2025年高考數(shù)學(xué)解答題解題技巧全攻略

布考解答題解墓技巧會(huì)攻暗

------------------------------------------------------------------------°0------------------------------------------------------------------------

方法一構(gòu)建答題模板.................................................................1

方法二用七步答題.....................................................................6

方法三方法三分類(lèi)討論..............................................................9

方法四數(shù)形結(jié)合....................................................................12

方法五特殊值探路..................................................................16

方法六正難則反...................................................................19

Q（解法探究）

方法一構(gòu)建答題模板

構(gòu)建答題模板，步步為營(yíng)，不因缺少步驟或者部分條件而導(dǎo)致扣分，是所有技巧的基礎(chǔ)。

【典型例題】

1.（2024?廣東江蘇?高考真題）記△ABC的內(nèi)角48、。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinC=方cosB,a?

+b2—c2=V2ab

⑴求B;

（2）若△ABC的面積為3+四,求c.

?M

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

2.（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）記4ABC的內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為S,已知b2=2s

+abcosC

⑴求A;

（2）若BC邊上的高為1且3bcosC=ccosB,求△ABC的面積S.

3.（2024?吉林?三模）已知數(shù)列｛an｝滿足電=1,冊(cè)+1=2冊(cè)+2”+1.

（1）證明：數(shù)列｛爹｝為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)an；

（2）求數(shù)列｛冊(cè)｝的前ri項(xiàng)和S”.

4.(24-25高三上?江蘇?階段練習(xí))如圖,在直四棱柱ABCD-4向。。中，44」平面ABCD,AD±

48,8。，8,其中718=4。=2,44=2斯，。是瓦。1的中點(diǎn)，Q是DA的中點(diǎn).

B

(1)求證：。F〃平面CBiQ；

(2)若異面直線BC、B.Q所成角的余弦值為空，求二面角B.-CQ-D的余弦值.

O

5.（2024?陜西寶雞?模擬預(yù)測(cè)）統(tǒng)計(jì)顯示，我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，下

表為2020年-2024年我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶規(guī)模（單位：億人），其中2020年-2024年對(duì)應(yīng)的代

碼依次為1—5.

年份代碼212345

市場(chǎng)規(guī)模沙3.984.565.045.866.36

5

歹—5.16,1.68,夕。彩產(chǎn)45.10,其中幼=

i=l

參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù)（%,%）、（”2,例）、…、（—外），其經(jīng)驗(yàn)回歸直線g=b”+Q的斜率和截距的最

n

〉2號(hào)，仇一幾可

小二乘估計(jì)公式分別為b=y------------,ax1.83.

Z說(shuō)一TZ/亍

（1）由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型4=bG+a擬合夕與C的關(guān)系，請(qǐng)估計(jì)2028年我國(guó)在線直播生活

購(gòu)物用戶的規(guī)模（結(jié)果精確到0.01）；

（2）已知我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶選擇在品牌官方直播間購(gòu)物的概率P,現(xiàn)從我國(guó)在線直播購(gòu)物用

戶中隨機(jī)抽取5人,記這5人中選擇在品牌官方直播間購(gòu)物的人數(shù)為X,若P（X=5）=P（X=4）,求

X的數(shù)學(xué)期望和方差.

27[2

6.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知雙曲線C:%—2=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為瓦用，實(shí)軸長(zhǎng)

azbz

為2,M為C的右支上一點(diǎn),且(\MF1\-|A^|)min=3.

(1)求。的方程；

⑵設(shè)。的左、右頂點(diǎn)分別為AB，直線Z與。交于PQ兩點(diǎn),與立軸交于點(diǎn)(一；,0)，直線AP與8Q

交于點(diǎn)G,證明：點(diǎn)G在定直線上.

7.(24-25高三上?天津?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=Ina;-磯力-l)e*其中aER.

⑴若a=—1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)若0VaV――，

e

⑴證明：函數(shù)/(力)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

(w)設(shè)g為函數(shù)f⑸的極值點(diǎn)，g為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，且力i>g,證明:3g—力>2.

