第01講分類加法原理與分步乘法原理

（3類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

全排列問題解讀

2024年新H卷，第14題,6分分步乘法計數原理

寫出基本事件

2023年新I卷，第13題,5分分類加法計數原理實際問題中的組合計數問題

抽樣比、樣本總量、各層總數、總體容

2023年新D卷，第3題,5分分步乘法計數原理及簡單應用量的計算

實際問題中的組合計數問題

2023年全國甲卷（理），

分類加法計數原理排列數的計算

第9題,5分

2023年全國乙卷（理），排列數的計算

分步乘法計數原理及簡單應用

第7題,5分實際問題中的組合計數問題

2020年全國乙卷（理），

分步乘法計數原理及簡單應用相鄰問題的排列問題

第14題,5分

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握分類加法原理與分步乘法原理的定義

2.會分類加法原理與分步乘法原理在實際問題中的應用及計算

【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般會和排列組合結合在小題中考查，需重點復習

知識講解

1.分類加法計數原理

做一件事，完成它有n類辦法,在第一類辦法中有7771種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法

在第〃類辦法中有他“種不同的方法.那么完成這件事共有N=si+他+…+*種不同的方法.

2.分步乘法計數原理

做一件事，完成它需要分成"個步驟，做第一個步驟有儂種不同的方法，做第二個步驟有〃Z2種不同的方

法做第”個步驟有物,種不同的方法.那么完成這件事共有N=niiXn72X…又如種不同的方法.

3.分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別

分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；

分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.

4.使用分類加法計數原理時兩個注意點

（1）根據問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統一，不能遺漏.

（2）分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復.

5.利用分步乘法計數原理解題時三個注意點

（1）要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.

（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.

（3）對完成每一步的不同方法數要根據條件準確確定.

應用兩個計數原理的難點在于明確分類和分步.分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標準是關鍵；分步

要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成，較復雜的問題可借助圖表完成.

考點一、分類加法原理

典例引領

L（2023?北京東城?二模）某社區計劃在端午節前夕按如下規則設計香囊：在基礎配方以外，從佩蘭、冰片、

丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選擇一味添加到香囊，則不同的添加方案有（）

A.13種B.14種C.15種D.16種

2.（2023?全國?高三專題練習）將編號1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3的盒子中，要求不允許有空

盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（）

A.16種B.12種C.9種D.6種

1.（2024?內蒙古赤峰?模擬預測）有3名同學同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共

有種不同的去法.（用數字回答）

2.（2023?全國?高三專題練習）如果把個位數是1,且恰有3個數字相同的四位數叫做"好數"，那么在由1,

2,3,4四個數字組成的有重復數字的四位數中，"好數"共有個.

考點二、分步乘法原理

典例引領

1.（2023?全國?高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有

1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

2.（全國?高考真題）如圖，小明從街道的E處出發，先到尸處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓

參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為

D.9

1.（2023秋?山東?高三校聯考階段練習）某商店共有A,B,C三個品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一

個水杯，且甲買的不是A品牌，乙買的不是C品牌，則這三人買水杯的情況共有（）

A.3種B.7種C.12種D.24種

2.（2024?山東荷澤?二模）在2024年高校自主招生考試中，高三某班的四名同學決定報考三所高校，

則恰有兩人報考同一高校的方法共有（）

A.9種B.36種C.38種D.45種

3.（2024?江蘇南通?模擬預測）某志愿者小組有5人，從中選3人到A、8兩個社區開展活動，其中1人到A

社區，則不同的選法有（）

A.12種B.24種C.30種D.60種

考點三、兩個計數原理的綜合應用

典例引領

1.（2024?上海?高考真題）設集合A中的元素皆為無重復數字的三位正整數，且元素中任意兩個不同元素之

積皆為偶數，求集合中元素個數的最大值____.

2.（2024?河南信陽?模擬預測）從0,1,2,5中取三個不同的數字，組成能被5整除的三位數，則不同三

位數有（）

A.12個B.10個C.8個D.7個

3.（2024?安徽合肥?模擬預測）2024屆高三某次聯考中對尖端生采用屏蔽措施，某校歷史方向有

A、B、C、D、E五名屏蔽生總分在前9名，現在確定第一、二、五名是A、B、C三位同學，但A不是第一

名，D、E兩名同學只知道在6至9名，且。的成績比E好，則這5位同學總分名次有多少種可能（）

A.6B.12C.24D.48

1.（2024?河北?模擬預測）用0J,2,3,4能組成沒有重復數字且比32000小的數字（）個.

