2025年高考數學解密之立體幾何初步

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?泰安模擬）下列命題中，正確的是（）

A.三點確定一個平面

B.垂直于同一直線的兩條直線平行

C.若直線/與平面a上的無數條直線都垂直，貝心，.

D.若a、b>c是三條直線，a//b且與c都相交，則直線a、b>c在同一平面上

2.（2024?天津）一個五面體ABC-DEF.已知AD//BE7/CF,且兩兩之間距離為1.并已知49=1,BE=2,

A73R3A/31百N3A/31

642242

3.（2024?河南模擬）已知圓錐的底面半徑為2,其側面展開圖是一個圓心角為它的扇形，則該圓錐的側

3

面積為（）

A.6TIB.8%C.107TD.1271

4.（2024?吳忠模擬）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積（單位：。疝）是（

俯視圖

A.24B.28C.32D.36

5.（2024?四川模擬）如圖所示，在棱長為2的正方體A3CD-A4CQ中，直線平面=E,F,

歹是BC的中點，G是線段用產上的動點，則直線GE與側面ADQ4的交點P的軌跡長為（）

A.A/5B.—C.2&D.垃

2

6.（2024?大連模擬）在正四棱臺ABC。-44G2中，AB=4,44=2，胴=嚀，則該正四棱臺的

體積為（）

A..B.她c..D.

9933

7.（2024?云南模擬）底面積是萬，側面積是3%的圓錐的體積是（）

A.2屈兀B.岳C.—D.其

33

8.（2024?榆林三模）設a,b為兩條不同的直線，a,/?為兩個不同的平面，下面為真命題的是（）

A.若a//￡,aua，bu/3,貝!JQ//Z?

B.對于空間中的直線/,若Qua,bua,ILa,ILb,貝”_La

C.若直線。上存在兩點到平面a的距離相等，則a//a

D.若a//a,aA-p,則1_1/

9.（2024?莆田三模）若制作一個容積為例的圓錐形無蓋容器（不考慮材料的厚度），要使所用材料最省，

3

則該圓錐的高是（）

A.72B.2C.76D.4

10.（2024?咸陽模擬）已知平行六面體ABC。-A4CQ中，棱澳、AB、AD兩兩的夾角均為60。,

AA,=2AB,AB^AD,E為片G中點，則異面直線即與所成角的余弦值為（）

2

二.多選題（共5小題）

11.（2024?郴州模擬）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-AqG口中，點尸是正方體的上底面A耳GR內

（不含邊界）的動點，點。是棱BC的中點，則以下命題正確的是（）

A.三棱錐。-尸CD的體積是定值

B.存在點P,使得與朋所成的角為60。

c.直線尸。與平面AADR所成角的正弦值的取值范圍為（0,孝）

D.若PD『PQ,則P的軌跡的長度為羊

12.（2024?隨州模擬）在棱長為2的正方體中，E,尸分別為鉆，3c的中點，貝U（

）

A.異面直線與男尸所成角的余弦值為當

B.點尸為正方形A耳GR內一點，當。尸//平面4跖時，上的最大值為呼

C.過點2，E,b的平面截正方體ABCE>-A8C12所得的截面周長為2岳+近

D.當三棱錐4-BEP的所有頂點都在球O的表面上時，球。的表面積為6萬

13.（2024?鹽湖區一模）設〃，。是兩條不同的直線，a,尸是兩個不同的平面，則下列命題正確的有（

）

A.若a//a,bIla,則a//6B.若a_La,bLa>則。〃6

C.若a//b,b!la,a牛a,則a//aD.若a//c,a11/3,aU0,則a//。

14.（2024?保定三模）如圖，在正方體中，E,F,M,N分別為棱懼，AQ,AB,

DC的中點，點尸是面3。的中心，則下列結論正確的是（）

3

A.E,F,M,P四點共面

B.平面PEF被正方體截得的截面是等腰梯形

C.EF//平面PMN

D.平面AffiF_L平面PMV

15.（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A用G2中，E為例的中點，點廠滿足

率=4硒（噴氏1）,貝1|（）

A.當4=0時，AC|_L平面8DF

B.任意彳e[0,1],三棱錐尸-瓦龍的體積是定值

C.存在彳e[0,1],使得AC與平面BDF所成的角為工

3

D.當4=2時，平面由加截該正方體的外接球所得截面的面積為史乃

319

三.填空題（共5小題）

16.（2024?鹽湖區一模）已知圓錐的高為5,其頂點和底面圓周都在直徑為6的球面上，則圓錐的體積為一

17.（2024?黃浦區二模）在四面體上4BC中，2兩=可+而，5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA,設

