專題03不等式

題型一：等式與不等式性質的應用?易錯點：忽略不等式變號的前提條件

題型二：有關一元二次不等式求解

氣易錯點：遺漏一元二次方法求解的約束條件

集問題

題型三：基本不等式最值問題6、易錯點：遺漏連續使用基本不等式前提條件吻合性

易錯點一：忽略不等式變號的前提條件(等式與不等式性質的應用)

1.比較大小基本方法

方法

關系做差法做商法

與0比較與1比較

a>ba-b>0@>1(〃，人>0)或@<l(a,b<0)

bb

a=ba—b=0q=is片o)

b

a<ba-b=O—<l(a,b>0)^―>l(a,b<0)

bb

2..等式的性質

(1)基本性質

性質性質內容

對稱性a>b<a^a<b<=>b>a

傳遞性a>b,b>c=>a>c；a<b,b<c=>a<c

可加性a>b<^a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^>ac>bc；a>b,c<0^>ac

同向a>c,c>d^>a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>0,c>d>0^>ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>O,neN^=>an>bn

類型1.應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，解題時要做到言必有據，特別提醒的是

在解決有關不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.

類型2.比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函數的

單調性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大??；（4）下結論.

作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個正數的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結論.

其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于。或1比較大

小.

作差法是比較兩數（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數（式）均為正數，且是幕或者因式

乘積的形式，也可考慮使用作商法.

易錯提醒：（1）一般數學結論都有前提，不等式性質也是如此.在運用不等式性質之前，一定要準確把握前

提條件，一定要注意不可隨意放寬其成立的前提條件.

（2）不等式性質包括“充分條件（或者是必要條件）”和“充要條件”兩種，前者一般是證明不等式的理論基礎，后

者一般是解不等式的理論基礎.

■

例.“Ovavb”是“一的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由。<。<6,則’成立，充分性成立；

ab

由,>1，若〃=1力=-1,顯然0<。<人不成立，必要性不成立；

ab

所以“0<4<6”是“工>上的充分不必要條件.

ab

故選：A

變式L已知a>b>0,則下列關系式正確的是（）

A.若c>0,則a。〉/?。B.若c>0,則

ab

C.若c>0且cwl,則c"><?D.若c<0,則|聞<匠|

【答案】A

【詳解】A選項，因為c>0,故y=在（O,+e）上單調遞增，

因為a>6>0,所以優>6。，A正確；

11fn

B選項，因為所以0<L；,因為c>0,所以B錯誤;

abab

C選項，若0<c<l,則y=c*在R上單調遞減，

因為d>b>0,所以c"vc“，C錯誤；

D選項，因為a>Z?>0,所以同〉網，

因為cvO,則M>0,故㈤>國，D錯誤.

故選：A

變式2.對于實數〃，b,c,下列結論中正確的是（）

A.若。>人則。。2>歷2B.若則工〉!

ab

C.若。<b<0,則：<—D.若—>—,則〃/?<0

baab

【答案】D

【詳解】解：對于A：c=。時，不成立，A錯誤；

對于B：若〃>力>0,則,<!，B錯誤；

ab

對于C：令〃=-22=-1,代入不成立，C錯誤；

對于D：若。>人，—>7,則〃>0,b<Q,則D正確；

ab

故選：D.

變式3.已知〃，仇x均為實數，下列不等式恒成立的是（）

A.若"b,則。2024Vz72G24

c什20242024

B.右a〈b7,則niI----<--一

ab

C.若62。24<歷泮24,貝|JQ<6

D.若Q〈b,則辦2。24<笈2。24

【答案】c

【詳解】A,當。=—21=1時，(-2)2024>12024,A錯誤;

B,當a=O時，把2024/沒意義，B錯誤；

a

C,由。？必<"2。24,知鏟24>。，所以。<人C正確;

D,當X=0時，訃2。24<42。24不成立，口錯誤.

