項目二投影的基本知識與作圖基礎

任務正投影法及基本體的投影任務正投影法及基本體的投影能力目標：1、明確三投影面體系的建立與三視圖的形成2、掌握三視圖的方法與步驟3、掌握基本體的投影知識目標：1、正投影的概念2、三視圖的投影關系3、基本體的投影情感目標：1、較強的自學能力，以適應科技新時代及終身學習的需要。2、一定的空間立體感和較強的方位感。3、耐心細致的工作作風和良好的繪圖習慣。4、一定的投影知識。2．1投影法概述

2.1.1投影的概念

2.1.2投影的分類

2.1.3平行投影的特性

2.1.4工程上常用的投影圖返回目錄相關知識

2.1.1投影的概念把空間形體轉化為平面圖形的方法稱為投影法。

a)影子b)投影投影面影子物體光線投影面影子物體光線圖2-1影子與投影要產生投影必須具備：投射線、形體、投影面，這是投影的三要素。返回

2.1.2投影的分類根據投射線之間的相互關系，可將投影法分為中心投影法和平行投影法。1．中心投影法當投射中心S在有限的距離內，所有的投射線都匯交于一點，這種方法所得到的投影，稱為中心投影，如圖2-2所示。在此條件下，物體投影的大小，隨物體距離投射中心S及投影面P的遠近的變化而變化，因此，用中心投影法得到物體的投影不能反映該物體真實形狀和大小。圖2-2中心投影返回2．平行投影法把投射中心S移到離投影面無限遠處，則投射線可看成互相平行，由此產生的投影稱為平行投影。因其投射線互相平行，所得投影的大小與物體離投影中心及投影面的遠近均無關。在平行投影中，根據投射線與投影面之間是否垂直，又分為斜投影和正投影兩種：投射線與投影面傾斜時稱為斜投影，如圖2-3a所示；投射線與投影面垂直時稱為正投影，如圖2-3b所示。圖2-3平行投影

2.1.3平行投影的特性1．同素性

在通常情況下，直線或平面不平行（垂直）于投影面，因而點的投影仍是點，直線的投影仍是直線。這一性質稱為同素性。2．顯實性（真形性）當直線或平面平行于投影面時，它們的投影反映實長或實形。如圖2-4a所示，直線AB平行于H面，其投影ab反映AB的真實長度，即ab=AB。如圖2-4b所示，平面ABC平行于H面，其投影反映實形，即三角形abc≌三角形ABC。這一性質稱為顯實性。圖2-4平行投影的顯實性返回3．積聚性當直線或平面平行于投射線（同時也垂直于投影面）時，其投影積聚為一點或一直線。這樣的投影稱為積聚投影。如圖2-5a所示，直線AB平行于投射線，其投影積聚為一點a(b)；如圖2-5b所示；平面三角形ABC平行于投射線，其投影積聚為一直線ac。投影的這種性質稱為積聚性。圖2-5平行投影的積聚性4．類似性（仿形性）當直線或平面傾斜于投影面時，直線在該投影面上的投影短于實長，見圖2-6a；而平面在該投影面上的投影要發生變形，比原實形要小，但與原形對應線段間的比值保持不變，所以在輪廓間的平行性、凸凹性、直曲等方面均不變，見圖2-6b；這種情況下，直線和平面的投影不反映實長或實形，其投影形狀是空間形狀的類似形，因而把投影的這種性質稱為類似性。圖2-6平行投影的類似性5．平行性當空間兩直線互相平行時，它們在同一投影面上的投影仍互相平行。如圖2-7a所示，空間兩直線AB∥CD，則平面ABba∥平面CDdc,兩平面與投影面H的交線ab、cd必互相平行。這一性質稱為平行性。圖2-7平行投影的平行性、從屬性與定比性6．從屬性與定比性點在直線上，則點的投影必定在直線的投影上。如圖2-7b所示，C∈AB,則c∈ab,這一性質稱為從屬性。點分線段的比例等于點的投影分線段的投影所成的比例，如圖2-7b所示，C∈AB，則AC:CB=ac:cb,這一性質稱為定比性。

