第12講余弦定理、正弦定理的應用目標導航目標導航課程標準課標解讀能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題。1.會用正弦定理、余弦定理解決生產實踐中有關距離、高度、角度的測量問題；2.培養提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力。知識精講知識精講知識點01高度問題類型簡圖計算方法底部可達測得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝.底部不可達點B與C，D共線測得CD＝a及C與∠ADB的度數.先由正弦定理求出或，再解三角形得的值.點B與C，D不共線測得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度數.在△BCD中由正弦定理求得，再解三角形得的值.【即學即練1】如圖所示，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山在西偏北的方向上，行駛后到達B處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度（

）．A． B． C． D．知識點02距離問題類型圖形方法兩點間不可到達的距離定理兩點間可視不可到達的距離定理兩個不可到達的點之間的距離先用定理，再用定理【即學即練2】海面上有相距的A，B兩個小島，從A島望C島和B島成的視角，從B島望C島和A島成的視角，則B，C間的距離為（

）A． B． C． D．知識點03角度問題測量角度問題主要是指在海上或空中測量角度的問題，如確定目標的方位，觀察某一建筑物的視角等.解決它們的關鍵是根據題意和圖形及有關概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根據題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形得到所求的量，從而得到實際問題的解。【即學即練3】一艘客船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東方向，之后它以每小時32海里的速度繼續沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時測得船與燈塔S相距海里，則燈塔S在B處的（

）A．北偏東 B．北偏東或南偏東C．南偏東 D．以上方位都不對能力拓展能力拓展考法01高度測量問題【典例1】文筆塔，又稱慈云塔，位于保山市隆陽區太保山麓，古塔建設于唐代南詔時期．2007年4月在原址拆除重建后的文筆塔新塔與廣大市民見面．如圖，某同學在測量塔高AB時，選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點C和D．測得，在點C測得塔頂A仰角為，已知，，且CD＝56米．(1)求；(2)求塔高AB（結果保留整數）．考法02距離測量問題【典例2】如圖所示，我國黃海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島與小島、小島相距都為5公里，與小島相距為公里．已知角為鈍角，且．(1)求小島與小島之間的距離；(2)記為，為，求的值．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．在中，，則三角形的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰三角形2．如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西方向上，燈塔B在觀察站南偏東方向上，則燈塔A在燈塔B的（

）A．北偏東方向上 B．北偏西方向上 C．南偏東方向上 D．南偏西方向上3．如圖，兩點在河的兩岸，在同側的河岸邊選取點，測得的距離，則兩點間的距離為（

）A． B． C． D．4．小明在學完《解直角三角形》一章后，利用測角儀和校園旗桿的拉繩測量校園旗桿的高度，如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等，小明先將PB拉到的位置，測得（為水平線），測角儀的高度為1米，則旗桿的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．如圖，小明同學在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°．若山高AD＝150m，汽車從C點到B點歷時25s，則這輛汽車的速度為______m/s．6．如下圖所示，為了測量山高MN，分別選擇山下平地的A處和另一座山的山頂C處為測量觀測點．從A點測得M點的仰角，C點的仰角以及，從C點測得，已知山高米，則山高__________米．7．如圖，為測得河對岸塔的高，可在河岸上選取與塔底在同一水平面的兩個測量點與，現測得,，，，則塔高度為__________.8．已知飛機從地按北偏東的方向飛行到達地，再從地按南偏東的方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．求地與地之間的距離．9．如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，求從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角．10．如圖，從A點和B點測得上海東方明珠電視塔塔頂C的仰角分別為38.3°和50°（A，B兩點與塔底D點在同一條直線上），，求東方明珠電視塔的高度（精確到1m）．參考數據：題組B能力提升練1．已知的三個內角所對的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形2．一帆船要從A處駛向正東方向200海里的B處，當時有自西北方向吹來的風，風速為海里/小時，如果帆船計劃在5小時內到達目的地，則船速的大小應為（

