疑難壓軸2能量與動量的綜合分析與應(yīng)用

1.（2024?福建）如圖，木板A放置在光滑水平桌面上，通過兩根相同的水平輕彈簧M、N與桌面上

的兩個固定擋板相連。小物塊B放在A的最左端，通過一條跨過輕質(zhì)定滑輪的輕繩與帶正電的小

球C相連，輕繩絕緣且不可伸長，B與滑輪間的繩子與桌面平行。桌面右側(cè)存在一豎直向上的勻

強(qiáng)電場，A、B、C均靜止，M、N處于原長狀態(tài)，輕繩處于自然伸直狀態(tài)。t=0時撤去電場，C

向下加速運動，下降0.2m后開始勻速運動，C開始做勻速運動瞬間彈簧N的彈性勢能為O.IJo

已知A、B、C的質(zhì)量分別為0.3kg、0.4kg>0.2kg,小球C的帶電量為1X10-6C,重力加速度大

小取lOmH,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，輕繩與滑輪間的摩擦力

不計。

（1）求勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大??；

（2）求A與B間的動摩擦因數(shù)及C做勻速運動時的速度大小；

（3）若t=0時電場方向改為豎直向下，當(dāng)B與A即將發(fā)生相對滑動瞬間撤去電場，A、B繼續(xù)

向右運動，一段時間后，A從右向左運動。求A第一次從右向左運動過程中最大速度的大小。（整

個過程B未與A脫離，C未與地面相碰）

?

2.（2024?甘肅）如圖，質(zhì)量為2kg的小球A（視為質(zhì)點）在細(xì)繩O'P和OP作用下處于平衡狀

態(tài)，細(xì)繩OP=OP=1.6m,與豎直方向的夾角均為60°。質(zhì)量為6kg的木板B靜止在光滑水平面

上，質(zhì)量為2kg的物塊C靜止在B的左端。剪斷細(xì)繩O'P,小球A開始運動。（重力加速度g取

10m/s2）

（1）求A運動到最低點時細(xì)繩OP所受的拉力。

（2）A在最低點時，細(xì)繩OP斷裂。A飛出后恰好與C左側(cè)碰撞（時間極短），碰后A豎直下落,

C水平向右運動。求碰后C的速度大小。

（3）A、C碰后，C相對B滑行4m后與B共速。求C和B之間的動摩擦因數(shù)。

3.（2024?安徽）如圖所示，一實驗小車靜止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平軌道與光滑四分

之一圓弧軌道。圓弧軌道與水平軌道相切于圓弧軌道最低點。一物塊靜止于小車最左端，一小球

用不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線懸掛于。點正下方，并輕靠在物塊左側(cè)?，F(xiàn)將細(xì)線拉直到水平位置，靜止

釋放小球，小球運動到最低點時與物塊發(fā)生彈性碰撞。碰撞后，物塊沿小車上的軌道運動。已知

細(xì)線長L=L25m。小球質(zhì)量m=0.20kg。物塊、小車質(zhì)量均為M=0.30kg。小車上的水平軌道長

s=L0m。圓弧軌道半徑R=0」5m。小球、物塊均可視為質(zhì)點。不計空氣阻力，重力加速度g取

10m/s2o

（1）求小球運動到最低點與物塊碰撞前，所受拉力的大??；

（2）求小球與物塊碰撞后的瞬間，物塊速度的大??；

（3）為使物塊能進(jìn)入圓弧軌道，且在上升階段不脫離小車，求物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)四

的取值范圍。

4.(2024?浙江)某固定裝置的豎直截面如圖所示，由傾角。=37°的直軌道AB,半徑R=lm的圓

弧軌道BCD,長度L=1.25m、傾角為。的直軌道DE,半徑為R、圓心角為。的圓弧管道EF組

成，軌道間平滑連接。在軌道末端F的右側(cè)，光滑水平面上緊靠著質(zhì)量m=0.5kg滑塊b,其上表

面與軌道末端F所在的水平面平齊。質(zhì)量m=0.5kg的小物塊a從軌道AB上高度為h靜止釋放，

經(jīng)圓弧軌道BCD滑上軌道DE,軌道DE由特殊材料制成，小物塊a向上運動時動摩擦因數(shù)固=

0.25,向下運動時動摩擦因數(shù)因=0.5,且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當(dāng)小物塊a在滑塊b上

滑動時動摩擦因數(shù)恒為因，小物塊a運動到滑塊右側(cè)的豎直擋板能發(fā)生完全彈性碰撞。(其它軌

道均光滑，小物塊視為質(zhì)點，不計空氣阻力，sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/s?)

(1)若h=0.8m,求小物塊：

①第一次經(jīng)過C點的向心加速度大??；

②在DE上經(jīng)過的總路程；

③在DE上向上運動時間t上和向下運動時間t下之比；

(2)若h=L6m,滑塊至少多長才能使小物塊不脫離滑塊。

C

5.(2024?浙江一模)如圖所示，一彈射游戲裝置由安裝在水平臺面上的固定彈射器、水平直軌道AB、

圓心為。的豎直半圓軌道BCD、水平直軌道EF、GH組成。BCD的最高點D與EF的右端點E

在同一豎直線上，且D點略高于E點。木板靜止在GH上，其上表面與EF相平，右端緊靠豎直

邊FG,左端固定一豎直彈性擋板。游戲時滑塊從A點彈出，經(jīng)過軌道AB、BCD、EF后滑上木

板。已知可視為質(zhì)點的滑塊質(zhì)量m=0.3kg,木板質(zhì)量M=0.1kg,長度l=lm,BCD的半徑R=

0.4m,彈簧彈性勢能的最大值為8J,滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)為陽，木板與軌道GH間的動摩

