專題8-2立體幾何中平行的證明與應用

模塊-'熱點題型解讀（目錄）

【題型1］平行關系的判斷

【題型2】構造平行四邊形得到平行關系

【題型3】由中位線得出平行關系

【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）

【題型5】由面面平行得出線面平行

【題型6】兩個平面交線相關的平行證明

【題型7】證明線線平行

【題型8】通過平行證明四點共面

【題型9】平行關系的應用：等積變形求體積

【題型10］平行的存在性問題（確定點的位置）

【題型11］平行的存在性問題（確定動點軌跡）

【題型12】截面問題（通過作平行線或延長線補全截面）

模塊二1核心題型?舉一反三

平行關系思維導圖

序號圖形展示符號語言文字語言

1垂直于同一平面的兩個直線平行

12如果兩條直線分別與第三條直線平行則

這兩條直線平行

3線段成比例兩直線平行（中位線）

4平行四邊形對面平行

a_____a亡a平面外一條直線與此平面內的一條直線平

2bua?na//a行，則該直線與此平面平行

a//b

a//a一條直線與一個平面平行，則過這條直線的

任一平面與此平面的交線與該直線平行

3auB

acf3=b

Z^7a,bua一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內

的兩條相交直線分別平行，那么這兩個平面

acb=A

平行

4m,nu(3>=>a//[3

men=B

a//m.b//n

a///3、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，

那么它們的交線平行

5aoy—ana//b

0cy=b

a,bu/3一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平

6acb=P面平行，則這兩個平面平行

Z_/na//0

a//a

b//a

a//p兩個平面平行，則其中一個平面內的任意一

>na///3

7條直線與另一個平面平行

4~7aua

【題型1】平行關系的判斷

基礎知識

常用結論

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a_La,小0,則a〃4

(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若a〃從p//y,則a〃y.

(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a_La,b-La,則a〃8.

(4)若a〃或，mUa,則m〃萬.

【例1】(2024?山東淄博?二模)已知a,小y為三個不同的平面，a,b,/為三條不同的直線.

若口口￡=/,￡口7=。,月口7=瓦/〃7，

則下列說法正確的是()

A.。與/相交B.6與/相交C.a//bD.。與￡相交

【答案】C

【分析】根據空間中直線與平面的位置關系逐項判斷即可.

【詳解】對于AB,///%/u平面e,aC\y=a,則〃/a,

同理可得///6,則AB錯誤；

對于C,由AB知道a//b,則C正確；

對于D,由A知道///凡。＜2平面"，/u平面?，則。//月，故D錯誤.

【例2】已知加、〃是兩條不同的直線，。、尸、/是三個不同的平面，下列命題正確的是（）

A.若。上了,則夕//人

B.若〃2〃〃，“ua,則"3/a；

C.若皿、〃是異面直線，mua,ml1/3,nu/3,n//a,則a〃6；

D.平面a內有不共線的三點到平面戶的距離相等，則a〃6.

【答案】C

【分析】利用直觀想象判斷直線與平面的位置關系可判斷ABD;利用線面平行的性質定理與面面平

行的判定定理可判斷C,從而得解.

【詳解】因為/、"是兩條不同的直線，a、/3、/是三個不同的平面，，

對于A,若￡,月，0］丫，則7與/可能相交，故A錯誤；

對于B,若加〃〃，“ua,則a可能在a內，故B錯誤；

對于C,因為加ua,所以加0廣，

又加〃所以由線面平行的性質定理可知在￡內存在〃/加，

則/a,進而可得///a,

因為機，"是異面直線，nu（3,所以/與“相交，

又〃//C，所以由面面平行的判定定理得a///?,故C正確；

對于D,平面a內有不共線的三點到平面￡的距離相等，則a與6可能相交，故D錯誤.

【例3】（多選）已知平面見￡,7,R_ac/3=l,0cy=in,yca=n,則下列結論正確的是（）

A./與“可能是異面直線B.若〃/加，則加〃〃

C.若"n〃=。，則Oe/D.若a/,7兩兩垂直，則/,僅，"也兩兩垂直

【答案】BCD

【分析】利用異面直線的意義判斷A;利用線面平行的判定性質推理判斷B;利用平面的基本事實

推理判斷C;利用面面垂直的性質、線面垂直的判定性質推理判斷D.

