2025年高考數學解答題解題技巧全攻略

布考解答題解墓技巧會攻暗

------------------------------------------------------------------------°0------------------------------------------------------------------------

方法一構建答題模板.................................................................1

方法二用七步答題.....................................................................6

方法三方法三分類討論..............................................................9

方法四數形結合....................................................................12

方法五特殊值探路..................................................................16

方法六正難則反...................................................................19

Q（解法探究）

方法一構建答題模板

構建答題模板，步步為營，不因缺少步驟或者部分條件而導致扣分，是所有技巧的基礎。

【典型例題】

1.（2024?廣東江蘇?高考真題）記△ABC的內角48、。的對邊分別為a,b,c,已知sinC=方cosB,a?

+b2—c2=V2ab

⑴求B;

（2）若△ABC的面積為3+四,求c.

?M

【變式訓練】

一、解答題

2.（24-25高三上?江蘇?階段練習）記4ABC的內角ABC的對邊分別為a,b,c,面積為S,已知b2=2s

+abcosC

⑴求A;

（2）若BC邊上的高為1且3bcosC=ccosB,求△ABC的面積S.

3.（2024?吉林?三模）已知數列｛an｝滿足電=1,冊+1=2冊+2”+1.

（1）證明：數列｛爹｝為等差數列，并求通項an；

（2）求數列｛冊｝的前ri項和S”.

4.(24-25高三上?江蘇?階段練習)如圖,在直四棱柱ABCD-4向。。中，44」平面ABCD,AD±

48,8。，8,其中718=4。=2,44=2斯，。是瓦。1的中點，Q是DA的中點.

B

(1)求證：。F〃平面CBiQ；

(2)若異面直線BC、B.Q所成角的余弦值為空，求二面角B.-CQ-D的余弦值.

O

5.（2024?陜西寶雞?模擬預測）統(tǒng)計顯示，我國在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長態(tài)勢，下

表為2020年-2024年我國在線直播生活購物用戶規(guī)模（單位：億人），其中2020年-2024年對應的代

碼依次為1—5.

年份代碼212345

市場規(guī)模沙3.984.565.045.866.36

5

歹—5.16,1.68,夕。彩產45.10,其中幼=

i=l

參考公式:對于一組數據（%,%）、（”2,例）、…、（—外），其經驗回歸直線g=b”+Q的斜率和截距的最

n

〉2號，仇一幾可

小二乘估計公式分別為b=y------------,ax1.83.

Z說一TZ/亍

（1）由上表數據可知，若用函數模型4=bG+a擬合夕與C的關系，請估計2028年我國在線直播生活

購物用戶的規(guī)模（結果精確到0.01）；

（2）已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率P,現從我國在線直播購物用

戶中隨機抽取5人,記這5人中選擇在品牌官方直播間購物的人數為X,若P（X=5）=P（X=4）,求

X的數學期望和方差.

27[2

6.(2024高三?全國?專題練習)已知雙曲線C:%—2=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為瓦用，實軸長

azbz

為2,M為C的右支上一點,且(\MF1\-|A^|)min=3.

(1)求。的方程；

⑵設。的左、右頂點分別為AB，直線Z與。交于PQ兩點,與立軸交于點(一；,0)，直線AP與8Q

交于點G,證明：點G在定直線上.

7.(24-25高三上?天津?階段練習)設函數/(x)=Ina;-磯力-l)e*其中aER.

⑴若a=—1,求曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)若0VaV――，

e

⑴證明：函數/(力)恰有兩個零點；

(w)設g為函數f⑸的極值點，g為函數f(x)的零點，且力i>g,證明:3g—力>2.

方法二跳步答題

解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的。這時,我們可以假定某些結論是正確的往后推，看能

否得到結論,或從結論出發(fā)，看使結論成立需要什么條件。如果方向正確，就回過頭來，集中力量攻

克這一卡殼處。如果時間不允許，那么可以把前面的寫下來，再寫出證實某步之后,繼續(xù)有一直做

到底，這就是跳步解答。也許，后來中間步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補在后面。若

題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作已知,先做第二問,這也是跳步解答。

【典型例題】

8.(2024.全國.高考真題)如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5V3,/4DC=90°,

ABAD=30°,點E,F滿足AE=^-AD,AF=:存，將AAEF沿EF翻折至APEF,使得PC=

o/

4V3.

