專題檢測4立體幾何2025年高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)二輪專題

數(shù)學(xué)課后習(xí)題專題突破練含答案專題檢測四（分值:150分）

?學(xué)生用書P181

一'選擇題:本題共8小題,每小題5分洪40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（2024四川成都模擬）已知直線/的方向向量是a=（3,2,1）,平面a的一個(gè)法向量是n=（l,-1,-1）,則/

與a的位置關(guān)系是（）

A.l.LaB./〃a

C.l與a相交但不垂直D./〃a或lua

答案D

解析因?yàn)閍=（3,2,l）,n=（l,-l,-l）,

所以a-n=3xl+2x（-l）+lx（-l）=0,

所以a_Ln.又直線/的方向向量是a,平面a的一個(gè)法向量是n,

所以Z〃平面a或/u平面a.

故選D.

2.（2024重慶模擬）正四棱錐的側(cè)棱長為遮，底面邊長為2,則該四棱錐的體積為（）

B.V3

c￥D.2V3

答案C

I27

解析因?yàn)檎睦忮F的側(cè)棱長為逐，底面邊長為2,所以底面積為22=4,棱錐的高為J（遙）-（V2）=V3,

所以棱錐的體積為:x4xV3=手.

故選C.

3.（2024山東煙臺(tái)一模）設(shè)a,b為兩條不同的直線,a/為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若°〃0!,6〃0!,則a//b

B.若a,b與a所成的角相等，則a//b

C.若a-L^,a//a,b///，則a_Lb

D.若a_LS，a_La,b_L￡,則a_Lb

答案D

解析平行于同一平面的兩條直線可能異面，可能相交，也可能平行，故A錯(cuò)誤；

a力與a所成的角相等，則。力可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤；

aLp,a〃%b〃艮則a,b的位置關(guān)系無法判斷，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)閍J_￡,a_La，所以a//[S或au￡.又6_1_￡,所以a_Lb，故D正確.

故選D.

4.（2024湖南長沙二模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子,建造和搬遷都很方便.已知蒙古包的造

型可近似地看作一個(gè)圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為

64兀平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（）

A.（l12+16舊）兀平方米

B.（80+16g）兀平方米

C.（112+18g）兀平方米

D.（80+18V17）7t平方米

答案A

解析設(shè)底面圓的半徑為廠米，則64兀=兀產(chǎn)，所以廠=8,所以圓錐的母線長為》22+8Z=2”7（米）,

所以該蒙古包（含底面）的表面積為Ttx8x2V17+2兀x8x3+64兀=112兀平方米）.故選A.

5.如圖，在三棱柱ABC-A^Q中，過45的截面與AC交于點(diǎn)。，與BC交于點(diǎn)瓦該截面將三棱柱分成

體積相等的兩部分，則冷（)

A,C.

A

B,

A，-3

八2-V3

C-D號(hào)

答案D

解析由題可知平面A1iE￡）與棱柱上、下底面分別交于則AiBi〃ED,則即〃AB,可得

CDE-CiAiBi是三棱臺(tái).

設(shè)△ABC的面積為1,△（7￡）￡的面積為S,三棱柱的高為h,

貝嶺.1%=9〃（1+5+岔），所以遮=

由△CDEs2XcAB,可得穿=嗎=”.故選D.

ACVI2

6.（2024河北唐山一模）已知球與圓臺(tái)的底面、側(cè)面都相切，且圓臺(tái)母線與底面所成的角為60。,則球表

面積與圓臺(tái)側(cè)面積之比為（）

A.2：3B.3：4

C.7：8D.6：13

答案B

解析設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓的半徑為八,出母線長為/,球的球心為點(diǎn)。，半徑為R.

如圖,作圓臺(tái)的軸截面A8CZ）,則四邊形ABC。為等腰梯形，設(shè)圓。分別切梯形ABCD的邊

AB,BC,CD,DA于點(diǎn)E,F,G,H.

由切線長定理可得所以即/=n+72.

因?yàn)镹A3C=60°,所以GE=2R=lsin60°,r2-n=|z,

所以r2=3ri,7?=V3n,

所以'=4/=4x（brJ=三

S圓臺(tái)Xri；+r20（4+3r。24

故選B.

7.（2024陜西渭南模擬）在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形A8CD是正方形,PC=AB,E/分別為PD,BC

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.PB〃平面AEF

B.EE〃平面PAB

C.EFLPD

D.AF_L平面PBD

答案B

解析如圖，記BD與AF的交點(diǎn)為點(diǎn)G,連接EG.

因?yàn)辄c(diǎn)尸為8c的中點(diǎn),BC〃AD,所以ABFGsZX/MG,所以髭=啜=；.

又點(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以直線尸8與EG相交.

又EGu平面AEF,所以P8與平面AEF有公共點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

取PA的中點(diǎn)H,連接則EH=^AD,EH//AD.

1

又BF=^AD,BF//AD,

所以EH=BF,EH//BF,

所以四邊形8年H是平行四邊形，

所以EF//BH.

