2025年3月2日高中數學作業

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

工是非零向量，工-各與3的夾角為60。，,-囚=2,(c-a)(c-/?)=-|,則X/2eR,常同

1.已知a，b>

的最小值為（)

R下「A/2—1n—1

D.-----C.-----------U.----------

2.在邊長為2的正方體中，取3條棱的中點構成平面a,平面a截正方體的截面面積為S,從剩余9條棱

的中點在平面a的投影為4記…,12},當S最大時，則阿?內的最小值為（）

,14

A.—B.—C.—2D.—1

23

3.已知平面向量"2，%,同二歸卜同=1,（"2）=60。.若對區間g,l內的三個任意的實數4,為4,都有

14G+46+與+4,則向量用修夾角的最大值的余弦值為（）

A3+^6口3+A/503—A/6八3—^/5

6666

4.己知VABC中，|綱=8,|衣卜2,且1■血+（2-2㈤左（&R）的最小值為2石，若P為邊AB上任

意一點，則而.前的最小值是（）

51「49八25

AA.——B.——C.——D.——

441616

5.已知平面向量6、X、c滿足同=|畫=無不=2,且區+崗2對任意實數力恒成立，貝。

1-1一

3的最小值為（）

A.6+1B.2A/3C.6+小D.*

二、多選題

6.窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花

圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形A3CDEFG”的邊長為2,尸是正八邊形ABCDEFGH邊上任意

一點，則下列說法正確的是（）

FE

圖1圖2

A.OA+OC=^OB

B.西.方的最大值為12+8行

TR

C.AG在前方向上的投影向量為——

2

D.若函數〃x）=|詬-法司,則函數〃x）的最小值為2+及

7.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論.奔馳定理與三角形

四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯.它的具體內容是：已知Af是VABC內一■點，￡\BMC,

△AMC,AAMB的面積分別為L，SB,Sc,且％?麗A+SB?磁+S,?碇=0.以下命題正確的有（）

A.若SJSB：SC=1：1：1,則M■為VABC的重心

B.若M為VABC的內心，則2C.而+AC.而g+A5.就=。

C.若M為VABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0^貝！ItanNBAC:tan/ABC:tan/BC4=3:4:5

D.若4L4C=45°,ZABC=60°,〃為VABC的外心，則叢：S8:Sc=6：2:1

8.在中，Q4=l,QB=2,ZAO3=120。，點尸是等邊VABC（點。與C在AB的兩側）邊上的一動點,

^OP=xOA+yOB,貝lj有（）

19

A.當尤=；時，點尸必在線段A3的中點處B.x+y的最大值是；

22

C.而.麗的最小值是-1D.用.丙的最大值為:

9.己知Z，人Z是互不相等的非零向量，其中2,B是互相垂直的單位向量，Z=<+yWx,yeR）,記次=配

試卷第2頁，共4頁

OB=b^沃=，，則下列說法正確的是()

A.若R-")@T=O,則o,A,B,C四點在同一個圓上

B.若-0=0,則。的最大值為2

C.若同=1,則僅-。@-司的最大值為1+1

D.若忖=1,則》的最小值為-近

10.已知平面向量次，OB，詼滿足網=1,畫=2,W+反卜伊.詞，則()

A.點C軌跡是圓B.|而|的最大值是3

C.罔的最小值是1D.|叫的取值范圍是[0,5]

三、填空題

11.設d>0,集合〃={(x,y)||x|+木碼.若對任意方eM,均存在反和滿足1一禮"，

a=Zfe+(l-A)c,則d的最大值為.

12.已知拋物線。：y=4了的焦點為凡點M,N,P在C上，S.MF+2NF+2PF=0,則I而I的取值范圍

是,I而|+2|而|的最小值為.

13.在平面中，非零向量4石/滿足同+W=2,舊-刈=|5-2|=|2-向=6，則同的最大值為.

14.已知。為坐標原點，向量礪，礪滿足|函|+|網=8,將函繞點。按逆時針方向旋轉90。，得到向量

OC.若麗+南=(—3,3)1=(1,0),貝M函+礪)彳的最大值為.

