2025年高考數學總復習《分類打靶函數應用與函數模型》專項測試卷

及答案

學校:___________姓名：班級：考號：

一題型01二次函數與幕模型

1.（2023?河北?校聯考模擬預測）勞動實踐是大學生學習知識、鍛煉才干的有效途徑，更是大學生服務社

會、回報社會的一種良好形式某大學生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當該服裝廠生產的一種衣服日產量

為x件時，售價為s元/件，且滿足s=820-2x,每天的成本合計為600+20*元，請你幫他計算日產量為

件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為萬元.

2.（2023?北京海淀?高三校考階段練習）科學家在研究物體的熱輻射能力時定義了一個理想模型叫“黑體”，

即一種能完全吸收照在其表面的電磁波（光）的物體.然后，黑體根據其本身特性再向周邊輻射電磁波，

科學研究發現單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率8與該黑體的絕對溫度T的4次方成正比，即

B=。為玻爾茲曼常數.而我們在做實驗數據處理的過程中，往往不用基礎變量作為橫縱坐標，以本

實驗結果為例，8為縱坐標，以T"為橫坐標，則能夠近似得到（曲線形狀），那么如果繼續研究該實

驗，若實驗結果的曲線如圖所示，試寫出其可能的橫縱坐標的變量形式.

3.（2015?北京）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況

加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）

2015年5月1日1235000

2015年5月15日4835600

注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

4.（2023?河南平頂山?高三校聯考階段練習）折紙是我國民間的一種傳統手工藝術，明德小學在課后延

時服務中聘請了民間藝術傳人給同學們教授折紙.課堂上，老師給每位同學發了一張長為12cm,寬為10cm

的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕（線段）將紙片分為面積比為1：3的兩部分，則折

第1頁共31頁

痕長度的取值范圍是cm.

5.（2023?全國?高三專題練習）某單位計劃建一矩形場地，現有總長度為100m的可作為圍墻的材料，

則場地的面積S（單位：a?）與場地的長x（單位：m）的函數關系式為.

一^型02分段函數模型

6.（2017?上海）根據預測，某地第w（〃eN*）個月共享單車的投放量和損失量分別為4和4（單位：輛）,

3

其中a.=[5,+15'啜加,bn=n+5,第〃個月底的共享單車的保有量是前〃個月的累計投放量與累計損

失量的差.

（1）求該地區第4個月底的共享單車的保有量；

（2）已知該地共享單車停放點第〃個月底的單車容納量S“=T（〃-46>+8800（單位：輛）.設在某月底,

共享單車保有量達到最大，問該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量？

7.（2018?上海）某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上

班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示：當S中x%（0<x<100）的成員自駕時，自駕群體的人

均通勤時間為

30,0<%,30

/（%）=1800（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受％影響，恒為40分鐘，

2xH---------90,30<x<100

試根據上述分析結果回答下列問題：

（1）當X在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

（2）求該地上班族S的人均通勤時間g（x）的表達式；討論g（x）的單調性，并說明其實際意義.

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8.（2023?江蘇蘇州?高三統考期末）已知正四面體ABCD的棱長為1,P為棱上的動點（端點A、B除

外），過點尸作平面a垂直于A3,a與正四面體的表面相交.記AP=x,將交線圍成的圖形面積S表示為x

的函數〃尤），則S=/（x）的圖象大致為（）

9.（2023?重慶南岸?高三重慶市第十一中學校校考階段練習）為了抗擊新型冠狀病毒肺炎保障師生安全,

我校決定每天對教室進行消毒工作，己知藥物釋放過程中，室內空氣中的含藥量y（穌/加3）與時間f（〃）

成正比（0<r<；）；藥物釋放完畢后，y與1的函數關系式為>=（；）”"（a為常數，rw；）,據測定，當空

氣中每立方米的含藥量降低到0.5（mg/m3）以下時，學生方可進教室，則學校應安排工作人員至少提前分

鐘進行消毒工作

C.60D.90

10.（2023?廣東深圳?高三統考期末）某科技企業為抓住“一帶一路”帶來的發展機遇，開發生產一智能產

品，該產品每年的固定成本是25萬元，每生產x萬件該產品，需另投入成本o（x）萬元.其中

X2+10x,0<x<40

=110000，若該公司一年內生產該產品全部售完，每件的售價為70元，則該企業每

71x+---------945,%>40

、%

年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

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C.875萬元D.900萬元

11.（2023?北京西城?高三統考期末）“空氣質量指數（AQI）”是定量描述空氣質量狀況的無量綱指數.當

AQI大于200時，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動.某地某天0~24時的空氣質量指數》隨時間f變化的

-10r+290,0</<12

趨勢由函數y=，廠…，?描述，則該天適宜開展戶外活動的時長至多為（）

56Vf-24,12<?<24

A.5小時B.6小時C.7小時D.8小時

12.（2023?山東臨沂?高三統考期中）為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民用水實行“階梯水

價”.計費方法如下表：

每戶每月用水量水價

不超過12m34元/n?

