專題突破練16立體幾何中的翻折問題、探究性問題2025

年高考總復習優化設計二輪專題數學課后習題專題突破練含

答案專題突破練(分值：90分)

■?學生用書P178

主干知識達標練

1.(15分)(2024安徽池州模擬)如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,△EA8與是兩個全等

的直角三角形，且FA=4,FC與AD交于點G,將RtAEAB與RtAFAD分別沿AB^D翻折，使瓦/重合

于點尸,連接PC,得到四棱錐P-ABCD.

(1)證明:8。_12。；

(2)若M為棱PC的中點，求直線3M與平面PCG所成的角的正弦值.

\\

A

(1)證明由題可知PA±AD,PA1AB,SLABLAD.

又A2nAD=A,A2/r)u平面ABCD,^以PA_L平面ABCD.

又BOu平面ABC。,所以E4_LBD連接AC,則AC±BD.

又PAnAC=A,E4,ACu平面PAC,所以BD_L平面PAC.

又PCu平面PAC,所以3O_LPC.

f>>

⑵解以點A為坐標原點人民AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系.

由題可得△PAGs^CDG,所以空="=2.

GDCD

4/|4%

又4。=2,所以AG,則B(2,0,0),C(2,2,0),G10,|,07(0,0,4),

所以——GC>=?，2,12,0\,——PC>=(2,2,-4)——,BP>=(-2,0,4).

又點M為PC的中點，所以麗=g麗=(1,1,-2),所以而？=BP+PM=(-1,1,2).

(n.pc=of2%+2y-4z=0,

設平面PCG的一個法向量為n=(x,y,z),則"'即。,2n

In-GC=0,12x+-y=0.

令y=3,得x=-l,z=l,所以平面PCG的一個法向量為n=(-l,3,l).

設直線5M與平面尸CG所成的角為仇

則sin6?=|cos<n,前>|=莊型=一尸=絆，所以直線與平面PCG所成的角的正弦值為絆.

|n||BM|V11XV61111

2.(15分)如圖，棱柱ABCD-AiBiCrDi的所有棱長都等于2,且NA3C=NAiAC=60。,平面A4CC，平面

ABCD.

(1)求平面D4Al與平面GC4A1所成角的余弦值.

⑵在棱CG所在直線上是否存在點尸,使得2尸〃平面ZMiG?若存在，求出點P的位置;若不存在，說

明理由.

解⑴如圖，取AC中點O,連接4OACJ3D

因為棱柱各棱長均為2,且/A8C=60。,所以四邊形A8CD是菱形,ZvlBC是等邊三角形，所以8。過點

O,AC=2,AC±BD.

又因為A4]=2,/4AC=60°,所以△4AC是等邊三角形，所以AiO_LAC.又平面A41cle，平面ABCD,

平面AAiGCn平面A8CZ)=AC,4Ou平面AAiGC,所以4。_1_平面ABCD.

又AC,BDu平面ABCD,所以AxO,AC,BD兩兩垂直.

以點。為原點,分別以O8,OC,O4所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

D(-V3,0,0)4(0,-1,0)41(0,0,73),所以育=(,,-1,0),西=(V3,0,V3).

設平面D44的一個法向量為m=(x,y,z),

ci(m-DA=V3x-v=0,

則，一>「廣

[m-DA1=V3x+v3z=0.

取x=l,則y=g,z=-l,所以平面D4Al的一?個法向量為m=(l,V3,-l).

易知平面GCAA1的一^法向量為ii=(l,O,O),則cos<m,n>=E^7=吃=坐，所以平面0AAi與平面

\m\\n\V55

CiCAAi所成的角的余弦值為

(2)存在.因為。1(02W),。(0,1,0)網百。0),所以西=(遮2遍),西>=(0,1,遍),左=(-遍,1,0).

因為點尸在CG上,可設而=2鬲=((M,A③I),所以前=BC+CP=(-V3,1+^,V3A).

設平面DArCi的一個法向量為s=(〃力,c),

n,(s-DA-,=V3a+V3c=0,

則，一二lr-

[s-DQ=V3a+2b+v3c=0.

取a=l,則6=0,c=-l,所以平面D41cl的一個法向量為s=(l,0,-l).