又EF（t平面PAB,BHu平面所以E尸〃平面故B正確；

連接PF,DF,若EFLPD,點(diǎn)、E為PD中點(diǎn)，則PF=DF.又CP=CD,所以四所以N￡）b=/

PC￡即CP_LCE由題可知點(diǎn)P的位置不確定，故C不一定正確；

顯然AF與8。不垂直，所以AE與平面尸3。不可能垂直，故D錯(cuò)誤.故選B.

8.（2024陜西西安二模）如圖,在矩形A8C。中,AB=44D=3,尸,G分別在線段上,8尸=83=1,將4

BFG沿FG折起，使B到達(dá)M的位置，且平面PGM,平面ADCGF,則四面體ADFM的外接球的表面

積為（）

K""T

A.20TIB.20A/5TT

cC~100nc100V5n

答案A

解析設(shè)FG的中點(diǎn)為O,連接OD,MO.

由題可知為等腰直角三角形，所以MOLFG.

又平面/GM_L平面AOCGF,平面EGA/n平面AZ）CGF=G￡MOu平面FGM,所以MO_L平面ADCGF.

由題可知,&尸=4。=3,4。_14尸,所以44。斤的夕卜心為。歹的中點(diǎn),記為點(diǎn)N.

設(shè)四面體4DFM的外接球的球心為。，則QN_L平面AOE

在矩形ABCD中，易知/。￡4=/8既；=45°,

所以DFLGF.

又DRGEu平面ADCGF,^以O(shè)M,DF,GF兩兩垂直.

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以尸G,BD所在直線為x軸、y軸,以過點(diǎn)尸且平行于OM的直線為z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則R0,0,0）,N|0呼,0,必孚。，與：.

設(shè)Q（0,苧）則而=（0,芋色麗=（弓，乎,竹）.

因?yàn)椤Ｖ?。￡所以|所|=|加所以Jl+俘=l|+|+（t-y）2,

所以得所以2（0,苧爺同=o,苧多,

所以I所I=聲,即外接球的半徑為有，

所以外接球的表面積為47rx（遙）2=20兀.

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2023新高考H,9）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為為底面直徑,/4尸8=120。,尸4=2,點(diǎn)C在底

面圓周上,且二面角PAC-。為45。,則（）

A.該圓錐的體積為兀

B.該圓錐的側(cè)面積為4V3it

C.AC=2V2

□.△PAC的面積為

答案AC

解析由題意，可得PO_L平面AOC,/APO=gzAPB=60°,所以PO^PAcosZAPO^lAO^PAsinZ

如圖，取AC的中點(diǎn)D,連接PD,ODMPD_LAC,O￡>_LAC,所以ZPDO即為二面角P-AC-0的

平面角，所以NPOO=45°.

花血念空」7三二3&

因?yàn)镺Du平面AOC,PO_L平面AOC,所以尸0_10。,所以4尸。。為等腰直南三角形,所以

OD=PO=\,PD=yf2.

對(duì)于A,圓錐的體積V=i-nx（遮）2義1=私故A正確；

對(duì)于B,圓錐的側(cè)面積S=7txV3x2=2V^Tt,故B不正確；

對(duì)于（2川=2山1。2-。。2=2位,故C正確；

對(duì)于D,SAPAC=|XACXP￡）=1X2A/2x/=2,故D不正確.

故選AC.

10.（2024貴州貴陽一模）如圖，在正方體ABCD-A^BiCiDi中，點(diǎn)尸為線段4G的中點(diǎn)，點(diǎn)。為線段BQ

上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點(diǎn)Q,使得PQ//BD

B.存在點(diǎn)。，使得尸。,平面ABiCiD

C.三棱錐Q-APD的體積是定值

D.存在點(diǎn)Q,使得PQ1AC

答案BD

解析如圖1,在正方體488-43G5中，連接BQi.易知BD//B{D\.

圖1

因?yàn)辄c(diǎn)尸為線段AiG的中點(diǎn),四邊形AiBiCiDi為正方形,所以點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，所以BiDiHPQ^P,

即BiDi與PQ不平行，所以BD與PQ不平行，故A錯(cuò)誤；

如圖2,連接AiB,易知A,B±ABi.由題可知5G_L平面ABB',因?yàn)锳/u平面ABBXAX,^以AiB_L

81cl.

圖2

又2iCinA8i=8i,8iCi,A8|U平面ABCi。,所以48_L平面A81C0,所以當(dāng)PQ//AiB時(shí),PQ_L平面

ABC1D易知當(dāng)點(diǎn)Q為BCi中點(diǎn)時(shí),PQ〃4B,故B正確；

如圖3,連接A。,易知BCi//ADi.

因?yàn)锳nn平面A尸￡)=A,所以與平面AP。不平行，所以點(diǎn)。在線段BCi上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。到平面

APD的距離不是定值.又△APD的面積為定值，所以三棱錐Q-AP。的體積不是定值，故C錯(cuò)誤；

如圖4,易知AC±BD.由題可知8811.平面A8CZ),因?yàn)锳Cu平面ABCD,^以ACLBB\.

圖4

又BD,BBiU平面BDDiBi,BDC\BBi=B,

所以AC_L平面BDDiBi.

