專題2-2三次函數(shù)圖像與性質(zhì)

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

考查頻率：三次函數(shù)圖像與性質(zhì)的考查在近五年高考

年甲卷(文),

2024中保持一定頻率，尤其在新課標(biāo)全國卷中較為常見。

第題分

16,5考點(diǎn)內(nèi)容：主要考查三次函數(shù)的圖像特征(如中心對(1)理解三次函數(shù)的定義

稱性、開口方向)、單調(diào)性(通過導(dǎo)數(shù)分析)、極值域、值域和圖像特點(diǎn)。

2024年新高考I點(diǎn)(一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn))以及圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用。(2)掌握三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

卷，第10題,6分題型分布：常以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，與單調(diào)性關(guān)系。

涉及三次函數(shù)的零點(diǎn)、最值、極值、單調(diào)區(qū)間等具體(3)判斷三次函數(shù)的極值

問題。點(diǎn)及其個(gè)數(shù)。

2024年新高考II難度變化：隨著高考改革的深入，對三次函數(shù)圖像與(4)探究三次函數(shù)圖像與x

卷，第11題,6分性質(zhì)的考查更加注重學(xué)生的綜合分析能力和解題技軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

巧，難度可能略有提升。(5)熟練運(yùn)用三次函數(shù)的

備考建議：考生應(yīng)熟練掌握三次函數(shù)的基本性質(zhì)，靈對稱中心性質(zhì)。

2022年新高考I活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行分析，同時(shí)注重題目類型的多樣

卷，第10題,5分性和綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)。

模塊一熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1】求三次函數(shù)的解析式

【題型2】三次函數(shù)的單調(diào)性問題

【題型3】三次函數(shù)的圖像

【題型4】三次函數(shù)的最值、極值問題

【題型5】三次函數(shù)的零點(diǎn)問題

【題型6】三次函數(shù)圖像，單調(diào)性，極值，最值綜合問題

【題型7】三次函數(shù)對稱中心

【題型8】三次函數(shù)的切線問題

【題型9】三次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系

模塊二核心題型?舉一反三(講與練)

【題型11求三次函數(shù)的解析式

/核心?技巧/

(1)一般式：f[x)=axi+bx2-+cx+d(〃豐0)

(2)交點(diǎn)式：/(x)=a(x-^x-x^x-x^(〃羊0)

1.若三次函數(shù)外力滿足/(。)=。"⑴=1,0(。)=3,4⑴=9,則〃3)=()

A.38B.171C.460D.965

【題型2】三次函數(shù)的單調(diào)性問題

核心?技巧

三次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，其考點(diǎn)廣泛且深入，主要涉及函數(shù)的性質(zhì)、圖像、最值、

零點(diǎn)以及與其他函數(shù)的綜合應(yīng)用等方面。以下是對三次函數(shù)常見考點(diǎn)的詳細(xì)分析：

1.三次函數(shù)的定義與形式

?定義：形如_/（x）=ax3+6x2+cx+d（其中“豐=0）的函數(shù)稱為三次函數(shù)。

?形式：注意系數(shù)a,4c,d的作用，特別是。的正負(fù)決定了函數(shù)的開口方向（a>0開口向上，

a<0開口向下）。

2.函數(shù)的單調(diào)性

?導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)/（x）=3ax2+2bx+c判斷函數(shù)的單調(diào)性。解不等式了（x）>0和7（x）<0得到函

數(shù)的單調(diào)遞增和遞減區(qū)間。

?極值點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)等于o的點(diǎn)（y（x）=o）可能是極值點(diǎn)，需結(jié)合單調(diào)性判斷是否為極大值或極小

值點(diǎn)。

2024?廣東茂名市?一模

2.（多選）若/（x）=—3*3+；*2+2工+1是區(qū)間（機(jī)―1,加+4）上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)用的值可

以是（）

A.-4B.-3C.3D.4

【鞏固練習(xí)】三次函數(shù)=3r在（_QO,+QO）上是減函數(shù)，則加的取值范圍是（）

A.m<0B.m<lC.m<0D.m￡1

【題型3】三次函數(shù)的圖像

當(dāng)a>0時(shí)，x趨近于+co,則#尤）趨近于+co;x趨近于-oo,則力尤）趨近于-00。

當(dāng)。<0時(shí)，x趨近于+oo,則/（尤）趨近于-oo；x趨近于-co,則段）趨近于+co。

又因?yàn)?尤）是連續(xù)的函數(shù)，且xWR,所以力的的值域?yàn)镽。

由于三次函數(shù)的值域?yàn)镽,則它的函數(shù)圖像與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，換句話說三次方程至少有一個(gè)