(1)證明：EFLPD；

(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.

【變式訓練】

一、解答題

9.(24-25高三上?河北?期中)已知數列｛冊｝的前n項和為S”,且S“一2冊=9一1.

(1)求證:數列｛冊-告｝為等比數列；

⑵若鼠=(2n+1)得一aj,求數列｛6?｝的前幾項和Tn.

10.(2024高三?全國?專題練習)記△ABC的內角。的對邊分別為a,b,c,已知(a+6)sinB

csin(A—B).

(1)證明：a=2b；

(2)若a=2,點。在線段48上，且5初=3屈，乙4CD=2NBCD,求CD.

11.（24-25高三上?河北?期中）如圖，在平面五邊形耳瓦刀中，取=瓦7=2,AB//CD,AB=CD=3,

AB±BC,^/\PAD沿AD翻折，使點P到達點R的位置，得到如圖所示的四棱錐R—ABCD,且

=，叵，E為的中點.

（1）證明：AELEC；

（2）若BD=22,求平面ABE與平面BCE夾角的余弦值.

方法三方法三分類討論

解題時常常會遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進行下

去,這是因為被研究的對象包含了多種情況,這就需要對各種情況加以分類,并逐類求解，然后綜合歸

納得解，這就是分類討論。

引起分類討論的原因很多,數學概念本身具有多種情形,數學運算法則、某些定理、公式的限制，圖

形位置的不確定性，變化、不等式的求解等均可能引起分類討論。在分類討論解題時,要做到標準統(tǒng)

一，不重不漏。

【典型例題】

12.(2024.全國.高考真題)已知函數/(①)=(1—aa?)ln(H-3；)—x.

(1)當a=—2時，求/(6)的極值；

(2)當土50時,/(土)>0,求a的取值范圍.

【變式訓練】

一、解答題

13.(23—24高三上?山東威海?期末)已知函數/㈤=~x4+日爐+"f——a(aGR).

(1)當。=一1時，求/(①)的單調區(qū)間；

(2)設函數g(c)=(62+0)田一/^",若力=0是9(力)的極大值點，求a的值.

x—1

14.(23-24高二上?浙江寧波?期末)已知數列｛為｝的首項?=!■，且滿足冊+尸(九E"*)?

O~?-L

(1)求證:數列(--1)為等比數列；

⑵若⑥=(6—n)(2九+1),令4=a7Al，求數列｛\cn\｝的前n項和S^.

10

15.（2024高三?全國?專題練習）已知橢圓Ci：4+與=1@>優(yōu)>0）與橢圓G：與+￡=

aibi謝&2

l（a2>b2>0）的離心率相等，G的焦點恰好為G的頂點，圓爐+夕2一（2+0）2+272=0分別經過

G，G的一個頂點.

（1）求G，&的標準方程.

（2）過。2上任意一點A作。2的切線與G交于點M,N,點B是G上與雙，N不重合的一點，且礪=

4向+〃曲（點O為坐標原點），判斷點是否在定圓上.若是，求出該圓的方程;若不是，請說明

理由.

?M

方法四數形結合

數形結合法:對于一些含有幾何背景的題，若能根據題目中的條件,作出符合題意的圖形，并通

過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結果.這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次

函數的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等.

【典型例題】

16.(2024?上海松江?模擬預測)已知O為坐標原點，對于函數/(力)=QsinN+bcosc,稱向導OM—(a,b)

為函數/Q)的互生向量，同時稱函數/Q)為向量OM的互生函數.

(1)設函數/(①)=COS(~^+N)+cos(—力)，試求/(化)的互生向量OM；

(2)記向量而=(四,—1)的互生函數為/(%),求函數g=/(20在上的嚴格增區(qū)間；

⑶記OAf=(2,0)的互生函數為/(力),若函數gQ)=f(x)+2，^|cosc|-力在［0,2兀］上有四個零點，

求實數k的取值范圍.

