第03講二項式定理

（13類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

兩個二項式乘積展開式的系

2022年新I卷，第13題,5分無

數問題

2020年全國甲卷（理），

求指定項的二項式系數無

第8題,5分

2020年全國丙卷（理），

求指定項的系數無

第14題,5分

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較低或中等，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握二項式定理的通項公式，會相關基本量的求解

2.能分清二項式系數與系數的定義，并會相關求解

3.能清晰計算二項式系數和與系數和及其大（小）項計算

4.會三項式、乘積式的相關計算

【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般考查二項式系數和、系數和、求給定項的二項式系數

或系數及相關最大（小）項計算，需重點強化復習

知識講解

1.二項式定理

⑴二項式定理：（a+b）"=C/"+CZL%H------H氏d一彷7------HC"（"eN*）；

kk

（2）通項公式：Tk+i=C^b,它表示第Z+1項；

（3）二項式系數：二項展開式中各項的系數為Cg,Ci，…，C*I

若二項展開式的通項為Tr+i=g（r>/S（r=0,l,2,…，”），g（r）W0,則有以下常見結論:

⑴以廠）=0077+1是常數項.

（2）//0）是非負整數是整式項.

（3）以廠）是負整數00+1是分式項.

（4）/z（r）是整數077+1是有理項.

注1.二項式的通項易誤認為是第4項，實質上是第4+1項.

注2.易混淆二項式中的“項”“項的系數”“項的二項式系數”等概念，注意項的系數是指非字母因數所

有部分，包含符號，二項式系數僅指C區4=0,1,…，ri）.

2.二項式系數的性質

性質內容

對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等，即C：=C：m

當左<z甘z+?1時，二項式系數逐漸增大；

增減性

幾十1

當%>^^寸，二項式系數逐漸減小

當〃是偶數時，中間一項（第W+1項）的二項式系數最大，最大值為C，；

當〃是奇數時，中間兩項（第寧項和第怨項）的二項式系數相等，且同時取得最大值，

最大值+1+1

n-1n+l

最大值為或c,?

3.二項式系數和

（a+6）”的展開式的各個二項式系數的和等于2",即C°+CHC^——F&+…+孰=2".

二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即cHcHd+-=c0+cHd

考點一、求二項展開式的第項

典例引領

1.（2024?浙江紹興?二模）-2xj的展開式的第四項為.

1.（2024?陜西寶雞?一模）,2-：j展開式中的第四項為（）

3

A.160xB.-160尤3C.240D.-240

2.（2023?北京?校考模擬預測）在的二項展開式中，第四項為

考點二、求指定項的二項式系數

典蝸網

1.（2024?遼寧?模擬預測）二項式+展開式的第3項的二項式系數是.

2.（2024?上海?三模）若（x+4］的二項展開式中第3項與第5項的系數相等，則該展開式中1《的系數為

X

1.（2024?全國?模擬預測的展開式中第2項的二項式系數為6,則其展開式中的常數項為

2.（2024?江蘇無錫?模擬預測）在（。+力”的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數之和等于第10項與

第11項的二項式系數之和，則〃=（）

A.16B.15C.14D.13

考點三、二項式系數和

典嫻網

1.（2024?浙江?三模）若（2X-十）展開式的二項式系數之和為128,則展開式中x的系數為.

2.（2024?四川攀枝花?三模）若（l-2x）"（〃eN*）的展開式中d的系數為-80,則展開式中所有項的二項式系

數之和為（以數字作答）

1.（2024,廣東東莞?模擬預測）己知卜-：］的展開式中所有項的二項式系數之和為32,則,的展開

式中爐的系數為（）

A.-10B.-20C.10D.20

2.（24-25高三上?貴州貴陽?階段練習）若-的展開式的二項式系數和為32,且的系數為80,則

實數。的值為.

