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文檔簡介
2025年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試(天津卷01)
全解全析
(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),
用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題(本題共9小題,每小題5分,共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題
目要求的)
1.已知集合/=Wx<2},B={xeN|0Wx<3},則()
A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}
C.{0,1}D.{152}
【答案】C
【解析】由題意N={xeZ|TVx<2}={T0』},8={xeN|0Vx<3}={0』,2},所以/口8={0,1}.故選:C.
2.設(shè)0,6都是不等于1的正數(shù),貝上麻”沙口且岸洲隨三僧小的()
A.充要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】。,6都是不等于1的正數(shù),
由log03>l0gz,3>1,得l<a<b<3,.13。<3。
反之,由3°<33得”6,若0<。<1,b>\,則log.3<0,故log03>10gz,3>1不成立.
“l(fā)og”3>log,3>1”是"3"<3"”的充分不必要條件.
故選:B.
)
A.r2<r4<r3<rxB.Qv4<G"C.r4<r2<rx<r3D.r2<r4<rx<r3
【答案】A
【解析】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出,
圖1和圖3是正相關(guān),相關(guān)系數(shù)大于0,圖2和圖4是負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)小于0,
圖1和圖2的點(diǎn)相對(duì)更加集中,所以相關(guān)性要強(qiáng),所以。接近于1,々接近于-1,
由此可得4<4<0<4<勺.故選:A.
4.下列函數(shù)不是奇函數(shù)的是()
A.y=x+sinxB.y=sinxcosx
2.2taiu
C.y=cosx-sinxD.y=------z—
l-tan2x
【答案】C
【解析】對(duì)于A,定義域?yàn)镽J(-x)=-x+sin(-x)=〃x),所以/■(》)為奇函數(shù),
對(duì)于B,定義域?yàn)镽,且/(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-/(x),所以/(x)為奇函數(shù),
對(duì)于C定義域?yàn)镽,且/(-x)=cos2(-x)-sin2(-x)=cos2x-sin2無彳(x),所以/(x)為偶函數(shù),
JT__ITTT
對(duì)于D,定義域滿足tanxw±1且xW—+癡,左£Z,所以xw土一+左兀,左EZ且xw—+癡,左EZ,
242
故定義域?yàn)閇』-]+?<》<_]+版或-:+E<x</+E或9+配<無<^+加,左ez],故定義域關(guān)于原點(diǎn)
[|244442J
/、tan(-x)-tanx/、
對(duì)稱,且/7},,=/X,所以為奇函數(shù),
1-tan(-x)1-tanx
故選:C
QA3
5.^a=5,b=0.2°,c=log024,則q,b,c的大小關(guān)系為()
A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>a>c
【答案】B
01
【解析】67=5>5°=1,0<6=0.2°3<0.2°=1,c=log024<log02l=0,故。>6>c.
故選:B.
6.設(shè)〃?,〃是兩條直線,a,僅是兩個(gè)平面,則下列命題為真命題的是()
A.若羽_La,〃_L尸,m/In,則a_L/7
B.若ac0=m,n/!a,nl!(3,則機(jī)//〃
C.若%utz,〃u尸,mJIn,貝必〃.
D.若a_L尸,mlla,nl/(3,則機(jī)_L〃
【答案】B
【解析】“,,〃是兩條直線,a,4是兩個(gè)平面,
對(duì)于A,若加,c,n±jB,m//n,則由面面平行的判定定理得a〃夕,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,若arV=7〃,”〃a,n\\/3,則由線面平行的性質(zhì)得加〃〃,故B正確;
對(duì)于C,若mua,"u0,m//n,則a與4相交或平行,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,若々_1_£,機(jī)||。,n\\j3,貝!]〃z與"相交、平行或異面,故D錯(cuò)誤.
故選:B.