故選：C

1.已知實數a,b,C,若a>b,則下列不等式成立的是（）

A.B.a3-l<b3-l

【答案】C

【詳解】選項A：因為a>b,取。=18=-1,則工>:,故A錯誤;

ab

選項B：因為一1v"一1=片,

與已知條件矛盾，故B不正確；

選項C：因為02+2>0=>-......>0

C2+2

Z7h

所以一故c正確；

c2+2C2+2

選項D：當c=0時，ac2-be1,故D不正確；

故選：C.

2.若b<a<0,則下列結論不正確的是（）

A.工<]B.ab>a2

ab

C.網>冊D.|a|+|&|>|a+Z>|

【答案】D

【詳解】對于A,因為6<。<0,所以必>0,所以與<《，即所以A正確，

ababab

對于B,因為b<〃<0,所以所以B正確，

對于C,因為y=正在R上遞增，b<a<Q,所以四〉四，所以C正確，

對于D,若b=-2,a=-L,Ijllj|a|+1&|=3,|a+/?|=|-3|=3,則同+網=|a+目，所以D錯誤,

故選：D

3.已知c>d,則下列不等式一定成立的是()

A.ac>bdB.ae0>bd

C.D.aln(c-d)>bln(c-d)

【答案】C

【詳解】對于A,令々=2*=1,。=一2,4=—3,顯然有a>〃，c>d,而歐=Y<-3=bd,A錯誤;

對于B,由c>d,知e，>e",令a=-d力=-e。,顯然有而ae，=—e，+"=—be",B錯誤；

對于C,由c>d,得e">e">O,e。>e">0,因此e"-e，>e'?/,C正確；

對于D,若々>人，令c=2,d=\,有c>d,而aln(c-d)=0=bln(c-d),D錯誤.

故選：C

4.若!<:<0,則下列不等式中正確的是()

ab

A.a<bB.Id>|/?|C.a+b>abD.—+—>2

ab

【答案】D

【詳解】因為!<工<。，所以。<0,6<0,則必>0.

ab

所以或〈半<0即6<a<0,AB錯誤.

ab

因為Z?<a<0,所以a+b<0,H?>0,則〃+Z?<aZ?,C錯誤.

因為6<a<0,所以2>0,9>0

ab

則2+旦>2、口^=2,D正確.

ab\ab

故選：D

5.若。、b>ceR,S.a>b,則下列不等式一定成立的是()

2

A.a+c>b+cB.(a—Z?)c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

【答案】B

【詳解】因為4、b、CGR,且則〃一/?>0,c2>0,

由不等式的基本性質可得a+c>b+c,A錯；(tz-/?)c2>0,B對；

2

當c<0時，ac<be,C錯；--c-->0,D錯.

a-b

故選：B.

6.下列命題中正確的是（）

A.若a>b,貝|。。2>慶2B.若a>b,c<d,則

ca

C.若。>匕，c>d,貝！Ja-c>b-dD.若">0,a>b,貝

ab

【答案】D

【詳解】A選項，當c=0時，碇2=宜，故A錯誤；

B選項，當a=l,b=0,c=-2,d=-l時，—=0,—,故B錯誤;

c2aca

C選項，當a=l,b-0,c-1,"=O時，a-c=b-d,故C錯誤；

D選項，若必>0,a>b,則工-1=?<0,即故D正確.

ababab

故選：D.

7.設xeR,則“x<l”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】由國〉x,可得x<0,

則x<1是x<0的必要不充分條件.

故選:B

8.已知。，6eR,P：a<b,<?：a2>b（2a-b）,則P是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】解：因為。，6eR,q：a1>b（2a-b）

即"一2。6+戶>0,即（a-b）2>0,貝!I”，b,

而〃：a<b,

所以，P是4的充分不必要條件，

故選：A.

9.下列四個選項能推出■的有（）

ab

A.b>Q>aB.a>Q>b

C.Q>a>bD.a>b>G

【答案】ACD

【詳角星】—<—<^>---<0<^ab(a-b)>0,

abab

對于A,當時，ab<0,a-b<0f所以必>0,所以A正確，

對于B,當〃>0〉/?時，ab<0,a-b>01所以QZ?(Q—Z?)V。，所以B錯誤，

對于C,當0>Q>Z?時，ab>0,a-b>0f所以〃仇a—b)>0,所以C正確，

對于D,當3>6>0時，ab>0,a-b>0,所以他(。-6)>0,所以D正確,

故選：ACD.

