專題8-3立體幾何中垂直的證明與探究

模塊一、熱點題型解讀（目錄）

【題型1】垂直性質的判定

【題型2】線面垂直證明

【題型3］證明面面垂直

【題型4】已知面面垂直證其他垂直

【題型5】證明異面直線垂直

【題型6】線面垂直的存在性問題探究

【題型7】面面垂直的存在性問題探究

【題型8】異面直線垂直的存在性問題探究

【題型9】存在性問題中確定動點的軌跡與最值

模塊二1核心題型?舉一反三

【題型1】垂直性質的判定

基礎知識

部分問題可以轉化為一個正方體的棱、面等，進而進行排除

【例1】（2024.四川成都.三模）已知直線/、沉、〃與平面。、夕，下列命題正確的是（）

A.若/_!_〃，機_1_〃，貝!

B.若1///3,則々，6

C.若/J_a,I±m,則機〃tz

D.若a1.0,,l±m,貝!|/_L6

【答案】B

【分析】對于A,由只需之間的位置關系即可判斷；對于B,由面面垂直的判定即可判斷；對于C,

由線面位置關系即可判斷；對于D,由面面垂直的性質即可判斷.

【詳解】對于A,若/_!_〃，m±n,則/，加平行、相交或異面；

對于B,若/〃/，則存在使得又因為ltla,而4u〃，所以a,尸，故B

正確；

對于C,若/_La,I±m,則〃/2/or或"zua,故C錯誤；

對于D,若a[\f3^m,l_Lm,且如果/不在a內，則不會有/1"，故D錯誤.

【例2】（多選題）（2021年全國新高考n卷數學試題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為

所在棱的中點，M,N為正方體的頂點.則滿足朋NLO尸的是（）

【答案】BC

【解析】設正方體的棱長為2,

對于A,如圖（1）所示，連接AC,則MV//AC,

故NPOC（或其補角）為異面直線ORMTV所成的角，

在直角三角形。PC,OC=V2,CP=1,tanZ.POC=~^==

V2

故MVJ_OP不成立，故A錯誤.

對于B,如圖（2）所示，取NT的中點為。，連接PQ,OQ,則OQLNT,PQ1.MN,

由正方體5BCM—NADT可得SN_L平面AM）T,而OQu平面AMJT,

故SNLOQ,和SNCMN=N,故平面SN7M,

大MNu平面SNTM,OQLMN,而0。口「。=。，

所以MN_L平面OPQ,而尸Ou平面OPQ,故MN1OP,故B正確.

對于C,如圖(3),連接B。，則BD//MN,由B的判斷可得OP_La),

故0PLMN,故C正確.

對于D,如圖(4),取AD的中點。，的中點K,連接AC,尸Q,OQ,PK,OK,

購ACHMN,

因為DP=PC,故PQ//AC,故PQ//MN,

所以ZQPO或其補角為異面直線PO,MN所成的角，

圖(4)

因為正方體的棱長為2,&PQ=-AC=5/2,00=J+AQ?=A/1+2=A/3,

PO=>JPK2+OK2=74+1=75.QO2<PQ2+OP2,故/。尸。不是直角，

故尸O,MV不垂直，故D錯誤.

【例3】（2024.廣東佛山?一模）（多選）已知直線。，b與平面a,￡,/,能使的充分條件是

()

A.?ly,/3LyB.ally,/3Ly

C.=：j_Z，auaD.a/lb,b±J3,aua

【答案】BD

【分析】根據題意，由空間中直線與平面的位置關系，逐一判斷，即可得到結果.

【詳解】對于A：a1y,,a,。也可能平行，故錯誤；

對于B：若a///,PX-Y,則aJL分，正確；

對于C:=aVb,aua,由線面垂直的判定定理可知a不一定垂直于￡,故a,4也不一

定垂直，故錯誤；

對于D：由a/",blp,可得：al/3,再由aua,可證a_Lq，故正確.

【例4】設機、〃是兩條不同的直線，a、。是兩個不同的平面，給出下列命題：

①若n//a,則〃?_L②若機_Lw,nila,則機_La.

③若〃z_La,ctH/3,則④若,根_1_/?,則a〃萬.

其中正確命題的序號是（）

A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③

【答案】A

【分析】

利用線面平行、線面垂直的性質可判斷①；根據已知條件判斷線面位置關系，可判斷②；利用線面

垂直和面面平行的性質可判斷③④.