A.212B.213C.224D.225

2.（23-24高二下?廣東中山?期末）用數字0,1,2,3,4,5組成的有重復數字的三位數且是偶數的個數

為（）

A.76B.38C.36D.30

3.（2023?江蘇揚州?儀征中學校考模擬預測）某人從上一層到二層需跨10級臺階，他一步可能跨1級臺階，

稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步，從一層上到二層他總共

跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（）種.

A.10B.9C.8D.12

I誨,好題沖關.

1.（2024?云南大理?模擬預測）現有4個同學站成一排，將甲、乙2個同學加入排列，保持原來4個同學順

序不變，不同的方法共有（）種

A.10B.20C.30D.60

2.（2024?河南?二模）將甲，乙等5人全部安排到A,民C,。四個工廠實習，每人只去一個工廠，每個工廠至

少安排1人，且甲，乙都不能去A工廠，則不同的安排方法有（）

A.72種B.108種C.126種D.144種

3.（2024?陜西商洛?三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A,B,C三家企業可供選擇，若去C

企業最多一人，則不同分配種數是（）

A.112B.80C.64D.32

4.（2024?河南濮陽?模擬預測）某班派遣五位同學到甲、乙、丙三個街道打掃衛生.每個街道至

少有一位同學去，至多有兩位同學去，且A,3兩位同學去同一個街道，則不同的派遣方法有（）

A.18B.24C.36D.48

5.（23-24高二下?天津北辰?期中）從0,2,4中選一個數字.從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字

的三位數.其中奇數的個數為（）

A.48B.30C.24D.6

6.（23-24高二下?廣西桂林,期末）從1,3,5,7中任取2個數字，從2,4中任取1個數字，可以組成沒

有重復數字的三位數的個數是（）

A.8B.12C.18D.72

7.（24-25高三上?北京?階段練習）某外商計劃在5個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資

的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有（）

A.36種B.60種C.120種D.180種

8.（24-25高三上?廣東?階段練習）小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質飲料中選3瓶進行購買，

若每種飲料至多買一瓶，則功能性提神飲料和電解質飲料都至少買1瓶的買法種數為.（用數字作答）

9.（24-25高三上?上海黃浦?階段練習）若甲、乙兩人從6門課程中各選修3門，則甲、乙所選修的課程中至

少有1門相同的選法種數為一.

10.（24-25高三上?上海?開學考試）若從0,1,2,3,4,5這六個數字中任取2個偶數和2個奇數，組成

一個無重復數字的四位數，則不同的四位數的個數是.

1.（2024?河北?模擬預測）用0,1,2,3,4能組成沒有重復數字且比32000小的數字（）個.

A.212B.213C.224D.225

2.（2024?廣東深圳?模擬預測）已知6件不同的產品中有2件次品，現對它們一一測試，直至找到所有2件

次品為止，若至多測試4次就能找到這2件次品，則共有（）種不同的測試方法.

A.114B.90C.106D.128

3.（2024?陜西銅川?模擬預測）小張同學喜歡吃4種不同品種的奶糖，她有5個不同顏色的塑料袋，每個袋

子中至少裝1種奶糖.小張同學希望任意兩個袋子所包含奶糖種類不完全相同，且每一種奶糖均要在兩個

袋子中出現，那么不同的方案數為（）

A.3000B.3360C.1440D.1560

4.（23-24高二下?浙江杭州?期中）將5名醫生分配到三個社區協助開展社區老年人體檢活動，每個社區至

少1人，則不同的分配方法有（）

A.50B.150C.240D.300

5.（24-25高三上?浙江?階段練習）將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側，要求每一側種植3棵，且每

一側中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（）

A.20種B.40種C.80種D.160種

6.（23-24高三上?江蘇?階段練習）若一個五位數的各個數位上的數字之和為3,則這樣的五位數共有個.

7.（2024?浙江杭州?模擬預測）袋子中有數字"7"的卡片3張和數字"2","3","5"的卡片各1張，從中任意取

出4張卡片，最多能組成個不同的四位數（用數字回答）.