【詳解】對于A,由7=，％71a=〃，得muy,”uy,因此加與〃不可能是異面直線，A錯誤；

對于B,Him,ac/3=l,/3cy=m,則/ua,加Ua,于是〃3/a,

又zwu/,y\a=n,因此加〃〃，B正確；

對于C,由機Pl7z=O,得Owm,Own,由/?Iy=%,/Ia=〃，得niu0,nua,

則Oe￡,Oea,又g□/?=/,因此Oe/,C正確；

對于D,令/1"17=0,在平面7內取點尸（不與點。重合），并在/內作尸。_La網_L加，

而/?I7=〃?,71cu=〃，則尸。_La,PR_L￡,又aCB=1,于是/J_尸。,/_L尸及，

和PQcPR=P,則/_1_乙又加,“u/,因此/，則N0O7?是二面角￡一/一￡的平面角，

由aJ_/，ZQOR=90°,即《?_!_〃，因此/,m,〃兩兩垂直，D正確.

【鞏固練習11下列關于平面平行的命題，正確的是（）

A.若T個平面內的無數條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行

B.若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行

C.若兩個平面與同一?個平面垂直，則這兩個平面平行

D.若兩個平面與同一條直線平行，則這兩個平面平行

【答案】B

【分析】對A,兩面相交，另一平面有無數條直線和交線平行也和該平面平行，故可判斷；對B,

根據平面平行的判定定理即可判斷；對C,根據墻面三個角可判斷；對D,兩面相交一條直線，和

直線平行的直線都平行兩平面，故可判斷.

【詳解】對A,假設兩個面相交于一條直線，則其中一個平面內有無數條直線與交線平行也與另一

個平面平行，故A不正確；

對B,根據平面平行的判定定理，可知一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平

面平行，故B正確；

對C,若兩個平面與同一個平面垂直，不一定得出兩平面平行，例如墻角的三個面，故C錯誤；

對D,兩個平面與同一條直線平行，不一定能得出兩面平行，例如兩面相交與一條直線，存在與交

線平行的直線平行于兩個面，故D錯誤.

【鞏固練習2】設加，”是兩條不同的直線，%Z?是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若根//“,///&,則〃//aB.若ua,“u尸，則

C.若機〃/，則機〃aD.若mlln,m,則〃_La

【答案】D

【分析】對于A,根據已知條件推出〃ua或〃〃對于B,可以推出陰〃〃或異面，對于C,可以

推出〃或加ua,對于D,根據判定定理可以得到結論.

【詳解】對于A,由mlIn,mlla,則“ua或〃//a,故A錯誤；

對于B,alIp,m<za,nG/?,則加〃〃或加與"是異面直線，故B錯誤；

對于C,mlln,nap,則加〃a或冽ua,故C錯誤；

對于D,m!!n,mLa,則〃_La,故D正確.

【鞏固練習3】已知見〃為兩條不同的直線，口,「為兩個不同的平面，對于下列命題正確的是（）

A.mua,nua,m〃〃B=a〃B

B.a〃=m；

C.n//m,ncam//a

D.m//a,nam//n.

【答案】B

【分析】根據面面平行的判定定理可判定A,根據面面平行的性質定理可判定B,根據線面平行的

判定定理可判定C,根據線面平行的性質定理可判定D.

【詳解】選項A:由面面平行的判定定理可知，由于m,〃不一定相交，故A錯誤；

選項B:由面面平行的性質定理可知B正確；

選項C:由線面平行的判定定理可知，加可能在。內，故C錯誤；

選項D:由線面平行的性質定理可知，m,〃可能異面，故D錯誤

【題型2】構造平行四邊形得到平行關系

基礎知識

【方法技巧】構造平行四邊形找線線平行

【例1】如圖，在棱長為1的正方體/BCD-4耳Q2中，E、尸及G分別為棱8與、和的中

點.求證：G尸〃平面。EG；

【解析】???在正方體N8CD-4用G3中，E,F,G分別為棱3綜。2和的中點,

DF//Cfi,S-DF=CXG,

：.四邊形。GG尸是平行四邊形，.1C///DG,

VDGc平面。EG,G尸,平面DEG,

.?.G尸”平面DEG.

【例2】（2024?江蘇南京?模擬預測）如圖，四棱錐尸-/BC0中，P/_L底面NBCO,ADHBC,

AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M,N分別為線段AD,PC上一點，AM=2MD.

