ETOETO

??OE~OB~BE'

：.O序=OB，TE,

45

TE=S=|,

.CTBE6

?."=西飛'

36

：.E(-,—￡),

55

?,?直線OE的解析式為y=-2x,

???OE的延長線交拋物線于點(diǎn)D,

ry=-2%

i3,

(y=2X2~x~2

解得：Xl=l,X2=-3(舍)，

當(dāng)x=l時(shí)，y=-2,

：.D(1,-2)；

(3)如圖所示，延長BC于點(diǎn)RA/〃y軸,過A點(diǎn)作AH1BF于點(diǎn)H,作MT//y軸交

BF于點(diǎn)、T,過“點(diǎn)作尸于點(diǎn)/,

9

：AF//MTf

ZAFH=ZMTJ,

'：AH±BFfMJLBF,

：?/AHF=NMJT=90°,

???AAFH^AMJT,

.AHAF

M]~MT'

11

,:Si=?fB?MJ,S2=^NB*AHf

.S]MJMT_

?$~AH~AF9

設(shè)直線3。的解析式為y=fcv+。，將5,C兩點(diǎn)代入得,

一]=5

?2，

0=3fc-4

r

b=-

解得：1

辦

\k=z

直線BC的解析式為尸方-

當(dāng)x=-1時(shí)，y=亍(-1)—=—2,

：.F(-1,-2),

：.AF=2,

1q

設(shè)M(x,—J?-x—5),

22

131o313oQ

QQY-Q-TT+石，

?*-MT=-2X-2-(—2x-?■2)=-2(x-2)8

1

Q=—2^^0,

9

-

8

9

?以^MJ_=MT=MTmax_J=_9_

?.iS2JmaX-AH~AF~AF_2_16，

1

3.【解答】解：(1)令y=0,則一尹+3=0，解得尤=6,

令尤=0,貝!|y=3,

.1.A(6,0),B(0,3),

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

把A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得：

(36。+6b+c=0

jc=3,

(4a-2b+c=0

(1

a=一了

解得：6=J,

9=3

2

拋物線的解析式為y=-1x+x+3;

(2)證明：?.?在平面直角坐標(biāo)系xOy中,

：.ZBOA^ZDOA^90°,

在△BOA和△OOA中，

2B0A=Z.DOA

0A=0A,

.Z.BAO=/.DAO

：./\BOA^/\DOA(ASA),

：.0B=0D,

(3)存在，理由如下：

如圖，過點(diǎn)石作￡加，＞軸于點(diǎn)M,

：y=-i?+.r+3=-1(尤-2)2+4,

拋物線的對稱軸是直線尤=2,

點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,即EM=2,

,:B(0,3),

：.0B=0D=3,

：.BD=6,

VA(6,0),

；.。4=6,

11

S^ABE=SAABD-SADBE=2x6X6—]x6X2=12,

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為G,—]+r+3),

連接出,PB,過點(diǎn)尸作PNLx軸于點(diǎn)Hi,交直線A8于點(diǎn)N,過點(diǎn)8作于點(diǎn)

H2,

1

:.N（tf—2什3）,

:?PN=-4金+%+3-（—乎+3）=-4P+

111

9

：AHi+BH2=OA=6fSAABP=SANBP4ANP=^PN*BH2+郎N*AHI=$N*OA,

S/\ABP=2x6（—4P+2'）=—4（/-3）?+

：一＜0,拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，

27

...當(dāng)f=3時(shí)，△3B4面積的最大值是一，此時(shí)四邊形2E4P的面積最大，

4

2771

四邊形BEAP的面積最大值為1+12=g

1575

當(dāng)尸點(diǎn)坐標(biāo)是（3,—）時(shí)，四邊形BE4P面積的最大值是一.

44

4.【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=〃（x-xi）（x-%2）,

貝!J（x+2）（x-4）=aj?-2ax-8a,

即-8（7=4,解得a=-2，

故拋物線的表達(dá)式為y=-32+/4①；

（2）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，。8=2。4,

故C。將△ABC的面積分成2：1兩部分，此時(shí)，點(diǎn)尸不在拋物線上;