四面體RLBC與四面體PDE尸的體積分別為X、V2,則匕的值為

匕一

18.（2024?西城區模擬）如圖，正方形ABCD和矩形所在的平面互相垂直.點尸在正方形XBCD及

其內部運動，點。在矩形及其內部運動.設AB=2,AF=1,給出下列四個結論：

①存在點P,Q,使「。=3；

4

②存在點P,Q,使CQ//EP；

③到直線4)和EF的距離相等的點尸有無數個；

④若則四面體PAQE體積的最大值為g；

其中所有正確結論的序號是—.

19.(2024?遼寧模擬)古希臘數學家阿波羅尼奧斯發現：平面上到兩定點A,3距離之比為常數42>0且

2/1)的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息，解決下面的問題：

阿波羅尼斯奧

如圖，在長方體中，AB=2AD=2AAl=6,點￡■在棱至上，BE=2AE,動點尸滿足

BP=6PE.若點P在平面ABCD內運動，則點尸所形成的阿氏圓的半徑為；若點尸在長方體

ABCZ)-A4GR內部運動，F為棱CR的中點，”為CP的中點，則三棱錐M-下的體積的最小值

為—.

20.(2024?甘肅模擬)傳說古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球

的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發現.在一個“圓柱容球”模型中，若

球的體積為4岳，則該模型中圓柱的表面積為一.

四.解答題(共5小題)

21.(2024?河南模擬)如圖所示，在△ABC中，點。在邊3C上，且CD=2BZ),E為邊他的中點.S是

平面ABC外一點，S.(SA+SB)-SC=(AB+2AC)-SC=0.

(1)證明：SC±SD；

(2)已知DE=1,SD=s/6,SE=3,直線3c與平面SDE所成角的正弦值為迪.

3

⑺求的面積;

5

（z7）求三棱錐S-ABC的體積.

S

22.（2024?重慶模擬）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個多面體的所有面都是全等的正三角形或正多

邊形，每個頂點聚集的棱的條數都相等，這樣的多面體就叫做正多面體.可以驗證一共只有五種多面體.令

a<b<c<d<e（a,b,c,d,e均為正整數），我們發現有時候某正多面體的所有頂點都可以和另一個

正多面體的一些頂點重合，例如正。面體的所有頂點可以與正b面體的某些頂點重合，正。面體的所有頂

點可以與正1面體的所有頂點重合，等等.（1）當正。面體的所有頂點可以與正6面體的某些頂點重合時，

求正。面體的棱與正。面體的面所成線面角的最大值；

（2）當正c面體在棱長為1的正6面體內，且正c面體的所有頂點均為正6面體各面的中心時，求正c面

體某一面所在平面截正b面體所得截面面積；

（3）已知正/面體的每個面均為正五邊形，正e面體的每個面均為正三角形.考生可在以下2問中選做1

問.

（第一問答對得2分，第二問滿分8分，兩題均作答，以第一問結果給分）

第一問：求棱長為1的正e面體的表面積；

第二問：求棱長為1的正d面體的體積.

23.（2024?湖北模擬）如圖，在三棱錐尸-ABC中，側面R4C_L底面ABC,AC±BC,AR4c是邊長為

2的正三角形，BC=4,E,尸分別是尸C,PB的中點，記平面女/與平面ABC的交線為/.

（1）證明：直線/_L平面R4C；

（2）設點。在直線/上，直線與平面所成的角為a,異面直線尸。與EF所成的角為。，求當AQ

為何值時，a+6=工.

