2025年九年級數學中考三輪沖刺訓練解直角三角形

一、選擇題

1.第14屆國際數學教育大會UCME-14）會標如圖1所示，會標中心的圖案來源于我國

古代數學家趙爽的“弦圖”.如圖2所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（△ABE,

/XBCF,ACDG,ADAH）和一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF：AH

=1：3,則sinZABE—（）

2.勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國古代數學家趙爽利用“弦圖”的證明簡明、直

觀，是世界公認最巧妙的方法.“趙爽弦圖”已成為我國古代數學成就的一個重要標志，

千百年來倍受人們的喜愛.小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接EG,DG.若正方

形ABC。與現《汨的邊長之比為有：1,貝!!sin/OGE等于（）

3.第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是1700多年前中國古代數學家趙爽的“弦

圖”.如圖，在由四個全等的直角三角形（△/ME,AABF,ABCG,ACDH）和中間一

個小正方形EFG8拼成的大正方形A3C。中，ZABF>ZBAF,連接BE.設

若正方形EFG”與正方形A8CZ）的面積之比為l：w,tana=tan20,則〃=（）

A.5B.4C.3D.2

第1題圖第2題圖第3題圖

4.如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測量河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測量得P,

。兩點間距離為根米，NPQT=a,則河寬PT的長為（）

m

A.msinaB.mcosaC.mtanaD.-------

tana

5.如圖，某梯子長10米，斜靠在豎直的墻面上，當梯子與水平地面所成角為a時，梯子

頂端靠在墻面上的點A處，底端落在水平地面的點B處，現將梯子底端向墻面靠近，使

梯子與地面所成角為B，已知sina=cos0=稱，則梯子頂端上升了（）

A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米

6.如圖源于我國漢代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成

的一個大正方形.若小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的

銳角為a,則cosa的值為()

第4題圖第5題圖第3題圖

7.圖1是第七屆國際數學教育大會(ICME)會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三

角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形。48c.若A8=BC=LZAOB=a,貝|OC?

的值為()

圖1圖2

J-n1

A.......-+1B.sin~a+l+1D.cos2a+l

sin^acos2a

二、解答題

8.中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻.為滿足新能源汽

車的充電需求，某小區增設了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形

ABCD是其中一個停車位.經測量，NABQ=60°,AB=5Am,CE^1.6m,GHLCD,

GH是另一個車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定.

根據以上信息回答下列問題：(結果精確到0.1處參考數據百切.73)

(1)求尸。的長；

(2)該充電站有20個停車位，求PN的長.

9.貴州旅游資源豐富.某景區為給游客提供更好的游覽體驗，擬在如圖①景區內修建觀光

索道.設計示意圖如圖②所示，以山腳A為起點，沿途修建A3、C力兩段長度相等的觀

光索道，最終到達山頂。處，中途設計了一段與AF平行的觀光平臺BC為50九索道

A8與的夾角為15°,C￡）與水平線夾角為45°,4、2兩處的水平距離4￡為576口，

DFLAF,垂足為點?（圖中所有點都在同一平面內，點A、E、尸在同一水平線上）

（1）求索道A8的長（結果精確到l"z）;

（2）求水平距離AP的長（結果精確到1m）.

（參考數據：sinl5°七0.25,cosl5°-0.96,tanl5°-0.26,V2?1.41）

10.如圖，直線和EP為河的兩岸，旦MN〃EF,為了測量河兩岸之間的距離，某同學

在河岸尸￡的B點測得/C8E=30°,從8點沿河岸FE的方向走40米到達。點，測得

NCDE=45°.

（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結果保留根號）

（2）若從。點繼續沿。E的方向走（12b+12）米到達尸點.求tan/CPE的值.

11.小華將一張紙對折后做成的紙飛機如圖1,紙飛機機尾的橫截面是一個軸對稱圖形，其

示意圖如圖2,已知AD=BE=10c”z,CD^CE^5cm,ADLCD,BE±CE,/DCE=4Q°.

（1）連結。E,求線段OE的長.

(2)求點A,B之間的距離.

(結果精確到0.1cm.參考數據:sin20°20.34,cos20°-0.94,tan20°?0.36,sin40"

仁0.64,cos40°^0.77,tan40°^0.84)

圖1

12.如圖所示，九（1）班數學興趣小組為了測量河對岸的古樹A、8之間的距離，他們在

河邊與AB平行的直線/上取相距60根的C、。兩點，測得NACB=15°,N2Cr）=120°,

ZADC=3Q°.

（1）求河的寬度；

（2）求古樹A、3之間的距離.（結果保留根號）

13.知識小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a

一般要滿足53°WaW72°.（參考數據：sin53°?=0.80,cos53°—0.60,tan53°=L33,

sin72°g0.95,cos72°仁0.31,tan72°心3.08,sin66°-0.91,cos66°^0.41,tan66°

n2.25）

如圖，現有一架長的梯子42斜靠在一豎直的墻A。上.