【變式訓練】

一、解答題

17.（24-25高三上?江蘇?階段練習）已知函數/Q）=QT）e-2.

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）求/（力）的零點個數.

⑶9（力）=/（/）—巾在區(qū)間［一1,十］上有兩個零點，求nz的范圍？

18.(24—25高三上?上海松江?期中)在△ABC中，角A,B,。對應邊為a,b,c,滿足sin(B—⑷+

V2sinA=sinC

(1)求B的大小；

(2)(i)已知b=4,若。在AC上，且8。LAC,求BD的最大值；

⑻延長BC至點河，使得2阮=CM.若ZCAM=j求ABAC的大小.

14

19.（24-25高三上?重慶?開學考試）已知橢圓：寫+卷=1的右焦點F與拋物線C噌=2px（p>0）的焦

ao

點重合.

（1）求拋物線。的方程；

（2）已知P為拋物線。上一個動點，直線k-.x=-1,l2-.x+夕+3=0,求點P到直線4,12的距離之和的

最小值；

（3）若點。是拋物線。上一點（不同于坐標原點O）,/是△OQF的內心，求△/可面積的取值范圍.

方法五精珠值探路

對于一些定值、定點問題可以利用特殊的點去檢驗，然后通過方程一般性設值去化簡，即使運

算量有些達不到，扣去合并運算的那一步,還是能拿到大部分的分值。特別是在解析幾何的位置、

距離、特殊點、特殊值的判斷中，不妨轉換個角度,根據現有條件猜測和利用數值求出一個可行的答

案，再反向論證即可。還有在數列中求解整數存在可能性，有些題的取值有限，不妨取n=1,2,3,4,

5,6,…等值進行代入運算，如果發(fā)現了幾個滿足題意的值，只需要再進行檢驗值的唯一性。

【典型例題】

20.（2024?北京通州?二模）已知橢圓E："=l（a>b>0）的長軸長為4,離心率為4.

a2b12

（1）求橢圓E的方程；

（2）直線I過橢圓E的左焦點斤，且與E交于M,N兩點、（不與左右頂點重合），點0）在宓軸正半軸

上，直線7M交"軸于點P,直線TN交"軸于點Q,問是否存在；t,使得喬?索為定值？若存在，求

出t的值及定值;若不存在,請說明理由.

???

【變式訓練】

一、解答題

21.（2021?北京豐臺二模）已知橢圓。：號+靖=1,過點（-1,0）的直線I交橢圓。于點A,B.

O

⑴當直線Z與工軸垂直時,求\AB\；

（2）在T軸上是否存在定點P,使PA-PB為定值？若存在,求點P的坐標及PA-PB的值；若不存在,

說明理由.

22.（23-24高三下?云南昆明?階段練習）平面上一動點P（x,y）滿足疝與用正-疝詞忻=2.

（1）求尸點軌跡「的方程；

（2）已知力（一2,0）,8（1,0）,延長E4交F于點Q,求實數m使得APAB=恒成立,并證明:

NPBQ為定值

23.(24-25高三上?遼寧?階段練習)已知橢圓E這+4=l(a>6>0)的長軸長是4,0為右頂點，P,

azb‘

Q,河，N是橢圓E上異于頂點的任意四個點，當直線PQ經過原點。時，直線PD和QO的斜率之積

為T

(1)求橢圓E的方程；

(2)當直線MD和ND的斜率之積為定值-2時，直線是否過一個定點？若過定點,求出該定點坐

標;若不過定點,請說明理由.

方法六正難則反

如果題目正面求解比較困難，或者說推翻一個結論性的問題，都可以從反面出發(fā)，假設反證或

是舉反例尋找矛盾都可以，這樣可以簡化題型思路。

【典型例題】

24.(2024.北京.高考真題)已知集合河=

|(i,j,fe,w)|i￡{1,2},JG{3,4},fee{5,6},{7,8},且i+/+k+u；為偶數}.給定數列AaiQ,…s，和

序列。:耳6,…耍,其中￡=鼻4，用,皿)C雙(仁1,2,…,S),對數列A進行如下變換:將A的第ii,九

如犯項均加1，其余項不變，得到的數列記作方(A)；將工(人)的第i2,%#2,他項均加1，其余項不變，得

到數列記作班⑷;……；以此類推,得到一…政Z](A),簡記為。⑷.