【詳解】對于①，若“〃a,過〃作平面夕，使得ac尸=a,

因為“〃tz,?<=/?,ac/3=a,貝寸〃〃a,因為〃z_Ltz,aua,則〃zJ_a,故〃/_!_〃，①對;

對于②，若加_L〃，nila,則〃M/a或mua或加、a相交（不一定垂直），②錯；

對于③，若機_La,all/3,則〃z_L￡,③對；

對于④，若根」e,則。〃￡,④對.

【例5】設機、〃是兩條不相同的直線，a、6是兩個不重合的平面，則下列命題錯誤的是（）

A.若〃nilP,all/3,則mJ_"

B.若nlla,nLp,則々_16

C.若用、〃是異面直線，mua,mlI/3,nu/3,nila,則。〃尸.

D.若wi_L",mV(3,則“〃夕

【答案】D

【分析】利用線面平行和線面垂直的性質可判斷A選項；利用線面平行的性質和面面垂直的判定定

理可判斷B選項；利用線面平行和面面平行的判定定理可判斷C選項；根據已知條件直接判斷線面

位置關系，可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，因為m_La,all/3,則

因為山/￡,過直線〃作平面/,使得分=則。〃“，如下圖所示：

因為〃z,au°,則〃7_L0,故〃z_!_〃，A對；

對于B選項，因為“〃a,過直線w作平面/,使得cc/=a,則a〃〃，如下圖所示:

因為〃_L〃，則a_L尸，因為"ua,則a_L￡,B對；

對于C選項，因為〃〃環過直線〃作平面/,使得&c/=a,則R/〃，如下圖所示:

因為a〃〃，ncj3,au尸，則a//〃，

又因為加、"是異面直線，alIn,且autz,mua,

假設a〃加，則加〃〃，與已知條件矛盾，假設不成立，故機、a相交,

又因為％///?,因此，a〃尸，C對；

對于D選項，若根_L〃，m±13,則"〃6或〃up,D錯.

【例6】（2024.貴州遵義.二模）已知平面a,/,7滿足a，/7,/?，7,。，7,下列結論正確的是（）

A.若直線/La,則/〃6或〃//

B.若直線〃/a,則/與萬和[相交

C.若/ua,則/I戶，且

D.若直線/過空間某個定點，則與a,/成等角的直線/有且僅有4條

【答案】D

【分析】根據給定條件，作出正方體，舉例說明判斷ABC;利用正方體的體對角線推理判斷D.

【詳解】在正方體A8CO-A8|G2中，平面ABCZ）,平面AO2A,平面CQ￡?G兩兩垂直，

令平面ABCO為平面a,平面ADRA為平面力，平面CD￡>G為平面/,

對于A,直線。〃_La,DD[U0,DD[Uy,當/為直線。2時，/u￡,/u/,A錯誤；

對于B,A.BJla,當/為直線A4時，IHy,B錯誤；

對于C,ABca,當/為直線AB時，〃//,C錯誤；

對于D,在正方體4BCD-A耳G2中，直線AG，AC82，BQ相交于點o,

它們與平面ABC￡>,平面ADRA,平面CD￡>C所成的角都相等，

而正方體過其中心的直線有且只有4條直線與該正方體各個面所成的角相等，

過空間給定點作直線平行于直線AG,ACBD「BQ之一,所得直線與與7所成角相等，

因此直線/過空間某個定點，與％成等角的直線/有且僅有4條，D正確.

故選：D

【鞏固練習1】（2024.廣東惠州.一模）已知/、”是兩條不同的直線，a、夕是不重合的兩個平面,

則下列命題中正確的是（）

A.箱a//（5,Iua,"uf},則/〃"B.若aJ■分，Iua,則/J■夕

C.若/〃a,aJ_尸，則/1月D.若/La,/||夕，則。，萬

【答案】D

【分析】在A中，/與〃平行或異面；在B中，/與￡相交、平行或/u〃；在C中，/與夕相交、平

行或/up；在D中，由面面垂直的判定理得a,分。

【詳解】由/、〃是兩條不同的直線，a、￡是不重合的兩個平面，知：

在A中，若a〃/3,lua,nu/3,貝（]/與”平行或異面，故A錯誤；

在B中，若aL/3,lua,貝心與夕相交、平行或/u分，故B錯誤；

在C中，若/〃e,?1/7,則/與《相交、平行或/up,故C錯誤；

在D中，若/||夕，則由面面垂直的判定理得a，尸，故D正確.