2

24.（2024?揚州模擬）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，側面R4Z5_L底面ABCD,側棱以=尸￡）=0,底面

ABCD為直角梯形，其中3C//4D,ABLAD,AD=2AB=2BC=2,。為AD中點.

（1）求證：PO_L平面ABCD；

6

(2)求異面直線PB與CD所成角的大小.

25.(2024?商洛模擬)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，M,N分別是PD和3c的

中點，平面B4B_L平面ABCD,PA=PB=AB=AD=2.

(1)證明：MN//平面P46.

(2)求三棱錐M-ABC的體積.

7

2025年菁優高考數學解密之立體幾何初步

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.（2024?泰安模擬）下列命題中，正確的是（）

A.三點確定一個平面

B.垂直于同一直線的兩條直線平行

C.若直線/與平面。上的無數條直線都垂直，則/，￡

D.若a、b、c是三條直線，a//。且與c都相交，則直線a、b、c在同一平面上

【答案】D

【考點】命題的真假判斷與應用；直線與平面垂直

【專題】轉化思想；數學運算；簡易邏輯；綜合法；邏輯推理；直觀想象；空間位置關系與距離

【分析】利用平面的基本性質及推論可知A,3錯誤，。正確，再利用直線與平面垂直的判定定理可知選

項C錯誤.

【解答】解：對于A：不共線的三點確定一個平面，故A錯誤，

對于3：由墻角模型可知，兩條直線可能是相交直線，也可能是異面直線，顯然3錯誤，

對于C：根據線面垂直的判定定理，若直線/與平面口內的兩條相交直線垂直，則直線/與平面a垂直，

若直線/與平面。內的無數條平行直線垂直，則直線/與平面々不垂直，故C錯誤，

對于￡>：因為a//b,所以。與6唯一確定一個平面，設為平面a,又c與。和6都相交，所以c也在平面a

內，即直線a、b、c共面，故選項。正確，

故選：D.

【點評】本題主要考查了平面的基本性質及推論，考查了空間中線與線的位置關系，是基礎題.

2.（2024?天津）一個五面體ABC-DEF.已知AD〃班V/CF,且兩兩之間距離為1.并已知">=1,BE=2,

CF=3.則該五面體的體積為（）

3A/31

~4--2

8

【答案】C

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積

【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；立體幾何；數學運算

【分析】根據題意，分別延長4）、3E到G、〃，使AG、BH、CF平行且相等，得到三棱柱A?C-GHF,

根據四邊形即與四邊形HGDE全等，利用錐體的體積公式得到/YBED=4_HGDE=g匕，然后求

出ABC-GHF的體積，進而算出該五面體的體積，可得答案.

【解答】解：延長45到G,使DG=2,延長留到〃，使EH=1,連接"'、BF,

可得AG=2H=B=3,結合AG//8H//CF,可知ABC—GHF為三棱柱，

B

因為四邊形ABED與四邊形打切E全等，所以%一回=%一3，

由AG3BH//CF,且它們兩兩之間的距離為1.可知：

當ABC-GHF為正三棱柱時，底面邊長為1,高為3,此時匕BCGHF=3XFX3=上巨.

ADC—Lrnr44

根據棱柱的性質，若ABC-G所為斜三棱柱，體積也是土叵，

因止匕，VF_HGDE=-^ABC-GHF=~,可得該五面體的體積V=匕℃一6."=弓?

故選：C.

【點評】本題主要考查棱柱的定義與性質、柱體與錐體的體積公式及其應用等知識，考查了計算能力、圖

形的理解能力，屬于中檔題.

3.（2024?河南模擬）已知圓錐的底面半徑為2,其側面展開圖是一個圓心角為色的扇形，則該圓錐的側

3

面積為（）

A.6TIB.8%C.107TD.12萬

【答案】A

【考點】圓錐的側面積和表面積

【專題】三角函數的求值；綜合法；數學運算；整體思想

9

【分析】根據半徑求出底面周長，由弧長公式可得母線長，再利用圓錐的側面積公式求解.

