專題2-1函數的基本概念（解析式，定義域，值域）

近4年考情（2020-2024）

考題統計考點分析考點要求

函數的解析式與定義域、值域問

2021年浙江卷：第12題，5分題是高考數學的必考內容.從近

（1）了解函數的含義，會求

幾年的鬲考情況來看，鬲考對函

簡單函數的定義域和值域

年浙江卷：第題，分數的概念考查相對穩定，考查內

2022145（2）會根據不同的需要選擇

容、頻率、題型、難度均變化不

恰當的方法（圖象法、列表

大，函數的解析式在高考中較少

年北京卷：第題，分法、解析法）表示函數

2023115單獨考查，多在解答題中出現.

（3）7解簡單的分段函數，

高考對本節的考查不會有大的

并會應用

2024年上海卷，第2題,5分變化，仍將以分段函數、定義域、

值域及最值為主.

模塊一

【題型11函數的概念...................................................................2

【題型2】同一函數的判斷..............................................................3

【題型3】已知函數類型求函數的解析式（待定系數法求解析式）...........................5

【題型4】建立方程組求解析式（方程思想）..............................................6

【題型5】求嵌套函數的解析式（換元或配湊）............................................7

【題型6】求具體函數的定義域...........................................................9

【題型7】已知定義域求參數............................................................10

【題型8】抽象函數的定義域問題........................................................12

【題型9】分離常數法求值域............................................................14

【題型10】換元法求函數的值域.........................................................15

【題型11］對勾函數值域問題...........................................................16

【題型12］已知值域求參數范圍.........................................................17

【題型13】分段函數及其應用...........................................................19

模塊二、核心題型?舉一反三

［題型1］函數的概念

基礎知識

一般地，設/、B是非空的實數集，如果對于集合/中的任意一個數x,按照某種確定的對應

關系人在集合3中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱了:為從集合/到集合3的一個

函數，記作廣信）.

1.下列關系中是函數關系的是（）

A.等邊三角形的邊長和周長關系B.電腦的銷售額和利潤的關系

C.玉米的產量和施肥量的關系D.日光燈的產量和單位生產成本關系

【答案】A

【解析】根據函數關系的定義可得，

選項A中，當等邊三角形的邊長取一定的值時，周長有唯一且確定的值與其對應,

所以等邊三角形的邊長和周長符合函數關系；

其他選項中，兩個量之間沒有明確的對應關系，所以不是函數關系故選：A

2.下列圖象中，表示函數關系y=/（x）的是（）

【答案】D

【分析】利用函數的概念即可求解.

【詳解】根據函數的定義知，一個x有唯一的y對應,由圖象可看出，只有選項D的圖象滿足.

3.如圖所示，下列對應法則，其中是函數的個數為（)

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】①②③這三個圖所示的對應法則都符合函數的定義，

即/中每一個元素在對應法則下，在3中都有唯一的元素與之對應,

對于④⑤，/的每一個元素在5中有2個元素與之對應，.二不是4到5的函數,

對于⑥，/中的元素。3、%在5中沒有元素與之對應，???不是/到5的函數，

綜上可知，是函數的個數為3.故選：A.

【鞏固練習1】下列圖象中，能表示函數y=/（%）圖象的是（）

A.①②B.②③C.②④D.①③

【解題思路】根據函數的定義判斷可得出結論.

【解答過程】解：??,一個支只能對應一個y,???①③符合題意，

對于②中，當%>0時，一個為對應兩個y,不符合函數的定義；

對于④中，當％=0時，一個久對應兩個y,不符合函數的定義.

【鞏固練習2】設集合M={x|0VxW2},N=刨0VyV2}.下列四個圖象中能表示從集合M到集合

N的函數關系的有（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

【答案】C

【分析】根據集合/到集合N的函數定義即可求解.