根。

3.設(shè)awO,若。為函數(shù)〃%）=々（%-。）2（%-匕）的極大值點(diǎn)，則（）

A.a<bB.a>bC.ab<alD.ab>a2

4.（2024?全國一卷真題）（多選）設(shè)函數(shù)“X）=（兀-1）2（%-4）,貝U（）

A.元=3是/（幻的極小值點(diǎn)B.當(dāng)Ovxvl時(shí)，/（x）</（x2）

C.當(dāng)lvxv2時(shí)，-4</（2x-l）<0D.當(dāng)一1<%<0時(shí)，/（2-x）>/（x）

【鞏固練習(xí)1】（多選題）（2024.湖北武漢?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)尤）=；/-2/+2%,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.存在實(shí)數(shù)%使得〃%）=尸（%）B.方程〃x）=3有唯一正實(shí)數(shù)解

C.方程/'（力=-1有唯一負(fù)實(shí)數(shù)解D./（力=1有負(fù)實(shí)數(shù)解

【鞏固練習(xí)2】（2024?全國甲卷（文）真題）曲線y=d-3x與y=+。在（0,+8）上有兩個(gè)不同

的交點(diǎn)，則。的取值范圍為.

【題型4】三次函數(shù)的最值、極值問題

核心?技巧

三次函數(shù)的極值與最值

?極值：通過導(dǎo)數(shù)等于0找到可能的極值點(diǎn)，并判斷其類型（極大值或極小值）。

?最值：在閉區(qū)間上，最值可能出現(xiàn)在端點(diǎn)或極值點(diǎn)處。需比較這些點(diǎn)的函數(shù)值來確定全局最

值。

5.已知三次函數(shù)/（無）=!"3+。/+尤+。無極值，且滿足。+.V8,貝1]/一62=____.

3b

6.已知三次函數(shù)/）=：/一（4機(jī)―1）/+（15M2—2%—7）x+2在定義域R上無極值點(diǎn)，則他的取值

范圍是（）

A.m<2或機(jī)>4B,加22或%V4

C.2<m<4D.2</n<4

【鞏固練習(xí)1】己知三次函數(shù)/（%）=彳3+涼+cx+d,其導(dǎo)函數(shù)為了'⑺，存在fe（l,4）,滿足

=/?）=/'⑺=0.記“X）的極大值為則M的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)2】（2024.全國.模擬預(yù)測）已知三次函數(shù)〃司=2/+依2+6X+I的極小值點(diǎn)為人極大

值點(diǎn)為2b,則a+b等于（）

A.472B.-472

C.±4^/2D.±5A/2

【題型5】三次函數(shù)的零點(diǎn)問題

嬴、?贏7

三次方程/(X)=0的實(shí)根個(gè)數(shù)

設(shè)三次函數(shù)/(x)=ax3+bx2+cx+d(a^0)

其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):/■'(》)=3G?+2bx+c(a0),

(2)若從一3四＞0,且/(西)"(芍)＞。,則f(x)=。恰有一個(gè)實(shí)根；

(3)若廬—3ac＞0,且/(占)"(%)=0,則f(x)=。有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

(4)若片一3砒＞0,且/(%)"(2)＜0,則f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根.

說明:⑴⑵“X)=0含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線y=/(%)與X軸只相交一次，即/(無)在R上為單

調(diào)函數(shù)(或兩極值同號)，所以廿一3農(nóng)40(或/一3呢＞0,且〃不)"(%)＞。);

(5)f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線y=/(x)與無軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所

以廿一3改＞0,且/(西)"(%)=0；

(6)/(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線＞=/(無)與X軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即/(X)有一個(gè)極

大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號.所以一3a＞0且/(西)"?*。.

7.(2023?全國?高考真題)函數(shù)/口)=/+如+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.(-℃,-2)B.(^?,-3)C.(T,T)D.(-3,0)

8.已知三次函數(shù)八%)有三個(gè)零點(diǎn)小巧，不，且在點(diǎn)(4/(動(dòng))處切線的斜率為匕1=123),則

111

—+——+——=

k]k2k3

9.已知加，〃，peR,若三次函數(shù)/(X)=X3+如2+m+P有三個(gè)零點(diǎn)〃，b,c,且滿足

3111

/(-l)=f(l)<^,〃0)=/(2)>2,則上+；+上的取值范圍是()

2abc

A.S'l)CI*］D.