【解答】解：因為底面半徑r=2,

所以底面周長為2兀r=4rr，

又因為側面展開圖是圓心角為空的扇形，

3

所以圓錐的母線長/=f=3,

4萬

T

所以該圓錐的側面積S=R7=?X2X3=6萬.

故選：A.

【點評】本題主要考查了圓錐的側面積公式，屬于基礎題.

4.（2024?吳忠模擬）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積（單位：。/）是（

俯視圖

A.24B.28C.32D.36

【答案】C

【考點】由三視圖求面積、體積

【專題】數學運算；立體幾何；轉化法；數形結合

【分析】借助三視圖得到幾何體的直觀圖后計算即可得.

【解答】解：該幾何體的直觀圖如圖所示，

則幾何體的表面積為

S=1X3X4+-X5X4+-X3X4+-X4X5=6+10+6+10=32（CT?22）.

2222

故選：C.

10

4

【點評】本題考查了利用三視圖求幾何體的表面積問題，是基礎題.

5.（2024?四川模擬）如圖所示，在棱長為2的正方體中，直線40c平面ACR=E,F,

產是3c的中點，G是線段瓦廠上的動點，則直線GE與側面ADRA的交點產的軌跡長為（）

C.2A/2D.V2

【答案】A

【考點】棱柱的結構特征

【專題】數學運算；向量法；轉化思想；空間位置關系與距離；邏輯推理

【分析】先建立空間直角坐標系，設出點P的坐標，保證尸，E,F,與四點共面，從而得到向量而與

平面E/英的法向量垂直，進而分析得出的方程表示的軌跡是什么，求解即可.

【解答】解：在棱長為2的正方體ABCO-A4CQ中，直線40c平面AC〃=E,F,尸是3C的中點,

G是線段與廠上的動點,

分別以ZM,DC,所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系孫z,如圖,

X

11

則4(2,2,2),F(1,2,0),

,直線BQC平面ACR=E,F,設BO0|AC=M,如圖,

DMDE￡

在矩形BORA中，DM//DlBl,..△B.O.E,

BQ】B[E2

二.點石滿足方g的，石(|,|,|),

設平面EFB,的法向量為n=(x,y,z),

且麗OfPR=(———)

?3'3'3

142c

—x+—yz=0

3°,即,333

可得不妨取為=(-2,1,1),

河.函,444

=0—x+—y+—z=0

[33'3

由于直線GE與側面的交點P,設點尸(x,0,z),

可得P,E,F,用四點共面，

__,292__-222

且喬=(x——,——,z——),顯然而?為=-2(x——)——+z——=0,

333333

得方程z=2x,顯然方程z=2x在平面2A內表示一條直線，

當z=0時，點P(0,0,0),此時兩點尸，。重合，

當z=2時，x=l,點尸(1,0,2),設線段4。的中點為T,此時兩點尸，T重合,

直線GE與側面AD?A的交點P的軌跡為線段DT,且OT=V12+22=6.

故選：A.

【點評】本題考查正方體結構特征、三角形相似、四點共面、點的軌跡等基礎知識，考查運算求解能力,

是中檔題.

6.(2024?大連模擬)在正四棱臺中，鉆=4,44=2，A4]=半，則該正四棱臺的

體積為()

112140

ARr112140

9933

【答案】A

12

【考點】棱臺的體積

【專題】綜合法；立體幾何；數學運算；轉化思想

【分析】根據題意可得：該正四棱臺上下底面正方形的中心到相應正方形頂點的距離分別為0,2a,

從而可求出該正四棱臺的高，最后根據正四棱臺的體積公式，即可求解.

【解答】解：?正四棱臺—中，AB=4,44=2，

上下底面正方形的中心到相應正方形頂點的距離分別為拒，2點，又側棱相=學，

，該正四棱臺的高為J（g）2-（2加-魚）2=?,

，該正四棱臺的體積為gx（22+42+2x4）*：=巖.

故選：A.

【點評】本題考查正四棱臺的體積的求解，屬基礎題.