1

如圖1,當(dāng)85=/42=2時(shí)，CH將△ABC的面積分成2：1兩部分H\B

即點(diǎn)X的坐標(biāo)為（2,0）,

則C8和拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,

由點(diǎn)C、H的坐標(biāo)得，直線CH的表達(dá)式為y=-2x+4②,

聯(lián)立①②并解得匕=6（不合題意的值已舍去），

ky=-8

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（6,-8）；

（3）在。2上取點(diǎn)E（2,0）,則/ACO=NOCE,

,：ZOCA^ZOCB-ZOMA,故NAM0=NEC2,

過點(diǎn)E作EBL8C于點(diǎn)R

在RtZXBOC中，由OB=OC知，/OBC=45°,

則EF=*EB=孝（4-2）=魚=BF,

由點(diǎn)2、C的坐標(biāo)知，BC=4上,

則CF=BC-BF=4近-V2=3近，

EF_721

貝Utan/ECB=而=近=2=tanZAA/O,

則tan/AMO=W=W=

則0M=6,

故CM=OM±OC=6±4=2或10,

則f=2或10.

11

5.【解答】解：(1)對于y=-尹+3,令》=一尹+3=0,解得％=6,令x=0,則y=3,

故點(diǎn)A、5的坐標(biāo)分別為(6,0)、(0,3),

?拋物線y=^x^+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故c=0,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=jX36+66,解得b=-2,

故拋物線的表達(dá)式為尸jx2-2x；

則拋物線的對稱軸為x=3,當(dāng)x=3時(shí)，尸-2尤=-3,

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,-3)；

(2)如圖1,過點(diǎn)￡作即〃了軸交于點(diǎn)"

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,-?-2x),則點(diǎn)H(x,-%+3),

32

11

則的面積=S/^?+S△由=專XEHXOA=X6X

7

解得x=l或二，

2

_q74K

故點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,一可)或(1—近)；

(3)：直線A8向下平移后過點(diǎn)M(3,-3),

故直線CM的表達(dá)式為y=—壓(尤-3)-3=—1,

令尸一=0,解得尤=-3,

故點(diǎn)C(-3,0)；

過點(diǎn)D作DHLCM于點(diǎn)H,

1Q11

直線CM的表達(dá)式為y=-分一|,故tanZMCD=右則sinZMCD=言

-1

則。7?=COsinNMCO=(2+3)X三=后

由點(diǎn)。、M的坐標(biāo)得，DM=5(2—3產(chǎn)+(0+3尸=V10,

則smZHMD=跋=帚=孝’

圖2

故NfflW=45°=ZDMC=ZADM-ZACM=45°,

：.ZADM-ZACM=45°.

2

6.【解答】解：(1)將5(3,0)代入(m+3)x-(6m+9),化簡得，m?+m=

0,

則m=0(舍)或m=-1,

??rri~~-1,

???尸-X2+4X-3.

：.C(0,-3),

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,

將5(3,0),C(0,-3)代入表達(dá)式，可得，

[0=3k+b解得,《二：

1-3=b

直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3.

(2)如圖，過點(diǎn)A作APi〃8C,設(shè)直線AP1交y軸于點(diǎn)G,將直線向下平移GC個(gè)

單位，得到直線P2P3.

由(1)得直線BC的表達(dá)式為y=x-3,A(1,0),

直線AG的表達(dá)式為y=x-1,

聯(lián)立｛二、，一解需二端二；

：.P1(2,1)或(1,0),

由直線AG的表達(dá)式可得G(0,-1),

；.GC=2,CH=2,

，直線P2P3的表達(dá)式為：y=x-5,

3+V17

x=—2—

-7+T17,

3-V173+V17-7+VT7

：.P2(),尸3();

2222

Q/1_r-j/-JryQi/[ry

綜上可得，符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：⑵1),(1,0))(―,—「丁，

-7+V17

2

(3)如圖，取點(diǎn)。使NACQ=45°,作直線CQ,過點(diǎn)A作AOLCQ于點(diǎn)。，過點(diǎn)。

作DF±x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CE±DF于點(diǎn)E,

則△AC。是等腰直角三角形，

:.AD=CD,

:.ACDE沿ADAF(AAS),

C.AF^DE,CE=DF.

設(shè)。E=AB=a,貝I]CE=nF=q+l,

由OC=3,貝ijDF=3-a,

.'.a+l=3-a,解得a=l.

：.D(2,-2),又C(0,-3),

「?直線CD對應(yīng)的表達(dá)式為y=g-3,

1

設(shè)Q（n,-n-3）,代人y=-x2+4x-3，

17

A-n-3=-n2+4n-3,整理得后一5〃=0.

22

又〃W0,則n=5.

75

Q（―,—彳）.