15.如圖，邊長為4的等邊VABC,動點尸在以8C為直徑的半圓上，若萬5=4而+〃/,則X+；〃的

取值范圍是.

A

BiC

P

—.—.3___.1—.

16.在梯形ABC。中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,=—，點M滿足—貝lj

23

ZBAD=；若3。與。0相交于點P,N為線段AC延長線上的動點，則而.麗的最小值為.

17.已知兩點A/上百,0),N(百,0),動點P滿足NMPN=6(T,直線彳-⑺=。與動點尸的軌跡交于A、3兩

點.當加=1時，|AB|=；當〃zeR時，舊?礪的最小值為.

18.已知平面向量心b，E滿足同=1,忖=2,/=￡Z，2：="1貝小一歹+卜一5『的最小值為.

19.已知A(-l,0),3(l,0),點C滿足：|ACF+|3C|2=10,過點。(U)分別作兩條相互垂直的射線。M,DN

分別與點C的軌跡交于M,N兩點，記MN的中點為E,記E的軌跡為:T,過點C分別作軌跡V的兩條切線，

切點分別為G,尸，則函.濤取值范圍為.

20.已知平面向量a,B的夾角為凡5-0與H的夾角為3。，同=1,a和5-1在5上的投影為X,?則

x(y+sin6>)的取值范圍是.

試卷第4頁，共4頁

《2025年3月2日高中數學作業》參考答案

題號12345678910

答案DBABBBDABCBCADBD

1.D

【分析】首先設出幾何圖形，確定給定向量的位置，結合給定條件得到CE=g,再對彳的取值進行討論,

求解最值即可.

【解析】設蘇=Z，OB=b^OC=c^所以2—加=麗，

因為,一同=2,所以網=2,即54=2,

因為1-3與Z的夾角為60。，所以NQ4B=60。，

----3

因為*="-日，~BC=c-b^(c-a)(c-Z?)=--,

4

__.__.3__?__.3

所以而?前=一，故百?屈=一，

44

如圖，取中點E,作EG_LOM,作CM_LQ4,連接EM,C。，

因為NQ4B=60。，所以NAEG=30。，iiEG=—,AG=~,

22

所以南^LcB2LcB，cA

+LCA+t

442

,——*21——.21——.231一一。1一一。3

故CE=—CB+-CA一一=-(c-Z>)2+-(c-fl)2――,

448448

1-2---21-2——-23

=—(c-2-b-c+b)+—(c-2-a-c+a)——,

448

____3_2______3

因為(c—Q)(c-匕)=—，所1以c—a，c—b*c+a，b=—,

44

I—?|c1—?21—?21—?—?

因為卜-可=2,所以/一2￡石+5=4,得到［b+-?^+-a-b,

答案第5頁，共28頁

1-21--1一一1-21-231--1-*21一一1--3

故一c----b-c----a-c+—b+—a——=\+—a-b+—c-----b-c-----a-c——,

22244822228

由c—a*c—b，c+a，b=—Rfc—----卜a?c+b，c—a，b,

44

1一一1-21-一1-一3

故1+—〃?/?+—c----b-c-----a-c——

22228

?一一31—一1廠一1一廠31

l+—a-b----b-c-----a-c——H-a-c+—b-c——a-b——=—,

222822284

----21I---J]]

即CE=“解得陷=5,故CE=5,

因為CE=；,所以C在以E為圓心，g為半徑的圓上,

由題意得卜一切=區-2河，而■一彳詞=甌+彳殉,

當且僅當4=1時，AAO^AO>

此時醞+/L相=|反+殉=|相—CM,

由三角形邊長性質得GW+CEWEN,當且僅當C,E,M共線時取等,

在直角三角形MGE中，所以EAfNEG,故C做+CE2EG,

代入數據得CM無，解得CM2更二L

222

此時甌+2碼2今L即匹+幾網的最小值是與1,

當％時，AAO^AO,此時2而的終點不在。，

通過平移，使其終點到達。，同時設起點為Q,

此時O,A,Q三點共線，所以2而=函,

所以W+X狎=區+因=?=CQ2CM,

由三角形邊長性質得GW+CENEM,當且僅當C,E,M共線時取等，

在直角三角形MGE中，所以EMNEG,故CM+CENEG,

代入數據得CM走，解得CM2避二L

222

此時匹+Xld2與L即甌+2河的最小值是牛

綜上，國+2碼的最小值是與1,故D正確.

