重難點專題1-1函數對稱性周期性問題

近4年考情

考題示例考點分析關聯考點

2023年新高考2卷，第6題對稱性與函數交點個數問題函數對稱性的識別

導函與原函數數對稱性問

2022年新高考1卷，第12題函數對稱性與周期性題的轉換，由平移關系得出

對稱性

函數軸對稱與中心對稱的

2022年全國乙卷，第12題函數對稱性與周期性抽象表示式，由對稱性得出

周期

由平移關系得出對稱性，再

2021年新高考2卷，第8題函數對稱性與周期性

由對稱性得出周期

由平移關系得出對稱性，由

2021年甲卷（理），第12題函數對稱性與周期性

對稱性得出周期

函數軸對稱與中心對稱的

2021年甲卷（文），第12題函數對稱性與周期性抽象表示式，由對稱性得出

周期

模塊一卜熱點題型解讀（目錄）

【題型1】識別對稱軸，對稱中心.................................................2

【題型2】由對稱求解析式........................................................3

【題型3】由平移前后關系得出原函數對稱性.......................................4

【題型4】與對稱性有關的材料題.................................................4

【題型5】通過周期性求值或解析式...............................................5

【題型6】由對稱性進而得出周期.................................................7

【題型7】類周期函數與倍增函數................................................10

【題型8】由中心對稱求出函數中間值...........................................11

【題型9】由對稱性求交點坐標的和..............................................13

【題型10］由解析式看出對稱性.................................................15

【題型11】由對稱性解函數不等式...............................................16

【題型12］由解析式看出對稱中心再解函數不等式.................................17

【題型13］由解析式看出對稱軸再解函數不等式...................................18

【題型14］配湊后得出新函數的對稱性...........................................18

【題型15】已知一個對稱軸（中心）和周期.......................................19

【題型16】涉及導函數對稱性問題...............................................20

【題型17］兩個函數混合型......................................................24

【題型18】兩個函數混合且涉及導數.............................................25

模塊二I核心題型?舉一反三（講與練）

【題型1】識別對稱軸，對稱中心

核心?技巧

m4-77

若f(jn+x)=f(n-x),且——=b^>/(x)關于x=b對稱

若/(m+x)+f(n-x)=2b,且加；.關于(a,6)對稱

1.設/（%）是定義域為R的奇函數，且/（l+x）=/（r）.若/)

A.

【答案】C

【鞏固練習1】（多選題）已知函數/（X）的定義域為R,/1x+g］為奇函數，且對于任意xeR,都

有〃2-3x)=〃3x),則()

A./(x+l)=/(x)

C./(x+2)為偶函數

【答案】BCD

【解析】由〃2_3x)=/(3x),得/(2-尤)力x).

由/卜+￡|是奇函數，得/上+曰=一/，》+口，即-x),

所以/(2-x)=-/(l-x),即〃x+l)=-/(x),所以/(尤+2)=/(x),故選項A錯誤;

由/(x+1)=-/(%),得/［；)=一/(一^］，所以/(—；］=°，故

由/(x)=-/(l-尤),

選項B正確;

由〃x+2)=/(x),f(2-x)=f(x),得〃2-尤)=/(2+x),即/(x+2)為偶函數，故選項C正確;

由/"卜)=一/(1一x),f(x+2)=f(x),得/(%)=-/(一1一x),則/［一=一/1x-gj,

為奇函數，故選項D正確.