又BPu平面所以AC_LBP,所以當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)B重合時(shí)，尸。_L4C,故D正確.故選BD.

11.（2024遼寧沈陽模擬）中國古建筑聞名于世，如圖所示的中國傳統(tǒng)建筑的屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖為五面

體.若四邊形ABCD為矩形,EF〃AB,AB=3EF=3AD=2，AADE與ABCF是全等的等邊三角

形，順）

B.五面體EFBCDA的表面積為6+10V3

C.AE與平面ABCD所成的角為45°

D.當(dāng)五面體EFBCDA的各頂點(diǎn)都在球。的球面上時(shí)，球。的表面積為矍

答案ACD

解析如圖1,可將該五面體分割成四棱錐E-AGJ。,三棱柱EGJ-FHL四棱錐三部分，其中G,H

是48的三等分點(diǎn),/J是CD的三等分點(diǎn).

因?yàn)樗ˋB42=3E尸=3,△?!￡?￡1與△BC尸是全等的等邊三角形，所以由對(duì)稱性可知點(diǎn)瓦廠在平面

A8CD的投影分別為GJ,H/的中點(diǎn)，平面均垂直于平面A8CD易得四邊形H/JG是矩形，所

以易證G”分別垂直于平面EGJ/印,所以幾何體EGJ-FH/是直三棱柱.由對(duì)稱性可知四棱錐E-

AGJD與四棱錐F-HBCI的體積相等.

因?yàn)镚H_L平面EGJ,EGu平面EGJ,所以AG_LEG,由題意AE=2/G=1,所以EG=y/AE2-AG2=V3.R

理EJ±DJ.因?yàn)椤鰽OE是等邊三角形，所以AE=DE.

又因?yàn)锳G=D/,所以Rt^AGE絲Rtz\DJE,所以EG=E/,即是等腰三角形，所以△EGJ的邊GJ

上的高h(yuǎn)=JFG2-(|(7/)2=VI所以五面體EFBCDA的體積V=2x|xAGxGJx/j+ixGJx/?xGH=2x

|xlx2xV2+^x2xV2*1=手，故A正確;

五面體EFBCDA的表面積S=2x|xAD2sin60°+ADxAB+2x|x(￡F+AB)x￡G=22xy+2x3+(l+3)x

舊=6+6遮，故B錯(cuò)誤;

如圖2,取GJ的中點(diǎn)K,連接KE,KA,則KE1平面ABCD,^以AE■與平面ABCD所成的角即為ZEAK.

因?yàn)閟inNEAK卓=%/EAK為銳角，所以/EAK=45。,故C正確;

AE2

分別取ARABIC,CDEF中點(diǎn)尸,連接MN,P。,交于點(diǎn)。2,連接。。?

由題可知，點(diǎn)。2為A/N,P。的中點(diǎn),0102,平面A8CZ),OIO2_LEEMN_LP。,所以點(diǎn)。2為四邊形ABCD

外接圓的圓心,。1。2為EF的中垂線,所以該五面體外接球的球心0在直線。1。2上.以點(diǎn)。2為坐標(biāo)原

點(diǎn),分別以02Mo2。,。2。1所在直線為x軸、y軸、Z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則Fl

0,1,V21,|,0；，.設(shè)0((W),則不=(0,|,&-〃，布=(1)|,-Z).

由|而|=|加I,得lt2-2V2t+^=卜+■解得/=￥，所以00,0,￥1,0F^0,<,平),所以五面體外

74744424

接球的半徑R=\0F\=+y=苧所以外接球的表面積為4兀RM兀xy=等，故D正確.

故選ACD.

三'填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.已知圓柱的底面半徑為4,側(cè)面面積為16兀,則該圓柱的母線長等于.

答案2

解析由題意可知圓柱的底面周長為2兀x4=8兀，所以該圓柱的母線長為好=2.

13.(2024江蘇南通二模)已知二面角6(-//為直二面角,4€%86￡,4&,84/,48與61/所成的角分別為

則A2與/的夾角為

D4

宏案U

口本3

解析如圖，作A0_L/,8C_L/,分別交/于點(diǎn)Z),C連接BDAC.

因?yàn)閍_LAan夕=/,AZ)ua乃。(=夕,所以A0_LA8C_La,AD,8C/兩兩垂直，所以N84C為A3與a所成的

角,ZABD為A3與萬所成的角，即/BAC=]NA8。=：

64

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。AQC所在的直線為x軸、y軸,以過點(diǎn)。且平行于8C的直線為z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)A5=2幾相>0,則BC=mAC=WjnAD=BD=&m,所以=AA4c2_402=加，所以A(V2m,0,0),B(0,m,m),

所以AB=

易知/的一個(gè)方向向量為1=(0,1,0),所以cos<荏,1>=篙=券=去又<福1>6[o,J,所以

〈麗,1>=/即AB與I所成的角為看

14.(2024山東臨沂一模)球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底,垂直于截面的

直徑被截得的一段的長度叫做球冠的高;球被平面截下的一部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面，垂直

于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高.如圖1,一個(gè)球面的半徑為尺球冠的高是/?,球冠的表面

積公式是S=2兀R〃，與之對(duì)應(yīng)的球缺的體積公式是丫三口廬仃?初如圖2,已知CQ是以為直徑的圓

上的兩點(diǎn),乙40。=/8。。=押扇形coz>=6兀,則扇形C。。繞直線A5旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積

為，體積為.