考點四、二項式系數的增減性和最值

典例引領

I_____________________

1.（23-24高二下?廣東深圳?期中）-的展開式中二項式系數最大的項為（）

A.第二項B.第三項C.第四項D.第五項

2.（2024?江西南昌?三模）（多選）已知gj的展開式中二項式系數的最大值與,+三］的展開式中;的

系數相等，則實數。的值可能為（）

A.6B.-72C.當D.一4

1.（23-24高二下?四川南充,階段練習）（l-2x）0的展開式中只有第6項的二項式系數最大，貝》=（）

A.9B.10C.11D.12

2.（2024?貴州?模擬預測）卜一:1的展開式中，二項式系數最大的項的系數是.（用數字作答）

考點五、求指定項的系數

典例引領

1.（2024?湖北武漢?模擬預測）展開式中含J項的系數為（）

A.420B.-420C.560D.-560

2.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知二項式的展開式中第3項與第7項的二項式系數相等,

則其展開式中%5的系數為.

1.（2024?浙江紹興?三模）（尤-I），的展開式中丁的系數為.（用數字作答）

2.（2024?黑龍江大慶?三模）在12尤3+1：的展開式中，含項的系數是.

考點六、由項的系數確定參數

典例引領

9

1.（2024?黑龍江?模擬預測）若1+三）的展開式中V的系數為144,則〃=.

2.（2024?福建寧德?模擬預測）已知（尤+Q）6的展開式中含了3y3項的系數為160,則實數a的值為.

1.（2024?安徽蕪湖?模擬預測）（x+1）”的展開式中爐的系數為15,則〃=

2.（2024?山東?模擬預測）二項式［尤+的展開式中，丁的系數為10,則”

考點七、有理項（含常數項）、無理項及其系數

典例引領

1.（2024?江西鷹潭?模擬預測）［區-十］的展開式中，常數項的值為.

2.（浙江?高考真題）在二項式（夜+x）9的展開式中，常數項是；系數為有理數的項的個數是.

i>6

1.（2024,湖北武漢?模擬預測）1+缶3展開式的7項中，系數為有理數的項共有（）項

A.1B.2C.3D.4

2.（2024?河南,模擬預測）（其中a>0）的展開式中的第7項為7,則展開式中的有理項共

有（）

A.6項B.5項C.4項D.3項

（多選）若1次+：

3.（2024?遼寧?模擬預測）（“26）的展開式中第4項的二項式系數最大，則二項展開式

中的有理項（x"項中a是整數）可以是（）

A.第2項B.第3項C.第4項D.第5項

考點八、二項展開式各項系數和及奇次項與偶次項的系數和

典例引領

1.（2024?上海?高考真題）在（x+1）"的二項展開式中，若各項系數和為32,則/項的系數為

2.（2024?福建泉州?一模）（多選）已知〃eN*）展開式中共有8項.則該展開式結論正確的是（）

A.所有項的二項式系數和為128B.所有項的系數和為11

C.系數最大項為第2項D.有理項共有4項

3.（2024?河南駐馬店,二模）（多選）已知（4—3%），=4+弓（1—3%）+%（1—3%）2+…+%（1—3x）7,則（）

7

A.%=945B.fq=4，T

i=\

C.a。+&+。4+。6=2"+2"D.%+/+%+%=2‘—2"

4.（2024?四川樂山,三模）設（x+2024）（2x-1嚴=%+%X+%12+?.,+%02412°24，則'十+墨十一.+

)

A.1B.-1C.2024D.-2024

1.（2024?遼寧?三模）（多選）關于二項式（3x-Ip的展開式，下列說法正確的是（）

A.第三項系數為270B./的系數為90

C.二項式系數和為D.系數和為

2.（2024?福建福州?模擬預測）（多選）已知(1—2x)9=4++?/+???+Q/9,貝U()