10.已知a>b>l,G-&=\,貝!J()

A.2~a>2~bB.a2b-ab1>a-b

C.a-b>3D.a1-b1>6

【答案】BCD

【詳解】因為所以2a>2J故2一”<2-J故A錯誤；

c^b-ab1=ab^a-b)>a-b,故B正確；

ct—b=^y[a—y/b^^/a+=\[a+^/b=2>/b+1>3,故C正確；

a2-b2=(t7-Z?)(tz+Z?)>3x2=6,故D正確.

故選：BCD.

11.已知實數。，b滿足Ovavb,則下列不等式一定正確的是()

A.2a~b<1B.tantz<tanZ?

aa+1—7iI7

C.—<------D.blna<alnb

bb+1

【答案】AC

【詳解】選項A,由。VQVb得。一/?<0,/.2a~b<1，故A正確；

兀3元.

選項B,取〃=—,b=—,可得tana=l,tanZ?=-l,不滿足tana<tanb,故B錯誤;

44

aQ+1_4伍+1)-人(〃+1)_a-b

1人,，bb+16伍+1)〃伍+1)，

a-bc

V0<a<b,所以a—Z?v0,b+l>0,故=伍+1)

,aa+1,,十.

?—<-—~，故C正確；

bb+1

選項D,設函數〃力=平，尤＞0,貝1」r（6=上詈

當兀￡（e,中x））時，/（%）＜0,單調遞減,

故evovb時，即電故。lnQ＞alnb,故D錯誤.

故選：AC

易錯點二：遺漏一元二次方法求解的約束條件（有關一元二次不等式求解

集問題）

三三

解一元二次不等式的步驟：

第一步：將二次項系數化為正數；

第二步：解相應的一元二次方程；

第三步：根據一元二次方程的根，結合不等號的方向畫圖;

第四步：寫出不等式的解集.容易出現的錯誤有：①未將二次項系數化正，對應錯標準形式；②解方程出

錯；③結果未按要求寫成集合.

對含參的不等式，應對參數進行分類討論

具體模型解題方案：

1、已知關于X的不等式依2+法+。＞0的解集為（形，〃）（其中〃加＞0）,解關于X的不等式

ex2+bx+a＞0■

由以2+bx+c>。的解集為（加，ri）,得：〃（一/+人—1_。>。的解集為（_,—）,即關于次的不等式

xxnm

ex2+bx+a>0的解集為d，-）.

nm

已知關于無的不等式or?+bx+c>0的解集為（加，幾），解關于％的不等式ex?+fcc+a<0.

由以2+汝+C>0的解集為（機，〃），得:〃（一）2+Z?be〈。的解集為（—8,—]U[一，+00）即關于X的不等

xxnm

式小+加+心。的解集為（-8,-]U[—，+8）.

nm

2、已知關于無的不等式依2+云+°>0的解集為⑺，小（其中〃>相>o）,解關于％的不等式

ex2-bx+a>0-

由ox?+"+C>o的解集為（加，ri）,得:〃（一）2—人—1.。>。的解集為（---,）即關于％的不等式

xxmn

5?-法+Q>0的解集為（---，）.

mn

3.已知關于九的不等式依2+6x+c>0的解集為（機，〃），解關于尤的不等式"2一"+〃<0.

由以2+"+0>（）的解集為（加，"），得:a（一）2-/?HC<。的解集為（―8,---]U[--，+00）即關于X的

xxmn

不等式C%2—加一qK0的解集為（―8,---]U[，+8）,以此類推.

mn

>0

4、已知關于X的一元二次不等式+bx+c>0的解集為R，則一定滿足

[A<0

則一定滿足（a<0

5、已知關于X的一元二次不等式O?+bx+c>0的解集為6，

A<0

jq<0

6、已知關于X的一元二次不等式以2+Zzx+c<0的解集為R，則一定滿足?

