空間向量與立體幾何

一、單選題

1.已知空間四邊形。PQR的四個(gè)頂點(diǎn)。，p,Q,R的坐標(biāo)分別為（。,。,。），（-1,0,1）,（2,1,1）,

若S為平面P0R上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝ij當(dāng)尸5=叵，且所，麗的夾角6取得最小值時(shí)，I網(wǎng)=（）

211

*X_RA/5「A/6八3瓜

A?二D.Cz?U,------

2222

2.三棱錐A-3co的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，并且AB=8,8=6,則三棱錐A-BCD的體積的

最大值為（）

A.56B.48C.32D.58

3.在四面體ABCD中，BC=2,^ABC=ZBCD=90°,且AB與CD所成的角為60°.若該四面體ABCD的體

積為士8,則它的外接球半徑的最小值為（）

2

A.^3B.2C.3D.加

4.在直三棱柱A3C-A耳G中，ZBAC=90°，AB=AC=AAl=4,E,R分別是BC,4G的中點(diǎn)，。在

線段BG上，則下面說法中不正確的是（）

A.EF//平面948

B.直線EF與平面ABC所成角的余弦值為拽

5

C.直三棱柱ABC-A4G的外接球半徑為2/

D.直線8。與直線EF所成角最小時(shí)，線段8。長為3也

5.三個(gè)相似的圓錐的體積分別為匕，匕，匕側(cè)面積分別為邑，S2,邑，且%=%+%,aS^S2+S3,

則實(shí)數(shù)。的最大值為（）

A.啦B.近

c.V2D.73

二、多選題

6.已知在正三棱柱ABC-ABC中，AC=2CCl=2,M,H,N分別為棱A。，AA,,AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在

側(cè)面ACCA內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)Q在底面ABC內(nèi)，貝I（）

A.4N〃平面MC4

B.沿該三棱柱的表面從點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B的最短路徑的長為"4+后

C.若點(diǎn)P在線段“G上（點(diǎn)P與點(diǎn)”不重合），則尸

D.若點(diǎn)尸在線段A4上，且尸。=2,則線段PQ中點(diǎn)的軌跡所形成圖形的面積為三

7.如圖，在直四棱柱A8C￡>-A4GA中，底面ABCD為菱形，ZBAD=6Q°,AB=AAi=2,尸為CQ的中

點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足加=幾成+〃函'（彳式。』,〃?［。』），則下列結(jié)論正確的是（）

B.若AQ=6，則點(diǎn)Q的軌跡為一段圓弧

C.若△43Q的外心為O,則A豆率為定值2

D.若4=1且〃=：,則存在點(diǎn)E在線段AB上，使得AE+EQ的最小值為J9+2M

8.如圖，在直三棱柱44G-ABC中，點(diǎn)。，E，歹分別是棱A8,4A,48的中點(diǎn)，直線平面EFC,

直線A3與平面gBCC所成角為45。，若AB=2,AC=3C且AC_L3C則下列說法正確的是（）

A.=A/2

試卷第2頁，共10頁

B.點(diǎn)G到平面瓦C的距離為更

3

c.五面體4石尸4。1。的體積為迪

3

D.三棱柱A4G-A3C的外接球的表面積為6兀

9.如圖1所示，在四邊形ABC。中，ZABC=ZACD=~,ZCAD=y,A3=3C=2#.如圖2所示，把VA3C

26

沿AC邊折起，使點(diǎn)8不在平面AC。內(nèi)，連接80.則下列選項(xiàng)正確的是（）

圖1圖2

A.當(dāng)面ABC上面ACD時(shí)，點(diǎn)C到面ABD的距離為勺叵

5

ITT7T

B.異面直線AB與CD所成角的取值范圍為彳,彳

[42J

C.當(dāng)二面角8-AC-。的大小為g時(shí)，三棱錐3-ACD的外接球的體積為止叵

63

D.三棱錐3-ACD的外接球的表面積的最小值為64兀

___.1____

10.在棱長為2的正方體ABCD-AgG，中，E為棱CD的中點(diǎn)，R為棱A片上一動(dòng)點(diǎn)，引0=]A與，點(diǎn)

