解答01解三角形

帽架導航

Z------------------------------------X

解三角形

常規的邊角互化

需借助2R或需將數代戍邊的邊南互化

向量、三角函數、解三角形的結合

三角函數的實際應用

多三角形中的解三南形

考點訓練

J卜住角形的中線與角平分線

基本不等式求最值

三角函數法求最值

解三角形與數列

存在問題

模擬題訓練

真題訓練

主考點訓煉

【考贏1常規的邊角互化】

【例1】在VABC中,角A,5,C對應的邊分別為〃也c,sin2A-sin2B=sin2C—y/3sinBsinC.

⑴求角A；

(2)若cosB=2臣，a+6=5,求VABC的面積.

3

【答案】(1)A=J

o

(、、2A/^+6

()-2

【詳解】(1)由sin?A-sin?5=sin2c-bsinBsinC及正弦定理,

122

可得〃2一〃-c-6bc，故"/;c=d+b-a，

由余弦定理'可得8d=g'

由于Ae(O,7r),故人=巳,

TTI

(2)由(1)可知A=：,所以sinA=7

62

因為cos8=2叵，所以sinB=L

33

sinAa_3

所以由a+b=5

sinBb~2

所以a=3,b=2

垃+6

所以sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsinB=2

6

所以SABC=—^bsinC='四+百

AADC22

【例2】已知VABC中，角A,B,C的對邊分別是a,6,c,且揚-csinA=V^zcosC.

(D求角A的大小;

⑵若。=3,0為BC的中點，|AD|=2,求VABC的面積.

【答案】⑴]JT

⑵拽

8

【詳解】(1)根據題意由正弦定理得68由5-$111或1114=7^114<；0$。，

因為A+5+C=7t,所以百sin(A+C)—sinCsinA=gsinAcosC,

BPV3sinAcosC+石cosAsinC-sinCsinA=^sinAcosC,

即sinC(GCOSA-sinA)=0,

因為sinCW0,所以V3cosA-sinA=0，

又因為cosAwO所以tanA=石，

7T

而O<A<71,所以A=§.

—.1_.1__.

(2)解法一：由。為5C的中點知ADM=AB+7AC,

22

兩邊同時平方得而2=-AB2+-AC2+-ABAC,

442

即工/+匕2+!兒=4,所以62+02+秘=16,

444

又在VASC,由余弦定理得〃+02-a=4=9,

所以bc=(,所以VABC的面積為工6csinNBAC=LxZx走=2叵.

222228

解法二：在VABC中，由余弦定理可得cosNR4c=cosJ="+3=j.,整理得〃十^一^=9①

32bc2

22+f3Y-c222+f3Y-&2

在△AB￡)中，cosZADB=———，在AACD中，cosZADC=———，

2x2x—2x2x—

22

而ZADB+ZADC=71,所以cosZADB+cosZADC=0,

2、因一。222+因一/25

故一⑵⑵=0,即C2+加=^②，

2x2x-2x2x-

22

由①②得，bc=~,所以VABC的面積為工6csinZBAC=LxZx^=友.

222228

【變式1-1】記VA3C的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知asinA+csinC=6sinB+asinC,且VA3C

的面積為正.

2

⑴求5

⑵求ac；

(3)若Q—c=l,求Z?.

【答案】(l)8=g

(2)ac=6

⑶b="

【詳解】(1)由題意可得asinA+csinC=Z?sin5+asinC,

由正弦定理得/+4—〃=改，

由余弦定理可得cos2="+c2=匹=1_,

2ac2ac2

又5￡(0,兀)，所以5=1.

(2)由題意可得=gacsin5==,所以〃c=6.

(3)由余弦定理得/=a2+c2-laccosB=a2+c2-ac=(^a-c^+2ac-ac=^a-+〃c=7,

所以b=布.

【變式1-2】已知VABC內角A,B,。的對邊分別為a,b,c,且〃+b=2ccos氏

⑴若。=],求8；

(2)若a=l,b=3,求c.

【答案】(1)3=：

(2)c=2^/3

【詳解】(1)已知〃+Z?=2CCOSJB,由正弦定理可得sinA+sin5=2sinCeos5.