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：本題考查平面向量，解題關鍵是作出圖形，利用給定條件得到CE=1,然后對參數

2

答案第6頁，共28頁

進行分類討論，得到所要求的最值即可.

2.B

【分析】截面為過棱中點的正六邊形，投影為兩個正六邊形的頂點，在平面中逐類分析眄-耳4的取值情

況，找出最小值.

【解析】

如圖：由正方體的對稱性知，過3條棱的中點的平面。截正方體的截面面積最大時為過棱中點的正六邊形,

其邊長為0，

設截面與6條棱交點分別為A，4,A，A，

由正方體知體對角線又AAnA4=A，所以co，平面AAAA4AA，

延長交棱延長線于E,設此棱中點為8,則DB=1,8E=2,

作交平面A4A4AA于4,所以叫，平面A&A4AA，

則4為8在截面的投影，且。4為正△。44邊A4的中線，

又空=變=T=—=—^，所以是的重心，

j_=LOE=-4DE^OD4

同理可得其余5條棱的中點在截面的投影4,4,A。，A”A?到。的距離也為逅，

3

由對稱性知，六邊形4444。4兇2為棱長為逅的正六邊形，

3

如圖在平面AAAA4AA中建立直角坐標系，

則?冬用,?號用4。,用,&［專用,小多用’

答案第7頁，共28頁

可得A，4，A”A四點共線，由對稱性知A，4,4,也共線,4,4,&),A也共線，

由正六邊形性質知“出人為正三角形‘944。為邊長半的正三角形’邊長

的正三角形,

求呵?哀的最小值先考慮為負值的情況,

當力"?，丘｛1,2,…,6｝時，不妨令i=l,

在呵■中，則我?哀=V^x0cosl2(T=-l,其余結果都非負.

當z"*｛7,8,…,12｝時，則病.豆;=?x/cosl2(T=T，其余結果都非負.

當幻e｛1,2,…,6｝,丘｛7,8,…,12｝時，不妨令i=l,

4號與A4夾角不超過90。，故4可?封？0,

當於｛7,8,…,12｝,_/心｛1,2,…,6｝時,不妨令j=7,

="4x312。。=」,=￡辿8sl80?！?/p>

333333

「逅X述8s60、2

A7A.44=44,（4A+AA）=4A2+A7A.4區=

I333

所以N44A為鈍角，N&A7A為銳角,

4A?4A'>0，

由對稱性知AA?瑯,kG｛3,4,5,6｝的取值情況同上，

■外4>0,44?=4A?4A?COSZA54A>o,

答案第8頁，共28頁

底司=半、孚cosl2（r=q,

44?44>o,44,?4A.=44?44>o,,44>。，

--?--?4

綜上：A4T4的最小值為

【點睛】關鍵點點睛：此題關鍵是找出各棱中點在截面的投影，根據兩個正六邊形的特點求出畫?印4的

所有可能取值.

3.A

【分析】設。3$a$山，）石=次=（1,0）,￡=礪=[,曰]最=萬=（-3&-$畝。）作出圖形，分析出

。爐以颯恒成立，臨界處即尸與M重合，G與H重合，且GM不能充當直角三角形斜邊，否則可以改變H

的位置，使得忸法卜|的],此時。最小，向量￡Z夾角取得最大值，利用三角函數恒等變換和圖象得到答

案.

【解析】設C（cos0,sin。）,如圖，

不妨設冢=兩=（1,0）后=彷

設M為A2的中點，G為OC的中點，尸為3D的中點，E為A。的中點.

^+e^+e^）=GO+OM=GM,

設4]+41+々鼻=彷+而=赤，點P在平行四邊形內（含邊界）.

由題知陟閆無可恒成立.

答案第9頁，共28頁

為了使〈3宿〉最大，則思考〈33〉為鈍角，即思考c點在第一或第四象限.

