易錯(cuò)點(diǎn)10不能準(zhǔn)確分析帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)與臨界問題

目錄

01易錯(cuò)陷阱

易錯(cuò)點(diǎn)一：電流磁場(chǎng)的疊加和安培定則的應(yīng)用

易錯(cuò)點(diǎn)二：安培力的分析和平衡問題

易錯(cuò)點(diǎn)三：對(duì)洛倫茲力的分析不足

易錯(cuò)點(diǎn)四：帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間確定錯(cuò)誤

易錯(cuò)點(diǎn)五：混淆磁偏轉(zhuǎn)和電偏轉(zhuǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)六：不能正確分析帶電粒子在磁場(chǎng)中的臨界問題

02易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)一、安培力下的平衡

知識(shí)點(diǎn)二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型

知識(shí)點(diǎn)三、直線邊界磁場(chǎng)

知識(shí)點(diǎn)四、平行邊界磁場(chǎng)

知識(shí)點(diǎn)五、圓形邊界磁場(chǎng)

知識(shí)點(diǎn)六、環(huán)形磁約束

知識(shí)點(diǎn)七、數(shù)學(xué)圓模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用

模型一“放縮圓”模型的應(yīng)用

模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用

模型三“平移圓''模型的應(yīng)用

模型四“磁聚焦”與“磁發(fā)散”

03舉一反三—易錯(cuò)題型

題型一：安培力作用下的平衡與運(yùn)動(dòng)

題型二：帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分析

題型三：帶電粒子在磁場(chǎng)中的動(dòng)態(tài)圓分析

題型四：“磁聚焦”與“磁發(fā)散”問題

04易錯(cuò)題通關(guān)

Qm易錯(cuò)陷阱

易錯(cuò)點(diǎn)一：電流磁場(chǎng)的疊加和安培定則的應(yīng)用

1.直流電流或通電螺線管周圍磁場(chǎng)磁感線的方向都可以應(yīng)用安培定則判定.

2.磁感應(yīng)強(qiáng)度是矢量，疊加時(shí)符合矢量運(yùn)算的平行四邊形定則.

易錯(cuò)點(diǎn)二：安培力的分析和平衡問題

(1)安培力的方向特點(diǎn)：FIB,Fl/,即尸垂直于8和1決定的平面。

(2)安培力的大小：應(yīng)用公式尸=〃BsinO計(jì)算彎曲導(dǎo)線在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中所受安培力的大小時(shí)，有效

長(zhǎng)度/等于曲線兩端點(diǎn)的直線長(zhǎng)度。

(3)視圖轉(zhuǎn)換：對(duì)于安培力作用下的力學(xué)綜合問題，題目往往給出三維空間圖，需用左手定則判

斷安培力方向，確定導(dǎo)體受力的平面，變立體圖為二維平面圖。

(1)類似于力學(xué)中用功與能的關(guān)系解決問題，通電導(dǎo)體受磁場(chǎng)力時(shí)的加速問題也可以考慮從能量

的觀點(diǎn)解決，關(guān)鍵是弄清安培力做正功還是做負(fù)功，再由動(dòng)能定理列式求解。

(2)對(duì)于含電路的問題，可由閉合電路歐姆定律求得導(dǎo)體中的電流，再結(jié)合安培力分析求解。

易錯(cuò)點(diǎn)三：對(duì)洛倫茲力的分析不足

1.若v〃B,帶電粒子以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其所受洛倫茲力F=0,

2.若v_LB,此時(shí)初速度方向、洛倫茲力的方向均與磁場(chǎng)方向垂直，粒子在垂直于磁場(chǎng)方向的平面內(nèi)運(yùn)

動(dòng).

(1)洛倫茲力與粒子的運(yùn)動(dòng)方向垂直，只改變粒子速度的方向，不改變粒子速度的大小.

(2)帶電粒子在垂直于磁場(chǎng)的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力,

易錯(cuò)點(diǎn)四：帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間確定錯(cuò)誤

bcd

易錯(cuò)點(diǎn)五：混淆磁偏轉(zhuǎn)和電偏轉(zhuǎn)

“電偏轉(zhuǎn)”與“磁偏轉(zhuǎn)”的比較

垂直電場(chǎng)線進(jìn)入垂直磁感線進(jìn)入

勻強(qiáng)電場(chǎng)(不計(jì)重力)勻強(qiáng)磁場(chǎng)(不計(jì)重力)

電場(chǎng)力/E=qE,其大小、方向不變，洛倫茲力尸B=>8,其大小不變，方向隨

受力情況

與速度V無關(guān)，&是恒力V而改變，用是變力

軌跡拋物線圓或圓的一部分

易錯(cuò)點(diǎn)六：不能正確分析帶電粒子在磁場(chǎng)中的臨界問題

(1)關(guān)注題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等關(guān)鍵詞語，作為解題的切入點(diǎn).