超過12m③但不超過18m36元/n?

超過18m③8元/n?

若某戶居民上月交納的水費為66元，則該戶居民上月用水量為（）

A.13m3B.14m3C.15m3D.16m3

?題型03對勾函數模型

13.（2014?湖北）某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量尸（單位時間內經過測量點的

車輛數，單位：輛/小時）與車流速度v（假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長/（單位：

米）的值有關，其公式為尸=276000".

（I）如果不限定車型，/=6.05,則最大車流量為輛/小時；

（II）如果限定車型，1=5,則最大車流量比（I）中的最大車流量增加一輛/小時.

14.（2023?山東濟南?高三山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）近來汽油價格起伏較大，假設第一

周、第二周的汽油價格分別為力元/升，w元/升（租學〃），甲和乙購買汽油的方式不同，甲每周購買40元的

汽油，乙每周購買12升汽油，甲、乙兩次購買平均單價分別記為生,出，則下列結論正確的是（）

A.弓=。2B.%>的C.%>4D.%,的大小無法確定

15.（2023?遼寧大連?高一大連八中校考期中）近來豬肉價格起伏較大，假設第一周、第二周的豬肉價格

分別為。元/斤淮元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，

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甲、乙兩次平均單價為分別記為叫，加2,則下列結論正確的是（

A.m[=m2B.mx>m1

C.m2>m{D.7%,的大小無法確定

16.（2023?湖南?高三校聯考階段練習）某社區計劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為1800

平方米的矩形ABCD,為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道，

則種植花卉區域的面積的最大值是（）

A.1208平方米B.1448平方米C.1568平方米D.1698平方米

17.（2023?廣西南寧?統考二模）某單位為提升服務質量，花費3萬元購進了一套先進設備，該設備每年

管理費用為01萬元，已知使用尤年的維修總費用為土上萬元，則該設備年平均費用最少時的年限為（）

D.10

18.（2023?河南洛陽?洛陽市第三中學校聯考一模）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅、全面建成小康社

會的歷史任務，實現第一個百年奮斗目標”作為十年來對黨和人民事業具有重大現實意義和深遠歷史意義的

三件大事之一.某企業積極響應國家號召，對某經濟欠發達地區實施幫扶，投資生產A產品.經過市場調

研，生產A產品的固定成本為200萬元，每生產x萬件，需可變成本P（x）萬元，當產量不足50萬件時，

p（x）==；x3+60x；當產量不小于50萬件時，。。）=101無+色史-1360.每件A產品的售價為100元，通

過市場分析，生產的A產品可以全部銷售完.欲使得生產該產品能獲得最大利潤，則產量應為（）

A.40萬件B.50萬件C.60萬件D.80萬件

一題型.04指數函數模型

19.（2023?河南?高三內黃縣第一中學校聯考階段練習）用指數模型：y=e°.描述累計一個池塘甲種微

生物的數量y隨時間r（單位：天）的變化規律，則該池塘甲種微生物的數量增加到原來的3倍需要的時間

約為天.（ln3"10,結果精確到0.1）.

20.（2023?江蘇徐州?高三校考開學考試）2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創立的人工智能研究

公司?！非鞍l布的名為“CW/GTP”的人工智能聊天程序進入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內關

注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點的，在神經網絡優化中，

第5頁共31頁

指數衰減的學習率模型為乙=4?？矗渲蠰表示每一輪優化時使用的學習率，%表示初始學習率，。表示

衰減系數，G表示訓練迭代輪數，G。表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.5,

衰減速度為18,且當訓練迭代輪數為18時，學習率衰減為0.4,則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需

的訓練迭代輪數至少為.（參考數據：修2。0.3010）

21.（2023?高一課時練習）將石片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為11.2m/s,這是第一次“打

