熱點題型追蹤：1-1基本不等式及其應用

近4年考情(2020-2024)

考題統計考點分析考點要求

2020年天津卷：第14題，5分基本不等式及其應用是是鬲考

的熱點，主要考查利用基本不等

2021年乙卷：第8題，5分

式求最值、求參數的取值范圍(1)了解基本不等式的推導

2022年I卷：第12題，5分等，常與函數結合命題，題型以過程

選擇題、填空題為主，也可作為(2)會用基本不等式解決最

工具出現在解答題中，應適當關值問題

注利用基本不等式大小判斷、求(3)理解基本不等式在實際

2023年I卷：第22題，12分

最值和求取值范圍的問題；同時問題中的應用

要注意基本不等式在立體幾何、

平面解析幾何等內容中的運用.

題型總覽熱點題型解讀(目錄)

\模塊一：核心題型?舉一反三"

【題型1】基本不等式的直接使用..........................................................2

【題型2】常規湊配法求最值.............................................................2

【題型3】“1”的妙用(1):乘“1”法.......................................................3

【題型4】“1”的妙用(2):“1”的代換......................................................4

【題型5］二次比一次型..................................................................5

【題型6］分離常數型....................................................................5

【題型7】與指數對數結合的基本不等式問題...............................................6

【題型8】利用對勾函數..................................................................7

【題型9】判斷不等式是否能成立.........................................................7

【題型10】換元法(整體思想)...........................................................8

【題型11］基本不等式的實際應用問題.....................................................9

【題型12】與a+b、平方和、ab有關問題的最值(和，積，平方和互相轉化)..............11

【題型13］基本不等式恒成立與能成立問題...............................................12

\模塊二：學有余力?拓展提升一

【題型14】消元法......................................................................13

【題型15】因式分解型..................................................................14

【題型16】同除型(構造齊次式)........................................................14

【題型17】萬能””法.......................................................................15

【題型18】三角換元法（利用三角函數）....................................................15

【題型19】基本不等式與其他知識交匯的最值問題...........................................16

【題型20】含有根式的配湊（根式平方和為定值型）.........................................17

【題型21】多次運用基本不等式.............................................................17

模塊-2核心題型?舉一反三

【題型1］基本不等式的直接使用

基礎知識

如果。>0,6>0,那么向《仁心，當且僅當q=b時，等號成立.其中，巴士2叫作的算

22

術平均數，4^b叫作。，6的幾何平均數.即正數。，6的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

常用不等式：若a，beR,則^+人222a人，當且僅當a=b時取等號；

基本不等式：若。，方€氏+,則?；12（或a+b22，^）,當且僅當a=6時取等號.

1.若〃>0,b>0,且〃+46=1,則/+16〃的最小值是

2.若x〉0,〉〉0,孫=10,則一+，的最小值為

xy

145

【鞏固練習1】若x>0,V〉0,-+-=10,則孫的最小值為

xy

【鞏固練習2】已知x>0,y>0,且x+2y=l,則2"+平的最小值是

【題型2】常規湊配法求最值

基礎知識

配湊法：加上一個數或減去一個數使和（積）為定值，然后利用基本不等式求解.

1、通過添項、拆項、變系數等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2、注意驗證取得條件.

常見的配湊法求最值模型

(1)模型一：mx+—>14nm(m>0,n>0),當且僅當x=A—時等號成立；

xVm

(2)模型二：mx+—--=m(x-a)+—-—+ma>2y[mn+ma(m>0,n>0)

x-ax—a

3.若x>-2,貝l]/(x)=x+占的最小值為.

4.已知a>2,則2a+2的最小值是()

a—2

A.6B.8C.10D.12

4

【鞏固練習1］函數/(x)=3x+2+------(x>0)的最小值為

13

【鞏固練習2】已知正數a,6滿足〃+36=4,則一；+「的最小值為_____.

Q+16+1

【鞏固練習3】已知/>0,則3工%+的3最小值為

2/+1

【題型3】“1”的妙用(1):乘“1”法

基礎知識

方法總結：乘“1”法就是指湊出1,利用乘“1”后值不變這個性質，使不等式通過變形出來后達到運

用基本不等式的條件，即積為定值.