尸在平面a所內(nèi)運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（）

A.三棱錐D-GE尸的體積為定值

B.在動(dòng)點(diǎn)R由A運(yùn)動(dòng)至瓦的過程中，二面角E-R0-3先增大后減小

C.平面C,E尸截正方體ABCD-AB.QD,所得截面圖形可能是等腰梯形

D.若R為棱A4的中點(diǎn)，2P與平面GE尸所成角為則點(diǎn)尸的軌跡長度為生旦

33

三、填空題

11.若E,尸為平面上兩個(gè)定點(diǎn)，則滿足的.而為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)”的軌跡是直線，滿足屜.存=0的動(dòng)點(diǎn)N

的軌跡是圓.將此性質(zhì)類比到空間中，解決下列問題：已知點(diǎn)ABC為空間中四個(gè)定點(diǎn)，

|OB|=3|OA|=3|OC|=6,且麗西方兩兩的夾角都是60。，若動(dòng)點(diǎn)尸滿足赤?歷=12，動(dòng)點(diǎn)Q滿足

QA-QB=0,則|題|的最小值是.

12.我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖晅提出了計(jì)算體積的祖曬原理：“鼎勢既同，則積不容異”，其意思可描述為：

夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積

22

總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖，陰影部分是由雙曲線土-匕=1與它的漸近線以及直線

42

y=±4應(yīng)所圍成的圖形，將此圖形繞》軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為.

13.《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似地下車庫入口形狀的幾何體.如圖，

羨除ABCDEF中，四邊形ABCD,4珥下均為等腰梯形，AB,CD,EP互相平行，平面平面4狙尸，

梯形A3C。，ABE下的高分別為2,4,且AB=3,CD=5,EF=7,則4。與平面所成角的正切值為

異面直線AD與BE所成角的余弦值為

14.已知球。的表面積為16兀，正四面體A5CD的頂點(diǎn)&GD均在球。的表面上，球心。為△3QD的外心,

棱AB與球面交于點(diǎn)尸.若A€平面%，Be平面a2,Ce平面a3,De平面a^ajlaM(i=1,2,3)且火與

%+i(i=l,2,3)之間的距離為同一定值，棱ACAD分別與附交于點(diǎn),貝Ucos/PQR的值為—.

15.如圖，在直三棱柱ABC-中，ACJ.BC,AC=2AA，該三棱柱存在體積為三的內(nèi)切球(與側(cè)面、

0

底面均相切)，E為CC］的中點(diǎn)，R為棱8c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線斯、&F與平面A3C成角相等時(shí)，

CF=,此時(shí)四面體\B.EF的外接球表面積為.

試卷第4頁，共10頁

16.在四面體A3CD中，點(diǎn)M,N分別為ABCD,V45C的重心，過M作直線與棱即，CD交于點(diǎn)E,F,

已知麗=彳詼，DC=/dDF,則彳+"=.若四面體ABCD的體積為3,則四棱錐N-BCFE的體積最

大值為.

17.若在長方體ABCD-ABCR中，AB=3,BC=2,AA,=4.則四面體ABB?與四面體A^BD公共部分的

體積為.

18.如圖，在長方體—中，45=4,&￡>=2,">1=6,及"分別為。仁2孰的中點(diǎn)，M在平

JT

面ABC。內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且朋N與A3所成的角為在線段硬上運(yùn)動(dòng)，若。為AimC的內(nèi)心，貝IJS’MOD-S.OC

19.已知三棱錐S-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面SBC上的射影反是ASBC的垂心，

三棱錐S-ABC的體積為豆，則三棱錐S-ABC的外接球半徑等于.

JT

20.設(shè)底面為菱形且高為舊的直四棱柱488-45孰2中，已知底面邊長為正整數(shù)。且為定值，ZBAD=^,

若矩形C皿G內(nèi)的點(diǎn)E滿足AE=⑺的軌跡長度為g.設(shè)點(diǎn)尸為三棱柱ABD-的2的外接球上一點(diǎn)，則四

棱錐尸-BCQB,體積的最大值為

四、解答題

2

21.如圖1所示，直角梯形MBCD,MD//BC,BM1MD,S.MD=-BC=2,點(diǎn)A,E分別在線段

8。上，且跖1=3E=1，點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，將四邊形沿AE折起，使二面角C—AE—3的大小為6.

TT

(1)若AE=l,e=](如圖2所示)，求直線AB與平面8co所成角的正弦值；

7T

(2)若9=工，點(diǎn)。為平面ABE內(nèi)一點(diǎn)，若PQ/平面ABE(如圖3所示)，求尸Q的值；

TT

⑶若AE=l,e=5時(shí)，點(diǎn)N為線段EC的中點(diǎn)，將ADCN沿DN折起，使gCN與四邊形在平面AENZ)

的同側(cè)且平面CDNL平面AOE,點(diǎn)R為四面體內(nèi)切球球面上一動(dòng)點(diǎn)，求氏0+3氏。的最小值.