因為2尸〃平面ZMiG,所以前J_s,所以s?麗=-百一百；1=0,所以；l=-l,

所以而=-南,即點尸在GC的延長線上，且CP=CC

3.(15分X2024河北張家口模擬)如圖,在矩形ABC。中,42=魚,4。=2.將△A3。沿對角線3。折起，形

成一個四面體A-8C。,此時AC=m.

(1)是否存在實數加，使得同時成立?若存在，求出機的值;若不存在,請說明理由.

(2)求當二面角A-CD-B的正弦值為多少時,四面體A-BCD的體積最大？

解(1)不存在，理由如下：

假設存在實數加，使得AB±CD,AD1BC同時成立.

因為A8J_CZ),A8_LAZ),AZ)nCZ)=￡),AO,COu平面ACD,所以平面ACD.

因為8C_LAO,BC_LCZ),AOncr>=O,AD,C￡)u平面ACQ,所以8cl平面ACD,所以AB〃BC,或AB與

8C重合.

又A8n8C=8,矛盾，所以不存在實數九使得AB±CD,AD±BC同時成立.

(2)因為ABCD的面積為定值，要使四面體A-BCD的體積最大，所以只需讓平面BCD上的高最大即可,

易知此時平面A3Z5_L平面BCD.

過點A作AOLBD于點O,連接0A

因為AOu平面AB。,平面A8￡)n平面8。=次),所以AOJ_平面BCD.

以點。為原點，以在平面BCD中過點。且垂直于8。的直線為無軸,分別以00,04所在直線為y

軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.

在RtAABO中皿=山132+心=倔所以人。=螺￡=孚，所以20=，^同談=噂過點C作

BD33

CE_LBD,交BD于點瓦則CE^AO^-,DE=BO=^-,OE=BD-BO-DE=^-MA0,0,^),C(^,y,0

）,D（0呼,0），所以①=（竿，郛），而=（0呼，一竽）.

設平面ACD的一^個法向量為n=（%,〉,z）,

（777?2V3V6

n-CD=-—%+—y=n0,

則J《33

-r-2V62V3n

n-AD=——

I3J3=0.

取工=1,得廠魚,z=2,所以平面AC。的一個法向量為n=（l,V2,2）.

易知平面BCD的一個法向量為m=（0,0』）,所以cos<m,n>=E”===竺，所以二面角A-CD-B的正

\m\\n\777

弦值為sin9=在華2=子.

關鍵能力提升練

4.（15分）（2024湖南長沙模擬）如圖，在直角梯形ABGH中,AB〃G//,48_LBG,A8=5,HG=1,N

BAH=6（T,C,。分別為線段3G與AH的中點，現將四邊形CDHG沿直線C。折成一個五面體AED-

BFC.

⑴在線段8尸上是否存在點M使CM〃平面ADE?若存在，找出點〃的位置;若不存在，說明理由.

⑵若二面角F-DC-B的大小為60。,求平面ADE與平面DEFC的夾角的余弦值.

解⑴存在〃為8尸的中點，證明如下:

如圖，令M為B尸的中點，取AE中點N,連接MN,DN,則MN〃AB,MN=^^=3.

因為C,。分別為的中點，所以。。〃48,。=再署=3,

所以CD〃MN,CD=MN,所以西邊形CMN。為平行四邊形，所以CM〃DN.又CMC平面AED,DNu平

面AOE,所以CM〃平面ADE.

(2)因為FCLCD,BC_LCD,FCnBC=C,FC,BCu平面FCB,所以CZ)_L平面FCB.叉CZ)u平面ABC。,所

以平面A8CZ)_L平面FCB.

因為平面EFCDn平面4BCD=Cr>,所以/FC8為二面角RDC-B的平面角，所以/FC8=60°.又

FC=CB,所以△FCB為等邊三角形.

在直角梯形中,48〃6〃,&8_186,43=5,〃6=1,/54"=60。,可得8G=4百，所以

FC=BC=BF=2?過點、尸作PO_LBC交2C于點O,則點。為8C的中點.

取AO中點P,連接0P,。氏易知OP〃C￡),所以。尸_L平面尸C8又尸O,BCu平面ECB,所以OP,BC,FO

兩兩垂直.

以點。為原點,分別以0P,08,。尸所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

4(5,百,0),。(3,-百,0),反1,0,3),0；0,-百,0),所以屁=(-2,遮,3),反=(-3,0,0),^1=(2,2百,0).