(2)關(guān)注涉及臨界點(diǎn)條件的幾個(gè)結(jié)論：

①粒子剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切；

②當(dāng)速度"一定時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，則粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)；

③當(dāng)速度"變化時(shí)，圓心角越大，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng).

a及易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)一、安培力下的平衡

i.安培力的方向

(D用左手定則判斷：伸開左手，使拇指與其余四個(gè)手指垂直，并且都與手掌在同一個(gè)平面內(nèi)；

讓磁感線從掌心垂直進(jìn)入，并使四指指向電流的方向，這時(shí)拇指所指的方向就是通電導(dǎo)線在磁場(chǎng)中

所受安培力的方向。

(2)安培力方向的特點(diǎn)：FIB,FU,即尸垂直于8、/決定的平面。

(3)推論：兩平行的通電直導(dǎo)線間的安培力——同向電流互相吸引，反向電流互相排斥。

2.安培力的大小

尸=〃BsinO(其中0為B與/之間的夾角)。如圖所示：

(1)/118時(shí)，0=0或0=180。，安培力F=0。

⑵/13時(shí)，(9=90°,安培力最大，F(xiàn)=IlBo

3.分析通電導(dǎo)體在磁場(chǎng)中平衡或加速問題的一般步驟

⑴確定要研究的通電導(dǎo)體。

(2)按照已知力-重力-安培力一彈力一摩擦力的順序，對(duì)導(dǎo)體作受力分析。

(3)分析導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)情況。

(4)根據(jù)平衡條件或牛頓第二定律列式求解。

知識(shí)點(diǎn)二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型

基本思路圖例說明

?&?

O

p、M點(diǎn)速度垂線交點(diǎn)

p<???

①與速度方向垂直的直

XXX

O\BP點(diǎn)速度垂線與弦的垂直平分

線過圓心②弦的垂直平X、xx

x\XX

XW

圓心的確定分線過圓心③軌跡圓弧線交點(diǎn)

P(

與邊界切點(diǎn)的法線過圓

???,1

心某點(diǎn)的速度垂線與切點(diǎn)法線的

交點(diǎn)

B：

丁二

常用解三角形法：例：(左圖)

利用平面幾何知識(shí)求半

|!xxx\

半徑的確定R—sin6或由F—〃+(R—42

1的

徑

忠/#■/日I}+d2

6求得R—2d

V—、、

利用軌跡對(duì)應(yīng)圓心角e/\V1（1）速度的偏轉(zhuǎn)角夕等于A8所

%

或軌跡長(zhǎng)度工求時(shí)間對(duì)的圓心角0

運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定①片》（2）偏轉(zhuǎn)角（p與弦切角a的關(guān)

系：9<180°時(shí)，9=2。；9>180°

②4時(shí)，夕=360。一2。

知識(shí)點(diǎn)三、直線邊界磁場(chǎng)

直線邊界,粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性（如圖所示）

圖a中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間警

2bq

圖b中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，=（1—§7=（1—§符=冽■圓

圖C中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=M=就

知識(shí)點(diǎn)四、平行邊界磁場(chǎng)

J=/?i(l-cos0)

d=2R

2bed

平行邊界存在臨界條件，圖a中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間fi=黑，f2=,=翳

DQzDq

圖b中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t黑

Bq

圖C中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

—（1兀）/-（1冗）Bq-Bq

圖d中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=^r=~

知識(shí)點(diǎn)五、圓形邊界磁場(chǎng)

沿徑向射入圓形磁場(chǎng)的粒子必沿徑向射出，運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性（如圖所示）

D

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑廠=焉

ld.ll（7

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間/=《7=鬻

71Bq

d+a=90°

不對(duì)圓心射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域

知識(shí)點(diǎn)六、環(huán)形磁約束

知識(shí)點(diǎn)七、數(shù)學(xué)圓模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用