擦因數(shù)為國，其余各處均光滑，不考慮彈射過程中及滑塊經(jīng)過軌道連接處時的能量損失，滑塊與

擋板發(fā)生彈性碰撞。

(1)若滑塊恰好能夠滑上軌道EF,求滑到圓心O等高處的C點時，滑塊受到的彈力大小FN；

(2)若因=0.2,眼=0,則在滿足滑塊始終不脫離木板的條件下，求滑塊在木板上的動能最大值

Ekm；

(3)若m=0,e=0.1,滑塊恰好能夠滑上軌道EF,求在滑塊與擋板剛發(fā)生第2次碰撞前，摩

擦力對木板做的功W。

6.(2024?溫州一模)如圖所示，處于豎直平面內(nèi)的軌道，由傾角0=37°的足夠長直軌道AB、圓

心為01的半圓形軌道BCD、圓心為02的圓形細(xì)圓管軌道DE、傾角a=45°的直軌道EF、水平

直軌道FG組成，各段軌道均光滑且各處平滑連接，B和D為軌道間的相切點，點E、圓心02處

于同一豎直線上，C、F、G處于同一水平面上。在軌道末端G的右側(cè)光滑水平面上，緊靠著質(zhì)量

M=0.6kg、長度d=2m的無動力擺渡車，車上表面與直軌道FG平齊。可視為質(zhì)點、質(zhì)量m=

0.3kg的滑塊從直軌道AB上某處靜止釋放。己知軌道BCD和DE的半徑R=0.5m。(sin37°=

0.6,cos37°=0.8)

(2)若滑塊始終不脫離軌道ABCDE,求釋放點與C點高度差h的取值范圍；

(3)若滑塊從E點飛出后落在軌道EF上，與軌道碰撞后瞬間沿軌道速度分量保持不變，垂直軌

道速度分量減為零，再沿軌道滑至擺渡車上。己知滑塊和擺渡車之間的動摩擦因數(shù)〃=多且滑塊

恰好不脫離擺渡車，求：

①滑塊運動至點G的速度大小VG；

②滑塊離開點E的速度大小VEo

7.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級一模）圖甲為某游戲項目模型，由彈性發(fā)射裝置P、傾角。=37°長h=2.75m

的固定斜面AB、質(zhì)量mi=1kg的表面為四分之一光滑圓弧的滑塊M和質(zhì)量m2=4kg長度12=

2.25m的平板小車等四部分組成。圓弧CD的半徑R=lm,最低點C與小車等高。當(dāng)P把m=lkg

的小物塊（視為質(zhì)點）以vo=4m/s速度水平彈出，恰好由A點沿斜面方向進(jìn)入斜面，不考慮其

運動時通過各連接點間的動能損失。小物塊與AB間的動摩擦因數(shù)卬=0.5,忽略小車和M下表

面與地面的摩擦。（sin37°=0.6,cos37°=0.8）

（1）求水平彈出點離A點的豎直高度hi；

（2）若鎖定平板小車，小物塊與小車間的動摩擦因數(shù)眼=0.6。求小物塊滑上M時對C點的壓

力F及上滑的最大高度h2；

（3）現(xiàn)解除小車鎖定，并在小車上表面噴涂一種特殊材料（不計噴涂材料的質(zhì)量），使小物塊與

小車間的動摩擦因數(shù)能從右（B端）向左隨距離變化，如圖乙所示。若小物塊仍以vo=4m/s速度

水平彈出，試分析小物塊能否通過C點？并說明理由。

8.（2024?衡水模擬）如圖所示，半徑R=lm的四分之一圓弧槽M固定在地面上，圓弧槽末端位于

圓心0'正下方、且與平臺KPQ上表面水平相切，P點放置質(zhì)量為mo=O.4kg的小物塊，KP、

PQ長度分別為0.45m,2.75m,Q右側(cè)空間存在面積足夠大的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=gx102T,

方向水平向右，在右側(cè)空間建立Oxyz三維直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點0位于KPQ延長線上，x軸正