方法二跳步答題

解題過(guò)程卡在某一過(guò)渡環(huán)節(jié)上是常見(jiàn)的。這時(shí),我們可以假定某些結(jié)論是正確的往后推，看能

否得到結(jié)論,或從結(jié)論出發(fā)，看使結(jié)論成立需要什么條件。如果方向正確，就回過(guò)頭來(lái)，集中力量攻

克這一卡殼處。如果時(shí)間不允許，那么可以把前面的寫(xiě)下來(lái)，再寫(xiě)出證實(shí)某步之后,繼續(xù)有一直做

到底，這就是跳步解答。也許，后來(lái)中間步驟又想出來(lái)，這時(shí)不要亂七八糟插上去，可補(bǔ)在后面。若

題目有兩問(wèn)，第一問(wèn)想不出來(lái)，可把第一問(wèn)作已知,先做第二問(wèn),這也是跳步解答。

【典型例題】

8.(2024.全國(guó).高考真題)如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5V3,/4DC=90°,

ABAD=30°,點(diǎn)E,F滿足AE=^-AD,AF=:存，將AAEF沿EF翻折至APEF,使得PC=

o/

4V3.

(1)證明：EFLPD；

(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

9.(24-25高三上?河北?期中)已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為S”,且S“一2冊(cè)=9一1.

(1)求證:數(shù)列｛冊(cè)-告｝為等比數(shù)列；

⑵若鼠=(2n+1)得一aj,求數(shù)列｛6?｝的前幾項(xiàng)和Tn.

10.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))記△ABC的內(nèi)角。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(a+6)sinB

csin(A—B).

(1)證明：a=2b；

(2)若a=2,點(diǎn)。在線段48上，且5初=3屈，乙4CD=2NBCD,求CD.

11.（24-25高三上?河北?期中）如圖，在平面五邊形耳瓦刀中，取=瓦7=2,AB//CD,AB=CD=3,

AB±BC,^/\PAD沿AD翻折，使點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)R的位置，得到如圖所示的四棱錐R—ABCD,且

=，叵，E為的中點(diǎn).

（1）證明：AELEC；

（2）若BD=22,求平面ABE與平面BCE夾角的余弦值.

方法三方法三分類(lèi)討論

解題時(shí)常常會(huì)遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行下

去,這是因?yàn)楸谎芯康膶?duì)象包含了多種情況,這就需要對(duì)各種情況加以分類(lèi),并逐類(lèi)求解，然后綜合歸

納得解，這就是分類(lèi)討論。

引起分類(lèi)討論的原因很多,數(shù)學(xué)概念本身具有多種情形,數(shù)學(xué)運(yùn)算法則、某些定理、公式的限制，圖

形位置的不確定性，變化、不等式的求解等均可能引起分類(lèi)討論。在分類(lèi)討論解題時(shí),要做到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)

一，不重不漏。

【典型例題】

12.(2024.全國(guó).高考真題)已知函數(shù)/(①)=(1—aa?)ln(H-3；)—x.

(1)當(dāng)a=—2時(shí)，求/(6)的極值；

(2)當(dāng)土50時(shí),/(土)>0,求a的取值范圍.

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

13.(23—24高三上?山東威海?期末)已知函數(shù)/㈤=~x4+日爐+"f——a(aGR).

(1)當(dāng)。=一1時(shí)，求/(①)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(c)=(62+0)田一/^",若力=0是9(力)的極大值點(diǎn)，求a的值.

x—1

14.(23-24高二上?浙江寧波?期末)已知數(shù)列｛為｝的首項(xiàng)?=!■，且滿足冊(cè)+尸(九E"*)?

O~?-L

(1)求證:數(shù)列(--1)為等比數(shù)列；

⑵若⑥=(6—n)(2九+1),令4=a7Al，求數(shù)列｛\cn\｝的前n項(xiàng)和S^.

10

15.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓Ci：4+與=1@>優(yōu)>0）與橢圓G：與+￡=

aibi謝&2

l（a2>b2>0）的離心率相等，G的焦點(diǎn)恰好為G的頂點(diǎn)，圓爐+夕2一（2+0）2+272=0分別經(jīng)過(guò)

G，G的一個(gè)頂點(diǎn).

（1）求G，&的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）過(guò)。2上任意一點(diǎn)A作。2的切線與G交于點(diǎn)M,N,點(diǎn)B是G上與雙，N不重合的一點(diǎn)，且礪=

4向+〃曲（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），判斷點(diǎn)是否在定圓上.若是，求出該圓的方程;若不是，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

?M

方法四數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合法:對(duì)于一些含有幾何背景的題，若能根據(jù)題目中的條件,作出符合題意的圖形，并通

過(guò)對(duì)圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果.這類(lèi)問(wèn)題的幾何意義一般較為明顯，如一次

函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等.

