備戰2025年高考數學模擬試卷02（新高考全國II卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.設全集U=1x[g<0,xez1,集合A={1,2,4},3=<2,xeN）,則3c&A）=（）.

A.{0,3,5)B.{0,1,3)C.{0,3}D.{3,5}

已知復數z滿足（l+i）z=3+5i,則目=（

D.厲

3.已知向量。=（2,m），Z?=（m+l,l）,且Z與B方向相反，若c=（2,l）,則Z在2方向上的投影向量的坐標

是（）

A.[XiB.匿[C.U口.—]

4.按從小到大順序排列的兩組數據：甲組：27,31,37,m,42,49；乙組：24,〃，33,44,48,52,若

這兩組數據的第30百分位數、第50百分位數都分別對應相等，則W+H=（）

_,71

5.已知一<。<兀，.若tana=3*,tan4二3一”,貝!J左=(

6.定義在R上的奇函數/*）,對任意0<%<[都有<1，若/⑴=1，則不等式〃x）-x>。的

解集是（

A.(^?,-l)u(l,+oo)B.(-l,0)u(l,+o))

C.(f-1)50,1)D.(-l,0)U(0,D

7.古希臘數學家阿波羅尼奧斯所著的八冊《圓錐曲線論（Conics）》中，首次提出了圓錐曲線的光學性質，

其中之一的內容為：“若點尸為橢圓上的一點，月、工為橢圓的兩個焦點，則點尸處的切線平分/可尸片外角

22

根據此信息回答下列問題：已知橢圓C:a+亍=1,0為坐標原點，/是點尸（2,忘）處的切線，過左焦點耳

作/的垂線，垂足為M,則|。閭為（）

A.20B.2C.3D.2y/3

8.已知點P在棱長為2的正方體表面上運動，A3是該正方體外接球的一條直徑，則西.而的最小值為（）

A.-2B.-8C.-1D.0

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知函數〃對=心皿（3+夕）N＞0,。＞0,|夕|＜外的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

B.函數人尤）的圖象關于對稱

-121L

C.函數/（幻在的值域為［-2,否］

O3

D.要得到函數g（x）=Acos（?x+0）的圖象，只需將函數Ax）的圖象向左平移;個單位

10.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ZADC=60°,A/W）為正三角形，。為

AD的中點，且平面皿＞，平面ABC2M是線段PC上的一點，則以下說法正確的是（）

A.OMLPD

B.OMA.BC

C.若點河為線段PC的中點，則直線OA///平面PLB

D.若瞿=!，則直線A〃與平面尸AB所成角的余弦值為題

PC310

1L下列式子中最小值為4的是（）

A.sin2x+——B.2X+22-x

sinx

C.—^-+—D.41n“%2+1-％）+ln“%2+1+%）

sinxcosx\'

12.已知拋物線石:Y=2py5>0）,過其準線上的點A（-1,-1）作石的兩條切線，切點分別為氏C,則下列

說法正確的是（）

A.拋物線E的方程為f=2yB.AB1AC

C.直線8C的斜率為D.直線8C的方程為x+2y-2=。

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知募函數/（無）=（療-2〃L2）X*I在區間（0,+8）上單調遞減，則加=.

14.已知圓M的圓心在直線y=-x-3上，且過（1,-2）,（-1,0）,則圓M的方程為一.

15.已知二項式，x+十）（〃eN*）的展開式中只有第4項的二項式系數最大，現從展開式中任取2項，則

取到的項都是有理項的概率為.

x1,x<0

16.已知函數"》）=%,若關于x的方程/（同一2/（龍）+2機-1=0恰有4個不同實數根，則實數

—T，尤>0

m的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.記數列｛%,｝的前w項和為S“，對任意正整數小有2S“=s，且的=3.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

⑵設勿=空，數列｛2｝的前〃項和為《，求證：T“<4.

c

18.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知=2cosC.

acosB+bcosA

⑴求角c；

⑵C￡>是NACB的角平分線，若CZ)=￡叵,c=26,求AABC的面積.

3

19.如圖，在直三棱柱ABC-中，ZACB=90°,AC=BC=CCl,〃為A8的中點，。在A4上且

4。=3￡>4.

(1)求證：平面CME>_L平面

(2)求直線CM與平面C8。所成角的正弦值;

⑶求二面角B-CD-M的余弦值.

20.后疫情時代，為了可持續發展，提高人民幸福指數，國家先后出臺了多項減稅增效政策.某地區對在職

員工進行了個人所得稅的調查，經過分層隨機抽樣，獲得500位在職員工的個人所得稅(單位：百元)數據,

按[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]分成九組,制成如圖所示的頻率分布直方圖:

假設每個組內的數據是均勻分布的.