爪=-2%+8％+34=。,取”=舊,則

設平面OEFC的一個法向量為m=(xi,yi,zi),則

m=-3%1=0.

xi=O,zi=-l,所以平面OEFC的一個法向量為m=(0,V3,-l).

設平面ADE的一^法向量為n=(X2,y2,Z2),

則|痂,幾=-2X2+75y2+3Z2=0,

[DA-TI=2%2+275y2=0?

取血二百,貝U丁2=-1/2=e，所以平面ADE的一個法向量為11=(遍,-1,舊),則cos<m,n>=^-=-^=-

|?7l||?2|ZXV/

手，所以平面ADE與平面ZJEFC的夾角的余弦值為-苧.

5.(15分X2024山西運城一模)如圖，在矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=2,沿AC將△AOC折起，使點。到

達點P的位置，點尸在平面ABC上的射影H落在AB上.

(1)求A8的長度；

(2)若M是PC上的一個動點，是否存在點M,使得平面AAffi與平面PBC的夾角的余弦值為學?若存

4

在，求CM的長度;若不存在，說明理由.

解⑴如圖，作PE_LAC,交AC于點E,連接EH.

因為點尸在平面ABC上的射影H落在上，所以PH_L平面ABC.

又ACu平面48C,所以PH±AC.

又PHCPE=P,PH,PEu平面尸”￡,所以AC_L平面PHE.

又EHu平面所以AC_LEH,

由題可知AP=2,PC=4,所以AC=2代，所以尸石=笥含=#,所以A￡=VAP2_pE2=手,易知△ABCs

△AEH,所碟=笫

t-rr,,,AE-AC坐x2遙

所以AHrr=——一二1

（2）存在.因為平面ABC,AB,BCu平面ABC,所以兩兩垂直.

以點X為坐標原點,以過點X且平行于BC的直線為y軸，分別以HB,PH所在直線為x軸、z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標系.

則A(-1,0,0),P(0,0,遮),2(3,0,0),C(3,2,0),所以屈=(4,0,0),麗=(0,2,0),麗=(3,2,-b).

設兩=2麗=(342；1,-百/1),/16[0,1],則而=~PB-PM=(3-3/l,-27l,V3A-V3).

設平面的一個法向量為m=(無i,yi,zi),所以[竺爪=4”1=°'「廣

=(3-3A)x1-2Ay1+(遮;I-b)z1=0.

令以=b；1-舊，則xi=0,zi=2九所以平面AMB的一個法向量為m=(0,V3A-V3,2/l).

設平面P8C的一個法向量為n=(X2,y2,Z2),

所以，而丑=3X2+2y2-V3z2=0,

{BC-n=2y2=0-

取X2=l,則丁2=0/2二8,所以平面尸5C的一個法向量為11=(1,0,百).

因為平面AMB與平面PBC的夾甬的余弦值為￡所以cos<m,n>=-^-=―J解得入蕓或

4Im|in|2月紊43

力=-1（舍去），所以兩=g無，所以CM=||PC|=|.

核心素養創新練

6.（15分X2024陜西西安一模）如圖，在三棱錐P-ABC中，側面PAC是邊長為1的正三角

形,BC=2,A8=花,E］分別為PC,PB的中點，平面AEF與平面ABC的交線為I.

⑴證明:/〃平面PBC;

(2)若三棱錐P-ABC的體積為在直線/上是否存在點。，使得直線PQ與平面AEP所成的角為a,異

面直線尸。與所成的角為以且滿足a+/三?若存在，求出線段AQ的長度;若不存在,請說明理由.

⑴證明因為瓦尸分別為PC,PB的中點，所以E尸〃BC.又BCu平面ABC,EF(t平面A8C,所以〃平面

A8C.又Eft平面AEF,平面AE/S平面ABC=/，所以EF〃l，所以/〃BC.又BCu平面PBCN平面PBC,

所以/〃平面PBC.

⑵解存在.

取AC的中點，連接PD因為是邊長為1的正三角形，所以AD=^,PD=\/PA2-AD2=y.

由題可得AC?+8。2=44,所以AC_Lgo,所以/XABC的面積為^AC-BC=^x1x2=1.

設點P到平面ABC的距離為/?,

貝*x〃=。，所以公孚=PD

362

所以PO_L平面A8C.