【鞏固練習(xí)1】已知三次函數(shù)的零點(diǎn)從小到大依次為優(yōu)，0,2,其圖象在尤=-1處的切線/經(jīng)過

點(diǎn)(2,0),則加=()

B.-2

32

【鞏固練習(xí)2】(2024?全國?一模)已知三次函數(shù)70)=%尤3+仿/+<?］戈+1,g(x)=a2%+b2x+c2x+d

(6的W0),且f(x)有三個(gè)零點(diǎn).若三次函數(shù)p(x)=3/(x)+g(x)和q(x)=/(x)-g(x)均為R上的單調(diào)函

數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)均有零點(diǎn)，則g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)或3個(gè)

【鞏固練習(xí)3】已知…，晨d,為三次函數(shù)’其圖象如圖所示若y"(g(x))f

有9個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍是.

A

X

【鞏固練習(xí)4］已知三次函數(shù)/(%)=、+"2一3/x+b(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，若方程尸"(創(chuàng)=。有四個(gè)

實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的范圍為()

\[630

守'丁

【題型6】三次函數(shù)圖像，單調(diào)性，極值，最值綜合問題

10.（24-25高三上?云南?階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)元）=V一3%+2,則（）

A.〃尤）有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.點(diǎn)（0,2）是曲線y=/（x）的對稱中心

C.無）有三個(gè)零點(diǎn)

D.直線＞=0是曲線y=/（x）的一條切線

11.（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=V+辦2+bx+c下列結(jié)論中正確的是（）

A.若r（x0）=0,則X。是/（X）的極值點(diǎn)

B.3X0GR,使得〃X0）=0

C.若與是Ax）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間尤。）上單調(diào)遞減

D.函數(shù)＞=/（x）的圖象是中心對稱圖形

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)〃了卜加+蘇+⑦+刈。,"c,deR）的圖像如圖所示，則a+6+c的取值范圍

是.

【鞏固練習(xí)2】（23-24高三?廣東清遠(yuǎn)?期末）（多選）已知函數(shù)/（%）=，-3尤+4,xe[0,2],則下列選

項(xiàng)中正確的是（）

A.Ax）的值域?yàn)閇2,6]

B./（X）在x=l處取得極小值為2

C.Ax）在[0,2]上是增函數(shù)

D.若方程/(x)=。有2個(gè)不同的根，則“e［2,4］

【鞏固練習(xí)3】2024?金華聯(lián)考模擬(多選題)已知函數(shù)/(x)=gx3-4尤+4(xe［0,3］),則()

A.函數(shù)AM在區(qū)間。2］上單調(diào)遞減

B.函數(shù)Ax)在區(qū)間［0,3］上的最大值為1

C.函數(shù)/(%)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為y=-3x+1

D.若關(guān)于X的方程〃x)=a在區(qū)間［0,3］上有兩解，則

【題型7】三次函數(shù)對稱中心

核心?技巧

二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)即為對稱中心橫坐標(biāo)，即/"(不)=0則(%,/(%))為函數(shù)/(%)的對稱中心

bb

設(shè)三次函數(shù)/'(尤)=63+6/+cx+d(aw0),則對稱中心是；(---，/(------))

3a3a

三次函數(shù)#x)的對稱中心為(/，k),則/(r-x)+/(r+x)=2%

12.已知三次函數(shù)〃"=2/+加+6x+l的極小值點(diǎn)為6,極大值點(diǎn)為如貝然+人等于()

A.472B.一4應(yīng)

C.±472D.±5^/2

13.人們在研究學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)：三次整式函數(shù)f(x)都有對稱中心，其對稱中心為(％,/(%))(其

中/"(尤0)=。).已知函數(shù)/(無)=尤3-3彳2+4%+5.若fO)=4,/(〃)=10,則〃/+〃=()

3.

A.1B.—C.2D.3

2

14.己知一元三次函數(shù)對稱中心的橫坐標(biāo)為其二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).若/(X)=X3-3X2+3X+1,則

15.(2024.全國2卷?高考真題)(多選)設(shè)函數(shù)/。)=2三-3爾+1,則()

A.當(dāng)時(shí)，Ax)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時(shí)，x=0是/（x）的極大值點(diǎn)

C.存在。，6,使得x=b為曲線y=/（x）的對稱軸

D.存在。，使得點(diǎn)。，/⑴）為曲線y=/（x）的對稱中心

16.對于三次函數(shù)/（力=加+京+6+4（"0）,給出定義:尸（1是函數(shù)y=〃x）的導(dǎo)數(shù),/ff（x）

是函數(shù)/（無）的導(dǎo)數(shù)，若方程/（力=0有實(shí)數(shù)解%,則稱&,/（%））為函數(shù)y=的“拐點(diǎn)”.