方向垂直于紙面向里，y軸正方向豎直向上，z軸正方向水平向右，QO的距離d=16m,xOy平

面內(nèi)放置有足夠大的擋板。質(zhì)量m=0.1kg、帶電量q=+1.6XlOrc的小球自圓弧槽A點正上方

h=4m處從靜止釋放，小球與小物塊發(fā)生碰撞同時，在KPQ平臺上方施加方向水平向右、大小E

=2.5X102V/m的勻強(qiáng)電場圖中未畫出。小球與小物塊碰撞時無能量損失且小球電量不變，重力

加速度g取lOm/s2,小球和小物塊均可看作質(zhì)點，不計一切摩擦，求：

（1）小球運動到K點時對軌道的壓力FN；

（2）小物塊飛離平臺前與小球的碰撞次數(shù)；

（3）小球打在擋板上的坐標(biāo)。（結(jié)果可含有TT）

9.（2024?開福區(qū)校級模擬）如圖所示，質(zhì)量為M的凹槽放在光滑水平地面上，凹槽內(nèi)有二光滑圓弧

軌道AB、水平粗糙軌道BC和光滑半圓軌道CDO（D為CDO軌道的中點），軌道都處于豎直平

面內(nèi)且各部分之間平滑連接，OA處于同一水平線上。現(xiàn)將一個質(zhì)量為m（爪=：M）的小物塊P

（可視為質(zhì)點）從A點的正上方距A高H處自由下落，已知軌道AB段的半徑為2R,BC段軌

道長為L（L=2R）,軌道CDO的半徑為R,小物塊與BC段軌道之間的動摩擦因數(shù)為口=0.4,

重力加速度為go

（1）若固定凹槽靜止不動，且H=L8R,求小物塊第一次經(jīng)過C點后瞬間軌道對它的作用力與

其重力的比值；

（2）若不固定凹槽，且H=L8R,求小物塊到達(dá)O點的過程中，凹槽離開初始位置的最大距離；

（3）若不固定凹槽，且R=lm,m=lkg,g=lOm/s2,小物塊第一次經(jīng)過DO間某位置時剛好脫

離軌道，該位置與半圓軌道圓心的連線與豎直方向成37。角，求H的大小。（sin37°=0.6）

10.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）如圖所示為某傳送裝置的示意圖，整個裝置由三部分組成，中間是水

平傳送帶，傳送帶順時針勻速傳動，其速度的大小v可以由驅(qū)動系統(tǒng)根據(jù)需要設(shè)定，其左側(cè)為一

傾斜直軌道，右側(cè)為放置在光滑水平面上質(zhì)量為M的滑板，傾斜直軌道末端及滑板上表面與傳送

帶兩端等高并平滑對接。一質(zhì)量為m的物塊從傾斜直軌道的頂端由靜止釋放，物塊經(jīng)過傳送帶后

滑上滑板，滑板運動到D時與固定擋板碰撞粘連，此后物塊滑離滑板。已知物塊的質(zhì)量m=1.0kg,

滑板的質(zhì)量M=2.0kg,傾斜直軌道頂端距離傳送帶平面的高度h=2.5m,傳送帶兩軸心間距Li=

10.5m,滑板的長度L2=2.8m,滑板右端到固定擋板D的左端的距離為L3,物塊與傾斜直軌道的

動摩擦因數(shù)滿足出tan。（。為斜直軌道的傾角），物塊與傳送帶和滑板間的動摩擦因數(shù)分別為

（12=0.1、p=0.5,重力加速度的大小g=10m/s2。

（1）若v=4m/s,求物塊剛滑上傳送帶時的速度大小及通過傳送帶所需的時間；

（2）求物塊剛滑上右側(cè)滑板時所能達(dá)到的最大動能和最小動能；

（3）若v=6m/s,討論物塊從滑上滑板到離開滑板右端的過程中，克服摩擦力所做的功Wf與L3

的關(guān)系。

疑難壓軸2能量與動量的綜合分析與應(yīng)用

1.（2024?福建）如圖，木板A放置在光滑水平桌面上，通過兩根相同的水平輕彈簧M、N與桌面上

的兩個固定擋板相連。小物塊B放在A的最左端，通過一條跨過輕質(zhì)定滑輪的輕繩與帶正電的小

球C相連，輕繩絕緣且不可伸長，B與滑輪間的繩子與桌面平行。桌面右側(cè)存在一豎直向上的勻

強(qiáng)電場，A、B、C均靜止，M、N處于原長狀態(tài)，輕繩處于自然伸直狀態(tài)。t=0時撤去電場，C

向下加速運動，下降0.2m后開始勻速運動，C開始做勻速運動瞬間彈簧N的彈性勢能為O.IJo

已知A、B、C的質(zhì)量分別為0.3kg、0.4kg>0.2kg,小球C的帶電量為1X10-6C,重力加速度大

小取lOmH,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，輕繩與滑輪間的摩擦力

不計。

（1）求勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大??；

（2）求A與B間的動摩擦因數(shù)及C做勻速運動時的速度大小；

（3）若t=0時電場方向改為豎直向下，當(dāng)B與A即將發(fā)生相對滑動瞬間撤去電場，A、B繼續(xù)