取A8的中點M連接。河,則。/〃BC,所以DM±AC.

又ACJDMu平面ABC,所以PD,AC,DM兩兩垂直.

以點。為坐標原點，分別以所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系，則4|0,0),P|0,0亭,E(q,O,凈,A[,1,分，所以版=(怖,0,爭，而=(0,1,0).

設。打0；,則而=(0<0),麗=

AE-n=-1x+^-z=Q,

設平面AEF的一^個法向量為n=(%,y,z),則

、EF?n=y=0.

取z=B,則x=l,尸0,所以平面AE尸的一個法向量為n=(l,0,V3),

—.13

所以cos〈n,PQ>="里=—ZX==--2==,

\n\\PQ\271+t22y11+t2

1

所以sinot=|cos<PQ,n>|=-

rn.L.PQEFt

又cos<PQ,EF>=^^r=r=.——

Y\PQWEF\石/

所以cosB=\cos<PQ,EF>|=-^L_=.

Vl+r

因為a+￡=5,所以5吊。=34即1三=懸聲所以|升=去

當二時，而=(0,卻),所以40=1砌=；；

當Q涉，而=(0,-|,0)，所以4。=|砌總

綜上所述，這樣的點。存在，且有AQ=g.

專題突破練（分值：102分）

?學生用書P185

主干知識達標練

1.（2023北京,5）（2“1）5的展開式中含x的項的系數為（）

A.-80B.-40C.40D.80

答案D

解析（2久1）5的展開式的通項為"+1=慧（2元）53J*=（-iy,25-*C*?,令5-24=1,得左=2,所以（2久-孑的

展開式中含x的項的系數為（-1>23髭=80.故選D.

2.（2024山東聊城模擬）三名男同學和兩名女同學隨機站成一列，則兩名女同學相鄰的概率是（）

1212

ABCD

6-5-3-3-

答案B

解析五名同學排成一列的排法有Ag=120（種），其中兩名女同學相鄰的排法有=48（種），所以兩名女

同學相鄰的概率是娥=|.故選B.

9

3.(2024廣東湛江二模)已知(1-2X)9=〃O+〃IX+…+〃9%9,則〃o+Z0=()

1=2

A.-2B.-19C.15D.17

答案D

解析令%=1,得〃O+Q1+...+〃9=(1-2)9=-1.

（1-2媛的展開式的通項為7kl=器（-2無?=（-1）七§2型/=0,1,...,9）,所以ai=（-l>xx2=-18,所以

9

ao+Z?=-l-（-18）=17.故選D.

i=2

4.（2024遼寧沈陽二模）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由6個爻組成，爻分

為陽爻“------------”和陰爻“------------”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,記事件

A=“取出的重卦中至少有1個陰爻“，事件3=”取出的重卦中至少有3個陽爻”，則尸（同4）=（）

答案C

解析P（A）=與=跟事件42="取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰''，則

264

p（AB）=ci+|+c1=、則尸（相尸需=春故選C.

/.OT1r1/1105

5.有5名志愿者參加社區服務，共服務星期六、星期日兩天,每天從中任選2人參加服務，則恰有1人

連續參加兩天服務的選擇種數為（）

A.120B.60

C.40D.30

答案B

解析（方法一）先在5名志愿者中安排1名在這兩天都參加社區服務，有5種安排方法,再在星期六、

星期日，每天從剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者參加社區服務，有4x3=12（種）安排方法.由

分步乘法計數原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有5x12=60（種）.

（方法二）在5名志愿者中安排2名在星期六參加社區服務，有量=10（種）安排方法.再從星期六參加社

區服務的2名志愿者中安排1名及從剩下的3名志愿者中安排1名在星期日參加社區服務，有

2x3=6（種）安排方法.由分步乘法計數原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有

10x6=60（種）.

（方法三）從5名志愿者中，在星期六、星期日兩天各安排2名參加社區服務，有髭X髭=100（種）安排

方法，星期六、星期日兩天的志愿者全不相同的安排方法有髭x禺=30（種）,全相同的安排方法有

釐=10（種），所以恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有100-30-10=60（種）.故選C.