7.（2024?云南模擬）底面積是萬，側面積是3%的圓錐的體積是（）

A.2缶B.岳C.—D.兀

33

【答案】D

【考點】圓錐的體積

【專題】數學運算；立體幾何；定義法；方程思想

【分析】利用圓錐的底面積和側面積公式求出底面圓半徑和母線長，再求圓錐的高，即可計算圓錐的體積.

【解答】解：設圓錐的母線長為/,高為/z,半徑為廠，

貝US底=%/=乃，且S側=7TXrx/=3?,角畢得〃=1,1=3,

所以"=A/Z2—r2=59-1=2^/2,

所以圓錐的體積為LX%X12X2^=￡?〃.

33

故選：D.

【點評】本題考查了圓錐的側面積公式和體積公式應用問題，是基礎題.

8.（2024?榆林三模）設〃，。為兩條不同的直線，a,分為兩個不同的平面，下面為真命題的是（

A.若a///,aua,bu0,則a//〃

B.對于空間中的直線/,若au<z,bua,/_La,lib,貝”_La

C.若直線。上存在兩點到平面a的距離相等，則a//a

D.若a//a,a-LJ3,則a_L/

13

【答案】D

【考點】空間中直線與直線之間的位置關系；平面與平面之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置

關系

【專題】綜合法；整體思想；邏輯推理；空間位置關系與距離；直觀想象

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面的位置關系判定ABC；直接證明。正確.

【解答】解：若a1/0,aua,bu/3,則a//6或a與6異面，故A錯誤；

當auiz,bua,I±a,/_L6時，只有a,。相交時才有/_L<z,故B錯誤;

若直線a上存在兩點到平面a的距離相等，則a//e或a與a相交，故C錯誤；

如圖，

?：a//a,過a作平面?和平面a交于〃，則a//〃，而a-L月，故〃_L夕，

又〃ua,,故。正確.

故選：D.

【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的判定，考查空間想象能力與思

維能力，是中檔題.

9.（2024?莆田三模）若制作一個容積為竺的圓錐形無蓋容器（不考慮材料的厚度），要使所用材料最省，

3

則該圓錐的高是（）

A.0B.2C."D.4

【答案】B

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積

【專題】轉化思想；計算題；導數的概念及應用；數學運算；綜合法；立體幾何

【分析】根據題意，設圓錐的高與半徑，利用體積公式得出高與半徑的關系，再消元轉化得出側面積，利

用導數計算單調性與最值，即可得答案.

【解答】解：根據題意，設該圓錐的高為〃，底面圓的半徑為r,

^\-7rr2h=—,從而/〃=4,變形可得產=±,

33h

14

該圓錐的側面積S=；-2萬入+產="W+產)產=l4h+16.

令f(h)=4h+—(Ji>0)=>f\h)=4--=4(—^—),

hhh

—8

易知/zw(0,2)時，-----<0,f\h)<Q,/(/z)單調遞減，

h

川一8

/zw(2,+x))時，----->0,廣①)>0,/(/z)單調遞增，

h

則當/z=2時，/(/?)取得最小值；

所以要使所用材料最省，則該圓錐的高是2.

故選：B.

【點評】本題考查圓錐的體積、表面積計算，涉及導數與函數單調性的關系，屬于中檔題.

10.(2024?咸陽模擬)已知平行六面體ABC￡>-A4G2中，棱明、他、AD兩兩的夾角均為60。,

A\=2AB,AB^AD,E為耳G中點，則異面直線網與所成角的余弦值為()

【答案】D

【考點】異面直線及其所成的角

【專題】轉化思想；數學運算；綜合法；空間角；空間向量及應用；邏輯推理

【分析】由題意求出異面直線3的方向向量和方向向量的表達式，求出這兩個向量的余弦值，進而

求出異面直線所成的角的余弦值.

