專題4-2三角恒等變換16類常考題型匯總

近5年考情（2020-2024）

考題統計考點分析考點要求

已知二倍角余弦值，求角的正

2024年I卷第4題，5分

弦值

2024年n卷第13題，5分根據給定條件，利用和角、差角

2023年新高考二卷，第7題,5分的正弦公式求出sin（a+）），再二重根式化簡

利用二倍角的余弦公式計算作二倍角公式

2023年新高考I卷，第8題,5分

答和差公式+二倍角公式

2022年新高考n卷，第6題,5分由兩角和差的正余弦公式化簡，有和差化積的背景

結合同角三角函數的商數關系和差公式

2021年新高考I卷，第6題,5分根據tand的值，對齊次式化簡，正余弦齊次式計算

結合二倍角的平方式二倍角公式

模塊一、熱點題型解讀（目錄）

和差公式

【題型1】和差公式的逆用

【題型2】與坐標系中的象限角結合

【題型3】拆角與湊角

【題型4】切化弦

【題型5】統一角度化簡

二倍角公式

【題型6】二倍角與誘導公式的配湊

【題型7】擴角降瓶

【題型8】二倍角與平方公式結合

【題型9】化為一元二次方程或二次函數

【題型10】化為半角（縮角升暴）

【題型11］和差公式與二倍角公式結合

綜合應用

【題型12］tan與齊次式

【題型13］輔助角公式的綜合應用

【題型14］化為同名函數

【題型15］和差化積與積化和差

【題型16］拆角與湊角進階

模塊二1核心題型?舉一反三

和差公式

【題型1］和差公式的逆用

基礎知識1

運用兩角和與差的三角函數公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形.公式的逆

用和變形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉化的能力.

（T）sin（6Z±J3）=sinacosP±cosasin/3；

（2）cos（6r±y0）=cosacos+sinersin［3；

…?小tana±tan尸

③tan（o±0=^--------------匕；

1+tantanp

1.8580。8535。+8510。8555。的值等于().

A.立B.-立C.1D.--

2222

2.若sin2a=---------------/6分。工+E且aw土far,左￡z],則cos(2c-Q)=()

tana-tan(3\2)

A.—B.0C.-D.1

22

3.(汕頭市2023-模)已知xj。,，ye[。,"溶3=上手，則下列判斷正確的

12/I2Jcosx-sinxsin2y

是（）

【鞏固練習1]tan10°+tan50°+也tan10°tan50°=

【鞏固練習2】江蘇省決勝新高考2023-2024學年高三大聯考

已知實數m，〃滿足（機+1乂〃+1）=2,則加，〃可能是（）

,713兀一兀3兀

A.m=tan——,n=tan——B.m=tan—,〃=tan——

161688

「兀3兀一兀3兀

C.m=cos——,n-tan——D.m-cos—,n-tan——

161688

.兀71

xsin一+ycos—

且滿足一J-=tann黑，則)=________.

【鞏固練習3］設蒼丫均為非零實數，

兀?兀20x

xcos--ysm—

【題型2】與坐標系中的象限角結合

基礎知識

兩角和與差正切公式變形

tana±tan尸=tan(cr±/?)(1+tantan/?);

八1tana+tan￡tana-tan尸

tana?tan/?=l------------------------------------1

tan(cr+p)tan(a-p)

4.已知角。?兀,2兀),6終邊上有一點(cosl+sinl,cosl-sinl),則夕=()

.兀71

xsin一+ycos—。

5.設為y均為非零實數，且滿足一2----i=tan蕓，則1=

20

xcos|-JSin|x

【鞏固練習1】已知cosa=g,ae(0,1j,角力的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終

邊經過點尸(產,白，且匹(0,兀)，則j=,

【鞏固練習2】在平面直角坐標系xOy中，角a與角力均以。尤為始邊，它們的終邊關于y軸對稱.

若sina='，則cos(a-，)=.

【鞏固練習3】如圖，在平面直角坐標系中，以。4為始邊，角a與夕的終邊分別與單位圓相交于E,

若直線￡F的斜率為:，則sin(a+/?)=(

尸兩點，且)

158815

A.B.C.D.