【詳解】①中：因為在集合“中當1<X42時，

在N中無元素與之對應，所以①不是；

②中：對于集合”中的任意一個數x,

在N中都有唯一的數與之對應，所以②是；

③中：x=2對應元素了=3eN,所以③不是；

④中：當x=l時，在N中有兩個元素與之對應，

所以④不是；因此只有②滿足題意

【題型2】同一函數的判斷

基礎知識

兩個函數相同需要滿足的條件是：1.定義域相同:2.解析式相同.

4.(2024?重慶?二模)下列函數中，與y=x是相同的函數是

A.y-B.y—lgl0%

C.y=fD.y=J(久一1尸+1

【解題思路】求出各選項函數的定義域，并對解析式進行化簡，要求所選函數的定義域和解析式都

與函數y=x的定義域和解析式一致，可得出正確的選項.

【解答過程】對于A選項，函數y=瘍=㈤定義域為R,其解析式與函數y=x的解析式不一致，

兩個函數不是同一函數；

對于B選項，函數y=lgl()x=x的定義域為R,其解析式與函數丫=久的解析式一致，兩個函數是同

一函數；

2

對于C選項，函數y=七的定義域為{%|久W0},和函數y=%的定義域不一致，兩個函數不是同一^函

數；

對于D選項，y='(%一1)2+1=1%一1|+1的定義域為R,但其解析式與函數y=%的解析式不一

致，兩個函數不是同一函數.

【鞏固練習1](2024?山東?一模)下列各組函數中，表示同一函數的是()

A./(%)=elnx,.(%)=%

~一4

B./(x)=—

C-fM=^,gM=sinx

D.f(x)=|x|,g(x)

【解題思路】根據同一函數的定義對四個選項中的兩個函數進行比較即可.

【解答過程】選項A:函數八>)的定義域是x>0,函數g(x)的定義域是全體實數，故這兩個函數不是

同一函數；

選項B:函數/(%)的定義域是工。-2,函數g(%)的定義域是全體實數，故兩個函數不是同一函數；

選項C:函數/(%)的定義域是％Hk7i+](/cEZ),函數g(%)的定義域是全體實數，故兩個函數不是同

一函數；

選項D:函數/(%)和g(%)的定義域都是全體實數，且g(%)=\6記=|%],對應關系相同，所以是同一

數，故故選D.

【鞏固練習2](2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)下列各組函數中，表示同一個函數的是()

A./(%)=%,g(%)=亍B./(%)=GR),g(%)=x(xGZ)

C./(X)=|幻，9(久)={H：°0D./(x)=X,g(x)=(V^)2

【解題思路】分別求得函數的定義域和對應法則，結合同一函數的判定方法，逐項判定，即可求解.

2

【解答過程】對于A中，函數/(x)=x的定義域為R,函數g(X)=?的定義域為(-8,0)U(0,+8),

兩函數的定義域不同，不是同一函數；

對于B中，函數/0)=雙支6/?)和90)=%(>€2)的定義域不同，不是同一函數；

對于C中，函數/(尢)=㈤=與9(無)=｛之；；］的定義域相同，對應法則也相同，所以

是同一函數；

對于D中，函數〃>)=x的定義域為R,g(x)=(近>的定義域為［0,+8),兩函數的定義域不同，

不是同一函數.

故選：C.

【題型3】已知函數類型求函數的解析式(待定系數法求解析式)

基礎知識

待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法來求解.

5.若二次函數人x)滿足於+1)—/)=2幾且次0)=2.求加)的解析式

【答案】/(x)=x2-X+2;(2)m<0

【解答】解：/(x)=ax2++c,由次0)=1得c=2,故/(工)=。X2+bx+2.

因為/(x+1)—/(x)=2x,所以a(x+l)2+b(x+l)+2-(ax2+Z?x+2)=2x.

2a=2a=1

即2ax+a+6=2x,所以q+b=o，匕=—i,

所以/(x)=x2-x+2

【鞏固練習1］已知二次函數/(%)滿足/(x+l)=/(x)-2X+2,且/(o)=2.求/(%)的解析式

【答案】f(^)=—x2+3x+2

【思路點撥】設+區+°(。。0),利用/(x+l)=/(x)-2x+2建立恒等式求解即可；

【詳解】設二次函數/(%)=辦2+及+。(”wO),

因為/(0)=。=2,所以/(x)=加+云+2.