(1)給定數列41,3,2,4,6,3,1,9和序列￡2:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫出。(A)；

(2)是否存在序列。，使得0(A)為Qi+2,電+6,03+4,。4+2,。5+8,。6+2,Q?+4,。8+4，若存在,寫出

一個符合條件的若不存在,請說明理由；

(3)若數列A的各項均為正整數，且Qi+03+%+。7為偶數，求證「存在序列◎，使得。(⑷的各項都

相等”的充要條件為“Q1+。2=。3+。4=。5+。6=。7+。8”?

???

【變式訓練】

一、解答題

25.(24-25高三上?山西呂梁?階段練習)對于給定的數列｛飆｝以及正整數小，若三"CN*,使得am+n=

am+%成立,則稱｛冊｝為“小階可分拆數列”.

(1)設a“=cos子，證明：｛an｝為“3階可分拆數列”；

(2)設｛%｝的前幾項和為&=3"—a(a>0),若｛冊｝為“1階可分拆數列”，求實數a的值；

(3)設冊=2。+滔+12,是否存在小,使得｛時｝為“rn階可分拆數列”?若存在，請求出所有m的值;若

不存在，請說明理由.

26.（24-25高三上?山西?期中）在數列｛冊｝中，若河CR滿足:對于VnCN*,都有an+1-an＞河，則稱數

列｛4｝為“為類差數列”.

（1）設S,為等差數列｛冊｝的前71項和，已知出=1,若數列｛飆｝是“河類差數列"（河eN*），且S71V

2025"+n恒成立，求/的最大值；

（2）已知等比數列｛4｝是“2類差數列”，且冊CN*,數列｛,）不是“1類差數列"，設0=景，若數

列仍“｝是"3類差數列”:

①求數列｛0｝的通項公式；

②證明：數列｛看｝中任意三項都不構成等差數列.

27.（2024?北京石景山?一模）已知集合5九={X|X=（力i,g,…，縱）{0,l},i=l,2,…,n}（口＞2）,對于A

_n_

=（電,電,…，勰），B=（仇也，…也）ES九，定義A與8之間的距離為d（A,8）=2仙一”|.

i=i

（1）已知4=（1,1,1,0）CS4,寫出所有的BeS4,使得d（48）=1；

（2）已知）=（1,1,-.1）eS”,若并且d（1,A）=d（1,B）=p&n,求d（A,B）的最大值;

（3）設集合PGSn，P中有巾（小＞2）個元素，若P中任意兩個元素間的距離的最小值為t,求證：mW

LZEJ

方法一構建答題模板.................................................................1

方法二跳步答題.....................................................................8

方法三方法三分類討檢............................................................13

方法四散形結合....................................................................17

方法五精殊值?..................................................................23

方法六正難則反...................................................................27

（解法探究）

方法一構建等題模板

構建答題模板,步步為營,不因缺少步驟或者部分條件而導致扣分,是所有技巧的基礎。

【典型例題】

1.（2024.廣東江蘇.高考真題）記△ABC的內角4B、C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=J^cosB,a?

+b2-c2=V2ab

⑴求3

（2）若4ABC的面積為3+4,求c.

【詳解】（1）由余弦定理有a2+fe2—c2=2abeos。，

對比已知a?+〃-c?=,

可得cosC=—c?=羋半=玲,（注意公式書寫和化簡）

2abZab2

因為CG（0,兀），所以$111。＞0,

從而sin。=Vl—cos2C=J]—j=,

又因為sinC=2cosB,即cosB=],

注意到Be（0,兀），（容易忽略）

所以B=三.