2.1.4工程上常用的投影圖如前所述，工程技術圖樣是用來表達工程對象的形狀、結構和大小的，一般要求根據圖樣就能夠準確、清楚的判斷度量出物體的形狀和大小，但有時也要求圖樣的直觀性好，易讀懂，富有立體感。因此，為滿足不同的需要，常用的投影圖有：正投影圖、軸測投影圖、透視投影圖、標高投影圖等。

1．多面正投影圖用正投影法把形體向兩個或兩個以上互相垂直的投影面上進行投影，再按一定的規律將其展開到一個平面上，這樣所得到的投影圖稱為多面正投影圖，如圖2-8所示。它是工程上最主要的使用最廣泛的圖樣。這種圖樣的優點是能夠真實準確地反映物體的形狀和大小，作圖方便，度量性好；其缺點是立體感差，不易看懂。

2．軸測投影圖軸測投影圖是物體在一個投影面上的平行投影，簡稱軸測圖。將物體安置于投影面體系中合適的位置，選擇適當的投射方向，即可得軸測圖，如圖2-9所示。這種圖立體感強，容易看懂，但度量性差，作圖較麻煩，并且對復雜形體也難以表達清楚，因而工程中常用作輔助圖樣來使用。

3．透視投影圖透視投影圖是將物體在單個投影面上用中心投影法得到的投影圖，簡稱為透視圖。這種圖形象逼真，如照片一樣，非常接近于人們的視覺感受，但它度量性差，作圖繁雜，如圖2-10所示。在建筑設計中常用它來繪制大型工程項目及房屋、橋梁等建筑物的效果圖。返回圖2-8多面正投影圖

圖2-9斜軸測圖

圖2-10透視圖

4．標高投影圖標高投影圖是一種帶有數字標記的單面正投影圖。它用正投影法在物體的水平投影上加注某些特征線、面以及控制點的高程數值，來同時反映物體的長度、寬度和高度方向上的結構、尺寸，如圖2-11所示。這種圖作圖較簡單，但立體感較差，常用來表達地面的形狀，各種不規則曲面，土木建筑工程設計以及軍事地圖等。圖2-11標高投影圖由于多面正投影圖被廣泛地用來繪制工程圖樣，所以正投影法是本書介紹的主要內容，以后所說的投影，如無特殊說明均指正投影。??……思考題---1

1)投影的方法有拿些？

2)平行投影的特性是什么?

工程上繪制圖樣的方法主要是正投影法。但用正投影法繪制一個投影圖來表達物體的形狀往往是不夠的。如圖2-12所示，四個形狀不同的物體在投影面H上具有相同的正投影，單憑這個投影圖來確定物體的唯一形狀，是不可能的。

圖2-12不同形體的單面投影

2．2物體的三視圖如果對一個較為復雜的形體，即便是向兩個投影面做投射，其投影也就只能反映它的兩個面的形狀和大小，亦不能確定物體的唯一形狀。如圖2-13所示三個形體，它們的H、W投影相同，要憑這兩面的投影來區分它們的形狀，是不可能的。因此，若要使正投影圖唯一確定物體的形狀結構，僅有一面或兩面投影是不夠的，必須采用多面投射的方法，為此，我們設立了三投影面體系。圖2-13不同形體的兩面投影

2.2.3三視圖之間的投影關系

2.2.4三視圖之間的位置關系

2.2.5物體與三視圖之間的方位關系

2.2.6畫三視圖的方法與步驟

2.2.2三視圖的形成

2.2.1三投影面體系的建立

2．2物體的三視圖返回目錄將三個兩兩互相垂直的平面作為投影面，組成一個三投影面體系，如圖2-14所示。其中水平投影面用H標記，簡稱水平面或H面；正立投影面用V標記，簡稱正立面或V面；側立投影面用W標記，簡稱側面或W面。兩投影面的交線稱為投影軸，H面與V面的交線為OX軸，H面與W面的交線為OY軸，V面與W面的交線為OZ軸，三條投影軸兩兩互相垂直并匯交于原點O。圖2-14三投影面體系