【鞏固練習2】已知函數/(x)=￡匕的圖象關于點(1J。))對稱，則。=()

A.1B.2C.eD.e2

【題型2】由對稱求解析式

/康心?技巧

一、把/(x)的圖像關于x=a對稱，對稱后的函數為g(x),則g(x)=/(2a-x)

證明：設對稱后的點為(xj),則點(2a-x,y)在/(x)上，iky=f(2a-x),即g(x)=/(2a-x)

二、把/(x)的圖像關于(a,6)對稱，對稱后的函數為g(x),貝|g(x)=26-/(2a-x)

證明：設對稱后的點為(x,y),則點(2a-x,2b-y)在/(x)上，代入可得2b-y=/(2a-x),則有,

y=2b-f(2a-x)即g(x)=2b-f(2a-x)

2.(2024?四川成都?三模)函數歹二32、與歹=3「2x的圖象()

A.關于x=2對稱B.關于x=l對稱

c-關于V對稱D-關于心對稱

【鞏固練習1】若函數y=g(x)的圖象與y=lnx的圖象關于直線x=2對稱，則g(%)=.

【題型3】由平移前后關系得出原函數對稱性

:友心事于

若已知了(加x+6)+c是奇(偶)函數求/(X)對稱性

+a)+6是偶函數8HB/(x)關于尤=a對稱，/(加%+。)+辦是奇函數0/(x)關于(a,Z?)對稱

舉個例子：

若/(2x+1)+3是奇函數

證：設/(x)關于x=a對稱，通過函數圖像的平移和伸縮變換求出a,6的值

f(x)/(x+1)/(2x+l)/(2x+l)+3

對稱中心(a,b)

I2以匕。+。］二

2024?江蘇高郵?統考

3.定義在R上的函數了=/(x)和y=g(x)的圖象關于V軸對稱，且函數/=/。-2)+1是奇函數，則

函數V=g(x)圖象的對稱中心為()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(—2,1)D.(2,-1)

【鞏固練習】已知函數/(x)的定義域為R,7(l-2x)為偶函數，/(x-l)為奇函數，貝IJ()

A./(0)=0B./(-2)=0

C./(-3)=0D./(-5)=0

【題型4】與對稱性有關的材料題

生心?技巧7

結合材料得出結論，再解決問題

4.(多選)在學習了函數的奇偶性后，小明同學發現：函數了=〃x)為奇函數的充要條件是y=〃x)

的圖象關于坐標原點成中心對稱，可以引申為：函數>=/(x+a)-6為奇函數的充要條件是

>=/(無)的圖象關于點尸(。⑼成中心對稱.已知函數/(力=丁+小2+2加-4的圖象關于(2,0)

成中心對稱，則下列結論正確的是()

A./(2)=1B./(4)=4

C.m+n=—\D./(2+x)+/(2-x)=0

【鞏固練習1】(多選)已知函數了=/(元)的圖象關于尸(。,3成中心對稱圖形的充要條件是

y=+是奇函數，函數了=〃x)的圖象關于x=a成軸對稱圖形的充要條件是y=f(x+a)是

偶函數.則下列說法正確的是()

A./(x)=/-3/的對稱中心為(1,-2)

B./(x)=/-4x，+6/-4x關于x=1對稱

C.〃幻=三?的對稱中心為(1,-2)

x-1

V—2

D./(%)=丁;，的圖象關于(-2,0)對稱

【鞏固練習2】(2023上?湖南長沙?高一長沙一中校考)我們知道，函數y=y(x)的圖象關于坐標原

點成中心對稱圖形的充要條件是函數了=/⑴為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數了=/(x)

的圖象關于點尸(“1)成中心對稱圖形的充要條件是函數V=/(x+a)-b為奇函數.

(1)請你利用這個結論求得函數/卜)=丁+3/的對稱中心為.

__|_o

(2)已知函數8")=不r丁一丁一3一與一次函數了=左(》+1)一3有兩個交點弦(國,乂)，N2M，

則占+必+%+%=-

【題型5】通過周期性求值或解析式

核心?技巧

(1)求解與函數的周期有關的問題，應根據周期定義，從而求出函數的周期.

(2)利用函數的周期性，可以解決區間上的求值、求零點個數、求解析式等問題.