[A<0

則一定滿足]a>0

7、已知關于X的一元二次不等式O?+Zzx+c<0的解集為0，

A<0'

易錯提醒：一元二次不等式

一元二次不等式ox?+〃x+c>0（〃。0）,其中A=〃一4〃。，是方程a/+Zzx+c>0（a。0）的

兩個根，且王<工2

（1）當。>0時，二次函數圖象開口向上.

（2）①若A>0,解集為

②若△=（）,解集為］x|xeR且xw—③若A<0,解集為R.

（2）當。<0時，二次函數圖象開口向下.

①若△>（）,解集為{x［不<x</}②若AKO，解集為0。

三9

例.若對于任意實數無，不等式（。-1）彳2-2（。-l）x-4<0恒成立，則實數。可能是（）

A.-2B.0C.-4D.1

【答案】ABD

【詳解】當。=1時，不等式為-4<0恒成立，故滿足題意；

ftz—1<0

當awl時，要滿足《，

［A<0

而A=4（Q-I）?+16（Q-1）=4（Q-l）（a+3）,

所以解得一3<a<l；

綜上，實數〃的取值范圍是（-3』；

所以對比選項得，實數〃可能是-2,0,1.故選：ABD.

變式L已知關于x的不等式加+法+。>0的解集為（—,_2）u（3,y）,則下列選項中正確的是（）

A.a<0B.不等式&r+c>0的解集是{x|x<d}

C.a+/?+c>0D.不等式cf一樂+0<0的解集為（-co,_：）u（；,+oo）

【答案】BD

【詳解】不等式a/+/zx+c>o的解集為（-CO,-2）D（3,+OO）,貝!j-2,3是方程依2+法+c=。的根，且a>0,

hc

則——=1,—=一6,Q>0,即:=_〃,C=_6aM>0,A錯誤；

aa

不等式Z?x+c〉O化為一ar—6a>0,解得了<-6,即不等式Z?x+c〉O的解集是{%1%<-6},B正確；

a+b+c=—6a<0,C錯誤；

不等式ex?一"+〃<0化為一6辦2+改+々v0,即6/-^-1>0,解得一;或%'

所以不等式。%2-云+。<0的解集為（-°0,-；）5；,+8）,D正確.

故選：BD

變式2.已知命題P：關于％的不等式d_2ox-a>0的解集為R,那么命題夕的一個必要不充分條件是（）

12

A.-l<a<——B.——<a<0

23

C.—D.a2—1

【答案】CD

【詳解】命題小關于尤的不等式/一26-"0的解集為R,

貝必=4片+4a<0,解得一l<a<0

又(-1,0)[-1,0],(-1,0)[-1,4^),

故選：CD.

變式3.下列敘述不正確的是（）

A.2<2的解是

x2

B.“0是"7渡+7HX+1W0”的充要條件

C.已知xeR,貝是“以-1|<1"的必要不充分條件

D.函數〃尤）=/的最小值是2括-2

【答案】AD

【詳解】選項A：工<2的解是無>1或無<。，故A不正確；

__fm>0、

選項B：由y+如+1得A=>一4機，皿2+n+i20恒成立貝或機=0,解得0<m<4,

m-4m<0

所以“0是"mx?+mx+120”的充要條件，故B正確;

選項C：由卜-1|<1得-l<x—1<1,解得0<x<2,所以“x>0”是“卜-1|<1"的必要不充分條件，故C正確;

選項D：由均值不等式得卜二二=2豆，當且僅當/+2=々；時等號成立，此

尤2+2'尤2+2x2+2

時X無實數解，所以〃尤）=?+三七的最小值大于26-2,故D不正確；故選：AD

1.已知加+bx+c>0的解集是（-2,3）,則下列說法正確的是（）

A.不等式Ci+bx+a<0的解集是

B-,+b的最小值是g

2b+4

c.若m一機〉的言有解,則m的取值范圍是m<-1或機>2

D.當c=2時，/（x）=3ox2+6te,的值域是,則%-%的取值范圍是[2,4]