由/(x+1)=/(x)-2x+2,得〃(x+l)2+6(X+1)+2=QX2+bx+2-2x+2,

得af+(2q+b)x+〃+6+2=ax2+(b-2)x+4,

=/、

所以；(2jQ++6=26=—42,得{"a3—1'故〃X)—7+3x+2.

【鞏固練習2】已知函數/(%)二—久2一2%+3,則/(%+1)=_—x--4x.

【解題思路】代入函數解析式計算即可.

【解答過程】解：因為/(%)=-久2—2%+3,所以/(%+1)=—(%+1)2—2(%+1)+3=—/—4%,

/(%+1)=-x2—4x.

故答案為：—/—4冗.

【鞏固練習3](2024?廣東東莞?二模)已知函數/(%)=a%—b(a>0),/(/(%))=4%-3,則

/(2)=.

【解題思路】利用直接代入法結合對應系數相等可得見b的值，將2代入可得結果.

【解答過程】由題意，得=/(ax-6)=a-(ax—b)—b=a2%—(ab+b)=4%—3,

a2=4_

即ab+b=3,解得｛：[：，.?-/(x)=2x-l,因此/⑵=3

a>0

【題型4】建立方程組求解析式(方程思想)

基礎知識1

已知關于火x)與或人-X)等的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過

解方程組求出/(X).

6.(廣東深圳實驗?？?已知函數T(x)滿足2〃x)+/[j=2x,無eR且x/0,則

〃x)=.

4r2

【答案】W

【思路點撥】用工替換X,再解方程組可得答案.

X

【詳解】由2〃x)+/[￡|=2x①，

用工替換尤，得2dm+〃x)=2②,

XIXJX

74r2

①x2—②，得3/(x)=4x—-,得“x)=p-『.

Xo<JX

1丫

【鞏固練習1](廣東廣雅中學校考)己知〃上)=3，則/(x)=.

Xl-x

X

【答案】丁a。0)

X-71

【思路點撥】令：=得到/(。=看，進而求得函數/(X)的解析式.

11

【詳解】令l=/,則X」且fHO,所以1~7=」7，

Xt11t-[t-[

7上

所以函數/(X)的解析式為/(%)=2"(xwO)

X—1

【鞏固練習2】若對任意實數x,均有/(x)-2/(-x)=9x+2,求/(x).

【答案】3x-2.

【解析】利用方程組法求解即可；

V/(x)-2/(-x)=9x+2(1)

x)-2/(x)=9(-x)+2(2)

由⑴+2x(2)得-3f(x)=-9x+6,

/(x)=3x-2(xe7?).

故答案為：3x-2.

【鞏固練習3】已知定義在R上的函數〃x)滿足/3+力(-力=，+工，則函數〃x)的解析式

f(x)=-

2x2+x—

【答案】

1+x2

【思路點撥】根據已知把X換成一X,建立方程組求解.

【詳解】因為/(工)+^(-工)=工2+X,把X換成一X有：f[-x)-j(f(x)=x2-X,

22

f(x)+xf(-x)=x+X々TIP/>/\2x+x—x-

聯立＜解付〃尸

f(-x)-xf(x)=x2-x'

【題型5】求嵌套函數的解析式(換元或配湊)

基礎知識

換元法：已知復合函數慮。))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.

配湊法：由已知條件/(g(x)尸F(x),可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以X替代g(x),便得小)

的表達式.

7.函數/(%)滿足若f(g(%))=9%+3,g(%)=3x+1,則/(%)=()

A./(%)=3%B./(%)=3

C.f(x)=27x+10D.f(x)=27x+12

【解題思路】對/(g(%))的式子適當變形，即可直接求出/(%).