周期函數的常見條件

一、若/(x)+/(x+a)=c(c為常數)，則/(x)周期為24

證明：令x=x+an/(x+a)+/(x+2a)=c,兩式相減得了(x+2a)-/(x)=0

即/(x+2a)=,故7=2同

二、若/(%+。)=7六,則7=2同(相對少見)

/(x)

證明：由+得/(x+2a)=^^~~-==2\a\

/(x)/(x+a)

三、其它周期條件

設函數y=/(x),尤eR,a>0,a1b.

(1)若/(x+a)=/(x-a),則函數〃x)的周期為2a;

(2)若/'(x+a)=-/(x),則函數/(尤)的周期為2a;

若f(x+a]-^―

(3)則函數/(X)的周期為2a;

若…”去，

(4)則函數/(x)的周期為2a;

(5)若/(x+a)=/(x+6),則函數〃x)的周期為|。一可；

(6)若函數/(x)的圖象關于直線x=a與x=b對稱，則函數/(x)的周期為2。-4；

(7)若函數〃x)的圖象既關于點(。,0)對稱，又關于點(6,0)對稱，則函數/(x)的周期為；

(8)若函數/(五)的圖象既關于直線x=a對稱，又關于點他,0)對稱，則函數/(x)的周期為43-4；

(9)若函數〃尤)是偶函數，且其圖象關于直線x=a對稱，則/(x)的周期為2a;

(10)若函數〃x)是奇函數，且其圖象關于直線x=a對稱，則〃無)的周期為4a.

三、周期與對稱性的區分

1.若/(%+a)=±f(x+6),則_f(x)具有周期性;

2.若f(x+a)=±f(b-x),則f(x)具有對稱性:

口訣：“內同表示周期性，內反表示對稱性”

5.(2024?陜西西安?二模)已知定義域為R的函數/*)滿足/(x+2)=-/(x),且當0〈尤<2時,

f(x)^3x-lnx,則“211)=.

【鞏固練習1】(多選)已知人久)是定義在R上的函數，且對于任意實數x恒有f(x+2)=-當xe

[0,2]時,/(%)=—x2+2x.則()

A./(久)為奇函數

B.f(X)在xG[2,4]上的解析式為f(x)=x2-6x+8

C./(x)的值域為[0月

D./(/)+/(2)+/(3)+…+/(2022)=1

【鞏固練習2】設〃切是定義在R上的周期為2的偶函數，已知xe/2,3J時，f(x)=x,則xe[-2,0]

時，/W的解析式為"幻=()

A.x+4B.2—x

C.3—|x+71D.2一|x+71

【題型6】由對稱性進而得出周期

廠核心?技巧

一、若/(X)關于x=。和(仇C)對稱，則7=4,一耳(類比三角函數)

證明：由對稱軸可得/(x)=f(2a-x),

由對稱中心可得/(x)+fQb-x)=2c=>f(x)-2c-f(2b-x)

則有f(2a-x)=2c-f(2b-x),

令x=2a—x,則有/(x)=2c—/(2b-2a+x)=>/(x)+f(2b-2a+x)=2c,

ikT=2\2a-2.b\=4\a-h\

三、若［(x)關于(a,c)和("c)對稱，則7=2,-6|(類比三角函數)

f(-%)+f(x+2a)=2c,

證明：由對稱性可得《,則/(x+2a)=/(x+2，)，itT=\2a-2b\

/(—x)+/(x+26)=2c

四、若/(X)關于x=。和X=b對稱，貝i|7=2|a-6|

7(-%)=/(%-2q)

證明：由對稱性可得＜=>f[x—2a)—f(x—2b),i^T=\2a-2b\

JJx)=f(x—2b)

2021全國甲卷(文)12題——由對稱性得出周期性求值

6.設/(')是定義域為R的奇函數，且/(l+x)=/(—x).若則()

515

A.B.C.D.