A.%=1

B.=18

C.%+%+,,?+%=—1

1+39

D.q+/+%+%+“9=--------——

6

3.（2024?湖北武漢?模擬預測）（多選）已知（I-%）6=4+卬彳+&尤2H-------1-a6x,則下列結論正確的是（）

A.“2=15B.%+%+/+,,,+〃6

C.%+%+/+%=64D.q+2a2+3q+,,,+6%=0

考點九、三項展開式的系數問題

典例引領

1.（2024?湖南衡陽?一模）（V-，+y）6的展開式中孫的系數為（）

A.30B.-30C.60D.-60

的展開式中，"的系數為（）

2.（2024?江蘇南京?模擬預測）

A.60B.-60C.120D.-120

1.（2024?云南昆明?模擬預測）（d+2x-y）5的展開式中，丁產項的系數為（）

A.10B.-30C.60D.-60

/1Yv2

2.（2024?安徽?三模）-f+3+y的展開式中2-的系數為_______.

I）x

考點十、兩個二項式乘積展開式的系數問題

典例引領

1.（2024?山西長治?模擬預測）（%+2丫）（尤-"的展開式中尤3y3的系數是（）

A.-10B.0C.10D.30

2.（2024?江蘇南京?模擬預測），+2x+3）（2x+l）6的展開式中，/的系數是，

1.（2024?江西?一模）的展開式中的常數項為（）

A.147B.-147C.63D.-63

2.（2024?江西宜春?模擬預測）在（“-乃+1）（2”6）6的展開式中，//項的系數是

考點十一、求系數最大（小）的項

典例眄

1.（23-24高二下?河北邢臺?階段練習）（尤+1產的展開式中，系數最大的項是（）

A.第11項B.第12項C.第13項D.第14項

2.（2024?安徽?二模）已知，-21的展開式二項式系數和為256,則展開式中系數最大的項為（）

A.第5項B.第6項C.第7項D.第8項

1.（2023?上海嘉定?一模）已知（l+2x）6的二項展開式中系數最大的項為

考點十二、整除和余數問題

典例引領

■--________

1.（2024?湖北?模擬預測）2?°24被9除的余數為（）

A.1B.4C.5D.8

2.（2024?甘肅張掖?三模）已知今天是星期四，則67-1天后是（）

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期五

1.（24-25高三上?河南焦作?開學考試）32°被10除的余數為.

2.（2024,貴州黔南?二模）我國農歷用"鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動物按

順序輪流代表各年的生肖年號，今年2024年是龍年.那么從今年起的（13忤+1）年后是（）

A.虎年B.馬年C.龍年D.羊年

考點十三、楊輝三角

典例引領

1.（2024?寧夏?二模）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、教育家.楊輝三角是楊輝的一項重要研究

成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多規律，如圖是一個5階楊輝三角.

&0行

1

&1行

11

2行

A4-121

3行

1331

A4-4行

身

行14641

5

&15101051

若第八行中從左到右第3個數與第5個數的比為3:5,貝〃的值為.

2.（2023?海南?三模）（多選）"楊輝三角"是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝

1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現，比歐洲發現早500年左右.如圖所示，在"楊輝三角"中，除

每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其"肩上"的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下

列命題中正確的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第2行14641

第5行15101051

A.在“楊輝三角"第6行中，從左到右第6個數是15

B.由"第〃行所有數之和為2""猜想：C；+C：+C：+...+C：=2"

C.C；+C：+C；+…+C；0=164

D.存在，N*,使得｛C3-C｝為等差數列

3.（23-24高二上?山東青島,期末）（多選）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展

示了二項式系數表，數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結論正確的是（）

楊輝三角

第

0行

第

1行1

第

2行11

第

3行121

第

4行1331

第14641

5行

第15101051

6行

第71615201561

行

第8172135352171

行

第918285670562881

行

第1193684126126843691

第1OH41104512021025221012045101

1115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7個數之和為第9行的第8個數

B.1+C"或+C；=C；

C.第2020行的第1010個數最大

D.第12行中從左到右第2個數與第3個數之比為2:11

1.（2023?安徽黃山?二模）如圖給出的三角形數陣，圖中虛線上的數1、3、6、10、L，依次構成數歹

111

貝U—I------1-------1------=,

1

11

12X

133’1

146'41

15W/1051

2.（2024?河南新鄉?三模）如圖所示的〃分數楊輝三角形〃被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的C；