24

7.【解答】解：（1）由題意得,

Qx42+4h+c=0

1c=—4

.（b=-l

，，，

tc=-4

?\y=/2--x-4；

(2)如圖1,

作直線/〃8C且與拋物線相切于點(diǎn)尸1,直線/交y軸于E,作直線機(jī)〃8C且直線機(jī)到

BC的距離等于直線I到BC的距離，

VBC的解析式為y=x-4,

???設(shè)直線/的解析式為：y=x+m,

11

由一x7——X—4=x+m得，

33

%2-4x-3（m+4）=0,

*/A=0,

-3（m+4）=4,

?.?加二一16可

.,.x2-4x+4=0,y=x-學(xué)，

；.x=2,尸-孚

：.Pi（2,一學(xué)），

,:E（0,-學(xué)），C（0,-4）,

：.F（0,-4X2-（一竽）），

8

即zO\

(--7

\3

8

-X--

?,?直線機(jī)的解析式為:3

11

2

y--X--X-4

33

!■<8

—y-X---

I3

=2+2y2x2=2—2v2

JYi=2A/2—,2=—2^2—

22

???尸2(2-2V2,-2V2-p,尸3(2+2V2,2企一母),

綜上所述：點(diǎn)尸(2,一學(xué))或(2-20-2V2-|)或(2+2V2,2迎一|)；

(3)如圖2,

作MG_Lx軸于G,作NH_Lx軸于H,作MKJ_Z)F,交O尸的延長線于K,

設(shè)。點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。，

■;BN=DN,

：.BD=2BN,N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：——,

2

,:NH〃DF,

：.ABHN^ABFD,

.NHBN1

??DF-BD-2’

:.DF=2NH,

D

同理可得：AOMGs△ONH,圖？

.MGOGOM

?'NH-OH-ON-'

:?MG=2NH,0G=2OH=〃+4,

:?KF=MG=DF,

*.*tanNDEB=2tanZDBE

DFDF

—=2*—，

EFBF

.1

：.EF=^BF,

VBF=4-a,

1

.*.EF=^(4-a),

'：EF//MK,

：.ADEFs叢DMK,

.EF_DF

?'MK~DK

.-(4-a)1

2a+42

.*.4Z=0,

OG=a+4=4,

：.G(-4,0),

118

當(dāng)

X--4時(shí)---

333

8

：.M(-4,

3

8.【解答】(1)?.?拋物線y=/+fcr+c(b,c是常數(shù))的頂點(diǎn)為C,與x軸交于A,8兩

點(diǎn)，A(1,0),AB=4,

：.B(-3,0),

.+b+c=0

**l9-3b+c=O'

解得｛，二：3，

，拋物線的解析式為y=x2+*9Zx-3；

(2)過。作QE_Lx軸于E,過C作CFLx軸于F,

設(shè)P(771,0),則B4=l-m,

"'y=j?+2x-3=(x+1)2-4,

C(-1,-4),

.?.CF=4,

'：PQ//BC,

：./\PQA^/\BCA,

.QEAPQE1-m

??—=—,即—=----，

CFAB44

QE=1-m,

AS^CPQ=S/\PCA-S^PQA

11

ii

=2(1一m)X4—2(l-m)(1-m)

=-2(z/z+1)?+2,

???-3WmWl,

???當(dāng)加=-1時(shí)Sacpo有最大值2,

???△。尸。面積的最大值為2,此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0).

9.【解答】解：(1)由題意得：y=~(x+1)*(x-3),

**y=-f+2x+3；

(2)設(shè)尸(1,m),

9：PB1=PC1,

：.(3-1)2+m2=l+(m-3)2,

??m=1,

：.P(1,1)；

(3)如圖，

假設(shè)存在M點(diǎn)滿足條件，

作PQ〃2C交y軸于。，作MN〃BC交y軸于N,

：P。的解析式為y=-尤+2,

：.Q(0,2),

VC(0,3),S4BCM=SABCP,

：.N(0,4),

?,?直線MN的解析式為：y=-x+4,

由-/+2x+3=-x+4得，

3±/5

x=

34~V^3—

???M點(diǎn)橫坐標(biāo)為——或——.

22

1127

10.【解答】解：(1)??,拋物線產(chǎn)一宗2+fct+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,—)和點(diǎn)5(4,0),

111

-

27一

24-2-8

1

-X+4b+C-O

216

解得憶:,

拋物線的解析式為：y=—#+x+4；

設(shè)直線A8的解析式為：y^kx+b',

，心+小圣

14k+b'=0

解得卜=一配

⑵=3

直線AB的解析式為：尸-1r+3.