6.（多選題X2024河北衡水模擬）對于（正-；）6的展開式，下列說法中正確的是（）

A.常數項是《

B.各項系數的和是64

C.第4項的二項式系數最大

D.奇數項的二項式系數的和是32

答案ACD

解析‘〃一會’6的展開式的通項為A+1=C”（?）6"（-抒=讖?（［）/次（%=0」…,6）,令3-|左=0,

得左=2,所以常數項為髭X（力2=字,故A正確；

24

令x=l,得）6*所以各項系數的和是專，故B錯誤；

第4項的二項式系數最大，故C正確；

奇數項的二項式系數的和為gx26=32,故D正確.

故選ACD.

7.（多選題）某班星期一上午要安排語文、數學、英語、物理4節課，且該天上午總共4節課，下列結論

正確的是（）

A.若數學課不安排在第一節，則有18種不同的安排方法

B.若語文課和數學課必須相鄰，且語文課排在數學課前面，則有6種不同的安排方法

C.若語文課和數學課不能相鄰，則有12種不同的安排方法

D.若語文課、數學課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法

答案ABC

解析對于A,先安排數學課，有3種排法，再安排其他3節課，有種排法，故總共有3A：18（種）排法，故

A正確;對于B,采用捆綁法，有A；6（種）排法，故B正確;對于C,先排英語課和物理課，有A4種排法，再采

用插空法排語文課和數學課，有A專種排法，故總共有A^A專=12（種）排法，故C正確;對于D,4節課共有A3

種排法，語文課、數學課、英語課的排列順序共有Ag種，所以有1=4（種）排法，故D錯誤.故選ABC.

A3

8.（5分X2024甘肅定西一模）已知某廠甲、乙兩車間生產同一批衣架,且甲、乙兩車間的產量分別占

全廠產量的60%,40%,甲、乙車間的優品率分別為95%,90%.現從該廠這批產品中任取一件,則取到

優品的概率為.（用百分數表示）

答案93%

解析從該廠這批產品中任取一件，設4=”取到的產品由甲車間生產"鼻2=”取到的產品由乙車間生

產”乃=“取到的產品為優品”.

由題可得P（AI）=0.6,P（A2）=0.4,P（B|AI）=0.95,P（B|A2）=0.9,

故尸（B）=尸（AI）P（B|AI）+P（A2）P（B|A2）=0.6X0.95+0.4x0.9=0.93=93%.

9.（5分X2023新高考I,13謀學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課

中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數字作

答）.

答案64

解析（方法一直接法）若選2門課，只需體育類和藝術類各選1門，有心x第=16（種）不同的選課方

案；

若選3門課,則需體育類選1門、藝術類選2門，或體育類選2門、藝術類選1門，有Qx讖+C/x

瑪=48（種）不同的選課方案.綜上，共有16+48=64（種）不同的選課方案.

（方法二間接法）由題意可知，從8門課中選擇2門或者3門共有a+a=84（種）不同的選課方案，只

選擇體育類或藝術類的選課方案有瑪鬣+禺盤=20（種），則符合題意的共有84-20=64（種）不同的選課

方案.

關鍵能力提升練

10.（2024山東臨沂一模）將1到30這30個正整數分成甲、乙兩組，每組各15個數，使得甲組的中位數

比乙組的中位數小2,則不同的分組方法數是（）

A.2（咯yB.2CI3CI4

C.2Cf4czD.2（C：4）2

答案B

解析因為甲組、乙組均為15個數，所以其中位數也均為從小到大排列的第8個數，即各組小于中位數

的有7個數，大于中位數的也有7個數.因為甲組的中位數比乙組的中位數小2,所以甲組的中位數和

乙組的中位數中間有1個數，所以小于甲組的中位數的數至少有7x2-1=13（個），至多有7義2=14（個），所

以甲組的中位數為14或15.

若甲組的中位數為14,則乙組的中位數為16,15一定在乙組,此時從1~13中選7個數放到甲組，剩下

的6個數放到乙組，再從17-30中選7個數放到甲組，剩下的7個數放到乙組，此時有C；3c入種分組方

法；

若甲組的中位數為15,則乙組的中位數為17,16一定在甲組,此時從1~14中選7個數放到甲組，剩下

的7個數放到乙組，再從18-30中選6個數放到甲組，剩下的7個數放到乙組，此時有種分組方

法.

綜上可得不同的分組方法數是C%C；4+C〃C？3=2C；3c入.故選B.