向右運動，一段時間后，A從右向左運動。求A第一次從右向左運動過程中最大速度的大小。（整

個過程B未與A脫離，C未與地面相碰）

nMN

iwililililal

【解答】解：（1）撤去電場前，對小球C,根據(jù)共點力平衡條件有：qE=mcg,代入數(shù)據(jù)解得：

E=2X106N/C

（2）C開始做勻速直線運動后，對C和B根據(jù)共點力平衡條件分別有：Ti=mcg,Ti=fB=nmBg

代入數(shù)據(jù)解得：口=0.5

C開始勻速運動瞬間，A、B剛好發(fā)生相對滑動，此時A、B、C三者速度大小相等，M、N兩彈

簧的彈性勢能相同；

所以C下降h=0.2m的過程中，對A、B、C及彈簧M、N組成的系統(tǒng)，由能量守恒定律有：

1

m7

mcgh=（啊+B+mQu+2Ep

代入數(shù)據(jù)解得：V=1m/s

（3）沒有電場時，C開始勻速運動瞬間，A、B剛好發(fā)生相對滑動，所以此時A的加速度為零,

對A根據(jù)平衡條件，有：f=2kh

當(dāng)電場方向改為豎直向下，設(shè)B與A即將發(fā)生相對滑動時，C下降高度為h',對A,根據(jù)牛頓

第二定律可得：f'-2khz=mAa

對B、C根據(jù)牛頓第二定律可得：qE+mcg-f=（mB+mc）a

撤去電場后，由第（2）問的分析可知A、B在C下降h=0.2m時開始相對滑動，在C下降h=

0.2m的過程中，對A、B、C及彈簧M、N組成的系統(tǒng)，由能量守恒定律，有亞八'+mcgh=

1

n2

204+rnB+mc）vm+2Ep

此時A的速度是其從左向右運動過程中的最大速度，此后A做簡諧運動，所以A第一次從右向

左運動過程中的最大速度為就是其最大速度，聯(lián)立解得：vm=^rn/s

2.（2024?甘肅）如圖，質(zhì)量為2kg的小球A（視為質(zhì)點）在細(xì)繩O'P和OP作用下處于平衡狀

態(tài)，細(xì)繩OP=OP=1.6m,與豎直方向的夾角均為60°。質(zhì)量為6kg的木板B靜止在光滑水平面

上，質(zhì)量為2kg的物塊C靜止在B的左端。剪斷細(xì)繩O'P,小球A開始運動。（重力加速度g取

10m/s2）

（1）求A運動到最低點時細(xì)繩OP所受的拉力。

（2）A在最低點時，細(xì)繩OP斷裂。A飛出后恰好與C左側(cè)碰撞（時間極短），碰后A豎直下落,

C水平向右運動。求碰后C的速度大小。

（3）A、C碰后，C相對B滑行4m后與B共速。求C和B之間的動摩擦因數(shù)。

【解答】解：（1）細(xì)繩OP的長度為L=L6m,從小球A開始做圓周運動到最低點的過程，根據(jù)

動能定理得：

]

mAg（L-Lcos60°）=2mAvo—。

解得：vo=4m/s

設(shè)小球A運動到最低點時細(xì)繩OP對小球A的拉力為T,根據(jù)牛頓第二定律得：

T-mAg=mA?

解得：T=40N

根據(jù)牛頓第三定律可知A運動到最低點時細(xì)繩OP所受的拉力為40N。

（2）A飛出后與C碰撞前做平拋運動，A與C碰撞前瞬間A的水平分速度等于vo=4m/s,由題

意可知碰撞后A的水平分速度為零。A與C碰撞過程水平方向上動量守恒，以向右為正方向，則

有：

mAvo=mcvc

解得碰后C的速度大小為：vc=4m/s

（3）A、C碰后，C相對B滑行Ax=4m后與B共速（設(shè)共速的速度為v）。以向右為正方向,

對C相對B滑行過程，根據(jù)動量守恒定律與能量守恒定律得：

mcvc=（mc+mB）v

11

jimcgAx=2mcvc_2（mc+

解得C和B之間的動摩擦因數(shù)為：n=0.15

答：（1）A運動到最低點時細(xì)繩OP所受的拉力為40N。

（2）碰后C的速度大小為4m/so

（3）C和B之間的動摩擦因數(shù)為0.15。

3.（2024?安徽）如圖所示，一實驗小車靜止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平軌道與光滑四分

之一圓弧軌道。圓弧軌道與水平軌道相切于圓弧軌道最低點。一物塊靜止于小車最左端，一小球

用不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線懸掛于。點正下方，并輕靠在物塊左側(cè)。現(xiàn)將細(xì)線拉直到水平位置，靜止

釋放小球，小球運動到最低點時與物塊發(fā)生彈性碰撞。碰撞后，物塊沿小車上的軌道運動。已知

細(xì)線長L=L25m。小球質(zhì)量m=0.20kg。物塊、小車質(zhì)量均為M=0.30kg。小車上的水平軌道長

s=L0m。圓弧軌道半徑R=0」5m。小球、物塊均可視為質(zhì)點。不計空氣阻力，重力加速度g取

10m/s2o

（1）求小球運動到最低點與物塊碰撞前，所受拉力的大小；

（2）求小球與物塊碰撞后的瞬間，物塊速度的大??；

（3）為使物塊能進(jìn)入圓弧軌道，且在上升階段不脫離小車，求物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)四

