2025年湖南省炎德英才大聯考高考數學模擬試卷（一）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.命題'勺Xf）eR,使m就-（爪+3）尤0W0"是假命題，則實數m的取值范圍為（）

A.m<0B.m<—1C.m>3D.m>3

2.在△ABC中，。是BC上一點，滿足而=2反，M是AD的中點，若前=4瓦尻，則4+〃=（）

A5

A-4C-IDl

3.函數/（%）是（一8,0）u（0,+8）上的奇函數，且當％<0時,函數的部分圖象如圖所示，則不等式

f(x)一”<0的解集是()

A.(-3,-1)U(1,3)

B.(-3,-1)U(0,1)U(3,+8)

C.(-00,-3)U(-1,1)U(3,+oo)

D.(—8,—3)U(—1,0)U(0,1)U(3,+8)

4.已知sin（a+^-cosa=春則篝烹=（）

A.一卷B.若C./D.|

253255

5.在四面體4BCD中，DA1平面ABC,AB1BC,AB=鄧,ABAC=30°,若四面體ABCD的外接球的表

面積為16兀，則四面體28CD的表面積為（）

A.^|i^+5&B.5%+3+4c.竽+聲+3D.5力5+3

6.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦

公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家；如果天不下雨，那

么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為看不下雨的概率均為|,且與過去情況相互獨立.現在

兩把雨傘均在家里，那么連續上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（）

.16?20?8628

A.81B.81C.27D.81

7.群論，是代數學的分支學科，在抽象代數中.有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有

重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明?群的概念則是群論中最基本

的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“■”是G上的一個代數運算，如果該運算滿足以下條

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件：

①對任意的a,bCG,有6G；

②對任意的a,b,cEG,有(a?b)?c=a?(Z??c)；

③存在eEG,使得對任意的aEG,有=a,e=a,e稱為單位元；

④對任意的aeG,存在beG,使。?/?=b-a=e,稱a與b互為逆元.

則稱G關于新構成一個群.則下列說法正確的有()

A.G=｛0,1,2｝關于數的乘法構成群

B.自然數集N關于數的加法構成群

C.實數集R關于數的乘法構成群

D.G=｛a+*b\a,beZ｝關于數的加法構成群

8.設4B為雙曲線。=1上兩點，下列四個點中，可為線段4B中點的是()

4

A.(1,1)B.(-1,2)C.(2,-3)D.(-1,-3)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中有多項符合題目要求。

9.已知函數/(*)=ln|x-2|—ln|x|,則()

AJQ)的定義域為RB.f(x)在區間(-8,0)上單調遞增

C"(x)的圖象關于點(1,0)對稱口)(今+"。語＜0

10.記S九為等差數列｛a九｝的前71項和，已知。1＞0,的公差為d,且(S8-S6)S13V0,貝U()

A.a8<0B.S8Vs6<S7

C.de(磊一等)

D.滿足Sn＞。的n的最大值為15

11.如圖所示，正四棱錐P-ABCD與正三棱錐Q-EFG的棱長均為1,一凸多面體4BCDPG是由該四棱錐與該

三棱錐組合而成，其中點P,B,。分別與點Q,F,E重合，在該多面體中()

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三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1

12.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點F在圓M：Q—l)2+y2=z內，則拋物線C的方程可以是.

13.若關于％的方程①x+|1+5=1有且僅有兩個實根，則實數6的取值范圍為.

14.天虹購物中心為了慶祝華誕75周年，推出了75本針對建國每一年的紀念版掛歷，萍實高中三位同學不

約而同地選擇收藏，由于供不應求再加上購買人數太多，他們每個人都沒有買齊完整的75本，但購買后他

們發現任意兩人手中的掛歷放一起都能湊出一套完整掛歷，則這三位同學購買掛歷的不同方法有種

.(列出算式即可)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知動點P(x,y)到定點尸(2,0)的距離與動點P到定直線x=-2的距離之比為1,若動點P的軌跡記為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)不過點F的直線與曲線C相交于4B兩點，且|”|+\BF\=6,若2B的垂直平分線交x軸于點N,求點N

的坐標.

16.(本小題15分)

已知函數/1(%)=(x-l)ex-ax2-l,aeR.

(1)當a=0時，求函數f(x)的圖象在點(1)(1))處的切線方程；

(2)討論函數/(%)的單調性；

(3)設g(x)=lnx-ex-x2+x,若/(久)2。(久)，求實數a的取值范圍.