換成島式得到的，根據萊布尼茨三角形，下列結論正確的是（）

1

T

11

22

111

363

1111

412124

1J_J_J_1

52030205

111111

A----1----r=-------B----1----r=-------

(n-l)C：+1(f%

111111

C-------1--------+1T=---r-D-------1-------r=---

5+DC；(n+l)qnCn+l(?+1)c：5+i)c；M

3.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預測）（多選）"楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南

宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現.如圖所示，在"楊輝三角"中，除每行兩邊的

數都是1外，其余每個數都是其"肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題

中正確的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第〃行

A.在第10行中第5個數最大

B.C；+C；+C：+…+C；=84

C.第8行中第4個數與第5個數之比為4:5

D.在楊輝三角中，第〃行的所有數字之和為

『I好題沖關

一、單選題

1.（2024?山東荷澤?模擬預測）在（20V+：］的展開式中，f的系數為（）

A.80B.240C.1600D.2400

2.（2024?山西太原?三模）（％+丁-1丫的展開式中沖之的系數為（）

A.-20B.20C.-30D.30

3.（2024?遼寧鞍山?模擬預測）已知（x+j）的展開式中第3項的二項式系數等于36,則該展開式中的常

數項為（）

2163219

A.—B.—C.—D.—

2161632

4.（2024?陜西?模擬預測）若（2%+1）"=。0+q%+火三+…+凡靖的展開式中的各項系數和為243,貝|

幺+*+...+”=（）

2222"

A.32B.31C.16D.15

二、多選題

5.（2024?吉林?模擬預測）在一的展開式中，下列說法正確的是（）

A.各二項式系數的和為64B.各項系數的絕對值的和為729

C.有理項有3項D.常數項是第4項

8

6.（23-24高二下?廣東深圳?期中）若f/+%（x—l）+%（x-1）?+L+a8（x—l）,其中4,4,…,4為實數，

則（）

A.%=1B.%=56

C.%+/+%+%=128D.%+。4+4+。8=127

三、填空題

7.（2024?湖北襄陽?模擬預測）（私+：）的展開式中Jr4的系數為.

8.（2024?浙江嘉興?模擬預測）若（％-1）5=%+〃/+〃212+〃3丁+〃4%4+〃5/，則〃2=.

9.（2024?廣東佛山?模擬預測）的展開式中常數項是.（用數字作答）

10.（2024?福建南平?模擬預測）在（2+》）］5-2d的展開式中，d的系數為

一、單選題

1.（2024?山東?二模）展開式中小尸2的系數為（）

A.-840B.-420C.420D.840

2.（2024?湖北?模擬預測）若-!］的二項展開式中，當且僅當第5項是二項式系數最大的項，則其展

開式中3的系數為（）

X

A.8B.28C.70D.252

3.（2024?河北邢臺?二模）已知在［皆―的二項展開式中，第6項為常數項，若在展開式中任取3項，

其中有理項的個數為則（）

81298

A.—B.—C.—D.—

11111155

4.（2024?江西鷹潭?二模）第14屆國際數學教育大會在上海華東師范大學舉行，如圖是本次大會的會標，

會標中“ICME-14"的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4,這是中國古代八進制計數符號，換算成現代十