思考臨界值即P與M重合，G與//重合，且GM不能充當直角三角形斜邊，否則可以改變H的位置，使得

|W|<|GM|,止匕時。最小,

所以說7_L玩,

即—COS61--cos20+^-sin0--sin26>=0.

4242

所以cosN一力=告

所以cos9=cos0-—j+—=cos0--jcos--sin0-—i-sin—

6J6I6)6I6)6

石遭卡13+76

=--X----1---x—=------,

32326

其中向量I與鼻夾角為兀-。，故1與M夾角的最大值的余弦值為-亞亞?

6

故選：A.

【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：

①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據平面圖形的

特征直接進行求解；

②數化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域，不等式的解集，方程有解

等問題，然后利用函數，不等式，方程的有關知識進行求解.

4.B

【分析】設蒞=4數，由題可得G、B、。三點共線，進而可得|而|的最小值為A到即邊上的高，根據

幾何關系求出/瓦⑦=方，將麗.無化成?麗f-:網:通過幾何關系求出|可小勺最小值即可.

【解析】設而=4*，故網=|碼=8,^2AB+(4-42)AC=2AB+(l-2)AD=AG,

由2+(1-4)=1,則3,G,。共線,故同，“=4收

答案第10頁，共28頁

由圖得，當私麗時|國有最小值,又網=|碼=4困=8,

/.sinZABD=sinZADB==即/AB。=/AO3===,即△ABD為等邊三角形.

8233

22222

由余弦定理，|BC|=|AB|+|AC|-2|A^|AC|COSZJBAC=8+2-2X8X2X1=52,

設/為BC中點，而?定=］加一［而:［加+g前］=|加『一J明:

.?.當［兩■］取最小值時，麗.定有最小值，

為邊上任意一點，

二當麗，麗時，|啊有最小值，

設過點C作CE1AB于點E,貝“CE|=|AOsin/BAC=G,

又PM11EC,尸河為A3CE的中位線，

A|PM|=-|CE|=—,SPIPA/I.=—,

I?2??2??nun2

（PBPC）=---x52=--.

\'min444

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：AD=4AC＞京5+（4-4彳）衣=而構造等邊三角形且B,G,。共線，設

M為8C中點，由麗?斤=|兩國］（先求出?豆耳），數形結合判斷方.元最小戶法|與相關線段位

置關系.

5.B

【分析】不等式|商+2日2,兩邊平方得到關于實數2的不等式，進而得到同=2,再利用模長公式

將^a+b+^b-c轉化為a+^b+c-^b,再利用不等式同+|可沖+可即可得解.

【解析】由區+崗24一兩邊平方得邪+2陽二+矛力2萬2-萬上

24

答案第11頁，共28頁

又H=2,^.\a+Ac\>a--c對任意實數4恒成立，

即/X2+42+2-恒成立，所以八=16-4/

即6-4)20,所以^=4,即同=2.

由同=忖=同=2,知g苕+5=M+(5,^-C=

以—u-\-b—b—c=u~b+c——b2區+耳=5/a~+2H.df+=2^3,

1-1-

當且僅當4+與b同向時取等號.

22

故選：B

【點睛】關鍵點睛：本題考查向量的綜合應用，不等式恒成立問題，解題的關鍵先利用B+彳石2日-;不對

任意實數2恒成立，求得同=2,再利用同+歸歸日+可求最值，考查了轉化思想與運算能力.

6.BD

【分析】以AE為y軸，GC為x軸建立平面直角坐標系，根據向量線性運算可判斷A；對于B,取AB的中

點、為M,則蘇+麗=2兩，⑸-麗=麗=2兩，兩式平方相減，結合正八邊形的對稱性取最大值時點尸

位置，然后利用坐標求解；對于C,根據投影向量公式求解可得；對于D,利用坐標運算表示出函數『(%),

根據二次函數性質可得.

【解析】如圖所示，以AE為y軸，GC為x軸建立平面直角坐標系,

設|Q4|=a,則在△045中，由余弦定理可得4+6-2/COS：=4,

整理得4=4+20,

,CJ5JV>,E(O,a"[-旦，旦

因為A(0,-Q),3-----a,-------a

I22)(22J

G(-a,O),H.