7.函數(shù)/(x)=2sin(2x+0),<9<3的圖象關(guān)于直線x=]對(duì)稱,則〃x)在方兀上的最小值為()
A.-2B.-V3C.-1D.一夜
【答案】A
[解析]由題意2x3+0=:+癡,后eZ,則夕=g+析,4eZ,又0<9黨,
1223/
所以°則/(x)=2sin(2x+g),
4「兀1r"兀「4兀7兀r.?TT-J3
在不,兀上,2x+—G[—,—],故sin(2x+—)£[-1,——],
」33332
所以八%)最小值為-2.故選:A
22
8.已知雙曲線上-斗=1(%>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相
4b2
交于/、B、C、。四點(diǎn),四邊形/BCD的面積為26,則雙曲線方程為()
【答案】D
【解析】以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓的方程為d+r=4,雙曲線的兩條漸近線方程為
,b
y=±2Xf
不妨設(shè)N在第一象限,則/x>0,1,四邊形4BCD的面積為2b,
;?由對(duì)稱性可得=26,又x>0,/.x=1,
將/卜'10代入—+r=4,可得1+,=4,二/=12,
22
.?.雙曲線的方程為土-匕=1,
412
故選:D.
9.疣殿頂是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式,宋代稱為“五脊殿”、“吳殿”,清代稱為“四阿殿”,如圖
(1)所示.現(xiàn)有如圖(2)所示的虎殿頂式幾何體/3CDW,其中正方形/BCD邊長為3,
3
MN//AB,MN=~,且〃N到平面48C。的距離為2,則幾何體48coMN的體積為()
15
D.一
2
【答案】D
【解析】取/88的中點(diǎn)分別為尸,E,連接NE,EF,NF,
可得幾何體ABCDMN分割為一個(gè)三棱柱ADM-FEN和一個(gè)四棱錐N-FBCE,
將三棱柱ADM-尸EN補(bǔ)成一個(gè)上底面與矩形ADEF全等的矩形的平行六面體,
可得該三棱柱的體積為平行六面體的一半,
119
貝!J三棱柱力。加一尸EN的體積為匕=5x2x5x32=-,
四棱錐N-用CE的體積為匕=;xgx9x2=3,
915
所以該幾何體ZgCDMN的體積為3+,=萬.故選:D.
二、填空題:本題共6小題,每小題5分,共30分.
10.已知復(fù)數(shù)馬=i/2=2+i,那么馬丁2=.
【答案】-l+2i
【解析】由題意可得:z「Z2=i(2+i)=-l+2i.
11.256,
若I的展W開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為則展開式中常數(shù)項(xiàng)是_______,
【答案】28
(1Y
【解析】因?yàn)?一名的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,
所以2"=256,故〃=8,即該二項(xiàng)式為卜一六]=卜-『"
(2、左2
2
設(shè)其展開式的通項(xiàng)為如,則如=c:(x廠(-琰”=(-琰或/2號(hào),
當(dāng)16-2%-g左=0時(shí),即左=6,此時(shí)該項(xiàng)為C:x(_l)6=28
12.已知拋物線一=勺,斜率為的直線交拋物線于A,8兩點(diǎn).若以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)
線切于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸到直線的距離為.
【答案】亞
【解析】設(shè)直線的方程為y=-gx+6,聯(lián)立拋物線的方程公=4y,消去y得一+2工-必=0,所以
A=4+16Z?>0.
設(shè)4(%,必)風(fēng)X2,歹2),所以石+々=-2,再?々=-4b.
因?yàn)槭?土產(chǎn),-1”尸(-1,-1).所以"=(再+1,%+1),麗=因+1,%+1)-
因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線切于點(diǎn)P,所以
即沙?麗=(%+l)(x2+1)+(必+1)(%+1)=0,1
所以直線的方程為丁=-夭+1,即x+2y-2=0
|-1-2-2|
因?yàn)榫?1,-1),所以點(diǎn)尸到直線N5的距離為
Vl2+22
13.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加跳臺(tái)滑雪、越野滑雪、單板滑雪三個(gè)項(xiàng)目的比賽,每人只能參加一個(gè)項(xiàng)
目,每個(gè)項(xiàng)目至少一個(gè)人參加,且甲、乙兩人不能參加同一項(xiàng)目的比賽,則四人參加比賽的不同方案一共
有一種;如果符合以上條件的各種方案出現(xiàn)的概率相等,定義事件/為丙和丁參加的項(xiàng)目不同,事件3
為甲和乙恰好有一人參加跳臺(tái)滑雪,則P(8|N)=.