（1）當人安全使用這架梯子時，求梯子頂端A與地面距離的最大值；

（2）當梯子底端B距離墻面1.64根時，計算等于多少度？并判斷此時人是否能

安全使用這架梯子？

14.已知銳角△ABC中，角A、8、C的對邊分別為a、6、c,邊角總滿足關系式:一一=--=

sinAsinB

c

sinC

（1）如圖1,若a=6,ZB=45°,NC=75°,求b的值；

（2）某公園準備在園內一個銳角三角形水池ABC中建一座小型景觀橋CZX如圖2所示）,

CD1AB,AC=14米，AB=10米，sin/ACB=雪，求景觀橋的長度.

15.如圖，著名旅游景區B位于大山深處，原來到此旅游需要繞行C地，沿折線A-C-8

方可到達.當地政府為了增強景區的吸引力，發展壯大旅游經濟，修建了一條從A地到

景區B的筆直公路.請結合NA=45°,NB=30°,BC=100千米，y/2?1.4,V3~1.7

等數據信息，解答下列問題：

（1）公路修建后，從A地到景區2旅游可以少走多少千米？

(2)為迎接旅游旺季的到來，修建公路時，施工隊使用了新的施工技術，實際工作時每

天的工效比原計劃增加25%,結果提前50天完成了施工任務.求施工隊原計劃每天修建

多少千米？

16.如圖1,通海橋是西寧市海湖新區地標建筑，也是我省首座大規模斜拉式大橋，通海橋

主塔兩側斜拉鏈條在夜間亮燈后猶如天鵝之翼，優雅非凡.某數學“綜合與實踐”小組

的同學利用課余時間按照如圖2所示的測量示意圖對該橋進行了實地測量，測得如下數

據：ZA=30°,NB=45°,斜拉主跨度260米.

(1)過點C作垂足為。，求CD的長(值取1.7)；

(2)若主塔斜拉鏈條上的LED節能燈帶每米造價800元，求斜拉鏈條AC上燈帶的總造

價是多少元？

圖1圖2

參考答案

、選擇題

題號1234567

答案cACCCDA

1.【解答】解：根據題意，設EF=x,則A〃=3x,

AABE^ADAH,四邊形EFGH為正方形，

：.AH=BE=3x,EF=HE=x,

.\AE=4x,

VZAEB=90°,

：.AB=y/AE2+BE2=5x,

..ZE4x

..sin^zA4BDZE7=^=^=

故選：C.

2.【解答】解：過點。作ND,GE交GE的延長線于點N,

由題意知，兩個正方形之間是4個相等的三角形，

設△ABG的長直角邊為①短直角邊為b,大正方形的邊長為信，小正方形的邊長為尤,

即ED=2G=//C=AF=6,AG=BH=CE=DF=a,EG=V2fo,

由題意得：歸m，解得：憶廣

在△GOE中，EG=y/2GH=貝!jNE=ND=與ED=孝/?=圣，EG=

y/2GH=V2(a-/?)=V2x,

則tanNZ)GE=

則sin/Z)GE=需，

故選：A.

3.【解答】解：設AE=〃，DE=b,貝IJB尸=〃，AF=b,

Vtana=ptan0=tana=tan2P，

CLCLn

--b=宣)'

??(Z?-Q)2=ab,

a2+b2=3ab,

?=AE)^—S正方形ABC。,2=S正方形EFGH,

：?S正方形EFGH：S正方形A3CO=〃Z?：3〃/?=l:3,

,:S正方形EFGH：S正方形A3CO=1：n,

??3.

故選：C.

4.【解答】解：由題意得：

PTLPQ,

：.ZAPQ=90°,

在RtZXAPQ中，尸0=加米，ZPQT=af

PT—PQ?tana=mtana(米)，

河寬PT的長度是根tana米,

故選：C.

5.【解答］解：如圖所示，

Q

在RtZ\ABC中，AC=sinaXAB=|x10=6（米）；

Q_____________________

在Rt/YDEC中，￡>C=cospX￡>￡=|x10=6（米），EC=VOE2-DC2=

V100-36=8（米）；

AC=8-6=2（米）.

故選：C.

6.【解答】解：..?小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,

小正方形的邊長為1,大正方形的邊長為5,

設直角三角形中較短的直角邊為。，則較長的直角邊是。+1,其中。>0,

由勾股定理得：/+（。+1）2=52,

整理得：cT+a-12=0

解得：671=3,<72=-4（不合題意，舍去）.

。+1=4,

??COSCC—耳?

故選：D.

7.【解答】W：'：AB=BC=1,

AD

在中，sina^

在RtZ!\OBC中，

OB2+BC2=OC2,

故選：A.