I22)

對于A,因為OA+OC=(a,—a),03=1a、-a

所以百礪=(半心一4a^OA+OC,A錯誤；

對于B,取AB的中點為M,貝!］而+而=2兩，可一方=麗=2加,

答案第12頁，共28頁

則例+而『=4-PM2,[PA-PB^=4MA,

兩式相減得中?而=兩2一而2=瓦/一],

由正八邊形的對稱性可知，當點尸與點E或點尸重合時，而*2最大,

又"[，所以兩=1孝。，--，

所以的'2/立a]+(--a--a]=10+3a^a2=13+872,

I4JI24J4

所以，麗?麗的最大值為西.聞=可7-1=12+8上，B正確；

寸C,AG=(—a,a),AB=j—^―a,a—a,

一旦,+/一旦2

V2

AG-AB22

所以~2，

所以而在通方向上的投影向量為-遮而，C錯誤;

2

對于D,因為詬=a,----a+a

所以/(x)=—+^^a(l-hx)+a(l-x)

\l22

=J(2+0)02+(2—&)42尤2-2a2尤=2.-(2+應卜+3+2點,

當x=l+1時，函數”X)取得最小值2+及，D正確.

故選：BD

答案第13頁，共28頁

【點睛】關鍵點睛：本題解答的關鍵在于:第一，建立平面直角坐標系，利用坐標運算求解;第二，設

利用。表示坐標，到最后再進行代換，減少計算量；第三，利用對稱性分析點尸位置.

7.ABC

【分析】A選項，MA+MB+MC=O,作出輔助線，得到三點共線，同理可得M為VABC的重心;

B選項，設內切圓半徑為廣，則SA=ggC",SB=^AC-r,k=gARr,代入后得到

BCMA+ACMB+ABMC=OiC選項，得到梟：SR:%=3：4:5,作出輔助線，由面積關系得到線段比，

設=MF=",ME=5f,則4W=3m,5M=2",MC=7f,結合三角函數得到M=逅九，=巫1/,

33

進而求出正切值的比；D選項，設外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個三角形的面積，得到比值.

【解析】A選項，因為力：品名=1:1：1,所以癥+標+碇=。，

取BC的中點貝!）而g+祝=2麗，所以2痂=一加，

故A,M,D三點共線，且M4=2ME>,

同理，取A8中點E,AC中點F，可得瓦加,尸三點共線，三點共線，

所以Af為VABC的重心，A正確；

B選項，若/為VA5c的內心，可設內切圓半徑為乙

則％=：20廠，Sc=^ABr>

1—,1_.1___._

所以-3C"-M4+—+—A3?小MC=O,

222

WBCMA+ACMB+ABMC=O^B正確；

答案第14頁，共28頁

C選項，若M為VA3C的垂心，3通5+4礪+5碇=0,

則SA：SB：SC=3:4:5,

如圖，ADLBC,CELAB,BF±AC,相交于點

又邑.。=梟+SB+S。，

531

《"-,即AM:MD=3:1,

S4i

三屋=高=.，即MF:BM=1:2,

S5

-^c-=—,即ME:MC=5:7,

\ABC1，

設MD=m,MF=n,ME=5t,則AM=3機，BM=2n,MC=7t,

niTi

因為NC4D=NCM,sinZCAD=——,sinZCBF=—,

3m2n

nm76

所以;;一=>即根=--n>

3mIn3

日工用h汨m5tA/105,,A/70

FJ理可付一=--,即"2=-------1J故九=----1

7t3m32

A/6

m~Tn貝UsinNBMD=

cosZBMD=—=——

2〃In6

故BD=BMsinNBMD=2w?叵=叵〃，

63

YY!QA/105,則sinNCMD=

cosZCMD=—=-^—

7t7t21

故CD=MCsinZCMD=7t-^^=,

213

tanZABC=—,tanZBCA=—,

BDCD

4721

故tanZABC:tanZBCA=^-1^CD4后t4同4

BD屈yfiOn國.呵5

-----n

2

答案第15頁，共28頁

3

同理可得tanABAC:tanZABC=

4

故tanABAC:tanZABC:tanZ.BCA=3:4:5,C正確；

D選項，若NB4C=45。，NABC=60。，M為VABC的外心，

則NACB=75。，

設VABC的外接圓半徑為R,故/BMC=2ZBAC=90°,ZAMC=2ZABC=120°,

ZAMB=2ZACB=15Q°f

2222

故治=工氏去皿90。=工氏2,SR=-Rsinl20°=—7?,Sc=-Rsinl50°=-7?,

22112424

所以J:SB：SC=2:6:1,D錯誤.