水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的93%,若要使石片的速率低于

7.84m/s,則至少需要“打水漂”次.（參考數據：IRlnO.7=-0.357,ln0.93=-0.073）

22.（2023?全國?高三對口高考）某地對生活垃圾使用填埋和環保兩種方式處理.該地2020年產生的生活

垃圾為20萬噸，其中15萬噸以填埋方式處理，5萬噸以環保方式處理.預計每年生活垃圾的總量比前一年

增加1萬噸，同時，因垃圾處理技術越來越進步，要求從2021年起每年通過環保方式處理的生活垃圾量是

前一年的4倍，若要使得2024年通過填埋方式處理的生活垃圾量不高于當年生活垃圾總量的50%,則4的

值至少為.

23.（2023?福建廈門?高三廈門一中?？茧A段練習）牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫

度為0；C,空氣溫度為%C,則t分鐘后物體的溫度6（單位：。滿足：。%+（々若常數k=0.05,

空氣溫度為30℃,某物體的溫度從120℃下降到40℃,大約需要的時間為.（參考數據：足3。1.1）

24.（2015?四川）某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：°C）滿足函數關系

y=e"+"e=2.718…為自然對數的底數，k、6為常數）.若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的

保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是一小時.

一題型05對數函數模型

25.（2023?上海松江?高三上海市松江二中?？茧A段練習）“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，

易放難收《增廣賢文》是勉勵人們專心學習的.如果每天的“進步”率都是1%,那么一年后是

（1+1%）365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%,那么一年后是（1-1%戶5=0.99365,一年后“進步，，的是“退

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ini365（iniA365

步”的湍荻=[^]R481倍.如果每天的“進步”率和“退步”率都是20%，那么“進步”的是“退步”的1000倍

需要經過的時間大約是天（四舍五入精確）（參考數據：lg2“0.3010,lg3=0.4771）.

26.（2023?北京房山?高三統考開學考試）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，

定義聲壓級Lp=20x”,其中常數po（po>O）是聽覺下限閾值，P是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車106090

混合動力汽車105060

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為外凸，小，給出下列結論：①

012P2；②P2>1°P3；③。3=100。0；④Pl<1。。。2.則所有正確結論的序號是.

27.（2023?福建龍巖?高三上杭一中?？茧A段練習）“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或

發出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌

起的泉水越高.已知聽到的聲強/與標準聲強A）約為10*,單位：W/n?）之比的常用對數稱作聲強的

聲強級，記作乙（單位：貝爾），即乙=炮：.取貝爾的/。倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊

泉”的聲音強度y（單位：分貝）與噴出的泉水最高高度x（單位：米）之間滿足關系式y=x+io,若甲游

客大喝一聲的聲強大約相當于100個乙游客同時大喝一聲的聲強，則甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最

高高度差為.

甲、乙兩名游客大喝一聲激起的涌泉最高高度差為20米.

故答案為：20.

28.（2023?江蘇常州?高三華羅庚中學校考階段練習）北京時間2023年2月10日0時16分，經過約7

小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍、鄧清明、張陸密切協同，圓滿完成出艙活動全部既定任務，出

艙活動取得圓滿成功.載人飛船進入太空需要搭載運載火箭，火箭在發射時會產生巨大的噪聲，已知聲音的

聲強級d（x）（單位：dB）與聲強x（單位：W/n?）滿足關系式：d（x）=101g?.若某人交談時的聲強級

約為60dB,且火箭發射時的聲強與此人交談時的聲強的比值約為IO'，則火箭發射時的聲強級約為

dB.

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?k題型06函數模型的選擇

29.(2023?陜西?高三校聯考階段練習)研究汽車急剎車的停車距離對汽車剎車設計和路面交通管理非常

重要，急剎車停車距離受諸多因素影響，其中最為關鍵的兩個因素是駕駛員的反應時間和汽車行駛速度，

設d表示停車距離，4表示反應距離，4表示制動距離，則d=4+4，如圖是根據美國公路局公布的實驗

數據制作的停車距離示意圖.圖中指針所指的內圈數值表示對應的車速v(km/h).根據該圖數據，建立停車距

hh

離與汽車速度的函數模型.可選擇模型①：d=av+A模型②："=42+加.模型③：d=qv+_.模型④：d=av2+~.