17.(本小題15分)

甲、乙2人玩一個紙牌游戲，先準備好寫有數字1,2,N的紙牌各一張，由甲先隨機抽取一張紙牌，記

紙牌上的數字為a,隨后將紙牌放回(后面每次抽牌記錄數字后都需將紙牌放回)，接下來甲有2種選擇：

①再抽取一次紙牌，記紙牌上的數字為6,若a+b>N,乙贏，結束游戲，否則，甲結束抽牌，換乙抽

牌一次；

②直接結束抽牌，記b=0,換乙抽牌一次.

記乙抽到的紙牌上的數字為c,若a+6+cWN,則乙贏，否則甲贏，游戲結束.

(1)若甲只抽牌1次，求甲贏的概率；

(2)若甲抽牌2次，求甲贏的概率；

(3)當甲抽取的第一張紙牌上的數字為多少時，甲選擇②贏得游戲的概率更大？

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（結果用含N的式子表示）

參考公式：若數列｛即｝的通項公式為即=聲，則｛即｝的前幾項和%=""+1?2n+1）.

18.（本小題17分）

球面幾何學是非歐幾何的例子，是在球表面上的幾何學.對于半徑為R的球。過球面上一點4作兩條大圓的弧

AB,AC,它們構成的圖形叫做球面角，記作4B4C（或44）,其值為二面角B-4。-C的大小，其中點4稱為

球面角的頂點，大圓弧藍，衣稱為球面角的邊.不在同一大圓上的三點4B,C,可以得到經過這三點中

任意兩點的大圓的劣弧前，BC,CA,這三條劣弧組成的圖形稱為球面△力BC,這三條劣弧稱為球面

△48C的邊，A,B,C三點稱為球面△ABC的頂點；三個球面角444B,4c稱為球面△4BC的三個內

角.

已知球心為。的單位球面上有不同在一個大圓上的三點4B,C.

TT

（1）球面△ABC的三條邊相等（稱為等邊球面三角形），若44=萬，請直接寫出球面△ABC的內角和（無需證

明）；

（2）與二面角類比，我們稱從點P出發的三條射線PM,PN,PQ組成的圖形為三面角，記為P-MNQ.其中點

P稱為三面角的頂點，PM,PN,PQ稱為它的棱，NMPN,乙NPQ,“PM稱為它的面角.若三面角。-4BC

的三個面角的余弦值分別為名學

①求球面△A8C的三個內角的余弦值；

②求球面△ABC的面積.

19.（本小題17分）

n個有次序的實數的,a2,…與所組成的有序數組（ai，ci2，...an）稱為一個n維向量，其中心。=稱為該

向量的第i個分量.特別地，對一個幾維向量Z=（ai，a2，...an）,若|七|=1,i=l,2...n,稱2為J1維信號向量.

設a=（al,。2,…即），）=（bi/2,.“bn）,則五和1的內積定義為a?￡憶1%>=的租+a2b2+.“+的1匕,且

a1h<=>a-b=0.

（1）寫出所有3維信號向量;

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(2)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；

(3)證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量.

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參考答案

l.c

2.C

3.0

4.B

5.D

6.D

7.0

8.D

9.BCD

10.ABC

ll.BCD

12.y2=4x(答案不唯一)

]

13.{m|—e<171<工且^0}

14,475-376+3-275-l

15.解：(1)由題可知，動點P的軌跡為焦點在x軸，開口朝右的拋物線，

???p=4,

曲線C的方程為y2=8x；

(2)設直線AB的方程為x=ty+m,((冷而，

直線與拋物線聯立：{1二曲+小，

消去丁化簡得y2—8ty—87n=0,則4=64t2+32m>0,BP2t2+m>0,

???yi+y2=8t,y02=—8zn,又|AF|+\BF\=+x2+4=6,即％I+%2=2,

又+冷=tyi+ty2+m=[仇+y2)+2m=2,

???8t2+2m=2,即4/+m=1,

設點M為AB的中點，則M(l,4t),

?,?直線MN的方程為y-4t=-t(x-l),

令y=0,則%N=5,

故點N為定點，坐標為(5,0).