【鞏固練習2】（2024.黑龍江?模擬預測）（多選）設a,b表示兩條互不重合的直線，a,夕表示兩

個互不重合的平面，則下列命題正確的是（）.

A.a1/3,blla,a///3,則°_1_6B.a±a,a/lb,aL/3,貝

C.aLa,bL/3,alIp,貝i]a/〃D.alia,allb,a_L￡,貝i]6_L/

【答案】AC

【分析】利用線面垂直的性質，結合面面平行的性質逐項分析判斷即可得結果.

【詳解】對于A,al/3,alIp,則又6//a,則a內有直線與b平行，因此；,1，A正

確；

對于B,aLa,a/lb,則6_La,又知a_L￡,則b//〃或bu4,B錯誤；

對于C,a±a,al1/3,則a_L夕，又知b_L〃，則a//6,C正確；

對于D,由a_L￡,知a,￡相交，當匕為交線時，若allb,得a//。，此時bu",D錯誤.

故選：AC

【鞏固練習3】設"%"是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平面.則下列說法錯誤的是（）

A.若機-Lw,機J-尸，則a-L方

B.若機〃凡mVa,n///3,則a_L尸

C.箱m，n,m//a,n//B,則〃刀

D.若m〃n,m1a,n10,則cr〃4

【答案】C

【分析】

根據空間平面間的位置關系，面面垂直、平行的判定定理判斷.

【詳解】對于A,由〃z_La,且加_1_〃，得,〃e或wua,又〃_L尸，則a_!_/?,正確；

對于B,若〃?〃“，m±a,nll/3,過〃作平面/交平面。于點直線a,如圖：

由“〃「得〃〃“，又mJM,所以m〃a,又/w_L（z,所以。

又“u/?,所以a_L尸，正確；

對于C,若相，〃，m//a,nll/3,則a,4可能平行也可能相交,

如圖：

在長方體ABCD-AgGA中，取平面A8CZ）為平面a,直線4片為直線機，

平面AD2a為平面用，直線gG為直線〃，滿足機J_〃，m//a,nll/3,

而ac/=AD,錯誤；

對于D,若相〃幾，m.La,則〃_La,又〃_L/,則a〃/,正確

【鞏固練習4】（2024?湖南?三模）已知徵，〃是兩條不重合的直線，名僅是兩個不重合的平面，下列

命題正確的是（）

A.若mila,nlip,alip,則m//n

B.若mua,nua、mllB、nllB,則M/

C.若mLa,ml/n,ai。,則〃_L〃

D.若機_La,〃_L民機_L〃，則夕_L/?

【答案】D

【分析】利用空間線線的關系、面面平行、面面垂直的判定定理和性質逐一判定各選項，即可得出

結論.

【詳解】對于A,若〃///,all/3,則〃//a或〃ua,則根，〃相交、平行、異面都有可能，A錯

、口

沃；

對于B,若加燙力,〃a,mlIp.nlIp,則。與《相交或平行，B錯誤；

對于C,若則〃_L2,又a_L/?,則〃///或〃u￡,C錯誤；

對于D,由m_La,/n_L〃，得〃//a或"U4,若〃//a,則存在過幾的平面與a相交，

令交線為/,則〃///,而幾10,于是/，夕，aVp；若〃ua,而nt/3,則a，/?,

因此a_L月，D正確.

【鞏固練習5】設根，〃是空間兩條不同的直線，。，尸是空間兩個不同的平面?給出下列四個命題:

①若zn//a,〃///,aj",貝！Jzn//〃；

②若a_L/7,mL/3,maa,則zn//a；

③若機_L〃，mLa,a///?,則〃///；

④若。_L萬，a{\P=l,mlla,m±Z,則根_L/?.

其中正確命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系逐一分析即可得答案.

【詳解】①若加//a,〃//￡,a///?,則機與〃平行、相交或異面，故錯誤；

②若夕_L分，ml/3,則mua或加//a,又相（Z。，則加//a,故正確；

③若用_La,a”B,則用_L/,又機_L〃，則加u/?或〃//〃，故錯誤；

④假設〃是機在面a上的投影，mlla,m±Z,即加_L/,niua,

若。_1/，=加ua,得〃，/=＞機，/，故正確.

【題型2】線面垂直證明

基礎知識

解決思路：通過線面垂直的判定定理證明直線/與平面a垂直時，關鍵是在平面e內找到兩條與直

線/垂直的相交直線，并證明.