【解答過程】因為/(g(%))=9%+3,g(%)=3x+1,

所以/(3%+1)=9%+3=3(3久+1),則/(%)=3x

8.若函數f[g(x)]=6尤+3,且g(x)=2x+l,則〃x)等于()

A.12x+9B.6x+lC.3D.3x

【答案】D

/-I

【解析】令g(%)=2x+l=Z,則x=-

.?./(^=6x^y-+3=3Z,即〃x)=3x故選:D.

【鞏固練習1]已知函數f(l—無)=p(久大0),則/(久)=()

A.占-1(久力。)B.小-1(力1)

4.4.

C.-^-7-l(x^0)D.1)

(x-1)2')(x-1)2'J

【解題思路】利用換元法令力=1-汽，運算求解即可.

【解答過程】令t=1—x,則久=1—t,且％H0,則tH1,

可得/。)="=小一1，?力1),

,1、

所以/(%)=-^—^2-1(%H1).

【鞏固練習2】已知函數/(%)滿足：/(%-§)=/+&則/(%)的解析式為()

A./(%)=%2+2B./(%)=X2

C./(x)=%2+2(%H0)D./(%)=x2—2(%。0)

【解題思路】通過化簡即可得出函數的解析式.

【解答過程】因為/(久―￡)=/+5=(久一,+2,.?./(>)=/+2,

【鞏固練習3】設函數+j=2x+l,則〃x)的表達式為()

A1+%/

C1+X7八c.￡("T)_2x/

A.二("I)B.-D

X—L-由"

【答案】B

【解析】令/=1+：931),則可得X(八I)

所以/(7)=—^―+I=HI),所以/(X)=l+X(尤R]),故選：B

%—1t—\X—1

【題型6】求具體函數的定義域

基礎知識

求給定解析式的函數的定義域，其實質就是以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等

式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.

9.函數/(幻=,3—1+/_2)。的定義域為

(I尸

【答案】(L2)U(2,3]

【解析】f3_x>0

<x-1>0nx￡(1,2)U(2,3]

x—2w0

/(2x)

10.已知函數/(x)的定義域為[3,6],則函數了一Jbgj2_x)的定義域為

【答案】1,2^

【解析】由函數〃x)的定義域是[3,6],得到3號.小，

23.「3

故<2-x>0即<2>x,解得：萬。<2；所以原函數的定義域是：—,2

log1(2-x)>01<%<2

【鞏固練習1]函數/Xx)=?的定義域為()

A.(-oo,3]B.(1,+oo)C.(1,3]D.(-co,1)U[3,+oo)

【解題思路】由函數形式得到不等式組，解出即可.

【解答過程】由題意得｛?—?。，解得i<xw3,則定義域為(1,3]

2v2

【鞏固練習2】函數/(x)=?=+(2x—1)°的定義域為(

)

y/1-X

A.O

中。04嗎

【答案】D

1-x>0,

【解析】由題意得，解得％V1且xwl

出一120,2

【鞏固練習3](2024?山東泰安?三模)己知函數人乃=擊，則函數筌的定義域為()

A.(-00,1)B.(-8,-1)

C.(-co,-1)U(-1,0)D.(-co,-1)u(-1,1)

【解題思路】先求得函數/(X)的定義域，再運用復合函數的定義域求解方法可得選項.

【解答過程】因為/。0=竟/，所以*—#>o解得x<o,所以函數/(式)的定義域為(一8,o),

所以函數叢0需滿足尤-1<0且久+1豐0,解得久<1且X力一1

x+1

【題型7】已知定義域求參數

基礎知識

函數定義域是研究函數的起點，常涉及到兩大問題：一是求函數定義域，二是已知函數的定義

域求參數.

一個帶參數的函數，已知函數值域求參數的問題，這類問題就是按照求值域的思路并與已知的

值域建立聯系求參數的值，本質上是已知不等式的解集求參數值，解題時從不等式的角度入手比較

容易.

11.若函數的定義域為R,則實數人的取值范圍是()

y/kx2+kx+l

A.(0,4)B.[0,4)C.[0,4]D.(0,4]

【解題思路】由題意可知質2+依+i>o的解集為R,分k=0,時0兩種情況討論，即可求解.