333

2021新高考2卷第8題——由對稱性得出周期性求值

7.已知函數/(x)的定義域為R,/(x+2)為偶函數，/(2%+1)為奇函數，則()

A.=0B./(-1)=0C./(2)=0D./(4)=0

2024?廣東省一模

8.(多選)已知偶函數“X)的定義域為R,+為奇函數，且/")在［05上單調遞增，則下

列結論正確的是()

A./f-|］＜0B.C.八3)＜0D.［誓］＞0

2024?安徽蕪湖?二模

9.已知函數的定義域為R,且/"+2)-2為奇函數，/(3x+l)為偶函數，/(1)=0,貝I]

2024

口⑻=()

左=1

A.4036B.4040C.4044D.4048

10.已知函數〃X)的定義域為R,/卜一2)為偶函數，/(x-3)+/(-x+l)=0,當xe[-l,o]時,

19

/(x)=x+l,則￡/■)=()

k=\

A.19B.0C.1D.-1

2024?山東濟寧?一模

11.設函數/(x)定義域為R,7(2x-l)為奇函數，f(x-2)為偶函數，當xe［0,l］時，/(x)=x2-l,

貝|)/(2023)-/(2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

12.侈選）已知函數/3的定義域為口，若/（2'-1）+〃3-2力=2,且/@-2）為偶函數，/（2）=2,

則()

A./(x+4)=/(x)B./(2024)=0

25

C./(3)+/(9)=2D.￡/(/)=25

Z=1

2024?浙江?Z20第二次聯考

13.函數/（x）是定義在R上的奇函數，滿足〃1-尤）=〃1+外,〃1）=-1,以下結論正確的是（）

A./(3)=0B./(4)=0

20232023

C.4)=0D.￡/(201)=0

k=\左=1

2024?河北張家口?一模

14.已知定義在R上的函數滿足：/（x）+/（2-x）=2,/（x）-/（4-x）=0,且/（0）=2.若

2024

ieN*,則￡阿=（）

i=l

A.506B.1012C.2024D.4048

【鞏固練習1】（2024?湖南長沙?二模）己知定義在R上的函數/（X）是奇函數，對任意X6R都有/O+

1）=/（l-x）,當/'（—3）=—2時，則f（2023）等于（）

A.2B.-2C.0D.-4

【鞏固練習2】（2024?高三?遼寧營口?期末）設函數〃無）的定義域為R,/（尤+1）-3為奇函數,

;■（尤+2）為偶函數，當xe［l,2］時，f（x）=ax2+b.若/■（-：!）+/（0）=1,貝！］/寸=（）

【鞏固練習3】2021全國甲卷（理）12題

設函數“X）的定義域為R,7（x+1）為奇函數，/（x+2）為偶函數，當xe［l,2］時，/（x）=o？+6.若

/(0)+/(3)=6,則43=()

935

A.B.D.

422

【鞏固練習4](2024?內蒙古呼倫貝爾?二模)已知定義在R上的函數/'(X)滿足/(2+W—/(2-%)=

4x.若/(2x—3)的圖象關于點(2,1)對稱，且/'(0)=0,則/(I)+f(2)+…+f(50)=()

A.0B.50C.2509D.2499

【鞏固練習5】(2024?全國?三模)(多選)已知函數/(x)定義域為R且不恒為零，若函數V="2x-1)

的圖象關于直線x=l對稱，了=/(2-無)+1的圖象關于點(0,1)對稱，貝1]()

A./(x+6)=/(x)

B."10)=0

C.x=7是/(x)圖象的一條對稱軸

D.(56,0)是/(x)圖象的一個對稱中心

【題型7】類周期函數與倍增函數

核心?沖7

類周期函數的定義：若y=/(x)滿足：/(%+冽)=軟%)或"r)=4/(x⑼，則y=/(x)橫坐標每增加冽個單位,

則函數值擴大左倍.此函數稱為周期為m的類周期函數.

1、類周期函數

若V=/O)滿足：+=氮f(x)=kf(x-m),則y=/(x)橫坐標每增加加個單位，貝I函數

值擴大上倍.此函數稱為周期為加的類周期函數.