圖1

圖2

答案72兀+36A/5TT144兀

解析因?yàn)镹A0C=N500q,所以NOOC=7i-2x：5

設(shè)圓的半徑為R,所以S扇形COD二2x兀相二6兀，解得R=6(負(fù)值舍去).

6

過點(diǎn)C作CE_L4B交A2于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。尸_LAB交AB于點(diǎn)￡則

C￡=OCs靖=3V5,OE=OCcos5=3,所以AE-R-0E-3.

同理可得DF=3?OF=BF=3.

將扇形COD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑R=6的球上下截去兩個(gè)球缺及其底面圍

成的幾何體所剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐，其中球缺的高〃=3,圓錐的高吊=3,底面半徑r=3V3.

其中一個(gè)球冠的表面積&=2兀=2兀x6x3=36兀，球的表面積S?=4兀R2=4兀x6?=144兀，圓錐的側(cè)面積

S3=3A/3x6兀=18百11,所以幾何體的表面積S=S2-2SI+2S3=1447t-2x367t+2x18V3n=72n+36V3TT.

其中一個(gè)球缺的體積Vi=|TT/I2(37?-/Z)=|nx3?x(3x6-3)=45兀，圓錐的體積X(3V3)2x3=27;r,球

3

的體積V3^-n：7?=|TTx63=288兀,

所以幾何體的體積1/=丹-2%-2匕=288兀-2x4571-2x27兀=144兀.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)如圖，直四棱柱A8CDA山CQ1的底面為平行四邊形,MN分別為ABQOi的中點(diǎn).

(1)證明:。加〃平面AiBN;

(2)若底面ABCD為矩形,A8=2AD=4,異面直線與4N所成角的余弦值為唱，求5到平面AiBN

的距離.

⑴證明如圖，連接451,交AiB于點(diǎn)E,連接NE,ME,則點(diǎn)、E為人田的中點(diǎn).

1

因?yàn)辄c(diǎn)〃為AB的中點(diǎn)，所以ME//AAi,ME^^AAi.

1

因?yàn)辄c(diǎn)N為DDr的中點(diǎn)，所以DN//AAi,DN^AAi,

所以ME〃DN,且ME=DN,

所以四邊形EMON為平行四邊形，

所以EN//DM.

又因?yàn)椤－h(huán)I平面AiBN,ENu平面A/N,所以。M〃平面AiBN.

(2)解因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-AiBiCiDi的底面為矩形，所以AB,ADMi兩兩垂直.

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,ADAAI所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則2(4,0,0),0(0,2,0),M(2,0,0),所以麗=(2,-2,0).

設(shè)44i=2r(r＞0),則4(0,02),川(0,2,力乃1(4,0,2。,所以兀討=(0,2,力.

設(shè)異面直線。M與4N所成角為0,

上4|

則cos0=|cos＜兩布＞|=需簫==詈，解得f=l(負(fù)值舍去)，所以

^22+(-2)2^22+(-()2

Ai(0,0,2),N(0,2,1),21(4,0,2),中=(0,2,-1),所以布=(4,0,-2),西=(0,0,2).

設(shè)平面AiBN的一^個(gè)法向量為n=(x,y,z),

(ABn=4x-2z=0,

所以r取z=2,則x=l,y=l,所以平面AiBN的一■個(gè)法向量為n=(l,l,2).

□IN?九=2y-z=0.

設(shè)點(diǎn)Bi到平面48N的距離為d,則］=粵粵=^=孚，即點(diǎn)Bi到平面的距離為孚.

\n\V633

16.(15分)某市政府實(shí)施“景觀工程”，對(duì)現(xiàn)有平頂?shù)拿裼枚鄬幼≌M(jìn)行“平改坡”，計(jì)劃將平頂房屋改為

尖頂，并鋪上彩色瓦片.現(xiàn)對(duì)某幢房屋有A,B兩種改造方案:如圖1所示,A方案中坡頂為底面是等邊

三角形的直三棱柱，尖頂屋脊AAi與房屋長度等長，有兩個(gè)坡面需鋪上瓦片.如圖2所示,B方案中

坡頂為方案A坡頂?shù)膬啥讼魅蓚€(gè)相同的三棱錐而得，尖頂屋脊比房屋長度BBi短，有四個(gè)坡面

需鋪上瓦片.若房屋長BBi=2a,寬BC=26,屋脊高為瓦要使鋪設(shè)的瓦片比較省，則應(yīng)選擇A,B兩種方案

中的哪一個(gè)？

圖1

解要比較A,B兩種方案鋪設(shè)的瓦片量，只要比較2sAABO與SABO的大小即可.

如圖，取BC中點(diǎn)瓦連接AE,DE.