【解答過程】函數/(無戶4%2二%+：的定義域為R，可知左%2+々%+1>0的解集為R,

若k=o,則不等式為1>0恒成立，滿足題意；

若上°,則解得°<k<4.

綜上可知，實數左的取值范圍是gk<4.

2X-3

12.若函數〃x)=72的定義域為R，則實數a的取值范圍是___________.

7ax+ax+\

【答案】[0,4)

【解析】/(x)的定義域是R,則a/+如+1>o恒成立,

4=0時，OX?+QX+1=1〉0恒成立，

ftz>0

時，則L2/八，解得0<“<4,

A=a—4〃<0

綜上，0<a<4.

故答案為:[0,4).

【鞏固練習1】已知函數/(%)=+(=—3)%+1的定義域為R,則實數m的取值范圍是()

A.[1,9]B.(1,9)

C.(-8,1]U[9,+oo)D.{3}

【解題思路】利用題給條件列出關于血的不等式，解之即可求得實數血的取值范圍.

【解答過程】由題意得?71/+(771—3)%+1>0對任意％ER恒成立，

當771=0時，不等式可化為-3%+120,其解集不是R,不符合題意；

當7HW0時，由該不等式恒成立可得

m>0

解之得14血49,

—3)2—4m<0'

U綜上，實數血的取值范圍是14m<9

【鞏固練習2】已知函數/(%)=J(Q2一1)%2+(a+1)%+1的定義域為R,則實數〃的取值范圍為

()

A.[-1,|]B.(―8,—1)咤,+8)

C.[|,+8)D.(-OO,-1]U[|,+8)

【解題思路】分a=1、a=-l、a力士1三種情況，結合二次函數的性質即可求解.

【解答過程】當a=l時，f(x)=<2比+1,則2乂+120,得—g,即定義域為卜表+刃)，不

符合題意；

當a=-l時，/(x)=1,定義域為R,符合題意；

當Q。士1時，由題意得關于X的不等式(小-I)%2+(Q+1)%+1>0恒成立，

故=(a+I)2-4(a2-1)<0,解得a<一1或。？|

綜上，實數。的取值范圍是(一8,-1]咔,+8)

【鞏固練習3]已知函數/(%)的定義域｛%|次一4a<%V小一8｝是關于％的不等式

(x+a+2)(x-2)>0的解集的子集，則實數a的取值范圍是()

A.[2+V6,+oo)B.(-8,2]u[2+V6,+oo)

C.(2,2+V6]D.(2,3]

【解題思路】依題意解不等式即可.

【解答過程】函數/(x)定義域非空集，則a?—4aVa2—8,解得a>2.

記g(%)=(x+a+2)(%—2),

因為-2—a<—2—2=—4,所以g(x)>0的解集為(一8,—a—2)U(2,+8),

依題意有a2—8<—a—2或M—4a>2,所以4+a<6或小—4a—2>0,

又a>2,。2+。>4+2=6,所以aE[2+V6,+8).

【題型8】抽象函數的定義域問題

基礎知識

求抽象函數定義域的方法

⑴若已知函數人x）的定義域為則復合函數力g（x）]的定義域可由不等式a名（x）助求出.

（2）若已知函數/[g（x）]的定義域為[a,瓦則於）的定義域為g（x）在工可。向上的值域.

總結：抽象函數的定義域的方法是：整體代換法（括號內取值范圍相同）.

13.已知函數＞=/（x+l）的定義域為[1，2],則函數y=/（2x-l）的定義域為（）

-11「31

A.-,1B.—,2C.D.[3,5]

【答案】B

【分析】根據復合函數定義域之間的關系進行求解即可.

【詳解】,?,函數＞=/（x+l）的定義域為[L2],即l4x?2,可得2＜x+l＜3,

工函數＞=/（x）的定義域為[2,3],

3

令2W2x—1W3,解得

"3-

故函數歹=/（2%-1）的定義域為-,2.