2、倍增函數

y

若函數＞=/(%)滿足=或/(工)二硝一)，則歹=/(x)橫坐標每擴大小倍，則函數值擴大

m

左倍.此函數稱為倍增函數.

2024?遼寧?二模

31

15.已知函數〃x)的定義域為R,滿足〃x+l)-2〃x)=0,且當無e(O,l]時，=

則之/償41的值為.

k=\\J

16.定義在R上的函數/(x)滿足/(x+l)=：/(x),且當xe[0,l)時，/(x)=l-|2x-l|,當xe

時，了=/卜)的值域為()

A.—,1B.[0,1]C.—JD.0,—

17.已知定義在R上的函數y=/(x),滿足〃x)=2〃x+2),當xe(O,2]時,/(x)=4x(2-x),

若方程/(x)=。在區間內有實數解，則實數。的取值范圍為.

【鞏固練習1】設函數/(%)的定義域為R,且/(%+4)=2/(%),當％E(0,4]時，/(%)=2x2-8x,

若對于vxe(-8,t],都有f(x)>-1恒成立，則r的取值范圍是()

A.(―oo,—7]B.(-oo,—5]C.(-oo,-3]D.(-oo,-1]

【鞏固練習2】(2024?云南昆明?二模)定義“函數y=f(x)是。上的a級類周期函數”如下：函數y=

/(x),x￡D,對于給定的非零常數a,總存在非零常數7,使得定義域D內的任意實數%都有a/(x)=

fO+T)恒成立，此時T為/G)的周期.若y=fO)是[1,+8)上的a級類周期函數，且7=1,當支€

[1,2)時，/"。)=2%+1,且y=/0：)是[1,+00)上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為()

A.原+8)B.[2,+8)C.息+8)D.[10,+8)

【鞏固練習3】設函數/(久)的定義域為R,滿足/(久)=2八>—2),且當XC(0,2]時,/(久)=久(2—久).若

對任意％G(-8,771],都有/(%)<3,則772的取值范圍是()

A.(-00,|]B.(-8,并(-0°)|]D.(-00,y]

【題型8】由中心對稱求出函數中間值

核心?技巧

已知/(x)=奇函數+”,xe[-a,a],則

(1)/(-x)+/(x)=2M

(2)/(x)max+/(x)rain=2M

"~~"■

18.7(x)是定義在R上的函數，/[x+；)+；為奇函數，貝1/(2023)+/(-2022)=()

A.-1B.一-C.vD.1

22

2

19.設//)=/百+。為奇函數,若g(x)=/(x)+sim+a在xe[-九刃](加＞0)的最大值為3,則

g(%)在xe[-m,m](m＞0)的最小值為.

20.函數/1)=宜?上日在[-2020,2020]上的最大值和最小值分別為",加，則〃+加=.

x2+l

21.已知函數〃0=辦7+如+。2+夕-2023,且"10)=6,則/(-10)=.

【鞏固練習1】設/(》)=1石+。為奇函數，若g(x)=/(x)+siiu:+a在xe[-見機](機＞0)的最大值

為3,貝!|g(x)在尤e[-肛加](加＞0)的最小值為.

【鞏固練習2】(2024?高三?安徽?期中)函數“x)=(/-6x卜in(x-3)+x+a(xe[0,6])的最大值為M,

最小值為加，若河+機=8,貝ija=.

【鞏固練習3】已知定義在R上的函數;"(X)滿足VxjeRJ(x+y)=/(x)+/(y)-2024,若函數

XA/2024-x2

g(x)=+/(x)的最大值和最小值分別為機加，則河+加=

2024+尤②

【鞏固練習4】已知函數/(x)=(2x2-4x+3)(e*T—ej)—2x+l在[0,2]上的最大值為最小值為

m,貝！JM+m=.