模型一“放縮圓”模型的應(yīng)用

速度方向一

粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，這些帶

定，大小不

電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化

同

適用

如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情景），速度V越X多,XXXX

條件XX,永--%、XX

軌跡圓圓心大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大。可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入

共線磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初速度方向的

直線尸P上Xxx''xX

界定以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條

方法件，這種方法稱為“放縮圓”法

模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒

廠展、子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周

速度大

運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度為y°，則圓周

適用小一

運(yùn)動(dòng)半徑為R—如圖所示

條件定，方QD

向不同帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以

軌跡圓圓心共圓

入射點(diǎn)尸為圓心、半徑R-淺的圓上

界定將半徑為"黃的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條

方法

件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

模型三“平移圓”模型的應(yīng)用

速度大小一粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同，

定，方向一

XXXXXXx但在同一直線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們

定，但入射X做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為

適用111

點(diǎn)在同一直

條件V0,則半徑R—黑，如圖所示

線上qB

軌跡圓圓心帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上，該直線與入射

共線點(diǎn)的連線平行

將半徑為尺=翳的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫

界定方法qB

“平移圓'’法

模型四“磁聚焦”與“磁發(fā)散”

1.帶電粒子的會(huì)聚

如圖甲所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場(chǎng)區(qū)域，如果軌跡圓半徑與

磁場(chǎng)圓半徑相等(R=r),則所有的帶電粒子將從磁場(chǎng)圓的最低點(diǎn)8點(diǎn)射出.(會(huì)聚)

證明：四邊形04ZB為菱形，必是平行四邊形，對(duì)邊平行，必平行于A。，（即豎直方向），可知從

A點(diǎn)發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過8點(diǎn).

2.帶電粒子的發(fā)散

如圖乙所示，有界圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為8,圓心為O,從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為加、電荷量為q的

正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑

與有界圓形磁場(chǎng)半徑相等，則所有粒子射出磁場(chǎng)的方向平行.（發(fā)散）

證明：所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心與有界圓圓心。、入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的連線為菱形，也是平行四邊形，

。14。28、。3。均平行于尸。，即出射速度方向相同（即水平方向）.

乙

篌回舉一反三

題型一：安培力作用下的平衡與運(yùn)動(dòng)

[例1]（2024?海珠區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，安裝在固定支架（圖中未畫出）上的光滑絕緣轉(zhuǎn)動(dòng)軸

00,兩端通過等長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)軟導(dǎo)線（導(dǎo)線不可伸長(zhǎng)）連接并懸掛長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒ab,

導(dǎo)體棒橫截面的直徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于懸線的長(zhǎng)度，空間存在輻向分布磁場(chǎng)（磁極未畫出），導(dǎo)體棒擺動(dòng)過

程中磁場(chǎng)方向總是垂直于導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,開始時(shí)導(dǎo)體棒靜止在

最低點(diǎn)。現(xiàn)給導(dǎo)體棒通以方向向里的電流（電路未畫出），若僅通過逐漸改變導(dǎo)體棒中的電流大

小，使導(dǎo)體棒由最低點(diǎn)緩慢移動(dòng)到懸線呈水平狀態(tài)，則在這個(gè)過程中（）

接電源

A.懸線對(duì)導(dǎo)體棒的拉力先增大后減小

B.導(dǎo)體棒中的電流一直減小

C.轉(zhuǎn)動(dòng)軸OCT受到繩子在豎直方向的作用力一直不變

D.轉(zhuǎn)動(dòng)軸00受到繩子在水平方向的作用力先增大后減小

【變式1-1］（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖a所示，一根用某種單一材料制成的均勻金屬桿長(zhǎng)為3L,

用兩根長(zhǎng)L的電阻不計(jì)的輕質(zhì)導(dǎo)線豎直懸掛在三等分點(diǎn)，導(dǎo)線與金屬桿相接處接觸良好，并將金

屬桿置于垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。導(dǎo)線的懸掛點(diǎn)間不加電壓時(shí)，單根導(dǎo)線上的拉力為F,加

上電壓U后，單根導(dǎo)線上的拉力是2F。若把導(dǎo)線長(zhǎng)度變成魚L,如圖b所示懸掛在金屬桿兩端,

仍然加上電壓U,則此時(shí)單根導(dǎo)線上的拉力是（）

A.2V2FB.4FC.4V2FD.8F

【變式1-21（多選）（2023?鯉城區(qū)校級(jí)一模）實(shí)驗(yàn)室里有三根等長(zhǎng)細(xì)直通電導(dǎo)體棒a、b、c水平放