17171717

【題型3】拆角與湊角

基礎知識

常用的拆角、酉己角技巧：2a=(a+/7)+(a—4)；a=(a+4)一尸二(二一/7)+￡；

=—^^=(a+2/7)—(。+/?)；a-p={a-y)+{y-/3)；15°=45°-30°;

7.(2023?湖北?二模)已知sinasin=3cos6zsina+—貝Ucos12a+m卜(

I6

A.-且B.-1C.；D.也

222

8.(長沙一中校月考)已知角。,方￡(0,兀)，且sin(a+/?)+cos(a-/7)=0,sinasin/?-3coscrcos/?=0,

貝(Jtan(a+/7)=

【鞏固練習1]2024?浙江省金麗衢十二校第一次聯考

9.已知a是第二象限角，尸,0,小,tan(a+：＞-；，現將角a的終邊逆時針旋轉夕后得到角八

1

若tan/=—,貝ljtan'二

【鞏固練習2】2024?山東濰坊?統考

713."，其中ae兀3兀tana

10.已知cos~~a=—.sin，匹則(

513了丁由二

56

A.B.C.-17D.17

63

【鞏固練習3】2024屆?福建省高三下學期數學適應性練習

11.已知V^tan(a+3cos(。一四)=1,則sin2a=()

44

【鞏固練習4】已知a,p都是銳角，tan（a+0=-l,則+

cosacosp

【題型4】切化弦

2024?長沙雅禮中學?月考試卷數學（六）

12.若。［。，個］,tan2a=C°S6Z,貝Utana=________

I2)2-sincz

cos(aH-----)

【鞏固練習】若tana=則-------叵

./兀、

sin(a+—)

【題型5】統一角度化簡

基礎知識

通過和差公式利用特殊角進行拆分，達到化簡的目的

2024?湖南雅禮中學?月考（七）

1311()

2tan2002cos10°

A.V2B.BC.V3D.2

2

14.求值：--------------=()

sin80°

A.否B."D%

C.-A/3

33

計算：4^cos800+3tanl01=_________

11‘31]

【鞏固練習1]（2023?河南洛陽?模擬預測）=()

cos40°?1.sin220°cos220°J

A.16B.32C.48D.52

【鞏固練習2】(2023.江蘇.三模)已知cos(40O—e)+cos(40o+e)+cos(80O-e)=0,則由。=()

A.一6B.蘭C.f

D.6

【鞏固練習3】已知cos(4OO—0)+cos(4(r+e)+cos(8OO—6>)=O,則tanO=

百-4sin20°+8sin320°

【鞏固練習4]化簡求值（1）(2)

2sin20°sin480°cos210°Jcos20°

二倍角公式

【題型6】二倍角與誘導公式的配湊

基礎知識

一般可以通過換元來簡化題目結構，關鍵在于配湊出90°

①sin2a=2sin?cosa;

②cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a;

2tancr

③tan2a=

1-tan2a

(In生-2a

15.已知sin-------FCC=—,則cos

I633

【鞏固練習1】已知cos[a+%J=§,貝ljsin[2a—不

【鞏固練習2】若cosa+3cos分=&5,。+/?=^,則cos2￡=.

二也,6+工71]=逅

【鞏固練習3】已知力￡（0,兀）,tana+—,貝！Jcos(2a—/7)=()

I3-2(63

A.一偵「5百D.息

L.-----

993

【題型7】擴角降森

基礎知識

.1.c.21-cos2a1+cos2a

sinacosa——sin2a\sina=-------------;cos2a=-------------

222

A.1B.1-sin2xC.l-cos2xD.-1

【鞏固練習1]r則2cos+=----------------

【鞏固練習2】已知6sin2f-+-^=--—則tan(2"/］二()

((84)210I4j

117

A.D7D.13

1331

17.【鞏固練習3](難)閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關系的數學

定理，運用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題.余弦定理

是這樣描述的：在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為久b、c,則三角形中任意一邊的

平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍.用公式可描述為:

?2=Z72+c2-2ZJCCOSA，b1—a2+c2-laccosB,c2=a2+b2-labcosC

1

rA3

現已知在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別。，b,c,且(acos?—+ccos2—)(a+c-Z?)=—ac,

222

則3=_______

【題型8】二倍角與平方公式結合

基礎知識

1+sin2x=(sinx+cosx)2

cos2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)

2024?福建龍巖?階段練習

18.已知5皿0-$足/?二一|>以)52-<：05夕=|',且a,/?￡[(),]),則tan(a—夕)的值為()

A2V14R2^4「小NA/5

5522

19.已知sine+cos9=2sina,sin8cos6=sin20,則4cos22cr-cos22/=.

【鞏固練習1】2024?浙江省?Z20名校聯盟第一次聯考

20.已知sina—cosa=L0<a<7i,則sin[2a-()

5I4；

A17aR17A/2-31V2n310

50505050

【鞏固練習2】2024?遼寧沈陽?統考

已知0<a<"|,2sin/7-cosar=l,since+2cos￡=g,,貝|cos[a+IJ=____

【鞏固練習3】2024?江蘇南京市、鹽城市?一模

已知a,￡,且sintz-sin/?=-；,cosa-cos/，=；,則tancr+tan尸=_____.