由△ABC為等邊三角形得,AE_LBC.因?yàn)槿庵鵄BC-AiBiCr為直三棱柱，所以23_L平面ABC.又

AEu平面ABC,所以BB\LAE.

又2CnB8i=3,BC,BBiU平面SBCG,所以AE_L平面SBCG,所以所以h=Wb.

因?yàn)镈B=DC,E為BC中點(diǎn)，所以O(shè)E_L8C.設(shè)AO=x,由題意知0<x<a,則DE=-jAE2+AD2=

V/i2+x2=3+3爐,所以SABCD壽CDE=b\x2+3b2,

11

SAABD=-AD'AB=/,2匕=bx,

sbyjx2+3b2

所以衛(wèi)生2+竺

2S/\ABD2bx44/

2s2

當(dāng)會(huì)>)，即入x>°時(shí)，威絲>1,即SABC?>2SAAB?,選方案A;當(dāng)*=*即b=x時(shí),S"C?=2SAABZ),兩方

軌4乙'XABD4X4

案均可;

2

當(dāng)<］，即b<x<a時(shí),SABCZ)<2SAAB￡>,選方案B.

綜上，若AD長小于房屋寬度的一半，則圖1尖頂鋪設(shè)瓦片較省，即選方案A;若AD長等于房屋寬度的

一半，則圖1與圖2相同，兩方案都可以;若長大于房屋寬度的一半且小于房屋長的一半時(shí)，則圖2

尖頂鋪設(shè)瓦片較省，即選方案B.

17.（15分X2024山東淄博一模）如圖,多面體ABCAEF是由一個(gè)正四棱錐A-BCAE與一個(gè)三棱錐F-

AOE拼接而成，正四棱錐A-BCDE的所有棱長均為3<2,AF//CD.

⑴在棱OE上找一點(diǎn)G,使得平面A8CL平面AFG,并給出證明;

⑵當(dāng)AF=^CD時(shí)，求點(diǎn)尸到平面ADE的距離;

(3)若AF=gcr>,求直線。尸與平面A3C所成的角的正弦值.

解⑴當(dāng)點(diǎn)G為。E中點(diǎn)時(shí)，平面ABCL平面AFC,

證明如下:因?yàn)樗睦忮FA-BCDE是正四棱錐，所以AD=AE,^以AGLDE.

在正方形BCDE

在正方形BCDE中,CD_LBC,因?yàn)锳F//CZ),所以AF±BC,又A/TlAG=AAEAGu平面AFG,所以BC±

平面AFG又BCu平面ABC,所以平面ABC_L平面AFG.

(2)如圖，設(shè)。E中點(diǎn)為點(diǎn)G,連接B2CE交于點(diǎn)0,連接AO0G,則AF//0G.

又AF=?C。,所以0G=A凡所以四邊形A0GF為平行四邊形.因?yàn)樗睦忮FA-BCDE是正四棱錐，所以

A0_L平面BCDE.又OGu平面BCD及所以AO_LOG,所以四邊形AOGB為矩形，所以AF_LFG.

因?yàn)锳尸〃。G,OGJ_。及所以AF_LDE

又QEnFG=G,QE,FGu平面所以AF_L平面DEF.

2

又FG=AO=I(3V2)-(YX3/)2=3,所以VA.FDE=I-AF-jDEFG=gx誓Xgx3&x3=|.

設(shè)點(diǎn)尸到平面AOE的距離為//,則VF.ADE^VA-FDE=1^xfx(3或產(chǎn)力蕓,所以仁次,所以點(diǎn)尸到平面

2342

AOE的距離為VI

(3)因?yàn)樗睦忮FA-8CAE是正四棱錐，所以O(shè)C,OD,OA兩兩垂直.

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)CODOA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，則A(0,0,3),8(0,-3,0),C(3,0,0),Z)(0,3,0)F(-l,l,3),

//：\\JK\

—■—y"太牛夕￡

*y

所以a二(0,3,3),卞=(-3。3),而=(-1,-2,3).

設(shè)平面42c的一個(gè)法向量為n=(尤,y,z),則卜絲—3y+3z—0,

kn-CA=-3x+3z=0.

取z=1,則y=-l,x=1,所以平面ABC的一個(gè)法向量為n=(l,-l,1),設(shè)直線。尸與平面ABC所成的角為仇

貝IsinO=|cos<罰,11>|="型=二八=絳

11\DF\\n\V14xV321'

所以直線。尸與平面ABC所成的角的正弦值為富.

18.(17分)如圖,在平行四邊形ABCD中,。=60。。。=24。=2,將△&￡)(7沿AC折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸位

置，且尸C_LBC,連接PB得三棱錐P-ABC.

⑴證明:平面尸A8_L平面ABC;

(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為於若存在，求出籍的值;若

不存在，請(qǐng)說明理由.

(1)證明由題可知/4尸。=60°,。=24尸=2,易證尸4_LAC,所以BC_LAC又尸C_L

8C/CnPC=CAC,PCu平面PAC,所以8C_L平面PAC因?yàn)镻Au平面PAC,則PA_L8C.又

ACnBC=C,AC,2Cu平面ABC,所以E4_L平面ABC又PAu平面PA2,所以平面P4B_L平面ABC.