(2)如圖，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)G,

：.G(0,3),

：.OG=3,02=4,BG=5,

\'PD±AB,PELOB,

:./PDF=/BEF=/GOB=9Q°,

；/P+/PFD=/BFE+/OBG=90°,ZPFE=ZBFE,

:./P=/OBG,

:.APDFsABOG,

：.PD；DF：PF=OB；OG：BG=4：3：5,

43

：.PD=|PF,DF氣PF,

：.Si=g?PD?DF=言尸產(chǎn)，

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為處則尸(m,—^m2+m+4)(0<m<4),

3

.'.F(m,—4m+3),E(m,0),

PF=—7ym2+m+4-(--rm+3)=BE=4-m,FE=--rm+3,

Z4N44

.*?Sl=TyF(-5■根？+彳機(jī)+1)(機(jī)-4)之(2徵+1)之

ZuZ4ZUU

113?、。

S2=2*BE9EF=2(4-m)(—^m+3)=g(m-4)2,

?.包_竺

?S2-25，

[-----(m-4)2(2m+1)2]：[—(m-4)2]=TTF，

200825

解得m=3或m=-4(舍)，

(3)存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,3-V3)或(1,3+V3).理由如下：

法一：由拋物線的解析式可知，C(0,4),

???OB=OC=4,

：.ZOBC=ZOCB=45°.

如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在直線A3上方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)尸作工軸的平行線尸〃，過點(diǎn)5作％軸

的垂線交尸〃于點(diǎn)〃，

???5。垂直平分PN,

；?BN=BP,NPBC=/NBC,

?：NOBC=NCBH=45°,

：.ZPBH=ZOBN9

?；NH=NBKN=90°,

：.APHB^ANKB(A4S),

：.HB=BK,PH=NK,

??,拋物線的對稱軸為1=1,

:?BK=3,

：?BH=3,

令—=3,

解得％=1+遮或(舍)，

：.PH=4-(1+V3)=3-V3,

:?NK=3-W,

：.N(1,3-V3)；

當(dāng)點(diǎn)尸在直線AB下方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)N作x軸的平行線NM,過點(diǎn)3作x軸的垂線

BM交NM于點(diǎn)、M,過點(diǎn)尸作尸。_Lx軸于點(diǎn)0.

??,5C垂直平分PN,

；.BN=BP,ZPBC=ZNBC,

'：ZOBC=ZCBM=45°,

；.NPBQ=NMBN,

VZM=ZPQB=90°,

：.APQB^ANMB(A4S),

；?QB=MB,PQ=NM,

??,拋物線的對稱軸為1=1,

:?MN=3,

.?.PQ=3,

令—2^-+X+4—3,

解得尤=1+百(舍)或苫=1一舊，

：.BQ=4-(1-V3)=3+代，

.?.BM=3+V3,

：.N(1,3+V3).

綜上，存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,3-V3)或(1,3+V3).

法二：設(shè)8C與對稱軸交于E,

可得E(1,3),

過E做x軸平行線交拋物線于P1P2,

直線P1P2和直線DE關(guān)于直線BC對稱，

令一2x~+x+4—3,

解得X—1+V5或x-l-y/3,

此即線Pi和P2的橫坐標(biāo)，

:.P1E=P2E=V3,

:.ENI=EN2=V3,

.,.點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,3-V3)或(1,3+V3).