步驟

第一步：證明直線，與平面a內兩條相交直線都垂直.

第二步：通過線面垂直的判定定理證明直線/與平面a垂直.

第三步：通過線面垂直的性質證明直線/與平面a內的直線機垂直.

【例1】如圖，在四棱錐尸―ABCD中，平面ABC。，底部ABC。為菱形，E為CD的中點.

（I）求證：8O_L平面PAC；

【分析】（I）由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論;

【詳解】（I）證明：因為R4_L平面ABCD,所以B4_LBD;

因為底面A3CD是菱形，所以AC1BO;

因為PAn&C=A,PAACu平面尸AC.

所以3D2平面PAC.

【例2】如圖，AB是圓的直徑，平面E4C1面AC3,>APIAC.

求證：3C_L平面PAC；

【解析】因為平面%C1面ACB,JLAP1AC,平面B4CC面AC2=AC,APu平面B4C,

所以以_1_面4。8,又因為3Cu平面P3C,

所以必_LBC,又因為AB是圓的直徑，所以AC_L2C,

因為ACp|H=AAC,Mu平面PAC,

所以3CJ_平面PAC;

【例3】（2024.四川樂山.三模）如圖，平行六面體ABCD-A8G2中，底面A3CD是邊長為2的菱

形，且/54。=60。，皿=斯,/41加=/414￡）,441與平面438所成的角為45。,47與8。交于。.

證明：平面ABCD；

連結BQ,DC],

?.,底面A3c。是邊長為2的菱形，AB=AD.

?：A\AB=A\AD,小人

B\=D\.

:點、。為線段8。中點，4。18D.

,.,鉆8為菱形，，4（7_12。,4（7門40=0,4<7,40<=平面44。，：.跳）_1_平面44。

入BDu平面ABCD,，平面AACJ.平面ABCZ）,

，在平面ABCD上的射影為AC,

/AA。為直線AA與平面ABCD所成的角，即/4AO=45°.

在AAA。中，A4,=76,AO=1AC=A/3,ZAAO=45°,

V2“+oi—a。2

co*/A1AO=―=AjO=y/3.

2xAjAxOA

則府=亦+兒。?,.A。0A

1

又Q4n3。=0,04u平面ABCD,BDu平面ABCD,

，4。_1平面438.

【鞏固練習1]（2023?北京?高考真題）如圖，在三棱錐尸-ABC中，PAL平面ABC,

PA=AB=BC=l,PC=y[3.

⑴求證：3c人平面研8；

（2）求二面角A—PC—3的大小.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）先由線面垂直的性質證得R4LBC,再利用勾股定理證得3CJ_PB,從而利用線面垂

直的判定定理即可得證；

【詳解】（1）因為平面ABC,3Cu平面A3C,

所以R4J_BC,同理R4_LAB,

所以△加？為直角三角形，

又因為PB=JPA2+AB2=6,BC=1,PC=V3,

所以尸32+3。2=尸。2,則APBC為直角三角形，故BCJ_P3,

又因為BCJ.PA,PAC\PB=P,

所以3c1平面PAB.

【鞏固練習2】（2024?高三?湖北武漢?開學考試）如圖，在三棱錐尸-ABC中,

PA=BC=2瓜PC=AB=6,PB=屈,NABC=90。,。為AC上的動點.

若AD=6,求證：PD_L平面ABC；

【解析】

在RtZkABC中，AB=6,BC=273,則AC=4有，

又P4=2j^,PC=6,所以4。2=「。2+叢2

由勾股定理可得△APC為直角三角形，ZAPC=900.

PCr-

所以tan/PAC-...-，3,所以NPAC-60°

PA

在△*)中，因為=由余弦定理可得：

PD2=AP-+AD2-2APAD-cosZPAD=(2>/3)2+(73)2-2x2石x73xcos600=9

則尸加+M)？=24?,所以PD_LAD,

又CD=3區NACB=60",在4DCB中由余弦定理可得：

BD-=BC2+CD2-2BCCDcos/ACB=(2^)?+(3⑹°一2x2百x3Axcos60。=21,

則尸加+卸尸二心？，所以

叉ADcBD=D,ADu平面ABC,BDu平面ABC,

所以PDJ_平面ABC

【鞏固練習31

【題型3】證明面面垂直

基礎知識

面面垂直的主要證明方法是利用線面垂直局面面垂直.

證明時，先從現有的直線中尋找其中一個平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助

線來解決.