22.如圖，P-A3C是底面邊長為1的正三棱錐，D、E、R分別為棱石4、PB、PC上的動(dòng)點(diǎn)，截面DEF〃

底面ABC,且棱臺(tái)。砂-ABC與棱錐尸-ABC的棱長和相等.(注：棱長和是指多面體中所有棱的長度之

和)

(1)當(dāng)。為棱AP的中點(diǎn)時(shí)，求棱臺(tái)DM-ABC的體積；

(2)求在二面角。-3C-A的變化過程中，線段即在平面A3C上投影所掃過的平面區(qū)域的面積；

(3)設(shè)常數(shù)ae(0,方，稱較小內(nèi)角為a的菱形為a-菱形.當(dāng)點(diǎn)。在棱針上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))時(shí)，總存在底面

為a-菱形的直平行六面體，使得它與棱臺(tái)。￡戶-ABC有相同的體積，也有相同的棱長和，求a的取值范圍.

23.如圖，己知四棱錐P-ABCD的底面A3CD是平行四邊形，側(cè)面RLB是等邊三角形，

BC^2AB^2,ABLAC,PBLAC.

試卷第6頁，共10頁

(1)證明：平面2451平面ABC。；

⑵求C到平面PAD的距離；

⑶設(shè)。為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形8EQ尸是過B,Q兩點(diǎn)的截面，且AC〃平面BEQF,是否存在點(diǎn)Q,使

得平面8EQ尸與平面尸/⑦夾角的余弦值為4至；若存在，求黑的值；若不存在，說明理由.

35PD

24.已知。。：/+^=9與無軸分別相交于AB,過點(diǎn)尸(-1,0)的直線/交圓。于”,N.

(1)當(dāng)MN=4血時(shí)，求直線/的方程；

(2)當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，將圓。沿x軸折成直二面角，如圖，在上半圓上是否存在一點(diǎn)Q,

使平面ONQ與平面的夾角的余弦值為巫，若存在，求出。的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；

5

⑶在圓。上任取一點(diǎn)C,過C作無軸的垂線段C。，。為垂足，當(dāng)C在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CO的中點(diǎn)的軌跡

記為曲線T,曲線「與直線/交于G,H,直線G4與直線相交于S,S在定直線丸上，直線與直線BN

相交于T,T在定直線4上，判斷直線4，4的位置關(guān)系，并注明.

25.在平面四邊形ABCD中，AB^AC^CD=l,44。。=30。,/045=120。，將AACD沿AC翻折至△ACP,

其中尸為動(dòng)點(diǎn).

(1)設(shè)尸CLAB,三棱錐尸-ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上.

(i)證明：平面PAC_L平面A3C；

(ii)求球O的半徑

⑵求二面角A-CP-3的余弦值的最小值.

26.已知兩個(gè)非零向量。，b,在空間任取一點(diǎn)。，作福=「，OB=b^則/A08叫做向量。，方的夾角，

記作依。定義萬與萬的響量積”為：Zx方是一個(gè)向量，它與向量1,匹都垂直，它的模=B陰sin@5).

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為矩形，PD,底面ABCD,DP=DA=4,E為A￡＞上一點(diǎn)，

⑴求A3的長；

⑵若E為AD的中點(diǎn)，求二面角P-EB-A的余弦值；

⑶若M為PS上一點(diǎn)，且滿足而x麗=彳兩求㈤.

22

27.已知橢圓C:\+L=l(機(jī)＞0,相/近)橢圓C與x軸交于點(diǎn)A，4,直線/與橢圓交于"，N兩點(diǎn)(其

加5')

中點(diǎn)M在無軸上方，點(diǎn)N在x軸下方)，設(shè)直線/的方程為＞=去+6,如圖，將平面X。沿x軸折疊，使點(diǎn)”

移動(dòng)到點(diǎn)M'的位置，》軸的正半軸經(jīng)折疊后記為y',且二面角"'-44-N的大小為:

⑴折疊前,若橢圓C的焦點(diǎn)片，尸2在x軸上，且與橢圓上一點(diǎn)尸構(gòu)成三角形尸耳片，4Pg的周長為8+2?i,

直線/的方程為y=-@x+l.

4

(i)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(ii)求折疊后直線MN與平面4處所成角的大小.