若N為尸。的中點，證明：MV〃平面P4B；

【解析】證明：由已知?法=2庇得4"=2,取8尸的中點7,連接/7,77V,

由N為PC的中點、知TN〃BC,

TN=^BC=2.又/。//BC,取TN//AM,且TN=AM,

四邊形NMN7為平行四邊形，:.MN//AT,

???/Tu平面P4S,MN叱平面PAB,

:.MN//平面PAB.

【鞏固練習1】如圖，在四棱錐P-N8CD中，底面/BCD是直角梯形，AD1AB,AB!1DC,PAL

底面A8CD,點E為棱PC的中點，AD=DC=AP=2AB=2.證明：8E//平面E1D；

【解析】在尸。上取中點G,連接/G,EG,如圖:

EG//CD,JLEG=-CD,

2

又?.?底面N8CD是直角梯形，CD=2AB,AB/1CD,

AB//GE且48=GE.即四邊形ABEG為平行四邊形,

:.AGIRE,

???/Gu平面RI。，BEa平面PAD,

:.BE〃平面PAD

【鞏固練習2】（24-25高三上?青海西寧?期中）如圖，PA_L平面ABCD,AD1CD,ABUCD,PQHCD,

AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,點E,尸,W分別為/尸,CD,3。的中點.求證：E尸〃平面CW

【分析】（1）連接EM,可證明四邊形MEFC為平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可證得;

【詳解】（1）連接EM,因為ABHCD,PQ//CD,

所以ABHPQ.又因為尸。=/2,所以四邊形尸。以為平行四邊形，

又因為點瓦M分別為AP,BQ的中點，所以ABHEM且4B=EM,

因為C￡>=2/3,ABIICD,所以CD7EM且EM=，

又因為點廠分別為CD的中點,

所以CF//EM且EM=CF,

所以四邊形MEFC為平行四邊形，

所以MCHEF,

又因為E產平面CEW,MCu平面C尸A/,

所以斯〃平面CW.

【鞏固練習3】如圖，在正三棱柱ABC-43C中，。㈤，尸分別是8。，4G,44的中點，團=4麻,

“5C的邊長為2.求證：：跖〃平面4DR4；

【解析】證明：取42的中點G,連接尸G,DG,

根據題意可得FG//8Q1,且尸G=；耳A,DE=；BD,

由三棱柱得性質知3。〃耳。|,所以尸G//5D,則四邊形DGE尸是平行四邊形,

所以EF//DG,

因為EF（Z面ADDXAX,DGu面ADD{A1,

所以斯//面/。24?

【題型3】由中位線得出平行關系

基礎知識

涉及中點條件時考慮利用三角形中位線找線線平行.

【例1】如圖，已知四棱錐尸-48CD的底面/BCD是平行四邊形，M,N分別是棱P3,PC的中點,

。是棱為上一點，且尸，求證:N。//平面MCD

【解析】取PA的中點S,連接SM,SD,SC,因為M為PB的中點，

所以SMUAB,又ABUCD,所以SM//CD,故S,M,C,D四點共面,

由題意知Q,N分別為PS,PC的中點，故NQ/ISC,

又N0仁平面M2D.SCU平面MCD,因此N0〃平面MCD

【鞏固練習1】（24-25高三上?廣東深圳?階段練習）如圖所示，四棱錐S-43C。中，四邊形/BCD是

矩形,平面SCD1平面ABCD,ZSDC=90。，點”是線段SC的中點，點N在線段跖上，且M7V，S3.

s

求證：“〃平面AffiD

【分析】（1）連接/C交AD于G,則G是/C的中點，連接MG,由中位線性質知S4||MG,根據

線面平行的判定可證S4//平面〃2。；

【詳解】（1）連接NC交8。于G,則G是/C的中點，連接MG,

因為M是線段SC的中點，所以MG是AS4C的中位線，則S4||MG,

又因為平面AffiD,MGu平面MBD,所以￡4//平面AffiD.

【鞏固練習2】（2024?浙江金華?一模）如圖，三棱錐中，40,平面3CD,

AD=DB=DC=BC,E為AB中點、,河為中點，N為。C中點.

求證：及0//平面48（7；

【分析】連EC,利用三角形中位線性質，線面平行的判定推理即得.

【詳解】連EC,由W為。E中點，N為DC中裊,得MNI/EC,

入ECu平面ABC,MNa平面ABC,

所以MV//平面NBC.