【鞏固練習5】已知函數〃x)=log2(V17M+缶)+京\+3,xe[-6,6],若〃x)的最大值為”,

最小值為m,則M+加=.

【題型9】由對稱性求交點坐標的和

核心?技巧

一、若/(X)與g(x)關于x=a對稱，且它們有加個交點，則所有交點橫坐標之和am

二、若/(x)與g(x)關于(凡b)對稱，且它們有加個交點，則所有交點橫坐標之和。加，縱坐標之和

為bm

22.定義在R上的函數〃x)滿足〃4-x)=-〃x)J(2x+l)為偶函數，/(1)=2,函數g(x)(xeR)

滿足g(x)=g(2-x),若y=f(x)與y=g(x)恰有2023個交點，從左至右依次為

(國,必(了2023，%023)，則下列說法正確的是()

A./(X)為奇函數B.2為y=/(x)的一個周期

C.y1012=2D.再+X2+尤3+…+X2023=2023

2024?湖北七市州S月統考

23.(多選)我們知道，函數了=/(無)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數

了=/(尤)為奇函數.有同學發現可以將其推廣為：函數了=/(x)的圖象關于點尸(a,6)成中心對

4

稱圖形的充要條件是函數＞=/(x+a)-6為奇函數.已知函數/■(尤)=-二，則下列結論正確的

2+2

有()

A.函數的值域為(0,2]

B.函數/(x)的圖象關于點(U)成中心對稱圖形

C.函數/(x)的導函數/(X)的圖象關于直線x=l對稱

D.若函數g(x)滿足〉=g(x+D-l為奇函數，且其圖象與函數Ax)的圖象有2024個交點，記為

2024

4(4％)0=12…,2024),則Z(x,+%)=4048

i=l

2024?重慶一中2月月考

24.己知定義在R上的函數/(x),/0-2)是奇函數，”X-1)是偶函數，當xw[T,0],/(》)=公2+法,

/⑴=2,=則下列說法中正確的有()

A.函數/(x)的最小正周期為4

B.函數/(x)關于點(1,0)對稱

C./(2023)+/(2025)-0

D.函數g(x)=/(尤)-ln|x|有8個不同零點

【鞏固練習1］已知/(x)是定義在R上的奇函數，且/(x)在［0,2］上單調遞減，〃尤+2)為偶函數,

若在［0,12］上恰好有4個不同的實數根x15x2,x3,x4,則網+3+W+%=.

【鞏固練習2】已知函數/(x)(xeR)滿足：/(x+1)是偶函數，若函數了=卜2-2》-3|與函數〉=/(力

圖象的交點為(西,幾)，(X2，%)，L,,則橫坐標之和再+々+…+x,"=()

A.0B.mC.2mD.4m

【鞏固練習3】(2024?河南?模擬預測)己知函數/(無)的定義域為R,若g(x)=l-/(2尤-1)為奇函

數，且直線(2〃z+l)x+(l-勿”+3%=0與/(無)的圖象恰有5個公共點(孫兀)，伍，％)，(覆，為)，

5

(斗九)，(龍5，”),則￡(%-%)=.

Z=1

【鞏固練習4】定義在R上的函數滿足/(r)+〃x)=0,/(-x)=/(x+2);且當xe［0,l］時,

f(x)^x3-x2+x.則方程”(x)-x+2=0所有的根之和為()

A.6B.12C.14D.10

【鞏固練習5】已知定義在R上的偶函數/㈤滿足〃x)=〃2-x),當尤e［0,l］時，〃尤)=x.函數

g(x)=e-M(-l<x<3),則/(x)與g(x)的圖像所有交點的橫坐標之和為()

A.3B.4C.5D.6

【鞏固練習6】定義在R上的函數/(、)滿足/(r)+/(x)=0J(x)=/(2-x)；且當XE［0刀時，

f(x)=x3-x2+x.則方程7/(x)—x+2=0所有的根之和為()

