專題07平面向量

Q易錯點(diǎn)：注意零向量書寫及三角形

題型一：平面向量線性運(yùn)算

\與平行四邊形適用前提

題型二：平面向量的基本定理

易錯點(diǎn)：忽略基底選取原則

及坐標(biāo)表示E

題型三：平面向量的數(shù)量積及

0易錯點(diǎn)：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律

易錯點(diǎn)一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線

性運(yùn)算）

1.向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）.

（2）向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的長度，記作|AB|.

（3）特殊向量:

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：。與任一向量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運(yùn)算和向量共線定理

（1）向量的線性運(yùn)算

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

①交換律

求兩個向量a+b=b+a

加法

和的運(yùn)算a②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=〃+S+c)

求〃與Z?的

相反向量-。的

減法a—b—tz+(—Z?)

和的運(yùn)算叫做Qa

與b的差三角形法則

(1)|初=|刈初

求實(shí)數(shù)彳與

(2)當(dāng)之＞0時，4a與Q的方向相同；

數(shù)乘向量。的積的運(yùn)(2+]Li)d=Aa+fda

當(dāng)之vO時，4a與〃的方向相同；

算4(。+b)=Aa+Ab

當(dāng)4=0時，Aa=O

共線向量定理

向量a(a/O)與6共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實(shí)數(shù)幾，使得6=

共線向量定理的主要應(yīng)用：

(1)證明向量共線：對于非零向量d,b，若存在實(shí)數(shù)4,使4=%＞，則。與6共線.

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)九使AB=2AC，則A，B,C三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略：

(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，

三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來.

(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式

等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.

(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運(yùn)用法則找關(guān)系；

④化簡結(jié)果.

解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點(diǎn)：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向

量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談.

(6)非零向量4與三的關(guān)系：工是4方向上的單位向量.

l?I\a\

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小

易錯提醒：(1)向量表達(dá)式中的零向量寫成0,而不能寫成0.

(2)兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重

合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意二角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時兩個向量的起點(diǎn)必須重

合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時兩個向量必須首尾

相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：OA-OB=BA，AM-AN=NM，

OA=OB+CA<^OA-OB=CA<^>BA-CA=BA+AC=BC.

苣9

例.如圖，在平行四邊形ABC。中，下列計(jì)算正確的是()

A.AB+AD^ACB.AB+CD+DO=OA

UL1UUUJUUUUlUUIU

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=0

【詳解】對于A,根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，則A2+AD=AC，故A正確；

._,___.,uuuuim,uuuuuuuuuuuuuui,,,

對于B,在平行四邊形A3CD中，CD=-AB，則AB+C￡>+DO=DO片，故B錯誤;

對于C,AB+AD+CD=AC+CD=AD，故C正確；

對于D,在平行四邊形ABC￡>中，CD='RA,

uuuuuuuuuuuUUUIuuuumuui

AC+BA+DA=DA+AC+BA=DC+BA=O^故D正確.故選：ACD.

變式h給出下列命題，其中正確的命題為(

A.若AB=C￡)，則必有A與C重合，B與。重合，AB與C。為同一線段

17

B.^AD=-AC+-AB,則可知BC=3BQ

uuniuriuiriuun

c.若。為二ABC的重心，貝|尸。=3尸4+]尸8+]尸。

D.非零向量a,b,c滿足a與B與c，c與a都是共面向量，則a,b,c必共面

【詳解】在平行四邊形ABOC中，滿足AB=C￡>,但不滿足A與C重合，8與。重合，AB與。不為同一

線段，A不正確.

-12._.________

因?yàn)锳O=]AC+]AB,所以3A￡>=AC+243,所以2AD-2AB=4C-AD，所以23￡)=￡)C，所以

3BD=BD+DC，即32￡>=2C，B正確.

若。為“ABC的重心，貝UQA+QB+QC=0,所以3PQ+Q1+Q8+QC=3P。，所以3P。=P4+PB+PC,

uuniuriuriuun

^PQ=-PA+-PB+-PC,C正確.

在三棱柱ABC-A4G中，令A(yù)B=a,AC=b>A\=c,滿足a與方，b與c，c與a都是共面向量，但a，

b,"不共面，D不正確.故選：BC.

21

變式2：如圖所示，在平行四邊形A8CD中，AB=a,AD=b,BM=-BC,AN=-AB.

34

⑴試用向量，,6來表示。N,AM;

(2)AM交。N于。點(diǎn)，求AO:的值.