主要解決形如“已知x+葉舊為常數)，求@+2的最值”的問題，先將@+2轉化為+2).二上，

再用基本不等式求最值

注意：驗證取得條件.

12

5.(2023?廣東廣雅中學校考)若正實數a,方滿足。+26=1,則一+：的最小值是________

ab

6.（2024?江蘇南通?二模）設x〉0,y>0,-+2y=2,則％+,的最小值為（

）

xy

3I—3/T-

A.—B.2A/2C.—+A/2D.3

【鞏固練習1】已知x>0/〉0且x+2y=犯，則x+2y的最小值是.

92

【鞏固練習2】若x〉0/〉0,且x+2>=5,則一+一的最小值為________.

xy

121=

【鞏固練習3】已知x>0,>>0,S.x+2y=—則一+—的最小值為t_________,

2fxy

【題型4】"1”的妙用（2）:“1”的代換

基礎知識

方法總結：通過常數“1”的代換，把求解目標化為可以使用基本不等式求最值的式子，達到解題目的.

7.已知Q>0,b>0fa+b=l,則工+f的最小值為____.

ab

21

8.已知實數x,>>0滿足x+y=l,則一+一的最小值為（）

xxy

A.6B.4+2V2C.4+2V3D.8

【鞏固練習1］若a>0,b>0且。+46=1,貝！J—有最小是

9ab

1+V1

【鞏固練習2】正實數x,y滿足x+y=i,則一+一的最小值是（）

xy

A.3+2拒B.2+20C.5D.y

【鞏固練習3】（2024?安徽?三模）已知x>0/>0,且2x+y=l,則'+”的最小值為（）

xy

A.4B.472c.4V2+1D.2V2+1

【題型5】二次比一次型

基礎知識

基本模型：分2+法+,=/V麗力伍>0，0°）,當且僅當苫=9時等號成立

ciji\uVa

X

9.已知久>0,則立出的最小值為（）

X

A.5B.3C.-5D.-5或3

10.函數y=（x>2）的最小值為.

【鞏固練習1］已知x>-l,則函數了=>+》+4的最小值是.

X+1

【鞏固練習2】已知正數x,y滿足尤+2y=3,則的最大值為_____.

X+ojv

【鞏固練習3】已知x,y為正實數，且x+y=l,則丑罕的最小值為（）

A.24B.25C.6+4&D.6近一3

【題型6】分離常數型

基礎知識

方法總結：對于分子分母中含有相同單一字母時，可以考慮分離常數

例1：v=x+2x+1=x+—+-=%+-+2>4(x>0)

xxxx

例2：y=2x+=2(x—1)+——3H—^-=2(x+1)+2H—^―

-x-1\7x-1x-1\7x-1

11.若x>l,則函數y=X+2x+j的最小值為()

x-1

A.4B.5C.7D.9

%+2v+27

【鞏固練習1】已知x>-2,y>0,2%+y=3,則——々一+一的最小值為（）

x+2y

A.4B.6C.8D.10

【鞏固練習2】函數〃幻=與立4在xeR上的值域是

x+x+4

【題型7】與指數對數結合的基本不等式問題

基礎知識

方法總結：結合指數對數的計算公式變形得出積為定值或和為定值的形式，再利用基本不等式求解

12.（多選）已知10"=2，102%=5則下列結論正確的是（）

A.a+2b=lB.ab<-

8

C.ab>\g12D.a>b

13.（2020?山東?高考真題）（多選）已知Q>0,b>0,且a+b=l,則（）

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log2a+log2b>-2D.4a+4b<41

【鞏固練習1】（2023廣東廣雅中學校考）若正實數a,力滿足a+2b=1,貝U2"+型的最小值是

【鞏固練習2］已知實數X，f滿足x+3y=2,貝1］2=3"+27"+1的最小值是.