【答案】ABD

【詳解】因62+云+°>0的解集是（-2,3）,則-2,3是關于工的方程62+公+°=0的二根，且“<0,

hr

于是得一巳=1,上二一6,^b=-a,c=-6a,a<0,

aa

對于A,不等式ex?+6彳+“<0化為：6x?+無一1<0,解得一5V尤<3，A正確；

121214

對于B,b>Q,-----+b=--------+-(3Z?+4)——>2,

3b+43b+4333b+4333

I?12

當且僅當?。?彳（3。+4）,即6時取“=”，B正確；

3b+433

____b+41

對于C,b>0,令Jb+3=t>6,則q~=，+-在才￡（石,+8）上單調遞增,

7b+3t

8+44Z7+4411「

即有館>耳’因病一心K有解，則療一心耳，解得"L1+而16或T心萬1+1禁i+1訪6'c

不正確；

對于D,當c=2時，b=-a=；,則/(x)=3辦?+6a=-犬+2x=-(x-l)z+1,f=/(I)=1,

依題意，由/(x)=-3得，x=-l或x=3,因/(x)在[%,%]上的最小值為-3,

從而得％=T，14%<3或41,%=3,因此24“2-444,D正確.

故選：ABD

2.已知集合4={幻工<-2,或x>2},B={X|X2-2X-3>0},則AU5=()

A.(-oo,T]U(2,+<?)B.(-°o,l]J(2,-KO)

C.(-oo,-2)u[l,+oo)D.(T?,-2)[3,+<?)

【答案】A

【詳解】由B={%|x2-2%-3=(x+1)(%-3)>0}={x|x<-la￡x>3},

所以A8=(-^,-1]口(2,2).

故選：A

3.已知集合M=L-3X+240},23忙1<1}”則MuN=()

A.{*|。<無<2}B.{鄧<x<3}

C.{x|x<2}D.{#43}

【答案】C

【詳解】由f_3x+2V0,mi<x<2,所以“={尤|1<尤<2},

因為$1<1=3°，得x-l<0,所以N={x|x<l},

故A/°N={x|xW2}.

故選:C.

4.已知函數/(x)=f+依若不等式/⑺歸2在xe[l,5]上恒成立，則滿足要求的有序數對(。㈤有()

A.0個B.1個C.2個D.無數個

【答案】B

【詳解】由題意若不等式|〃力歸2在xe[l,5]上恒成立，

-2</(l)<2f-2<l+a+&<2,(l)

則必須滿足一2W43)42,即-249+3a+b42,(2),

-2</(5)<2[-2<25+5a+&<2,(3)

由1_249+3a+642,；2)'兩式相加得*8+2U<a=2,(4),

再由1一2<25+50+6<2)3［兩式相力口得-4，：^+2”<，0一!。*“，一，,。)，

-24-5+642,(1)

結合(4),(5)兩式可知。=-6,代入不等式組得，一24-9+b42,僅)，

-2<-5+Z?<2,(3)

解得6=7,

經檢驗，當a=-6,6=7時，/(x)=x2-6.x+7=(x-3)2-2,

有［〃x)L=/⑴="5)=2,"(切1nm=/'⑶=一2,滿足|〃刈<2在》目1,5］上恒成立,

綜上所述：滿足要求的有序數對(“，切為：(-6,7),共一個.

故選：B.

5.設集合A={H(x+l)(x-4)<0},3={X|2%+〃<0},>AnB={x|-l<x<3},則”()

A.6B.4C.-4D.-6

【答案】D

【詳解】A={xH〈尤<4},S=

VAr>B={x|—1<x<31,/.—=3,?,.〃=—6,

故選：D.

6.若兩個正實數x,y滿足4x+y=2*,且不等式1+蘇—根有解，則實數機的取值范圍是（

A.—l<m<2B.機v—2或勿>1

C.-2<m<1D.加<一1或加>2

【答案】D

4rv12

【詳解】根據題意，兩個正實數X,y滿足4尤+y=2個，變形可得丁+六=1,即丁+—=1,

2xy2xy2xy

貝口+』=[+2丫2+2]=1+且+221+2^11=2,

414人2%yj8xy\8xy

當且僅當4%=y=4時等號成立，貝卜+4的最小值為2,

若不等式工+4〈川-加有解，則4-相>2,可得用<-1或機>2,

4

即實數機的取值范圍是（f,T）（2,+co）.