2.2.1三投影面體系的建立返回

2.2.2三視圖的形成

用正投影法，將物體向投影面投射所得到的圖形，稱為視圖。將物體放置于三面投影體系中，并注意安放位置適宜，即把形體的主要表面與三個投影面對應平行，用正投影法進行投影，即可得到三個方向的正投影圖，如圖2-15所示。從前向后投影，在V面得到正面投影圖，叫主視圖；從上向下投影，在H面上得到水平投影，叫俯視圖；從左向右投影，在W面上得到側面投影圖，叫左視圖。這樣就得到了物體的主、俯、左三個視圖。圖2-15三視圖的形成返回為了把三個投影面上的投影畫在一張二維的圖紙上，我們假設沿OY投影軸將三投影面體系剪開，保持V面不動，H面沿OX軸向下旋轉90°，w面沿OZ軸向后旋轉90°，展開三投影面體系，使三個投影面處于同一個平面內，如圖2-16所示。需要注意的是：這時Y軸分為兩條，一條隨H面旋轉到OZ軸的正下方，用YH表示；一條隨W面旋轉到OX軸的正右方，用YW表示，如圖2-17a所示。實際繪圖時，在投影圖外不必畫出投影面的邊框，也不注寫H、V、W字樣，也不必畫出投影軸（又叫無軸投影），只要按方位置和投影關系，畫出主、俯、左三個視圖即可，如圖2-17b，這就是形體的三面正投影圖，簡稱三視圖。圖2-16三投影面體系的展開圖2-17形體的三視圖

2.2.3三視圖之間的投影關系在三投影面體系中，形體的X軸方向尺寸稱為長度，Y軸方向尺寸稱為寬度，Z軸方向尺寸稱為高度，如圖2-17b所示。在形體的三面投影中，水平投影圖和正面投影圖在X軸方向都反映物體的長度，它們的位置左右應對正，即“長對正”。正面投影圖和側面投影圖在Z軸方向都反映物體的高度，它們的位置上下應對齊，即“高平齊”；水平投影圖和側面投影圖在Y軸方向都反映物體的寬度，這兩個寬度一定相等，即“寬相等”。

主俯視圖長對正；主左視圖高平齊；俯左視圖寬相等。這稱為“三等關系”，也稱“三等規律”，它是形體的三視圖之間最基本的投影關系，是畫圖和讀圖的基礎。應當注意，這種關系無論是對整個物體還是對物體局部的每一點、線、面均符合。

2.2.4三視圖之間的位置關系

在看圖和畫圖時必須注意，以主視圖為準，俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方。畫三視圖時，一般應按上述位置配置，且不需標注其名稱。返回

2.2.5物體與三視圖之間的方位關系圖2-18三視圖的方位關系返回

2.2.6畫三視圖的方法與步驟繪制形體的三視圖時，應將形體上的棱線和輪廓線都畫出來，并且按投影方向，可見的線用實線表示，不可見的線用虛線表示，當虛線和實線重合時只畫出實線。繪圖前，應先將反映物體形狀特征最明顯的方向作為主視圖的投射方向，并將物體放正，然后用正投影法分別向各投影面進行投影，如圖2-19a。先畫出正面投影圖，然后根據“三等關系”，畫出其它兩面投影。“長對正”可用靠在丁字尺工作邊上的三角板，將V、H面兩投影對正。“高平齊”可以直接用丁字尺將V、W面兩投影拉平。“寬相等”可利用過原點O的45°斜線，利用丁字尺和三角板，將H、W面投影的寬度相互轉移，如圖2-19b所示，或以原點O為圓心作圓弧的方法，得到引線在側立投影面上與“等高”水平線的交點，連接關聯點而得到側面投影圖。三面投影圖之間存在著必然的聯系。只要給出物體的任何兩面投影，就可求出第三個投影。返回圖2-19畫三視圖的步驟返回??……思考題---2