A.14B.12C.10D.8

【題型10］由解析式看出對稱性

2024?湖南師大附中月考(四)

/承心?技巧

一、具有中心對稱的函數往往需要先移項，再脫掉“廣

二、具有軸對稱的函數脫掉后注意加絕對值符號

25.函數，卜)=l1+23口+2023間在區間［-3,5］上所有零點的和等于()

A.2B.4C.6D.8

2024?福建泉州?質量監測(三)

26.已知函數/(x)=/1-2j,g(x)滿足g(l+3x)+g(3-3x)=0,G(x)=/(x-2)-g(x),若

6卜)恰有2"+1(〃€^)個零點，則這2〃+1個零點之和為()

A.2nB.2〃+1C.4〃D.4〃+2

2024?四川瀘州?二模

27.定義域為R的函數“X)滿足f(x+2)=/(x-2),當xe［-2,2］時，函數設函數

g(無)=e*2(_2<x<6),則方程/(尤)-g(x)=0的所有實數根之和為()

A.5B.6C.7D.8

2024?廣州市鐵一中?一模

28.已知函數〃x)=sin(2m)+—1,則直線y=x-2與的圖象的所有交點的橫坐標之和為

x—2

()

A.0B.8C.12D.16

【鞏固練習1】已知函數/'(%)=爾+a-2,若“2023)=10,則”-2023)=.

【鞏固練習2】已知函數/(》)=/一2》+4(/7+1+1)有唯一零點，則。=

11c1

A.—B.—C.~D.1

232

【鞏固練習3】(2024?安徽阜陽?期末)若函數〃無)="?卜"-b)+”111(無+正~71)+1(加，〃為常數)

在［1,3］上有最大值7,則函數〃x)在13,-1］上()

A.有最小值-5B.有最大值5C.有最大值6D.有最小值-7

,4

【鞏固練習4】己知函數/(x)=--------+sinx,貝！］

ex+1

7(-2020)+/(_2019)+-■?+/(-1)+/(0)+/(1)+……/(2020)=

【鞏固練習5］若函數f(x)=

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【題型11】由對稱性解函數不等式

益心?技巧

一、具有中心對稱的函數往往需要先移項，再脫掉

二、具有軸對稱的函數脫掉“廣后注意加絕對值符號

29.已知定義在7?上的函數在［0,+s)上單調遞增，且函數人刈一1為奇函數，貝I］43%+4)+41

一幻<2的解集為.

30.已知函數y=/(》一1)的圖象關于x=l對稱，且對>=/(x),xeR,當西,/e(-oo,0］時,

二二<0成立，若/(2?x)勺N+1)對任意的xe火恒成立，則a的可取值為()

A.-72B.-1C.1D.V2

【鞏固練習1］已知函數y=/(3x+l)為偶函數，且在［0,+e)上為增函數，若/(x)<〃2x+l),則X

的范圍是

【鞏固練習2】（2023?重慶八中）已知y=/（x+l）為偶函數，若對任意a,be[l,+oo）,（。片與，總有

4伍）+"（。）＜/?⑷+"僅）成立，則不等式/'（2x）＜/（4）的解集為（）

A.(-1,2)B.(-2,2)

12_L2

3；3357

【題型12]由解析式看出對稱中心再解函數不等式

核心?技巧J

具有中心對稱的函數往往需要先移項，再脫掉ar

31.已知函數/（x）=sin（x-1）+e'T--x+1在R上單調遞增,貝!]滿足/■（尤）+/（3-2x）＜0的x的取

值范圍是（）

A.（-℃,3）B.（3,+oo）C.（-8,1）D.（1,+?）

32.已知函數/（%）=—2024x-2024x+4,其中e是自然對數的底數，若/（0一6）+"°2）＞8,

2024

則實數。的取值范圍是

33.已知函數〃工）=苫3+111（77[1+苫），若不等式/（2、-4'）+/（加2-3）＜0對任意；（；611均成立，

則正的取值范圍為.