(2)折疊后，是否存在定值%,對于任意6)，OAT_LQN始終成立.若存在，求出％的值；若不

存在，說明理由.

28.如圖，己知直三棱柱A3C-A4G，CA，CB,CA=C3=CG=2,點(diǎn)JF為棱CG的中點(diǎn)，點(diǎn)。、E分別為

棱用再用上的動(dòng)點(diǎn)，記平面￡)E尸與平面ABC所成角為a

試卷第8頁，共10頁

G

4

D

A

s

⑴求證：COS0=-^

、&DEF

(2)若AD=87，請完成以下兩個(gè)問題:

①求證：平面DEF，平面AB4A；

②當(dāng)角。取最大時(shí)，在平面￡>￡F與平面A3C的交線/上存在一點(diǎn)M,計(jì)算直線GM與平面ABC所成角的

正弦值的最大值.(可以使用(1)中結(jié)論)

29.如圖，四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PA±^ABCD,ZABC=60°，PA=^AB=1,E,

R分別是線段8。和尸C上的動(dòng)點(diǎn)，且BEMBD,PF=2PC(O<2<1).

(1)若EF//PA,求X的值；

(2)當(dāng);1=；時(shí)，求直線DF與平面PBC所成角的正弦值；

⑶若直線AE與線段8C交于點(diǎn)M,AH上PM于點(diǎn)、H,當(dāng)C"的長度最小時(shí)，求九的值.

ULUU1

30.從。點(diǎn)引出三個(gè)不共面的向量6,62,63,它們之間的關(guān)系和右手拇指、食指、中指相同，則這個(gè)標(biāo)架

｛。后,最磯構(gòu)成右手標(biāo)架，如圖所示.規(guī)定：為一個(gè)向量，它的長度為同卡卜in萬，石，它的方向與向量

均垂直，且使｛。;a,5zx5｝構(gòu)成右手標(biāo)架.該運(yùn)算滿足：ax(A石)=4(ax5)；(&+b)xe=axo+5xc；

八(a+5)=^xi+八萬GJ》為單位正交基底，且｛o；fj左｝符合右手標(biāo)架，以7J,?的正方向?yàn)閤軸、y軸、

z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，若?ji=;ri+W+zA,貝!］記訪=(x,y,z).

⑴證明：axB=—(5x@；

⑵已知向量西=(1,2,0)石=(1,0,3),求ZxB的坐標(biāo)表示;

(3)①三棱錐O—ABC中，國x礪=(1,2,2),歷=(2,1,2),求三棱錐O—ABC的體積％…。；

②請結(jié)合“X”與“數(shù)量積，，的幾何意義，用罰，罰，斌表示平行六面體ABC。-44G2的體積.

試卷第10頁，共10頁

《空間向量與立體幾何》參考答案

題號(hào)12345678910

答案CABBAABABDACDABDACD

1.C

【分析】根據(jù)題意利用空間向量求直線0P與平面PQR的夾角，可知結(jié)合向量運(yùn)算求模長.

【解析】由題意可得：5=(-1,0,1),而=”,-2),心=(3,1,0),

n?PQ=x+y-2z=0

設(shè)平面PQR的法向量為。=(x,y,z),則，

n?PR=3x+y=0

令x=-l,則y=3,z=l,可得為二(-1,3,1),

設(shè)直線OP與平面PQR的夾角為a

LlLUl[

uunOPn2

貝Usina=cos(OP,nuuuIr

。■向n，

,________3

由題意可知：,貝

|iMi|?uun,uunur,uuin|,uiT|JO73

l.|PO|=|(9P|=V2,PO-PS=|P(9|.|P5|cos<z=V2x-^-x-^==3,

|UIT||Uiruun?[wjn_uuff^uuuuir11

所以|oq=pS-PO|=?PS+PO-2PO-PS=J2+--6=

故選：C.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線/與平面。內(nèi)任一條直線的夾角的最小值即為直線/與平面a的夾角.

2.A

【分析】設(shè)球心為。，連接。4,OB,OC,OD,結(jié)合匕-BCD=(匕-OAB+%—OAB)+(匕-OC￡>+%—OC￡))及棱錐的

體積公式求最大值，注意取值條件.

【解析】設(shè)球心為O,連接。A,OB,OC,OD,

答案第11頁，共53頁

設(shè)點(diǎn)c、D到平面0A8的距離分別為4、久，點(diǎn)A、8到平面OCD的距離分別為％、兒,

則4+飽48=6,h3+h4<AB=8,S^OAB=1x8x3=12,SA0CD=-x6x4=12.