1)物體的三視圖是指哪三個視圖？

2)三視圖之間的投影關系是什么

?3）畫三視圖的方法與步驟有哪些？

2.3基本體的投影2.3.1平面立體的投影2.3.2回轉體的投影

2.3.3基本體的尺寸標注返回目錄前三節我們討論了立體表面幾何元素（點、直線和平面）的投影規律以及定位和度量問題，這是畫法幾何的基礎。本節將用所學的知識去研究有關立體的投影問題。在生產實踐中，我們會接觸到各種形狀的機件，這些機件的形狀雖然復雜多樣，但都是由一些簡單的立體經過疊加、切割或相交等形式組合而成的，如圖所示。我們把這些形狀簡單且規則的立體稱為基本幾何體，簡稱為基本體。基本體的大小、形狀是由其表面限定的，按其表面性質的不同可分為平面立體和曲面立體。表面都是由平面圍成的立體稱為平面立體（簡稱平面體），例如棱柱、棱錐和棱臺等。表面都是由曲面或是由曲面與平面共同圍成的立體稱為曲面立體（簡稱曲面體），其中圍成立體的曲面又是回轉面的曲面立體，又叫回轉體，例如圓柱、圓錐、球體和圓環體等。返回2.3.1平面立體的投影平面立體主要有棱柱和棱錐兩種，棱臺是由棱錐截切得到的。其基本形體如圖所示。平面立體上相鄰兩面的交線稱為棱線。因為圍成平面立體的表面都是平面多邊形，而平面圖形是由直線段圍成的，直線段又是由其兩端點所確定。因此，繪制平面立體的投影，實際上就是畫出各平面間的交線和各頂點的投影。在平面立體中，可見棱線用實線表示，不可見棱線用虛線表示，以區分可見表面和不可見表面。1．棱柱棱柱分直棱柱（側棱與底面垂直）和斜棱柱（側棱和底面傾斜）。棱柱上、下底面是兩個形狀相同且互相平行的多邊形，各個側面都是矩形或平行四邊形，上下底面是正多邊形的直棱柱，稱為正棱柱。下面以六棱柱為例：（1）安放位置安放形體時要考慮兩個因素：一要使形體處于穩定狀態，二要考慮形體的工作狀況。為了作圖方便，應盡量使形體的表面平行或垂直于投影面。為此，將如圖所示的a正六棱的上、下底面平行于Ｈ面放置，并使其前后兩個側面平行于Ｖ面，則可得正六棱柱的三面投影圖。（2）投影分析圖b是它的三面投影圖。因為上、下兩底面是水平面，前后兩個棱面為正平面，其余四個棱面是鉛垂面，所以它的水平投影是個正六邊形，它是上、下底面的投影，反映了實形，正六邊形的六個邊即為六個棱面的積聚投影，正六邊形的六個頂點分別是六條棱線的水平積聚投影。六棱柱的前后棱面是正平面，它的正面投影反映實形，其余四個棱面是鉛垂面，因而正面投影是其類似形。合在一起，其正面投影是三個并排的矩形線框。中間的矩形線框為前后棱面反映實形的重合投影，左、右兩側的矩形線框為其余四個側面的重合投影。此線框的上、下兩邊即為上、下兩底面的積聚投影。它的側面投影是兩個并排的矩形線框，是四個鉛垂棱面的重合投影。（3）投影圖的作圖步驟

1）布置圖面，畫中心線、對稱線等作圖基準線。

2）畫水平投影，即反映上下端面實形的正六邊形。

3）根據正六棱柱的高，按投影關系畫正面投影。

4）根據正面投影和水平投影，按投影關系畫側面投影。

5）檢查并描深圖線，完成作圖。2．棱錐棱錐的底面為多邊形，各側面為若干具有公共頂點的三角形。當棱錐的底面是正多邊形，各側面是全等的等腰三角形時，稱為正棱錐。下面以三棱錐為例：（1）安放位置將正三棱錐的底面平行于Ｈ面放置，并使其后面棱面垂直與Ｗ面，則可得三棱錐的三面投影圖。（2）投影分析因為底面是水平面，所以它的水平投影是一個正三角形（反映實形），正面投影是一條直線（有積聚性）。連接錐頂和底面三角形各頂點的同面投影，即為三棱錐的正面和側面投影。其中，水平投影為三個三角形的線框，它們分別表示三個棱面及底面的投影。正面投影是兩個并排的三角形，它是三棱錐前面棱面的與后面棱面的重合投影。側面投影是一個三角形，它是前面左右兩棱面的重合投影，右邊側棱面是不可見的，而后面棱面因與側立投影面垂直，其投影積聚為一條直線。（3）作圖步驟