⑵解存在.

由(1)知,PA,BC,AC兩兩垂直，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),以過點(diǎn)A且平行于8C的直線為x軸，分別以AC,AP

所在直線為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),P(0,0』),C(0,U,0),8(-l,y,0),所

以下=(0,0,1),PB=(-1,V31),PC=(0,V31),^5=(-1,V3,0).

ft

ilPM=APC=(0,V32,-/l),0<^<l,

則前=而+PM=(O,V32,1J).

設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),

m-AB--x+V3y=0,

{m-AM-V32y+(l-A)z=0.

取y=1l,則z=V5/l,尤=V5；l-V5,所以平面ABM的一個(gè)法向量為m=(V32-V3,^-1,732).

設(shè)平面M8C的一個(gè)法向量為n=(a,6,c),

^(n-PB--a+V3b-c=0,

{.n-PC=y[3b-c=0.

令6=遍，則a=0,c=3,所以平面MBC的一個(gè)法向量為n=(0,遍,3).

因?yàn)槠矫鍭MB與平面MBC的夾角的余弦值為:，所以cos<m,n>=-^-=——竺"包==-|,

8Im||n|2摩后肅8

整理可得27r+24/1-28=0,

解得4=|或4=-昔(舍去)，

所以麗=|麗,所以震=|.

19.(17分)(2024山東濟(jì)南一模)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成

Ax+By+Cz+。=0,其中A,B,C,。eR,A2+"+c2M,且n=(A,氏C)為該平面的法向量.已知集合

P={(xj,3)||x|<l,|y|<l,|z|<l},<2={(x,y,3)||x|+|y|+|z|<2),T={(x,y,z)||x|+|y|<2,|y|+|z|<2,|z|+U|<2}.

⑴設(shè)集合M={(x,y,z)|z=0},記PCM中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面

積為求Si和&的值；

⑵記集合Q中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為ViJTlQ中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為匕,求Vi和

%的值；

(3)記集合T中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為W.

①求W的體積L的值；

②求W的相鄰(有公共棱)兩個(gè)面所成二面角的大小,并指出W的面數(shù)和棱數(shù).

解⑴集合M={(x,y,z)|z=0}表示xOy平面上所有的點(diǎn)，尸={(尤,y,z)||尤表示(±1,±1,±1)這八

個(gè)頂點(diǎn)形成的正方體內(nèi)所有的點(diǎn)./T1M可以看成正方體在xOy平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn)，其為邊長為

2的正方形，因此Si=4.

對(duì)于0={(尤,y,z)||尤|+|y|+|z|g2},當(dāng)x,y,z>Q時(shí)Q+y+zS2表示經(jīng)過(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)的平面與平面

xOy,xOz,yOz圍成的部分.

由對(duì)稱性可知。表示(±2,0,0),(0,±2,0),(0,0,±2)這六個(gè)頂點(diǎn)形成的正八面體內(nèi)所有的點(diǎn).QCM可以看

成正八面體在xOy平面上的截面內(nèi)所有的點(diǎn)，其為邊長為2爪的正方形，因此$2=8.

(2)由(1)可知VI=8X，X23=￥.如圖，

63

3

當(dāng)x,y,z>0時(shí)，尸CQ構(gòu)成的圖形為邊長為1的正方體截去一個(gè)三棱錐后的幾何體,其體積V3=l-

；X13=W由對(duì)稱性可知匕=8g=%

663

(3)如圖所示，即為T所構(gòu)成的圖形.

①其中正方體ABCD-IJML即為集合P所構(gòu)成的區(qū)域.E-ABCD構(gòu)成了一個(gè)正四棱錐，其中E到平面

ABCD的距離為2,

144

VE-ABCD=-X1X2X2=-,V3-VI+6VE-ABC￡)-8+6X-=16.

②由題意知平面EBC方程為x+z-2=0,由題干定義知其法向量ni=（l,O,l）,平面ECD方程為y+z-2=0,

由題干定義知其法向量112=（0,1,1）,故COS〈H1,I12>==I.

由圖知兩個(gè)相鄰的面所成角為鈍角，故”相鄰兩個(gè)面所成角為了.

由圖可知共有12個(gè)面,24條棱.

專題檢測五（分值：150分）

?學(xué)生用書P193

一'選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（2024湖南長沙模擬）某10人的射擊小組，在一次射擊訓(xùn)練中射擊成績數(shù)據(jù)如下表所示，則這組數(shù)

據(jù)的中位數(shù)為（）

6-)1()

人數(shù)1：>2-11

A.2B.8

C.8.2D.8.5

答案D

解析將射擊成績由小到大排列為6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,所以其中位數(shù)為半=85故選D.

2.（2024福建龍巖一模）（1-1）（x+y）7的展開式中含力2的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-91B.-21

C.14D.49

答案D

解析，丁1（%+y）7=Rx+y）7-（x+y）7.（x+y）7的展開式的通項(xiàng)為T^+l=CyX7'^,

44

則（x+y）7的展開式中含的項(xiàng)為八=陰%〉3=35；|；>3,含％5儼的項(xiàng)為乃=（；我5y2=21尤5y2,則,,—_J

a+y）7的展開式中含尤5y2的項(xiàng)的系數(shù)為2x35-1x21=49.故選D.