因為C=],所以sinC=l,此時sinA+sinB=2cos5.

71

在直角VABC中，A=——B,所以sinA=cos瓦

2

那么cosB+sinB=2cosB,移項可得sinB=cosb

根據正切函數的定義tanB=aa1,因為sinB=cosB且8是三角形內角，所以tanB=l,從而得出8=]

cosB4

(2)已知a=l,〃=3且a+Z?=2ccos3,所以ccos3=2.

根據余弦定理cosB="+ci,將ccosB=2代入可得C?片+廠一1=2.

2ac2ac

化簡可得/+/一〃=4G

將〃=1,〃=3代入/+(:2—/?2=41,得至!J1+02-9=4x1.

即《2=12,因為。〉0,所以c=26.

【變式1-3】已知〃，b,。分別為VABC三個內角A,B,C的對邊，a1+3b2=3abcosC—3bccosA,a=6.

⑴求be的最大值；

(2)若VABC的面積為述，。為BC中點，求sin/ADC的值.

2

【答案】(1)12

(2)sinZAZ)C=—

6

Z.22_2

【詳解】(1)由余弦定理cosA="+c-a,

2bc

因為a?+38=3bacosC—3Z?ccosA，

〃2IA2_2一3bcx"~

即a2+3b2=3bax---------—

lab2bc

整理，得3/+3，=2〃，BPfe2+2=—.

c3

由于a=6,則層+°2=24.

,..。2+022261?,，6cW12當且僅當6=c時，等號成立

be的最大值為12

(2)由題知，2而=通+/，CB=AB-AC

、i￡f*■「4曰*2?2>2??>2>2?2------??

十方可侍4AD=AB+AC+2ABAC'CB=AB+AC-2ABAC'

2

BC

聯立得：AB2+AC2=2AD2+,S.BD=DC=3,

22

即°?+b=2[AD+9]=24聯立解出AD=6、

二S-ADC=1S,ABC=g石x3sinZADC=乎，sinZADC=聆.

【考點02需借助2R或需將數代成邊的邊角互化】

【例3】在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,c=l,刎4二變色=sin(A+C),a^b.

a-b

⑴求VABC的外接圓半徑；

(2)若VABC為銳角三角形，求VABC周長的取值范圍.

.、辛々刀,/八小“sinA-sinC.,人，曰"sinA—sinC..a2-c

【詳解】(1)由-----------=sm(A+C)可得------------=sin(zA+C)=sinBn=>--------=bz,

a—ba-ba-b

t^a2+b2-c=ab,由于c=l,^La2+b2-c2=ab

a2+b2-c2

由余弦定理得cosC=

lab2

由于Ce（（U）,所以C=],

sinC=^^，根據2R=三解得R=坐，

2sinC3

所以VABC的外接圓半徑為丑.

3

jr27r7T

（2）由（1）知，C==,B+A=^,B^-,

333

c_a_b_I_2^3

由正弦定理有高不一擊！一擊萬一二萬一亍，

~2

2A/3.273..八2#.（兀n

以b+a=-----sinBnH-------sinA4-........siviBH-------sin—FB

333313

旦

nB+=V3sinB+cosB=2sin[5+,

3

因為VABC為銳角三角形，所以＜°＜左-5＜3，解得—,—U

B^-

[3

所以'仔J'則2sin，+/1e(百,2),

所以石＜6+”＜2,則1+有＜a+6+c＜3.

所以VABC周長的取值范圍為(1+君,3).

【例4】已知VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且5a+46=5cws3.

⑴求cosC；

(2)若2〃+b=4sinA+2sinB,求VABC周長的最大值.

4

【答案】⑴-二

(2)6+可

【詳解】(1)解法一，由正弦定理得5sinA+4sinB=5sinCcosB,

又sinA=sin[兀一（3+C）]=sin（5+C）=sinBcosC+sinCcosB,

所以5sinBcosC+4sinB=0,即sinB（5cosC+4）=0.