111

【詳解】(1)因?yàn)锳N=—AB,所以4V=—。，所以rW=4V-Ar>=-a-6,

444

272-

因?yàn)楦?§2。，所以=,4￡>=耳。，

2

^\^,AM=AB+BM=a+-b；

⑵AO=2AM，

貝1100=40-40=/14加-40=/11+京；6=而+序一1,，

因?yàn)椤?gt;,0,N三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)〃使O0=〃r)N=〃[；a-b]=；〃a-〃b,

由于向量a,b不共線，則幾=：〃，|/1一1=一〃，解得彳=亮,〃=，，

33

所以AO:AM=—=>AO:OM=—.

1411

變式3：如圖所示，在矩形ABCD中，M=4g,網(wǎng)=8,設(shè)BC=b,AB=a,BD=c，求卜

【詳解】解：在矩形ABCD中，MH叫=4石，網(wǎng)=8,

則向|=J叫+|叫?=,+卜廚=4幣,

因?yàn)锽C=b,AB=a,BD=c，

貝！1。一匕一。=48—3（?—3。=48—4。一即=。8+08=2￡>8,

因此，|"6—4=2|網(wǎng)=2*4近=8近.

1.已知a、）為不共線的向量，AB=a+5b>BC=-2a+Sb>CD=3（a-b）,則（）

A.AB,C三點(diǎn)共線B.AC,。三點(diǎn)共線

C.AB,。三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量共線定理及基本定理判斷即可.

【詳解】因?yàn)閍、b為不共線的向量，所以a、6可以作為一組基底，

對于A：AB=a+5b^BC=-2a+Sb，若存在實(shí)數(shù)f使得A3=4C,

則。+56=4-2。+86）,所以方程組無解，所以AB與BC不共線，故A、B、C三點(diǎn)不共線，即A

錯誤；

對于B：因?yàn)锳B=a+56，BC=-2a+8b，所以AC=A3+BC=a+5b+（-2a+8b）=—。+136,

同理可以說明不存在實(shí)數(shù)t,使得AC=fC￡>,即AC與CD不共線，故A、C、O三點(diǎn)不共線，即B錯誤;

uum/Fr、

對于C：因?yàn)間C=-217+86，CD=3\a-by

所以BO=BC+C￡＞=-2a+8b+3（a-6）=a+56,

又AB=a+5b=BD，所以故A、B、。三點(diǎn)共線，即C正確；

對于D：BC=-2a+Sb,CD=3（a-b）,

同理可以說明不存在實(shí)數(shù)乙使得BO=tCD，即BC與CD不共線，故8、C、。三點(diǎn)不共線，即D錯誤;

故選：C

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，￡是2c的中點(diǎn)，尸是線段AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則等于（）

B.-AB--AD

3333

13

C.-AB--ADD.-AB--AD

3634

【答案】C

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】解：DF=AF-AD=^AE-AD

=^AB+BE^-AD,

=^AB+^AD^-AD,

=-AB--AD,

36

故選：C

3.在四邊形ABC。中，^AC=AB+AD，貝U（）

A.四邊形45co是平行四邊形B.四邊形ABCD是矩形

C.四邊形ABC。是菱形D.四邊形ABC。是正方形

【答案】A

【分析】由AC=AB+A￡＞推出BC=AZ），再根據(jù)向量相等的定義得5c=4）且,從而可得答案.

【詳解】因?yàn)锳C=AB+AD，故=即2C=A￡＞，

故8C=AZ）且3CVMD,故四邊形ABCD一定是平行四邊形,

不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.

故選：A.

4.已知A23E分別為.ABC的邊BCAC上的中線，設(shè)AO=a，2石=九則8。=

「242?4

C.~a~~bD.~~a+~b

J333

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可聯(lián)立方程求解.

【詳解】分別為,ABC的邊BC,AC上的中線，

貝ljAD=8。-3A=；BC-8A,

BE=BA+AE=BA+^AC=BA+^AB+BC^=^BA+BC^,

由于AD=a，BE=b>所以。=5BC—BA,/?=—BA+—BC,

故解得B—C.=2；a+?4,

故選:B

5.如果e”e；是平面a內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）

①a=&]+〃e2（4,〃eR）可以表示平面a內(nèi)的所有向量；

②對于平面a內(nèi)任一向量￡，使。二彳弓+伏久尢46口為勺實(shí)數(shù)對伍⑷有無窮多個；

③若向量與4q+402共線，則今=登

④若實(shí)數(shù)入〃使得+/ze?=。，則2=〃=0.