1）布置圖面，畫中心線、對稱線等作圖基準線。

2）畫水平投影。

3）根據三棱錐的高，按投影關系畫正面投影。

4）根據正面投影和水平投影按投影關系畫側面投影

5）檢查、描深圖線，完成作圖。【例2-6】作四棱臺的正投影圖，如圖所示。（1）分析

1）四棱臺的上、下底面都與H面平行，前、后兩棱面為側垂面，左、右兩棱面為正垂面。

2）上、下兩底面與H面平行，其水平投影反映實形；其正面、側面投影積聚為直線。

3）前、后兩棱面與W面垂直，其側面投影積聚為直線；與H、V面傾斜，投影為縮小的類似形。

4）左、右兩個面與V面垂直，其正面投影積聚為直線；與H、W面傾斜，投影為縮小的類似形。

5）四根斜棱線都是一般位置直線，其投影都不反映實長。（2）作圖

1）先作出正立面投影，向下“長對正”引鉛垂線，向右“高平齊”引水平線。

2）按物體寬度作出水平投影，并向右“寬相等”引水平線至45o線，轉向上作出側面投影。

3）加深圖形線。注意作圖時一定要遵守“長對正、高平齊、寬相等”的投影規律。3．平面立體上點和直線的投影平面立體的表面都是平面多邊形，在其表面上取點、取線的作圖問題，實質上就是平面上取點、取線作圖的應用。其作圖的基本原理就是：平面立體上的點和直線一定在立體表面上。由于平面立體的各表面存在著相對位置的差異，必然會出現表面投影的相互重疊，從而產生各表面投影的可見與不可見問題，因此對于表面上的點和線，還應考慮它們的可見性，判斷立體表面上點和線可見與否的原則是：如果點、線所在的表面投影可見，那么點、線的同面投影一定可見，否則不可見。立體表面取點、取線的求解問題一般是指已知立體的三面投影和它表面上某一點（線）的一面投影，要求該點（線）的另兩面投影，這類問題的求解方法有：（1）從屬性法當點位于立體表面的某條棱線上時，那么點的投影必定在棱線的投影上，既可利用線上點的“從屬性”求解。（2）積聚性法當點所在的立體表面對某投影面的投影具有積聚性時，那么點投影必定在該表面對這個投影面的積聚投影上。如圖a所示，在五棱柱后棱面上給出了A點的正面投影a′,在上底面上給出了B點的水平投影b′。可以利用棱面和底面投影的積聚性直接作出A點的水平投影B點正面投影，再進一步作出另外一面的投影，見圖b所示。（3）輔助線法當點所在的立體表面無積聚性投影時，必須利用作輔助線的方法來幫助求解。這種方法是先過已知點在立體表面作一輔助直線，求出輔助直線的另兩面投影，再依據點的“從屬性”，求出點的各面投影。如圖a所示，在三棱錐的SEG棱面上給出了點A的正面投影a′，又在SFG棱面上給出了點B的水平投影b。為了作出A點的水平投影a和B點的正面投影b′，可以運用前面講過的在平面上定點的方法，即首先在平面上畫一條輔助線，然后在此輔助線上定點。圖b說明了這兩個投影的畫法，圖中過A點作一條平行于底邊的輔助線，而過B點作一條通過錐頂的輔助線，所求的投影a、b′都是可見的，再依據投影原理作出整個立體及表面點的側面投影。

【例2-8】如圖所示，已知三棱錐的三面投影及其表面上的線段EF的投影ef，求出線段的其它投影。分析從已知投影可知，線段EF的投影ef為可見，所以EF必在左棱面△SAB上，△SAB為一般位置平面，故可以過EF作一輔助直線ⅠⅡ,根據從屬關系求出E、F點的投影。作圖