8.（23-24高二下?吉林長春?期末）有4人到甲、乙、丙三所學校去應聘，若每人至多被一所學校錄用，每

所學校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數為.（用數字作答）

9.（2024高三?全國?專題練習）用0,1,2,3,4,5這六個數字組成沒有重復的四位偶數，將這些數字

從小到大排列起來，第71個數是.

10.（23-24高三上?山東泰安?階段練習）現有6名志愿者報名參加某項暑期公益活動，此項公益活動為期兩

天，每天從這6人中安排3人參加，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式有種.

1.（2023?全國?統考高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中

恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

2.（2023?全國?統考高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每

天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

3.（2023?全國?統考高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中

選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數字作答）.

4.（北京?高考真題）從0,2中選一個數字.從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數.其中奇

數的個數為

A.24B.18C.12D.6

5.（全國?高考真題）5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方

法有（）

A.10種B.20種C.25種D.32種

6.（全國?高考真題）甲、乙、丙3位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則

不同的選修方案共有

A.36種B.48種C.96種D.192種

7.（四川?高考真題）由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是

A.72B.96C.108D.144

8.（全國?統考高考真題）4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區

至少安排1名同學，則不同的安排方法共有種.

第01講分類加法原理與分步乘法原理

（3類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

全排列問題解讀

2024年新H卷，第14題,6分分步乘法計數原理

寫出基本事件

2023年新I卷，第13題,5分分類加法計數原理實際問題中的組合計數問題

抽樣比、樣本總量、各層總數、總體容

2023年新II卷，第3題,5分分步乘法計數原理及簡單應用量的計算

實際問題中的組合計數問題

2023年全國甲卷（理），

分類加法計數原理排列數的計算

第9題,5分

2023年全國乙卷（理），排列數的計算

分步乘法計數原理及簡單應用

第7題,5分實際問題中的組合計數問題

2020年全國乙卷（理），

分步乘法計數原理及簡單應用相鄰問題的排列問題

第14題,5分

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握分類加法原理與分步乘法原理的定義

2.會分類加法原理與分步乘法原理在實際問題中的應用及計算

【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，一般會和排列組合結合在小題中考查，需重點復習

知識講解

1.分類加法計數原理

做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有mi種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法

在第〃類辦法中有恤種不同的方法.那么完成這件事共有N=如+貨+…+加〃種不同的方法.

2.分步乘法計數原理

做一件事，完成它需要分成〃個步驟，做第一個步驟有電種不同的方法，做第二個步驟有“22種不同的方

法……做第n個步驟有恤種不同的方法.那么完成這件事共有N^mlXm2X…X?時種不同的方法.

3.分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別

分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；

分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.

6.使用分類加法計數原理時兩個注意點

⑴根據問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統一，不能遺漏.

(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復.

7.利用分步乘法計數原理解題時三個注意點

(1)要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.

(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.

(3)對完成每一步的不同方法數要根據條件準確確定.

應用兩個計數原理的難點在于明確分類和分步.分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標準是關鍵；分步

要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成，較復雜的問題可借助圖表完成.

考點一、分類加法原理

典例引領

1.(2023?北京東城?二模)某社區計劃在端午節前夕按如下規則設計香囊：在基礎配方以外，從佩蘭、冰片、

丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選擇一味添加到香囊，則不同的添加方案有()

A.13種B.14種C.15種D.16種

【答案】C

【分析】分四種情況，利用分類計數原理即可求出結果.

【詳解】從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選一種，有C：=4種，

從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選二種，有C；=6種，

從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選三種，有C：=4種，

從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥全選，有C：=l種，

所以從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選一種，共有4+6+4+1=15種，

故選：C.

2.（2023?全國?高三專題練習）將編號1,2,3,4的小球放入編號為L2,3的盒子中，要求不允許有空

盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（

A.16種B.12種C.9種D.6種

【答案】B

【分析】分六種情況討論，求解每一種類型的放球方法數,然后利用分類計數加法原理求解即可.

【詳解】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當四個小球分組為如下情況時，放球方法

有:

當1與2號球放在同一盒子中時,有2種不同的放法;

當1與3號球放在同一盒子中時,有2種不同的放法;A

當1與4號球放在同一盒子中時,有2種不同的放法;

當2與3號球放在同一盒子中時,有2種不同的放法;

當2與4號球放在同一盒子中時,有2種不同的放法;

當3與4號球放在同一盒子中時,有2種不同的放法;

因此，不同的放球方法有12種，故選B.