3.（2023新高考H,3）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學(xué)

生，則不同的抽樣結(jié)果有（）

A"C400'C至o種

c.cl°o-c^

答案D

解析由題意，初中部和高中部總共有400+200=600（人），按照分層隨機(jī)抽樣的原理,應(yīng)從初中部抽取

蕓x60=40（人），從高中部抽取蕓x60=20（人）.

第一步，從初中部抽取40人，有C瑞種方法，第二步,從高中部抽取20人，有C乳種方法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有（48（）C至0種抽樣結(jié)果.故選D.

4.（2024遼寧鞍山二模）某校數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)對(duì)“學(xué)生性別和選學(xué)生物學(xué)是否有關(guān)”作了嘗試性調(diào)查.其中

被調(diào)查的男女生人數(shù)相同.男生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的青女生選學(xué)生物學(xué)的人數(shù)占女生人數(shù)

的|.若依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為選學(xué)生物學(xué)和性別有關(guān)，則被調(diào)查的男生人數(shù)不

可能為（）

2

附二-----小出姐------苴中〃=q+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+dy八十0

0.00

a0.10.050.010.001

5

X2.703.846.637.8710.82

(1.61598

A.20B.30C.35D.40

答案A

解析零假設(shè)為國：選學(xué)生物學(xué)和性別無關(guān).

設(shè)被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為2九則由題可得列聯(lián)表如下.

選學(xué)情況

性4

選學(xué)生物未選學(xué)生物1=1

別計(jì)

學(xué)學(xué)

男4

-m1-mm

生55

女32

-m-mm

生55

合73

-m-m2m

計(jì)55

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到*竺退岑*=弄

因?yàn)楦鶕?jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷為不成立，即認(rèn)為選學(xué)生物學(xué)和性別有關(guān)，所以

Z2次）.1=2706,即舞22.706,解得論28.413.

由題可知，加為5的倍數(shù)，所以加230且加為5的整數(shù)倍,故男生人數(shù)不可能為20.故選A.

5.（2024廣東江門一模）已知9名女生的身高（單位:cm）平均值為162,方差為26,若增加1名身高為172

cm的女生，則這10名女生身高的方差為（）

A.32.4B.32.8

C.31.4D.31.8

答案A

解析設(shè)9名女生的身高分別為a,cm,i=l,2,…,9.

99

由題可知￡0=9x162,2（%-162）2=9義26.增加1名女生后身高的平均值為

i=li=l

99

白（20+172）=（9x162+172）=163,所以這10名女生身高的方差為923663）?+（172-

10

1。i=i101=1

9999

163）2]=[{￡[（a"62）-lp+8i}*{乞[Q-162）2-2Q-162）+1]+81}=1，（G,-162）2-2￡（處

iUi=l1Ui=liUi=li=l

162）+9+81]=99x26+9+81）=32.4.故選A.

6.（2024廣東佛山二模）勞動(dòng)可以樹德、增智、健體、育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)

實(shí)踐比賽,已知冠軍是甲、乙當(dāng)中的一人，丁和戊都不是最差的，則這5名同學(xué)的名次排列（無并列名

次）的可能結(jié)果共有（）

A.12種B.24種

C.36種D.48種

答案B

解析依題意，排第1名，有瑪種方法，排丁和戊，有A專種方法,排余下2人，有A'種方法，所以這5名同學(xué)的

名次排列（無并列名次）的可能結(jié)果共有禺A專A4=24（種）.故選B.

7.（2024華中師大一附中模擬）如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下,從原點(diǎn)。出發(fā)，每次向左移動(dòng)的

概率為|,向右移動(dòng)的概率為去若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)1個(gè)單位長度,設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為X,

貝ijP（X>0）=（）

4；-21O4:一門

答案D

解析依題意，當(dāng)X>0時(shí),X的可能取值為1,3,5.

用y表示5次移動(dòng)中向左移動(dòng)的次數(shù)，則Y~B；5,|）,

?31

+C啕3（|）2喑故選口.

8.（2024廣東湛江一模）在一次考試中有一道4個(gè)選項(xiàng)的雙選題，其中B和C是正確選項(xiàng),A和D是錯(cuò)

誤選項(xiàng)，甲、乙兩名同學(xué)都完全不會(huì)這道題目,只能在4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選取兩個(gè)選項(xiàng).設(shè)事件〃="甲、

乙兩人所選選項(xiàng)恰有一個(gè)相同"，事件"=“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全不同"，事件乂="甲、乙兩人所選

選項(xiàng)完全相同”，事件^="甲、乙兩人均未選擇B選項(xiàng)”，則（）

A.事件M與事件N相互獨(dú)立

B.事件X與事件y相互獨(dú)立

C.事件M與事件￥相互獨(dú)立

D.事件N與事件y相互獨(dú)立

答案C

解析由題可知尸（%）=裝=|,P（N）=|11=紀(jì)（㈤=晶=^（n=|H='

C4C43L4C4。C4c4。C4c44

由題可知事件M與事件N互斥，所以P（MN）=0.又P（M）P（N）《，所以事件M與事件N不相互獨(dú)立，故

A錯(cuò)誤；

2

由題可知尸（xy）=品=

C4C4■1■4

因?yàn)閜（x）p（y）=5,所以事件x與事件y不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；

由題可知尸@//）=鬻=i

因?yàn)镻（M）尸（r）=,所以事件M與事件y相互獨(dú)立，故c正確；

6

由題可知事件N與事件Y互斥，所以P（NY）=0.