二、解答題

8.【解答】解：(1):四邊形PQMN是矩形，

；./。=/尸=90°,

在RtZ\ABQ中，NABQ=60°,AB=5.4m,

：.AQ=AB-sin^ABQ=ZQAB=30°,

:四邊形ABC。是矩形，

：.AD=BC,NBAD=/BCD=/ABC=/BCE=90°,

：.ZCBE^30°,

-BC=tan^CBE=-mf

VZB4Z)=180°-30°-90°=60°,

：.AP=AD-cos^PAD=卓加

PQ=AP+AQ=J。?6.1m；

(2)在RtZXBCE中，BE=.=3.2m,

在RtZXABQ中，BQ=AB?cos/ABQ=2.7ni,

:該充電站有20個停車位，

QB+2QBE=66.7m,

:四邊形PQMN是矩形，

:.PN=QM=66.7m.

9.【解答】解：(1)在Rt/VIBE中，ZAEB^90°,NA=15°,AE=576m,

._AE576

AR600(m).

,,一cosA-cosl5°?

即AB的長約為600m；

(2)延長5C交。尸于G,

,:BC〃AE,

：.ZCBE=90°,

?:DF上AF,

：.ZAFD=90°,

???四邊形BEFG為矩形，

；.EF=BG,ZCGD=ZBGF=90°,

VCD=AB=600m,ZZ)CG=45°,

CG=CD-cosZDCG=600Xcos45°=600x勺=300迎(m),

.*.AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC+CG=576+50+300V2《1049(m),

即AF的長為1049m.

10.【解答］解：如圖，過點。作■于點H,

在中，

??/r'jju-—CH

?tanz_CBH-=月月，

：.HB=V3CH,

在Rtz\C/ro中，NCDH=45°,

:.CH=DH,

又＜BH-DH=BD=43

.'.V3CH-CH=40,

解得CH=20W+20,

即河兩岸之間的距離是(20g+20)米;

(2)在RtZiCHP中，HP=HD=PD=20?+20-(12V3+12)=8小+8,

；.tan/CPE=需

20V3+20

8V3+8

20

11.【解答】解：(1)如圖，過點。作C尸，。E于點孔

?；CD=CE=5cm,NDCE=40°.

：.ZDCF=20°,

.'.Z)F=CD-sin20°心5X0.34=1.7(cm),

DE—2DF^3.4cm,

???線段Z)E的長約為3.4cm；

(2)???橫截面是一個軸對稱圖形，

???延長。尸交A。、55延長線于點G,

連接A3,

J.DE//AB,口￡5

JNA=NGDE,A

'CADLCD,BELCE,............W..

：.ZGDF+ZFDC=90°,C

'：ZDCF+ZFDC=90°,

：.ZGDF=ZDCF=20°,

ZA=20°,

DG=---引力?77777=1.8(cm),

cos200.94

；.AG=A￡)+￡)G=10+1.8=11.8(cm),

，AB=2AG.cos20°^2X11.8X0.94^22.2(cm).

點A,B之間的距離22.2cm.

12.【解答】解：⑴過點A作AE，/,垂足為E,

設CE=尤米，

:cr?=60米，

:.DE=CE+CD=(x+60)米，

VZACB=15°,ZBCD^UQ0,

；.NACE=180°-ZACB-ZBCD=45°,

在RtZ\AEC中，A￡=CE?tan45°=尤(米)，

在RtZXAOE中，ZADE^30°,

.'.x=30V3+30,

經檢驗：x=30舊+30是原方程的根，

；.AE=(30V3+30)米，

河的寬度為(30百+30)米;

(2)過點2作3尸，/,垂足為尸，

則CE=AE=BP=(30遮+30)米，AB=EF,

VZBCZ)=120°,

.\ZBCF=180°-ZBCD^60°,

在RtZXBC尸中，CF=丁"示=30*30=RO+IO百)米，

tan60073

：.AB^EF^CE-CF=30V3+30-(30+10V3)=20百(米),

古樹A、B之間的距離為20百米.

13.【解答】解：(1)53°WaW72°,當a=72°時，49取最大值,

An

在RtAAOB中，sinZABO=麗，

：.AO=AB'sinZABO=4Xsin72°=4X0.95=3.8(米)，

.,?梯子頂端A與地面的距離的最大值為3.8米；

D/J

(2)在RtZXAOB中，cosNA50=器=1.64+4=0.41,

Vcos66°—

ZABO=66°,

V53°WaW72°,

???人能安全使用這架梯子.

14.【解答】解：(1)VZB=45°,ZC=15°,

AZA=180°-ZB-ZC=60°,

abc

,sinAsinBsine"

.6b

*sm60°5171450)

Z?=2A/6；

ABAC

(2)V-----------=--,

sinZ-ACBsinB

.1014

‘運=指

14

?,_A/3

??sinnD=

：.ZB=60°,

反

.,?+tanDn_=CD_=V3,

：.BD=^-CD,

\"AC2=CD2+AD2,

.?.196=0)2+(10_*c￡))2,

:.CD=8W，CD=-3陋