點睛：本題主要考查分類計數加法原理的應用，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱

含條件.解題過程中要首先分清"是分類還是分步"，在應用分類計數加法原理討論時，既不能重復交叉討論

又不能遺漏，這樣才能提高準確率.

1.（2024?內蒙古赤峰?模擬預測）有3名同學同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行決定，共

有種不同的去法.（用數字回答）

【答案】7

【分析】按去1,2,3個人分類，利用組合數求解即可.

【詳解】由題意，去1人有C；=3種去法，去2人有C；=3種去法，去3人有C；=l種去法，

所以共有3+3+1=7種不同的去法，

故答案為：7

2.（2023?全國?高三專題練習）如果把個位數是1,且恰有3個數字相同的四位數叫做"好數"，那么在由1,

2,3,4四個數字組成的有重復數字的四位數中，"好數"共有個.

【答案】12

【分析】分析可得，共有三個1,三個2,三個3,三個4,4種情況，分別求得滿足題意"好數"個數，根

據分類加法計數原理，即可得答案.

【詳解】當組成的數字有三個1,三個2,三個3,三個4時共有4種情況.

當有三個1時：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141,有9種，

當有三個2,3,4時：2221,3331,4441,有3種,

根據分類加法計數原理可知，共有12種結果.

故答案為：12

考點二、分步乘法原理

典例引領

1.（2023?全國?高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有

1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C；種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有A；種，

根據分步乘法公式則共有C2A；=120種，

故選：C.

2.（全國?高考真題）如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓

參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為

A.24B.18C.12D.9

【答案】B

【詳解】解：從后到孔每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，

從E到尸最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，

每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C/C22=6種走法.

同理從尸到G,最短的走法，有C￡Cz2=3種走法.

.?.小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為6X3=18種走法.

故選B.

【考點】計數原理、組合

【名師點睛】分類加法計數原理在使用時易忽視每類中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是相互

獨立的；分步乘法計數原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事,

步步之間是相互關聯的.

1.（2023秋?山東?高三校聯考階段練習）某商店共有A,B,C三個品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一

個水杯，且甲買的不是A品牌，乙買的不是C品牌，則這三人買水杯的情況共有（）

A.3種B.7種C.12種D.24種

【答案】C

【分析】根據分步乘法計數原理即可求解.

【詳解】由分步乘法計數原理可得這三人買水杯的情況共有2x2x3=12（種）.

故選：C

2.（2024,山東荷澤?二模）在2024年高校自主招生考試中，高三某班的四名同學決定報考三所高校，

則恰有兩人報考同一高校的方法共有（）

A.9種B.36種C.38種D.45種

【答案】B

【分析】利用排列、組合數即可求解.

【詳解】由題意，恰有兩人報考同一高校的方法共有C：A；=36種.

故選：B.

3.（2024?江蘇南通?模擬預測）某志愿者小組有5人，從中選3人到A、8兩個社區開展活動，其中1人到A

社區，則不同的選法有（）

A.12種B.24種C.30種D.60種

【答案】C

【分析】根據給定條件，利用分步乘法計數原理及組合數計算即得.

【詳解】求不同選法種數需2步，先從5人中選1人去A社區，再從余下4人中選2人去8社區，

所以不同的選法有C；C；=30（種）.

故選：C

考點三、兩個計數原理的綜合應用

典例引領

1.（2024?上海?高考真題）設集合A中的元素皆為無重復數字的三位正整數，且元素中任意兩個不同元素之

積皆為偶數，求集合中元素個數的最大值____.

【答案】329

【分析】三位數中的偶數分個位是0和個位不是0討論即可.

【詳解】由題意知集合中且至多只有一個奇數，其余均是偶數.

首先討論三位數中的偶數，

①當個位為0時，則百位和十位在剩余的9個數字中選擇兩個進行排列，則這樣的偶數有周=72個；

②當個位不為0時，則個位有C：個數字可選，百位有C；=256個數字可選，十位有C；個數字可選，

根據分步乘法這樣的偶數共有C；C；C；=256,

最后再加上單獨的奇數，所以集合中元素個數的最大值為72+256+1=329個.

故答案為：329.