文字語言圖形語言符號語言

面面垂直判定一^個平面過另一b-La]八

個平面的垂線，則bu°\"

這兩個平面垂直

【例1】(2020?全國?高考真題)如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，是底面的內接

正三角形，P為DO上一點,ZAPC=90°.

(1)證明：平面B48_L平面B1C；

【分析】(1)根據已知可得PA=P3=PC,進而有△PAC0APBC,可得

ZAPC=ZBPC=90°,即尸3_LPC,從而證得尸C_L平面即可證得結論；

【詳解】(1)連接0Ao3,0C,???。為圓錐頂點，。為底面圓心，.平面ABC,

?;P在DO上,OA=OB=OC,:.PA=PB=PC,

?「△ABC是圓內接正三角形，:.AC^BC,△P4C0APBC,

:.ZAPC=ZBPC=90°,即PB_LPC,PA_LPC,

上4np3=尸,二PC,平面己42,PCu平面尸AC,平面R43L平面PAC;

【例2】(2023?全國甲卷高考真題)如圖，在三棱柱ABC-A4cl中，A。，平面ASC,ZACB=90。.

(1)證明：平面ACGA_L平面BBJGC

【分析】(1)由AC,平面ABC得4CLBC,又因為AC1BC,可證BC人平面ACC】A,從而證得

平面ACGA_L平面BCCjB,:

【詳解】(1)證明：因為平面ABC,BCu平面A3C,

所以A[C±BC,

又因為NACB=90°,即AC1BC,

AC,ACu平面ACGA,AjCnAC=C,

所以3c1平面Acea,

又因為BCu平面BCC#,

所以平面ACC】A_L平面BCCM.

【例3】如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。為正方形，上4_1底面A8CQ,PA=AB=2,E為

線段尸8的中點，尸為線段8C上的動點，證明：平面AEFJ_平面P8C

【詳解】（1）方法一：

因為B4_L底面ABCD,BCu平面ABCD,

所以R4J_BC.

因為ABCD為正方形，所以A313C,

又因為PACAB=A,du平面PAB,ABu平面PAB,

所以3cl平面PAB.

因為AEu平面PAB,所以AE_L8C.

因為24=AB,E為線段PB的中點，

所以4￡_1尸3,

又因為PBcBC=B,BBu平面PBC,BCu平面PBC,

所以AE_L平面PBC.

又因為AEu平面AEF,

所以平面AEFJ_平面PBC.

方法二：

因為B4_L底面ABCD,平面PAB,

p

所以平面上鉆_1_底面ABCD

又平面RLBc底面ABCE)=AB,BC_LAB,BCu平面ABCD,

所以3cl平面PAB.

因為AEu平面PAB,所以AE_18c.

因為24=AB,E為線段PB的中點，所以AE_LPB.

因為PBcBC=B,尸3u平面PBC,BCu平面PBC,

所以AE_L平面PBC,

又因為AEu平面AEF,

所以平面AEFJ_平面PBC

解法三：建系(費時間，但是可以為第二問鋪路)

因為上4_1_底面ABCD,AB±AD,

以A為坐標原點，以而，而，獷的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),￡)(0,2,0),尸(0,0,2),E(l,0,1),

設8F=f(fe[0,2]),則尸(2/0),

所以ZE=(l,0,l),AF=(2,t,0),麗=(2,0,-2),BC=(0,2,0),

設為=(不,M，zJ為平面AEF的法向量,

n-AE=0,M+4=0,

則,一所以2x…=0取曠2,則再5,

n-AF=0,

則萬=(T,2J),

設玩=(%,%,Z?)為平面PBC的法向量，

m-PB=0,f2M-2Z=0,

則<—所以<c"9"取W=1,則%=0,Z2=1,

m-BC=0,〔2%=0,

則m=(1,0,1)

因為為?沅=-f+0+f=0,所以為J_7九

所以平面平面PBC

【例4】（24-25高三上?廣東肇慶?階段練習）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為菱形,

DAB=60°,是邊長為2的等邊三角形，PB=y[6.

證明：平面平面ABCD

【分析】（1）取的中點。，連接3。，尸。易證03LAD、OP1AD,由勾股定理易證OPLOB,

根據線面垂直的判定定理可得03,平面PAD,根據面面垂直的判定定理可證平面上4。,平面

ABCD.

【詳解】（1）取AD的中點。，連接8。，PO.

所以AADB為等邊三角形.