則^A-BCD=^O-ABC+^O-ABD+^O-ACD+^O-BCD=(YC-OAB+^D-OAB)+(%-OCD+^B-OCD)

=；SQB（4+a）+：S.z>（4+4）V；xl2x（6+8）=56,

當(dāng)且僅當(dāng)CD，平面。43,AB，平面OCD時(shí)取等號(hào).

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用匕.B8=（%.°AB+bw）+（Go?+Loco），結(jié)合點(diǎn)C、。到平面OAB的距離和

%+&VCr>=6,點(diǎn)A、B到平面OCD的距離和4+/74442=8為關(guān)鍵.

3.B

［分析】將四面體ABC。補(bǔ)形為直三棱柱ABE-FCD,設(shè)CD=x,b=y,由匕=V=—可得

A~BDCL,DUFr—BDC（^LDf2

沖=9,在RtAOCO?中，由勾股定理可得R2=l+gr>產(chǎn)，利用余弦定理和基本不等式求解.

【解析】依題意，可將四面體ABCD補(bǔ)形為如圖所示的直三棱柱ABE-PCD.

因?yàn)锳3與CD所成的角為60°.所以/DCF=60°或120。.

設(shè)CD=x,CF=y,外接球半徑記為R,外接球的球心如圖點(diǎn)。.

易知AF//平面BCDE,所以點(diǎn)A到平面BCDE的距離等于點(diǎn)尸到平面BCDE的距離，

于是匕be。=：x2x］；孫sin600］=手孫=￥,所以xy=9.

DJ\乙JU乙

1,

22DF2

在RtAOC6>2中,R=OC=OOl+COl=1+=1+-DF,

2smZDCF3

在VC￡）/中，由余弦定理得。尸=/+y2—2A；ycosNDCT,

顯然當(dāng)/DCP=60°時(shí)，外接球的半徑會(huì)更小，此時(shí)。尸2=1+必-孫，

所以店=I+；（V+y2-xy^>\+^{2xy—xy^=l+-^xy=4,

所以R?2,故它的外接球半徑的最小值為2.

故選：B.

答案第12頁，共53頁

D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將四面體48。0補(bǔ)形為直三棱柱ABE-尸CD,轉(zhuǎn)化為求直三棱柱外接球

半徑的最小值.

4.B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用空間位置關(guān)系的向量證明可得A正確，再由線面角的向量求法計(jì)算可得

B錯(cuò)誤，確定直三棱柱ABC-4片和的外接球球心位置可計(jì)算半徑為26，即C正確，利用異面直線向量求

法求出直線8。與直線斯所成角最小時(shí)點(diǎn)。的位置，可判斷D正確.

【解析】因?yàn)锳BC-A與G是直三棱柱，所以平面A8C,

又A8,ACu平面ABC,所以用_L_LAC,又/BAC=90°，即

因此AB,AC,44,兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，人氏4（7,441所在直線分別為％,%2軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如下圖所示：

對于A,又AB=AC=AA=4,所以E（2,2,0）,尸（0,2,4）,可得訪=（-2,0,4）,

顯然平面AA48的一個(gè)法向量為歷=（0,1,0）,

所以麗?蘇=0，又EFO平面招用臺(tái)，所以EF//平面相臺(tái)出，即A正確;

對于B,易知平面A3C的一個(gè)法向量為為=（0,0,1）,

設(shè)直線EV與平面ABC所成的角為。，

?—.I閡詞42A/5

所以sin*k°s即同=房=公西=亍

答案第13頁，共53頁

因此直線EP與平面ABC所成角的正弦值為也，余弦值為好，即B錯(cuò)誤；

55

對于C,因?yàn)椤B=AC=4,/BAC=90°，所以VABC為等腰直角三角形，所以其外接圓圓心為AC的中

點(diǎn)，外接圓半徑為2百；

因此可得直三棱柱ABC-A與G的外接球球心即為CC//的中心。，易知OE=2,

則外接球半徑為=y/AE2+OE2=42應(yīng)『+22=2瓜因此C正確;