的取值范圍。

【解答】解：（1）設(shè)小球與物塊碰撞前速度為V0,碰撞后小球速度為VI,物塊速度為V2,小球從

釋放到與物塊碰撞前，由動能定理

mgL—ymvQ—0

代入數(shù)據(jù)得：vo=5m/s

碰撞前瞬間，對小球受力分析，有T-mg=m矍，

代入數(shù)據(jù)解得拉力：T=6N

（2）設(shè)水平向右為正方向，小球與物塊彈性碰撞，根據(jù)動量守恒：

mvo=mvi+Mv2

111

根據(jù)能量守恒：-mvQ=-mvj+-Mv1

代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：v2=4m/s

（3）當(dāng)u較小時，物塊會脫離小車；當(dāng)口較大時，物塊不能進(jìn)入圓弧軌道

①物塊滑到水平軌道最右端剛好與小車共速，此時H最大（但不能?。?，設(shè)水平向右為正方向，

則小球與小車水平方向動量守恒，有

Mv2=2Mv共，解得：v共=2m/s

[1

根據(jù)能量守恒，|lmaxMgS=2M諺—22Mu共

代入數(shù)據(jù)解得：Umax=0.4

②物塊剛好滑到圓弧最高點，即在最高點與小車共速，此時四最小，設(shè)水平向右為正方向，小球

與小車水平方向動量守恒，有

Mv2=2Mv共，解得：v共=2m/s

根據(jù)能量守恒，nminMgs+MgR=2M諺一2M共

代入數(shù)據(jù)解得：Hmin=0.25

綜合上面分析，可得滿足要求的動摩擦因數(shù)日取值范圍為：0.25<n<0.4

答：(1)小球運動到最低點與物塊碰撞前，所受拉力的大小為6N；

(2)小球與物塊碰撞后的瞬間，物塊速度的大小為4m/s；

(3)物塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)n的取值范圍為0.25sSn<0.4o

4.（2024?浙江）某固定裝置的豎直截面如圖所示，由傾角。=37°的直軌道AB,半徑R=lm的圓

弧軌道BCD,長度L=1.25m、傾角為。的直軌道DE,半徑為R、圓心角為。的圓弧管道EF組

成，軌道間平滑連接。在軌道末端F的右側(cè)，光滑水平面上緊靠著質(zhì)量m=0.5kg滑塊b,其上表

面與軌道末端F所在的水平面平齊。質(zhì)量m=0.5kg的小物塊a從軌道AB上高度為h靜止釋放，

經(jīng)圓弧軌道BCD滑上軌道DE,軌道DE由特殊材料制成，小物塊a向上運動時動摩擦因數(shù)固=

0.25,向下運動時動摩擦因數(shù)因=0.5,且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當(dāng)小物塊a在滑塊b上

滑動時動摩擦因數(shù)恒為因，小物塊a運動到滑塊右側(cè)的豎直擋板能發(fā)生完全彈性碰撞。（其它軌

道均光滑，小物塊視為質(zhì)點，不計空氣阻力，sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/s?）

（1）若h=0.8m,求小物塊：

①第一次經(jīng)過C點的向心加速度大??；

②在DE上經(jīng)過的總路程；

③在DE上向上運動時間t上和向下運動時間t下之比；

【解答】解：（1）①物塊a從A到C,根據(jù)動能定理mgh=您一0

解得vc=4m/s

在處，根據(jù)向心加速度公式。=~n

CaK

代入數(shù)據(jù)解得ac=16m/s2

②物塊a從A到D,根據(jù)動能定理7ngi7i-R（1-cos。）］=2m詔-0

代入數(shù)據(jù)解得“o=2V3m/s

設(shè)上滑的最大高度為hi

根據(jù)動能定理一瓶9七-^mgcosO?=0

代入數(shù)據(jù)解得hi=0.45m

ED之間的高度差hDE=Lsin0=1.25X0.6m=0.75m>hi

因此物塊a未滑出軌道DE；

設(shè)物塊在DE上經(jīng)過的總路程為s,最后一次剛好能從C運動到D；

根據(jù)動能定理一"lTngcose?—grrtgcose?=0—

代入數(shù)據(jù)解得s=2m

③物塊a在DE軌道上滑的加速度大小ai=gsin0+|iigcos0

代入數(shù)據(jù)解得的=8m/s2

由于11^5吊。＞園1118858,物塊a上滑減速為零后，沿DE軌道下滑;

物塊a在DE軌道下滑的加速度大小a2=gsin0-|i2gcos0

代入數(shù)據(jù)解得02=2m/s2

t根據(jù)勻變速運動公式％=1at2

11

由于物塊a上滑和下滑的路程相等，因此有=~a2t\-

（2）物塊a從A經(jīng)C到F的過程中，根據(jù)動能定理-Lsind—2R（1—cos。）］—^mgLcosd=

^mvp—0

代入數(shù)據(jù)解得VF=2m/s

設(shè)物塊a與滑塊b向左運動的共同速度為v,取水平向右為正方向

根據(jù)動量守恒定律mvF=2mv

根據(jù)功能關(guān)系2〃1犯a=^mvp-1-2mv2

代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得l=0.2mo

答：（1）①第一次經(jīng)過C點的向心加速度大小16m/s2；

②在DE上經(jīng)過的總路程為2m；

③在DE上向上運動時間t上和向下運動時間t下之比為1：2；

（2）若h=1.6m,滑塊至少0.2m長才能使小物塊不脫離滑塊。

5.(2024?浙江一模)如圖所示，一彈射游戲裝置由安裝在水平臺面上的固定彈射器、水平直軌道AB、

圓心為。的豎直半圓軌道BCD、水平直軌道EF、GH組成。BCD的最高點D與EF的右端點E

在同一豎直線上，且D點略高于E點。木板靜止在GH上，其上表面與EF相平，右端緊靠豎直

邊FG,左端固定一豎直彈性擋板。游戲時滑塊從A點彈出，經(jīng)過軌道AB、BCD、EF后滑上木

板。已知可視為質(zhì)點的滑塊質(zhì)量m=0.3kg,木板質(zhì)量M=0.1kg,長度l=lm,BCD的半徑R=

0.4m,彈簧彈性勢能的最大值為8J,滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)為陽，木板與軌道GH間的動摩

擦因數(shù)為國，其余各處均光滑，不考慮彈射過程中及滑塊經(jīng)過軌道連接處時的能量損失，滑塊與

擋板發(fā)生彈性碰撞。

(1)若滑塊恰好能夠滑上軌道EF,求滑到圓心O等高處的C點時，滑塊受到的彈力大小FN；

(2)若因=0.2,眼=0,則在滿足滑塊始終不脫離木板的條件下，求滑塊在木板上的動能最大值

Ekm；

(3)若因=0,曰=0.1,滑塊恰好能夠滑上軌道EF,求在滑塊與擋板剛發(fā)生第2次碰撞前，摩

擦力對木板做的功W。

【解答】解：(1)若滑塊恰好能夠滑上軌道EF,在最高點D處做圓周運動的向心力由重力提供：

mg=血請

11

滑塊由C點滑到最高點D此過程由機(jī)械能守恒：+mgR=-mv^+2mgR

滑塊滑到C點時做圓周運動的向心力由滑道對滑塊的彈力提供：FN=m監(jiān)