⑴求這500名在職員工的個人所得稅的中位數(保留到小數點后一位)；

⑵從個人所得稅在(6,8],(14,16],(16,18]三組內的在職員工中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現從這10

人中隨機抽取3人，記年個稅在(14,16]內的員工人數為X,求X的分布列和數學期望；

(3)以樣本的頻率估計概率，從該地區所有在職員工中隨機抽取100名員工，記年個稅在(14,18]內的員工人

數為Y,求F的數學期望與方差.

21.在△尸月乙中，已知點耳卜6,0),乙(塢,0),尸片邊上的中線長與尸工邊上的中線長之和為6,記月工

的重心G的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程；

⑵若圓O:/+丁=1,醺0,T),過坐標原點。且與y軸不重合的任意直線/與圓。相交于點A3,直線胡，4

與曲線C的另一個交點分別是點M,N,求AEMN面積的最大值.

22.己知函數/(x)=xTn(x+a)的最小值為0,其中a>0.

⑴求。的值；

⑵若對任意的xe[0,+?>),有依2成立，求實數上的最小值;

n2

⑶證明：E7—；-ln(2?+1)<2(?eN,).

i=l2%—1

參考答案

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

12345678

CDBDBCAA

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9101112

ACDBCDBCBCD

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-114.(x+l)2+(y+2)2=415.116.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.(10分)

【答案】⑴。”=3（〃-1）

（2）證明見解析

【分析】（1）根據數列遞推式25“="%,利用。“=5”-51（〃22）可得3=1,利用累乘法，結合驗證

首項，即可求得答案；

（2）由（1）可得〃=空的表達式，利用錯位相減法可求得7“，即可證明結論.

【詳解】（1）由題意對任意正整數"，有25"=〃％,

則—1時，2S]—,即2〃[=0；

當〃22時，2s“+i=（〃+1）%,則2%旬=（〃+1）。“+1,

即（〃-㈣,，即7=Q'

n-1n-2…。3=35一1),

故〃22時，4

an-\4-2n-2〃一3

4=0也適合上式，故(=3(〃一1)；

(2)證明：由(1)可得2=竽=2異,

-1473,1-53,1-2

n=-+^+-+.：+—+—

mJ.1473/7-53n-2

則廣矛+3+吩+…+丫+k

3n—2

2M+1

3九+4

2"1

e，3〃+4,十*,,3n+4八

故(=4——,由于〃eN*,故技=>°，

故….

18.(12分)

【答案】⑴三;

⑵26.

【分析】(1)由正弦邊角關系及已知得cosC=1,即可得角C；

2

(2)由余弦定理得」='+”-12,由?曲=久48+5力8及面積公式得仍=4。+6)，求得必=8,進而

22ab3

應用面積公式求面積.

【詳解】(1)由-----------=2cosC,得：------------------=上上=l=2cosC,即cosC=—,

acosB+bcosAsinAcosB+sinBcosAsinC2

7T

又CeQit),所以C=1.

(2)在AASC中，coSC)：，--得:1=巴"”①，又S,ABC=S,CD+S》CD，

2ab22ab

c

得：—a&sin—=—a-^^--sin—+—,化簡得：②,

232362363V

由①②得：ab=8,所以S8ABe=26.

19.(12分)

【答案】(1)證明見解析

⑵出

17

⑶萼

【分析】(1)證明推出CM,平面AB耳A，進而可得結論；

(2)以C為原點，C4為x軸，CB為y軸，CQ為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求直線CM與

平面C8。所成角的正弦值；

(3)利用向量法求二面角的余弦值.

【詳解】(1),??直三棱柱ABC-A冉￡中，AC=BC=CCt,M為AB的中點，

:.CM±AB,平面ABC,CNu平面ABC

CM±A4j,又A4]r|A5=A,A^,A5u平面,

「.CM_L平面A55]A],又CMu平面CMD,

A平面CMD_L平面ABBX\；

(2)以。為原點，C4為1軸，CB為＞軸，CG為z軸，建立空間直角坐標系，

設AC=3C=CG=4〃，

則C(0,0,0),3(0,4a,0),D(a,3a,4a),M(2a,2a,0),

BD=(a,—a,4a),BC=(0,-Aa,0),CM=(2a,2a,0)

設面BDC的法向量。=(X,y,Z),

n-BD=xa—ya+4ZQ=0

則取z=l,得力=（TO,1）,

h-BC=-4ya=0

設直線aw與平面CB。所成角為e,

2^34

sina=|cos<CM,n>\=—；=----

7812.71717

->

（3）設面CDM的法向量為m=（Ry',z）,又CD=（a,3a,4a）,CM=（2a,2a,0）,

in-CD=x'a+3y'a+4z'〃=0一，、

—.,取％'=2得m=（2,—2,1）,

m^CM=2x,a+2y,a=Q

/—_\m-n-8+17^/^7

cos{m,n）=匚i----=/—/一二------

、/m-|n|A/16+1-V4+4+151，

所以二面角B-CD-M的余弦值為△叵.

51

20.（12分）

【答案】（1）9.3百元

（2）分布列見解析，E（X）=|

（3）10,9

【分析】(1)根據頻率分布直方圖的性質求得。，利用中位數計算公式計算即可.