14.已知函數y=/（尤+1）的定義域是[-2,3],則y=/（x-l）的定義域是（）

A.[-2,3]B.[-14]C.[0,5]D.[-4,1]

【答案】C

【分析】根據y=/（尤+1）的定義域求出了（無）的定義域，從而可求解.

【詳解】因為函數〉=/（》+1）的定義域是[-2,3],

所以xe[-2,3],所以x+1,即/'（x）的定義域為[-1,4],

所以x-l,解得xe[0,5],即y=/（x-1）的定義域是[0,5].

15.己知函數^=/（刈的定義域為[-2,3],則函數y="2x：D的定義域為（）

X+1

33

A.[--,1]B.[--,-l)u(-l,l]C.[-3,7]D.[-3,-l)o(-l,7]

【答案】B

3

【解析】由題意得：-242%+1?3,解得：—,4工4I,

由x+lwO,解得：xw—1,

故函數的定義域是-'，-,故選：B.

【鞏固練習1】已知函數y=/（x—1）的定義域為[1，2],則函數v=/（2x-1）的定義域為

【答案】-,1

_2_

【分析】根據復合函數定義域之間的關系進行求解即可.

【詳解】：函數y=/（x—l）的定義域為[1,2],即1VXV2,可得OWx—l<l,

二函數y=/（x）的定義域為[0,1],

4>0<2%-1<1,解得工

2

故函數y=/（2x-l）的定義域為g,l.

【鞏固練習2】已知函數y=〃x+l）的定義域為[-1,5],則函數/=/（2/）的定義域為（）

A.[0,3]B.[2,50]C.[-V3,V3]D.[-3,73]

【答案】C

【分析】首先求出x+le[0,6],則/（x）定義域為[0,6],再利用2/e[0,6],解出即可.

【詳解】,則x+le[0,6],.,./（X）的定義域為[0,6],

所以042—46,解得-JJwxwVL故其定義域為[-6,6]

【鞏固練習3】已知函數y=/（2。的定義域是『15，則函數/（logsX）的定義域是（）

A.[-1,1]B.——,3C.[1,3]D.[6,9]

【答案】D

【解析】由得2*e；,2,所以logjXe；,2,所以xe[百,9]故選：D

【鞏固練習4]（2024?陜西西安?一模）若函數/（久）的定義域是[0,4],則函數以久）=竽的定義域是

A.[0,2]B.（0,2）C.[0,2）D.（0,2]

【解題思路】根據分式與/（久）的定義域求解即可

【解答過程】要使函數有意義，依題意需有｛。;彳:彳解得，0<xW2.

【題型9】分離常數法求值域

基礎知識

一次分式函數：分離常數法+圖像法，形如/（x）=ax+b/0）的函數

cx+d

第一步：分離常數，將分子變為常數

aadadad

、ax+b-（cx+ci）+b--&分離出常數3和分子為常數的分式°一;

f（x）=------=---------------=-+——彳,----

cx+dcx+dccx+dccx+d

第二步：結合反比例函數y=J_的值域求函數/（X）的值域.

CX

16.函數歹=2x+l的值域為

X

【答案】（—叫2）U（2,+s）

_、、,2x+12x+2—1111

【詳解】因為歹=------=---------=2—,又因為一w0,所以2—。2,

XXXXX

所以函數歹=生口的值域為（―s,2）U（2,+s）.

X

【鞏固練習n（廣西南寧三中校考）若皿。a，則函數二二的值域為（）

A.[-2,0]B.(-叫-2]U[0,+s)C.[0,1]D.[-2,1)

【答案】A

3

【思路點撥】將函數變現為歹=1-----,結合反比例函數的性質計算可得.

x+1

Y—2Y+1—33

【詳解】因為---,又因為尤e[0,2],所以尤+le[l,3],

x+1x+1x+1

所以所以1---e[-2,0],所以函數y=—,xe[0,2]的值域為[一2,0].