11.【解答】解：(1)在＞=%-3中，令x=0,則y=-3,

：.C(0,-3),

令y=0,貝!|x=3,

：.B(3,0),

將B、C兩點(diǎn)代入y=-^+bx+c,

.(-9+3b+c=0

**tc=—3

解得匕二,3，

；?y=-f+4x-3；

(2)令尸0,貝卜f+4x-3=0,

解得x=l或x=3,

.e.A(1,0),

：.AB=2,

1

SAABC=ax2X3=3,

..1

?S^PBC—"^S/^ABCf

??S/\PBC-

過點(diǎn)P作PQ-Lx軸交BC于點(diǎn)。，

設(shè)P。，-產(chǎn)+4L3),貝!]Q。，L3),

：.PQ=\-?+3?|,

31,

-x3X|-於+34，

日3+J13T3+A/5

解得t=-=^—或t=

3+V13V13—53—V13-5—V133+V5V5_13—y/5

尸點(diǎn)坐標(biāo)為（一：—，—：—）或（一：-,---：---）或（一：—,——）或（一：—

-1-V5

2）

（3）過點(diǎn)3作交C。于點(diǎn)區(qū)過E點(diǎn)作■，入軸交于R

°：OB=OC,

.'.ZOCB=45°,

VZACQ=45°,

：.ZBCQ=ZOCA,

VOA=1,

1

:?tanNOCA=可

1BF

AtanZBCE=1=g!；,

VBC=3V2,

：.BE=V2,

VZOBC=45°,

；?NEBF=45°,

；?EF=BF=1,

：.E(4,-1),

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,

.(b=-3

**Ufc+Z)=-1'

解得卜=2,

業(yè)=-3

??y—3,

聯(lián)立方程組y=**—3,

y=—x2+4%—3

解得二(舍)

75

**?Q(—,--j).

24

12.【解答】解：(1)將A(4,0),B(1,4)代入y=ad+6龍,

=4

，｛言/丁。，解得CL一可

16?

b7==

16

拋物線的解析式為：y=Tx-

（2）設(shè)直線A8的解析式為：y^kx+t,

將A(4,0),B(1,4)代入

k=-i

解得

T

VA(4,0),B(1,4),

1

SAOAB=2x4X4=8,

SAOAB=IS^PAB=8,即S△以3=4,

過點(diǎn)尸作尸”，工軸于點(diǎn)“，PM與AB交于點(diǎn)、N,過點(diǎn)8作3片，尸”于點(diǎn)如圖,

113

:?SNAB=SNNB+SNNA=^PNXBE+^PNXAM=|PA^=4,

8

E

f--

-3

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,

4

Z2

尸、

(如-16416

K3-Q-An)(1＜機(jī)＜4),N(m,--5-),

?DZ-42j_16z416x_8

??PN=-可機(jī)+~(-W機(jī)+~3~^=3,

解得m=2或m=3；

16—

：.P(2,—)或(3,4).

3

(3)9：PD//0B,

：.ZDPC=ZBOC,NPDC=NOBC,

:?△DPCsABOC,

:.CP：CO=CD：CB=PD：OB,

??&CDPDS2CPPD

*S2~CB~OB'S3~CO~OB'

SiS22PD

,?S2+S3-OB-

16

設(shè)直線A3交y軸于點(diǎn)尺則尸(0,y),

過點(diǎn)尸作尸H_Lx軸，垂足為“，PH交AB于點(diǎn)G,

■:/PDC=NOBC,

：.ZPDG=ZOBF,

,:PG〃OF,

：.ZPGD=ZOFB,

???△PDGsAOBF,

：.PD：OB=PG：OF,

、r4c16

設(shè)P(n,—+-g-n)(1＜九＜4),

42

由

知

2可

PG---+203163

3

S尸

1S22G3159

--2P2

-+----+-

SSOB8228

23OF

Vl<n<4,

???當(dāng)〃=搟時(shí)，獸+黑的最大值為

2s2s38

13.【解答】解：(1)令y=/-4x=x,

解得％=0或x=5,

：.B(5,5)；

-4x=(x-2)2-4,

???頂點(diǎn)。(2,-4).

(2)如圖，過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)E,

:?DE=2,0丘=4,

1

tanZZ)OE=于

1

VtanZPDO=]

：.ZDOE=ZPDO,

①當(dāng)點(diǎn)P在線段。。的右側(cè)時(shí)，。尸〃y軸，如圖，

：.P(2,0)；

②當(dāng)點(diǎn)P在線段OD左側(cè)時(shí)，設(shè)直線DP與y軸交于點(diǎn)G,則△ODG是等腰三角形,

：.OG=DG,

設(shè)OG=t,則DG=t,GE=4-t,

在RtADGE中,？=22+(4-t)2,

解得t=|,

G(0,—

直線DG的解析式為：尸一永一|，

令y=0，則—4式-2

解得x=-

?*-P(―"^，0).

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)或(一孚0).

(3):點(diǎn)2(5,5)與點(diǎn)M關(guān)于對稱軸x=2對稱，

：.M(-1,5).

如圖，分別過點(diǎn)。作y軸的平行線，交直線。3于點(diǎn)N,K,

：.N(-1,-1),MN=6,

點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m,

Q(m,m2-4m),K(m,m),

??KQ=m-Cm2-4m)=-m2+5m.

VSi=.QK(XB-XE),S2=^MNCXB-XE),

SQK1,15i25

:.—±=-------=——GTT-5m)=--T(m—5)2+57'

S2MN66224

<0,

o