聯(lián)立以上方程代入數(shù)值得：FN=9N

(2)因m=0.2,口2=0,木板與地面之間沒有摩擦，而滑塊與木板之間存在摩擦，把滑塊與木板

看成一個系統(tǒng)，其動量守恒，滿足滑塊始終不脫離木板必定滑塊與木板共速，

以向左的方向有：mv=(m+M)v共

設(shè)滑塊以v的速度滑入木板,并在木板上最終摩擦滑行x長時滑塊與木板共速,此過程能量守恒:

J-2J-2

-mv=111mgx+-（m+M）u共

2

滑塊滑入木板時的動能最大為：Ekm=^mv

以上方程解得：Ekm="護(hù)內(nèi)mg久

當(dāng)x=21時，滑塊在木板上的動能最大值Ekm=4.8J,此時：v=4V2m/s>2m/s

所以滑塊能夠滑上木板，相應(yīng)的機(jī)械能為7.2J<8JO

（3）由題意滑塊恰好能夠滑上軌道有：v0=^R

代入數(shù)值滑塊剛滑上木板時：vo=2m/s

因為卬=0,H2=0.1,木板與地面之間存在摩擦，而滑塊與木板之間沒有摩擦，滑塊與擋板第1

次碰撞時動量守恒有：mvo—mvi+Mv2

111

再由能量守恒定律有：-mvg=-mv\+-Mv1

一11

解得滑塊速度：vi=vo=2X2mzs=lm/s

木板速度：V2=2vo=2X2m/s=3m/s>vi

之后，木板做勻減速運動，加速度a=|i2g=0.1><10m/s2=lm/s2。滑塊勻速運動，設(shè)經(jīng)過t發(fā)生第

1

二次碰撞，則有：V2t—2。/=vit

代入數(shù)據(jù)：t=O,t=4s,此時木板的速度v=v2-at=3m/s-lX4m/s=-Im/sVO

經(jīng)判斷，發(fā)生第2次碰撞前，木板已處于靜止?fàn)顟B(tài)。

11

故摩擦力對木板做的功：W=0一5M諺=0-^x0.1X32/=-0.45/

答：（1）滑到圓心O等高處的C點時，滑塊受到的彈力大小FN為9N；

（2）滑塊在木板上的動能最大值Ekm為4.8J；

（3）在滑塊與擋板剛發(fā)生第2次碰撞前，摩擦力對木板做的功W為-4.5J。

6.(2024?溫州一模)如圖所示，處于豎直平面內(nèi)的軌道，由傾角0=37°的足夠長直軌道AB、圓

心為01的半圓形軌道BCD、圓心為02的圓形細(xì)圓管軌道DE、傾角a=45°的直軌道EF、水平

直軌道FG組成，各段軌道均光滑且各處平滑連接，B和D為軌道間的相切點，點E、圓心02處

于同一豎直線上，C、F、G處于同一水平面上。在軌道末端G的右側(cè)光滑水平面上，緊靠著質(zhì)量

M=0.6kg、長度d=2m的無動力擺渡車，車上表面與直軌道FG平齊?？梢暈橘|(zhì)點、質(zhì)量m=

0.3kg的滑塊從直軌道AB上某處靜止釋放。己知軌道BCD和DE的半徑R=0.5m。(sin37°=

0.6,cos37°=0.8)

(2)若滑塊始終不脫離軌道ABCDE,求釋放點與C點高度差h的取值范圍；

(3)若滑塊從E點飛出后落在軌道EF上，與軌道碰撞后瞬間沿軌道速度分量保持不變，垂直軌

道速度分量減為零，再沿軌道滑至擺渡車上。己知滑塊和擺渡車之間的動摩擦因數(shù)〃=多且滑塊

恰好不脫離擺渡車，求：

①滑塊運動至點G的速度大小VG；

②滑塊離開點E的速度大小VEo

【解答】解：(1)對滑塊，從釋放點到C點過程，根據(jù)動能定理

1?

mg(Isin。+R—Reos。)=

在C點合外力提供向心力：FN-mg=

代入數(shù)據(jù)解得：FN=15N

(2)滿足恰好達(dá)到半圓形軌道BCD與01等高處：hi=R=0.5m

可得：OWhWO.5m

滿足恰好能到達(dá)E點，則:h2=2R(1+cosO)=2X0.5X(1+0.8)m=1.8m

恰好能過D點而不掉落，重力分力提供向心力：mgcosd=m^-

1

從釋放點到D點過程：mg(h3-R-RcosB)=

解得：h3=l.lm

綜上可得：OWhWO.5m或l.lmWhWl.8m

(3)①對滑塊，從G點滑上擺渡車至共速，根據(jù)動量守恒定律

mvG=(M+m)v共

根據(jù)能量守恒定律

112

fimgd=-^mvG一5(M+m)v^

聯(lián)立解得：VG-2V10m/s

②從E點飛出落在EF段，根據(jù)位移偏轉(zhuǎn)角和速度偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系：tcm450=患