【鞏固練習3】已知在正四棱柱/8CD-4AG2中，AD=3,可=4,點E是3的中點，求證:

4Di//平面￡8。

【分析】根據中位線的性質可得OE〃/。，由線面平行的判定定理即可證明;

【詳解】連接/C,交8。于點O,則。為/C的中點，

又因為E為CD,的中點，連接0E,則OE///A,

AD]/平面EBD,OEu平面EBD,

N。"/平面EBD

【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）

基礎知識

解析：模型鋪墊：AB〃平面B圖AB〃DE

C

【例1】如圖，在三棱柱/8C-481G中，側面/CG4為菱形，側面c54G為正方形.點/為4c

的中點，點N為48的中點.

證明：MN//平面BCCXBX

【簡析】找一點和MN構成平面，該平面與平面BCG?1有2個位置確定的交點，圖中去掉MN和平

面BCCB中的點后滿足條件的點只有A點了，AM與平面BCCfi交于點Cl,AN與平面BCC?交

于點B,故MN〃BC],找出了平面BCG2]中和MN平行的那條線

【詳解】連接/q,8G,如圖所示：

因為/CG4為菱形，點/為4c的中點，所以/Gc/C=w,

又點/為ACX的中點，點N為NB中點，所以MNHBC,,

而2Gu平面BCC品,九WU平面BCCR,

所以MN〃平面BCC?.

【例2】如圖，在四棱錐P-N5C。中，底面/8CD是正方形，點/在棱加上（不與端點重合），E,

尸分別是尸。，/C的中點.

證明：EF//平面尸8c.

【解析】連接8。，

因為底面NBCD是正方形，所以尸是8。的中點，

又因為￡是尸。的中點，所以EF是MBD的中位線,

所以EF/IPB,

因為EFu平面PBC,PBu平面PBC,

所以EF〃平面P8C

P

【例3】（2024?浙江?一模）如圖，在三棱錐尸-48C中，底面4BC是邊長為2的等邊三角形，尸CJ_

平面/3C,點E是尸8的中點，點尸在線段CE上且CF:跖=2:1,G為三角形/8C的重心.

求證：G尸〃平面P48

【分析】（1）根據重心性質以及線段比可知尸是△PSC的重心，再利用線段比例關系以及線面平行

判定定理可得結論；

【詳解】（1）連接NG交8C于點。，由重心性質可得。是BC的中點，

又點E是尸8的中點，點廠在線段CE上且CGEb=2:1,可知/是△P5C的重心；

連接PD,可知點尸在尸。上，如下圖所示：

由重心性質可得。尸：PF=1:2,DG:AG=l:2,所以G/〃P/;

又G/（z平面P48,取u平面P48,

所以GF〃平面P4B

法二：連接CG交AB于H,易證FG〃EH

【鞏固練習1】（2024?山東濟南三模）如圖所示，PDCE為矩形，488為梯形，平面P0CE_L平面

ABCD,ABAD=ZADC=90°,4B=AD=；CD=1,PD=6.

若點胡為川的中點，證明:ZC//平面MDE；

【解析】連接PC,交DE于N,連接MN

?.?PDCE為矩形:.N為PC的中點、

在APNC中，M,N分別為我，尸C的中點

:.MN//AC,

因為MNu平面AfDE,/C6平面

所以NC//平面必￡.

【鞏固練習2】在直三棱柱NBC-4月G中，已知。為的中點.求證：BG〃平面48.

【分析】連接NG交4c于點。，連接OZ),利用中位線的性質可得出OZW3G,再利用線面平行的

判定定理可證得結論成立.

【詳解】證明：連接/q交4c于點o,連接oz),如下圖所示：

在三棱柱48C-N4G中，441伙工且/4=。弓，則四邊形44GC為平行四邊形,

因為/qc4c=。，則。為NG的中點，

又因為。為的中點，所以，OD//BQ,

因為8G0平面4。，ODu平面4C。，因此，BC；〃平面4CD.

【鞏固練習3】(24-25高三上?福建泉州?期中)如圖，在直三棱柱481G中，^CB=90°,

CA=CB=CCl=3,。是棱5片的中點，尸是G。的延長線與C2的延長線的交點.

(1)求證：/尸〃平面4cD；

(2)若點E在線段AP上，且點￡為靠近點A的三等分點,求直線AE與平面AXCD所成的角的正弦值.