11.（多選題）（2024廣東廣州一模）甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球（兩箱

中的球除顏色外沒有其他區別）,先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用事件4和4表示從甲箱

中取出的球是紅球和白球;再從乙箱中隨機取出兩球,用事件8表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則

（）

3

A.P（Ai）--

11

B.P（2）=而

9

C.P（B|Ai）=-

2

D.P（A2|B）=^

答案ABD

解析依題意可得P（AI）=|,P（A2）=|.

2

若從甲箱中取出紅球，則乙箱中有3個紅球和2個白球，所以P（8|Ai）=與=之

C510

2

若從甲箱中取出白球，則乙箱中有2個紅球和3個白球，所以P（B|A2）=與=白，所以

^51°

oao111

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=-X-+-X-=為故A,B正確,C錯誤;

1ji

P⑶出尸曙=叫滬=警=2故D正確?

故選ABD.

12.（2024山東濟南一模）某公司現有員工120人,在榮獲“優秀員工”稱號的85人中，有75人是高級工

程師，既沒有榮獲“優秀員工”稱號又不是高級工程師的員工共有14人，公司將隨機選擇一名員工接受

電視新聞節目的采訪，被選中的員工是高級工程師的概率為（）

答案C

解析由題意得，試驗的樣本空間◎的樣本點總數為120,即“@）=120.

每個樣本點都是等可能的，所以這是一個古典概型.

設事件A=”被選中的員工是高級工程師”，則”（4）=120+75-85-14=96,所以所求概率為=含=

g.故選C.

13.（多選題）（2024山東日照一模）從標有1,2,3,…,8的8張卡片中有放回地抽取兩次，每次抽取一張，依

次得到數字。，瓦記點A（a力）,2（1,-1）,。（0,。）,則（）

A.ZAOB是銳角的概率為《

16

B./A8。是直角的概率為2

C.AAOB是銳角三角形的概率為，

64

D.AAOB的面積不大于5的概率為券

64

答案ACD

解析由題可知點A位于第一象限.

用圖表表示點A的坐標，如圖.

b

a

12345678

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(5,7)(5,8)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(6,7)(6,8)

7(7,1)(7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,7)(7,8)

|8|(8,1)|(8,2)|(8,3)|(8,4)|(8,5)|(8,6)|(8,7)|(8,8)|

可以得到，試驗的樣本空間包含的樣本點的個數為”(。)=禺禺=64,且每個樣本點都是等可能的，所以

這是一個古典概型.

對于A,如圖,設直線/過點0,且與0B垂直，因為%B=-1,所以仃=無，所以當a<b時,NA0B是銳角.設

A^ZAOB是銳角”,則“(4)=28,所以P(A)=噌=,=，故A正確；

71(12)6416

對于B,如圖,設直線m過點8,且與OB垂直，所以/y+1=苫-1,即仃=尤-2,所以當b=a-2時,是直

角.

設B="NAB0是直角”，則“(2)=6,所以P(B)=嘿=三=之故B錯誤；

n(J2)6432

對于C,如圖，若△A05為銳角三角形，則點A位于直線/和根之間，由題易知點A位于直線y=x-l上，

所以當b=a-l時,ZkAOB為銳角三角形,設C="Z\A0B為銳角三角形”,則“(0=7,所以尸(。=咚=，

n(JJ)64

故C正確；

對于D,如圖,|08|二&,直線OB:y=-x^Px+y=O.設直線〃:y=-x+c,即x+y-c=0,c>0,直線OB與直線n的

距離為則

d,V22

若△AO8的面積為5,則g|O8|d=5/吟苧=5,解得c=10,即w:y=-x+10,所以當任a+10,即a+b<lO

時,SZVIOBSS.

設的面積不大于5”,則w(D)=43,所以尸(。)=怒=葛故D正確.故選ACD.