置，如圖所示，P、M、N分別是三根導(dǎo)體棒上的點(diǎn)且在同一豎直面內(nèi)，導(dǎo)體棒b、c中的電流方

向垂直紙面向里，導(dǎo)體棒之間的距離PM=PN=L,PM與PN之間的夾角為120°,導(dǎo)體棒b、c

固定，導(dǎo)體棒a所受的重力G剛好與它所受的安培力的合力平衡，則下列說法中正確的是（）

A.導(dǎo)體棒a中的電流方向垂直紙面向里

B.導(dǎo)體棒b對(duì)c的安培力方向水平向左

C.導(dǎo)體棒b、c對(duì)導(dǎo)體棒a的安培力大小均為5

D.導(dǎo)體棒b、c在P點(diǎn)產(chǎn)生的合磁場(chǎng)方向水平向右

【變式1-3］（多選）（2023?安康二模）豎直面內(nèi)有一內(nèi)壁光滑、半徑為R的固定半圓柱形軌道，在

半圓柱形軌道中放置兩根長(zhǎng)為L(zhǎng)的通電直導(dǎo)線，其截面如圖所示。O為半圓的圓心，導(dǎo)線a固定

在O點(diǎn)正下方的C處，且通有大小為Io、方向垂直紙面向里的電流。當(dāng)質(zhì)量為m的導(dǎo)線b中通

入大小為11（未知）的電流時(shí)，剛好能靜止在與圓心等高的A點(diǎn)。已知導(dǎo)線a中電流在其周圍某

點(diǎn)產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=k乜（k為大于零的常量，r為該點(diǎn)到導(dǎo)線a的距離），由于導(dǎo)

r

線b的質(zhì)量發(fā)生變化或者兩導(dǎo)線電流大小發(fā)生變化，導(dǎo)線b沿著軌道緩慢下降到D點(diǎn)，并在D點(diǎn)

重新平衡。已知/COD=60°,則下列說法正確的是（）

A.導(dǎo)線b中電流的方向垂直于紙面向外，且位于A點(diǎn)時(shí)，電流的大小為11=舞等

B.若導(dǎo)線b的質(zhì)量不發(fā)生改變，則導(dǎo)線b在D處受到軌道的支持力等于在A處受到的支持力

C.可能僅是導(dǎo)線b的質(zhì)量變?yōu)?m

V2

D.可能僅是兩導(dǎo)線電流的乘積減小為原來的一

2

題型二：帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分析

【例2】（2023?東莞市校級(jí)模擬）如圖所示，質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從M點(diǎn)以大小為

vo、方向與豎直方向成。角斜向下的初速度垂直于磁場(chǎng)方向射入邊界線豎直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，最后從

邊界上的N點(diǎn)射出磁場(chǎng)。已知磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,不計(jì)粒子受到的重力，則M、N兩點(diǎn)

間的距離為（）

：x.…xx

、、、

N：、\

:興、X\x

I、'

:\B:

：xzxk

-//

M廢XJX

?X\XX

vo

mvcos3mvsinO

A?0B.o

qBqB

2mv0cos32mvosin6

qBqB

【變式2-1］（多選）（2024?石家莊二模）利用磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，在現(xiàn)代科學(xué)實(shí)驗(yàn)和技術(shù)設(shè)

備中有廣泛的應(yīng)用。如圖所示，以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁

場(chǎng)，圓形區(qū)域外有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為Bo有一質(zhì)量為m、

電荷量為+q的粒子從P點(diǎn)沿半徑射入圓形區(qū)域，粒子n次穿越圓形區(qū)域邊界（不包括經(jīng)過P點(diǎn)）

后又回到P點(diǎn)，此過程中粒子與圓心O的連線轉(zhuǎn)過角度為2m不計(jì)粒子重力，下列說法正確的

是（）

???????

/XXX、

/'、

,:-XXX：??

PLto-

?XXX/??

、/

???????

B

???????