A.①②B.②③C.③④D.②

【答案】B

【分析】由平面向量基本定理判斷①④②，由共線向量定理判斷③.

【詳解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正確.

對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是

唯一的，故錯誤；

對于③，當(dāng)力方=0或〃"，2=0時不一定成立，應(yīng)為力〃2—%2〃/=0,故錯誤.

故選：B.

6.給出下歹!J各式：@AB+CA+BC，?AB-CD+BD-AC，?AD-OD+OA，?NQ-MP+QP+MN,

對這些式子進(jìn)行化簡，則其化簡結(jié)果為0的式子的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】利用向量的加減法法則逐個分析判斷即可.

【詳解】對于①，AB+CA+BC=AB+BC+CA=AC+CA=O,

對于②，AB-CD+BD-AC=^AB+BD^-^AC+CD^=AD-AD=O,

對于③，AD-OD+OA=^AD+DO）+OA=AO+OA=0,

對于④，NQ-MP+QP+MN=^NQ+QP^+^PM+MN^=NP+PN=O,

所以其化簡結(jié)果為0的式子的個數(shù)是4,

故選：A

7.已知平面向量a,b.c，下列結(jié)論中正確的是（）

A.若則°B.若卜卜忖，則°

C.若a〃6，b//ci則a〃cD.若卜+4=,|+忖，則a〃b

【答案】D

【分析】利用向量的概念及零向量判斷即可.

【詳解】A：若.為非零向量，》為零向量時，有a6但a=b不成立，錯誤；

B：卜卜忖時，a，6不一■定相等，錯誤；

C：若b為零向量時，ab,6〃那不一定有。〃。，錯誤；

D：卜+0=時+卜|說明a，6同向或至少有一個零向量，故&b,正確.

故選：D.

8.設(shè)e；與02是兩個不共線的向量，AB=3e1+2e2,CB=kei+e2,CD=3el-2ke2,若A,B,。三點(diǎn)共線，則

人的值為（）

4938

A.——B.——C.——D.——

9483

【答案】B

【分析】根據(jù)向量共線的判定定理結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.

uunuunuurnirnirnir

[詳角軍]由題意可得：=（z3弓_2左xzk6]+4）x=（3—左）,_（2左+1）4,

若A,B,。三點(diǎn)共線，所有必存在一個實(shí)數(shù)九使得=

ITir|-irir-iirir

gp3,+2e2-M（3—左—（2左+l）g=幾（3—左）q—2（2左+l）q，

A（3-）t）=3

可得-;1（2左+1）=2'解得'

故選：B.

9.在，。43中，已知畫=2,囪=4,尸是AB的垂直平分線/上的任一點(diǎn)，則0P.A8=（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】B

【分析】設(shè)M為A3的中點(diǎn)，結(jié)合P為線段AB垂直平分線上的任意一點(diǎn)，則有OP.AB=OM.A8，再將

OM,AB都用04,03表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.

【詳解】設(shè)/為AB的中點(diǎn)，

貝ljOPAB=[OM+MP）-AB=OMAB+MP-AB,

因?yàn)槭瑸榫€段A3垂直平分線上的任意一點(diǎn)，

所以MPAB=O，

貝ifOPAB=OM.42=3（02+04）（OB—04）=^OB-O^=-6.

故選：B.

10.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)Ae/,線段AP交拋物線C于點(diǎn)2,過點(diǎn)B作/的垂

線，垂足為反，若FA=3FB，貝U()

A.|^|=|B.|AF|=4

C.|叫=3幽D.網(wǎng)=4網(wǎng)

【答案】BC

【分析】利用三角形相似及拋物線定義求解.

【詳解】拋物線Cy2=4x的焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線/為％=-1,

由.與△相似得：方，

FA=3FB<AB”A?7I7MF7=I7J|^A7F=|W3

241T4

?：\MF\=2,；.\BH\=-x2=~,即,8卜§,故A錯誤；

由拋物線定義得書刊尸l=3|BF|=3|8H|=4,

即,目=4,卜尸|=3P川，故BC正確，D錯誤.

故選：BC.