【典型例題】

16.(2024?上海松江?模擬預(yù)測(cè))已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)/(力)=QsinN+bcosc,稱(chēng)向?qū)M—(a,b)

為函數(shù)/Q)的互生向量，同時(shí)稱(chēng)函數(shù)/Q)為向量OM的互生函數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)/(①)=COS(~^+N)+cos(—力)，試求/(化)的互生向量OM；

(2)記向量而=(四,—1)的互生函數(shù)為/(%),求函數(shù)g=/(20在上的嚴(yán)格增區(qū)間；

⑶記OAf=(2,0)的互生函數(shù)為/(力),若函數(shù)gQ)=f(x)+2，^|cosc|-力在［0,2兀］上有四個(gè)零點(diǎn)，

求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

17.（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）已知函數(shù)/Q）=QT）e-2.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求/（力）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

⑶9（力）=/（/）—巾在區(qū)間［一1,十］上有兩個(gè)零點(diǎn)，求nz的范圍？

18.(24—25高三上?上海松江?期中)在△ABC中，角A,B,。對(duì)應(yīng)邊為a,b,c,滿足sin(B—⑷+

V2sinA=sinC

(1)求B的大?。?/p>

(2)(i)已知b=4,若。在AC上，且8。LAC,求BD的最大值；

⑻延長(zhǎng)BC至點(diǎn)河，使得2阮=CM.若ZCAM=j求ABAC的大小.

14

19.（24-25高三上?重慶?開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓：寫(xiě)+卷=1的右焦點(diǎn)F與拋物線C噌=2px（p>0）的焦

ao

點(diǎn)重合.

（1）求拋物線。的方程；

（2）已知P為拋物線。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線k-.x=-1,l2-.x+夕+3=0,求點(diǎn)P到直線4,12的距離之和的

最小值；

（3）若點(diǎn)。是拋物線。上一點(diǎn)（不同于坐標(biāo)原點(diǎn)O）,/是△OQF的內(nèi)心，求△/可面積的取值范圍.

方法五精珠值探路

對(duì)于一些定值、定點(diǎn)問(wèn)題可以利用特殊的點(diǎn)去檢驗(yàn)，然后通過(guò)方程一般性設(shè)值去化簡(jiǎn)，即使運(yùn)

算量有些達(dá)不到，扣去合并運(yùn)算的那一步,還是能拿到大部分的分值。特別是在解析幾何的位置、

距離、特殊點(diǎn)、特殊值的判斷中，不妨轉(zhuǎn)換個(gè)角度,根據(jù)現(xiàn)有條件猜測(cè)和利用數(shù)值求出一個(gè)可行的答

案，再反向論證即可。還有在數(shù)列中求解整數(shù)存在可能性，有些題的取值有限，不妨取n=1,2,3,4,

5,6,…等值進(jìn)行代入運(yùn)算，如果發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)滿足題意的值，只需要再進(jìn)行檢驗(yàn)值的唯一性。

【典型例題】

20.（2024?北京通州?二模）已知橢圓E："=l（a>b>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為4.

a2b12

（1）求橢圓E的方程；

（2）直線I過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)斤，且與E交于M,N兩點(diǎn)、（不與左右頂點(diǎn)重合），點(diǎn)0）在宓軸正半軸

上，直線7M交"軸于點(diǎn)P,直線TN交"軸于點(diǎn)Q,問(wèn)是否存在；t,使得喬?索為定值？若存在，求

出t的值及定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

21.（2021?北京豐臺(tái)二模）已知橢圓。：號(hào)+靖=1,過(guò)點(diǎn)（-1,0）的直線I交橢圓。于點(diǎn)A,B.

O

⑴當(dāng)直線Z與工軸垂直時(shí),求\AB\；

（2）在T軸上是否存在定點(diǎn)P,使PA-PB為定值？若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA-PB的值；若不存在,

說(shuō)明理由.

22.（23-24高三下?云南昆明?階段練習(xí)）平面上一動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足疝與用正-疝詞忻=2.

（1）求尸點(diǎn)軌跡「的方程；

（2）已知力（一2,0）,8（1,0）,延長(zhǎng)E4交F于點(diǎn)Q,求實(shí)數(shù)m使得APAB=恒成立,并證明:

NPBQ為定值

23.(24-25高三上?遼寧?階段練習(xí))已知橢圓E這+4=l(a>6>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,0為右頂點(diǎn)，P,

azb‘

Q,河，N是橢圓E上異于頂點(diǎn)的任意四個(gè)點(diǎn)，當(dāng)直線PQ經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。時(shí)，直線PD和QO的斜率之積

為T(mén)

(1)求橢圓E的方程；

(2)當(dāng)直線MD和ND的斜率之積為定值-2時(shí)，直線是否過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐

標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

方法六正難則反

如果題目正面求解比較困難，或者說(shuō)推翻一個(gè)結(jié)論性的問(wèn)題，都可以從反面出發(fā)，假設(shè)反證或

是舉反例尋找矛盾都可以，這樣可以簡(jiǎn)化題型思路。

【典型例題】

24.(2024.北京.高考真題)已知集合河=

|(i,j,fe,w)|i￡{1,2},JG{3,4},fee{5,6},{7,8},且i+/+k+u；為偶數(shù)}.給定數(shù)列AaiQ,…s，和

序列。:耳6,…耍,其中￡=鼻4，用,皿)C雙(仁1,2,…,S),對(duì)數(shù)列A進(jìn)行如下變換:將A的第ii,九

如犯項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作方(A)；將工(人)的第i2,%#2,他項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得

到數(shù)列記作班⑷;……；以此類(lèi)推,得到一…政Z](A),簡(jiǎn)記為。⑷.

(1)給定數(shù)列41,3,2,4,6,3,1,9和序列￡2:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫(xiě)出。(A)；

(2)是否存在序列。，使得0(A)為Qi+2,電+6,03+4,。4+2,。5+8,。6+2,Q?+4,。8+4，若存在,寫(xiě)出

一個(gè)符合條件的若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若數(shù)列A的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且Qi+03+%+。7為偶數(shù)，求證「存在序列◎，使得。(⑷的各項(xiàng)都

相等”的充要條件為“Q1+。2=。3+。4=。5+。6=。7+。8”?

???

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

25.(24-25高三上?山西呂梁?階段練習(xí))對(duì)于給定的數(shù)列｛飆｝以及正整數(shù)小，若三"CN*,使得am+n=

am+%成立,則稱(chēng)｛冊(cè)｝為“小階可分拆數(shù)列”.

(1)設(shè)a“=cos子，證明：｛an｝為“3階可分拆數(shù)列”；

(2)設(shè)｛%｝的前幾項(xiàng)和為&=3"—a(a>0),若｛冊(cè)｝為“1階可分拆數(shù)列”，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)設(shè)冊(cè)=2。+滔+12,是否存在小,使得｛時(shí)｝為“rn階可分拆數(shù)列”?若存在，請(qǐng)求出所有m的值;若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

26.（24-25高三上?山西?期中）在數(shù)列｛冊(cè)｝中，若河CR滿足:對(duì)于VnCN*,都有an+1-an＞河，則稱(chēng)數(shù)

列｛4｝為“為類(lèi)差數(shù)列”.

（1）設(shè)S,為等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前71項(xiàng)和，已知出=1,若數(shù)列｛飆｝是“河類(lèi)差數(shù)列"（河eN*），且S71V

2025"+n恒成立，求/的最大值；

（2）已知等比數(shù)列｛4｝是“2類(lèi)差數(shù)列”，且冊(cè)CN*,數(shù)列｛,）不是“1類(lèi)差數(shù)列"，設(shè)0=景，若數(shù)

列仍“｝是"3類(lèi)差數(shù)列”:

①求數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式；

②證明：數(shù)列｛看｝中任意三項(xiàng)都不構(gòu)成等差數(shù)列.

27.（2024?北京石景山?一模）已知集合5九={X|X=（力i,g,…，縱）{0,l},i=l,2,…,n}（口＞2）,對(duì)于A

_n_

=（電,電,…，勰），B=（仇也，…也）ES九，定義A與8之間的距離為d（A,8）=2仙一”|.

i=i

（1）已知4=（1,1,1,0）CS4,寫(xiě)出所有的BeS4,使得d（48）=1；

（2）已知）=（1,1,-.1）eS”,若并且d（1,A）=d（1,B）=p&n,求d（A,B）的最大值;

（3）設(shè)集合PGSn，P中有巾（?。?）個(gè)元素，若P中任意兩個(gè)元素間的距離的最小值為t,求證：mW

LZEJ

方法一構(gòu)建答題模板.................................................................1

方法二跳步答題.....................................................................8

方法三方法三分類(lèi)討檢............................................................13

方法四散形結(jié)合....................................................................17

方法五精殊值?..................................................................23

方法六正難則反...................................................................27

（解法探究）

方法一構(gòu)建等題模板

構(gòu)建答題模板,步步為營(yíng),不因缺少步驟或者部分條件而導(dǎo)致扣分,是所有技巧的基礎(chǔ)。

【典型例題】

1.（2024.廣東江蘇.高考真題）記△ABC的內(nèi)角4B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinC=J^cosB,a?

+b2-c2=V2ab

⑴求3

（2）若4ABC的面積為3+4,求c.