對于D,易知8（4,0,0）,4（4,0,4）,G（0,4,4）,所以4G=（—4,4,0）,

由。在線段4G上，可設(shè)麗=幾陪=（—U,440）,其中4e[0,l],

所以詼=鬲+RJ）=（0,0,4）+（T442,0）=（T/L,42,4）,

因此直線3。與直線EP所成的角的余弦值為

EFBD8（X+2）X+2小歸+42+4

jcosEF,B￡）|=

EF\\BD2氐，16+32萬01+2萬5V222+1

A/5h2+42+4

Ty222+1

令函數(shù)/（上年*,北[。4可得「㈤

易知當(dāng)Xe0,；，，/'（2）>0,當(dāng)2e&，l時(shí)，尸（#<0，

因此/（彳）在0,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)2時(shí)，/（幾）取得最大值，再結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性可得此時(shí)直線即與直線即所成的角最小,

因此麗=；瓦C，即[瓦4=應(yīng)，

因此線段8。長為攻?+后°=3近，即D正確.

故選：B

答案第14頁，共53頁

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用空間向量法得到線線角余弦值表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)求出其

最值.

5.A

【分析】設(shè)三個(gè)圓錐的高分別為4,h2,h3.母線與軸線的夾角為6,分別表示出三個(gè)圓錐的體積以及側(cè)

2|3

1+

J(1+1)3

面積，利用匕=%+匕,州=邑+$3可化簡得至簡-------A，構(gòu)造函數(shù)/(%)=利用導(dǎo)數(shù)求

(1+尤3尸

1+

出最大值即可.

【解析】設(shè)三個(gè)圓錐的高分別為4,h2,h3,底面半徑分別為小

母線長分別為4，4,4,母線與軸線的夾角為，,

11jr

則K=§冗片％=—兀(4tan。)2?4=§.tan20,

jTtr^h2=；兀色tan0)2,色=1偌tan20,

匕=

gTir^hy=；兀(％tan。產(chǎn).勿=；后tan20,

K=

由匕=匕+匕，得用=優(yōu)+￡,

n

Sl=兀"1=7i?("tang)?——=叫?ta],

cos。cos。

tan

S2=71rli2-7i?(/^tan^)->-=冗后^.

cos。cos。

n

S3=叫4=7i??%-=兀后ta°,

cos。cos。

由aSx=S2+S3可得的2=%+后，

令"x)=靄]”e(O,s),得尸(x)=6x(：x):7)

U+x)(1+x)

令/'(x)>0,解得xe(O,l)；令/'(x)<0,解得尤e(l,+oo),

答案第15頁，共53頁

故，(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

所以/⑴=2,故/V2,故。2=蚯.

故選：A

xe(O,”)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

6.AB

【分析】利用中位線定理結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得到4N〃MC,再結(jié)合線面平行的判定定理判斷A,將立

體圖形展開為平面圖形，利用勾股定理求解不同路徑的長度再進(jìn)行比較判斷B,利用線面垂直的性質(zhì)得到

B.CVCP，再結(jié)合三線合一性質(zhì)得到cc=c蜴，發(fā)現(xiàn)其與題干矛盾判斷C,結(jié)合題意證明軌跡所成圖形

的面積小于球的表面積的十二分之一判斷D即可.

【解析】對于A,如圖所示，因?yàn)镸,N分別為AC，AC的中點(diǎn)，

45

所以a/〃NC,AM=NC,則四邊形4NCM是平行四邊形，得到AN〃MC,

又ANC平面MCu平面MC耳，即AN〃平面MCM，故A正確;

對于B,將底面與側(cè)面BCCR沿棱C.B,旋轉(zhuǎn)展平，

如圖，作崢皿。，結(jié)合等邊三角形性質(zhì)得匹=2=

答案第16頁，共53頁

A

將側(cè)面ACQA,與側(cè)面BCC固沿棱CG旋轉(zhuǎn)展平，如圖，作BC,

易得MQ=1,BQ=1+2,

由勾股定理得MB=7（1+2）2+12=V10，

因?yàn)椤?若＜而，所以沿該三棱柱的表面從點(diǎn)"

到達(dá)點(diǎn)B的最短路徑的長為,4+指,故B正確；

對于C,如圖，分別取用G，2。的中點(diǎn)G,。，連接AG,GO,〃O，G。,

因?yàn)锳"http://CG〃GO,\H=GO,所以四邊形A"OG是平行四邊形，

則4G//ao,因?yàn)檎庵?G，平面BCGM，且B|Cu面3CG4，

所以AGJ_呂C,故HO_L8C，若尸C=p耳，則POJ_MC,

又POcHO=O,且尸O,HOu面〃G。，則4C_L平面〃G。，

而CQu面"C0,則因?yàn)椤?。的中點(diǎn)，所以CC=G4,

與CG=1，與。=2矛盾，故c錯(cuò)誤；

答案第17頁，共53頁

對于D,因?yàn)镸J■底面ABC,A0u面ABC,所以AA^AQ,

如圖，設(shè)尸。的中點(diǎn)為T,由PQ=2,可得AT=1，

jr

又/胡C=§,所以T的軌跡所形成的圖形的面積S小于

11JT

以A為球心，以1為半徑的球面的白，即5<4萬產(chǎn)、==，故D錯(cuò)誤.