O

⑵由⑴可得B=NcosC=烏，CC（0,兀），從而。=￡,入=加一名兀5兀

D/~LOZ12,

r--./5兀、./兀兀、V2V3,V21V6+V2

^smAA-sin（—X—+—

由正弦定理有7

sin瑞sinysin-^-

從而a=?蓼c=^tlc,b=^-2c=平

由三角形面積公式可知，△ABC的面積可表示為

Sw3c=JabsinC=?名埴c?答c-4=受③c?,(分解分步,步驟得分)

由已知△ABC的面積為3+可得注亙C2=3+Y5,所以c=22.

O

【變式訓練】

一、解答題

2.(24-25高三上?江蘇?階段練習)記4ABC的內角ABC的對邊分別為a,b,c,面積為S,已知b2=2S

+abcosC

⑴求A;

(2)若邊上的高為1且3bcosC=ccosB,求ZVIBC的面積S.

【答案】(1)￡

⑵-4產

【分析】(1)利用三角形面積公式可得b2=ab(sinC+cosC),進而邊化角，利用三角恒等變換可求得

tanA=1,可求A;

(2)由已知結合正弦定理可得3tanB=tan。,在△4BC中，作AH±BC于點、H,AH為BC邊上的高，即

AH—1,設CH—x,BH=a—力，可得46=a,利用tan/BAC=tan(ZBAH+Z.CAH),可求得Q,從而可求

面積.

【詳解】⑴:/uZS+abcosC^S^BcU^absin。

/.b2=ab(sinC+cos。)即b=a(sinC+cosC)

由正弦定理得sinB=sinA(sinC+cosC)=sin[兀一(A+C)]=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC,sinAsinC=cosAsinC

,/在/XAB。中，46(0,兀),?！?0,7U),/.sinA>0,sinC>0

sinA=cosA,即tanA=1,VAG(0,7u),A=-^.

(2)3bcosC=ccosB,由正弦定理得3sinBcosC=sinCcosB

3tanB=tanC

在△ABC中，作BC于點、H,AH為石。邊上的高，即AH=1

Q1

設CH=x,BH=a—x,-----=一,4：x=a

a—xx

.?.H為BC上的四等分點，

Rt^ABH中,tan/BAH=%=平

AH4

Rt/\ACH中,tanZCAH=黑=?

A.H4

且tanZBAC=tan（ZBAH+/CAH）=-an乙十tan「梁?

''1-tanABAH-tanACAH

a▲兀T.3?1c.—8+4V7

=-----------=tan—=1,..—a22+a—1=0,；.a=--------------

1-4?24163

16

?.-a>0,.-.a^-8+4V7

o

A

?'?SMBC=4XBCxAH--^-a——1?

3.（2024?吉林?三模）已知數列｛冊｝滿足期=1,冊+1=2冊+2"+1.

（1）證明：數列｛宏）為等差數列，并求通項飆；

（2）求數列｛a,J的前n項和S?.

【答案】（[證明見解析，%==-'）?2”;

（2）S?=（2n-3）-2"+3.

【分析】（1）根據等差數列的定義證明，再由等差數列通項公式求解；

（2）用錯位相減法求和.

【詳解】⑴：-=2冊+2叫.?.黃=9+1,即黃-親=1,

｛崇｝是等差數列，公差為1,

又=!，所以=3+n—1=n——上

222rl22

a?=（n-y）-2n;

232n1

（2）sn=yX2+-|-X2+-1x2+---+~x2",

X22+-|-x23+---+2n~3x2?+2n~XX2n+1,

相減得一Sn=]x2+22+…+2”一丹」x2n+1=1+2n+1-4-（2n-l）-2"=-3—（2n-3）-2n,

所以&=（2n-3）-2"+3.

4.（24-25高三上?江蘇?階段練習）如圖,在直四棱柱ABCD-4BGA中，441，平面ABCD,AD±

48,8。，60,其中48=人。=北，441=2"，。是場。1的中點，Q是。。】的中點.

(1)求證：AP〃平面CBiQ；

（2）若異面直線BC、BiQ所成角的余弦值為，求二面角B—CQ-。的余弦值.

