數學（二）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.如圖，已知矩形U表示全集，A,8是U的兩個子集，則陰影部分可表示為（）

A.B.Q（ACB）

C.（QB）CAD.（QA）CB

2.中國南宋大數學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設三角形的三條邊

長分別為明b,c,則三角形的面積S可由公式5=1川0-0）（0-6）（0-0）求得,其中P為三角形周長的一半，

這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.現有一個三角形的邊長滿足。=6,a+b=8,則此三角形面積的最大值為

（）

A.185/3B.473C.873D.9a

3.已知點A是拋物線。：/=2°工（。＞0）上一點，若A到拋物線焦點的距離為5,且A到x軸的距離為4,則。=

（）

A.1或2B.2或4C.2或8D.4或8

4.圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2,母線長為4.已知尸為該圓臺某條母線的中點，若一質點從點尸出

發(fā)，繞著該圓臺的側面運動一圈后又回到點P則該質點運動的最短路徑長為（）

5.將數字L2,3,4,5,6,7,8,9隨機填入3x3的正方形格子中，則每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的三個數字

之和都相等的概率為（）

6.定義：已知數列｛a“｝（"eN*）的首項q=1,前〃項和為5“.設幾與人是常數，若對一切正整數"，均有

1/4數學（二）

4,-S：=然；成立，則稱此數列為“2&左”數歹/若數歹!J{4}（〃eN*）是“曰&2”數列，則數列{??}的通項公式an=

（）

ri(〃=i)ri(〃=i)

A.3X4'TC.4X3"-2

'[3x4n^2(n>2)?[4x3n-2(n>2)

7.在(x+1)(%+2)(x+ni)(x+")的展開式中，含Y的項的系數是7,則根+〃=()

A.1B.2C.3D.4

8.已知函數是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間[0,+8）單調遞減，若aeR+,且滿足

/（log3?）+/log,?<2/（2）,則a的取值范圍是（）

I37

A.：9B.C.1,2U[9,+oo）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.歐拉公式e，=cosx+isin無（i為虛數單位，xeR）是由數學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數與指數函

數的關聯，被譽為“數學中的天橋”.依據歐拉公式，下列選項正確的是（）

A.學的虛部為1

B.e疝=-l

e2

C.eX1|-|cosx|+|sinx\

D.e7的共筑復數為-i

23,P（B|A）=1,則（）

10.對于隨機事件aB,若尸（A）=y,P?=M

319-1

A-P(AB)=-B.P(A|B)=-C.尸(A+5)=—D.P(AB)=-

102

II.如圖，正方體ABCD-A4GB的棱長為1,動點P在對角線2A上，過戶作垂直于的平面C,記平面。與

正方體耳G2的截面多邊形（含三角形）的周長為L,面積為S,BP=x,xe（0,V3）,下面關于函數

〃x）和S（"的描述正確的是（）

B.在x=4時取得極大值;

2/4數學（二）

C.在。，岑上單調遞增，在上單調遞減；

D.S(x)在，，孝]上單調遞增，在￡市上單調遞減

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.《易經》是中華民族智慧的結晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經包含了深刻的哲理.

如圖所示是八卦模型圖以及根據八卦圖抽象得到的正八邊形ABCD杯G8,其中■=1,0為正八邊形的中心，則

ABHD=.

13.已知數列滿足4=2,%=1,%=—3，且a“+2=4%+6zn+1,則%=

+2x+3x<0-

14.已知函數,若存在實數占,々，彳3且不<彳3，使得/(尤1)=/(尤2)=/(三)，則

mx,尤>。

x1/(x1)+x2/(%2)+w/(%)的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知銳角aABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若a-c=2ccosB.

(1)證明：B=2C；

(2)若a=2,求c當os、C+上1的取值范圍.

bc

16.已知數列｛4,｝的前〃項和為S“，且q=2,%+]=S.+2.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

⑵設b“=log2^-11,求數列｛h|｝的前n項和Tn.

17.如圖，四邊形ABCD為菱形，PB1.平面A8C￡>.

3/4數學(二)

p

c

(1)證明：平面上4C，平面PBD；

(2)若R4LPC,二面角A-3P-C的大小為120。，求尸C與她所成角的余弦值.

?22Q

18.已知橢圓C:二+當=1(。>6>0)的兩個焦點分別為耳耳，離心率為半，點P為C上一點，APKE周長為

ab2

20+2，其中。為坐標原點.

⑴求。的方程；

⑵直線/：y=x+機與c交于A3兩點,

(i)求△OA3面積的最大值；

(ii)設麗=西+麗，試證明點。在定直線上，并求出定直線方程.

19.已知函數〃x)=aln(x+l)-xe同.

⑴當4<0時，求“X)的單調區(qū)間；

(2)若函數“X)存在正零點七，

(i)求。的取值范圍；

(ii)記X］為的極值點，證明：x0<3x1.