A.n的最小值為2

B.n=3時(shí)，粒子速度大小為畫空

m

C.n=4時(shí)，粒子從P出發(fā)到回到P點(diǎn)的時(shí)間為衛(wèi)絲

5qB

27r

D.粒子連續(xù)兩次穿越圓形區(qū)域邊界過程中，粒子與圓心的連線轉(zhuǎn)過的角度為一

n

【變式2-2］（多選）（2023?湖北模擬）如圖所示，在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形內(nèi)分布著垂直于紙面向

外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在三角形的中心有一個(gè)點(diǎn)狀的粒子源O,它可沿平行紙面

的各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m,電荷量為+q,速率為一一的同種粒子。不考慮粒子重力及粒子間相

6m

互作用，下列說法正確的是（）

o

A.有部分粒子能夠擊中三角形的頂點(diǎn)

Tim

B.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為

3qB

Tim

C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為—

qB

D.若磁感應(yīng)強(qiáng)度大于2B,所有粒子均不能射出三角形區(qū)域

【變式2-3］（2024?鹽城三模）如圖所示，在以半徑為R和2R的同心圓為邊界的區(qū)域中，有磁感應(yīng)

強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在圓心O處有一粒子源（圖中未畫出），在紙面

內(nèi)沿各個(gè)方向發(fā)射出比荷為目的帶負(fù)電的粒子，粒子的速率分布連續(xù)，忽略粒子所受重力和粒子

m

間的相互作用力，已知sin37°=0.6,cos37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁場(chǎng)，則下列說法

正確的是（)

粒子速度的最大值為名空

A.

m

粒子速度的最大值為^^

B.

4m

某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場(chǎng)，其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為器（不考慮粒子再次進(jìn)入

C.

磁場(chǎng)的情況）

4Tim

D.某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場(chǎng)其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為前（不考慮粒子再次進(jìn)入磁

場(chǎng)的情況）

題型三：帶電粒子在磁場(chǎng)中的動(dòng)態(tài)圓分析

【例3】（多選）（2024?青山湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，足夠長(zhǎng)的熒屏板MN的上方分布了水平方向

的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直紙面向里。距熒屏板d處有一粒子源S,能夠在紙

面內(nèi)不斷均勻地向各個(gè)方向發(fā)射速度大小為u=警，電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子，不

計(jì)粒子的重力,已知粒子源發(fā)射粒子的總個(gè)數(shù)為n,則（

XXXXXXXX

xfx

XXXXXX

XXXXXXXx

M——N

A.粒子能打到板上的區(qū)域長(zhǎng)度為2bd

打到板上的粒子數(shù)為會(huì)

B.

Tim

C.從粒子源出發(fā)到板的最短時(shí)間為標(biāo)

7Tim

D.同一時(shí)刻發(fā)射的粒子打到熒光板上的最大時(shí)間差為前

【變式3-1］（多選）（2023?道里區(qū)校級(jí)三模）如圖，長(zhǎng)度為a的豎直薄擋板MN處在垂直紙面向里

的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中（磁場(chǎng)空間足夠大、圖中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。擋板左側(cè)O點(diǎn)有一粒子源在

紙面內(nèi)向各方向均勻發(fā)射電荷量為+q、質(zhì)量為m的帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同。己知

圖中初速度與ON夾角為60°發(fā)射的粒子恰好經(jīng)過N點(diǎn)，ON=Wa,ONIMNo不計(jì)粒子重

力，不考慮粒子的反彈和粒子間的相互作用。則（）

飛6；...............fN

V

V3

A.粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為丁

B.擋板左側(cè)能被粒子擊中的豎直長(zhǎng)度為a

C.粒子能擊中擋板右側(cè)的粒子數(shù)占粒子總數(shù)的三

6

D.擋板的右側(cè)被粒子擊中的豎直長(zhǎng)度為a

【變式3-2］（多選）（2023?貴州模擬）如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里，其邊界如圖所示，磁場(chǎng)

的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,半圓形邊界的半徑為R,。為半圓的圓心，ab是半圓的直徑，邊界上c

點(diǎn)到a的距離為R,a、b、c、。在同一直線上，從c點(diǎn)沿垂直邊界、垂直磁場(chǎng)向上射出速度大小

不同的質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的粒子，粒子均能從圓弧（含a、b點(diǎn)）上射出磁場(chǎng)，不計(jì)

粒子的重力和粒子間作用，則能從圓弧邊界射出的粒子（）

XXXXXXX;

XXXXXXX:

XXX獷，......'XX"

XqX：\Xi

CaOb

A.粒子速度大小范圍為蟠<v<四"