【解答】解：因為E為與J的中點，棱A4,、AB,AD兩兩的夾角均為60。，4^=245,AB=AD,

設AB=2,貝!IAA,=4,

由平行六面體的性質可得：B^=BA+A^=-AB+AA^,D[E=DlQ+^ClB^=AB-^Al5,

____,____,___1________________________Q1______________、1____>____,

可得好*=（-荏+麗）.（通-5必=-通+-ABAD+A^AB--A^AD

211

=-AB+-|AB|-|A￡>|cos60°+|A4f|?|cos600--1A4t|-|A5|COS60°

=-4+1X2X2X-+4X2X---X4X2X-=-1,

22222

15

IB\|2=AB+A4f2-2AB-A\=AB+A\-2\AB\-\AA^\cos60°=4+16-2x2x4x1=12,

所以|西'1=26,

----?C-21a1——??<21>21——?I1

\DXE^=AB+-AD-2x-ABAD=AB+-AD-2x-1AB|-|AD|cos60°=4+-x4-2x2x-=3?

可得|D]E|=A/3,

則cos（甌，P^>=-^'D{E-1_1

2Ax后一6

\B\\-\DXE\

所以異面直線網與2E所成角的余弦值為|cos＜甌，屏〉|=L

6

故選：D.

【點評】本題考查空間向量的運算性質的應用及用空間向量的方法求異面直線所成的角的余弦值，屬于中

檔題.

二.多選題（共5小題）

11.（2024?郴州模擬）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A與CQ中，點P是正方體的上底面A用CQ內

（不含邊界）的動點，點。是棱3c的中點，則以下命題正確的是（）

A.三棱錐PCD的體積是定值

B.存在點P,使得PQ與A4,所成的角為60。

C.直線PQ與平面A.ADD,所成角的正弦值的取值范圍為3號

D.若PR=PQ,則P的軌跡的長度為空

【答案】ACD

【考點】直線與平面所成的角；棱柱的結構特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角

16

【專題】轉化法；立體幾何；數學運算；轉化思想

【分析】對于A：利用等體積轉換即可求得體積為定值；

對于5：建立空間直角坐標系，設P(尤，y,0),得出聲=(尤-2,y=l,2),招=(0,0,2),利用向量夾角

公式即可求解；

對于C：求出平面AAOA的法向量為沅=(1,0,0),利用向量夾角公式即可求解；

對于D：由=尸。可得f+(y-2)2=(無一2)2+(y-iy+4,即可求解.

114

【解答】解：對于A,VoPCD=Vp0CD=—x—xlx2x2=—(定值)，故A正確；

以A為坐標原點，A耳為x軸，AR為y軸，AA為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則。(2,1,-2),設P(x,y,0)(0<x<2,0<y<2),

則行=(x-2,y=l,2),

對于5,M=(0,0,2),

PQ與A4,的夾角。滿足cosa==—'3egl),

故3錯誤;

22

\QP\-\AAl\2X7(X-2)+(J-1)+4

對于C,平面A4DQ的法向量為防=(1,0,0),

直線PQ與平面A.ADD,所成的角p的正弦值為sin￡=-=^^=e(0,—),故C正確;

7(X-2)2+(J-1)2+42

對于￡),A(0，2,0),A尸=(x,y—2,0),

由尸Q=PQ可得f+(y_2)2=(%_2)2+(y_l)2+4,

化簡可得4x-2y-5=0,

3

在平面內，令尤=2,得y=5，

令y=0,得％=9,

4

17

所以P的軌跡的長度為j(2？+(|)2=手，0正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查等體積法求體積以及空間向量的應用，屬于中檔題.

12.(2024?隨州模擬)在棱長為2的正方體ABC。-A用G2中，E,尸分別為AB,的中點，貝1(

)