【鞏固練習3］（多選）已知3、=4"=12,則實數x,了滿足（）

A.x>yB.x+y<4

111,

C.-+D.孫>4

xy2

【題型8】利用對勾函數

基礎知識

當無法取等時需要結合對勾函數圖像，利用單調性來得出最值

4

14.當xN2時，x+—^的最小值為^

15.已知函數"x)=|lgx].若0<a<6,且/(a)=/S),則。+46的取值范圍是()

A.(4,+oo)B.[4,+oo)C.(5,+℃)D.[5,+oo)

【鞏固練習1】函數y=x+J(x>2)取得最小值時的x值為________.

%+1

【鞏固練習2】已知函數/(x)=|lgx|+2,若實數qb滿足b>q>0,且/⑷=/(b),則a+26

的取值范圍是.

【鞏固練習3]若對任意xe[l,2],加x2-(%+l)x_l〈0恒成立，求實數加的取值范圍

【題型9】判斷不等式是否能成立

基礎知識1

(1)基本不等式的前提是“一正”“二定三相等”；其中“一正''指正數，“二定”指求最值時和或積為

定值，“三相等”指滿足等號成立的條件.

(2)連續使用不等式要注意取得一致.

16.(多選)下列函數中，最小值為2的是()

x1,

A.y=-+-+lB.y=d￡+4+

4x

C.>=：[+J-](0<x<l)

D?y=A/2—x+J2+%

2\x1-xJ

【鞏固練習1】下列不等式證明過程正確的是()

A.若a,6eR,則卻』，匹=2

ab\ab

B.若x>0,y>0,則1gx+1gv22,lgx?1g歹

C.若x〈0,則x+&z-2.

XX

D.若xVO,貝|J21+2T>2d2,-2r=2

【鞏固練習2】（多選）下列命題中，真命題的是（）

A.VxeR,都有V-xNx-l

,、4

B.3xe(l,+oo),使得x+------=6

x-\

C.任意非零實數”,方，都有

ab

D.若X?2,+8),的最小值為4

【鞏固練習3】（多選）下面結論正確的是（）

A.若％＜彳，則2x+^的最大值是-1

22x-l

_國+5

B.函數〉=的最小值是2

J\x+4

函數當=炎尸（

C.2XC2

Xr)

x3

D.x＞0,、＞。且工+k2,則77T+嚏的最小值是3

【題型10］換元法（整體思想）

基礎知識

對于兩個分式的最值問題可以考慮整體法或換元法配湊

整體配湊法原理是把目標當作一個整體，然后利用基本不等式求最值.

單分母換元：當2個分母的和為定值，可以把其中一個分母進行換元

雙分母換元：當2個分母均為字母加減常數時，可以把2個分母都換元

114

（單分母換元）已知。則五+心的最小值是-

A.6B.8C.4D.9

a4b

瓜（雙分母換元）已知正數a,6滿足j=2,則1+k的最大值是（）

A2

B.7c-1D

,2-1

2、1的最小值為（）

19.已知x,y為正實數，則土+

X

A.6B.5C.4D.3

1Q

【鞏固練習1】已知a+Z?+c=l,其中。，b,c>0則上+4的最小值為

ab+c

1?1

【鞏固練習2】已知實數。>01>2,且——+——則2a+6的最小值是______.

0+1b-23

則」7+厘的最小值為______

【鞏固練習3］若a>0,b>0,c>0,a+b+c=2

a+bc

【鞏固練習4］若正實數。,6滿足a+6=l,則」：最小值為________

a+2b2a+b

272

【鞏固練習5】已知a,b,。均為正實數，ab+ac=4則一+；+---的最小值是______

fab+ca+b+c

【題型11）基本不等式的實際應用問題

基礎知識1

不等式的應用題常以函數為背景，多是解決現實生活、生產中的優化問題，在解題中主要涉及

不等式的解法、基本不等式求最值，構建數學模型是關鍵，重點培養數學建模、數學運算素養.