11.下列各式中結(jié)果為零向量的為（）

A.AB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

C.AB-AC+BD-CDD.OA+OC+BO+CO

【答案】BC

【分析】根據(jù)平面線向量加法和減法的運(yùn)算法則逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)殂@+上出+2。+。M=42+2。+6^+〃2=42,所以選項(xiàng)A不符合題意;

因?yàn)锳B+BC+CAn。，所以選項(xiàng)B符合題意；

因?yàn)锳B-AC+BD-CD=CB+BD-CD=CD-CD=O,

所以選項(xiàng)C符合題意；

因?yàn)镺A+OC+8O+CO=（BO+OA）+（OC+CO）=24+0=24,

所以選項(xiàng)D不符合題意，

故選：BC

易錯點(diǎn)二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示）

1.平面向量基本定理和性質(zhì)

（1）共線向量基本定理

如果a=2b（/leR）,則。//6；反之，如果d〃人且丘0，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)X,使。=助.（口

訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）.

（2）平面向量基本定理

如果q和e2是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量。，都存在唯一的一對

實(shí)數(shù)4,4,使得。=4華+402,我們把不共線向量e「4叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為

｛華,弓｝,4勺+402叫做向量。關(guān)于基底｛。，弓｝的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量4與e?不共線，平面內(nèi)的任一向量。都可以分解成形如

a=4q+4e2的形式，并且這樣的分解是唯一的.叫做e；,g的一個線性組合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

推論1:若a=,則4=4,4=%.

推論2：若。=4弓+4e2=0,則4=4=。.

（3）線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在“BC中，若點(diǎn)。是邊上的點(diǎn)，S.BD=ADC（2^-1）,則向量怪￡>=―+九4。.在

1+A

向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌

握.

(4)三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)A,B,C央線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)尢〃，使OC=2OA+〃OB,其中幾+〃=1,。為

平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A、B、C三點(diǎn)共線

o存在唯一的實(shí)數(shù)彳，使得AC=4AB;

o存在唯一的實(shí)數(shù)2,使得OC=OA+/L4B;

o存在唯一的實(shí)數(shù)2,使得OC=(1-/1)04+203；

o存在X+〃=1,使得0c=%OA+〃OB.

(5)中線向量定理

如圖所示，在△ABC中，若點(diǎn)。上邊8C的中點(diǎn)，則中線向量AD=g(AB+AC),反之亦正確.

2.平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與x軸，y軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向

量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量。，有且只有一對實(shí)數(shù)工。使。="+歷，我們把有序?qū)崝?shù)對(尤,y)

叫做向量。的坐標(biāo)，記作。=(無,y).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，即有

向量(尤,y).一對應(yīng).向量.一對應(yīng)一點(diǎn)A(x,y).

(3)設(shè)。=(占,％),b=(x2,y2),貝lja+6=(玉+超,%+%),a-b=(xl-x2,yt-y2),即兩個向量的和

與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若。=(尤,y),2為實(shí)數(shù)，則=U尤"y),即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)

坐標(biāo).

(4)設(shè)4(占,乂)，3(%,%),則A8=OB-OA=(XI-X2,%-%)，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量的有向

線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo).

3.平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

—=

①已知點(diǎn)A(占>%)，B(x?)%)，則AB=(x2—?_y2Ji),IA?lJ(x,-x1y+(%—%)?

②已知。=(占,%),b=(x2,y2),則a±6=(±±%，％土%)，然=(2占，2%),

a-b=x^+y^,|ab&+y：.

a〃6=占%一%%=°，a_L6o±％+X%=0

向量共線(平行)的坐標(biāo)表示

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個已知向量4共線的向量時，可設(shè)所求向量

為Xa(2eR),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于式的方程，求出4的值后代入彳。即可得到所求的向量.

2.利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若。=(4%),

b=(x2,y2'),則&〃匕的充要條件是占%=無2%”解題比較方便.

3.三點(diǎn)共線問題.A,B,C三點(diǎn)共線等價于AS與AC共線.

4.利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒

等變換求解.

用平面向量基本定理解決問題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行

向量的運(yùn)算.

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的

向量表達(dá)式.

向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系.

兩個相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

易錯提醒：(1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量.

(2)選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示

出來.