因為。為的中點，所以OBLAD,BO=M-f=5

因為△P4D是邊長為2的等邊三角形，所以尸0=6,

貝'JPB?=PO2+OB2,所以O3J_OP.

又ADcOP=O,所以03_L平面2AD,

因為OBu平面ABCZ）,所以平面R4D_L平面ABCD

【鞏固練習1]（2022?全國乙卷?高考真題）如圖，四面體ABCD中,

ADLCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點.

（1）證明：平面平面ACD；

【分析】根據已知關系證明△ABZ注△CBD,得到AB=CB,結合等腰三角形三線合一得到垂直關

系，結合面面垂直的判定定理即可證明；

【詳解】因為AD=CD,E為AC的中點，所以ACJ_Z3E；

在△ABD和△CBD中,因為AD=CD,ZADB=NCDB,DB=DB,

所以△A3Z注△CBD,所以AB=CB,又因為E為AC的中點，所以AC_L3E;

又因為DE,BEu平面BED,DEcBE=E,所以AC_L平面BED,

因為ACu平面ACD,所以平面BED_1_平面ACD.

【鞏固練習2】（2021?全國新II卷?高考真題）在四棱錐。-ABCO中，底面A3CD是正方形，若

AD=2,QD=QA=EQC=3.

（1）證明：平面QAD，平面ABCD；

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）取AZ）的中點為。，連接QO,CO,可證。。，平面ABC。，從而得到面QAD，面

【詳解】

Q

（1）取4）的中點為。，連接。。,C。.

因為QA=QD,OA=OD,則。

而AO=2,Q4=?故。。=6斤=2.

在正方形A3CD中，因為AD=2,故。。=1,故。。=石，

因為QC=3,故。。2=。。2+。。2,故AQOC為直角三角形且QOLOC,

因為OCnAD=O,故QO,平面ABC。，

因為QOu平面2AO,故平面QAC平面ABCD.

【鞏固練習3】（2024?廣東廣州?模擬預測）如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形,

△PAD是正三角形，ZBAD=60°,PB=AB=2AD=4.

⑴證明：平面，平面ABCD;

【分析】（1）取AD中點。，連接OP,OB,根據等比三角形可得尸01.AD,由余弦定理求08長,

再由勾股定理得OBLOP,結合面面垂直判定定理證得結論；

【詳解】（1）取AO中點。，連接OP,O8,

因為△RW是正三角形，。為AD中點，

所以P0_LA￡),^PO=—AD=s/3,

2

又ZBAD=60°,AB=2AD=4,由余弦定理得

OB2=OA2+AB2-2OA-AB-cos60°=l+16-2xlx4x~=13,

2

則0B?+OP'=PB-,故08_LOP,

因為03cAD=0,08,AOu平面ABC。，

所以尸O_L平面ABCD,又尸Ou平面尸AE),

所以平面R4DJ_平面ABC。

【題型4】已知面面垂直證其他垂直

基礎知識

片片X3、工

文字語言圖形語言付萬語5

面面垂直性質兩個平面垂直，則一a工0

個平面內垂直于交acB=a

b>=Z7_La

bu/3

線的直線與另一個

bLa

平面垂直

【例1】（2021?全國新I卷?高考真題）如圖，在三棱錐A-BCD中，平面平面BC。，AB^AD,

。為的中點.（1）證明：041CD；

【分析】（1）由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；

【詳解】（1）因為=。是8。中點，所以。

因為。4u平面ABD,平面ABD平面BCD,

且平面平面3Cr>=3D,所以。4平面BCD.

因為CDu平面BCD,所以Q4LCD.

【例2】（2024.廣東佛山.一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面，平面A3C￡>,ABIICD,

/ADC=90°,PA_LPB,PA=PB.

（1）求證：平面上M>_L平面尸3C；

【分析】（1）利用面面垂直性質定理以及線面垂直判定定理證明即可得出結論；

【詳解】（1）在底面ABCD中，因為AB〃CD,ZADC=90°,所以4D上AB.

因為平面PAB_1_平面ABCD,平面PABc平面ABCD=AB,ADu平面AJBCD,

所以AD_L平面R4B.

又因為P3u平面所以

又因為PB_LAP,ADC\AP=A,AD,APu平面AOP,

所以P3_L平面ADP

又因為PBu平面P3C,所以平面PAD_L平面P3C

【例3】如圖，在三棱臺A8C-ABG.中，AB±BC,BB^AC,平面A3耳4，平面ABC.