進制是3x83+7x8?+4xU+4x8°=2020,正是會議計劃召開的年份,那么八進制數工二Z換算成十進制數，

8個7

則換算后這個數的末位數字是（）

A.1B.3C.5D.7

二、多選題

5.（2024?江蘇?模擬預測）若+X_2『=%++…+々20%2°,貝U（）

A.%=1024B.%=1

C.%9=1。D.%+%+〃5+,,,+%9=-512

6.（2024?河北?二模）已知（m+x）4=4+〃］兀+〃2%之+/尤3,

12342345

（x—1）（m+x）=b0+bxx+b2x+Z?3x+b4x+b5x,其中根wR,m^O.若。2=3%，則（）

A.m=2B.a0++a2+a3+a4=81

C.4+&+4+%+4=—16D.濟+2b2+3b3+4Z?4+54=80

7.（2024?山西?三模）已知函數/（%）=（4%—1）12=%+4尤---卜牝/,則（）

A.%=4隈亡2B.“X）展開式中，二項式系數的最大值為C：2

12

C.at+a2+a3-{---Fal2=3D./（5）的個位數字是1

三、填空題

8.（2024?山西朔州?一模）［?+j+j的展開式中y的系數為.

9.（2024?河北?模擬預測）已知（三-x+l）［x+［J+2的展開式中各項系數和為8,則展開式中常數項

為.

10.（2024?江西景德鎮?三模）若關于x,V的三項式（l+xcosze+ysin/）”的展開式中各項系數之和為64,

則〃=;其中肛項系數的最大值為.

1.（2024?北京?高考真題）在（尤-GJ的展開式中，Y的系數為（）

A.6B.-6C.12D.-12

2.（2024.上海?高考真題）（x-1）6展7開式中/的系數為.

3.（2024?全國?高考真題）9+x；的展開式中，各項系數中的最大值為.

4.（2024?天津?高考真題）在［］+（］的展開式中，常數項為.

5.（2023?天津?高考真題）在卜爐-的展開式中，/的系數為.

432

6.（2022?北京?高考真題）若（2尤-1），=a4x+a3x+a2x+axx+a0,貝|%+出+%=（）

A.40B.41C.-40D.-41

7.（2022?浙江?|Wj考真題）已知多項式（％+2）（x—1）4=/+qx+〃2工2+。3爐+,則〃2=

%+%+〃3+〃4+〃5=

1-?1》+、）8的展開式中/〉6的系數為（用數字作答）.

8.（2022?全國?|Wj考真題）

工[石的展開式中，常數項是.

9.（2022?天津?高考真題）；

在（V-J）"的展開式中，常數項為.

10.（2021?北京,高考真題）

11.（2021?天津?高考真題）在的展開式中，f的系數是.

a

12.（2021?浙江?高考真題）已知多項式（工一1）3+（X+1）4=X4+〃押3+〃2%2+。3%+〃4,則\~

%+%+.

在'的展開式中，/的系數是.

13.（2020,天津,高考真題）

2

14.（2020?全國?高考真題）（元+^-）（%+y）5的展開式中必尸的系數為（）

X

A.5B.10

C.15D.20

15.（2020?北京?高考真題）在（?-2）5的展開式中，一的系數為（）.

A.-5B.SC.-10D.10

16.（2020?浙江?高考真題）（1+2%）5=4]+Cl^X+Cl^X^++，貝。5=；"1+"2+03=

4+2）6的展開式中常數項是（用數字作答）.

17.（2020?全國?高考真題）

X

第03講二項式定理

（13類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

兩個二項式乘積展開式的系

2022年新I卷，第13題,5分無

數問題

2020年全國甲卷（理），

求指定項的二項式系數無

第8題,5分

2020年全國丙卷（理），

求指定項的系數無

第14題,5分

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較低或中等，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握二項式定理的通項公式，會相關基本量的求解

2.能分清二項式系數與系數的定義，并會相關求解

3.能清晰計算二項式系數和與系數和及其大（小）項計算

4.會三項式、乘積式的相關計算

【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般考查二項式系數和、系數和、求給定項的二項式系數

或系數及相關最大（小）項計算，需重點強化復習

知識講解

1.二項式定理

（1）二項式定理;----/C獷渺t---HC%"（wGN*）；

nkk

（2）通項公式：Tk+i=C^a~b,它表示第Z+1項；

⑶二項式系數：二項展開式中各項的系數為C9,C，…，C".I

若二項展開式的通項為Tr+i=g（r）./S&=0,l,2,…，n）,g⑺W0,則有以下常見結論:

⑴以廠）=0077+1是常數項.

