2025年高考數學第二次模擬考試（天津卷01）

全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的）

1.已知集合/=Wx<2},B={xeN|0Wx<3},則（）

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}

C.{0,1}D.{152}

【答案】C

【解析】由題意N={xeZ|TVx<2}={T0』},8={xeN|0Vx<3}={0』,2},所以/口8={0,1}.故選：C.

2.設0,6都是不等于1的正數，貝上麻”沙口且岸洲隨三僧小的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】。，6都是不等于1的正數，

由log03>l0gz,3>1,得l<a<b<3,.13。<3。

反之，由3°<33得”6,若0<。<1,b>\,則log.3<0,故log03>10gz,3>1不成立.

“log”3>log,3>1”是"3"<3"”的充分不必要條件.

故選：B.

)

A.r2<r4<r3<rxB.Qv4<G"C.r4<r2<rx<r3D.r2<r4<rx<r3

【答案】A

【解析】由給出的四組數據的散點圖可以看出，

圖1和圖3是正相關，相關系數大于0,圖2和圖4是負相關，相關系數小于0,

圖1和圖2的點相對更加集中，所以相關性要強，所以。接近于1,々接近于-1，

由此可得4<4<0<4<勺.故選:A.

4.下列函數不是奇函數的是()

A.y=x+sinxB.y=sinxcosx

2.2taiu

C.y=cosx-sinxD.y=------z—

l-tan2x

【答案】C

【解析】對于A,定義域為RJ(-x)=-x+sin(-x)=〃x),所以/■(》)為奇函數，

對于B,定義域為R,且/(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-/(x),所以/(x)為奇函數,

對于C定義域為R,且/(-x)=cos2(-x)-sin2(-x)=cos2x-sin2無彳(x),所以/(x)為偶函數,

JT__ITTT

對于D,定義域滿足tanxw±1且xW—+癡,左￡Z,所以xw土一+左兀,左EZ且xw—+癡,左EZ,

242

故定義域為[』-]+?<》<_]+版或-：+E<x</+E或9+配<無<^+加，左ez],故定義域關于原點

[|244442J

/、tan(-x)-tanx/、

對稱，且/7},，=/X，所以為奇函數，

1-tan(-x)1-tanx

故選：C

QA3

5.^a=5,b=0.2°,c=log024,則q,b,c的大小關系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

01

【解析】67=5>5°=1,0<6=0.2°3<0.2°=1,c=log024<log02l=0,故。>6>c.

故選:B.

6.設〃?，〃是兩條直線，a,僅是兩個平面，則下列命題為真命題的是()

A.若羽_La,〃_L尸，m/In,則a_L/7

B.若ac0=m,n/!a,nl!(3,則機//〃

C.若％utz,〃u尸，mJIn,貝必〃.

D.若a_L尸，mlla,nl/(3,則機_L〃

【答案】B

【解析】“，，〃是兩條直線，a,4是兩個平面，

對于A,若加，c,n±jB,m//n,則由面面平行的判定定理得a〃夕，故A錯誤；

對于B,若arV=7〃，”〃a,n\\/3,則由線面平行的性質得加〃〃，故B正確；

對于C,若mua,"u0,m//n,則a與4相交或平行，故C錯誤；

對于D,若々_1_￡,機||。，n\\j3,貝！]〃z與"相交、平行或異面，故D錯誤.

故選：B.

7.函數/(x)=2sin(2x+0)，<9<3的圖象關于直線x=]對稱，則〃x)在方兀上的最小值為()

A.-2B.-V3C.-1D.一夜

【答案】A

[解析]由題意2x3+0=:+癡，后eZ,則夕=g+析，4eZ,又0<9黨,

1223/

所以°則/(x)=2sin(2x+g),

4「兀1r"兀「4兀7兀r.?TT-J3

在不，兀上，2x+—G[—,—],故sin(2x+—)￡[-1,——],

」33332

所以八%)最小值為-2.故選：A

22

8.已知雙曲線上-斗=1(%>0),以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相

4b2

交于/、B、C、。四點，四邊形/BCD的面積為26,則雙曲線方程為()

【答案】D

【解析】以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為d+r=4,雙曲線的兩條漸近線方程為

,b

y=±2Xf

不妨設N在第一象限，則/x>0,1,四邊形4BCD的面積為2b,

；?由對稱性可得=26,又x>0,/.x=1,

將/卜'10代入—+r=4，可得1+,=4,二/=12,

22

.?.雙曲線的方程為土-匕=1,

412

故選：D.