4/4數學(二)

數學（二）答案

1.D2.B3.C4.A

5.A【詳解】符合題意的填寫方法有如下8種:

294618492816

753753357357

618294816492

672438276834

159951951159

834276438672

Q

而9個數填入9個格子有9!種方法所以所求概率為尸=或，故選：A.

6.B【詳解】因為數歹￡與｝（小*）是，數列，則2=亭左=2,

111

所以而S“+「S“=%’

?.-a?>O,...S?+1>S?,...V-Sj>0-

11/?1

??fSJ=q（S"+f）2,

???（S：-4）2=g⑸--s））（sj+4），

S“+J-SJ=-（S?+J+^）,-.S“1=2S.5,;.S“M=4S”，；.s,=4'I,

???S]=4=1,5.=4〃T,.?.4=4i-4〃-2=3?尸,幾22,.?.氏=鼠平_2故選：B

7.D【詳解】由題意可知展開式中含元3的項：x3+2x3+mx3+n￥3=（l+2+m+zz）x3=7x3

.,?加+〃=4,故選：D.

8.D【詳解】依題意，"X）是偶函數，且在區(qū)間[0,+?0單調遞減，

/、

由〃1。83。）+/log/<2〃2）得〃題3。）+〃-1。83。）=2/（1083。）<2〃2）,

\3）

所以/（logs。）W7（2）,J5ffy.log3a<-2^1og3a>2,

所以。<。<（或"29,所以。的取值范圍是，,gU[%+8）.故選：D

9.ABD【詳解】對于A中，由/=cosq+isinq=L+^^i,其虛部為心，所以A正確;

33222

對于B中，由e711=cos7i+isin?i=-l,所以B正確；

1/8數學（二）答案

對于C中，由/=cosi+isinx,則町=Jcc^x+sii?%=1,所以c錯誤；

對于D中，由S=cosP+isina=i,故啟的共軌復數為-i,所以D正確.故選：ABD.

22e

/、（/、/211

10.BCD【詳解】對A：因為P（B|A）=P丸A＜By=＞尸.（叫=尸⑷P（3|Ax）=：X：J,故A錯誤;

=/故13正確;

o31Q

對C：因為尸（A+B）=P（A）+P⑻-尸（幽=,+]-而=木，故C正確;

對D：P（B）=P（A）-P（B|A）+P（A）-P（B|A）=＞|=|x|+|-P（B|A）,

所以：P（B|A）=|.

所以尸畫=尸（孫尸伍|可=*=；.故D正確.故選：BCD

11.AD【詳解】當xe。，孝時，截面為等邊三角形，如圖：

因為BP=x,所以所="x，

所以："x）=3瓜，5（尤）=浮尤2,乎

此時L（x）,S（x）在0,彳上單調遞增，且"x）V3后，S（x）44

當xe（5n,后2反一、時截面為六邊形，如圖：

2/8數學（二）答案

設AE=/,則AE=AF=CG=CH=B]N=B]M=X

所以六邊形EFGHMN的周長為：3M+3后（1-。=30為定值；

做NN】_L平面ABCD于乂，腦/_L平面ABCD于M.

設平面EFGHMN與平面ABCZ）所成的角為二，則易求cosa=^~.

3

所以SEFDHMN,C°Sa=SFANMCG，

所以SE的MN+”產），

在N。』上遞增，在《別上遞減,

所以截面面積的最大值為石F+m=攣，此時/=1，即片旦

（224）422

所以S（x）在上遞增，在^~,一，上遞減.x=@時，S（x）最大，為.

132）（23）24

當后時，易得：

L（X）=3V6（A/3-X）,s（x）=￥（g-x『

此時L（x）,S（x）在[竿，內上單調遞減，"x）＜3后，S（x）＜^-.

綜上可知：AD是正確的，BC錯誤.

故選：AD

12.1+&##&+1【詳解】在正八邊形ABCDEFG8中，連接“C,則"C〃AB,

而NABC=135。，即/BCH=45。，于是/HCD=90。，在等腰梯形ABC”中,

3/8數學（二）答案

CH=l+2xlxcos45°=1+72;所以血,訪=lx|赤卜osNCHD=|明=1+四.故答案為：i+應

13.1［詳解】當〃=1得。3=4al+4，又4=2,4=I,/=—3得—3=2/1+1,解得4=—2.

則4+2=-2?！?an+1，

以。4=—2〃2+%=—2x1—3=—5,%=—2〃3+&=—2x(―3)—5=1.

故答案為：L

14.-6+3e3【詳解】根據題意作出函數y=/Q)的圖象，如圖所示，

令y=2,解得％=-1或％=e?,

令y=3,解得％=-2或x=0或％=匕3,

由題意可知：、=〃與丫=/(%)有三個交點，則2<aW3,

止匕時一2W再<一1<冗2<0<e?<%3(匕3,且玉+兀2=—2,

^/(x3)=lnx3=a,可得￡=e",

則玉/(石)+xif(%2)+%3/(入3)=+aX2+ax3=-2。+〃e"，

令g(〃)=-2〃+〃e",2<aW3,貝|g'(〃)=-2+(a+l)e">-2+3e2>0,

可知g(〃)在(2,3］內單調遞增，則g(a)的最大值為g(3)=-6+3e3,

所以再〃再)+//(%)+(當)的最大值為-6+3e3.