3

【答案】（1）證明見解析

⑵—且

''19

【分析】（1）取BC中點河，連接MQ、,證明出四邊形PMQD,是平行四邊形,可得出PD1〃QM,再利

用線面平行的判定定理可證得結論成立；

⑵取中點“，連接MQ、PA7,分析可知，異面直線BC、所成余弦值即直線5Q、BG所成余弦

值,推導出3?，GQ,可得出cosZGBiQ=?,可得出a的值，然后以點。為坐標原點，04、OB、OO,

所在直線分別為依沙、Z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角Bi—CQ—D的余弦值.

【詳解】⑴取BQ中點連接MQ、PM,

在直四棱柱ABCD—中，因為Q是。Di中點，則RQ〃CC、且D.Q=,

因為P是BG的中點，則PMHCC、且，所以，D?〃PM且D.Q=PM,

所以,四邊形PMQD,是平行四邊形，所以，〃QM,

因為平面CB.Q,QMU平面CB?,所以，〃平面CBQ.

⑵連接GQ,謖BC=BC=a,連接BQ1,

因為BBi〃CCi且BBi=CCi,所以,四邊形BBGC為平行四邊形，

所以，BC〃BG,

所以，異面直線B。、B?所成余弦值即直線BQ、BC所成余弦值，

在直四棱柱ABCD-4562中，D.Q±面41B1G。，

因為BQiU平面AiBGA，所以，BQi±DrQ,

在Rt/\AXBXDX中，2，且±AQi,則BQ=J4/+4Q；=2,

因為Q為。Di的中點，且DDi=2，^,

所以，在RtABQ'Q中,BQi=2,D.Q=0，則B.Q==3,

因為CG_L平面,BGu平面AXBJGA,則CC、±BG,

因為BG±GA,CC、nCD=G,CG、CQiu平面CCQQ,

所以，5G_L平面CCQQ,

又因為GQu平面CCQQ,則B]Q_LC.Q,

在用AB?。中,cos/GB?=芻與=號=空，則a=同，

oo

連接BD,取其中點O,連接AO,OC,取BQi的中點O.,

因為AB^AD,。為5。的中點，則AO±BD,

以點。為坐標原點，04、OB、OOi所在直線分別為小o、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則0(0,0,0)、Z(1,0,0)、B(0,1,0)、。(0,—1,0)、41(1,0,2瓶)、5(0,1,2斯)、

Z)1(0,—1,2^5)>―^~，°)、G(—"^-,2A/5^>Q(0,—1,A/5),

設平面BQQi的法向量扇=Q,佻n),BiQ=(0,—2,—V5),BrC-(——2〃^),

則r或=TTn=。,取"=回’可-人衣，-2封，

易知面DCQ的一^個法向量n=-BCi=-1個=(l,V3,0),

rh-n8AA

cosm,n=

■rn\'In2V38X219

由圖可知，二面角Bi—CQ—D為鈍角，因此，二面角Bi-CQ—。的余弦值為

19

5.(2024?陜西寶雞?模擬預測)統(tǒng)計顯示，我國在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長態(tài)勢，下

表為2020年-2024年我國在線直播生活購物用戶規(guī)模(單位:億人)，其中2020年-2024年對應的代

碼依次為1—5.

年份代碼X12345

市場規(guī)模"3.984.565.045.866.36

5

歹15.16,萬11.68,前”45.10,其中Vi=y/xi

i=l

參考公式:對于一組數據(%,%)、電,仍)、…、(—%)，其經驗回歸直線g=b”+Q的斜率和截距的最

n

^jV^i—nvy

小二乘估計公式分別為b=9------------,a71.83.

2

y~'iVi—nv

i=l

(1)由上表數據可知，若用函數模型夕=口行+。擬合沙與力的關系,請估計2028年我國在線直播生活

購物用戶的規(guī)模(結果精確到0.01)；

(2)已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率P,現從我國在線直播購物用

戶中隨機抽取5人,記這5人中選擇在品牌官方直播間購物的人數為X,若P(X=5)=P(X=4)，求

X的數學期望和方差.

【答案】⑴7.77億人

⑵E(X)=^,D(X)=||

【分析】(1)將題中數據代入最小二乘法公式，求出b的值，即可得出“與，的擬合函數關系式，再將a=9代

入函數關系式，即可得出結論：

⑵由題意可知，X?石(5,P),由P(X=5)=P(X=4)結合獨立重復試驗的概率公式可求得P的值，然后

利用二項分布的期望和方差公式可求得結果.