【點睛】結論點睛：點。為VABC所在平面內的點，且次+礪+玄=G，則點。為VABC的重心，

點。為VABC所在平面內的點，且礪.礪=礪.反元，則點。為VA2C的垂心，

點0為VABC所在平面內的點，且網=|詞=|因，則點0為VA2C的外心，

點。為VABC所在平面內的點，^.aOA+bOB+cOC=6,則點。為VABC的內心，

8.BC

p'p'

【分析】對于A,過AO的中點作平行線即可判斷；對于B,先利用平面向量的性質得到x=OE',>=三一，

從而結合圖形的性質推得x+y取得最大值時點P的位置，從而利用余弦定理與三角函數的和差公式求得

EC,EO,從而得以判斷；對于C,結合選項B中的結論，推得點P與點B重合時而.麗取得最小值，由此

判斷即可；對于D,舉反例排除即可.

【解析】對于A,記。為49的中點，過D作DP〃彼交于尸，如圖，

答案第16頁，共28頁

c

此時存在;leR,使得麗=彳礪，則爐=歷+麗=,區+/1麗,

2

顯然滿足了=］，但點P不在線段A3的中點處，故A錯誤；

2

對于B,延長。4,在0A上任一點￡作已產平行于08,如圖，

C(P)

—.—.___.0E'—.E'P'—■—.E'P'-.E'P'

則0P=0E'+E'P=——OA+--------OB=OE'OA+------0B,即x=OE',y=——，

0A0B22

易得NCBO=6()o+NABO大于NAO3=12。。的外角，則A0與CB的延長線必交于一點,

故E'產離08越遠，其值越大，同時，OE'的值也越大,

顯然，當尸'到達P點與C點重合時，OE'與E尸都取得最大值，此時x+y也取得最大值,

止匕時，在△0AB中，AB2=(?A2+OB2-2OAOBcosZA=1+4-2x2x

br~niI-?0A?+AB?—OB?1+7—4

所以所近，則AC",儂的n。==k="'

易知。＜/。＜。,所以。=

05460sinNBA乃

則cos/C4O=cos(N&4O+6()o)=cosNBAOcos60O-sinNBAOsin60。==乂>-0乂6=——\=,

'<72V722V7

故在AQ4C中，0C?=01+3-204.apcos/C4O=l+7-2xgx——==9,

+。。。

0A22-421+9-7_1

所以0C=3,cosZAOC=

20A0C2x3-2

又0。＜/40。＜120。，所以4tOC=60。,

又ECIIOB,403=120。，所以NCEO=60。，貝LECO為正三角形,

答案第17頁，共28頁

所以EC=EO=OC=3,

EP3Q

所以x+y的最大值為?！?—=3+7=7,故B正確；

222

uuruunlUUTi.uun.(1A

對于C,因為麗=工況+'赤，(9A-OB=|OA|-|OB|COSZAOB=1X2XI--=-l,

所以DP?次=(無西+y宿=尤|西『+,礪.厲=尤_,=0￡，_等，

由選項B,結合圖像易知OE'的增長速率要比￡P大，

F'p'

所以要使得。￡-二取得最小值，OE'要取得最小值，

此時OE=0,則EP=O3=2,即點尸與點3重合時麗.西取得最小值，

E'P'2

此時。￡———=0--=-1,即無.函的最小值為-1,故C正確；

22

對于D,當點P與點C重合時，cosNCAO=-<0,ZAOC=60°,

所以NC4O>90°,ZAPO=180°-ZCAO-ZAOC<30°,則cos/APO>cos30。=也，

2

貝I」而?西=|麗八麗kos/APO>3x=故D錯誤.

故選：BC.

p'p'

【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用平面向量的三角形法則得到X=OE',，從而確定

x+yx-y取得最值時點尸的位置，從而得解.