【鞏固練習1]（2024?山東?模擬預測）已知函數/（切=91-$3+$山（梟-：）+1,則不等式

/（2x+l）+/（2-x）＞2的解集為.

【鞏固練習2】已知函數4x）=4-e工-2x+4,其中e是自然對數的底數，若/（°-6）+/（/）＞8,

e

則實數。的取值范圍是（）

A.（2,+S）B.（-3,2）

C.(-oo,-3)D.(T?,-3)U(2,+co)

【題型13］由解析式看出對稱軸再解函數不等式

"心

具有軸對稱的函數脫掉“廣后注意加絕對值符號

34.已知函數/■口六/+b+尼此則不等式/■（尤+l）＞/（2x-l）的解集為（）

A.（。0B/0,",2；

C.（0,3）D.陷嗚,3）

35.（2024?山東青島三模）已知函數/（口=（/-則滿足不等式〃2力＜/（4）的x

取值范圍為（）

A.（一與2）B.（-1,2）C.（2,+s）D.（1,2）

【鞏固練習1】已知定義在R上的函數/0）在（-8,2］上單調遞增,若函數/0+2）為偶函數，且/（3）=0,

則不等式無）＞0的解集為（）

A.(0,3)B.(―8,0)U(7,3)

C.(-00,0)U(3,+OO)D.(0,7)U(3,+8)

【鞏固練習2】已知函數f（x）=X2+2X+Tx,若不等式/（l-ox）＜/（2+x2）對任意XGR恒成

立，則實數。的取值范圍是.

7_Y2

【鞏固練習3】設函數/（幻=3+k+二」\，若/（辦）2/（1+4）恒成立，則實數a的取值范圍

1+x

是_________

【題型14］配湊后得出新函數的對稱性

逸心4^

通過構造新函數來解決問題

36.(多選)定義在R上的函數/(x)滿足“3-x)--(3+x)=4x,函數/(2x+l)的圖象關于(0,2)對

稱，貝I]()

A.8是/(x)的一個周期B.42)=4

C./㈤的圖象關于(1,2)對稱D./(2025)=-4046

【題型15】已知一個對稱軸(中心)和周期

已知一個對稱軸軸(中心)和周期的問題不能直接套用sin,cos的函數來得出另一個對稱中心(軸)

2024?重慶?康德卷模擬調研卷(四)

37.已知“X)是周期為3的函數，且VxeR都有〃3x)+〃4-3x)=4,則〃2024)=()

A.-4B.-2C.2D.4

2024?廣東?百日沖刺聯(一模)

38.已知函數〃(x)的定義域為R,且滿足"％+1)+1。-1)=2,”(2-乃是偶函數,力(2)=0,若〃eZ,

103

則Z以")=()

〃=-103

A.202B.204C.206D.208

2024?江蘇徐州?一模

39.若定義在R上的函數滿足〃X+2)+/(X)=/(4),〃2x+l)是奇函數，［(；)=［貝I］()

1711171

A.￡/(后-弓)=-弓B.尤/(左-彳)=0

左=1//k=l/

1711717117

c.XW--)=-yD.EW--)=Y

k=l乙Lk=\ZZ

2024?長沙市第一中?適應性演練(一)

40.(多選)已知定義在R上的函數/(x)滿足/(x+2)+/(x)="2026),且是奇函數.則

()

A./(1)+/(3)=2B./(2023)+/(2025)=/(2024)

2024

C./(2023)是/(2022)與/(2024)的等差中項D.￡/⑺=2024

Z=1

【鞏固練習1】函數/(X)的定義域為R,且〃x+2)=-〃x+l)-,/(x)=/(2-x),

/(365)=-1,則/⑴+/(2)+八3)+…+/(2023)=.

【鞏固練習2】已知函數/(無)的定義域為R,且滿足〃x)+〃x+4)=/(21