專題13全面攻克幾何體的外接球、內切球及棱切球相關難題

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧............................................................3

04真題研析?精準預測............................................................4

05核心精講?題型突破...........................................................13

題型一：正四面體外接球13

題型二：對棱相等的三棱錐外接球17

題型三：直棱柱外接球20

題型四：直棱錐外接球25

題型五：正棱錐與側棱相等模型29

題型六：垂面模型35

題型七：二面角模型40

題型八：坐標法解決外接球問題45

題型九：多面體外接球50

題型十：錐體內切球55

重難點突破：棱切球61

差情;奏汨?日標旦祐

近年來，高考中對組合體的考查中，與球相關的外接和內切問題已成為命題的熱點。這類問題在小題

中的綜合化趨勢尤為顯著，要求學生具備較強的空間想象能力和精確的計算能力才能順利解答。從全國高

考命題的情況來看，這部分內容主要以選擇題和填空題的形式出現，很少出現在大題中。此部分是考試的

重點，同時也是難點，其難度屬于中等水平。

考點要求目標要求考題統計考情分析

2022年乙卷第12題，5分預測2025年高考中，

掌握求解方法，靈2022年II卷第7題，5分與球相關的組合體問題多

外接球

活運用。2022年I卷第8題，5分

以小題形式呈現，同時也

2021年甲卷第11題，5分

有可能融入解答題中，作

理解概念，熟練求為相對獨立的部分。具體

內切球2020年HI卷第16題，5分

解。來說：

(1)這類問題可能會以選

擇題或填空題的形式出

現，旨在考查學生的綜合

理解概念，掌握應

棱切球2023年I卷第1題，5分推理能力。

用。

(2)錐體內切球與棱切球

問題將成為考查的熱點。

（正四面體外接球）

（棱切球）/

（錐體內切球）一7^---------^―?對棱相等的三棱錐外接球

全面攻克幾何7直棱柱外接球

多面體外接球鬻鬻普％

內切球及棱切

球相關難題直棱錐外接球

坐標法解決外接球--------------

正棱錐與側棱相等模型

二面角模型

垂面模型

葡3

//知識梳理?方法技氐\\

1、補成長方體

(1)若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示.

(2)若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示.

PA

(3)正四面體尸-ABC可以補形為正方體且正方體的棱長。=如圖3所示.

(4)若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示

圖1圖2圖3圖4

1.(2023年高考全國乙卷數學(文)真題)已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上，VABC是邊長為3的

等邊三角形，SAL平面ABC,則&4=.

【答案】2

【解析】如圖，將三棱錐S-ABC轉化為正三棱柱SM2V-ABC,

設VABC的外接圓圓心為。一半徑為廠，

2r=_=-^―=2J3

則sinZACB是,可得r=JL

設三棱錐S-ASC的外接球球心為。，連接。則。A=2,0q=；&4,

因為042=00；+0.,即4=3+；SA）解得&4=2.

故答案為：2.

2.（2023年高考全國甲卷數學（文）真題）在正方體ABC。-A瓦GR中，A8=4,。為AG的中點，若該正

方體的棱與球。的球面有公共點，則球0的半徑的取值范圍是

【答案】［2頁,2我

【解析】設球的半徑為R.

當球是正方體的外接球時，恰好經過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包

含正方體，導致球面和棱沒有交點，

正方體的外接球直徑2R為體對角線長AC】=142+42+42=48,即2R=4A/IR=2A/^,故4ax=2百；

分別取側棱相，明,”1,。"的中點K〃,G,N,顯然四邊形MZVG”是邊長為4的正方形，且。為正方形

MM汨的對角線交點,

連接MG,則MG=4也，當球的一個大圓恰好是四邊形MNG"的外接圓，球的半徑達到最小，即R的最

小值為20.

綜上，7?e[2V2,2A/3].

故答案為：[2&,2我

3.（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）在正方體中，E,尸分別為AB,GR的中點,

以跖為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點.

【答案】12

【解析】不妨設正方體棱長為2,班中點為。，取CO,CG中點G,M,側面的中心為N,連接

FG,EG,OM,ON,MN,如圖，

由題意可知，。為球心，在正方體中，EF=-JFG2+EG2=>/22+22=272>

即R=&，

則球心。到CC]的距離為OM=y/ON2+MN2=Vl2+12=y/2，

所以球。與棱CG相切，球面與棱CG只有1個交點，

同理，根據正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，

所以以所為直徑的球面與正方體棱的交點總數為12.