9.AD

【分析】對于A選項，(a-c)-(&-c)=0<S>CA_LC§,后由NAO3+NACB=7t可得答案.

對于B選項，由A分析可知，O,A,B,C四點在同一個圓上.又忖=口4，則其長度為圓上弦的長度.

對于C選項，由題可得A,B,C均在以。為圓心、1為半徑的圓上，設A(cosa,sina),C(cos/3,sin￡),

又函_L礪，貝！J3(-sinacos(z).

表示出僅-斗?-c)后可得答案.

cos/3=xcoscr-ysincr

對于D選項，由"=法+班結合C選項分析，得

sinB=xsina+ycosa

又由M=i,可得/+/=1,后由重要不等式可得答案.

【解析】對于A選項，如圖，若-@=o,則囪.在=o,所以①，函，又所以

答案第18頁，共28頁

ZAOB+ZACB=TT,所以。，A,B,C四點在同一個圓上，故A正確;

對于B選項，若（1。?僅-"）=0,由A選項知，O,A,B,C四點在同一個圓上，

又則其長度為圓上弦的長度.當線段oc為該圓的直徑時，「最大，且最大值等于

網=楠兩=及,故B錯誤；

對于C選項，由題可得A,B,C均在以。為圓心、1為半徑的圓上,

設。4=(cosQ,sina),OC=(cos夕，sin尸)，又兩_L礪，則

7171

—((、(\r\

OB=cos+aj,sin+aj=(一sina,cosa)淇中a,p&|_0,2萬).

則

OA-OCj-IOB-OCj=(cosa-cos￡)?(一sina-cos0)+(sina-sin￡)?(cosa-sin

=sinacos§-sin￡cosa-(cosacos0+sinasin￡)+1

=sin(o—-cos(。一￡)+1=1+^2sin<1+^/2,

當.一￡=1時取等號.故C錯誤.

Feos[3=%cosa-ysina

對于D選項，由C選項分析結合"=壇+仍可知

[sin0=xsina+ycosa

又口=1,則(無cosa-ysin+(%sina+ycos二1

nx2(cos2a+sin2a)+y1Icos2a+sin2a\-2xycosasina+2xycosasina=1

=>%2+y2=],

則由重要不等式有：(X+y)2=Y+y+2盯42(X2+V)=2.

答案第19頁，共28頁

得x+”-血，當且僅當x=y=-且時取等號.故D正確.

-2

故選：AD

【點睛】關鍵點點睛：本題涉及向量，三角函數.判斷A,B選項關鍵為能由伍-。?,-@=0得到CU畫，

從而可以得到。，A,B,C四點在同一個圓上.

判斷C,D選項關鍵，為利用A,B,C在單位圓上設出其坐標，后利用向量坐標表示結合三角函數，不等

式知識解決問題.

10.BD

【分析】先假設點48固定,即函與赤夾角。是定值，設點A關于。的對稱點為A，根據曲+岡="?詞

得到口目=|函?礪即點C的軌跡是一個點或以用為圓心，以?礪|為半徑的圓；若點A,8不固定，

即厲與赤夾角a不是定值，可判斷A錯誤；

結合網=1,|詞=2的幾何意義，數形結合得到網x=3,B正確；

C選項可舉出反例；

D選項，求出伊?西=2|cos.,得至I］網L=j5+4cosa+21coscz|,求出當a=0時，|反'取得最大值

為5,當cosa=±=*時，|阮L取得最小值0,得到忸4的取值范圍.

【解析】對A,先假設點A,2固定，即正與南夾角。是定值.

設點A關于。的對稱點為A,由網+西=|況.可得，甌-卜時卜|元一百H*H兩詞，

當。=90。時，|市?詞=0,此時點C的軌跡是一個點A,

當嫁工90。時，點C的軌跡是以4為圓心，以,礪|為半徑的圓.

若點A,B不固定，即次與赤夾角。不是定值，此時點C的軌跡也在變動，故A錯誤；

對B,=|而|=2,

...點A,點8在以。為圓心，分別以1,2為半徑的圓上，|力同=3,.?.B正確；

IImax

對C,當點A,8固定且e=0時，