故選：D.

7.“不等式0^+2依_i<o恒成立”的一個充分不必要條件是（）

A.—1KQV0B.C.—IVQWOD.-1<。<0

【答案】D

【詳解】當〃=0時，—lvO恒成立，

fa<0,

當awO時，則L2/八，解得一1<。<0,

[4a+4a<0

綜上所述，不等式辦2+2G；_I<。恒成立時，-lva<0,

所以選項中“不等式ax2+2ax-l<0恒成立”的一個充分不必要條件是-l<a<Q.

故選：D.

8.已知當兀>0時，不等式：爐一如+16>0恒成立，則實數加的取值范圍是（）

A.(—8,8)B.(—8,8]C.(—8,8)D.(8,+oo)

【答案】C

【詳解】當x>0時，由％2一如+16>0得加<%+3，

X

因x>0,^x+—>2AL—=8,當且僅當％即x=4時等號成立，

X\XX

因當兀>。時，M<工+3恒成立，得根<8,

X

故選：C

9.已知集合A=｛x|a2-a<x<2,xwZ｝中恰有兩個元素，則。的取值范圍為()

A.[0,1]B.(0,1)C.(1,2)D,[1,2]

【答案】B

2

[詳解]由集合4=｛尤|/_a<x<2,xeZ｝中恰有兩個元素，^-l<a-a<0,

解得ae(0,1).

故選：B.

10.不等式爐+4元—2140的解集為()

A.(-CO,-7]U[3,-H?)B.[-7,3]

C.H，-3]u[7,y)D.[-3,7]

【答案】B

【詳解】易知方程Y+4x—21=0可化為(x+7)(x—3)=。，方程的兩根為國=一7,%=3；

所以不等式d+4x_21<0的解集為[-7,3].

故選:B.

11.若不等式212+"+0<0的解集是(0,4),函數/0)=2%2+a+。的對稱軸是()

5c3

A.x=2B.x=4C.x=—D.x=一

22

【答案】A

【詳解】解：???不等式2f+"+cv0的解集是(。,4),

**?%=0和％=4是方程2爐+Z?x+c=0的兩個根，

b

：.——=0+4,,??〃=—8,

2

b

，函數/（x）=2Y+foe+c的對稱軸是x=—w=2.

故選：A.

易錯點三：遺漏連續使用基本不等式前提條件吻合性（基本不等式最值問

題）

1.幾個重要的不等式

（1）/>O（6Ze>0（<7>0）,|^|>O（tze/?）.

（2）基本不等式：如果〃1￡氏+,則，痣（當且僅當“〃=?！睍r取"二”）.

特例：a>0,6/H—>2;—+—>2同號）.

aba

（3）其他變形：

①/2S+”）（溝通兩和。+人與兩平方和片+〃的不等關系式）

2

②abMcr+b'-（溝通兩積ab與兩平方和cr+b2的不等關系式）

2

③（溝通兩積ab與兩和a+b的不等關系式）

④重要不等式串：即

ab

調和平均值<幾何平均值<算數平均值<平方平均值（注意等號成立的條件）.

2.均值定理

已知x,yeR+.

（1）如果x+y=S（定值），則孫=*（當且僅當“x=y”時取即“和為定值，積有最大值”.

（2）如果取=尸（定值），則x+y?2而=2介（當且僅當“x=y”時取即積為定值，和有最小值”.

3.常見求最值模型

模型一：mx+—>24rnn（m>0,n>0）,當且僅當尤=J'■時等號成立；

xVm

模型二：mx+——=——-——\-ma>l4rrni+ma(m>0,n>0),當且僅當％-a=J，時等號成立；

x-ax-aVm

x11

模型三：辦2+"+c=gW互二^("°，一°),當且僅當尤=E時等號成立；

X

模型四：一如)?("V竺了=￡(機>0,”>0,0<x<‘)，當且僅當x=a時等號成

mm24mm2m

立.