【題型9】化為一元二次方程或二次函數

21.（2023?深圳中學校考階段練習）已知a,^2cos26Z+15sincr+2=0,貝tanc二_______

【鞏固練習1】已知aee,:，，且3cos2a—4sina=l,貝i]tan2a=()

B.逑（：.-1D.一延

3737

【鞏固練習2]函數y=cos;2x+2sin%—2,x￡R的值域為_________

【鞏固練習3]2024?重慶八中?月考（五）

已知,2sin2a=cos2a+2則cosa=()

1

ABcD.

-f-f-13

【題型10】化為半角（縮角升瓶）

基礎知識1

.2a1-cosaa1+cosa

sin—;cos2

22~2~-2-

22.(2023?江門統考練習)已知1.叩；6+Jin」%則1?。=

sin01+cos0

a

1-tan

3

23.若sina=一，a是第三象限角，則-2--=-(-)

a

51+tan

5

A.-2B.2c.--D.§

33

sin3二e/

【鞏固練習1]已知=A/3,則tan。一()

1一cos，

A.B

B.C.D.-y/3

33

,1-cosx+sinx-

【鞏固練習2]B知------------=-2,則tanx的值為（）

1+cosx+sinx

4433

A.一B.——C.一D.——

3344

【鞏固練習3】2024?遼寧丹東?一模

7T(1+sina)(l+cosa)_

已知ae(0,一),4^2+1,貝！Jsin2a=()

2[(1-sina)(l-cosa)

A472+1口40+14拒-1D.組

r\..---------D.---------

816816

【題型11]和差公式與二倍角公式結合

2023?新高考I卷T8

24.已知sin(o—尸)=l,cosasinyff=',貝ijcos(2。+2/7)=(

).

36

17

ABC.——D.

-?-199

2024?湖北?二模

7171cosa,貝usin12a—g

25.若ae,tana二-------)

2,23-sina

A4巫+7B.Gr4二十7百4夜-7b

L?--------------------D.

18181818

【鞏固練習1】已知月均為銳角，tana+tan^=2sin（a+4）,且cos（a+〃）=；,則

cos2(a-/)=

日，7i

【鞏固練習2]己知ecos(2cr+2y0)=--,sinasm/3=—,則cos(a—〃)=()

1

A?-:B.-cD

6-I-i

已知xe(0,—cosx+sinxl-cos2y2一“一一，r

【鞏固練習3],”嗚,kLTTF,則下列判斷正確的是（）

A.tan(y-x)=lB.tan(y-x)=-lC.tan(y+x)=lD.tan(y+x)=-l

【鞏固練習】已知卜71cosx+sinx_1-cos2y

4,則下列判斷正確的是（）

2cosx-sinxsin2y

A.tan(y—x)=lB.tan(y-x)=-lC.tan(y+x)=lD.tan(y+x)=-l

33

【鞏固練習5]（重慶巴蜀中學適應性月考）（多選）已知0＜。＜兀＜，＜5兀，cos2a=-

5

cos(a+￡)=一^^,則()

B.sin(a+尸)=_^^-C3K

A.tana=-2C.0-a=D.cosacos/3=一冬

綜合應用

【題型12]tan與齊次式

基礎知識

弦化切：把正弦、余弦化成切的結構形式，統一為“切”的表達式，進行求值.常見的結構有：

(1)sina,cosa的二次齊次式(如^sin2(z+Z?sin(zcosa+ccos2a)的問題常采用“切”代換法求解;

(zjcino+〃COSi

(2)sina,cosa的齊次分式(如《sina+dcosJ的問題常采用分式的基本性質進行變形?

常用變式

.小2sinacosa2tana八cos2?-sin2cr1-tan2aasina1-cosa

sinla=--------------=------------；cos2a=--------------=------------；tan—=-----------=一；-------

sincz+cosa1+tanasina+cosa1+tana21+cosasina

2024?浙江寧波?聯考

已知，門?cos4A-4cos2A+3

26.tanA=2則----------------

2cos4A+4cos2A+3

A-AB-I

C-iD./

(TTicosa

27.(2021?全國?統考高考真題)若ae0,彳,tanZau7~；—，貝l]tanc=()

k2J2-sina

叵

叵B好>----

IT.53,丁

28.已知角6的大小如圖所示，則FT=()

C.-4D.4

33

29.若040,；sin。sincos

則tan8=

2cos之。l-sin28

sin6(1+sin26)