故答案為：12

4.（2022年新高考全國II卷數學真題）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3代和4道，其頂

點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTIB.1287rC.144TTD.1927r

【答案】A

【解析】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑4,2，所以入=牝一,24=江-,即a=3,々=4,設球心

1sin60°2sin60°

到上下底面的距離分別為4,右，球的半徑為R，所以4=收一9,d2=依-16，故同-囚=1或4+4=1，

即向一9一五―16卜1或+=解得4=25符合題意，所以球的表面積為

5=4兀尺2=100兀.

故選：A.

_____qq==

AT-____

5.（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）己知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均

在球。的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）

【答案】C

【解析】［方法一］:【最優解】基本不等式

設該四棱錐底面為四邊形ABCD四邊形ABCD所在小圓半徑為r,

設四邊形ABC。對角線夾角為。，

2

則S^BCD=-ACBDsina<-ACBD<--2r?.r=1r

（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）

即當四棱錐的頂點。到底面ABC。所在小圓距離一定時，底面A8CD面積最大值為2r2

又設四棱錐的高為4，則/=1，

當且僅當r2=2h2即"邛時等號成立.

故選:C

［方法二］:統一變量+基本不等式

由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為。，底面所在圓的半徑為「，貝"=受°,

2

所以該四棱錐的高

/222\3

12rv4：//4

V=-aA/I-------=—/------------(1-------)S--------------------------

3V23AV442313

(當且僅當g=1-弓，即/=:時，等號成立)

FZJ

其高人乓二

所以該四棱錐的體積最大時,

故選：C.［方法三］:利用導數求最值

由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為。，底面所在圓的半徑為r,則廠=走”,

2

所以該四棱錐的高公卜手，v=g/巧手，令。2=，（0<『<2）,V=*_］，設〃。=/一則

0</<|,尸⑺>0,單調遞增，1<r<2,單調遞減，

所以當/=士時，丫最大，此時〃=、「^=走.

3V23

故選：C.

【點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優解；

方法二：消元，實現變量統一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實現變量統一，利用導數求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法.

6.（2022年新高考全國I卷數學真題）已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積

為36萬，且3VH36，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

27812764

A.B.C.T?TD.[18,27]

【答案】C

【解析】???球的體積為36萬，所以球的半徑尺=3,

［方法一］:導數法

設正四棱錐的底面邊長為2a,高為h,

則I2=2a~+/i2,32=2a2+（3—h）2,

所以6〃=/，2a2=l2-h2

42

所以正四棱錐的體積V=w1S/2=1w><4a2x/z=2wx（/2-甚7）X/丁=討If廣I6

3333669136

i（J5

所以=X4/3--

916

當3W/42#時，r>0,當2n<”3若時，V'<0,

所以當/=2面時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為日,

2781

又/=3時，V=—,I=時，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為2今7，

4

ryr-j4/

所以該正四棱錐體積的取值范圍是—.

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以V=g/〃=g（6〃一〃2“=；（12-2〃）〃x4,；x（12-2?+h+h=?（當且僅當〃=4取到），

當〃苧寸，得八辛,則%"卜％=；（￥）*=*

當/=3g時，球心在正四棱錐高線上，此時力=|+3=g,

今=空="=福，正四棱錐體積K=3%=g（嚓y4號若，故該正四棱錐體積的取值范圍是目,爭.

7.（2021年天津高考數學試題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為32寧"，

兩個圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3萬B.4TTC.9〃D.12〃

【答案】B

【解析】如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點

設圓錐和圓錐8。的高之比為3:1,即">=33。，

設球的半徑為R,則"人=必工，可得尺=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=T,AD=3,

■.■CDLAB,則NG4D+ZAC￡）=NBCD+ZAC。=90。，所以，NCAD=NBCD,

又因為/ADC=/3Z）C,所以，AACD^ACBD,

ADCDi----------

所以,,/.CD=<AD?BD=7r3,

C/JDD

因此，這兩個圓錐的體積之和為:萬xCZ）2.（A￡>+BD）=g?x3x4=4?.

故選：B.