A.異面直線DDA與BF所成角的余弦值為發

B.點P為正方形內一點，當。尸//平面4跖時，DP的最大值為乎

C.過點2，E,尸的平面截正方體ABCD-A4C12所得的截面周長為2萬+夜

D.當三棱錐4所的所有頂點都在球O的表面上時，球。的表面積為6萬

【答案】ACD

【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面平行；異面直線及其所成的角；球的體積和表面積

【專題】立體幾何；數學運算；空間角；對應思想；向量法

【分析】對于A：根據正方體的性質得出在用△3尸中Ng廠即為異面直線與百歹所成的角，即可

判定；對于3：取AA的中點M，的中點N,連接MN,DM,DN,得到DM//用尸,DN/!BXE,

即可證明面DMV//面,則根據已知得出P軌跡為線段MN,則過。作此時。尸取得最

小值，即可判定；對于C：過點2、E、尸的平面截正方體ABCD-AaGA所得的截面圖形為五邊形

D\MEFN,得出D.N//ME,設=CN=n,以。為原點，分別以方及配，西■方向

為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系D-孫z,得出該，邱,方而，游的坐標，則可根據

D}M//NF,2"〃腔列式得出AW，CN,即可得出,C.N,在放△心⑶〃中得出,同理

得出RN,在RtAMAE中得出VE,同理得出/W,在RtAEBF中得出EF,即可得出五邊形QMEEN的

周長，即過點2、E、尸的平面截正方體ABC￡>-A3IG2所得的截面周長，即可判定；對于D：取砂的

中點。I，則Q|E=OJ=qB,過。?作。。|//2月，且使得其=1,則O為三棱錐瓦-3E廠的外接

球的球心，則OE為外接球的半徑，計算得出半徑即可求出球。的表面積，即可判定.

【解答】解：對于A選項，//8耳，

在Rf△BBF中ZBBtF即為異面直線DDt與瓦尸所成的角，

18

異面直線DDt與所成的角的余弦值為半.故A正確；

對于C選項，過點2、E、尸的平面截正方體,

?平面例〃。//平面8耳GC,則過點2、E、歹的平面必與A4,與CG交于兩點，

設過點2、E、尸的平面必與相與CG分別交于加、N,

?.?過點2、E、尸的平面與平面和平面BBCC分別交于AM與RV,.?.□///△，，同理可得

DtN//ME,

如圖過點2、E、尸的平面截正方體48。-4瓦￡2所得的截面圖形為五邊形

如圖以。為原點，分別以方X,皮，西■方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系。-盯z,

設AM=m,CN=n,

則M(2,0,in),N(0,2,〃)，E(2,1,0),F(1,2,0),R(0,0,2),

ME=(Q,l,-m),取=(0,2,〃一2),^7=(2,0,小一2),NF=(l,0,-n),

■：DiM//NF,DtN//ME,

19

2

m=—

-2m=n-2一，03

CC，解得

-2〃=m-22

n=—

3

2244

AM=~,CN=~,AM=-,C、N=-,

3333

.?.在中，2A=2,DtM同理：D、N=,

在RtAMAE中，AM^-,AE=1,ME=—,同理：FN=—

333

在RtAEBF中，BE=BF=1,EF=42,

D、M+D、N+ME+FN+EF=+2x與+應=2岳+近,

即過點2、E、尸的平面截正方體ABC。-A旦GA所得的截面周長為2拒+0.故C正確;

對于3選項，取A2的中點M，2G的中點N,取AD的中點S,連接MN,DM,DN,\S,SF,

■：SF/IABI/A.B,,SF=AB=AB、,

，四邊形A4E5為平行四邊形，:.AAl//B1F,-.-A.SHDM,:.MD!!BXF,

同理可得LW//4E,

又〈DM?面BEF,耳尸u面4EF,DN仁面耳所，B】Eu面B〔EF,

:.DM//^BXEF,DN1//菌B、EF,

又?；1)%DN=D,DM,DNu面DMN,

，面DWV//面4EF,

又?.?￡>2//面4￡F,尸e面A4c]〃，

尸軌跡為線段MN,

.?.在AZM/N中，過。作DP_LMN,此時。尸取得最小值，

在Rf△DRM中,D,M=1,D,D=2,:.DM=卡,

20

在用△■DRN中，DXN=1,DQ=2,:.DN=0

在.Rt4MD]N中,D、N=I,D,M=1,:.MN=0,

.[如圖，在RtADPN中，DP=4DN?-（等了=%；=當

即Z）尸的最小值為還，而上的最大值為石.故5錯誤;

2

對于O選項，如圖所示，取EF的中點0],則a石=0]b=。內，過01作OO"/54,

且使得OQ=：BBi=l,則O為三棱錐B,-BEF的外接球的球心，

所以OE為外接球的半徑，

?.?在RtAEBF中，EF=j2,

R2=0E2=00；+（爭=12+吟丫=|,

.1S球=4"R?=6%.故。項正確，

故選：ACD.