【詳解】（1）由余弦定理有a2+fe2—c2=2abeos。，

對(duì)比已知a?+〃-c?=,

可得cosC=—c?=羋半=玲,（注意公式書(shū)寫(xiě)和化簡(jiǎn)）

2abZab2

因?yàn)镃G（0,兀），所以$111。＞0,

從而sin。=Vl—cos2C=J]—j=,

又因?yàn)閟inC=2cosB,即cosB=],

注意到Be（0,兀），（容易忽略）

所以B=三.

O

⑵由⑴可得B=NcosC=烏，CC（0,兀），從而。=￡,入=加一名兀5兀

D/~LOZ12,

r--./5兀、./兀兀、V2V3,V21V6+V2

^smAA-sin（—X—+—

由正弦定理有7

sin瑞sinysin-^-

從而a=?蓼c=^tlc,b=^-2c=平

由三角形面積公式可知，△ABC的面積可表示為

Sw3c=JabsinC=?名埴c?答c-4=受③c?,(分解分步,步驟得分)

由已知△ABC的面積為3+可得注亙C2=3+Y5,所以c=22.

O

【變式訓(xùn)練】

一、解答題

2.(24-25高三上?江蘇?階段練習(xí))記4ABC的內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為S,已知b2=2S

+abcosC

⑴求A;

(2)若邊上的高為1且3bcosC=ccosB,求ZVIBC的面積S.

【答案】(1)￡

⑵-4產(chǎn)

【分析】(1)利用三角形面積公式可得b2=ab(sinC+cosC),進(jìn)而邊化角，利用三角恒等變換可求得

tanA=1,可求A;

(2)由已知結(jié)合正弦定理可得3tanB=tan。,在△4BC中，作AH±BC于點(diǎn)、H,AH為BC邊上的高，即

AH—1,設(shè)CH—x,BH=a—力，可得46=a,利用tan/BAC=tan(ZBAH+Z.CAH),可求得Q,從而可求

面積.

【詳解】⑴:/uZS+abcosC^S^BcU^absin。

/.b2=ab(sinC+cos。)即b=a(sinC+cosC)

由正弦定理得sinB=sinA(sinC+cosC)=sin[兀一(A+C)]=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC,sinAsinC=cosAsinC

,/在/XAB。中，46(0,兀),?！?0,7U),/.sinA>0,sinC>0

sinA=cosA,即tanA=1,VAG(0,7u),A=-^.

(2)3bcosC=ccosB,由正弦定理得3sinBcosC=sinCcosB

3tanB=tanC

在△ABC中，作BC于點(diǎn)、H,AH為石。邊上的高，即AH=1

Q1

設(shè)CH=x,BH=a—x,-----=一,4：x=a

a—xx

.?.H為BC上的四等分點(diǎn)，

Rt^ABH中,tan/BAH=%=平

AH4

Rt/\ACH中,tanZCAH=黑=?

A.H4

且tanZBAC=tan（ZBAH+/CAH）=-an乙十tan「梁?

''1-tanABAH-tanACAH

a▲兀T.3?1c.—8+4V7

=-----------=tan—=1,..—a22+a—1=0,；.a=--------------

1-4?24163

16

?.-a>0,.-.a^-8+4V7

o

A

?'?SMBC=4XBCxAH--^-a——1?

3.（2024?吉林?三模）已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足期=1,冊(cè)+1=2冊(cè)+2"+1.

（1）證明：數(shù)列｛宏）為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)飆；

（2）求數(shù)列｛a,J的前n項(xiàng)和S?.

【答案】（[證明見(jiàn)解析，%==-'）?2”;

（2）S?=（2n-3）-2"+3.

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解；

（2）用錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】⑴：-=2冊(cè)+2叫.?.黃=9+1,即黃-親=1,

｛崇｝是等差數(shù)列，公差為1,

又=!，所以=3+n—1=n——上

222rl22

a?=（n-y）-2n;

232n1

（2）sn=yX2+-|-X2+-1x2+---+~x2",

X22+-|-x23+---+2n~3x2?+2n~XX2n+1,

相減得一Sn=]x2+22+…+2”一丹」x2n+1=1+2n+1-4-（2n-l）-2"=-3—（2n-3）-2n,

所以&=（2n-3）-2"+3.

4.（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）如圖,在直四棱柱ABCD-4BGA中，441，平面ABCD,AD±

48,8。，60,其中48=人。=北，441=2"，。是場(chǎng)。1的中點(diǎn)，Q是。。】的中點(diǎn).

(1)求證：AP〃平面CBiQ；

（2）若異面直線BC、BiQ所成角的余弦值為，求二面角B—CQ-。的余弦值.