【分析】利用全等思想來證明中點，從而得證線線平行，即可證明線面平行；

【詳解】連接/G交4c于點“，連接M),如下所示：

因為ABC-AMi是直三棱柱，故可得4GCN是矩形，

故M為NG的中點，又。是為8的中點，所以BQ=BD,

又???Z8QG=ZBDP,/CRD=NPBD=90°,:.^BXDCX%BDP,

■.CXD=PD,即。是GP的中點，

故在4P中，M,D分別為c/,GP的中點，

故可得〃。〃4?,又〃Du平面4cD,/尸（z平面4C。，故4P〃面4co.

【鞏固練習4】如圖，三棱柱45C—481G中，E,P分別是與￡和CC1的中點，點F在棱其耳上,

且與尸=24尸，證明：4?//平面EFC.

AiFBi

G

【答案】證明：連結PB1,交CE于點D,連結DF,EP,CB1,

因為E,P分別為B1C1,CC1的中點，故EP〃；CB1且EP=；CB1,

PD1A.F1

故國5,又B1F=2,A1BB3,故西=萬，

所以FD〃A1P,又FDu平面EFC,A1P4平面EFC,

故A1P〃平面EFC:

【題型5】由面面平行得出線面平行

基礎知識

本法原理：已知平面a〃平面￡,則平面￡里的任意直線均與平面a平行

思路比較簡單不過書寫步驟會繁瑣一些，一般不做第一選擇

【例1】如圖，已知三棱柱為直三棱柱，/4=Z3=2/C,為NC的中點.

證明：4c〃平面84。

【簡證】取4G中點

【例2】（2024?貴州貴陽?二模）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺0GR中,

段尸分別為AD,43的中點，N8=24司=4,側面AB。。與底面43CD所成角為45。.

求證：8D"/平面4E尸；

【解析】連接8。、B、R,由E,尸分別為的中點，則EF"BD,

入EFa平面BBQQ,BDu平面BBQQ,故E尸//平面58QQ,

正四棱臺ABCD-AXBXCXDX中,A.BJIAB且AXBX=^AB=BF,

則四邊形4/881為平行四邊形，故A///BB（,

又//（Z平面BBRD,5gu平面BBRD,故其尸〃平面BBRD,

火AFcEF=F,且同尸u平面EFu平面&EF,

故平面4E尸//平面BB}DXD,又RD】u平面BB}DXD,故〃平面4EF；

【鞏固練習1】（2024?廣東深圳?高三深圳外國語學校校考開學考試）如圖，多面體/8CDE尸中，四

邊形/BCO為矩形，二面角/-CD-尸的大小為45°，DE//CF,CD1DE,AD=2,DC=3.

（1）求證：BF〃平面4DE；

【解析】（1）證明：因為四邊形488是矩形，所以，BC//AD,

因為8Cu平面BCF,400平面8（才，所以/￡）〃平面8CF,

因為。E〃C尸，CFu平面BCF,DEB平面BCF,所以DEH平面BCF,

因為4DcDE=D,40、DEu平面4DE,則平面8c尸〃平面4DE,

因為BFu平面BCF,所以，BF〃平面ADE.

【鞏固練習2】（2024?四川達州?二模）如圖，在直角梯形4BCD中，ADIIBC,AB1BC,

AB=BC=2AD,把梯形4BCD繞48旋轉至48。自，E,尸分別為CQ中點.

證明：EF〃平面C，/；

【解析】證明：設2G中點為G,連接廠G,EG,

FG為△CCQi中位線，FGHCD,,

又CD[u平面CDXA,FGfZ平面CD*,

FG//平面CRA,

vEG為梯形NBCQi中位線，EGUAD,,

又4D]u平面CD/,EGfZ平面C。/,

EGH平面CD/,

EG^FG=G,FGu平面EFG,EGu平面EFG,

平面EFG〃平面,

■：EFu平面跖G,

;.EF〃平面CD/.

【鞏固練習3】（2024?江蘇南京?二模）如圖，AD//BC,AD1AB,點、E、F在平面N8CD的同側,

CF//AE,AD=\,/8=8C=2,平面/CFE_L平面/BCD,EZ=EC=G.求證：3月〃平面ADE；

【解析】因為CF///E,CF<t平面4DE,

所以CF〃平面同理BC〃平面NDE,

又8C,CFu平面BCF,BCHCF=C,

所以平面BC尸〃平面4D￡,BFu平面4DE,

所以BF〃平面4DE

【題型6】兩個平面交線相關的平行證明

基礎知識

兩個平面交線相關的平行證明可以考慮補全圖形得到交線，也可以先找一個線面平行，得出線線平

行來代換交線，原理是由線面平行得出線線平行

【例1】如圖，四棱錐尸力及力的底面為正方形，且力，面A13O).設平面2bp與

平面“”的交線為/.證明：///C13

【證明】證明：因為A13CD為正方形，，BC//AD,

又：叱了平面PAD,20*平面84D.