某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”

749

就是對稱中心.若函數(shù)〃尤）=；丁-尤2_12尤+一，則下列說法正確的是（）

36

137

A.〃x）的極大值為多

O

B./（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)是〃尤）的對稱中心

D.表卜《急1+4翥卜/噩］=4046

【鞏固練習(xí)1】已知三次函數(shù)/（X）=X3+2X-1,若再+無2=。，則〃下）+〃馬）=.

【鞏固練習(xí)2】己知所有的三次函數(shù)〃"=加+加+9+/"0）的圖象都有對稱中心卜而

右函數(shù)y(x)=—x+3x,則，［20231+，］2023J［20231+4045V

2023廠

【鞏固練習(xí)3】（2024.四川成都.模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)/a）=V+x+l,則（）

A.Ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.Ax）有一個(gè)零點(diǎn)

C?點(diǎn)（0,1）是曲線y=/（x）的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=/（x）的切線

【鞏固練習(xí)4】（多選題）（2024?江蘇?模擬預(yù)測）已知三次函數(shù)/5）=加+/+5-1,若函數(shù)

g（x）=/（-尤）+1的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對稱，且g（-2）<0,則（）

A.a<0B.g（無）有3個(gè)零點(diǎn)

C.7(%)的對稱中心是(-1,0)D.12a—4Z?+cvO

【題型8】三次函數(shù)的切線問題

核心?技巧/

一般地，過三次函數(shù)f(無)圖象的對稱中心作切線L,則坐標(biāo)平面被切線和函數(shù)的圖象分割為四個(gè)區(qū)

域，有以下結(jié)論：

(1)過區(qū)域I、IV內(nèi)的點(diǎn)作/(X)的切線，有且僅有3條；

(2)過區(qū)域II、III內(nèi)的點(diǎn)以及對稱中心作的切線，有且僅有1條；

(3)過切線L或函數(shù)/(無)圖象(除去對稱中心)上的點(diǎn)作了(無)的切線，有且僅有2條.

17.已知函數(shù)/(尤)=加+加-3X(4,。€/?)在點(diǎn)(11(1))處的切線方程為了+2=0.若經(jīng)過點(diǎn)

M(2,〃z)可以作出曲線y=/(x)的三條切線，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

18.(多選題)(2024?山西晉中?二模)對于三次函數(shù)/(力=加+涼+0：+1(<7H0),給出定義：設(shè)

/'(X)是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，尸⑺是函數(shù)((X)的導(dǎo)數(shù)，若方程/"(x)=0有實(shí)數(shù)解%,則稱

(%,/(%))為函數(shù)y=/(x)的“拐點(diǎn)某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任

何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.若函數(shù)〃X)=gx3一;尤2+尤+6色€口)，

則()

A.一定有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.函數(shù)y=/(x)在R上單調(diào)遞增

C.過點(diǎn)(0⑼可以作曲線y=/(x)的2條切線

D.當(dāng)6=，時(shí)，/——+/——+/——++/——=2022

12（2023）U023J（2023）（2023）

【鞏固練習(xí)1】（2022?新高考一卷真題）（多選）已知函數(shù)/（刈=丁-x+1,則（）

A.f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f（x）有三個(gè)零點(diǎn)

C?點(diǎn)（0,1）是曲線y=/（尤）的對稱中心D.直線y=2尤是曲線y=/（x）的切線

【鞏固練習(xí)2］（多選題）（山東省棗莊市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

/（X）=（X-1）3-（U-Z7+1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)“=3時(shí)，若/（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍為（-4,0）

B.若/⑴滿足〃2-2=3-/⑴，則a+b=-i

C.若過點(diǎn)（2,〃。可作出曲線8（%）=〃耳-3%+依+/的三條切線，則-5<-4

D.若/（尤）存在極值點(diǎn)%,且〃占），其中七片網(wǎng)，則%+2%=3

【鞏固練習(xí)3】（多選題）下列關(guān)于三次函數(shù)〃力=加+涼+5+1（4工0乂左?2敘述正確的是（）

A.函數(shù)的圖象一定是中心對稱圖形

B.函數(shù)/⑴可能只有一個(gè)極值點(diǎn)

C.當(dāng)無時(shí)，/（X）在尤=不處的切線與函數(shù)y=/（x）的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)

D.當(dāng)天/-9時(shí)，則過點(diǎn)卜。,/（5））的切線可能有一條或者三條

【題型9】三次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系

/核心?技巧/

三次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系：對于/（%）=?+加+c%+d,若/（%）=?有3個(gè)交點(diǎn)工1，%2，兀3，則

方程辦3+樂2+5+2=/可以寫為4（%一%）（%一％2）（%一%）=。，

2XXX

展開后得以3_Q(%]++X3)X+〃(玉]2+玉%3+23)~〃%1工2工3=0