3

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵—且

''19

【分析】（1）取BC中點(diǎn)河，連接MQ、,證明出四邊形PMQD,是平行四邊形,可得出PD1〃QM,再利

用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

⑵取中點(diǎn)“，連接MQ、PA7,分析可知，異面直線BC、所成余弦值即直線5Q、BG所成余弦

值,推導(dǎo)出3?，GQ,可得出cosZGBiQ=?,可得出a的值，然后以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04、OB、OO,

所在直線分別為依沙、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角Bi—CQ—D的余弦值.

【詳解】⑴取BQ中點(diǎn)連接MQ、PM,

在直四棱柱ABCD—中，因?yàn)镼是。Di中點(diǎn)，則RQ〃CC、且D.Q=,

因?yàn)镻是BG的中點(diǎn)，則PMHCC、且，所以，D?〃PM且D.Q=PM,

所以,四邊形PMQD,是平行四邊形，所以，〃QM,

因?yàn)槠矫鍯B.Q,QMU平面CB?,所以，〃平面CBQ.

⑵連接GQ,謖BC=BC=a,連接BQ1,

因?yàn)锽Bi〃CCi且BBi=CCi,所以,四邊形BBGC為平行四邊形，

所以，BC〃BG,

所以，異面直線B。、B?所成余弦值即直線BQ、BC所成余弦值，

在直四棱柱ABCD-4562中，D.Q±面41B1G。，

因?yàn)锽QiU平面AiBGA，所以，BQi±DrQ,

在Rt/\AXBXDX中，2，且±AQi,則BQ=J4/+4Q；=2,

因?yàn)镼為。Di的中點(diǎn)，且DDi=2，^,

所以，在RtABQ'Q中,BQi=2,D.Q=0，則B.Q==3,

因?yàn)镃G_L平面,BGu平面AXBJGA,則CC、±BG,

因?yàn)锽G±GA,CC、nCD=G,CG、CQiu平面CCQQ,

所以，5G_L平面CCQQ,

又因?yàn)镚Qu平面CCQQ,則B]Q_LC.Q,

在用AB?。中,cos/GB?=芻與=號(hào)=空，則a=同，

oo

連接BD,取其中點(diǎn)O,連接AO,OC,取BQi的中點(diǎn)O.,

因?yàn)锳B^AD,。為5。的中點(diǎn)，則AO±BD,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04、OB、OOi所在直線分別為小o、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0)、Z(1,0,0)、B(0,1,0)、。(0,—1,0)、41(1,0,2瓶)、5(0,1,2斯)、

Z)1(0,—1,2^5)>―^~，°)、G(—"^-,2A/5^>Q(0,—1,A/5),

設(shè)平面BQQi的法向量扇=Q,佻n),BiQ=(0,—2,—V5),BrC-(——2〃^),

則r或=TTn=。,取"=回’可-人衣，-2封，

易知面DCQ的一^個(gè)法向量n=-BCi=-1個(gè)=(l,V3,0),

rh-n8AA

cosm,n=

■rn\'In2V38X219

由圖可知，二面角Bi—CQ—D為鈍角，因此，二面角Bi-CQ—。的余弦值為

19

5.(2024?陜西寶雞?模擬預(yù)測(cè))統(tǒng)計(jì)顯示，我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，下

表為2020年-2024年我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶規(guī)模(單位:億人)，其中2020年-2024年對(duì)應(yīng)的代

碼依次為1—5.

年份代碼X12345

市場(chǎng)規(guī)模"3.984.565.045.866.36

5

歹15.16,萬(wàn)11.68,前”45.10,其中Vi=y/xi

i=l

參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(%,%)、電,仍)、…、(—%)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線g=b”+Q的斜率和截距的最

n

^jV^i—nvy

小二乘估計(jì)公式分別為b=9------------,a71.83.

2

y~'iVi—nv

i=l

(1)由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型夕=口行+。擬合沙與力的關(guān)系,請(qǐng)估計(jì)2028年我國(guó)在線直播生活

購(gòu)物用戶的規(guī)模(結(jié)果精確到0.01)；

(2)已知我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶選擇在品牌官方直播間購(gòu)物的概率P,現(xiàn)從我國(guó)在線直播購(gòu)物用

戶中隨機(jī)抽取5人,記這5人中選擇在品牌官方直播間購(gòu)物的人數(shù)為X,若P(X=5)=P(X=4)，求

X的數(shù)學(xué)期望和方差.

【答案】⑴7.77億人

⑵E(X)=^,D(X)=||

【分析】(1)將題中數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出b的值，即可得出“與，的擬合函數(shù)關(guān)系式，再將a=9代

入函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論：

⑵由題意可知，X?石(5,P),由P(X=5)=P(X=4)結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求得P的值，然后

利用二項(xiàng)分布的期望和方差公式可求得結(jié)果.