9.疣殿頂是中國古代傳統建筑中的一種屋頂形式，宋代稱為“五脊殿”、“吳殿”，清代稱為“四阿殿”,如圖

（1）所示.現有如圖（2）所示的虎殿頂式幾何體/3CDW,其中正方形/BCD邊長為3,

3

MN//AB,MN=~,且〃N到平面48C。的距離為2,則幾何體48coMN的體積為（）

15

D.一

2

【答案】D

【解析】取/88的中點分別為尸,E,連接NE,EF,NF,

可得幾何體ABCDMN分割為一個三棱柱ADM-FEN和一個四棱錐N-FBCE,

將三棱柱ADM-尸EN補成一個上底面與矩形ADEF全等的矩形的平行六面體，

可得該三棱柱的體積為平行六面體的一半，

119

貝!J三棱柱力。加一尸EN的體積為匕=5x2x5x32=-,

四棱錐N-用CE的體積為匕=；xgx9x2=3,

915

所以該幾何體ZgCDMN的體積為3+,=萬.故選：D.

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

10.已知復數馬=i/2=2+i,那么馬丁2=.

【答案】-l+2i

【解析】由題意可得：z「Z2=i(2+i)=-l+2i.

11.256,

若I的展W開式中二項式系數之和為則展開式中常數項是_______，

【答案】28

(1Y

【解析】因為/一名的展開式中二項式系數之和為256,

所以2"=256,故〃=8,即該二項式為卜一六］=卜-『"

(2、左2

2

設其展開式的通項為如，則如=c：(x廠(-琰”=(-琰或/2號，

當16-2%-g左=0時，即左=6,此時該項為C：x(_l)6=28

12.已知拋物線一=勺，斜率為的直線交拋物線于A,8兩點.若以線段為直徑的圓與拋物線的準

線切于點P,則點尸到直線的距離為.

【答案】亞

【解析】設直線的方程為y=-gx+6,聯立拋物線的方程公=4y，消去y得一+2工-必=0,所以

A=4+16Z?>0.

設4(%,必)風X2，歹2)，所以石+々=-2,再?々=-4b.

因為尸(土產,-1”尸(-1,-1).所以"=(再+1,%+1),麗=因+1,%+1)-

因為以線段為直徑的圓與拋物線的準線切于點P,所以

即沙?麗=(%+l)(x2+1)+(必+1)(%+1)=0,1

所以直線的方程為丁=-夭+1,即x+2y-2=0

|-1-2-2|

因為玖-1,-1),所以點尸到直線N5的距離為

Vl2+22

13.甲、乙、丙、丁四位同學參加跳臺滑雪、越野滑雪、單板滑雪三個項目的比賽，每人只能參加一個項

目，每個項目至少一個人參加，且甲、乙兩人不能參加同一項目的比賽，則四人參加比賽的不同方案一共

有一種；如果符合以上條件的各種方案出現的概率相等，定義事件/為丙和丁參加的項目不同，事件3

為甲和乙恰好有一人參加跳臺滑雪，則P（8|N）=.

【答案】301

【解析】依題意，甲、乙、丙、丁四位同學參加三個項目所有的方案共CjA：=36種，

其中甲、乙參加同一項目的方案A；=6種，

則所求的參賽方案一共有36-6=30種；

因為甲、乙兩人不能參加同一項目，所以丙、丁兩人不能參加同一項目，

則甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人參加同一項目，這里有C；C；A；=24種方案，

若甲單獨選擇跳臺滑雪，則丙、丁可分別選擇越野滑雪或者單板滑雪，乙也可在其中二選一，

故總共有A；C；=4種不同的方案；

若甲和一人一起選擇跳臺滑雪，則甲只可能和丙或丁共同選擇，剩下2個人分別選擇2個項目，

故共有C；A；=4種不同的方案；

同理，乙單獨選擇跳臺滑雪，有A；C；=4種不同的方案;

乙和一人共同選擇跳臺滑雪，有C；A；=4種不同的方案，總共有16種方案.

16

所以「⑵小器302

24§

30

14.在邊長為2的菱形/5CD中，ZABC=120°,￡是5。的中點，/是邊。＞上的一點，DE交AF于

若尸是CZ）的中點，而=2罰+〃前，則/+〃=;若尸在邊上（不含端點）運動，則初.麗

的取值范圍是.