調和平均數W幾何平均數W算術平均數W平方平均數：

2I~~a+bla2+b2

若a,b&R+,則1-f-~2-（當且僅當a=6時取

ab

20.數學命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現有如圖所示圖形，在等腰直角

三角形&45C中，點。為斜邊48的中點，點。為斜邊上異于頂點的一個動點，設必=a,

BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）.

、1

B.-^<4^b(a>0,b>0]

a+b

D.a1+b2>?.4ab(a>0,b>0)

21.小李從甲地到乙地的平均速度為“，從乙地到甲地的平均速度為6（。>6>0）,他往返甲乙兩地

的平均速度為v，則（）

a+b

A.v=------B.v=4ab

2

-r~ra+b

C.yJab<v<------D.b<v<4ab

2

【鞏固練習11原油作為“工業血液”、“黑色黃金”，其價格的波動牽動著整個化工產業甚至世界經

濟.小李在某段時間內共加油兩次，這段時間燃油價格有升有降，現小李有兩種加油方案：第一種

方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說法正確的是（）

A.第一種方案更劃算

B.第二種方案更劃算

C.兩種方案一樣

D.無法確定

【鞏固練習2］《幾何原本》中的幾何代數法（用幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問

題的重要依據，通過這一方法，很多代數公理、定理都能夠通過圖形實現證明，因此這種方法也被

稱之為“無字證明如圖所示，4s是半圓。的直徑，點。是4S上一點（不同于4,B,O）,點。

在半圓。上，1.CD-LAB,于點石，設4C=a,BC=b,則該圖形可以完成的“無字證

明”為（）

4R

A.而4空（a>0,2?>0）

粵嘯（a>。，b2扮

當■<V^（a>0,方>o）

D.<y[ab<^X^（a>0,2}>0,#2?）

a+b/

【鞏固練習3]（多選）給出下面四個結論，其中不正確的是（）

A.兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這

種物品所花的錢數一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數量一定.則若72

次（7222）購買同一物品，用第一種策略比較經濟

B.若二次函數4A）=24aV+4x—1（存0）在區間（一1,1）內恰有一個零點，則由零點存在定理知，實

數a的取值范圍是?s

（4,o）U（o上）

C.已知函數4?=|lgR,若0<a<力，且4a）=兀&）,則3方+2a的取值范圍是已+3）

D.設矩形的周長為24,把沿4。向△40。折疊，4s折過去后交。。于

點P設4S=x,則△/!%的面積是關于x的函數且最大值為log—70JI

【題型12】與a+b、平方和、必有關問題的最值（和，積，平方和互相轉化）

基礎知識

利用基本不等式變形求解

常用不等式鏈：abd"）[+.（主要用于和積轉換）

42

■""""'

22.（2024?遼寧葫蘆島?二模）若。>0,6>0,2而+a+"=3,貝!]a+2/）的最小值是（）

23.(2024?重慶渝中?模擬預測)(多選)已知實數x，y滿足Y+4/-2中=1,則()

A.x+2y<lB.x+2y>-2

C.x2+4/<2D.x2+4/>1

【鞏固練習1】已知實數。，6滿足/+4/—仍=1,則/+4/的最大值為

3

【鞏固練習2】(多選題)(2024?高三?海南?期末)已知。>0/>0,^+b-ab=~,貝!J()

a4

1、9

A.a+b>3B.0<ab<—^ab>—

44

C.(?-l)2+(ft-l)2<-D.1<'+工43或L+L24

2ab3ab

【鞏固練習3】(多選題)已知正數xj滿足/+孫+y=9,則()

A.xy<2B.x2+y2>6

C.x+y<243D.x+y>6

【題型13】基本不等式恒成立與能成立問題

基礎知識

\/xeM,使得/(x)#,等價于/⑴皿加?；,VxeM,使得/(x)官,等價于〃初儂管

3xeM,使得/(x)a,等價于/(x)1MxR,3xeM,使得/(x)Wz,等價于/(x)min^z

_..—i■?■

112

24.已知x>0/>0,且--+-=若x+y>/+3加恒成立，則實數優的取值范圍是()

x+2y3

A.(T6)B.(-3,0)C.(-4,1)D.(1,3)

112

【鞏固練習1】已知x〉0j>0,且-+—=若x+2+y>冽2+5加恒成立，則實數冽的取值范

x+2y7

圍是()

A.(-4,7)B.(-2,7)C.(-4,2)D.(-7,2)

【鞏固練習2]已知x>0,y>0,且無+9y=孫，若不等式。Wx+y恒成立，則a的取值范圍是()

A.(-℃,6]B.(-℃,16]C.D.