【詳解】⑴設(shè)u=則y-bv-\-a,

55

因?yàn)?.16,萬(wàn)21.68,＞第二=15,

i=li=l

5

的?,M45.10-5xl.68x5.16

加以,b=—；----------x-----------------------心1.98,

5守15-5XL682

1=1

所以，y與rc的擬合函數(shù)關(guān)系式為9=1.98①+1.83

當(dāng)劣=9時(shí)，y=1.98X3+1.83=7.77,

則估計(jì)2028年我國(guó)在線直播生活購(gòu)物用戶的規(guī)模為7.77億人.

(2)由題意知X?B(5,P),所以，P(X=4)=。*4(1一巧=5pp—。),

P(X=5)=C部5,

由P(X=5)=P(X=4),可得5P(l—P)=P)

因?yàn)?VPV1,解得P=*

0

所以,E(X)=5x^=餐,D(X)=5x取1-5)=翁.

666v6736

6.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線4=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E,￡,實(shí)軸長(zhǎng)

azbz

為2,M為C的右支上一點(diǎn),且（|環(huán)卜|A^|）min=3.

（1）求。的方程；

⑵設(shè)C的左、右頂點(diǎn)分別為直線Z與。交于P,Q兩點(diǎn)，與c軸交于點(diǎn)（—十,0）,直線4P與8Q

交于點(diǎn)G,證明：點(diǎn)G在定直線上.

【答案】⑴①2—4=1.

O

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】⑴由雙曲線定義將條件（|上》訃|九園）mm=3轉(zhuǎn)化為（|上/+1）2-1最小值，從而利用|M!Cin=C

一1求最小值解c即可；

（2）由直線PQ過(guò)（一：,0）設(shè)方程聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理得P,Q坐標(biāo)關(guān)系式，再設(shè)直線AP與BQ方

程并聯(lián)立求得點(diǎn)G坐標(biāo)的表達(dá)式，利用點(diǎn)G橫、縱坐標(biāo)關(guān)系可證明點(diǎn)G在定直線上.

【詳解】（1）由題知2a=2,即a=1,

又河為。的右支上一點(diǎn)，則\MFl\-\MF,\=2a=2,

所以|誨|?\MF,\=（LI+2）?|財(cái)|=（|MFJ|+l）2-b

故當(dāng)\MF,\最小時(shí)，|皿理?|上詞最小，

而|AfF^lmin=C—CL—C—1,故（C—1+1）?—1=3,

即。2=4,故〃=C?—Q2=3,故。的方程為%2—卷=1.

O

yt

自4

當(dāng)直線z的斜率為。時(shí)，不滿足題意；

當(dāng)直線Z的斜率不為。時(shí)，由［過(guò)點(diǎn)（得,0）,可設(shè)其方程為±=均一土,

.伍=切—十，

聯(lián)立彳2期2消去力得（48產(chǎn)一16）g2—24為-45=0,

設(shè)PQi,m）,。3,統(tǒng)）,

則%+仇=o，沙曲=_/J5量，故物紡=一號(hào)（二+%）（*）,

6力一2481—16o

由（1）知A（—L0）,B（l,0）,

則直線AP的方程為y=（c+1）,直線BQ的方程為？/=（2—1）,

傷+1力2—1

yi(c+1),

聯(lián)立g+l消去“得號(hào)3+1）=肅f（I），

統(tǒng)

(kl),

x2—l

將0=,工2=珈一；代入上式得，

得c=8t嗎2+3?—5幼，將（*）代入化簡(jiǎn)得

3仇+5%

-8x普（%+y2）-（幼+紡）+4（y2-Vi）-20幼一12y?

力=----------------------------------=------------——4

4（%+例）-（例一%）5%+3g2

即XG——4，所以點(diǎn)G在定直線力=—4上.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵在于利用切方2=—粵（%+紡），將不對(duì)稱(chēng)的更必關(guān)系力=

O

8蛆紂當(dāng)一5包,利用上式消去參數(shù)心從而可以化簡(jiǎn)求值.

3紡+5%

7.（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/0）=二/一認(rèn)為一1）巴其中aER.

（1）若Q=—1,求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程；

（2）若0VaV—，

e

⑴證明：函數(shù)/（力）恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

（ii）設(shè)g為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，g為函數(shù)/（T）的零點(diǎn)，且g>g,證明：3g—g>2.