X+1X+1X+1

【鞏固練習2】函數y二.的值域為

x—1

【答案】（―8,2）U（2,+8）

【詳解】因為y=紅工2=包二三3=3+工，又因為工wO,所以3+工w3,

x—\x—\x—\x—\x—1

所以函數j=3'+2.的值域為(一8,3)U(3,+oo).

x-1

【題型10]換元法求函數的值域

基礎知識

求根式型函數值域：換元法

形如y=+6+slcx+d(acw0)的函數

第一步：把函數中的根式而工Z設為一個變量t,并用t表示x,求出t的取值范圍.

第二步：將所求關于X的函數變換為關于/的函數.

第三步：求出y的取值范圍，即所求函數的值域.

17.函數/'(x)=-x+24的值域是.

【答案】(-叫1]

【思路點撥】通過變量代換1=&將函數/(x)轉化為二次函數，利用二次函數的圖象與性質分析運

算即可得解.

【詳解】解：由題意，函數/'(x)=-x+26的定義域為[0,+(?),

令/=?,貝卜20,x=t2,函數/(x)轉化為g(f)=-『+2乙/>0,

Vg(/)=-f2+2Z=-(Z-1)2+1,對稱軸為7=1,最大值為g(l)=l,

.?.當此0時,g(f)41,即g?)值域為(7』,

...函數f(x)=-尤+2。的值域是(-00,1].

【鞏固練習1](湖南長沙?高一長郡中學?？?函數y=2x+467的值域為()

A.(一8網B.(-oo,-8]

C.[2,+oo)D.[4,+oo)

【答案】A

【思路點撥】設百二1=人化簡函數為了=-2/+書+6,結合二次函數的性質，即可求解.

【詳解】設囪=嚏=3則90,且x=3-

則函數可化為了=2-(3-r)+4=_2產+4+6=-2(-1-+848,

所以函數的值域為(-oo98]

【鞏固練習2】函數/(JC)=X3+2,8-X3的值域為()

A.(-a>,4V2]B.[-40,9]

C.(-8,9]D.(-00,8]

【答案】C

【思路點撥】根據換元法以及二次函數的性質求解結果.

【詳解】令/=,貝心±0產3=8-”.

設函數8(/)=8-〃+2/=-(/-1)2+9,當(=i時，g(f)取最大值9.

因為120,所以g?)V9.

函數/(無)的值域為(70,9].

【鞏固練習3】(2024?湖北?二模)函數y=x—74x—N的值域為().

A.[2-2V2,4]B.[0,4]C.[0,2+2應]D.[2-2近,2+2a]

【解題思路】由4x—%2>0,解得0<%<4.可得函數/'(x)=y—x-V4x-x2的定義域為：

[o,4].軍色電.利用導數研究函數的單調性即可得出值域.

V4x—x2

【解答過程】解：因為y=%—V4x—X2

由4x—x2>0,解得0<%<4.

可得函數y=/(%)=%—A/4%—N的定義域為:[0,4].

7尸,丫、—12T_44%-*2-(2-%)

2

令g(x)=V4x-%-(2-%),則g\x)=(2—x)(4x-d)弓+1>Q,即/X%)在[0,4]上單調遞增，

令、4x-/-(2-x)=0,解得x=2-魚，

即-x)在[0,2-夜]上單調遞減，在[2—VX4]上單調遞增，

所以x=2—&為極小值點，

又f(2-V2)-2-2V2,/(0)=0,f(4)=4.

二函數y-x—，4久-N的值域為[2—2V2,4].

【題型11]對勾函數值域問題

基礎知識

對于對勾函數y=ax+—(a.b>0),是修訂的必修一教材新增的內容，在P92頁以探究的形式出現(看

課本上好像也沒有叫對勾函數)，可以通過圖像法或構造基本不等式來求值域

18.求函數歹=X+，的值域.

x

【答案】(―8,-2]u[2,+8)

【分析】考慮到和函數的兩個和式的積為常數，故可利用基本不等式求其最值，從而得到函數的值

域，注意討論X的正負.