(3)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相

似等。

三

例.已知向量〃=(2,1),Z?=(-3,l),則()

A.若。=絡(luò)，-2g，則q_LcB.向量〃在向量人上的投影向量為一;匕

C.〃與的夾角余弦值為手D.(a+b]Ha

【詳解】對于A選項(xiàng)，若。=?，-三一，則a-c=2x]+lx-=0,所以a，c,A正確；

\7\7

對于B選項(xiàng)，設(shè)向量a在向量。上的投影向量為初，則=即2*(-3)+F=KU,解得2=-g,故

向量a在向量B上的投影向量為-gb，B選項(xiàng)正確；

a-la-b]io2J5

=

對于C選項(xiàng)，a—b=(5,0},cos<a,a—b>=T—\~\-----r~—=一~一，C選項(xiàng)正確；

'7\a[\a-b\V5x55

對于D選項(xiàng)，a+i>=(-l,2),-lxl^2x2,所以o+B與a不共線，D選項(xiàng)錯誤.

故選：ABC.

變式1.下列說法中錯誤的為()

A.已知:=(1,2),力=(1,1)且a與〃+奶的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是

B.向量q=(2,-3),不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.非零向量％b，滿足卜|<||且￡與匕同向，貝必>b

D.非零向量°和b，滿足“=1|=卜-0,則-與a+b的夾角為30

【詳解】對于A,Q?=(l,2),方=(1,1),且a與。+傷的夾角為銳角，

.-.a-(a+A&)=(l,2).(l+2,2+A)=l+A+4+22=3/l+5>0,且九/0(2=0時，a與的夾角為0),所

以且;1/0,故A錯誤；

對于B,向量G=4e2，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確;

對于C,向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯誤;

對于D,因?yàn)楹?卜-61兩邊平方得，又口=1

|22

則Q.（Q+。=同+4心='!忖a+ba+b+2a?b+b=,\/3|tz|?

「?（a+切割「6

故COS（Q,Q+。）=

慟..+0忖.6忖2

而向量的夾角范圍為［o,180］,所以。和a+6的夾角為30,故D正確.

故選：AC.

變式2.（多選）下列說法中正確的是（）

A.若a=（演,％）/=（%,%），且，與W共線,則；=亍

*2%

B.若a=（九］,必）,/?=（九2，%），且則Q與1不共線

C.若A,B,C三點(diǎn)共線.則向量/，炭:，&都是共線向量

D.若向量a=（1,2）,/?二（—2,〃），且〃〃,，則〃=—4

【詳解】對選項(xiàng)A,々=0或%=。時，比例式無意義，故錯誤;

對選項(xiàng)B,若a=（九］,%）,）=（%2，%），Q與Z?共線，則一'定有%%=%2%，故正確；

對選項(xiàng)C,若A,B,C三點(diǎn)共線，則々，病,&在一條直線上，則低,威,&都是共線向量，故正確;

對選項(xiàng)D,若向量「=（1,2）/=（—2/），且則1"=一2x2,即〃=—4,故正確；

故選：BCD

變式3.已知q,弓是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（）

A.若實(shí)數(shù)如n?mex+ne2=0,貝!jzn=〃=O

B.平面內(nèi)任意一個向量a都可以表示成a=十幾/，其中相，兒為實(shí)數(shù)

C.對于機(jī)，HGR,〃丐+〃與不一定在該平面內(nèi)

D.對平面內(nèi)的某一個向量。，存在兩對以上實(shí)數(shù)如n,^a=mex+ne2

【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確;

對于C,對于加，HGR,"1+〃.在該平面內(nèi)，故C錯誤;

對于D,m,〃是唯一的，故D錯誤.

故選:AB.

1.在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分別是A5,的中點(diǎn)，AC與8。交于M,設(shè)=

AD=b^則下列結(jié)論正確的是（）

A.AC=—a+bB.BC=——d+b

22

121

C.BM=——a+—bD.EF=——a+b

334

【答案】ABD

【分析】結(jié)合已知梯形的性質(zhì)及向量加法及減法的三角形法則及向量共線定理對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

由題意可得，AC=AD+DC=b+^a,故A正確；

BC=BA+AC=-a+b+-a=b--a,故B正確；

22

?2122

BM=BA+AM=-a+—AC=-a+—b+dx—=—b--tz,故C錯誤;

EF=EA+AD+DF=--a+b+-a=b--a,故D正確.

244

故選：ABD.

2.已知點(diǎn)A（l,2）,3（3,x）,向量）=（2-x,-l）,AB//a,則（）

A.尤=2+應(yīng)時AB與d方向相同

B.x=2-0時，A3與a方向相同

C.x=2-應(yīng)時AB與a方向相反

D.尤=2+0時，AB與a方向相反

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求出x,再回代驗(yàn)證方向相同或相反.