【答案】301
【解析】依題意,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加三個(gè)項(xiàng)目所有的方案共CjA:=36種,
其中甲、乙參加同一項(xiàng)目的方案A;=6種,
則所求的參賽方案一共有36-6=30種;
因?yàn)榧住⒁覂扇瞬荒軈⒓油豁?xiàng)目,所以丙、丁兩人不能參加同一項(xiàng)目,
則甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人參加同一項(xiàng)目,這里有C;C;A;=24種方案,
若甲單獨(dú)選擇跳臺(tái)滑雪,則丙、丁可分別選擇越野滑雪或者單板滑雪,乙也可在其中二選一,
故總共有A;C;=4種不同的方案;
若甲和一人一起選擇跳臺(tái)滑雪,則甲只可能和丙或丁共同選擇,剩下2個(gè)人分別選擇2個(gè)項(xiàng)目,
故共有C;A;=4種不同的方案;
同理,乙單獨(dú)選擇跳臺(tái)滑雪,有A;C;=4種不同的方案;
乙和一人共同選擇跳臺(tái)滑雪,有C;A;=4種不同的方案,總共有16種方案.
16
所以「⑵小器302
24§
30
14.在邊長為2的菱形/5CD中,ZABC=120°,£是5。的中點(diǎn),/是邊。>上的一點(diǎn),DE交AF于
若尸是CZ)的中點(diǎn),而=2罰+〃前,則/+〃=;若尸在邊上(不含端點(diǎn))運(yùn)動(dòng),則初.麗
的取值范圍是.
【答案】I[°』
【解析】(1)如圖所示:
B
EC
設(shè)而"方=/(而+g確=灰+1■刀,
由三點(diǎn)共線,
=kAD+(l-k)AE
——1—
=kAD+(1-k)(AB+-AD)
則有,7?解得:/=4%
-=\-k
12
—?4—2—6
AH=-BC+-AB,即2+〃=不
(2)如圖所示:當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí),此時(shí)最長,
易知A4DHS&CEH,且相似比為2:1,
NDCB=60°,在△DCE中,由余弦定理得:
DE2=DC2+CE2-2DCxCExcos600=3,
所以DE=VL此時(shí)滿足出+出=必,所以O(shè)ELCE,
所以NADE=90。,此時(shí)。=友,
33
由圖可知,/^(。,罕),
-------??2I.124
則AH?DH=(AD+DH),DH=AD?DH+DH=\DH\e(0,-).
2\x+a\,x<0
15.設(shè)aeR,函數(shù)〃x)=?2<J、門,若函數(shù)V=〃力-|同恰有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)。的取值范圍
\x—JX+4,x0
為.
【答案】-1<"0或1<”2
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)了=/(力-阿恰有4個(gè)零點(diǎn),
所以y=/(x)的圖象與>=|同的圖象有四個(gè)交點(diǎn),當(dāng)a=0時(shí),如圖所示,
N
5
4
3
2
-3-2-'1|O12345*
V=f(x)的圖象與V=|辦卜。的圖象僅有兩個(gè)交點(diǎn),與題意不符;
在xe[l,4]上,當(dāng)/(x)=-4+5x-4與獷=一依相切時(shí),
[y=_―+5x_4
聯(lián)立,,得+5%+辦-4=0,
[y=-ax
貝必=(5+a『-16=0,得a=-l(舍去a=-9),
由圖可知,當(dāng)。<-2時(shí),丁=同與了=/(x)在(-8,0)有一個(gè)交點(diǎn),在(0,+<?)有兩個(gè)交點(diǎn),與題意不符,
所以當(dāng)-24“<-1時(shí),y=H與了=〃x)在(一°°,°)無交點(diǎn),在(0,+00)有兩個(gè)交點(diǎn),與題意不符,
當(dāng)a=-l時(shí),y=H與尸/(X)在(一8,°)無交點(diǎn),在(0,+8)有三個(gè)交點(diǎn),與題意不符,
當(dāng)時(shí),y=H與了=/(x)在(。,0)無交點(diǎn),在(0,+功有四個(gè)交點(diǎn),符合題意;
當(dāng)。>0時(shí),如圖所示,
在xe[1,4]上,當(dāng)/(x)=f2+5x-4與y=?c相切時(shí),
.y——x+5x—4
聯(lián)立,得一工2+5x—ux—4=0,
[y=ax
貝必=(5-小16=0,得。=1(舍去。=9),