【鞏固練習1](2021?全國?統考高考真題)若tan6=-2,則—\)

sin0+cos0

A-4B-4c-1D-I

【鞏固練習2】2024?湖北?統考

sin。sin。一cos。

若。e*，，貝!|tan6=

2cos%l-sin26

【鞏固練習3】已知角a滿足2sinIa-5兀

=tan—cosa,則sin2e+2cos2o■的值為()

12

BD

A-?-1-1

【鞏固練習4】2024屆?安徽省示范高中皖北協作區高三下學期數學聯考

3

已知tan(a—p)="sin(cr-/7)=3cos(cr+/7),則tana—tan/=()

A1BCD

八?2-i-I-i

【題型13]輔助角公式的綜合應用

基礎知識

bab

(1)6zsincr+Z?cosa=a2+b2sin(cr+cp)(其中sin°=/，COS(p=-p,tan^z?=—

Ja2+b2yla2+b2a

G2J療+.2n/_n

I//msincoxcoscox+ncoscox=------------sm(2o%+0)+—,tan^=一.

22m

2024屆?重慶八中等多校3月適應性月考卷(六)

貝I]sin(2a-的值為()

30.若a

A239近B6「1190n120后

L\.--------------

338338338338

2024?江西省統一調研測試

31.已知圓上兩個不同的點A(cosa,sina),5(cos^sin^),若直線A5的斜率為-1,則tan二；分

（）

A.-1B.1C.-2D.2

【鞏固練習】已知f（x）=cos（x+e）+2sinx的最大值為3,則tan^=.

【題型14］化為同名函數

2024?江西?聯考

2

32.已知a,2（sin^+sin>0）=^^,貝|tan12c+Q+S）=（）

A.一6B.一且C.且D.73

33

2024?江蘇揚州?統考

33.已知口，般則tan,+￡+?=（）

A.一&B.一乎C.乎D.6

【鞏固練習1】（云南師范大學附屬中學月考）設ae0彳，匹。4，且tana-cos分=l+sin4,

貝U（）

A.sin（3cr-/?）=lB.sin（3a+/）=-l

C.sin（2a-分）=1D.sin（2a+'）=-l

【鞏固練習2】（2023?廣州一模T7）若。，，《千萬｝且（l—cos2&）（l+si“）=sin2acos4，則下

列結論正確的是（）

A.2a+/?=yB.2a-13~

77TTT

C.a+/3=—D.a-/3=—

sin（2a+￡）/、1

【鞏固練習3】（2023?重慶市第八中月考）已知0片,—------^—2cos（a+Q）=—,則

sinatana

A.a+/=]B.1+4=日

C.a-p=-^D.a-p=-

【鞏固練習4】若且（l-cos2c）（l+sin/?）=sin2ccos/7,則下列結論正確的是（)

37r

A.oc—[3—B.2a-j3=—

-c5兀—cI

C.a+/3=D.2aj3=—

_,,.—一人八,一八「l+cos2crl-cos2/?

【鞏固練習5】右兩個銳角a,月滿足2c°sa+sin2「FF,貝｛]cos|a+2力+—)-

sin/?—cos。

【鞏固練習6】（廣州市天河區綜合測試）若tan2a-5貝Ijl—2cos2(2a—夕)=(

sin/?+cos/'

A-3B-4C-TD--T

【題型15］和差化積與積化和差

基礎知識1

\v.nrx-cc/3ex,—B.-ccB.oc—f3

和差化積公式：sina+sinp=2sin-^-cos-,sma-smpn=2cos---sin---

ncCC-\-(3cc—PQc.cc-\-/3.cc—/3

cosa+cosp=2cos------cos-------,cosa—cosp=—2sin-------sm------

2222

積化和差公式：sinacosP=；[sin(a+￡)+sin(a-￡)],cosasin[3=g[sin(a+p)-sin(a-77)],

cosacosp=g[cos(a+4)+cos(a-；0)],sinasin[3=一;[cos(a+尸)一cos(a-p)].

34.已知cos(i一尸)=一，sin。sin6二----,則cos2a-sin?/?=

35.（2024?湖北?階段練習）已知函數/（%）=cos2x+cos3x,X￡（。,兀），若/（幻有兩個零點石,%2（芯＜%2），

則()

A.等｛引闖B.x?=2再

1

C.cos%+cosx2=—D.cosxYcosx2=

【鞏固練習1】（全國?高考真題）sin20Ocos70o+sinl0Osin50。的值是（)

AD.

-i4

7元2兀712兀

【鞏固練習2】2sin—s