(2)//(廠)是非負整數04+1是整式項.

(3)/z(r)是負整數OTV+i是分式項.

(4)，(廠)是整數臺。+1是有理項.

注1.二項式的通項易誤認為是第4項，實質上是第左+1項.

注2.易混淆二項式中的“項”“項的系數”“項的二項式系數”等概念，注意項的系數是指非字母因數所

有部分，包含符號,二項式系數僅指C々優=0,1,…,ri).

4.二項式系數的性質

性質內容

對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等，即C：=c：m

當左＜號時，二項式系數逐漸增大；

增減性

幾十1

當上〉寸，二項式系數逐漸減小

當〃是偶數時，中間一項(第項)的二項式系數最大，最大值為

當〃是奇數時，中間兩項(第『+1項和第F+i項)的二項式系數相等，且同時取得最大值，

最大值

n-1n+1

最大值為或C?

5.二項式系數和

3+6)”的展開式的各個二項式系數的和等于2",即C9+G+C"…+c￡+…+3=2".

二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即cRcHcH-=d+cHd

__—C"T

考點一、求二項展開式的第左項

典例引領

1.(2024?浙江紹興?二模)1^-2力6的展開式的第四項為.

【答案】-160

【分析】寫出二項式的通項公式，代值計算費即得.

【詳解】［一2元］的展開式的通項為(-2x)r=(-1)'2rC^2r-6,r=0,1,???,6,

令r=3,得7；=（-1）323C^°=-8X6X5X4=-160.

3x2x1

故答案為：-160.

1.（2024?陜西寶雞?一模）（產一：；展開式中的第四項為（）

A.160x3B.-160x3C.240D.-240

【答案】B

【分析】根據二項展開式的通項公式求解.

26kkn3k

【詳解】3-；：展開式的通項公式為M=C*（xJ-"（-2）x~=（-2）*C^x~,

3

所以n=（-2）3C江21-3*3=（_8）*20x=-160x3,

故選：B

2.（2023?北京?校考模擬預測）在［1-；a］的二項展開式中，第四項為

3

【答案】-32-

【分析】利用二項式定理可求得展開式第四項.

【詳解】在［1的二項展開式中，第四項為7；=C：11-；卜］=-32/；

3

故答案為：-32X-2?

考點二、求指定項的二項式系數

典例引領

1.（2024?遼寧?模擬預測）二項式、+；］展開式的第3項的二項式系數是.

【答案】28

【分析】根據二項式展開式的通項公式可得4+1=C"8-，，令廠=2即可求解.

【詳解】由題意知，卜+￡［展開式的通項公式為&|=€：，-，1￡|'=［￡|7］1

令廠=2,得C；=28,即二項式1x+gj展開式的第3項的二項式系數是28.

故答案為：28

2.(2024?上海?三模)若卜+工的二項展開式中第3項與第5項的系數相等，則該展開式中｝的系數為

【答案】6

【分析】求得二項式的展開式的通項公式，由題意可得C：=C：,可求得〃=6,可求二項的系數.

X

【詳解】［+J”的展開式為依Q'=C；醵3,r=0,l,L,n,

因為二項展開式中第3項與第5項的系數相等，

所以C；=C：,所以〃=6,

令6—2r=T,解得廠=5,

所以該展開式中的斗系數為C：=6.

故答案為：6.

1.(2024?全國?模擬預測-必］的展開式中第2項的二項式系數為6,則其展開式中的常數項為

【答案】15

【分析】由題意先求出〃=6,再求出的展開式的通項公式，令3r-6=0代入即可得出答案.