【答案】I[°』

【解析】（1）如圖所示:

B

EC

設而"方=/(而+g確=灰+1■刀,

由三點共線，

=kAD+(l-k)AE

——1—

=kAD+(1-k)(AB+-AD)

則有,7?解得：/=4%

-=\-k

12

—?4—2—6

AH=-BC+-AB,即2+〃=不

(2)如圖所示：當點尸與點C重合時，此時最長,

易知A4DHS&CEH,且相似比為2:1,

NDCB=60°,在△DCE中，由余弦定理得：

DE2=DC2+CE2-2DCxCExcos600=3,

所以DE=VL此時滿足出+出=必，所以OELCE,

所以NADE=90。，此時。=友，

33

由圖可知，/^(。，罕)，

-------??2I.124

則AH?DH=(AD+DH),DH=AD?DH+DH=\DH\e(0,-).

2\x+a\,x<0

15.設aeR,函數〃x)=?2<J、門，若函數V=〃力-|同恰有4個零點，則實數。的取值范圍

\x—JX+4,x0

為.

【答案】-1<"0或1<”2

【解析】因為函數了=/（力-阿恰有4個零點，

所以y=/（x）的圖象與>=|同的圖象有四個交點，當a=0時，如圖所示,

N

5

4

3

2

-3-2-'1|O12345*

V=f（x）的圖象與V=|辦卜。的圖象僅有兩個交點，與題意不符;

在xe[l,4]上，當/（x）=-4+5x-4與獷=一依相切時,

[y=_―+5x_4

聯立,，得+5%+辦-4=0,

[y=-ax

貝必=（5+a『-16=0,得a=-l（舍去a=-9）,

由圖可知，當。<-2時，丁=同與了=/（x）在（-8,0）有一個交點，在（0,+<?）有兩個交點，與題意不符,

所以當-24“<-1時，y=H與了=〃x）在（一°°，°）無交點，在（0,+00）有兩個交點,與題意不符，

當a=-l時，y=H與尸/（X）在（一8，°）無交點，在（0,+8）有三個交點，與題意不符，

當時，y=H與了=/（x）在（。，0）無交點，在（0,+功有四個交點，符合題意；

當。>0時，如圖所示,

在xe[1,4]上，當/(x)=f2+5x-4與y=?c相切時,

.y——x+5x—4

聯立，得一工2+5x—ux—4=0,

[y=ax

貝必=(5-小16=0,得。=1(舍去。=9),

由圖可知，當0<。<1時，了=網與^=/'(月在(-8,0)有兩個交點，在(0,+8)有四個交點，與題意不符,

當°=1時，了=|ax|與了=/(x)在(-雙0)有兩個交點，在(0,+8)有三個交點，與題意不符,

當1<°<2時，、=辰|與了=/(》)在(-8,0)有兩個交點，在(0,+8)有兩個交點，符合題意,

當a22時，了=|"|與y=/(x)在(-雙0)有一個交點，在(0,+8)有兩個交點，與題意不符.

綜上所述，-1<4<0或1<4<2.

四、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.(本小題滿分14分)在非等腰△/5C中，a,b,。分別是三個內角A,B,C的對邊，且。=3,

c=4,C=2A.

(1)求cosZ的值;

(2)求△43。的周長；

⑶求cos(2/+f|的值.

【解】(1)在中，由正弦定理三=芻=展，a=3,c=4,

可得吃=。，

sinAsinC

343_4

因為。=24,所以告即

sin/sin24sinA2sin/cosA

2

顯然sin4w0,解得cosZ=].

(2)在中，由余弦定理〃=/+o2—2bccos/,

得/一爭+7=0,解得z,=3或b=

7

由已知。，b,。互不相等，所以6=

728

所以Cue=^+b+c=3+4+—=—.

(3)因為cosA=—,所以sinA=V1—cos2A=——,

33

所以sin24=2sin/cos4=,cos274=2cos2=,

99

CnV3_4V5l_V34V5

所以cos12力+看=cos2Acos--sin2Asin—=xx=+

66I9)29218

17.(本小題滿分15分)如圖，四邊形48。)是正方形，PZ)_L平面48cZ),PD//EA,

AD=PD=2EA=2,F,G,H分別為BP,BE,PC的中點.

⑴求證：尸G//平面尸DE；

⑵求平面FGH與平面PBC夾角的大小；

⑶求點E到平面PBC的距離.