【鞏固練習3】若兩個正實數xj滿足x+2y=個，且存在這樣的xj使不等式Zx+yv/+M有解,

則實數加的取值范圍是()

A.(-1,9)B.(-9,1)

C.(-%一9)u(l,+e)D.(-c?,-l)U(9,+co)

【鞏固練習4】若存在使不等式--2辦+°+2Vo成立，則0的取值范圍為.

模塊二1學有余力?拓展提升

【題型14]消元法

基礎知識

消元法：當所求最值的代數式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和

為常數”或“積為常數''的形式，最后利用基本不等式求最值.

25.已知x>0,y>0,xy+2x—y=10,貝?。菥?y的最小值為.

【鞏固練習1】若a〉0,b>0,ab=2,則小/獷的最小值為

bz+l

【鞏固練習2](2024?浙江嘉興?二模)若正數%y滿足/一2xy+2=0,則％+y的最小值是()

A.V6B.包C.2V2D.2

2

【鞏固練習3](2024?重慶?模擬預測)(多選)已知且％+)+盯一3=0,則()

A.孫的取值范圍是[1,9]

B.》+>的取值范圍是[2,3)

C.x+4了的最小值是3

D.x+2>的最小值是4m_3E.x+4y>3

【題型15】因式分解型

基礎知識

含有ax+by+ab初這類結構的式子，可以考慮因式分解配湊成（辦+1）（勿+1）的結構，再結

合整體思想來求最值

26.（重慶巴蜀中學校考）已知x>。，N>°,且孫+x-2y=4,則緘+夕的最小值是

【鞏固練習I】設龍，V為正實數，^2x+y+2xy=-,則2x+y的最小值是（）

4

A.4B.3C.2D.1

【鞏固練習2】若x>0,>>0且％+>=孫，貝!J4的最小值為

x-1y-\

【鞏固練習3]（2024?江蘇南京?三模）若實數XJ滿足2/+孫-/=1,則的最大值

JX—

為.

【題型16】同除型（構造齊次式）

基礎知識

齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉化為運用基本不等式

進行求解.

27.設正實數x、了、z滿足4/一3孫+/-z=0,則又的最大值為

Z

A.0B.2C.1D.3

【鞏固練習1】已知正實數x,y滿足5戈+4燈一/=1,12V+8燈一/的最小值為

1-r2

【鞏固練習2】已知%>0,>0,x3+y3=x-y,則—1的最小值是（）

y

A.2B.2+V3c.V5+2D.20+2

【題型17］萬能“A”法

基礎知識

求啥設啥，利用一元二次方程有實數根時△20.

28.（2024?湖南衡陽?模擬預測）已知實數xj,滿足/+盯+3/=3,則x+y的最大值為（）

A3A/H口6A/1T「V3+1八A/3+3

H1133

【鞏固練習1】若正數。，b,。滿足/+/+°2_qb_6c=1，則C的最大值是.

【鞏固練習2】（重慶巴蜀中學?？迹┮阎獙崝怠?滿足/+4/—仍=1,則Q+b的最小值為

24

【鞏固練習3］已知正實數x、y滿足x+—+3y+—=10則燈的取值范圍是________

xy

【題型18］三角換元法（利用三角函數）

基礎知識

出現平方和結構（加/+〃/）形式，引入三角函數表示a和b

29.若x,y滿足=1,則岳+了的最大值為

30.（多選題）若x,y滿足/+/+砂=1則（）.

.’26

A.x+B.x+y>-l

223222

C.x+yW—D.x+y2—

23

r2

【鞏固練習1】若x,y滿足一+y2=l,則JLr+y的最大值為