反7〃平面PAD

又?.?區。?平面PCB,平面口。平面PCB=I,

：.///CD.

【例2】(2025高三?全國?專題練習)如圖，AD//BC且AD=2BC,ADA.CD,EG//AD旦EG=AD,

CD//FG^.CD=2FG,DG_L平面N8CD,Z)/=DC=Z)G=2,設平面BCF與平面EFG的交線為/,

求證：5C//Z；

［分析］由線面平行的判定定理和性質定理證明即可；

【詳解】因為4D//3C,EGHAD,所以3CV/EG,

又BC0平面EFG,EGu平面EFG,

所以8C//平面EFG,又BCu平面BCF,平面3c尸c平面EFG=/,

所以8。〃/.

【鞏固練習1】在圓柱。。中，N5是圓。的一條直徑，CD是圓柱OQ的母線，其中點C與42不

重合，是線段AD的兩個三等分點，目BM=MN=ND.若平面COM和平面C4N的交線為/,

證明：〃/平面4RD.

【答案】證明見解析

【分析】利用三等分點得中位線可得線線平行，再應用線面平行判定與性質定理證明即可;

【詳解】由5M知W為3N中點，又。為中點，

所以OMHAN,QMu平面C4N,ANu平面CAN,

所以OM〃平面CAN,又OMu平面COM,

由平面GWn平面C4V=/,且Ce/,

故由線面平行的性質定理可得OMHI,

由點C與48不重合，可知C史平面48。，故平面

又（Wu平面48。，所以〃/平面NAD.

【鞏固練習2】（2025高三?全國?專題練習）如圖，在三棱柱/3C-44G中，AC=BC,AiC=AiB,

側面為矩形.記平面48。與平面/3C交線為/,證明：AC//1；

【答案】證明見解析

【分析】根據/C〃平面43G,進而根據線面平行的性質即可求解.

【詳解】因為在三棱柱/3C-44G中，AC//AG,

由于/CU平面48。，4C|U平面4BC],

所以/C〃平面43G,

又因為NCu平面4BC,平面N3CPI平面48G=/,

所以NC///

【鞏固練習3】如圖，四棱錐P-/3C。的底面為平行四邊形，設平面尸/。與平面P8C的交線為加,

分別為尸的中點.

⑴求證：小//平面P/。；

（2）求證：BCHm.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）取尸。的中點E,利用中位線的性質先證明四邊形/2WE為平行四邊形，由線線平行

證線面平行即可；

（2）利用線線平行先證線面平行，再由線面平行的性質證線線平行即可.

【詳解】（1）

：D\

ANB

取PZ)的中點E,連接

因為M,N分別為尸C,N3的中點，底面ABCD為平行四邊形,

則EN=!Z)C」/B=/N,S.EMIIDCIIAN,

22

所以四邊形/MWE■為平行四邊形，%MN//AE,

顯然AEu平面PAD,MNU平面PAD,

則MN//平面PAD:

(2)易知4D//8C,平面尸4D,4Du平面尸4D,

所以8C//平面尸4D,

又BCu平面PBC,平面尸4D與平面P8C的交線為m,

所以8c〃加.

【題型7】證明線線平行

基礎知識

利用線面平行和面面平行證明線線平行

【例1】如圖，平面平面NDE,CFHAE.求證：ADHBC.

B

【解析】"CFIIAE,CFu平面ADE,/Eu平面ADE,CFH平面ADE.

?;BF”平面ADE,BFcCF=F,BF,CFu平面BCF,

.??平面4)E〃平面8CF.

又平面/QEn平面=，平面3Wc平面=,

AD!IBC.

【例2】如圖，直四棱柱N8C。-481GA被平面a所截，截面為CDEH且E尸=0C,

DC=2AD=4A]E=2,ZADC=1,平面E尸CD與平面48CD所成角的正切值為:百,證明：ADHBC.

【解析】在直四棱柱23c0-//[CQi中，平面/8CZ)//平面/百。[。],

平面48copl(Z=CD,平面4BC4ca=E尸，則EF//CD,

而C^DJICD且GA=CD,又EF=CD,因此CQJIEF且GA=E尸，

則四邊形EFGA是平行四邊形，所以4。]//耳。],又42//4D,BCMBG,

所以ADHBC.