2.（2024?河南信陽?模擬預測）從0,1,2,5中取三個不同的數字，組成能被5整除的三位數，則不同三

位數有（）

A.12個B.10個C.8個D.7個

【答案】B

【分析】根據能被5整除的數的特征，分類討論，結合排列組合即可求解.

【詳解】能被5整除的三位數末位數字得是0或5,

當末位數字為。時，此時有A；=6個符合條件的三位數，

當末位數字為5時，此時有2x2=4個符合條件的三位數，

因此一共有4+6=10個，

故選：B

3.（2024?安徽合肥?模擬預測）2024屆高三某次聯考中對尖端生采用屏蔽措施，某校歷史方向有

4B、C、D、E五名屏蔽生總分在前9名，現在確定第一、二、五名是A、B、C三位同學，但A不是第一

名，D、E兩名同學只知道在6至9名，且。的成績比E好，則這5位同學總分名次有多少種可能（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】先排A,再排8和C,對。進行分類，可排6,7,8位，最后根據。的情況再排E。

【詳解】第一步排A有兩種可能：第2名或第5名；

第二步排B和C有兩種可能；

第三步排D和E,。有6,7,8位三種可能；

當。為第6名時，E有7,8,9名三種可能，

當。為第7名時，E有8,9名兩種可能，

當。為第8名時，E只有第9名一種可能，

所以第三步的總數為3+2+1=6種；

根據分類計數原理，所有名次排位的總數=2x2x6=24種。

故選：C

1.（2024?河北?模擬預測）用Q1,2,3,4能組成沒有重復數字且比32000小的數字（）個.

A.212B.213C.224D.225

【答案】D

【分析】先對數字位數分類討論，在對五位數的首位數字進行分類討論：①首位為1,2；②首位為3.然后

分析千位數的選取，結合分步乘法計數原理和分類加法計數原理可得結果.

【詳解】分數字位數討論：

一位數5個；

兩位數有4x4=16個；

三位數有4x4x3=48個；

四位數有4x4x3x2=96個；

五位數分以下兩種情況討論：

①首位數字為1或2,止匕時共有2A：=2x24=48個；

②首位數字為3,則千位數從。或1中選擇一個，其余三個數位任意排列，

此時共有2禺=12個.

綜上所述，共有5+16+48+96+48+12=225個比32000小的數.

故選：D.

2.（23-24高二下?廣東中山?期末）用數字0,1,2,3,4,5組成的有重復數字的三位數且是偶數的個數

為（）

A.76B.38C.36D.30

【答案】B

【分析】組成有重復數字的三位數，且是偶數，按個位是0和不是0進行分類；個位不是0時要注意選中的數

有0和不是0情況求解.

【詳解】由題意可知，這三位數是偶數，則說明其個位數為偶數，即0,2,4,有3種選擇，

而由于這是一個三位數，所以百位數不能是0,有5種選擇，因為存在重復數字，由此分類討論：

①當個位數為。時，則百位數有5種選擇，十位數有兩種情況，

與百位數一樣，只有一種選擇，

與個位數一樣，也只有一種選擇；

②當個位數為2時，

如果百位數為2,則十位數有6種選擇，

如果百位數不為2,則百位數有4種選擇，此時十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇：

當個位數為4時，

如果百位數為4,則十位數有6種選擇，

如果百位數不為4,則百位數有4種選擇，十位數可以與百位數或個位數相同，有2種選擇

綜上所述，5x1+5x1+1x6+4x2+1x6+4x2=38.

故選：B.

3.(2023?江蘇揚州?儀征中學校考模擬預測)某人從上一層到二層需跨10級臺階，他一步可能跨1級臺階，

稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步，從一層上到二層他總共

跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有()種.

A.10B.9C.8D.12

【答案】A

【分析】利用計數原理直接計算即可.

【詳解】按題意要求，不難驗證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個的三階步.

因此，只能是1個三階步，2個二階步，3個一階步.

為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級臺階的過程：

白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步，

每一過程可表為3個白球、2個黑球、1個紅球的一種同色球不相鄰的排列.

下面分三種情形討論.

(1)第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側，

此時，共有4個黑白球之間的空位放置紅球，所以此種情況共有4種可能的不同排列；

(2)第1球不是白球.

(i)第1球為紅球，則余下5球只有一種可能的排列；

(ii)若第1球為黑球，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，

此種情形共有3種不同排列；

(3)第6球不是白球，同(2),共有3種不同排列.