【詳解】A(l,2),B(3,x),可得AB=(2,x—2),

又d=(2—x,-1),AB!IS.，

可得(2-x)(x-2)=-2,解得彳=2±五，

當(dāng)x=2+應(yīng)時，A2=(2,應(yīng))與e=卜應(yīng),-1)方向相反，當(dāng)》=2-應(yīng)時，A2=(2,-應(yīng))與“方向

相同.

故選：BD

3.已知點(diǎn)A(l,2),B(3,x),向量q=(2-x,-l),AB〃d則()

A.x=3時鈣與0方向相同

B.x=2-JI,時四與°方向相同

C.x=3時AB與a方向相反

D.尤=2+忘,時AB與°方向相反

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】41,2),B(3,x),可得AB=(2,x-2),

又a=(2-x,-l),AB//a,

可得(2-x)(x-2)=-2,解得x=2土后，

當(dāng)無=2+忘,時，A8=(2,&),。=(-應(yīng),一1)則43=—夜。，

所以與日方向相反，

當(dāng)x=2-應(yīng)，時，AB=(2,-拒),。=(&,一1),則AB=&a，

AB與4方向相同.

故選:BD.

4.如果4,4是平面a內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中正確的是()

A.彳6+〃e2(X,〃eR)可以表示平面a內(nèi)的所有向量

B.對于平面。內(nèi)任一向量使。=幾6+〃3的實(shí)數(shù)對(4〃)有無窮個

C.若向量4G+〃品與4弓+〃2?共線，則有且只有一個實(shí)數(shù)4，使得4a+402=4（46+402）

D.若存在實(shí)數(shù)幾,〃使得幾4+〃02=0,則/1=〃=0

【答案】AD

【分析】由平面向量基本定理可確定AD正確，B錯誤；通過反例可說明C錯誤.

【詳解】14述2是平面a內(nèi)兩個不共線的向量，可以作為平面a的一組基底；

對于A,由平面向量基本定理可知：4q+〃e2（4〃eR）可以表示平面a內(nèi)的所有向量，A正確；

對于B,對于平面a內(nèi)任意向量d,有且僅有一個實(shí)數(shù)對（2,〃），使得a=%4+〃4,B錯誤；

對于C,當(dāng)4=〃1=%=〃2=0時，+〃0與4q+〃202均為零向量，滿足兩向量共線，此時使得

+〃1g2=彳（4弓+國￡］成立的九有無數(shù)個，c錯誤；

對于D,由彳6+〃02=。得：=-//e2,又4，02不共線，.1>1=-〃=0,即2=〃=0,D正確.

故選：AD.

5.已知平面內(nèi)平行四邊形的三個頂點(diǎn)4（-2,1）,3（-1,3）,C（3,4）,則第四個頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（-2,2）B.（4,6）

C.（-6,0）D.（2,-2）

【答案】ABC

【分析】若構(gòu)成的平行四邊形為ABC?,即AC為一條對角線，設(shè)。（x,y）,則由AC中點(diǎn)也是B2中點(diǎn)，

利用線段的中點(diǎn)公式求得

同理可求得，構(gòu)成以A3為對角線的平行四邊形ABC2,和以BC為對角線的平行四邊形AC。/,對應(yīng)的。

的坐標(biāo).

【詳解】若構(gòu)成的平行四邊形為A5CR,即AC為一條對角線，

-2+3x-1

QQ|%=2

設(shè)P（x,y）,則由AC中點(diǎn)也是BQ中點(diǎn)，可得；，解得,

1+4_y+3［）=2

所以A（2,2）；

同理可得，若構(gòu)成以AB為對角線的平行四邊形ABC。?，則4(-6,0)；

以為BC對角線的平行四邊形ACD3B,則A,(4,6)；

所以第四個頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為可以為：(-2,2)或(-6,0)或(4,6).

故選：ABC.

6.己知橢圓氏++/=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)工的直線與E交于另一點(diǎn)3,

36與y軸交于點(diǎn)P,則()

A.AFXLAF2B-忸周

C.△AB片的內(nèi)切圓半徑為走

D.4FlP-3PB=0

2

【答案】ABD

【分析】根據(jù)給定條件，求出焦點(diǎn)及下頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫出圖形，再逐項(xiàng)分析計(jì)算、判斷作答.