12123

故選：AB

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是判斷軌跡圖形的面積小于球的表面積，然后求出球的表面積，得到所要

求的結(jié)論即可.

7.ABD

【分析】利用平行線的性質(zhì)結(jié)合給定條件判斷底面積和高都是定值來處理A,利用圓的定義結(jié)合夾角求解

軌跡來處理B,利用三角形外心和向量數(shù)量積的性質(zhì)判斷C,將三角形翻折后，利用勾股定理和余弦定理判

斷D即可.

【解析】對于A,如圖，取。D靠近。的三等分點(diǎn)為N,DC靠近。的三等分點(diǎn)為

連接CD、,MN,

。Ci

因?yàn)?+〃=g,所以3幾+3〃=1,

^DN=^DD^,DM=^DC,而麗=4就+〃西，

貝U麗=32兩'+3〃兩，得到。eMN,

因?yàn)椤靠近。的三等分點(diǎn)為N,DC靠近。的三等分點(diǎn)為"，所以MN//CR,

而由直四棱柱性質(zhì)得A4,LAB,

答案第18頁，共53頁

而AB=M=2,由勾股定理得班=>/22=2&,

在直四棱柱ABS—ABIGQ中，A.DJ/BC,A2=8C,

得到四邊形42c3是平行四邊形，故網(wǎng)//CR,

則BA//MN,由題意得尸為CG的中點(diǎn)，則AA/P的面積是定值,

而MNU面ABP,即u面A|BP,所以肱V〃面A[BP,

結(jié)合QeMN,由線面平行性質(zhì)得Q到面\BP的距離為定值，

即四面體4BPQ的體積為定值，故A正確，

對于B,如圖，在面AMCQ中，過A1作4KLGA，連接K。,

由直四棱柱性質(zhì)得。21面4田62,則DD、±AK,

而DD,cCQ=Di,DDi，GRu面DDgC,

故AK,面￡>￡>℃,則AKJ.KQ,

而面ABC。為菱形，則面AQGA為菱形，

因?yàn)锳B=A4=2,所以AQ1=2,

因?yàn)?54。=60。，所以N〃A4=60。，則NKQA=60。，

由銳角三角函數(shù)定義得竺二且，解得AK=K,由勾股定理得RK=I,

22

因?yàn)锳Q=6，所以由勾股定理得KQ=J(否)2-(6)2=應(yīng),

則。在以K為圓心，點(diǎn)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)該圓與交于43,與CA交于4，

1_A/2

由三角函數(shù)定義得cos/。陋?jiǎng)t？2545。，

&.一2

即點(diǎn)。的軌跡為一段圓弧，故B正確，

對于C,如圖，作O/71A8,由題意得△ABQ的外心為。，故H是48的中點(diǎn),

答案第19頁，共53頁

4

H"

由已知得司3=2血，因?yàn)椤1AB,所以南.邛=0,

而“.郎=率.（而+砌=卒.卡+和率，

------------?1-----?-----?1-----d1I-----J21

=AB-4^=-ABAB=-AB=--|4B|=--8=4,故c錯(cuò)誤,

1__,__,1___.

對于D,若九=1且〃=5,此時(shí),

—.1___.1__

因?yàn)槭瑸镃G的中點(diǎn)，所以CP=5CG=]￡>A，

由向量加法法則得質(zhì)=成+而，故而=覺+:*，

則點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，此時(shí)把AB沿著A,B翻折，

如圖，使得A，43,P四點(diǎn)共面，此時(shí)AE+EQ有最小值”，

此時(shí)的點(diǎn)均為翻折過的點(diǎn)，因?yàn)槭瑸镃G的中點(diǎn)，所以CP=C7=I,

由勾股定理得32=亞。=^，如圖，連接AG，

由已知得NRABI=60。，則ZQB.A,=120°,

102.r\2_A「2

由余弦定理得-上=小,解得AG=，

22x2x2

由直四棱柱性質(zhì)得CG，面A4G2，則CG,

則由勾股定理得AP=7（2A/3）2+I2=V13，

答案第20頁，共53頁

222

則BP+AtB=AtP,故NPB4=900,

而AB=AA=2,則NA%=45。，得到NP54=135。,

由余——

解得AP=,9+2質(zhì)，故D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)所給條件結(jié)合線面位置關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合錐體體

積公式，空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化解決問題即可.