易錯提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”

(1)正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數，如果有負數則考慮變形或使用其它方法

(2)定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側不能還含有核心變量.

(3)等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點：

①若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立(彼此不沖突)

②若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始

范圍.

注意：形如，=兀+幺(。>0)的函數求最值時，首先考慮用基本不等式，若等號取不到，再利用該函數的

x

單調性求解.

2.通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面

的問題：

(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形；

(2)代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；

(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運用基本不等式，對不滿足

使用基本不等式條件的可通過“變形，，來轉換，常見的變形技巧有：拆項，并項，也可乘上一個數或加上一個

數，“1”的代換法等.

三9

例.函數y=logaX+Q“7+2(。>0且awl)的圖象恒過定點(%,b),若加+〃=/?一人且機>0,n>0,則？

mn

的最小值為()

95

A.9B.8C.—D.一

22

【答案】B

【詳解】函數y=log“x+ai+2（a>0且"1）的圖象恒過定點。,3）,所以〃葉〃=3-1=2,

2|<—+->|=（7?I+M）（—+-）=10+—+—>10+2-79=16,

n）mnmn

（）〃

「?239+—1216,.?.9二+1—28,當且僅當9絲TTI即〃=1二根=士3等號成立

\mnJmnmn22

故選：B.

變式1.已知a>0,6>0,2a+6=“6,則^^+上一的最小值為（）

a-1b-2

A.4B.6C.4A/2D.3+2忘

【答案】D

b

【詳解】由。>0,0〉0,2Q+Z?=Q。，a=-~~->0,即Z?>2,易知Q>1,

b-2

所以用-+）-=用-+。=3+?-+。-123+2/二一（"1）=3+2夜，

a-1b-2a-1a-1\a-l

當且僅當。=返+1時等號成立，此時6=2+收，

所以烏■+1”的最小值為3+2a.

a-1b-2

故選：D

變式2.已知命題p：在，ABC中，若sinA>sinB,則Z>氏q：若a〉0,則（1+。）（1+工）N4,則下列命

a

題為真命題的是（）

A.p^qB.p八rc.nP△夕D.

【答案】A

【詳解】命題p：在一ABC中，若sinA>sinB,由正弦定理得a>。，所以4>6，為真命題，

當〃〉0,對于（1++—]=2+aH—>2+2.a?—=4,當且僅當a=1時等號成立，

Va）aVa

所以命題q：若〃>0,則（1+。）（1+：）>4,為真命題，

所以〃A4為真命題，假命題，r7Aq假命題，力人^假命題，

故選：A.

變式3.設”。，,>0.加=必等±4則加有（）

A.最小值3B.最大值3

C.最小值D.最大值T+6^

【答案】B

【詳角軍】x>0,丁>。，故20孫=2%?&yK爐+2/，

故m=2"+叩？+V42Y+y：+工+2尸=3,當且僅當x=0y時成立,

x+yx+y

AD錯誤，B正確；

、［,八:1口』2x0.52+2A/2x0.5+121.5+V264K3r-「去玨、口

當％=0.5,y=l時，m=-------------------=----^―=—+—J2<—+,2,C錯誤.

0.25+11.25552

故選：B.

三9

.12

1.已知ABC,點。在線段BC上(不包括端點)，向量AD=xA8+yAC,一+一的最小值為()

尤y

A.2A/2B.20+2

C.20+3D.273+2

【答案】C

【詳解】ABC,點。在線段8C上(不包括端點)，

故存在4,使得8D=/12C，即AD-AB=/L4C-九42，即AD=；L4C+(1-X)AB,

因為向量AO=xA8+yAC,所以y=4,x=l—2,

可得x+y=1,

x>0,y>0,由基本不等式得

-+-=^-+->1(%+^)=1+2+^+—>3+2口.生=2拒+3,

xyyxy)xyxy

當且僅當y=y/2x,即y=2-0,x=時等號成立.

故選：C.

2.已知正數次，〃滿足加+2〃=3,則()

414132

A.—H丁的最小值為3B.—^