【點評】本題考查線面角以及利用空間向量法解決球體相關問題，屬于中檔題.

13.（2024?鹽湖區一模）設a,6是兩條不同的直線，a,尸是兩個不同的平面，則下列命題正確的有（

）

A.若a//e,blla,則a//Z>B.若a_L（z,Z?±tz,則a//6

C.若a//b,blla,ata,則a//aD.若a//a,al1（3,a（^/3,則a//￡

【答案】BCD

【考點】平面與平面之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關系；空間中直線與直線之間的位置

21

關系

【專題】轉化思想；邏輯推理；空間位置關系與距離；綜合法

【分析】根據空間中線線關系，線面關系，面面關系，即可分別求解.

【解答】解：對A選項，-.-alia,r.a//6或。與6相交或。與6異面，；.A選項錯誤；

對3選項，:aLa,Z?±?,;.a//b,選項正確；

對C選項，-：a//b,6〃rz,與。內的某條直線平行，

二。也平行該直線，又a仁a,a//cr,C選項正確；

對。選項，,e,?//?,a11（3,a仁￡,a//￡,;.￡）選項正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查空間中線線關系，線面關系，面面關系，屬基礎題.

14.（2024?保定三模）如圖，在正方體ABC。-A4G。中，E,F,M,N分別為棱的，4,01,AB,

DC的中點，點P是面的中心，則下列結論正確的是（）

A.E,F,M,P四點共面

B.平面PEF被正方體截得的截面是等腰梯形

C.EF"平面PMN

D.平面AffiF_L平面PMV

【答案】BD

【考點】平面與平面垂直；直線與平面平行；平面的基本性質及推論；空間中直線與平面之間的位置關系

【專題】立體幾何；綜合法；轉化思想；邏輯推理

【分析】由題意可得過E,F,M三點的平面為一個正六邊形，判斷出A的真假；分別連接E,歹和3,

G，截面￡瓦亦是等腰梯形，判斷出3的真假；分別取CG的中點G,Q,易證跖顯然不平行平

面0GMN,可判斷出C的真假；平面PMV,可判斷出。的真假.

【解答】解：對于A：如圖經過E,F,Af三點的平面為一個正六邊形EFMHQK,點尸在平面外，

所以E,F,M,P四點不共面，所以選項A錯誤；

22

對于3：分別連接E,尸和3,C,,則平面PEF即平面G3EF,截面。1班戶是等腰梯形，所以選項3正

對于C：分別取8片，CG的中點G,Q,則平面PMN即為平面。G/VCV,

由正六邊形EFMHQK,可知HQ//E尸，所以M。不平行于EF,

又EF,MQu平面EFMHQK,所以

所以EFC平面。GAW=W,

所以￡F不平行于平面PMV,故選項C錯誤；

對于。：因為AAEA/,ABMG是等腰三角形，所以NAME=NBMG=45。,

所以NEMG=90。，所以M_LMG,

因為M,N是AB,CD的中點，易證MV//AD,

由正方體可得A。_L平面AB耳A，

所以肱V_L平面AB與A，又MEu平面AB4A，所以

因為MG,MNu平面PW,所以R0_L平面GMN,

因為平面A4EF,

所以平面MEFJL平面PMV,故選項。正確.

故選：BD.

【點評】本題考查直線與平面平行的證法及平面與平面垂直的證法，屬于中檔題.

15.（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長為2的正方體A3CD-A4G2中，E為例的中點，點尸滿足

質=2硒（0g氏1）,貝1（）

23

A.當；1=0時，AC1，平面BDF

B.任意力e[0,1],三棱錐P-瓦龍的體積是定值

C.存在4e[0,1],使得AC與平面5DF所成的角為土

3

D.當4=2時，平面6DF截該正方體的外接球所得截面