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16.解:⑴當。=0時，/(%)=(%-l)ex-l,函數定義域為R,

可得/'(%)=xe"，

此時/'(1)=e,

又f(l)=一1，

所以函數/(%)在％=1處的切線方程為y—(—1)=e(x-l),

即y=ex—e—1；

(2)易知((%)=xex—2ax=%(ex—2a),

當a<0時，ex—2a>0恒成立，

當x<0時，/'(%)<0,/(%)單調遞減；

當%>0時，/'(%)>0,/(%)單調遞增，

當Q>0時，

令f'(x)=0,

解得久=0或%=In(2a),

當ln(2a)<0,BPO<aV,時,

當久Vln(2a)時,f(x)>0,八%)單調遞增;

當ln(2a)<x<0時，/'(%)<0,/(%)單調遞減；

當%>0時，尸(%)>0,/(%)單調遞增，

當ln(2a)=0,即a=，時，/'(%)20恒成立，

所以/(%)在R上單調遞增；

■1

當ln(2a)>0,即a時，

當久V0時，f(x)>0,/(%)單調遞增；

當0<%<ln(2a)時，//(%)<0,/(%)單調遞減;

當%>ln(2a)時，1(%)>0,/(%)單調遞增，

綜上所述，當a<0時，/(%)在(-8,0)單調遞減，在(0,+8)單調遞增；

當0<a<|■時，/(%)在(-8,ln(2a))上遞增，在(ln(2a),0)上遞減，在(0,+8)上遞增;

當a=3時，f(x)在R上遞增；

當a>|■時，/(x)在(-8,0)上遞增，在(0,ln(2a))上遞減，在(ln(2a),+8)上遞增；

(3)若/(%)>g(x),

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止匕時Xe，一仇%一%+%2—1>a/恒成立

因為久>0,

所以(wxejnx￡-l+/恒成立.

X乙

xeXlnx1+x2

設九(W=--^-,x>0,

即。<h(x)min,

因為％?久=elnx+x,

此時h(x)=[5-(也”久)-1]+之

xz

令t=Inx+x,

因為x>0,

所以t6R,

設(jp(t)=a一1一1,函數定義域為R,

可得d(t)=屋—1,

當t<0時，(p'(t)<0,<p(t)單調遞減；

當t>0時，>0,0(t)單調遞增，

所以0min(t)=9(0)=0,

即當且僅當t=0時，等號成立，

所以的”+*2(伍%+%)+1,

即ft(x)=(加工+x)l]+X2>史=],

所以2nin(x)=1，

則a<1.

故實數a取值范圍為

17.解：甲、乙2人玩一個紙牌游戲，先準備好寫有數字1,2,N的紙牌各一張,

由甲先隨機抽取一張紙牌，記紙牌上的數字為a,

隨后將紙牌放回(后面每次抽牌記錄數字后都需將紙牌放回)，接下來甲有2種選擇:

①再抽取一次紙牌，記紙牌上的數字為b,若a+b>N,乙贏，結束游戲，

否則，甲結束抽牌，換乙抽牌一次；

②直接結束抽牌，記6=0,換乙抽牌一次.

記乙抽到的紙牌上的數字為c,若a+6+cWN,則乙贏，否則甲贏，游戲結束.

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(1)若甲只抽牌1次，甲贏的情況如下.

甲抽到的紙牌上的數字為1,乙抽到的紙牌上的數字為N,此時有1種情況；

甲抽到的紙牌上的數字為2,乙抽到的紙牌上的數字為N,N-1,此時有2種情況；

甲抽到的紙牌上的數字為3,乙抽到的紙牌上的數字為N,N-l,N-2,此時有3種情況;

依次類推，甲贏的情況共有1+2+3+…+N=*1+N)N.

故甲贏的概率為區上學=*.

N22N

(2)若甲抽牌2次，甲贏的情況如下.

①甲第1次抽到的紙牌上的數字為1.

第2次抽到的紙牌上的數字為1,乙抽到的紙牌上的數字為N,N-1,此時有2種情況；

第2次抽到的紙牌上的數字為2,乙抽到的紙牌上的數字為N,N-l,N—2,此時有3種情況;

第2次抽到的紙牌上的數字為N-1,乙抽到的紙牌上的數字為N,N-1,1,此時有N種情況.

以上有2+3+…+N種情況.

②甲第1次抽到的紙牌上的數字為2.

第2次抽到的紙牌上的數字為1,乙抽到的紙牌上的數字為N,N-l,N-2,此時有3種情況；

第2次抽到的紙牌上的數字為2,乙抽到的紙牌上的數字為N,N-l,N-2,N—3,此時有4種情況;

第2次抽到的紙牌上的數字為N-2,乙抽到的紙牌上的數字為N,N-1,1,此時有N種情況.