【鞏固練習1】如圖所示，圓臺的上、下底面圓半徑分別為2cm和3cm,N4,8均為圓臺的兩條不同的

母線.Q,。分別為圓臺的上、下底面圓的圓心，且△0/B為等邊三角形.求證：A.B,//AB.

B

【解析】證明：；圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，

所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應用線的一部分.

母線44與母線8耳的延長線必交于一點，44,8,男四點共面.

圓面。|〃圓面O,且平面ABBXAXCl圓面。i=4與，平面ABB[A]Pl圓面。=N8.

A{BJ/AB.

【鞏固練習2】（2024?甘肅?一模）如圖，空間六面體NBCOE尸GH

中,AD/1BC,EH//FG,/BCD=ZFGH=90°，平面/BCD//平面EFG〃,CD〃G為正方形，平面

HDCG1平面ABCD,AD=FG=2EH,BC=3EH.求證：AE//BF■,

【解析】AD//BC,ADU平面BCGF,BCu平面BCGF,

AD//平面BCG尸.

:CD//G為正方形，:.HD//CG,

同理可得皿）//平面BCGF.

:4DcHD=D,4Du平面ADHE,HDu平面ADHE,

平面ADHE//平面BCGF.

平面ADHEc平面ABFE=AE,

平面8CGFc平面ABFE=BF,

.-.AE//BF.

【題型8】通過平行證明四點共面

基礎知識

通過線線平行得出四點共面

【例1】如圖，在直三棱柱4BC-481G中，AB1AC,AAl=AB=AC=2,M,N,P分別為4B,

BC,的中點

⑴求證：3P〃平面CIM7V；(2)求證：P、M、C、G四點共面;

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）先證M,N，G，4四點共面，再證明8尸〃〃4,由線線平行得到線面平行.

（2）連接C|P,PM,MC,結合條件可證PM//CC,從而證明.

連接因為分別為的中點，所以MN///C

在三棱柱48C-481G中，AC//4G.所以〃4G，M,N，G，4四點共面.

因為N8//4月，/3=4片，/，尸分別為/氏44的中點，所以AM//4尸，BM=AiP.

所以四邊形AW4P為平行四邊形.

所以AP//"4.因為3尸（Z平面C{MN,MAXu平面C]MV,

所以BP11平面C、MN.

（2）如圖:

連接CF，PM,MC,因為NBC-4耳G為直三棱柱，且尸,“分別為4月的中點，

所以PM〃441,又AAJICC、,所以PM//CG,所以尸、M、C、。四點共面.

【鞏固練習1】（2024?內蒙古包頭?一模）如圖，在四棱錐P-48c。中，PC_L平面48CD,AB//CD,

點E在棱心上，PE=2EB,點、F,H是棱尸4上的三等分點，點G是棱尸。的中

點.PC=CB=CD=gAB=2,/C=而.

證明：〃平面CFG,且C,E,F,G四點共面；

【分析】由中位線得尸G〃印人結合線面平行的判定定理即可證得〃平面CFG,要證C,E,

F,G四點共面，只、需CE〃FG,只需CE〃HD,連接HE,結合條件證明四邊形是平行四

邊形即可；

【詳解】（1）因為尸，G分別為尸〃，尸。的中點，

所以FG〃印），

又FGu平面CFG,HD（Z平面CFG,

所以他//平面CFG.

PEPH

連接HE,在△尸中,

~EBHA

所以HE〃4B,且HEqAB,

2

因為43〃CD,CD=-AB,

所以CD=HE,漢CD〃HE,

所以四邊形HECD為平行四邊形.

所以CE〃HD,

又FG〃HD,所以CE〃尸G,

故C,E,F,G四點共面.

【鞏固練習2】如圖，多面體ABCGDEF中，AB,AC,AD兩兩垂直，平面ABC//平面/G,平

面BEF//平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC^EF=1.判斷點B,C,F,G是否共面，并說明理

由.

【詳解】取DG中點P,連接PA,PF,如圖示:

在梯形EFGD中，FP/7DE且FP=DE.

又AB〃DE且AB=DE,AB〃PF且AB=PF

二四邊形ABFP為平行四邊形，；.AP〃BF

在梯形ACGD中，AP〃CG,；.BF〃CG,

AB,C,F,G四點共面.