14.(多選題X2024山東濟南一模)下列等式中正確的是()

88

A.2鷹=28B.X鬃=瑪

k=lk=2

82

D.Z(啕=/6

答案BCD

8

解析對于A,因為(1+%)8=A+瑪%+釐—+…+C打8,令%=1,得28=1+禺+禺+…+砥=1+Z魔,則

fc=l

8

￡讖=2盯,故A錯誤;

k=l

8

對于B,因為鬣+鬣=C苒1，所以E*=禺+髭+鬣+…+禺=c|+c|+鬣+…+髭=c|+

k=2

量+...+C然…+C|=C■，故B正確；

11(k-l)(kl)!_k-1

對于C，因為兩一百

々!(々-1)!kl(k-l)\―TT，

8kl81111,1111.1.r

所以Z導=2F…H=1,故L/C正確；

(fc-1)!kl1!2!-2!3!-----7!8!---8!''

k=2K?k=2

對于D,(l+X)16=(l+x)8(l+x)8,對于(1+方6的展開式,其含有f的項的系數為底6,對于(l+%)8(l+x)8的展

開式，要得到含有f的項的系數瀕從第一個式子的展開式中取出含式攵=0,1,…,8)的項,再從第二個式

888

子的展開式中取出含犬*的項,它們對應的系數相乘后求和，得zc翼y=2(砥)2,所以2(《)2=

k=0k=0k=0

/6,故D正確.故選BCD.

15.(5分X2024廣東佛山模擬)已知a=l+禺o2+C至22+C,o23+…+C翡22。,貝I]°除以10所得的余數

為.

答案1

232O221O1O1092

解析a=l+C|02+C|02+C^02+...+C^2=(1+2)°=3°=9=(1O-1)=C?010-Cj010+...+C?010-

98

C?olO+Clg=lO(C°olO-CjolO+...+CfolO-C?o)+l,

故a除以10所得的余數為1.

16.(5分X2024河北邢臺模擬)將1,2,3,...,9這9個數填入如圖所示的格子中(要求每個數都要填入，每

個格子中只能填一個數)，記第1行中最大的數為。，第2行中最大的數為瓦第3行中最大的數為c,則

a<b<c的填法共有種.

第1行

第2行

第3行

答案60480

解析由題可知,c=9,c可選的位置有3個，第3行其余2個位置任取2個數,共有禺Ag種情況;第2行，取

剩下6個數中最大的數為伍可選的位置有3個，其余2個位置任取2個數,共有瑪Ag種情況;第1行，剩

下3個數任意排列，則有Ag種情況.故共有禺A^&AgA；60480(種)填法.

核心素養創新練

17.(17分X2024江蘇蘇州模擬)在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1,2,3,4的四個外觀相同的空箱子

中隨機選擇一個,放入一件獎品，再將四個箱子關閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規則是主持

人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得.現有抽獎人甲選擇了

2號箱,在打開2號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子.按游戲規則，主持人將隨機

打開甲的選擇之外的一個空箱子.

(1)計算主持人打開4號箱的概率；

(2)當主持人打開4號箱后，現在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選2號箱，還是改選1

號或3號箱?(以獲得獎品的概率最大為決策依據)

解⑴設4="7號箱里有獎品'”=1,2,3,4),2=“主持人打開4號箱”，則a=aiM2UA3UA4,且4/2,444

兩兩互斥.

由題意可知,尸(4)=尸(42)=尸(A3)=P(A4)=QCB|AI)=*(5|A2)=*(B|A3)="(8|A4)=0.由全概率公式，得

4ZDZ

41(I1111

P(B)=/]P(4)P(BA)甘x4+l+2=?

(2)在主持人打開4號箱的條件下,1號箱、2號箱、3號箱里有獎品的條件概率分別為

g_P(AlB)_P(Ai)P(B|Ai)__3

&A1⑻-p(B)

p|RX_P(A2B)_P(A2)P(B|A2)__I

P((A2出)-E_p(B)一飛一―不

P(A,nx_P(A3B)_P(A3)P(B|A3)—晟_3

P(A3|B)-E-―麗廠-T--8'

所以甲應該改選1號或3號箱.