VV

(其中。,b為待定參數)進行擬合，則擬合效果最好的函數模型是()

VV

30.(2023?吉林?統考模擬預測)對兩個變量進行回歸分析，給出如下一組樣本數據：(0.675,-0.989),

(1.102,-0.010),(2.899,1.024),(9.101,2.978),下列函數模型中擬合較好的是()

2

A.y=3xB.y=3*C.y=-(x-l)D.y=log3x

31.(2023?安徽?高三安徽省懷遠第一中學校聯考階段練習)安徽懷遠石榴(Pirnicagram)自古就有“九

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州之奇樹，天下之名果”的美稱，今年又喜獲豐收.懷遠一中數學興趣小組進行社會調查，了解到某石榴合作

社為了實現100萬元利潤目標，準備制定激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤超過6萬元時，按銷售利潤

進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，

同時獎金不能超過利潤的20%.同學們利用函數知識，設計了如下函數模型，其中符合合作社要求的是（）

(參考數據：1.015⑼“4.432,1g11x1.041)

x

A.y=0.04.xB.y=1.015-lC.y=tan扃-11D.j=logn（3J:-10）

32.（多選題）（2023?遼寧大連?統考三模）甲乙兩隊進行比賽，若雙方實力隨時間的變化遵循蘭徹斯特

其中正實數X?！狈謩e為甲、乙兩方初始實力，r為比賽時間；

x"），y（。分別為甲、乙兩方》時刻的實力；正實數。分別為甲對乙、乙對甲的比賽效果系數.規定當甲、乙兩

方任何一方實力為0時比賽結束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續時長為T.則下列結論正確的是（）

A.若x0>E且°=則x(t)>y(r)(0WKT)

B.若*。＞曲且。='則T=』ln

X。b

C.若”＞一，則甲比賽勝利

D.若馬＞力,則甲比賽勝利

Yo\a

參考答案

W01二次函數與幕模型

1.（2023?河北?校聯考模擬預測）勞動實踐是大學生學習知識、鍛煉才干的有效途徑，更是大學生服務社

會、回報社會的一種良好形式某大學生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當該服裝廠生產的一種衣服日產量

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為X件時，售價為S元/件，且滿足s=820-2x,每天的成本合計為600+20尤元，請你幫他計算日產量為

件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為萬元.

【答案】2007.94

【解析】由題意易得日利潤y=sxx-（600+20x）=.x（820-2x）-（600+20x）=-2（x-200）2+79400,

故當日產量為200件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為7.94萬元，

故答案為：200,7.94.

2.（2023?北京海淀?高三?？茧A段練習）科學家在研究物體的熱輻射能力時定義了一個理想模型叫“黑體”，

即一種能完全吸收照在其表面的電磁波（光）的物體.然后，黑體根據其本身特性再向周邊輻射電磁波，

科學研究發現單位面積的黑體向空間輻射的電磁波的功率B與該黑體的絕對溫度T的4次方成正比，即

B=aT\。為玻爾茲曼常數.而我們在做實驗數據處理的過程中，往往不用基礎變量作為橫縱坐標，以本

實驗結果為例，8為縱坐標，以廠為橫坐標，則能夠近似得到（曲線形狀），那么如果繼續研究該實

驗，若實驗結果的曲線如圖所示，試寫出其可能的橫縱坐標的變量形式.

【答案】射線B為縱坐標，以入為橫坐標.

【解析】（1）因為B=b為玻爾茲曼常數.8為縱坐標，以〃為橫坐標，因為x20,所以

B=ax（x>0）,所以曲線是一條射線；

（2）由于曲線的形狀類似y=?,根據曲線可知可能的橫縱坐標的變量形式：8為縱坐標，以為橫坐標,

故答案為：B為縱坐標，以為橫坐標.

故答案為：（1）射線；（2）8為縱坐標，以八為橫坐標.

3.（2015?北京）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況

加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）

2015年5月1日1235000

2015年5月15日4835600

注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為（）

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A.6升B.8升C.10升D.12升

【答案】B

【解析】由表格得到從5月1日到15日，該車加了48升的汽油，這段時間行駛的路程為35600千米-35000

千米=600千米，所以該車每100千米平均耗油量48+6=8（升）.

故選：B.

4.（2023?河南平頂山?高三校聯考階段練習）折紙是我國民間的一種傳統手工藝術，明德小學在課后延

時服務中聘請了民間藝術傳人給同學們教授折紙.課堂上，老師給每位同學發了一張長為12cm,寬為10cm

的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕（線段）將紙片分為面積比為1：3的兩部分，則折

痕長度的取值范圍是cm.