2m2m

B.粒子的速度越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短

C.從圓弧面射出后能到達(dá)b點(diǎn)的粒子速度大小可能為亞

m

D.從圓弧面射出后經(jīng)過O點(diǎn)的粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R

【變式3-3］（2024?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，有一厚度不計(jì)的薄板MN水平固定放置，薄板長(zhǎng)

為2L。空間中存在范圍足夠大的、垂直于紙面水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。粒子

源P位于薄板中心。的正上方L處，可在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正

電粒子，所有粒子的速率相同，若粒子碰到薄板上表面（含左、右緩點(diǎn)）會(huì)被吸收，碰到下表面

會(huì)被反彈，反彈前后粒子沿板方向的分速度不變，垂直于板的分速度等大反向，不計(jì)粒子重力及

相互作用力，落到上板表面的電荷被導(dǎo)走，不會(huì)對(duì)其它粒子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響，與下板表面碰撞的粒

子電量不變。求；

（1）粒子要能打到板上，速度至少多大；

（2）若粒子以速率v=^發(fā)射，貝I：

①直接打到板的上表面（含左，右端點(diǎn)）的粒子中，求運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間；

②粒子與薄板下表面碰撞一次后反彈，恰能返回P點(diǎn)，最終落到上表面，求該粒子發(fā)射的速度方

向與豎直方向的夾角6以及該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總路程。

XXXXX

?Pc

XXXXBX

-L

XXXIXX

------―j-----qN

x2L5O

XXXXX

題型四：“磁聚焦”與“磁發(fā)散”問題

【例4】（2023?漣源市二模）如圖所示，在x軸的上方存在一個(gè)垂直xoy平面向里、半徑為R的有

界勻強(qiáng)圓磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的直徑在y軸上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一粒子源，可沿與

x軸正方向成30°?150°范圍內(nèi)垂直磁場(chǎng)方向均勻發(fā)射速度大小相等、質(zhì)量為m、帶電量為e的

電子,這些電子都能夠打到右側(cè)與y軸平行放置的屏MN上，被屏反彈后以原速率沿原方向返回，

其中沿y軸正向射入的電子能夠垂直打到屏上，屏的橫坐標(biāo)為舊R。不計(jì)電子的重力和電子間的

相互作用，求：

（1）電子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小；

（2）電子打到屏MN上的長(zhǎng)度；

（3）電子從O點(diǎn)出發(fā)到返回磁場(chǎng)右邊界的最短時(shí)間。

【變式4-1］（2023?寧德模擬）如圖所示，半徑為R、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外的圓

形磁場(chǎng)區(qū)域，右側(cè)與y軸相切于C點(diǎn)，下側(cè)與x軸相切于O點(diǎn)，感光板（足夠大）與y軸的距離

為1.5R。已知質(zhì)量為m,電量為q的粒子過O點(diǎn)垂直于x軸射入，從C點(diǎn)垂直于y軸射出。不

計(jì)粒子的重力。

（1）求該粒子速率vo；

（2）若在y軸與感光板之間充滿垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求能使該粒子擊中感光板的磁感應(yīng)強(qiáng)度

大小范圍；

（3）現(xiàn)有大量速率為vo的同種粒子沿不同方向從坐標(biāo)O點(diǎn)處射入磁場(chǎng)。若在y軸與感光板之間

2

加沿y軸正方向?yàn)?竺祟的勻強(qiáng)電場(chǎng)，求粒子打在感光板上的范圍。

【變式4-2］（2024?鄲都區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，一半徑為R的圓與x軸相切于原點(diǎn)O,圓內(nèi)有直于

紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大為B。與x軸垂直的豎直虛線與磁場(chǎng)最右端相切，其右側(cè)的

第I象限內(nèi)存在沿-y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。現(xiàn)有一束比荷為'的帶正電粒子沿著+y方向從原點(diǎn)O射

入磁場(chǎng)，粒子離開磁場(chǎng)時(shí)方向沿x軸正方向，進(jìn)入電場(chǎng)后，經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)打到x軸上坐標(biāo)為（3R,

0）的點(diǎn)，不計(jì)粒子的重力，求：

（1）粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度；

（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；

（3）若僅使從O點(diǎn)射入的帶電粒子初速度方向與-x軸方向成30°角，求粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再

次打到x軸上所用的時(shí)間。

【變式4-3］（2024?龍巖三模）如圖所示，在xOy坐標(biāo)平面內(nèi)，半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的邊