求證：平面ABC；

【解析】證明：因為平面A344,平面A3C,且平面AB44n平面ABC=AB,

又因為AB_LBC,且BCu平面ABC,所以BC_L平面AB4A,

因為BB|U平面AB8IA,所以

又因為AC且3CcAC=C,8C,ACu平面ABC,所以8片，平面ABC.

【鞏固練習1】（2024?廣東?二模）如圖，三棱柱ABC-A耳G的底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,

側面ACGA是菱形，441AC=60o,AC=2,平面ABC,平面ACC/.

【分析】（1）利用線面垂直的判定可得AC，平面AB。，然后利用線面垂直性質定理結合平行即可

得證.

【詳解】（1）連接AG,由四邊形AACG為菱形，得AC|_LAC,由NACB=90。，得3C_LAC,

又平面ABC_L平面4CGA,平面A8CCI平面ACGA=AC,3Cu面ABC,

則3CJ_平面ACGA,又ACU平面ACGA,于是BCJ_4C,而BC〃BG,則用G，AC,

又AC[CB]G=G,AC],用C]U平面A8G,因此AC_L平面ABC,又A^u平面ABg,

【鞏固練習2】（2024?陜西西安?三模）在四棱錐P-ABCD中，平面RW_L平面ABC。，AB//CD,

AB±BC,DC=BC=2,AB=4.

p

AB

證明：BD1AP.

【解析】因為3"DC=BC="所以如2日—%

+1即2一2|A訓即cos：=J16+8-2x4x20x曰=2近,所以

由余弦定理可得AD=

AD2+BD2=AB2,則AD_LBD.

因為平面75Ao，平面A3CD,且平面R40c平面A3CD=AD,ADu平面PAD,

所以BD/平面PAD.

因為APu平面B4。，所以BDJ_AP.

【鞏固練習3】（2024?高三?河南?開學考試）如圖，在三棱錐P-ABC中，。為AC的中點，平面尸03,

平面ABC,AABC是等腰直角三角形，ABLBC,AC=PA=6,PB=6

證明：PA=PC；

【解析】證明：因為VABC是等腰直角三角形，AB_L3C,O為AC的中點,

所以ACLOB,ACu平面ABC,

又因為平面P0B_L平面ABC,平面PC^n平面ABC=O3,

所以AC_L平面尸0B

因為尸Ou平面尸03,所以AC_LPO,又。為AC的中點，

所以AR4c是等腰三角形，故R4=PC.

【題型5】證明異面直線垂直

基礎知識

【方法技巧】異面直線的垂直證明如果能建系就優先考慮建系，建系法思路簡單且計算量小，而幾

何法如果不熟練就容易卡殼

[三線合一（有等腰三角形就必用）

證明/?,先看兩―,共面=勾股定理（題目中線段數據多）

'2[其他（初中平面幾何學習的其他垂直證明方法）

.異面n考慮用線面垂直推導異面垂直n找重垂線=>在重垂線對應平面內找垂直

【例1】（2023?全國新H卷?高考真題）如圖，三棱錐A-3CD中，DA=DB=DC,BDLCD,

ZADB=ZADC=60,E為的中點.（1）證明：BC1DA；

DB

【分析】根據題意易證BC工平面ADE,從而證得

【詳解】連接因為E為中點,DB=DC,所以①，

因為A4=D3=DC,ZADB=ZADC=6C）。，所以AACD與均為等邊三角形,

：.AC=AB,從而AE_LBC②，由①②,AEC\DE=E,平面ADE,

所以，3C/平面ADE,而ADu平面ADE,所以3C_LZM.

【例2】（杭州二模）在三棱錐S-ABC中，底面△ABC為等腰直角三角形，

ZSAB=ZSCB=ZABC=9Q°.求證：ACLS13

S

;

4B

【詳解】

s

證明：取AC的中點為E,連結SE,BE,

VAB=BC,：.BEVAC,

在ASCB和ASAB中，NSAB=ZSCB=90°,AB=BC,SB=SB

:.ASCB三燃AB,：.SA^SC,

：AC的中點為E,：.SE±AC,

:SECBE=E,AC_L面SBE,

?；SBu面SBE,：.AC1SB

法二：構造等腰直角三角形，取SB中點M,易知AM=CM,故EMJ_AC

【例3】（2021?全國甲卷?高考真題）已知直三棱柱ABC-ABC中，側面AA穌8為正方形，AB=BC=2,

E,尸分別為AC和CG的中點，。為棱A片上的點.BF±

（1）證明：BFYDE-,

【詳解】（1）［方法一］:幾何法

因為所以WAB.