8.（2021年全國高考甲卷數學（理）試題）已知A,B,。是半徑為1的球。的球面上的三個點，且

AC±BC,AC=BC=1,則三棱錐O—ABC的體積為（）

A.正B.在C.—D.在

121244

【答案】A

【解析】???AC,3cAe=8C=1,「.AABC為等腰直角三角形，；.A8=&,

則V4?C外接圓的半徑為也，又球的半徑為1,

2

設。到平面A3C的距離為d,

的I、r/3，_i111血_3

所以%-ABC=

故選：A.

9.（2020年全國統一高考數學試卷（文科）（新課標H））已知AABC是面積為當8的等邊三角形，且其頂

4

點都在球O的球面上.若球O的表面積為167，則O到平面ABC的距離為（）

A.V3B.-C.1D.在

22

【答案】C

設球。的半徑為R,則4頒2=16萬，解得：R=2.

設VA5C外接圓半徑為「，邊長為。，

?.?△ABC是面積為型的等邊三角形，

4

???球心。到平面ABC的距離d=依-/=4與=1.

故選：C.

10.（2020年全國統一高考數學試卷（文科）（新課標I））已知ARC為球。的球面上的三個點，。。1為VABC

的外接圓，若。。1的面積為4兀，AB=BC=AC=OO,,則球。的表面積為（）

A.64兀B.48兀C.36TID.32兀

【答案】A

【解析】設圓。?半徑為「，球的半徑為R,依題意，

得萬產=4E；.r=2,???VABC為等邊三角形，

由正弦定理可得48=2七畝60。=26，

,OQj=AB=26，根據球的截面性質OOJ平面ABC,

OOt±&A,R=OA=JOO；+0.2=^OO2+ri=4,

二?球。的表面積S=4加★=64萬.

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：正四面體外接球

【典例1?1】已知正四面體A-5co的棱長為3,點E在棱AZ）上，且DE=1,若點A5,C,E都在球。的球

面上，則球。的表面積為（）

3

A.—7iB.2兀C.9兀D.12兀

2

【答案】D

【解析】如圖，取BC的中點尸，連接。尸,4尸，在線段AF上取點G,使得AG=2GF,連接GB,GC,GE.

在△AZ）尸中，4。=3,4尸=。尸=*8.易知點3為等邊丫/15。的中心，

2

所以G4=GB=GC=2AP=VL

3

易知GE〃DF,所以GE=|op=JL

所以G4=G3=GC=GE,點G即為球心。，球0的半徑為百，

表面積為S=4兀=12兀.

故選：D.

【典例1-2】小張同學將一塊棱長為友的正方體形狀橡皮泥重新捏成一個正四面體（過程中橡皮泥無損失）,

則該四面體外接球的體積為（）

A."兀B.2#無C.35/671D.9&n

【答案】C

【解析】設正四面體的棱長為。，由題意可得，正方體的體積即為正四面體的體積，

設正四面體如圖，尸為為底面3C。的中心，E為C。的中點，F在BE上,

A

。為正四面體外接球的球心，則AF為四面體的高，。在AF上，

W\BE=^a,BF=鼠是a=^a,則A尸=/走二逅〃，

23233J3

即得修四面體g2Px冬=3=嗅方體=2后,所以“3=24,

又設正四面體外接球的半徑R,

則052=0尸2+區尸2,即尺2=（半〃—R）2+（￥〃）2,即得尺二手〃，

故外接球體積為嗎=±^-=事乎。=9義手義24=3面兀.

故選：C.

如圖，設正四面體ABCD的的棱長為*將其放入正方體中，則正方體的棱長為包a,顯然正四面體

2

和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為尺=變a?走=邁。，即正四面體外接球半徑為R=^a.

2244

【變式已知正四面體尸-ABC的外接球的體積為白兀'則該正四面體的棱長為（）

A.1B.73C.72D.新

【答案】C

【解析】設正四面體P-ABC的外接球半徑為R,則如收=立兀，解得尺=且,

322

將正四面體尸-ABC放入正方體中，設正方體的棱長為〃，如下圖所示：

貝IJ氐=2氏=石，所以，a=l,故該正四面體的棱長為缶=JL

故選：C.