總之，按題意要求從一層到二層共有4+3+3=10種可能的不同過程.

故選：A

12.好題沖關.

1.(2024?云南大理?模擬預測)現有4個同學站成一排，將甲、乙2個同學加入排列，保持原來4個同學順

序不變，不同的方法共有()種

A.10B.20C.30D.60

【答案】C

【分析】應用分步乘法原理計算即可.

【詳解】4個同學站成一排有5個空，甲加入排列有5種情況，隊列變成5個人有6個空，乙加入排列有6

種情況，

由分步計數原理得，共有5x6=30種不同的方法.

故選：c

2.（2024?河南?二模）將甲，乙等5人全部安排到A,民C,。四個工廠實習，每人只去一個工廠，每個工廠至

少安排1人，且甲，乙都不能去A工廠，則不同的安排方法有（）

A.72種B.108種C.126種D.144種

【答案】C

【分析】利用分類加法計數原理，結合分組分配問題和排列組合知識求解.

【詳解】由題意可知，分兩種情況討論，

①A工廠安排1人，有駕？頒退種，

②A工廠安排2人，有位旬g種，

所以不同的安排方法有108+18=126種.

故選：C.

3.（2024?陜西商洛?三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學生實習時，有A,B,C三家企業可供選擇，若去C

企業最多一人，則不同分配種數是（）

A.112B.80C.64D.32

【答案】A

【分析】根據已知條件及分類分步計數原理即可求解.

【詳解】分兩類情況，第一類情況，去C企業僅有一人，有C；x24=80種情況；

第二類情況，沒有一個去C企業，有2$=32種情況，

所以根據分類加法計數原理共有80+32=112種.

故選：A.

4.（2024?河南濮陽?模擬預測）某班派遣AB,C,O,E五位同學到甲、乙、丙三個街道打掃衛生.每個街道至

少有一位同學去，至多有兩位同學去，且A,2兩位同學去同一個街道，則不同的派遣方法有（）

A.18B.24C.36D.48

【答案】A

【分析】先安排AB，再將剩余3人分別兩組，和兩個街道進行全排列，求出答案.

【詳解】由題意得，學生的分配人數分別為2,2,1,

由于AB兩位同學去同一個街道，故先從3個街道中選擇1個安排AB,有C；種，

再將剩余3人分別兩組，和兩個街道進行全排列，有C；A；=6

故不同的派遣方法有3x6=18種.

故選：A.

5.（23-24高二下?天津北辰?期中）從0,2,4中選一個數字.從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字

的三位數.其中奇數的個數為（）

A.48B.30C.24D.6

【答案】B

【分析】考慮到百位數字非零的限制，將三位奇數分成三類，分別用排列組合數表示方法數，最后運用分

類加法計數原理計算即得.

【詳解】依題意，這樣的三位奇數分為三類：

①元素0被選中，則應放在十位，從1,3,5中選兩個數字排在個位與百位，共有A；=6種方法；

②元素2被選中，則可放在百位或十位，再從1,3,5中選兩個數字排在余下的兩個數位，有C；A；=12種

方法；

③元素4被選中，與②情況相同，有C；A；=12種方法.

由分類加法計數原理可得，奇數的個數為6+12x2=30個.

故選：B.

6.（23-24高二下?廣西桂林?期末）從1,3,5,7中任取2個數字，從2,4中任取1個數字，可以組成沒

有重復數字的三位數的個數是（）

A.8B.12C.18D.72

【答案】D

【分析】利用分步計數原理，結合組合數與排列數，即可計算結果.

【詳解】從1,3,5,7中任取2個數的方法數有C：=6；

從2,4中任取1個數的方法數有C；=2；

選出的3個數的排列有A；=6；

再利用分步計數乘法原理得：

可以組成沒有重復數字的三位數的個數有6x2x6=72.

故選：D.

7.（24-25高三上?北京?階段練習）某外商計劃在5個候選城市投資3個不同的項目，且在同一個城市投資

的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有（）

A.36種B.60種C.120種D.180種

【答案】C

【分析】根據題意，分兩種情況討論，一是在兩個城市分別投資1個項目、2個項目，二是在三個城市各投

資1個項目，分別計算其情況數目，進而由加法原理，計算可得答案.