【答案】（l）g=（e+l）x—e—1

（2）（i）證明見(jiàn)解析；（加證明見(jiàn)解析

【分析】⑴先廣㈤，再求廣⑴J⑴，由點(diǎn)斜式即可求解；

（2）⑴求導(dǎo)得/（力）=--aXe，構(gòu)造g（力）=1—ax2ex并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而判斷（（力）符號(hào)確定

x

/(a?)單調(diào)性，可求極值點(diǎn)所在的區(qū)間為^l,ln—),再證N>1上Inx<a;—1,由此得了011工)=從In!)<

0,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可證結(jié)論；

(w)由①結(jié)合題設(shè)可得=詞n?,結(jié)合力>1上IncVc—1,即可證結(jié)論.

力1—1

【詳解】(1)由題設(shè)，/(①)=Inx+(①一De。且力>0,則/'(a;)=—+xex,

x

所以r(l)=l+e,又/(1)=0,

所以切線方程為y—0=(1+e)(力-1)，即：y—(l+e)T—1—e.

(2)(i)由f，3)=——axe，令g(力)=1—ax2ex,又0VaV?，

易知g(①)在(0,+oo)上遞減,

又g⑴=1—ae>0,g(ln十)=1—(in-)V0,

???g(x)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)，即/(%)在(0,+8)上唯一零點(diǎn)，

設(shè)零點(diǎn)為四)，則1VNoVIn—,

a

：.0<X<XQ,ff(x)>0,/(T)遞增；X>XQ,f\x)<0,/(x)遞減；

/.g是/(力)唯一極值點(diǎn)，且為極大值，

令h(x)—inx—力+1且力>1,則無(wú)'(力)=——1V0,故h{x)在(1,+oo)上遞減，

:.h{x)<h{x)=0,即Inx<re—1,

)=ln(ln-^-)-ln-^-+1=”(1*)<0,又/(g)>/(l)=0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知/(力)在(g,lnL)上存在零點(diǎn)，又\"(劣)在(g,+8)單調(diào)遞減；

.,.y(x)在(x0,+oo)存在唯一零點(diǎn)，

又vy(i)=O,/(T)在(o,xo)上單調(diào)遞增；i<xOf

.二/(力)在(0,/上的唯一零點(diǎn)為1,

故/(/)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

⑻由題意，黑"，即{般=；…W

則Ing=a二1?e’r。,即^一］。=硬出,

通61一1

當(dāng)力>1時(shí)，In/〈力-1,又g>g>1,則eX1~x°<‘°儂)=xl,

比「I

色一gV21ng，得g一力()V21ng<2(g—1)=2g—2,

即3g—的>2,得證.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:在利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時(shí)，一般會(huì)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的取值情況進(jìn)行研究.

方法二跳步答題

解題過(guò)程卡在某一過(guò)渡環(huán)節(jié)上是常見(jiàn)的。這時(shí),我們可以假定某些結(jié)論是正確的往后推，看能

否得到結(jié)論,或從結(jié)論出發(fā)，看使結(jié)論成立需要什么條件。如果方向正確，就回過(guò)頭來(lái)，集中力量攻

克這一卡殼處。如果時(shí)間不允許，那么可以把前面的寫(xiě)下來(lái)，再寫(xiě)出證實(shí)某步之后,繼續(xù)有一直做

到底，這就是跳步解答。也許，后來(lái)中間步驟又想出來(lái)，這時(shí)不要亂七八糟插上去，可補(bǔ)在后面。若

題目有兩問(wèn)，第一問(wèn)想不出來(lái),可把第一問(wèn)作已知，先做第二問(wèn)，這也是跳步解答。

【典型例題】

8.(2024.全國(guó).高考真題)如圖，平面四邊形4BCD中，AB=8,CD=3,AD=5^3,N4DC=90°,

ABAD=300，點(diǎn)E,F滿足存=^AD,AF=^-AB，將4AEF沿EF翻折至4PEF，使得PC=

52

4V3.

(1)證明：EFLPO；

（2）求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.

【詳解】（1）由AB=8,AD=5g,癥=1~屈,獷=J泰，

得AE=2四,AF=4,又ABAD=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=y/AE2+AF2-2AE-AFcosABAD=J16+12—2?4?2，S?孚=2,

所以AE2+EF2=AF2，則AE±EF,即EF±AD,

所以EF_LPE,EF_LDE,5^PECDE=E,PE、DEu平面POE,

所以EF_L平面PDE,又PDU平面PDE,

故EF，PD;（可以將第一問(wèn)證明當(dāng)作條件應(yīng)用于第二問(wèn)）

（2）連接CE,由乙4。。=90",即=3，,8=3,則CE2=ED2+CD2=36,

在APEC中，PG=4V3.PS=273,EC=6,得EC2+PE