【詳解】依題意，橢圓E：；+y2=l的焦點(diǎn)￡(-1,0),乙(1,0),下頂點(diǎn)4(0,T),如圖，

對于A,\OFl\=\OF2\=\OA\,因此A正確;

Iy=x—141

對于B,直線AB：y=x-1,由［。2。消去y得：3X2-4X=0,則點(diǎn)*7,5，

［X+2y=233

于是|BBI=J(gT)2+(；)2=與B正確；

對于C,..A8久的周長為4應(yīng)，令其內(nèi)切圓半徑為，，54期=36丹卜耳-(-1)=3，

因此1*4小=金，解得一正，C錯誤；

233

41414

對于D,,設(shè)點(diǎn)尸(0,%),則片P=(l,%),P2=(H，3,而aP//PB,即有］￡尸=尸3,

因此4月尸一3尸3=0,D正確.

故選：ABD

7.設(shè)0<6<兀，非零向量a=(sin2e,cos。)，b=(cos6>,l),則().

,,1371

A.右tan<9=5，則〃〃Z?B.=—,則q_LZ?

C.存在e,使2a=bD.若a〃b，則tan八^

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，驗(yàn)證cos20=sin20即可；

B選項(xiàng)，驗(yàn)證〃./?=();

C選項(xiàng)，由題可得2sin2e=cos。，cos0=—,據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤；

2

D選項(xiàng)，由題可得cos?。=Sin2。，據(jù)此可判斷選項(xiàng)

【詳解】A選項(xiàng)，tan^=—=>=—^>cos=2sincos2=2sin^cos0=sin20,

2cos<92

則”〃匕，故A正確；

B選項(xiàng)，^=—=>sin20=-Leos0=,則。=，b=-,1,

4222

故〃加=0=>a_Lb，故B正確；

C選項(xiàng)，假設(shè)存在9,使2a=b，則2sin2，=cos。，cos"；,貝ij可得

4sin9cos0=cos0n2sin0=—=>sin0=—,故可得

24

sin29+cos29w1,則假設(shè)不成立，故c錯誤；

D選項(xiàng)，因a〃。，貝！Jsin28=cos?8,又由題可得cosSwO,貝!j

sin20-cos2夕=>2sin夕cos0=cos2夕=>2sin夕=cos6ntan夕=g，故D正確.

故選：ABD

8.已知向量〃=(2,-l),b=(m,2),則下列結(jié)論正確的是()

A.若Q〃Z?,則根=-48.若〃_1匕，則機(jī)=1

C.^\2a-b\=\a+b\,則根=1D.若卜+6卜忖，貝1]〃?=-4

【答案】AB

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷A,根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B,根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示判斷

C,D.

【詳解】對于A,因?yàn)閍〃b，所以2x2=(-l)x相，所以加=Y,A正確;

對于B,因?yàn)椤阓Lb，所以2xm+(—l)x2=0,所以加=1,B正確;

9.9

對于C,因?yàn)閨2〃一。|=|Q+Z?|,所以3(a)-6a-b=0,所以m=],C錯誤；

對于D,因?yàn)椴?0=忖，所以,『+2〃包=0,所以機(jī)=0或a=T,D錯誤;

故選：AB.

9.如圖，在ABC中，5C=12,。石是5C的三等分點(diǎn)，則()

A.AE=-AB+-AC

33

2

B.^AB-AC=Q,則AE在Afi上的投影向量為

C.若AB-AC=9，則A?AE=40

D.若皿AE=4,

【答案】AD

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合投影向量的定義、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】對于A,AE=AC+CE=AC+-CB^AC+-（AB-AC）=-AB+-AC,故A正確；

對于B,因?yàn)锳RAC=0，所以AB1AC,

由題意得E為2C的一個三等分點(diǎn)（靠C點(diǎn)更近），所以AE在AB上的投影向量為;AB,故B不正確；

0D01

對于C,AD=AC+CD=AC+-CB=AC+-（AB-AC\=-AB+-AC,

33、）33

AE=-AB+-AC

33f

2*22-25222-2

t^ADAE=-AB+-AC+-ABAC=-AB+-AC+5,

99999

-V7222

又CB=A3-AC=CB=AB+AC-2ABAC=144，

所以A4+AC?=2A5?AC+144=162，

2-22-2

故AZZAEugAB+-AC+5=41,故C錯誤；

2.27-25

對于D,ADAE=-AB+-AC+-ABAC=4,

999

—.221/22\

而A3+AC-2ABAC=144^>AB