【詳解】該外商不同的投資方案分為兩類：若1個城市投資2個項目，另外1個城市投資1個項目，有

C；A；=60種投資方案；

若3個城市各投資1個項目，共有A；=60種投資方案，

由分類計數原理知，共有120種不同的投資方案.

故選：C.

8.（24-25高三上?廣東?階段練習）小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質飲料中選3瓶進行購買，

若每種飲料至多買一瓶，則功能性提神飲料和電解質飲料都至少買1瓶的買法種數為.（用數字作答）

【答案】70

【分析】根據給定條件，利用分類加法計數原理及組合計數問題列式計算即得.

【詳解】依題意，兩種飲料都至少買1種的買法種數為C；C"C；C；=30+40=70.

故答案為：70

9.（24-25高三上?上海黃浦,階段練習）若甲、乙兩人從6門課程中各選修3門，則甲、乙所選修的課程中至

少有1門相同的選法種數為一.

【答案】380

【分析】分有1門相同、2門相同、3門相同三種情況討論，利用分步乘法計數原理與分類加法計數原理計

算可得.

【詳解】若甲、乙所選的課程有1門相同，則有C：xC；xC；=180種情況；

若甲、乙所選的課程有2門相同，貝U有C：xC；xC；=18。種情況；

若甲、乙所選的課程有3門相同，則有C；=20種情況；

綜上可得甲、乙所選修的課程中至少有1門相同的選法種數為180+180+20=380.

故答案為：380

10.（24-25高三上?上海?開學考試）若從0,1,2,3,4,5這六個數字中任取2個偶數和2個奇數，組成

一個無重復數字的四位數，則不同的四位數的個數是.

【答案】180

【分析】根據特殊元素優先法，按照0是否被取到，先分類再分步即可解決.

【詳解】根據題意，可將四位數分成兩類：

第一類，數字。被取到，則可從2,4中任選一個，再從1,3,5中任選兩個，

接著從除0外的另外三個數中取一個排在首位，剩下的在三個數位上全排，

此時共有C；C；C；A；=108個四位數；

第二類，數字0沒被取到，故2,4全被取到，只需從1,3,5中任選兩個，

再與2,4共4個數字在四個數位上全排，此時共有C；A：=72個四位數.

根據分類加法計數原理，不同的四位數的個數是108+72=180.

故答案為：180.

1.（2024?河北?模擬預測）用0」,2,3,4能組成沒有重復數字且比32000小的數字（）個.

A.212B.213C.224D.225

【答案】D

【分析】先對數字位數分類討論，在對五位數的首位數字進行分類討論：①首位為1,2；②首位為3.然后

分析千位數的選取，結合分步乘法計數原理和分類加法計數原理可得結果.

【詳解】分數字位數討論：

一位數5個；

兩位數有4x4=16個；

三位數有4x4x3=48個；

四位數有4x4*3x2=96個；

五位數分以下兩種情況討論：

①首位數字為1或2,此時共有2空=2x24=48個；

②首位數字為3,則千位數從0或1中選擇一個，其余三個數位任意排列，

此時共有2閥=12個.

綜上所述，共有5+16+48+96+48+12=225個比32000小的數.

故選：D.

2.（2024?廣東深圳?模擬預測）已知6件不同的產品中有2件次品，現對它們一一測試，直至找到所有2件

次品為止，若至多測試4次就能找到這2件次品，則共有（）種不同的測試方法.

A.114B.90C.106D.128

【答案】A

【分析】利用分類加法計數原理可求得測試方法的種數.

【詳解】解：檢測2次可測出2件次品，不同的測試方法有A；種；

檢測3次可測出2件次品，不同的測試方法有C；C；A；種；

檢測4次測出2件次品；不同的測試方法有C；C；Aj種；

檢測4次測出4件正品，不同的測試方法共有A：種，

由分類計數原理，滿足條件的不同的測試方法的種數為：

A；+C；C；C；+C；C；A：+A：=114種.

故選：A.

3.（2024?陜西銅川?模擬預測）小張同學喜歡吃4種不同品種的奶糖，她有5個不同顏色的塑料袋，每個袋

子中至少裝1種奶糖.小張同學希望任意兩個袋子所包含奶糖種類不完全相同，且每一種奶糖均要在兩個

袋子中出現，那么不同的方案數為（）

A.3000B.