由圖可知,當(dāng)0<。<1時(shí),了=網(wǎng)與^=/'(月在(-8,0)有兩個(gè)交點(diǎn),在(0,+8)有四個(gè)交點(diǎn),與題意不符,
當(dāng)°=1時(shí),了=|ax|與了=/(x)在(-雙0)有兩個(gè)交點(diǎn),在(0,+8)有三個(gè)交點(diǎn),與題意不符,
當(dāng)1<°<2時(shí),、=辰|與了=/(》)在(-8,0)有兩個(gè)交點(diǎn),在(0,+8)有兩個(gè)交點(diǎn),符合題意,
當(dāng)a22時(shí),了=|"|與y=/(x)在(-雙0)有一個(gè)交點(diǎn),在(0,+8)有兩個(gè)交點(diǎn),與題意不符.
綜上所述,-1<4<0或1<4<2.
四、解答題:本題共5小題,共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。
16.(本小題滿分14分)在非等腰△/5C中,a,b,。分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且。=3,
c=4,C=2A.
(1)求cosZ的值;
(2)求△43。的周長;
⑶求cos(2/+f|的值.
【解】(1)在中,由正弦定理三=芻=展,a=3,c=4,
可得吃=。,
sinAsinC
343_4
因?yàn)椤?24,所以告即
sin/sin24sinA2sin/cosA
2
顯然sin4w0,解得cosZ=].
(2)在中,由余弦定理〃=/+o2—2bccos/,
得/一爭+7=0,解得z,=3或b=
7
由已知。,b,。互不相等,所以6=
728
所以Cue=^+b+c=3+4+—=—.
(3)因?yàn)閏osA=—,所以sinA=V1—cos2A=——,
33
所以sin24=2sin/cos4=,cos274=2cos2=,
99
CnV3_4V5l_V34V5
所以cos12力+看=cos2Acos--sin2Asin—=xx=+
66I9)29218
17.(本小題滿分15分)如圖,四邊形48。)是正方形,PZ)_L平面48cZ),PD//EA,
AD=PD=2EA=2,F,G,H分別為BP,BE,PC的中點(diǎn).
⑴求證:尸G//平面尸DE;
⑵求平面FGH與平面PBC夾角的大小;
⑶求點(diǎn)E到平面PBC的距離.
【解】(D由題意尸,G分別為2尸,2£的中點(diǎn),
所以FG是ABPE的中位線,
即FG\\PE,
又尸GO平面尸DE,PEu平面PDE,
所以尸G//平面EDE;
(2)由于四邊形48。是正方形,平面488,
所以兩兩垂直,
以。為坐標(biāo)原點(diǎn),DC,。尸所在直線分別為X//軸建立空間直角坐標(biāo)系,
如圖所示:
又AD=PD=2EA=2,尸,G,“分別為8尸,8瓦尸C的中點(diǎn),
則尸(0,0,2),£(2,0,1),3(2,2,0),C(0,2,0),
所以G(2,l,;:F(l,U),〃(0,U);
PC=(0,2-2),5C=(-2,0,0),GF=f-1,0,=(-1,0,0)
設(shè)平面P8C的一個(gè)法向量應(yīng)=(占,必/1),
PC±m(xù)PC-in=2%一24=0
則<
BClmBC-in=-2再=0
解得玉=0,令必=1,得Z]=l;
即應(yīng)=(0,1,1),
設(shè)平面FGA的一個(gè)法向量為萬
r一(—■_1
GF_LnGF-n=—xH—z=0
貝!J一=>?272,
FH_Ln石寸-n
i[FHn=-x2=0
解得x?=0/2=0,令%=1,
即%=(0,1,0);
設(shè)平面FGH與平面PBC夾角的大小為0,
所以cosd=kos(流力|=彳,
11\m\\n\.2x12
TTTT
又。e0,-,所以。=;;
7T
即平面FGH與平面PBC夾角的大小為-;
(3)由(2)平面P2C的一個(gè)法向量為而=(0」,1);
又麗=(0,-2,1),
所以點(diǎn)8到與平面P2C的距離距為:
甌司—1_72
d
\m\V22
22
⑻(本小題滿分15分)已知橢圓片+*1…>。)的離心率嗎,左、右焦點(diǎn)分別為小凡,上、
下頂點(diǎn)分別為耳、B2,且四邊形片片層外的面積為2省.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn)M0,,直線(而N0)與橢圓C交于尸、。兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N,^\MP\=\MQ\,
求△的月面積的取值范圍.