【詳解】⑴設u=則y-bv-\-a,

55

因為5.16,萬21.68,＞第二=15,

i=li=l

5

的?,M45.10-5xl.68x5.16

加以,b=—；----------x-----------------------心1.98,

5守15-5XL682

1=1

所以，y與rc的擬合函數關系式為9=1.98①+1.83

當劣=9時，y=1.98X3+1.83=7.77,

則估計2028年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模為7.77億人.

(2)由題意知X?B(5,P),所以，P(X=4)=。*4(1一巧=5pp—。),

P(X=5)=C部5,

由P(X=5)=P(X=4),可得5P(l—P)=P)

因為0VPV1,解得P=*

0

所以,E(X)=5x^=餐,D(X)=5x取1-5)=翁.

666v6736

6.（2024高三?全國?專題練習）已知雙曲線4=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為E,￡,實軸長

azbz

為2,M為C的右支上一點,且（|環(huán)卜|A^|）min=3.

（1）求。的方程；

⑵設C的左、右頂點分別為直線Z與。交于P,Q兩點，與c軸交于點（—十,0）,直線4P與8Q

交于點G,證明：點G在定直線上.

【答案】⑴①2—4=1.

O

（2）證明見解析

【分析】⑴由雙曲線定義將條件（|上》訃|九園）mm=3轉化為（|上/+1）2-1最小值，從而利用|M!Cin=C

一1求最小值解c即可；

（2）由直線PQ過（一：,0）設方程聯(lián)立橢圓方程利用韋達定理得P,Q坐標關系式，再設直線AP與BQ方

程并聯(lián)立求得點G坐標的表達式，利用點G橫、縱坐標關系可證明點G在定直線上.

【詳解】（1）由題知2a=2,即a=1,

又河為。的右支上一點，則\MFl\-\MF,\=2a=2,

所以|誨|?\MF,\=（LI+2）?|財|=（|MFJ|+l）2-b

故當\MF,\最小時，|皿理?|上詞最小，

而|AfF^lmin=C—CL—C—1,故（C—1+1）?—1=3,

即。2=4,故〃=C?—Q2=3,故。的方程為%2—卷=1.

O

yt

自4

當直線z的斜率為。時，不滿足題意；

當直線Z的斜率不為。時，由［過點（得,0）,可設其方程為±=均一土,

.伍=切—十，

聯(lián)立彳2期2消去力得（48產一16）g2—24為-45=0,

設PQi,m）,。3,統(tǒng)）,

則%+仇=o，沙曲=_/J5量，故物紡=一號（二+%）（*）,

6力一2481—16o

由（1）知A（—L0）,B（l,0）,

則直線AP的方程為y=（c+1）,直線BQ的方程為？/=（2—1）,

傷+1力2—1

yi(c+1),

聯(lián)立g+l消去“得號3+1）=肅f（I），

統(tǒng)

(kl),

x2—l

將0=,工2=珈一；代入上式得，

得c=8t嗎2+3?—5幼，將（*）代入化簡得

3仇+5%

-8x普（%+y2）-（幼+紡）+4（y2-Vi）-20幼一12y?

力=----------------------------------=------------——4

4（%+例）-（例一%）5%+3g2

即XG——4，所以點G在定直線力=—4上.

【點睛】關鍵點點睛：解決此題的關鍵在于利用切方2=—粵（%+紡），將不對稱的更必關系力=

O

8蛆紂當一5包,利用上式消去參數心從而可以化簡求值.

3紡+5%

7.（24-25高三上?天津?階段練習）設函數/0）=二/一認為一1）巴其中aER.

（1）若Q=—1,求曲線y=f（x）在點（1,/（1））處的切線方程；

（2）若0VaV—，

e

⑴證明：函數/（力）恰有兩個零點；

（ii）設g為函數f（x）的極值點，g為函數/（T）的零點，且g>g,證明：3g—g>2.