【變式1-2】已知正四面體的各棱長均為3,各頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（

A.9TIB.1271C.—D.—

42

【答案】D

如圖，DM是正四面體ABC。的高，。是外接球球心，設外接球半徑為R,

??,正四面體棱長為3,??.4〃=且><3=若DM=,-1可=a,OM=娓-R,AO=R,

3

由A02=32+0”得尺2=（可+（存R『,

27兀

解得.?.5=4兀氏2=4兀乂-^―

R=~2~

4

故選：D.

命題預測

1.正四面體ABC。的棱長為。，。是棱的中點，以0為球心的球面與平面38的交線和C。相切，則

球。的體積是（

B.叵兀/C.3a3D.顯兀/

A.

6663

【答案】D

【解析】設點A在平面BCD內的射影為點E,則E為△BCD的中心,

取CD的中點連接則EeBM,取線段BE的中點尸，連接。尸,

因為0、歹分別為AB、3E的中點，則Of7/AE且=；AE,

因為AE_L平面BCD,則Ob_L平面BCD,因為3Eu平面38,則隹_LBE,

正△38的外接圓半徑為'U:日."公而?二當〃,

3

所以，OF==AE=^a,

26

易知球。被平面BCD所截的截面圓圓心為點尸，且BF=EF=EM,故FM=BE=Ba,

3

因為△BCD為等邊三角形，M為CO的中點，則

因為以。為球心的球面與平面3。的交線和CD相切，則切點為點

則球0的半徑為0M=y/OF2+FM2=—a,

2

因此，球。的體積是

323

故選：D.

題型二：對棱相等的三棱錐外接球

【典例2-11四面體尸-MC的一組對棱分別相等，且長度依次為2逐，而，5,則該四面體的外接球的

表面積為（）

29

A.—JiB.28萬C.——%D.29萬

46

【解析】?.?四面體尸-ABC的一組對棱分別相等，且長度依次為2如，岳,5,

，可將其補為一個三個面上對角線分別為2如，耳,5的長方體，如圖所示：

,0

A

.?.長方體的三邊長分別為2,3,4,

二長方體的夕卜接球即是四面體的外接球，，四面體的外接球的半徑為白打+3?+4;叵

2

，四面體的外接球的表面積為：4萬x（當=29%,

故選：D.

【典例2-2］在四面體ABCD中，三組對棱棱長分別相等且依次為用，0T,5則此四面體ABCD的外接

球的半徑尺為（）

A.5近B.5C.—D.4

2

【解析】?.?四面體ABCD中，三組對棱棱長分別相等，

故可將其補充為一個三個面上對角線長分別為衣，同，5的長方體，

則其外接球的直徑2R=Jg（34+41+25）=5&,

則一

故選：c.

四面體ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,這種四面體叫做對棱相等四面體，可

以通過構造長方體來解決這類問題.

b2+c2=m2222

如圖，設長方體的長、寬、高分別為a,》,c,貝,三式相加可得/+加+/="+〃一+廠,

2

a2+b2=t2

j-_2

【變式2-1］如圖，在三棱錐尸一ABC中，PA=BC=m,PB=AC=2,尸C==6,則三棱錐尸一ABC

外接球的體積為（）

A.0兀B.曲乃C.屈兀D.6兀

【解析】由題意，PA=BC=6,PB^AC=2,PC=AB=y/5,將三棱錐P-ABC1放到長方體中,

可得長方體的三條對角線分別為班，2,&,

即yja1+b2=y/3,\Ja2+c2=2,A/C2+b2=y[5,

解得：a=1,b=V2,c="J3.

外接球的半徑R='x"話17=邁.

22

4f—

：.三棱錐尸-ABC外接球的體積V=—萬*=6.

3

故選：C.

【變式2-2】在三棱錐RLBC中，出=3C=4,PB=AC=5,PC=AB=J11,則三棱錐R4BC的外接球

的表面積為（）

A.26TTB.12萬C.8萬D.24萬

【解析】?.?三棱錐尸—ABC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=y/11,

，構造長方體，使得面上的對角線長分別為4,5,7TT,

則長方體的對角線長等于三棱錐尸-ABC外接球的直徑.

設長方體的棱長分別為x,y,z,則/+>2=16,y2+z2=25,x2+z2=11,

x2+y2+z2=26,

三棱錐P-ABC外接球的直徑為底，

，三棱錐尸-ABC外接球的表面積為4萬（學『=26".

故選：A.