8.ACD

【分析】A項(xiàng)，設(shè)出直三棱柱的高，建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)各點(diǎn)坐標(biāo)，求出面CE戶的法向量，即可得

出結(jié)論;B項(xiàng)，利用等體積法即可求出點(diǎn)G到平面EFC的距離;C項(xiàng)，利用作差法即可求出五面體AEFBgC

的體積；D項(xiàng)，求出外接球的位置和半徑，即可得出三棱柱A4G-A3c的外接球的表面積.

【解析】由題意，

在直三棱柱ABC中，CG，面ABC,面ABC,

ACu面A3C,BCu面ABC,

直線AB與平面BIBCG所成角為45°,

/.AC±CQ,BC1CQ,BC±BB,,/ABC=45。，

在VABC中，AB=2,AC^BC,

：.ZABC=ABAC=45°,ZACB=90°,

A5r~

...VA3c是等腰直角三角形，AC=BC=j==y/2,AC1BC,

建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)直三棱柱高為z°,

（0,0,0）,網(wǎng)后,0,0）,C（0,0,0）,￡?[*，￥,0,《0,拒,;

Z。，《60,；z。

Zo）,q（"O,Zo），G（O,O,z。）

答案第21頁，共53頁

EF=(V2,-72,0),CF=[V2,0,1z0j,Oq=_V2_V2]

在面CEF中，設(shè)其一個(gè)法向量為而=(%，%，zj,

y/2x-y/2y=0

EFn-0li

一，即-20

r1，解得：＜

CF-n=Q72%]+—ZQZI—0Z1-x\

zo

當(dāng)番=_也時(shí),3=西,

2I22z0J

2L

一=zo,解得：z=v2,

z°0

故A正確；

B項(xiàng)，連接GE,GF,CD,

秀B

由幾何知識(shí)得，BF=AE=—,EF=AB=2,CD=AD=BD=-AB=1,

22

AE=AiE=^AAi=^,A4,=CC]=e,

在VBC「中，NCBF=90°,

由勾股定理得，CF=JBC2+BF=叵,

2

在八4。￡中，同理可得，CE=CF=^,

2

在△0的中，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G,

則G是EF的中點(diǎn)，也是矩形A3d4對角線交點(diǎn)，連接CG,

答案第22頁，共53頁

c

在ACEG中，EG=FG=-EF=l,

2

由勾股定理得，CG=ylCE2-EG2=—,

2

設(shè)點(diǎn)G到平面EFC的距離為d,

點(diǎn)G到平面AB4A的距離為4,

4=CD=1,

ACBC

2

匕1-4瑪位=^AEEF4=-x—x2xl=—,

1714Z7Z7Z7rn10010

VrARPr=—AE-EF-CD=—x--x2x1=---，

C-ABFE3323

「

VcCEF=%BC—ABC~^Ci-AiBiFE~^C-ABFE=

…1等邛〃等

解得:t

故B錯(cuò)誤;

C項(xiàng)，五面體HE冉GC的體積為：VABC_A、B、C〕VJABFE=丘一號(hào)=手，

故C正確;

D項(xiàng)，由幾何知識(shí)得，AC=CC]=ACI=M=^,ZACC,=90°,

四邊形ACGA為正方形，設(shè)正方形ACG4中心H,

G是EF的中點(diǎn)，也是矩形對角線的交點(diǎn)，

所以8是CA的中點(diǎn)，

G是BA的中點(diǎn)，所以GH//BC,

因?yàn)锽C_L平面ACG4,所以GH_L平面ACQA,

所以點(diǎn)G在過正方形ACGA中心A,平面ACC.A的垂線上，

答案第23頁，共53頁

???點(diǎn)G到正方形ACC,A的四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等，^GA=GAi=GC=GC,,

在矩形A41gB中，由幾何知識(shí)得，點(diǎn)G到矩形441g/的四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等，有GAMGAMGBMG片,

所以點(diǎn)G為球心，點(diǎn)G到各頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，

三棱柱ABC-ABC的外接球的半徑為逅,

2

???三棱柱AB。-A