【詳解】因為-尤,J”的展開式中第2項的二項式系數為6,所以C；=6,〃=6,

弓一V：的展開式的通項公式為卻=晨［：］.(_尤2y=(_iyc，i,

令3r-6=0,得r=2,故展開式中的常數項為C：x(-l)2=15.

故答案為：15.

2.(2024?江蘇無錫?模擬預測)在(。+6)”的展開式中，若第4項與第5項的二項式系數之和等于第10項與

第11項的二項式系數之和，則,=()

A.16B.15C.14D.13

【答案】D

【分析】由題意可得：C：+C：=C：+C；°,結合組合數的性質。/+(：：=14,(2：=(：＞分析求解.

【詳解】由題意可得：C：+C：=C：+C；°,則C2=C匕，

可得〃+1=14,所以〃=13.

故選：D.

考點三、二項式系數和

典例引領

1.（2024?浙江?三模）若（2彳-9］展開式的二項式系數之和為128,則展開式中x的系數為.

【答案】280

【分析】先由二項式系數和為128,求出?再求出（2工-十］展開式的通項，令7一/1,即可得出答案.

【詳解】展開式的二項式系數之和為2"=128,解得：n=7,

2咻）

所以展開式的通項為：加=u（2尤廣'=C；"T（_l）r無一2,

3

令7-y=l,解得：r=4,

所以展開式中x的系數為：C<23（-1）4=35x8=280.

故答案為：280.

2.（2024?四川攀枝花?三模）若（1-2x）"（weN*）的展開式中丁的系數為-80,則展開式中所有項的二項式系

數之和為_.（以數字作答）

【答案】32

【分析】直接利用二項式的展開式求出結果.

r

【詳解】根據（l-2x）"（〃eN*）的展開式的通項公式為Tr+l=C：.（-2）-Z,

當r=3時，-C>23=_80,解得〃=5；

故所有項的二項式系數之和為25=32.

故答案為：32.

1.（2024?廣東東莞?模擬預測）已知:的展開式中所有項的二項式系數之和為32,則的展開

式中Y的系數為（）

A.-10B.-20C.10D.20

【答案】D

【分析】先利用二項式系數性質求出,的值，在二項展開式的通項公式中，令d的基指數等于31,求出廠的

值，即可求得Y的系數.

【詳解】根據卜的展開式中，二項式系數的和為2,=32,，〃=5.

而(x-*)"=(x-±)5的展開式中，通項公式為4M=C>(-2廣產"，

XX

令5-2r=3,求得廠=1,可得展開式中Y的系數為C：.(-2)=-10,

故選：D.

2.(24-25高三上?貴州貴陽?階段練習)若(&-￡|的展開式的二項式系數和為32,且尤々的系數為80,則

實數。的值為.

【答案】-2

5-3k

【分析】由二項式系數和先求〃，再利用通項普=c￡(-°)晨工得到一的指數確定上值，由一的系數為

80,建立關于。的方程求解可得.

【詳解】因為的展開式的二項式系數和為32,

所以C；+C；+C；+…+C；；=2"=32,解得“=5.

5-左(、45-3k

所以￡+]=&(&1卜￡=C：(-4x亍，

由5專-弘*=一2,解得左=3,

所以一的系數為C；(-a)3=-10a3=80,解得a=-2.

故答案為：-2.

考點四、二項式系數的增減性和最值

典例引領

L(23-24高二下?廣東深圳?期中)C/-的展開式中二項式系數最大的項為()

A.第二項B.第三項C.第四項D.第五項

【答案】C

【分析】根據題意，結合二項展開式的二項式系數的性質，即可求解.

【詳解】由12/一的展開式中，襄+i項的二項式系數為C：,

根據二項式系數的性質得，當左=3時，(C)max=C：,即第四項的二項式系數最大.

故選：C.

2.（2024?江西南昌?三模）（多選）已知上的展開式中二項式系數的最大值與1x+￡|的展開