【詳解】解：當x〉0時，了=》+工22、%,=2,當且僅當x=l取等號,

XX

當x<0時，y=—(―x—工)<—2](—x>'=—2,當且僅當x=l取等號

X\(-X)

故函數y=%+,的值域為(-8,-2]U[2,+8)

19.求函數y=2x+，的值域.

x

(1)%￡(；，+8)

(2)xG[—3,——]

【答案】[26+00)；[-y,-2V2]

，3，，

【鞏固練習1］求函數歹=x+—+2的值域.

【答案】(-OO,-2V3+2］U［2A/3+2,+OO)

,4

【鞏固練習2］求函數y=X+一的值域.

x

(2)%￡(14)

(1)xe(l,+oo)

【答案】［4,+8)；

【題型12］已知值域求參數范圍

基礎知識

這類問題就是按照求值域的思路并與已知的值域建立聯系求參數的值。這個例題中，可以通過

判別式法求值域，將值域的范圍轉化為判別式一元二次不等式中y的范圍，進而利用根與系數的關

系求得參數。

1、雖然這類題型往往是已知值域，但在實際做題分析時，仍然從求值域的角度入手分析。

2、辨析值域為R或零到正無窮、定義域為R之間的區別

不要死記判別式的情況，因為內層函數不一定是二次函數，我們要get到的是：為了讓值域能達到

XX,我們內層函數最初提供的范圍，只能多不能少，因為受定義域限制，多的可以舍掉，但是提供

的少了那可就真不夠了。

3、其他一般題型，我們建議多多嘗試數形結合。

20.若函數=的值域為［。,+8），則實數加的取值范圍是（）.

A.B.(-00,-276]U[2^6,+00)

C.［-276,276］D.［2而,+8）

【答案】B

【思路點撥】根據題意由二次函數值域利用判別式即可求得實數機的取值范圍.

【詳解】因為函數/（x）=［Zx2-mx+3的值域為［0,+00）,

所以2x?-"?x+3能取遍所有大于或等于零的實數，

即方程2X?-TMX+3=0在實數范圍內有解.

所以A=,”2—4x2x3="?2-24±0,解得機e（―co,—2A/^］u^2>/6,+ooj.

21.（2023上嚀波?余姚中學高一校考）已知函數〃月=1咆（2-無）的值域為（-8』，則函數〃2x）

的定義域為

【答案】［0,1）

【思路點撥】首先求出函數的定義域，再利用抽象函數的定義域求解

【詳解】由〃x）=log2（2-x）值域為（73,1］,得0<2-xV2,

故0Vx<2,即/（x）的定義域為［0,2）,

令0V2x<2得OWxvl,故0（2x）的定義域為［0,1）

【鞏固練習1】（襄陽市第一中月考）已知函數/（無）=,h2一4尤+3的值域為［0,+s）,求實數人的取

值范圍

4

【答案】

【思路點撥】才艮據函數/（x）=Jfcc?—4x+3的值域為［0,+/），可得［0,+8）是函數了=任2一4工+3的值

域的子集，再分左=0和左N0兩種情況討論即可.

【詳解】因為函數/（x）=-4尤+3的值域為,

所以［0,+8）是函數了=履2一4工+3的值域的子集,

當左=0時，y=—4x+3￡R,符合題意，

當左w0時，

依〉04「4'

則L八，解得0<人與，綜上所述，ks0,-

16-12^>033

【鞏固練習2】（2023?山東省實驗中學?？迹┮阎瘮凳琂加+fcc+c的定義域與值域均為［05,

則實數。的取值為（）

A.-4B.-2C.1D.1

【答案】A

【思路點撥】依題意知y=ax2+fcr+c的值域為[0,1],則方程Q/+6%+°=()的兩根為x=0或1可

得。=0,a=-b,從而確定當x=，時，y=a{x-^-\一區取得最大值為1,進而解得〃=—4.

2I2；4

【詳解】依題意，>="2+區+。的值域為[0川，且辦2+江+。20的解集為[0』，

故函數的開口向下，a<0,

則方程ax2+6x+c=0的兩根為x=0或1,

貝Ic=0,