【鞏固練習3】如圖，在長方體48co—44GR中，點E,尸分別在棱加＞1,84上，2DE=ED1,

BF=2FB1,證明：點q在平面4E廠內.

【解答】證明：在441上取點“，使得小〃=22”,逐榛

在長方體/為%—41月G2中，有，2〃2力1〃6華,且=221=

又2DE=ED\,A\M=2AM,3F=2FB\、：.DE=AM=FB\.

四邊形目勿歷口四邊形都是平行四邊形.

AF//MB、dAF^MB\AD""且工’=ME.

又在長方體力員2?—4及62中，有力，〃當且AD=BXCX,

:*BCEME^13YC^ME,則四邊形及［EM為平行四邊形，

3〃"區，且％=MB、,

八AFHAZ歷，且AF^MB：.AF//%，且4尸EC*

則四邊形為平行四邊形，

.?.點1在平面2￡尸內

【題型9】平行關系的應用：等積變形求體積

基礎知識

等積變形求體積，即形狀改變但體積不變。通過計算變形前后的體積相等

【例1】已知正方體45co-4片。區的棱長為1，尸是線段上的一個動點，則三棱錐4-PG。的

體積是否為定值？請說明理由

【答案】是定值

【詳解】根據正方體的性質可知，CDUAB,且。。=4耳，

所以，四邊形。。耳4為平行四邊形，則

因為4〃u平面用C<Z平面4aD,

所以，瓦C//平面4G。.

又尸€21C,所以點尸到平面4G。的距離為定值.

又A4G。的面積確定，vAi_PCiD=vp_AiC}D,

所以，三棱錐4-尸G。的體積為定值.

【例2】如圖，在棱長為2的正方體/BCD-44GA中，M,N,P分別是GA，GC,44的中點,

則三棱錐口的體積為

【答案】|

【詳解】易得DF//BN,因為D\Pa平面MNB,MNu平面MNB,

所以20//平面MNB,所以Vp-MNB=VD「MNB=/一MND]=§*5*1*1乂2=§

【例3]（多選）如圖，在正方體/BCD-44GA中，型=血,尸為線段2G上的動點，則下列說法正確

的是（）

B.D尸〃平面4BQ]

C.三棱錐P-NCR的體積為定值加

D.4P+PC的最小值為百+1

【答案】ABD

【分析】對于A,由線面垂直的判定定理證明用。，平面4g即可;對于B,根據面面平行的判定定理

證明平面8DG〃平面ABR即可;對于C,根據線面平行將點P到平面ACDt的距離等于點8到平面

ACD,的距離，再利用等體積法求解即可;對于D,將平面48G和平面2CG沿直線BG展開為一個平

面，利用余弦定理求解即可判斷.

【詳解】對于A,連接4尸,如圖:

???CD，平面8CGA,3Gu平面BCCiBi,

CD1BCt,

又BCX1BXC,BXCflC。=C,8Cu平面BXCD,CDu平面BXCD,

_L平面21cZ),

,/B{Du平面B\CD.

BQ1BQ,

連接BXA，同理可得AXB1BQ,

BQ=尻48u平面AlBCl,BC1u平面AlBCl,

BXD1平面43C],

AXPG平面48C],

.?.BQL&P,故A正確;

對于B,連接做Q9,如圖:

AB//C]D],AB=GD],

四邊形ZBGA為平行四邊形，

ADJIBC],

???BQu平面BDC1,e平面BDC],

/.40]〃平面

同理四邊形/。。]用為平行四邊形，

ABJ/DC、,

???DC]u平面BDC-AB].平面BOG,

???AB】//平面BDC1,

,/ABXnADX=A,AB】u平面ABXDX,ADXu平面ABXD1,

平面BOG〃平面力用。1,

,/DPu平面BDC、,

「?小〃平面,故B正確；

Q401匚平面/。。1,5。12平面4。。1,

5C"/平面NCR,

二.點尸到平面的距離等于點5到平面NCR的距離，

VVVX

P-ACDX=B-ACDl=Dv-ACB=J｝耳揚￡=與

【鞏固練習1】在正方體/BC。—44GA中，石為551的中點，點尸滿足麗=丸西，2e[o,l],

則三棱錐尸-4。e的體積與X的值是否有關？請說明理由.

【答案】無關

【詳解】因為在正方體ABCD-4B￡D]中，AB〃CA且=CQ,

所以四邊形/BCQi為平行四邊形，因此8G〃/。,

又BQ