）A．海里/小時 B．海里/小時C．海里/小時 D．海里/小時3．圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”），當太陽在正午時刻照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個根據某地的地理位置設計的主表的示意圖，已知某地冬至正午時太陽高度角（即∠ABC）大約為15°，夏至正午時太陽高度角（即∠ADC）大約為60°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（注：）（

）A． B． C． D．4．一艘輪船沿北偏東28°方向，以18海里/時的速度沿直線航行，一座燈塔原米在輪船的南偏東32°方向上，經過10分鐘的航行，此時輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（

）A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里5．如圖，某船在A處看見燈塔P在南偏東15°方向，后來船沿南偏東45°的方向航行30km后，到達B處，看見燈塔P在船的北偏西75°方向，則這時船與燈塔之間的距離是（

）A．10km B．20km C．km D．km6．如圖所示，要在兩山頂間建一索道，需測量兩山頂間的距離.現選擇與山腳在同一平面的點為觀測點，從點測得點的仰角點的仰角以及，若米，米，則等于__________米.7．圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標志性建筑.1996年經國務院批準，被列為第四批全國重點文物保護單位，是每一位到哈爾濱旅游的必到景點，其集圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領略它的美，小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為米，在它們之間的地面上的點M（B、M、D三點共線）處測得樓頂A和教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為______米.8．如圖，某廣場有一塊不規則的綠地，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為、，經測量，，，．(1)求的長度；(2)若環境標志的底座每平方米造價為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使建造費用較低（請說明理由）？較低造價為多少？9．已知的周長為，且.(1)求邊的長；(2)若的面積為，求角的度數.10．2022年北京冬奧會的成功舉辦激發了人們對冰雪運動的熱情．如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為兩部分，小明同學在點測得雪道的坡度，在點測得點的俯角．若雪道長為270m，雪道長為260m．(1)求該滑雪場的高度h；(2)據了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設備來滿足對于雪量和雪質的不同要求，其中甲設備每小時造雪量比乙設備少，且甲設備造雪所用的時間與乙設備造雪所用的時間相等．求甲、乙兩種設備每小時的造雪量．題組C培優拔尖練1．在中，若，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．2．的內角的對邊分別為，則下列說法不正確的是（

）A．若，則B．若，則有兩解C．若為鈍角三角形，則D．若三角形為斜三角形，則3．小明同學學以致用，欲測量學校教學樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進行測量，小明同學在運動場上選取相距25米的C，D兩觀測點，且C，D與教學樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測點處測得教學樓頂部A的仰角分別為45°，30°，并測得，則教學樓AB的高度是（

）A．20米 B．25米 C．米 D．米24．（多選）在中，內角，，所對的邊分別為，，，，內角的平分線交于點且，則下列結論正確的是（

）A． B．的最小值是2C．的最小值是 D．的面積最小值是5．（多選）如圖，的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且．若點D在外，，則下列說法中正確的有（

）A．B．C．四邊形面積的最大值為D．四邊形面積無最大值6．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于________m．（用四舍五入法將結果精確到個位．參考數據：，，，，）7．《后漢書·張衡傳》：“陽嘉元年，復造候風地動儀．以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形．中有都柱，傍行八道，施關發機．外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之．其牙機巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際．如有地動，尊則振龍，機發吐丸，而蟾蜍銜之．振聲激揚，伺者因此覺知．雖一龍發機，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在．驗之以事，合契若神．”如圖為張衡地動儀的結構圖，現在相距120km的A，B兩地各放置一個地動儀，B在A的東偏北75°方向，若A地地動儀正東方向的銅丸落下，B地地動儀東南方向的銅丸落下，則地震的位置距離B地______km8．在中，角所對的邊長為，，．(1)若，求的面積；(2)是否存在正整數，使得為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．9．根據指令，機器人在平面上能完成下列動作：先原地旋轉角度（為正時，按逆時針方向旋轉；為負時，按順時針方向旋轉），再朝其面對的方向沿直線行走距離r.(1)現機器人在直角坐標系的坐標原點，且面對x軸正方向，試給機器人下一個指令，使其移動到點；