1

又p（y）p（N）=5,所以事件N與事件y不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選c.

24

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2024遼寧撫順一模）采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）是國際上通用的監(jiān)測宏觀經(jīng)濟(jì)走勢的指標(biāo)，具有較強(qiáng)的預(yù)

測、預(yù)警作用.2023年12月31日，國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了中國制造業(yè)PMI指數(shù)（經(jīng)季節(jié)調(diào)整）圖，如下圖所

示，則下列說法正確的是（）

上月比較無變化

9^2

加/2023*2月SJ|4J|SJ|S月UI1Q/IItJ112/1

12MIJI

A.圖中前三個(gè)月的數(shù)據(jù)的平均值為49.9%

B.2023年四個(gè)季度的PMI指數(shù)中，第一季度方差最大

C.圖中PMI指數(shù)的極差為3.8%

D.2023年P(guān)MI指數(shù)的75%分位數(shù)為50.1%

答案AB

解析對(duì)于A,根據(jù)題表中數(shù)據(jù)可知題圖中前三個(gè)月的數(shù)據(jù)的平均值為

|x(47%+50.1%+52.6%)=49.9%,故A正確;

對(duì)于B,從題表中數(shù)據(jù)可以看出2023年四個(gè)季度的PMI指數(shù)中，第一季度的波動(dòng)性最大,穩(wěn)定性最差,

所以方差最大，故B正確；

對(duì)于C,易知題圖中PMI指數(shù)的極差為52.6%-47%=5.6%,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,易知12x75%=9,可知2023年P(guān)MI指數(shù)的75%分位數(shù)為從小到大排列的第9項(xiàng)和第10項(xiàng)的

平均數(shù)，即四竿喳=50.15%,故D錯(cuò)誤.

故選AB.

2

10.(2024云南保山模擬)若(1+2x)2°24=〃()+〃ix+a2X+…+^2期,則下列正確的是()

A.〃o=l

B.G()+〃I+…+。2024=3?°24

C.flo-ai+(l2-a3+…+々2024=1

D.QI-2〃2+3〃3+…+(-2024。2024)—■2024

答案ABC

解析令％=0,得“0=(1+2x0)2024=],故A正確；

令X=l,得〃o+〃l+…+〃2024=(1+2x1)2024=32024,故p正確；

令X=-l,得〃0-。1+〃2-。3+...+。2024=(1-2*1)2()24=],故Q正確；

由(l+2x)2°24=加+的工+^^+…+〃202涓°24兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得?024x2x(1+2x)2°23=〃I+2。加+3〃3%2+…+2

024。2024^2°23,

令x=-l,得〃1-2〃2+3的+...+(-2024^2024)=2024x2x(l-2xl)2023=-4048,故D錯(cuò)誤.

故選ABC.

11.(2024山西朔州一模)在信道內(nèi)傳輸M,N,P信號(hào),信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，輸入某一信號(hào)時(shí)，輸出的信號(hào)

字母不變的概率為a(0<a<l),輸出其他兩個(gè)字母的概率均為竽.設(shè)事件加尸“輸入信號(hào)

"輸入信號(hào)MVNV',Pi="輸入信號(hào)尸尸PP',P(M)=pi,P(M)=02,P(Pi)=P3,且pi+p2+03=l.設(shè)

事件。="依次輸出河橋吠,則()

A.若輸入信號(hào)則輸出的信號(hào)只有兩個(gè)M的概率為a2(l-a)2

B.P(ZWi)=a2(?丫

3

C.P(@Pi)=a(竽)

2api

D.P(Mi|Z))=

(3a-l)P]+l-a

答案BCD

解析因?yàn)檩斎肽骋恍盘?hào)時(shí)，輸出的信號(hào)字母不變的概率為a(O<a<l),輸出其他兩個(gè)字母的概率均為

手，即輸出的信號(hào)字母改變的概率為1-%且信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立,所以用X表示輸入4個(gè)字母的信號(hào)

時(shí)，輸出的信號(hào)中不變的字母個(gè)數(shù),X~2(4,a),所以輸入信號(hào)輸出的信號(hào)只有兩個(gè)M的概率為

P(X=2)=C/a2(l-a)2=6a2(l-a)2,故A錯(cuò)誤；

2

心M尸需=哼應(yīng)內(nèi)竽)2,故B正確；

3

P(冽尸i)=需2=吧*=a(竽丫,故C正確；

rv17"3'乙/