命題預測）1

1.在四面體ABCD中，若AB=CD=6AC=BD=2,AD=BC=#,則四面體ABCD的外接球的表

面積為（）

A.2%B.4萬C.6兀D.8萬

【解析】解：如下圖所示,

將四面體ABCD放在長方體。內，設該長方體的長、寬、高分別為x、y、z,

則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設該長方體的外接球半徑為R,

AB-=*+9=3

由勾股定理得AC2=*+Z2=4,

AD2=/+z2=5

上述三個等式全加得2(x2+y2+z2)=12,

所以，該四面體的外接球直徑為2R=Jx?+<+z2=#,

因此，四面體ABCD的外接球的表面積為4萬R?=%xRR)?=6%,

故選：C.

題型三：直棱柱外接球

【典例3-1】將2個棱長均為2的直三棱柱密封在一個球體內，則該球體的體積的最小值為()

.32兀D28歷n?20西T「256后

.D.---------------C?---------D?----------

37327

【答案】A

若將這2個直三棱柱合成1個高為4的直三棱柱,

則底面正三角形的外接圓半徑廠=—--=△

2sin6003

所以其外接球的半徑為/381+2?=迪；

t3J3

若將這2個直三棱柱合成1個高為2的直四棱柱,

則底面為邊長為2,銳角為60。的菱形，

則底面菱形的外接圓半徑r=2sin600=/，

所以其外接球的半徑為J(V3)2+12=2＜手.

故該球體的體積的最小值為4三7rX23=罟.

故選：A.

【典例3-2】已知直三棱柱ABC-ABC1中，AB=AC=2,ZBAC=,c點到直線A片的距離為S'，則

三棱柱ABC與G的外接球表面積為()

A.12兀B.16TTC.20n.24兀

【答案】C

【解析】

Oi

過點c作CD，A用于點。，連接G。,

因為三棱柱ABC-ABG為直三棱柱,

.^.CG，平面44G，

又?.,A耳u平面AB。-

，CC]AA,

???CG，CDu,平面CG。，且CGnco=c,

.?.耳耳,平面。。]。，

???GOu平面CG。,

A[B]1CXD,

27c

易知NB]AC[=ABAC=,A與=AG=A5=AC=2,

:.QD=s/3,BC=273,

:.CD=Jy+CA=dec；+3=不,

貝UCG=2,

設VABC外接圓圓心為O1,△4B|G外接圓圓心為02,

20A=———=4

則?./兀，BPOA=2,

sinZ——1

3

且三棱柱外接球球心。為。。中點，

則外接球半徑R=OA=/。[42+]；00)=遂，

表面積為4成2=20兀，

故選：C.

第一步：確定球心。的位置，。［是AABC的外心，則OQ_L平面ABC；

h

第二步：算出小圓。1的半徑4。=r,OOX=^（&A=〃也是圓柱的高）；

第三步：勾股定理：OT=aT+ao2n4=（_|）2+/=尺=，/+（。）2,解出尺

2

【變式3-1】在直三棱柱ABC-A4G中，底面VABC滿足AB=AC,ZBAC=jn,若三棱柱ABC-A4G

的體積為8后，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（）

A.48兀B.32TIC.16兀D.8兀

【答案】A

【解析】如下圖所示：

圓柱。。2的底面圓直徑為2r,母線長為心則002的中點。到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則。為圓

柱。。2的外接球球心.

本題中，將直三棱柱ABC-A瓦￡放在圓柱002中，如下圖所示:

B

2TV

設AB=AC=a,因為NBAC==TI,則ZABC=2,

36

_Cl_I_

2

則V4?C的外接圓直徑為F,S.ABC=-AB-ACsin—=^a,

sin—^ABC234

6

設AA]=〃，則匕棱柱ASC-MG=S4ABC,〃=￥/〃=873,可得//z=32，

（27?）2=（2r）2+h2=4a2+/z2=—+h2,

h

令〃〃）=胃+公，其中”>o,貝IJ尸優）=2〃一號=2色3：64）,

拉/z2h1

當0</z<4時，尸㈤<0,此時，函數〃%）單調遞減,

當/7>4時，r㈤>0,此時，函數/㈤單調遞增,

1OQ

所以，/色口丁/卜六丁+16=48,gP4/?2>48,

故該三棱柱外接球的表面積S=4成2>487r,

故選：A.