界與x軸相切于原點(diǎn)O,與PM相切于A點(diǎn)，PM=2R。PQ、MN間存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)，MC=R,

MD=V2Ro現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子，從O點(diǎn)以速率vo沿y軸正方向射入磁

場(chǎng)，并經(jīng)過A點(diǎn)打到了D點(diǎn)。離子到達(dá)MN上即被吸收，不計(jì)離子重力。

（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；

（2）若其他條件不變，僅將該離子從O點(diǎn)以偏向y軸正方向左側(cè)30°方向射入磁場(chǎng)，求離子在

磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；

（3）若其他條件不變，將大量的上述離子從O點(diǎn)均勻向各個(gè)方向射入y>0的區(qū)域，不計(jì)離子間

的相互作用。求在CD區(qū)域接收到的離子數(shù)占發(fā)射出的總離子數(shù)的比例不

整⑷易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2023?定遠(yuǎn)縣模擬）如圖，質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的直導(dǎo)線用兩絕緣細(xì)線懸掛于O、O，，并處于

勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.當(dāng)導(dǎo)線中通以沿X正方向的電流I,且導(dǎo)線保持靜止時(shí)，懸線與豎直方向夾角為

0.則磁感應(yīng)強(qiáng)度方向和大小可能為（

十七m9

B.y正向，-j￡-cos0

,mg一,mq

C.z負(fù)向，-j￡-tan0D.y負(fù)向，-j￡-sin0

2.（2023?弋陽縣校級(jí)一模）如圖所示，質(zhì)量為m,長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒MN兩端用等長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線

水平懸掛，靜止于方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.已知棒中通過的電流大小為

L兩懸線與豎直方向夾角6=60。，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

B.勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=學(xué)察

C.若僅改變磁場(chǎng)的方向，其他條件不變，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值為T

D.若僅改變磁場(chǎng)的方向，其他條件不變，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值可能為

1L/

3.（2024?渾南區(qū)校級(jí)三模）如圖所示，射線AB、AC為一足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的邊界，內(nèi)部磁

場(chǎng)方向垂直紙面向里。兩個(gè)質(zhì)量相同且?guī)М惙N電荷的粒子a、b以相同的速度先后從AB邊上的

D點(diǎn)垂直AB邊射入磁場(chǎng)，兩粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡均與AC相切，忽略粒子受到的重力及粒子間的

相互作用力，sin/BAC=0.6,下列說法正確的是（）

X

xjx'\b

XX1XX

A.a粒子帶負(fù)電

B.a、b兩粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑之比為3：1

C.a、b兩粒子所帶的電荷量之比為1：4

D.b粒子在磁場(chǎng)中的軌跡直徑等于兩切點(diǎn)的距離

4.（2024?九龍坡區(qū)模擬）如圖，靜止在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的原子核A發(fā)生一次衰變后放出的射線粒子

和新生成的反沖核均垂直于磁感線方向運(yùn)動(dòng)。已知大小圓半徑和周期之比分別為n、k,且繞大

圓軌道運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。設(shè)該過程釋放的核能全部轉(zhuǎn)化成射線粒子和反沖核的動(dòng)

能，己知該衰變前后原子核質(zhì)量虧損為m,光速為c。下列說法正確的是（）

n

反沖核的動(dòng)能為能近

B.原子核A的原子序數(shù)是n+1

C.大圓是反沖核的運(yùn)動(dòng)軌跡

D.該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向垂直于紙面向外

5.（多選）（2024?長(zhǎng)安區(qū)二模）如圖所示的直角三角形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖

中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,邊界I、II的長(zhǎng)度分別為百力、L；大量均勻分布的帶電粒

子由邊界I的左側(cè)沿平行邊界II的方向垂直射入磁場(chǎng)，粒子的速率均相等，己知從邊界I離開

3

磁場(chǎng)的帶電粒子占總數(shù)的：帶電粒子的質(zhì)量為m、所帶電荷量為+q,忽略帶電粒子之間的相互

4

作用以及粒子的重力。下列說法正確的是（）

\m、

D

A.帶電粒子射入磁場(chǎng)后沿順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

TCTTI

B.帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為一^

qB

71m

c.剛好從邊界in離開的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為二

3qB

D.帶電粒子的初速度大小為叫

12m

6.（多選）（2024?新城區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，邊長(zhǎng)為a的正方形