又因為AB_LB4,BFcBB］=B,所以平面BCC聲.又因為AB=8C=2,構造正方體

ABCG-A4CQ1,如圖所示，

G

過E作AB的平行線分別與AG,3c交于其中點M,N,連接4加,3戶,

因為E,尸分別為AC和CG的中點，所以N是BC的中點，

易證RtABCF=Rt&B[BN,則NCBF=NBB[N.

又因為NBBiN+NBiNB=90°,所以/。6歹+/808=90。，BFIB^.

又因為8F144,B]NnA4=4,所以班'J_平面AMNB'.

又因為EDu平面AMN31,所以8P_LZ）E.

[方法二]【最優解】：向量法

因為三棱柱ABC-是直三棱柱，8瓦，底面ABC,8811AB

ABJ/AB,.-,BFLAB,入BB[CBF=B,.IAB上平面BCGB一所以兩

兩垂直.

以B為坐標原點，分別以BA,BC,8B]所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖.

.-.B（0,0,0）M（2,0,0）,C（0,2,0）,（0,0,2）,4（2,0,2）,q（0,2,2）

E（l,l,0）,F（0,2,l）.

由題設。（。,0,2）（0<a<2）.

因為而=（0,2,1）,發=（1_°,1,_2）,

所以麗.詼=0x（1—a）+2xl+lx（-2）=0,所以BF1.DE.

【方法三]:因為即」4萬，A.BJ/AB,所以斯_LAB,故而.稻=0,BFAB=0,

所以麗?麗=麗?（而+西+麗）.麗+麗?（麗+西）^BFEB+BFBB^

=BF^-^BA-^BC^+BFBB^=-^BFBA-^BFBC+BFBB^=~BFBC+BFBB[

12r1

=-||KF|-|BC|COSNFBC+|BF|-|B^|COSNFBBI=--xVr5x2x-^+V5x2x-^=0,所以BF_LED.

【鞏固練習l】（2024?全國新H卷?高考真題）如圖，平面四邊形ABC。中，AB=8,CD=3,AD=5g,

—?2——>—?1—.

ZADC=90°,N8W=30°,點E,尸滿足AF=-AB,將/XAEF沿石尸翻折至！PEF,

使得PC=4g.（1）證明：EF±PD；

p

【分析】（1）由題意，根據余弦定理求得EF=2,利用勾股定理的逆定理可證得EF上AD,則

EF±PE,EF±DE,結合線面垂直的判定定理與性質即可證明；

【詳解】由AB=8,AD=5百，通=|而,/=；也，

得AE=2&AF=4,又4BAD=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=siAE2+AF2-2AE-AFcosABAD=^16+12-2-4-273

2,

所以4￡2+跖2=4尸2,貝ijASLEF,即EF上AD,

所以EFLPE.EFLDE,5LPEQDE=E,PE.DEu平面PDE,

所以所立平面PDE,入PDu平面PDE,

故EF±PD

【鞏固練習21（2022?全國甲卷?高考真題）在四棱錐P-ABC。中，PDL底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

⑴證明：BD±PA；

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）作于E,CF1AB于尸，利用勾股定理證明AD13D,根據線面垂直的性質

可得尸D1.BD,從而可得BD工平面PAD,再根據線面垂直的性質即可得證；

【詳解】（1）證明：在四邊形ABCD中，作DE1AB于E,CFLAB于F,

因為CD//AB,AD=CD=CB=1,A3=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形，

所以AE=3/=:，

故DE=去,BD=y/DE2+BE2=y/3,

所以=鈿2,

所以ADIBD,

因為尸平面A3CD,BDu平面ABCD,

所以PD_LBD,

叉PDcAD=D,

所以皮＞上平面PAD,

又因為2Au平面2AD,

所以助_1_上4;

【鞏固練習3】（2022?浙江?高考真題）如圖，已知A3C。和CDE廠都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角P—OC—3的平面角為60。.設Af,N分

別為AE,3c的中點.

⑴證明：FNLAD；

【分析】（1）過點E、。分別做直線DC、AB的垂線EG、初/并分別交于點G、H,由平面知識

易得FC=BC,再根據二面角的定義可知，ZBCF=60°,由此可知，FN1BC,FNLCD,從而

可證得WV_L平面A