可得：H=t=Vy=2vE

0To

所以：V||=vFsm450+2VECOS450=—^―

由碰撞點到G點，根據(jù)動能定理：7ng(2R+2Rcos。一")=a7n班一17n諦

代入數(shù)據(jù)解得：vE=2V2m/s

答：(1)若釋放點距點B的距離l=1.5m,滑塊到最低點C時軌道對其支持力FN的大小為15N；

(2)若滑塊始終不脫離軌道ABCDE,釋放點與C點高度差h的取值范圍為：OWhWO.5m或1.1m

WhW1.8m；

(3)①滑塊運動至點G的速度大小VG為2，IUm/s；

②滑塊離開點E的速度大小VE為2&m/s；

7.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級一模）圖甲為某游戲項目模型，由彈性發(fā)射裝置P、傾角。=37°長h=2.75m

的固定斜面AB、質(zhì)量mi=1kg的表面為四分之一光滑圓弧的滑塊M和質(zhì)量m2=4kg長度12=

2.25m的平板小車等四部分組成。圓弧CD的半徑R=lm,最低點C與小車等高。當(dāng)P把m=lkg

的小物塊（視為質(zhì)點）以vo=4m/s速度水平彈出，恰好由A點沿斜面方向進(jìn)入斜面，不考慮其

運動時通過各連接點間的動能損失。小物塊與AB間的動摩擦因數(shù)卬=0.5,忽略小車和M下表

面與地面的摩擦。（sin37°=0.6,cos37°=0.8）

（1）求水平彈出點離A點的豎直高度hi；

（2）若鎖定平板小車，小物塊與小車間的動摩擦因數(shù)眼=0.6。求小物塊滑上M時對C點的壓

力F及上滑的最大高度h2；

（3）現(xiàn)解除小車鎖定，并在小車上表面噴涂一種特殊材料（不計噴涂材料的質(zhì)量），使小物塊與

小車間的動摩擦因數(shù)能從右（B端）向左隨距離變化，如圖乙所示。若小物塊仍以vo=4m/s速度

水平彈出，試分析小物塊能否通過C點？并說明理由。

【解答】解：（1）根據(jù)平拋運動規(guī)律，小物塊到在A點時有:

Vy

—=tan37°

%

Vy=2gh

角軍得：vy=3m/s,hi=0.45m；

（2）小物塊在A點速度為合速度，則有：

2222

vA—y/v0+vy—V4+3m/s=5m/s

小物塊從A運動到B的過程中，由動能定理可得：

11

mglrsin37°—（J,rmgcos37°-lr=—2m若

解得：vB=6m/s

小物塊從B運動到C的過程中，由動能定理有可得：

I1212

f2m磯2=2mvc_2mvB

解得：vc=3m/s

在圓軌道C點，根據(jù)牛頓第二定律有：

v2

N—mg=

根據(jù)牛頓第三定律可知，小物塊滑上M時對C點的壓力：F=N

解得：F=19N,方向豎直向下。

設(shè)小物塊滑上M的最大高度時，小物塊與M共速vi,由動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得:

mvC=(ml+m2)vl

-=-(m+TH])說+mgh2

角畢得：h2=0.225m；

(3)小物塊從B到C過程，克服摩擦力做功為：

—四3mgi21+"2林4mgi22

解得：WBC=6.5J

若到C點共速，則對三者組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律有：

mvB=(m+mi+m2)v共

解得：v共=lm/s

AE損=q(m+nu+m2)v#

解得：AE損=15J

可知4E損〉WBC,故小物塊能通過C點。

答：(1)水平彈出點離A點的豎直高度為0.45m；

(2)小物塊滑上M時對C點的壓力為19N,方向豎直向下，小物塊上滑的最大高度0.225m；

(3)若小物塊仍以vo=4m/s速度水平彈出，通過分析可知小物塊能通過C點。

8.（2024?衡水模擬）如圖所示，半徑R=lm的四分之一圓弧槽M固定在地面上，圓弧槽末端位于

圓心0'正下方、且與平臺KPQ上表面水平相切，P點放置質(zhì)量為mo=O.4kg的小物塊，KP、

PQ長度分別為0.45m,2.75m,Q右側(cè)空間存在面積足夠大的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=gx102T.

方向水平向右，在右側(cè)空間建立Oxyz三維直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點0位于KPQ延長線上，x軸正

方向垂直于紙面向里，y軸正方向豎直向上，z軸正方向水平向右，QO的距離d=16m,xOy平

面內(nèi)放置有足夠大的擋板。質(zhì)量m=0.1kg、帶電量q=+1.6XlO.c的小球自圓弧槽A點正上方

h=4m處從靜止釋放，小球與小物塊發(fā)生碰撞同時，在KPQ平臺上方施加方向水平向右、大小E

=2.5X102V/m的勻強(qiáng)電場圖中未畫出。小球與小物塊碰撞時無能量損失且小球電量不變，重力

加速度g取10m/s2,小球和小物塊均可看作質(zhì)點，不計一切摩擦，求：

（1）小球運動到K點時對軌道的壓力FN；

（2）小物塊飛離平臺前與小球的碰撞次數(shù)；

（3）小球打在擋板上的坐標(biāo)。（結(jié)果可含有豆）

【解答】解：（1）小球從釋放至運動到K點，由機(jī)械能守恒定律，得

mg（h+R）=

小球到最低點時：

FN—mg=m茬

求得

FN=11N,vK=10m/s

根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)壍赖膲毫?/p>

F=FN=11N

方向豎直向下。

（2）第一次碰撞，設(shè)向右為正方向，由動量守恒定律、能量守恒定律，得

mvK=mvi+mov2

求得

vi=-6m/s,V2—4m/s

小球在電場中的加速度

qE1.6X10-2X2.5X102..