1）過ef作一輔助直線12。

2）求出1′2′、1″2″。從水平投影向上作鉛垂線，向右作水平線至45°線，轉向上得出1″2″，再向左得出1′2′，兩投影均為可見。

3）求e′f′、e″f″。從水平投影ef向上作鉛垂線，得出e′f′，再向右作水平線得出e″f″，兩投影均為可見。返回2.3.2

回轉體的投影回轉體的曲表面是由一母線（直線或曲線）繞定軸回轉一周而形成的回轉面，圓柱、圓錐、圓球和圓環是工程上常見的回轉體，其回轉面都是光滑曲面。1．基本概念（1）曲面曲面可以看成是由直線或曲線在空間按一定規律運動而形成的。若是作回轉運動而形成的曲面則稱為回轉曲面，簡稱回轉面。由直線作回轉運動而形成的曲面稱為直線回轉面。如圓柱曲面是一條直線圍繞一條軸線始終保持平行和等距旋轉而成,如圖圓錐面是一條直線與軸線交于一點始終保持一定夾角旋轉而成的如圖：由曲線作回轉運動而形成的曲面稱為曲線回轉面。如球面是由一個圓或圓弧線以直徑為軸旋轉而成，如圖：(2)素線與輪廓線形成回轉面的母線，它們在曲面上的任何位置稱為素線,如圖：確定曲面范圍的外形線稱為輪廓線輪廓線也是可見與不可見的分界線。輪廓線的確定與投影體系及物體的擺放位置有關，當回轉體的旋轉軸在投影體系中擺放的位置合理時，輪廓線與素線重合，這種素線稱為輪廓素線。在三面投影體系中，常用的四條輪廓素線分別為：形體最前邊素線、最后邊素線、最左邊素線和最右邊素線。（3）緯圓由回轉體的形成可知，母線上任意一點的運動軌跡為圓，該圓垂直軸線，此圓既為緯圓，如圖所示。應首先畫出它們的軸線（用點劃線表示）。2．圓柱（1）安放位置如圖a所示為一直圓柱體，其軸線垂直于水平投影面，因而兩底面互相平行且平行于水平面，圓柱面垂直于水平面。（2）投影分析如圖所示：

H面投影：為一圓形。它既是兩底面的重合投影（實形），又是圓柱面的積聚投影。

V面投影：為一矩形。該矩形的上下兩條邊為圓柱體上下兩底面的積聚投影，而左右兩條邊線則是圓柱面的左右兩條輪廓素線AB、CD的投影。該矩形線框表示圓柱體前半圓柱面與后半圓柱面的重合投影。

W面投影：為一矩形。該矩形上下兩條邊為圓柱體上下兩底面的積聚投影，而左右兩條邊線則是圓柱面的前后兩條輪廓素線EF、GH的投影。該矩形線框表示圓柱體左半圓柱面與右半圓柱面的重合投影。（3）作圖步驟如圖b所示：1）用點劃線畫出圓柱體各投影的軸線、中心線；2）有直徑畫水平投影圓；3）由“長對正”和高度作正面投影矩形；4）由“高平齊、寬相等”作側面投影矩形。注意：圓柱面上的AB、CD兩條素線的側面投影與軸線的側面投影重合，它們在側面投影中不能畫出；EF和GH兩條素線的正面投影與軸線的正面投影重合，他們在正面投影中不能畫出。也就是說非輪廓線的素線投影不必畫出。3．圓錐（1）安放位置圓錐軸線垂直于H面，底平面為水平面,如圖所示。（2）投影分析如圖所示,圓錐體是由圓錐面和底平面所圍成的：

H面投影為一圓，它是圓錐底面和圓錐面的重合投影；

V面投影為一等腰三角形，三角形的底邊是圓錐底圓的積聚投影，三角形的腰s′a′和s′b′分別是圓錐面上最左邊素線SA和最右邊素線SB的V面投影；三角形框是圓錐面前半部分和后半部分（SA和SB將圓錐面分為前后兩部分）的重合投影，前半部分可見，后半部分不可見；

W面投影亦為一等腰三角形，三角形的底邊是圓錐底圓的積聚投影，三角形的腰s″c″和s″d″分別是圓錐面上最前邊素線SC和最后邊素線SD的W面投影；三角形框是圓錐左半部分和右半部分（SC和SD可將圓錐面分為左右兩部分）的重合投影，左半部分可見，右半部分不可見；（3）作圖步驟如圖b所示：1）用點劃線畫出圓錐體三面投影的軸線、中心線；2）畫出底面圓的三面投影。底面為水平面，水平投影為反映實形的圓，其它兩投影積聚為直線段，長度等于底圓直徑；3）依據圓錐的高度畫出錐頂點S的三面正投影。4）畫輪廓線的三面正投影，即連接等腰三角形的腰。圓錐面是光滑的，和圓柱面類似，當素線的投影不是輪廓線時，均不畫出。4．圓球圓球面的特性圓球體是由圓球面所圍成的。由于通過球心的直線都可作旋轉軸，故球面的旋轉軸可以根據需要確定。投影分析：如圖所示，圓球體的三面投影都是大小相等的圓，是球體在三個不同方向的輪廓線的投影，其直徑與球徑相等。