專題突破練(分值：58分)

■?學生用書P187

主干知識達標練

1.（多選題）某學校共有2000名男生，為了解這部分學生的身體發育情況，學校抽查了其中100名男生

的體重情況.根據所得樣本數據繪制的頻率分布直方圖如圖所示，則（）

距

A.樣本數據的眾數的估計值為67.5

B.樣本數據的80%分位數的估計值為72.5

C.樣本數據的平均數的估計值為66

D.該校男生中低于60kg的人數大約為300

答案ABD

解析對于A,在頻率分布直方圖中，體重在區間［65,70）內的學生最多，所以樣本數據的眾數的估計值為

67.5,故A正確;

對于B,因為（0.03+0.05+0.06）x5=0.7,0.7+0.04x5=0.9,所以80%分位數落在區間［70,75）內.設80%分位

數為無，則0.7+0.04（x-70）=0.8,解得x=72.5,所以樣本數據的80%分位數的估計值為72.5,故B正確；

對于C,樣本數據的平均數的估計值為

5x57.5x0.03+62.5x0.05+67.5x0.06+72.5x0.04+77.5x0.02=66.75,故C錯誤；

對于D,被抽到的100名男生中體重低于60kg的頻率為0.03x5=0.15,故可估計該校男生體重低于60

kg的概率為0.15,所以該校男生中低于60kg的人數大約為2000x0.15=300,故D正確.

故選ABD.

2.（多選題）（2024甘肅隴南一模）某廠近幾年陸續購買了幾臺4型機床，該型機床已投入生產的時間

x（單位:年）與當年所需要支出的維修費用y（單位:萬元）有如下統計資料：

23456

元2.23.85.56.57

A

根據表中的數據可得到經驗回歸方程為＞=1.23彳+a,則（）

A

A.a=0.08

B.y與x的樣本相關系數r＞0

C.表中維修費用的第60百分位數為6

D.該型機床已投入生產的時間為10年時,當年所需要支出的維修費用一定是12.38萬元

答案ABC

解析根據表中的數據可得元=4,歹=2.2+3.8+：.5+6.5+7=5,所以經驗回歸直線過點（4,5）.將（4,5）代入經驗

AA

回歸方程y=1.23x+a,可得a=0.08,故A正確；

由表中數據可得y隨著x增大而增大，尤與y正相關，所以相關系數/■＞（）,故B正確;

維修費用從小到大依次為2.2,3.8,5.5,65,7,因為5x60%=3,所以第60百分位數為用吧=6,故C正確;

根據回歸分析的概念，回歸模型只能用來近似變量的關系，不能準確判斷變量的值.故D錯誤.

故選ABC.

3.（多選題）（2024山東德州模擬）進入冬季,哈爾濱旅游火爆全網，下圖是一周內哈爾濱冰雪大世界和中

央大街日旅游人數的折線圖，則（）

人此乃

■冰?大情界

—中央大餐

1日2日3H4日SB6日7日日期

A.中央大街日旅游人數的極差是1.2萬

B.冰雪大世界日旅游人數的中位數是2.3萬

C.冰雪大世界日旅游人數的平均數比中央大街大

D.冰雪大世界日旅游人數的方差比中央大街大

答案BC

解析中央大街日旅游人數的最大值為2.8萬，最小值為0.9萬，所以極差為1.9萬，故A錯誤；

冰雪大世界日旅游人數由小到大依次為1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9,所以其中位數為2.3,故B正確;

中央大街日旅游人數的平均值為26+2?8+24+277+1.1+0.9+1.3=2（萬爆與,故C正確；

冰雪大世界日旅游人數的方差為1.72+1.82+1.92+2?+2.42+2.62+2.92_（||）2二春_（||）2<5.2-2.22=0.36,

中央大街日旅游人數的方差為2"+262+2.42+2；2+1./+092+132_4=嚶切出叉前，

故冰雪大世界日旅游人數的方差比中央大街小，故D錯誤.

故選BC.

4.（17分X2023全國乙，理17）某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配

對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工

藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為

=1,2,…,10）,試驗結果如下：

試驗序號i12345678910

伸縮率Xi545533551522575544541568596548

伸縮率》536527543530560533522550576536

記Z尸尤f（7=1,2,...,10）,記Zl,Z2,...,Z10的樣本平均數為2,樣本方差為s2.

⑴求2,52;

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高(如

果2>2代，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提

\10

高,否則不認為有顯著提高).

解⑴.：Zi=Xi-yi,

/.Z1=9/2=6/3=8/4=-8/5=15/6=11/7=19/8=18/9=20/10=12,

???z=-^X(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,.,.?=^-X[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-

11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=x(4+25+9+361+16+0+64+49+81+1)=61.

(2)；2患=2相1<11,即第<z,

可判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.

關鍵能力提升練

5.(多選題)(2024廣東汕頭一模)某次考試后，為分析學生的學習情況,某校從某年級中隨機抽取了