a———-----------xn-----------m2—40m/sz2

m0.111

設(shè)經(jīng)時間ti二者第二次相遇，則

17

vrtr+2口4=v2t1

解得

ti=0.5s或ti=0（舍去）

此過程中小物塊位移

xi=v2ti=4X0.5m=2m

再次碰撞前小球速度

v3=vi+ati=-6m/s+40X0.5m/s=14m/s

此時mo的速度仍為V2,第二次發(fā)生碰撞有

mv3+mov2=mv4+mov5

—mv|+—m0V2=-mv\+—mov|

解得

V4=-2m/s,V5=8m/s

設(shè)經(jīng)時間t2二者第三次相遇，則

17

V4t2+^ati=v5t2

解得

t2=O5s或t2=0（舍去）

此過程中小物塊位移

X2=v5t2=8X0.5m=4m

則兩次碰撞總距離

xi+X2=2m+4m=6m>2.75m

小物塊飛離平臺前與小球發(fā)生了2次碰撞。

(3)小球與小物塊第二次碰撞后至飛離平臺過程有

%一2琢7

---------=2.75m—2m

2a

解得

vQ=8m/s

小球進(jìn)入磁場后沿z軸方向做勻速直線運動，撞到擋板的時間

d16°

t=-=-o-5=2s

VQy

小球在xOy平面內(nèi)做曲線運動，沿z軸正方向看去，如圖所示:

qv+B

根據(jù)計算，小球在磁場中以v-的速度做圓周運動的周期

T27nH27TX0.1.

1=-5-=---------.----------7s=IS

qB1.6X1O-ZX^X1OZ

mg=qv+B

求得

5/

v+=-m/s

小球沿x軸的位移為

510

x=v+-2T=—x2xIm=-m

十yrn

則小球打到擋板的坐標(biāo)為(一當(dāng)小，0,0)。

答：(1)小球運動到K點時對軌道的壓力大小為11N,方向豎直向下;

(2)小物塊飛離平臺前與小球的碰撞次數(shù)2次；

1n

(3)小球打在擋板上的坐標(biāo)為(-三小，0,0)o

9.（2024?開福區(qū)校級模擬）如圖所示，質(zhì)量為M的凹槽放在光滑水平地面上，凹槽內(nèi)有二光滑圓弧

軌道AB、水平粗糙軌道BC和光滑半圓軌道CDO（D為CDO軌道的中點），軌道都處于豎直平

面內(nèi)且各部分之間平滑連接，OA處于同一水平線上?，F(xiàn)將一個質(zhì)量為m（爪=：M）的小物塊P

（可視為質(zhì)點）從A點的正上方距A高H處自由下落，已知軌道AB段的半徑為2R,BC段軌

道長為L（L=2R）,軌道CDO的半徑為R,小物塊與BC段軌道之間的動摩擦因數(shù)為口=0.4,

重力加速度為go

（1）若固定凹槽靜止不動，且H=L8R,求小物塊第一次經(jīng)過C點后瞬間軌道對它的作用力與

其重力的比值；

（2）若不固定凹槽，且H=L8R,求小物塊到達(dá)O點的過程中，凹槽離開初始位置的最大距離；

（3）若不固定凹槽，且R=lm,m=lkg,g=10m/s2,小物塊第一次經(jīng)過DO間某位置時剛好脫

離軌道，該位置與半圓軌道圓心的連線與豎直方向成37。角，求H的大小。（sin37。=0.6）

【解答】解：（1）設(shè)小物塊第一次經(jīng)過C點瞬間的速度為vc,對小物塊從P到C點的過程有

mg（H+2R）—/j.mgL=

在C點，對小物塊

廠mvr2

F-mg=

代入數(shù)據(jù)解得

F

----=7

mg

（2）因為小物塊和凹槽組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，所以小球到達(dá)D點時兩者在水平方向的

速度均為零，此時凹槽離開初始位置的距離最大。設(shè)小物塊和凹槽沿水平方向運動的距離分別為

XI和X2,則

mxi=Mx2

XI+X2=2R+L+R

所求凹槽離開初始位置的最大距離為

久2="

(3)小物塊第一次經(jīng)過DO間某位置時剛好脫離軌道，設(shè)在該位置時小物塊的水平方向速度為

Vx,豎直方向速度為Vy,凹槽的速度為VM,對系統(tǒng)有

11

mg(H+R—Rcos370)—林mgL=(設(shè)+啰)+6

HIVX=MVM

由速度關(guān)系，有

tan370=—?—

在該位置有

mgcos37°=7nQ胃7°)

由以上各式解得

H=0.936m

答：(1)若固定凹槽靜止不動，且H=L8R,小物塊第一次經(jīng)過C點后瞬間軌道對它的作用力與

其重力的比值為7；

(2)若不固定凹槽，且H=L8R,小物塊到達(dá)O點的過程中，凹槽離開初始位置的最大距離為

5

-R；

4

(3)若不固定凹槽，且R=lm,m=lkg,g=lOm/s2,小物塊第一次經(jīng)過DO間某位置時剛好脫

離軌道，該位置與半圓軌道圓心的連線與豎直方向成37°角，H的大小為0.936m。

10.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）如圖所示為某傳送裝置的示意圖，整個裝置由三部分組成，中間是水

平傳送帶，傳送帶順時針勻速傳動，