H面投影的圓a是球體上半部分的球面與下半部分球面的重合投影，上半部分可見，下半部分不可見；圓周a是球面上平行于H面的最大圓A的投影。

V面投影的圓b是球體前半部分球面與后半部分球面的重合投影，前半部分可見，后半部分不可見；圓周b是球面上平行于V面的最大圓B的投影。

W面投影的圓c是球體左半部分球面與右半部分球面的重合投影，左半部分可見，右半部分不可見；圓周c是球面上平行于W面的最大圓C的投影。球面上A、B、C三個大圓的其他投影均與相應的中心線重合；這三個大圓分別將球面分成上下、前后、左右兩部分。（3）作圖步驟

1）用點劃線畫出圓球體各投影的中心線；

2）以球的直徑為直徑畫三個等大的圓，如圖b所示。5．圓環圓環由環面圍成，其三面投影中，兩個投影為長圓形（內環面用虛線表示），一個投影為同心圓。圓環的三面投影及其表面上點的投影作圖過程如圖所示。6．回轉體上點和線的投影（1）圓柱面上的點和線

1）圓柱面上點的投影圓柱面上的點必定在圓柱面的一條素線或一個緯圓上。當圓柱面具有積聚投影時，圓柱面上點的投影必在同面積聚投影上

【例3-9】如圖所示，已知圓柱面上的點M、N的正面投影，求另兩面的投影。分析

M點的正面投影可見，又在點劃線的左面，由此判斷M點在左、前半圓柱面上，側面投影可見。

N點的正面投影不可見，又在點劃線的右面，由此判斷N點在右、后半圓柱面上，側面投影不可見。作圖

1）求點m、m〞。過m′作素線的正立投影（可以只作出一部分），即過m′向下引鉛垂線交于圓周前半部m，此點就是所求的m點；再根據投影規則作出m〞，m〞點為可見點；

2）求點n、n〞。做法與M點相同，其側面投影不可見。2）圓柱面上線的投影

【例3-10】如圖所示，已知圓柱面上的AB線段的正面投影a′b′，求其另兩面投影。分析

1）圓柱的軸線垂直于側面，其側面投影積聚為圓，正面投影、水平投影為矩形。

2）線段AB是圓柱面上的一段曲線。求曲線投影的方法是畫出曲線上，諸如端點、分界點等特殊位置點及適當數量的一般位置點，并把它們光滑連接即可。作圖

1)求出端點A和B的投影。利用積聚性，求得側面投影a″、b″，再根據投影關系求出a、b。

2)求曲線在輪廓線上的點C的投影。點C在水平投影轉向輪廓線（輪廓素線）上，根據轉向輪廓線的投影位置，可求出點C的側面投影c″和水平投影c。

3)求適當數量的中間點。在a′b′上取點1′、2′3′，然后求其側面的投影1〞、2〞、3〞，再根據投影關系求出水平投影1、2、3。

4)判別可見性并連線。c點為水平投影可見與不可見的分界點，曲線的水平投影a32c為不可見，畫成虛線，c1a為可見，畫成實線。（2）圓錐面上的點和線

1）圓錐面上點的投影圓錐體的投影沒有積聚性，在其表面上取點的方法有兩種：方法一：素線法。圓錐面是由許多素線組成的。圓錐面上任一點必定在經過該點的素線上，因此只要求出過該點素線的投影，即可求出該點的投影。

【例3-11】如圖所示，已知圓錐面上一點A的投影正面投影a′，求a、a″分析

1）A點在圓錐面上，一定在圓錐的一條素線上，故過A點與錐頂S相連，并延長交底面圓周于Ⅰ點，SⅠ及為圓錐面上的一條素線，求出此素線的各投影。

2）根據點線的從屬關系，求出點的各投影。作圖

1）過a′作素線SⅠ的正立投影s′1′；

2）求s1。連接s′a′延