【答案】（l）g=（e+l）x—e—1

（2）（i）證明見解析；（加證明見解析

【分析】⑴先廣㈤，再求廣⑴J⑴，由點斜式即可求解；

（2）⑴求導得/（力）=--aXe，構造g（力）=1—ax2ex并應用導數研究單調性，進而判斷（（力）符號確定

x

/(a?)單調性，可求極值點所在的區(qū)間為^l,ln—),再證N>1上Inx<a;—1,由此得了011工)=從In!)<

0,結合零點存在性定理即可證結論；

(w)由①結合題設可得=詞n?,結合力>1上IncVc—1,即可證結論.

力1—1

【詳解】(1)由題設，/(①)=Inx+(①一De。且力>0,則/'(a;)=—+xex,

x

所以r(l)=l+e,又/(1)=0,

所以切線方程為y—0=(1+e)(力-1)，即：y—(l+e)T—1—e.

(2)(i)由f，3)=——axe，令g(力)=1—ax2ex,又0VaV?，

易知g(①)在(0,+oo)上遞減,

又g⑴=1—ae>0,g(ln十)=1—(in-)V0,

???g(x)在(0,+8)上有唯一零點，即/(%)在(0,+8)上唯一零點，

設零點為四)，則1VNoVIn—,

a

：.0<X<XQ,ff(x)>0,/(T)遞增；X>XQ,f\x)<0,/(x)遞減；

/.g是/(力)唯一極值點，且為極大值，

令h(x)—inx—力+1且力>1,則無'(力)=——1V0,故h{x)在(1,+oo)上遞減，

:.h{x)<h{x)=0,即Inx<re—1,

)=ln(ln-^-)-ln-^-+1=”(1*)<0,又/(g)>/(l)=0,

根據零點存在性定理知/(力)在(g,lnL)上存在零點，又\"(劣)在(g,+8)單調遞減；

.,.y(x)在(x0,+oo)存在唯一零點，

又vy(i)=O,/(T)在(o,xo)上單調遞增；i<xOf

.二/(力)在(0,/上的唯一零點為1,

故/(/)恰有兩個零點；

⑻由題意，黑"，即{般=；…W

則Ing=a二1?e’r。,即^一］。=硬出,

通61一1

當力>1時，In/〈力-1,又g>g>1,則eX1~x°<‘°儂)=xl,

比「I

色一gV21ng，得g一力()V21ng<2(g—1)=2g—2,

即3g—的>2,得證.

【點睛】方法點睛:在利用導數證明不等式時，一般會構造一個函數，轉化為求解函數的取值情況進行研究.

方法二跳步答題

解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的。這時,我們可以假定某些結論是正確的往后推，看能

否得到結論,或從結論出發(fā)，看使結論成立需要什么條件。如果方向正確，就回過頭來，集中力量攻

克這一卡殼處。如果時間不允許，那么可以把前面的寫下來，再寫出證實某步之后,繼續(xù)有一直做

到底，這就是跳步解答。也許，后來中間步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補在后面。若

題目有兩問，第一問想不出來,可把第一問作已知，先做第二問，這也是跳步解答。

【典型例題】

8.(2024.全國.高考真題)如圖，平面四邊形4BCD中，AB=8,CD=3,AD=5^3,N4DC=90°,

ABAD=300，點E,F滿足存=^AD,AF=^-AB，將4AEF沿EF翻折至4PEF，使得PC=

52

4V3.

(1)證明：EFLPO；

（2）求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.

【詳解】（1）由AB=8,AD=5g,癥=1~屈,獷=J泰，

得AE=2四,AF=4,又ABAD=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=y/AE2+AF2-2AE-AFcosABAD=J16+12—2?4?2，S?孚=2,

所以AE2+EF2=AF2，則AE±EF,即EF±AD,

所以EF_LPE,EF_LDE,5^PECDE=E,PE、DEu平面POE,

所以EF_L平面PDE,又PDU平面PDE,

故EF，PD;（可以將第一問證明當作條件應用于第二問）

（2）連接CE,由乙4。。=90",即=3，,8=3,則CE2=ED2+CD2=36,

在APEC中，PG=4V3.PS=273,EC=6,得EC2+PE