以上有3+4+111+N種情況.

依次類推，甲第1次抽到的紙牌上的數字為3時，甲贏的情況有4+5+…+N種；

甲第1次抽到的紙牌上的數字為N-2時，甲贏的情況有N-l+N種；

甲第1次抽到的紙牌上的數字為N-1時，甲贏的情況有N種.

甲贏的情況的總數為(2+3+…+N)+(3+4+…+N)+(4+5+…+N)+-+(N—l+N)+N

=2+2x3+3x44--??+(N—1)N=22-2+32-3+42-4++N2-N

=22+32+42+…+解一(2+3+4+…+N)

_N(N+1)(2N+1)(l+N)N.i_N(N2-1)

=61d-Lr_21J=-3--

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故甲贏的概率為喝尹=嗑1.

（3）當甲抽取的第一張紙牌上的數字為a時，

若甲選擇①，則甲贏的概率Pi=（a+l^）（"a）,

若甲選擇②，則甲贏的概率「2=半

令P2>P1，崎〉9+1叫*一°），

化簡得a2+（2N+l）a-（yV2+N）>0,解得a>菖…+啰，+8N+1.

綜上，當甲抽取的第一張紙牌上的數字大于-2NT+誓+8N+1時,

甲選擇②贏得游戲的概率更大.

18.解：（1）由44=5可知8,。在兩個互相垂直（即交點處切線垂直）的大圓上，

從而命所以筋=能三5,

設Z71OB=/.AOC=aG（0,芻,AB=AC—a,

所以|2B|=|2C|=2si夠因為到8,C到直線2。的距離均為sina,所以|BC|="since,

所以由林=旋知|BC|=\AB\,所以退?出a=2siW，即/cosRl,

解得a=f,

B

所以乙2。8=/.AOC又B,C在兩個互相垂直的大圓上，

所以Z_80C=5,

所以。4OB,0C兩兩垂直，

由OB,OCu平面。BC,且OBnOC=0,可知。41平面。BC,

而04在平面。C4和平面。力B內，

所以平面0a41平面08C,同理平面Q4BJ.平面OBC,

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平面。AB_L平面0C4

所以三個平面OAB,OBC,OCA兩兩垂直,

故由球面角的定義知=4B=4。-p

所以球面△A8C的內角和是

(2)①由已知條件，可設COSN力。8=史,cos乙8。。=cos^COA=)

333

如圖，以。為原點，建立空間直角坐標系，則。(0,0,0),設A(I,O,O),B(字乎,。),

設C(p,q,r),則由|。*=\OB\=\OC\=1可知：

I"=cosZ.COA=OA-OC=p；

#=coszBOC=OB-OC=+乎q；

1=\OC\2=p2+q2+r2,

所以P=/q=孝丁2=I_p2_q2=|,

設丁>0,則丁=乎，

設平面OBC,OCA,OAB的法向量分別為可，而，可，設用=(〃〃為wD(i=1,2,3),

則便1可且好1世惚1可

人」(。。1可’且(。41符且［。81對

‘史〃1+走也=工〃1+更%+理Wi=0

，邁?可=遠?可=033333

貝小沆?元g=瓦彳?元3=0,即?7U2+噂藝+噂卬2="2=°

1方?否=礪?可=073.y/6

=看〃3+-y^3=n0

%+也也=W]=0

即，u2=v2+y/^w2—0,

欣=%=0

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,可=（也，-1,0）

故取而=（0,避,-1）.

扁=（0,0,1）

所以

‘一一、II被?國I11

cos44=|cos<以3>I=?詞.?詞=7m=5'

IrH?nTI

cos4B=|cos<nJ,nJ>|=?時.同?=0,

”.一一一、?|nl-n5|F1

cos4c=|COS<n1(n2>|=4兩=三+1xJ3+1=費

所以球面△ABC的三個內角的余弦值分別為如

②先證明一個引理.

引理：若球面△4BC的三個球面角444B,4C6(0,/，設該球面△A8C的面積為S△旗,

貝=44+4B+4C—7T,

證明：

記球。的表面積為S,貝!JS=4兀，

設4B,C的對徑點分別為A,B',C,

則前所在的大圓和能所在的大圓，

它們將球面分成了四個部分，

其中面積較小的兩個部分的面積之和Si等于球的表面積S的?倍，

即Si=/,類似可定義S2,S3,同理有52=嗎,S3=^S,

717171

根據球面被這三個大圓的劃分情況，又有Si+