【解】(1)由橢圓的離心率為,可設(shè)。=2f,c=f(f>0),則6=①,
四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形,其面積為S=;?2c?26=g2?2g/=2舟=,
22
即f=l,所以橢圓的方程為:上+匕=1.
43
22
(2)設(shè)尸(項(xiàng),必),。(%2,%),聯(lián)立直線蚱米+徵與橢圓'+'=1,
消去y可得(3+4左2)/+?)kmx+Am2-12=0,
—8km4m2—12
A=(8加了-4(3+4k2)(4/_12)>0,貝!I/<3+4產(chǎn),3+4后2,再%―3+4F,
-4km一4km3m)
設(shè)尸。的中點(diǎn)為",則/=三受E,所以
3mV13
因?yàn)閨前H詼I,所以尸。,所以3+4(12J=T,
-4km
3+4F
所以上一『dk即4%所以…嚕(3+4的,
又N(0,加),所以'叫6=!x2cx|m|=|m|=^y-(3+4F)>^y-x3=^-,
212m212m12
又48=--/=-3,故"7"<一一y=BP一一j=<m<0,
y/LJ7157IS
所以H的取值范圍是姮wH<2,
411M
所以△再;與面積的取值范圍為手,經(jīng)渭
19.(本小題滿分15分)已知等差數(shù)列{氏}的前〃項(xiàng)和為九q=2,S4=14,數(shù)列{“}滿足a=4,
加=3〃-2.
⑴求也}的通項(xiàng)公式:
詈—,”為奇數(shù)
⑵設(shè)數(shù)列{%}滿足4=<“",
”為偶數(shù)
〔b,
①求{%}前2〃項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)和盤,②若{%}的前"項(xiàng)和為證明:&<白.
16
【解】⑴因?yàn)橥咭?3“-2,所以(%「1)=3電一1),且[-1=3x0,
所以m-1}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,所以,-1=3",所以,=3"+1,
所以也}的通項(xiàng)公式為4=3"+1;
(2)①設(shè){。“}的公差為d,因?yàn)閝=2,S4=14,
所以4%+6d=14,所以d=l,所以4=2+(〃-l)xl=〃+l,
/、
一等―T,〃為奇數(shù)111
,〃為奇數(shù)
()、(〃+
vH+17)v(?+3741)2("+3)1
所以C“=?,所以9
占,”為偶數(shù)」一,“為偶數(shù)
13〃+1
又因?yàn)樗苑残?/p>
20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)=一Qinx+6(a£R).
⑴若曲線產(chǎn)A(x)在X=1處的切線的方程為3x-y-3=0,求實(shí)數(shù)a,b的值;
⑵當(dāng)。=1時(shí),/01)=/(%2),且再。工2,求證玉+%2>2.
(3)若0<。41,對(duì)任意匹,x2e(l,2],不等式/(工2)|之加1恒成立,求加的取值范圍;
【解】(1)0?*f(X)=—x2-a\nx+b,f\x)=x~—,
2x
V曲線V=<(x)在尸1處的切線的方程為3x-j-3=0,
所以八1)=j=3,〃1)=;+6=0,A?=-2,^=-1;
2
11r—1
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