(2)求得X的所有可能取值和對應的概率即可得到分布列，再由數學期望公式計算即可.

(3)由題意得F?3(100,0.10),由二項分布的數學期望與方差公式直接計算即可.

【詳解】(1)設這500名在職員工的個人所得稅的中位數為

貝岫頻率分布直方圖得2x(0.02+0.03+0.05+0.05)+(〃一8)x0.15=0.5,

解得。=壬9.3,

所以這500名在職員工的個人所得稅的中位數為9.3百元.

0.05

(2)由題意抽取的10人中，年個稅在(6,8］內的員工人數為10x-=---5--人---,-------------

0.05+0.04+0.01

0.04

年個稅在(14,16］內的員工人數為10x----------------------=4人,

0.05+0.04+0.01

0.01

年個稅在(16,18］內的員工人數為10x----------------------=1人,

0.05+0.04+0.01

若現從這10人中隨機抽取3人,記年個稅在(14,16］內的員工人數為X,

則X的所有可能取值為0』,2,3,

所以尸"=3)=詈/哈小=2)=詈喑$

C2cd15x4_120_1

P(X=1)=音P(x=o)=#

Jo120-2jo120-6

所以X的分布列為:

X=k0123

131

P(X=k)

6j_1030

2

X的數學期望為：E(X)=3x-^-+2x-1-+lxl+0xl=^.

(3)由頻率分布直方圖可知年個稅在(14,18］內的概率為(0.04+0.01卜2=0.10,

從該地區所有在職員工中隨機抽取100名員工，恰有女(。父4100,此N)個員工的年個稅在(14,18］內的分布

列服從二項分布丫?8(100,0.10),

由二項分布的數學期望、方差公式可得E(y)=iooxo.io=io,r>(y)=iooxo.iox(i_Qio)=9,

即y的數學期望與方差分別為10,9.

21.(12分)

【答案】(1)j+y2=l(ywo)

【分析】(1)根據橢圓的定義求得曲線C的方程.

(2)直線應欣為，=—,通過聯立方程組等求得兩點的坐標，求得AEMV面積的表達式，利用換

元法以及函數的單調性求得AEMN面積的最大值.

【詳解】(1)設尸片的中點為S,p瑪的中點為T,所以怩G|=§S閭，由G|=(s|,

所以忸G|+|乙G|=g(|S耳|+1*1)=4,所以國G|+優G|=4＞國聞=2石，

所以G點的軌跡是以月入為焦點，長軸長2a=4的橢圓.所以。=2,

所以C=VLb=l,所以曲線。的方程為］+y2=l(yw0)

%

P

FiOF?x

(2)設直線為丁=丘-1(不妨設左＞0),設NG，%)，

嚏冬三

E

所以］：：：［_，x2+4(^V-2fcr+l)-4=0,(4公+1

40卜2—8斯=0,

解得王=7^=(玉=。舍去)，則％=管一一1=竺二，

由于AB是單位圓的直徑，所以AE_LBE,

所以直線EN的斜率為一直線硒的方程為"

同理可求得"/,V=14,貝5=一＞「：-1=4一產

7二」A'

8k4左2f一8k4_廿］

由上述分析可知M4r+l'4/+lJ/+4'公+4J,而E（O,—1）,

118k\產-1小2

99_8kY（4-k,YJ

所以/謝=/四|x|EN|=-xZF+iJ+〔41+i+,X

「HEJj

k+-

1

所以心施=25X——吉—,^s=k+->2Jk--=2,

4k2++17

k2

當且僅當后=：,左=1時等號成立，

k

c_o5x'_32

則之EMN-4s2—8+17-4S+2,函數y=4s+Z在[2,+a））上單調遞增,

s

3265

所以當s=2時，S公EMN取得最小值為4x2+2一王，

2

【點睛】關鍵點睛：在圓錐曲線中，求解三角形面積最值、范圍等的有關問題，關鍵點有兩點，第一點是

求得三角形面積的表達式，可考慮根與系數關系、點到直線的距離公式等等來進行求解；第二點根據面積

的表達式，使用基本不等式、二次函數等知識求得面積的最值或取值范圍.

22.（12分）

【答案】（1）1;

⑵g；

（3）證明見解析.

【分析】（1）對〃元）進行求導，已知/（無）最小值為0,可得極小值也為0,得1（0）=0,從而求出。的值;

（2）由題意任意的xe[0,w）,有成立，可以令g（x）=&-〃x）先通過g（0）=0,g⑴NO大

致確定％取值范圍，再利用分類討論法求出g（x）的最值；

112

（3）由（2）知:令4=一得:%-皿%+1）W_f令x=_—?=2,…，九）得：

222z—1

221(11?

j-[ln(2f+l)-ln(2z-l)]<-^—yj,累加即可的證.

【詳解】⑴由函數〃x)=x—ln(x+a)