【答案】[10,13]

【解析】由題意得長方形紙片的面積為12x10=120（01?）,不妨設折痕將紙片分成兩部分的面積分別為岳，

2

S2,且5]：$2=1:3,貝IJS|=30cm2,S2=90cm.

如圖，其中AB=12cm,AN=10cm,

當折痕MN為圖（1）所示的三角形一邊時,

；孫=30

xy=60

設AM=xcm,AN=ycm,則0<x<12,解得

6<x<12

0<y<10

2

貝ijMN=f+V=爐+3600,

令t=x。,re[36,144],則/⑺=/+邛，r⑺=]_等丁1600,

當/e(36,60)時，/(/)<0,當/e(60,144)時，/(?)>0,

第11頁共31頁

故打。在[36,60]上單調遞減，在[60,144]上單調遞增，

X/(36)=136,7(60)=120,/(144)=169,故/⑺e[120,169],

故MVe[2病,13].

當折痕MN為圖(2)所示的梯形一邊時，

；(x+y)xl0=30

叫[。x+二y=6

設AM=xcm,DN=ycm,貝小0<x<12,<6,

0<y<12

貝U肱v2=(x-y)，100=(2x-6)2+100,0<x<6,

根據二次函數的性質可知，W2e[100,136),則MNe[10,2庖).

當折痕為圖(3)所示的梯形一邊時，

-(x+y)xl2=30

fx+y=5

設AM=xcm,BN=ycm,貝l卜0<x<10,解得<5,

0<y<10

貝[]叱=(》-?+144=(2》-5)2+144,0<x<5,

根據二次函數的性質可知，W2e[144,169),則肱Ve[12,13).

綜上所述，折痕長度的取值范圍為[10,13].

故答案為：[10,13]

5.(2023?全國?高三專題練習)某單位計劃建一矩形場地，現有總長度為100m的可作為圍墻的材料，

則場地的面積S(單位：n?)與場地的長龍(單位：m)的函數關系式為.

【答案】S=x(50-x)(0<%<50)

【解析】由于場地的長為加1,則寬為(50-無)m,由題意得S=x(50-x).易知x>0,50-x>0,所以自變

量x的取值范圍為0<x<50.故所求函數的關系式為S=x(50-x)(0<x<50).

故答案為：5=%(50-%)(0<%<50)

■題鱉02分段函數模型

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6.（2017?上海）根據預測，某地第w（〃eN*）個月共享單車的投放量和損失量分別為％和久（單位：輛）,

其中為=尸”4+15,探"3,+5,第九個月底的共享單車的保有量是前〃個月的累計投放量與累計損

［一10〃+470,〃..4

失量的差.

（1）求該地區第4個月底的共享單車的保有量；

（2）已知該地共享單車停放點第"個月底的單車容納量S“=75-46）2+8800（單位：輛）.設在某月底,

共享單車保有量達到最大，問該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量?

5/+15,啜(h3

【解析】（1）.ab=n+5

n-10n+470,n..4n

=5xl4+15=20

4

a2=5X2+15=95

4

a3=5x3+15=420

=-10x4+470=430

=1+5=6

3=2+5=7

%=3+5=8

"=4+5=9

.?.前4個月共投放單車為4+的+/+q=20+95+420+430=965,

前4個月共損失單車為偽+功+&+a=6+7+8+9=30,

該地區第4個月底的共享單車的保有量為965-30=935.

(2)令顯然3時恒成立，

465

當〃..4時，有一10〃+470..撲+5,解得公竺巳，

11

.?.第42個月底，保有量達到最大.

當〃..4,｛4｝為公差為-10等差數列，而｛2｝為等差為1的等差數列，

.?.至U第42個月底，單車保有量為%+42x39+535-如組x42=43°+%39+535-@&42=8782.

2222

S42=-4x16+8800=8736.

?.?8782>8736,

第13頁共31頁

第42個月底單車保有量超過了容納量.

7.（2018?上海）某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上

班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示：當S中x%（0<x<100）的成員自駕時，自駕群體的人

均通勤時間為

,30,0<%,30

1800（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受x影響，恒為40分鐘，

2x+--------90,30<x<100

.尤

試根據上述分析結果回答下列問題：

（1）當x在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

（2）求該地上班族S的人均通勤時間g（無）的表達式；討論g（無）的單調性，并說明其實際意義.