【變式3?2】已知正六棱柱A5CD防一A由GAg耳的每個頂點都在球。的球面上，且筋=3,然=4,則

球O的表面積為（）

A.42兀B.48兀C.50KD.52K

【答案】D

【解析】因為AB=3,所以正六邊形外接圓的半徑廠=3,

所以球。的半徑==屈，故球。的表面積為471&=52無.

故選：D

命題預測［

1.已知正六棱柱的所有棱長均為2,則該正六棱柱的外接球的表面積為（）

A.16TIB.207rC.8無D.5n

【答案】B

【解析】如圖，設正六棱柱下底面的中心為。，其外接球的圓心為點0,

則OO'=1,△A3O'為等邊三角形，

故AO'=2,即為其外接球的半徑R,

所以R=AO=JaoQ+oo。=5

所以該正六棱柱的外接球的表面積為4M6『=20兀.

故選：B.

題型四：直棱錐外接球

【典例4」】已知三棱錐P-ABC中，24,平面A3C,ZABC=60°,PA=AC=2,則此三棱錐外接球的

表面積為（）

A14兀°28兀-1八

A.-----B.-----C.10兀D.5兀

33

【答案】B

【解析】在VASC中，AC=2,ZABC=60\

_AC_2__2_

則VABC的外接圓的半徑r~2sinZABC一、君一耳，

2x——

2

因為尸4,平面A3C,24=2,設此三棱錐外接球的半徑為R，

則=|,

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4兀&=等.

故選：B.

【典例4-2】已知三棱錐P-ABC中，△上是邊長為2的等邊三角形，PC=2,AC=娓,BC=C，則三

棱錐PABC的外接球表面積為（）

C.必兀28

A.6兀B.IOTID.—兀

55

【答案】C

【解析】由已知A52+3C2=所以AB_L5C,

取AC中點。，則。是VA3C的外心，

又PA=PB=PC,所以尸點在底面ABC上的射影是VABC的外心，即為。，

所以尸平面ABC,因此外接球球心。在PD上，AR4c的外接圓就是球的大圓,

PD=^PC--CD-=^22-(^)2=浮，所以sin/PCD=^=乎，

2f}_AP2廠

'"sinZPCD-77w,。尸=名竺，這就是外接球的半徑，

~T5

外接球表面積為S=4兀?。田=4人

故選：C.

如圖，上4,平面ABC,求外接球半徑.

解題步驟：

第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑AD,連接PD,則PD必

過球心O；

第二步：。1為AABC的外心，所以0。，平面ABC,算出小圓。的半徑=r（三角形的外接圓直徑

算法：利用正弦定理，得」L=―也=^=2r）,OOX=-PA-,

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①QR)2=尸4+(2r)2o2R=河+(24；

②a=/+0。；=R=商+0?2

【變式4-1】已知三棱錐P—ABC中，以，平面A8C,/CA3=2，PA=2,BC=2-，則此三棱錐外接球的

表面積為()

A.16TIB.20KC.24兀D.32兀

【答案】B

【解析】由題設，底面VA2C的外接圓半徑，=.產C=2,

2sinZCAB

又申，平面ABC,且上4=2,則三棱錐的外接球半徑7?=/產+(?)2=正，

所以外接球表面積為4兀改=20兀.

故選：B

【變式4-2】三棱錐尸-ABC的四個頂點均在同一球面上，其中PAL平面ABC,VABC是正三角形,

PA=2BC=4,則該球的表面積是()

.8兀n16兀c32兀

A.—B.——C.

333

【答案】D

【解析】取VABC的外接圓圓心為。，過點。作。底面A3C,

。為三棱錐P-ABC外接球球心，設該球半徑為r,

由平面A5C,則。O//PA,連接。4、OP、AD,

由VABC是正三角形，BC=2,故AD=L立乂2=空,

323

由OA=OP=r,DOIIPA,則。￡>=!叢=2,

2

故有廠

=CA=Jcz^+m=22+

264

故該球的表面積s=4KF=4KX二一71.

3

命題預測T

1.已知三棱錐A-BCD的所有頂點都在球。的球面上，平面ABC,AD=2,ABJ.AC,若三棱錐

A-BCD（以A為頂點）的側面積為6,則球。的表面積的最小值為（