【解】(D由題意尸,G分別為2尸,2￡的中點，

所以FG是ABPE的中位線，

即FG\\PE,

又尸GO平面尸DE,PEu平面PDE,

所以尸G//平面EDE；

(2)由于四邊形48。是正方形，平面488,

所以兩兩垂直，

以。為坐標原點，DC,。尸所在直線分別為X//軸建立空間直角坐標系,

如圖所示：

又AD=PD=2EA=2,尸,G,“分別為8尸,8瓦尸C的中點,

則尸(0,0,2),￡(2,0,1),3(2,2,0),C(0,2,0),

所以G(2,l,；：F(l,U),〃(0,U)；

PC=(0,2-2),5C=(-2,0,0),GF=f-1,0,=(-1,0,0)

設平面P8C的一個法向量應=（占,必/1）,

PC±mPC-in=2%一24=0

則＜

BClmBC-in=-2再=0

解得玉=0,令必=1,得Z]=l；

即應=(0,1,1),

設平面FGA的一個法向量為萬

r一(—■_1

GF_LnGF-n=—xH—z=0

貝!J一=>?272,

FH_Ln石寸-n

i[FHn=-x2=0

解得x?=0/2=0,令%=1，

即％=（0,1,0）；

設平面FGH與平面PBC夾角的大小為0,

所以cosd=kos（流力|=彳，

11\m\\n\.2x12

TTTT

又。e0,-,所以。=；；

7T

即平面FGH與平面PBC夾角的大小為-；

（3）由（2）平面P2C的一個法向量為而=（0」,1）；

又麗=(0,-2,1),

所以點8到與平面P2C的距離距為:

甌司—1_72

d

\m\V22

22

⑻（本小題滿分15分）已知橢圓片+*1…>。）的離心率嗎，左、右焦點分別為小凡，上、

下頂點分別為耳、B2,且四邊形片片層外的面積為2省.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）已知點M0,,直線（而N0）與橢圓C交于尸、。兩點，與y軸交于點N,^\MP\=\MQ\,

求△的月面積的取值范圍.

【解】（1）由橢圓的離心率為，可設。=2f,c=f（f>0）,則6=①，

四個頂點構成的四邊形為菱形，其面積為S=；?2c?26=g2?2g/=2舟=,

22

即f=l,所以橢圓的方程為：上+匕=1.

43

22

（2）設尸（項,必）,。（%2，%）,聯立直線蚱米+徵與橢圓'+'=1,

消去y可得（3+4左2）/+?）kmx+Am2-12=0,

—8km4m2—12

A=(8加了-4(3+4k2)(4/_12)>0,貝！I/<3+4產,3+4后2,再%―3+4F，

-4km一4km3m)

設尸。的中點為"，則/=三受E，所以

3mV13

因為|前H詼I，所以尸。，所以3+4(12J=T,

-4km

3+4F

所以上一『dk即4%所以…嚕（3+4的,

又N(0,加)，所以'叫6=!x2cx|m|=|m|=^y-(3+4F)>^y-x3=^-,

212m212m12

又48=--/=-3,故"7"<一一y=BP一一j=<m<0,

y/LJ7157IS

所以H的取值范圍是姮wH<2，

411M

所以△再；與面積的取值范圍為手，經渭

19.(本小題滿分15分)已知等差數列｛氏｝的前〃項和為九q=2,S4=14,數列｛“｝滿足a=4,

加=3〃-2.

⑴求也｝的通項公式:

詈—，”為奇數

⑵設數列｛%｝滿足4=<“"，

”為偶數

〔b,

①求｛%｝前2〃項中所有奇數項和盤，②若｛%｝的前"項和為證明：&<白.

16

【解】⑴因為瓦引=3“-2,所以(%「1)=3電一1),且［-1=3x0,

所以m-1｝是首項為3,公比為3的等比數列，所以，-1=3",所以，=3"+1,

所以也｝的通項公式為4=3"+1；

(2)①設｛。“｝的公差為d,因為q=2,S4=14,

所以4%+6d=14,所以d=l,所以4=2+(〃-l)xl=〃+l,

/、

一等―T，〃為奇數111

，〃為奇數

()、(〃+

vH+17)v(?+3741)2("+3)1

所以C“=?，所以9

占，”為偶數」一,“為偶數

13〃+1

又因為所以凡小

20.(本小題滿分16分)已知函數=一Qinx+6(a￡R).

⑴若曲線產A(x)在X=1處的切線的方程為3x-y-3=0,求實數a,b的值;

⑵當。=1時，/01)=/(%2)，且再。工2，求證玉+%2>2.

(3)若0<。41,對任意匹，x2e(l,2],不等式/(工2)|之加1恒成立，求加的取值范圍;

【解】(1)0?*f(X)=—x2-a\nx+b,f\x)=x~—,

2x

V曲線V=<(x)在尸1處的切線的方程為3x-j-3=0,

所以八1)=j=3,〃1)=；+6=0,A?=-2,^=-1；

2

11r—1

(2)當Q=1時，f(^v)=—x2—Inx+/J,(x>0),則%--=-----,

2xx

當0<x<l時，/'(x)<o,/(X)遞減，當X>1時，f