【解析】解；（1）由題意知，當30Vxe100時，

/（x）=2%+^^-90>40，

X

即犬-65》+900>0,

解得x<20或x>45,

.-.xe（45,100）時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間；

（2）當0<%,30時，

X

g(x)=30?x%+40(1-%%)=40-—；

當30cx<100時，

g(x)=(2x+-90)-x%+40(1-x%)=---—x+58；

x5010

40---1--0

,?g/⑺、=d*；

———x+58

[5010

當0<x<32.5時，g。)單調遞減；

當32.5<x<100時，g(x)單調遞增；

說明該地上班族S中有小于32.5%的人自駕時，人均通勤時間是遞減的;

有大于32.5%的人自駕時，人均通勤時間是遞增的；

當自駕人數所占比為32.5%時，人均通勤時間最少.

8.（2023?江蘇蘇州?高三統考期末）已知正四面體ABCD的棱長為1,P為棱上的動點（端點A、B除

外），過點P作平面a垂直于AB,a與正四面體的表面相交.記AP=x,將交線圍成的圖形面積S表示為x

第14頁共31頁

的函數"X）,則s=〃x）的圖象大致為（）

【答案】C

【解析】取線段A3的中點。，連接OC、0D,

因為ABC.△ABD為等邊三角形，。為A3的中點，則OCLAB,OD±AB,

OCcOD=O,OC、OOu平面OCD,上平面OC￡>,

因為AB，平面a,所以，平面a與平面OCD平行或重合，

_1.O￡）=OC=VAC2-OA2=—,

2

取CO的中點“，連接OM,則OMJ_CD,

22

_aOM=y/oC-CM=—,故S人"n」c?OM=@.

224

①當0<x<L時，平面a〃平面OCD,平面e［平面ABC=PE,

2

平面OCD|平面ABC=OC,；.PE〃OC,同理可知，PFHOD,EFUCD,

PEAEEFAFPF

所以,—=—,故LPEFsAOCD,

~OC~AC~~CDADOD

如下圖所示:

貝=4尤2,則s=〃x)=0a

S/\OCDIAOJ

第15頁共31頁

②當X=；時，S=/t]=乎；

③當L＜X＜1時，平面二〃平面OCD,平面。平面ABC=PE,

2

平面OCDA平面ABC=OC，「.夕￡〃0。，同理可知，PF//OD,EF//CD,

PEBE_EF_BFPF

所以,,故

~OC~~BC~~CD~~BD~6bAPEFS^OCD,

如下圖所示:

則好

=4(1一無)2,則5=/(*)=夜(1_彳)2.

'△0(

,0<尤V—

2

綜上所述,S=/(%)=,故函數〃尤）的圖象如C選項中的圖象.

故選：C.

9.（2023?重慶南岸?高三重慶市第十一中學校?？茧A段練習）為了抗擊新型冠狀病毒肺炎保障師生安全,

我校決定每天對教室進行消毒工作，已知藥物釋放過程中，室內空氣中的含藥量y（加g/4）與時間r（2

成正比（。＜/＜（）；藥物釋放完畢后，y與，的函數關系式為＞=（；）”"（。為常數，rz；）,據測定，當空

氣中每立方米的含藥量降低到0.5（mg/m3）以下時，學生方可進教室，則學校應安排工作人員至少提前分

鐘進行消毒工作

第16頁共31頁

A.30B.40C.60D.90

【答案】C

【解析】計算函數解析式，取/⑺=（；）T=g,計算得到答案.根據圖像：函數過點、故

2x,0<?<—

2

y=/(0=,

1

,t>-

2

當時，取/⑺=（；）"；=；,解得f=l小時=60分鐘.

故選：C.

10.（2023?廣東深圳?高三統考期末）某科技企業為抓住“一帶一路”帶來的發展機遇，開發生產一智能產

品，該產品每年的固定成本是25萬元，每生產％萬件該產品，需另投入成本以工）萬元.其中

X2+10X,0<X<40

研%）=10000，若該公司一年內生產該產品全部售完，每件的售價為70元，則該企業每

71XH-----------945,x>40

、x

年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.875萬元D.900萬元

【答案】C

70x-^x2+10x+25),0<x<40

【解析】該企業每年利潤為/（%）=<

70元-171x+&^-945+25],x>40

當0<xK40時，/(x)=-x2+60x—25——(x—30)2+875

在％=30時，/（力取得最大值875；

當x>40時，f（%）=920-^+12222^1<920-2^.12222=720

（當且僅當x=100時等號成立），即在x=100時，/（X）取得最大值720；

由875>720,可得該企業每年利潤的最大值為875.