故答案為：—6+3e3.

15.⑴證明見解析(2)\,力

【詳解】(1)因為a—c=2ccosB,由正弦定理得sinA-sinC=2sinCcos5,

所以sinBcosC+sinCcosB-sinC=2sinCcosB,

所以sin8cosC-sinCcosB=sinCsin(B-C)=sinC,

而0v5〈兀,OVCVTI,則B—C=C或5—。+。=兀，

即3=2。或5=%(舍去)，故3=2C.

4/8數學（二）答案

o<Y

(2)因為aABC是銳角三角形，所以。<2C<m,解得?<C<S，

2o4

0<7t-3C<-

12

所以cosC的取值范圍是更<cosC<3,

22

,一E—T,口bsinB,sinBsin2C小「

由正弦定理可得：一=—^，則6=~7=-C=.C-=2cosC-c,

csinCsmCsinC

uuk]cosC1cosC13

所以「一=二，所以「一+一=不，

b2cbc2c

因為a—。=2ccos3，所以2-c=2ccos2C,

2

所以2-c=2ccos2C，所以c=

2cos2C+l

cosC1_3_3_3(2COS2C+1)_3(4COS2C-1)

所以b+7-五一4一4-4

2cos2C+l

(B

因為cosC￡,所以4cos之C-1E(1,2),

I22J

所以呼+卜^^丁。的取值范圍是

16【詳解】⑴由a〃+i=S“+2,則當“22時/=S,T+2

兩式相減得a向一a,,=an,所以a?+1=2a“(n>2).

將％=2代入a.+i=S“+2得，%=4=2%,

所以對于"eN*,a,M=2a“，故｛廝｝是首項為2,公比為2的等比數歹U,

所以4,=2".

(2)bn=log2a^-ll=2n-ll.

2

Bn=bx+b2-\-----\-bn=z?(n-10)=n-lOn,

因為當“W5時4<0,當“26時/>0,

2

所以當〃V5時,Tn=~b1-b2-------bn=-B?=10n-n,

當〃26時，Tn=-bt~b2-----b5+b6+by+—i-bn=Bn—2B5=n~-10/z+50.

\0n-rr,n<5

故(=

/-10n+50,w>6

17.【詳解】(1)?.?P3_L平面ABCD且ACu平面ABCD

.-.PBLAC,

5/8數學(二)答案

在菱形ABC。中，BDLAC,且PBcBD=B,PB,BDu平面PBD,

.?.AC_L平面PB。

又rACu平面FAC

平面PAC，平面PBD.

（2）平面ABC￡）且ABu平面ABCQBCu平面ABC￡>

.■.AB1,BP,BC1BP,即二面角A-BP-C是/ABC,

ZABC=120°,

取AC與BD交點為。，設AB=3C=2,

則AC=2y/3,

PA=PC=V6>PB-V2，

以。為坐標原點，03為x軸，oc為y軸，如圖建立空間直角坐標系,

則8（1,0,0）,￡>（-1,0,0）,P（l,0,V2）,C（0,73,0）

麗=（2,0,0）,PC=（-1,73,-72）

BDP^_2=V6

BD^PC2X>/66'

所以如，尸C所成角的余弦值為逅.

18.【詳解】（1）設焦距為2c,依題意，％解得，

2。+2c=2V2+2,

又/=〃+/,所以〃2=儲一。2=1,

所以C的方程為:+V=1.

（2）（i）設4（占,%）,8（%2，%），

-----1-V2=]

因為<2，所以3f+4mx+2m2—2=0,

y=x+m

A=16m2-4x3x（2m2-2）>0,解得病<3,

4m2m2-2

所以玉+々=一~—=——-——

々）2+（%-%）2=3xJ%+々）2-4卯%2~~~~x,24-8加、=1n

6/8數學（二）答案

m

點。到直線/：尤-y+m=。的距離d=\\

萬

…面積sf

V2(3-療)+〃/

=彳,:(3-〃/)加?___7_______L______

2

當且僅當3-毋=機2,即加=±逅時，Z\Q鉆面積的最大值為因.

22

（ii）設。（x,y）,由麗=麗+礪,有（須＞）=（再+/，%+%），

X=X]+x2

即

y=Vi+%

4nt2m

因為再+%=—1，所以％+%=再+/+2m=

4m

X~31

故*，于是有》=一?,

2m2

y=——

3

所以點。在定直線y=-gx.

19.【詳解】⑴由已知可得“X）的定義域為（-1,+8）,

2x+1

且:")=￡_《+xe*+i?-(x+l)e