故選：C

11.（2023?北京西城?高三統考期末）“空氣質量指數（AQI）”是定量描述空氣質量狀況的無量綱指數.當

AQI大于200時，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動.某地某天0~24時的空氣質量指數，隨時間f變化的

第17頁共31頁

-10f+290,0<r<12

趨勢由函數>=，廠?\?描述，則該天適宜開展戶外活動的時長至多為（）

56V?-24,12<r<24

A.5小時B.6小時C.7小時D.8小時

【答案】C

【解析】解:由題知，當AQI大于200時，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動，

即當AQI小于等于200時,適宜開展戶外活動，

即"200,

-10r+290,0<?<12

因為yr,

-56Vr-24,12</<24

所以當0W/V12時,

只需-10/+290W200,

解得:94/V12,

當12<t424時，

只需56〃-244200,

解得:12<仁16,

綜上：適宜開展戶外活動的時間段為9W/W16,

共計7個小時.

故選:C

12.（2023?山東臨沂?高三統考期中）為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民用水實行“階梯水

價”.計費方法如下表：

每戶每月用水量水價

不超過12m34元/n?

超過12m3但不超過18m36元/n?

超過18m③8元/n?

若某戶居民上月交納的水費為66元，則該戶居民上月用水量為（）

A.13m3B.14m3C.15m3D.16m3

【答案】C

第18頁共31頁

【解析】設用戶的用水量為;m?,繳納的水費為〉元，

當0WXW12時，y=4%e[0,48],

當12<xW18時，y=48+6（x-12）=6x—24e（48,84],

當x>18時，y=4xl2+6x6+8（x-18）=8x-60>84.

故若某戶居民上月交納的水費為66元，則用水量在（12,18]內，令6x-24=66,解得x=15.

故選：C.

■題蟄03對勾函數模型

13.（2014?湖北）某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量P（單位時間內經過測量點的

車輛數，單位：輛/小時）與車流速度v（假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長/（單位:

76000v

米）的值有關,其公式為尸=

v2+18V+2OZ

（I）如果不限定車型，7=6.05,則最大車流量為輛/小時;

（II）如果限定車型，1=5,則最大車流量比（I）中的最大車流量增加一輛/小時.

【答案】1900,100

76000V76000

【解析】（I）F=

V2+18V+20/v+也+18

V

191--

v+—..27121=22,當V=1I時取最小值,

V

76000

F=1900,

v+國+18

V

故最大車流量為：1900輛/小時;

口、「76000v76000v76000

11）r------------------------------二-------------------------------=---------------------------

22

v+18v+20/V+18V+100v1100,]g

V

V+—..27100=20,

v

F?2000，

2000-1900=100（輛/小時）

故最大車流量比（I）中的最大車流量增加100輛/小時.

故答案為：1900,100

第19頁共31頁

14.（2023-山東濟南?高三山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）近來汽油價格起伏較大，假設第一

周、第二周的汽油價格分別為m元/升，〃元/升（〃丘〃），甲和乙購買汽油的方式不同，甲每周購買40元的

汽油，乙每周購買12升汽油，甲、乙兩次購買平均單價分別記為％,出，則下列結論正確的是（）

A.4=%B.ax>a2C.a2>a{D.%,出的大小無法確定

【答案】C

【解析】由題意得根>0,n>0,mwn,

40x22mn2mn/—

—rz777=-------<.—7ITITI

則q4。+40m+n2dlnn

mn

12次+12〃_m+n

>dmn,

12x22

所以%>%.

故選：C.

15.（2023?遼寧大連?高一大連八中?？计谥校┙鼇碡i肉價格起伏較大，假設第一周、第二周的豬肉價格

分別為〃元/斤7元/斤，甲和乙購買豬肉的方式不同，甲每周購買20元錢的豬肉，乙每周購買6斤豬肉，

甲、乙兩次平均單價為分別記為叫，加2,則下列結論正確的是（）

A.叫二加2B.叫〉加2

C.加2>叫D.叫，丐的大小無法確定

【答案】C

2x2022ab

===

【解析】甲購買豬肉的平均單價為：^20+20T^T^,

abab

,門入―,?AZ.i人、r6a+6bQ+Z7

乙購頭t豬肉的平均單價