因為sinBwO,所以5cosc+4=0,

4

所以cosC=—g.

n2-i-r2-h2

解法二，由余弦定理得5a+46=5。“°,

2ac

Q

整理得。2+/一。2=丁人，

2228ab1

所以a+b-c-54.

lablab5

（2）解法一，設VABC的外接圓半徑為尺，

由2。+b=4sinA+2sinB及正弦定理得47?sinA+27?sinB=4sinA+2siiiB,

所以尺=1.

由（1）知cost7=——,所以sinC—Jl-cos2c=—,

所以c=2RsinC=g.

Qas

由余弦定理得/+/?2—2abcosC=c2,即/+〃+不必=不，

rr-Ki/\23627/362（a+b丫

所以（〃+人7）=一+-ab＜一+-----，

v725525512J

所以a+叵，當且僅當a=）=典時取等號.

55

所以VA8C周長的最大值為6+2亞.

5

解法二，設VA5C的外接圓半徑為R,

由2a+b=4sinA+2sinB及正弦定理得47?sinA+27?sinB=4sinA+2sinB，

所以尺=1.

4?-----------3

由（1）知cosC=—1,所以sinC=A/l—cos2。=g.

所以a+b+c=2R（sinA+sinB+sinC）=2sinA+2sin5+2sinC

=2sinA+2sin（A+C）+g==2^sin（A+e）+[

2sinA--sinA+-cosA+-=-sinA+-cosA+-

555555

其中。為第一象限角，且tanp=3,

所以當sin（A+°）=l時，a+b+c取得最大值6+2可,

故VABC周長的最大值為6+2對.

5

【變式2-1］在VABC中，角A,3,C的對邊分別為a,b,c,已知a=l,cosC+ccosA-26cos3=0.

⑴求B;

(2)若通'=2①，且2。=代，求J

【答案】(嗚

⑵1

【詳解】(1)a=l,/.cosC+ccosA—2Z?cosB=acosC+ccosA—2Z?cosB=0.

由正弦定理，可得

sinAcosC+sinCcosA-2sinBcosB=sin(A+C)—2sinBcosB=0.

又A+3+C=兀,sin(A+C)=sinBw0,/.cosB=；,

(2)：AC=2CD>設CD=x,則AC=2x,

22

r_i_i_4ri

在VA^C中，cosB=------------=C2+1-4X2=C.

2c2

］+4y2_2丫2_2

在VABC與ABCD中，cosZBCA=--------------,cosZBCD=--------6x2-c2-3=0.

4x2x

c2-3c-3=0,.-.c=3±庖....c>0:.c=§+屈.

22

【變式2-2］在VABC中，內角A3,C的對邊分別是仇c,己知b=l,c=cosA+ga.

2

⑴求B；

⑵K，求VA3C的面積.

【答案】(1)3=2；

(2)走或走.

42

【詳解】(1)在VA6C中，由Z?=l,c=cosA+，^a,得c=Z?cosA+，^〃，

22

由正弦定理得sinBcosA+sinA=sinC=sin(A+3)=sinAcosB+sinBcosA,

則^^sinA=sinAcosB,而sinA>0,因止匕cos3=^^,又0<3<兀，

22

所以3=9

o

(2)由(1)及余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB,BP12=(73)2+c2-2V3c-^,

角軍得c=l或c=2,當c=l時，S=—acsinB=—xy/3x1x—=,

4AABe2224

當c=2時，S=—acsinB=—x\/3x2x—=,

△ABRC2222

所以VABC的面積為也或如.

42

【變式2-3】銳角三角形ABC的內角AB,C的對邊分別為4，，c,已知》=2,(a+c)(a-c)=20-c).

⑴求A.

(2)求VA3C面積的取值范圍.

【答案】⑴A=g

⑵.

【詳解】(1)由(a+c)(。一c)=2(6-c),得/一c?=26-2c.

又方=2,:.b2+c2-cr^b2-2b+2c=bc.

由余弦定理，知2Z?ccosA=Z?2+c2-a2

2Z?ccosA=be,cosA=—

2

4兀

?Me0弓,A=一

3

(2)VABC的面積S=，6csinA=Ec

22

b

由正弦定理，得

sinCsinB

2sin15+；c.c兀。n.兀

2sm8cos—+2cos8sm—

則2sinC1+^--

c=----33

sinBsinBsinBtanB

IT

QA=-,VABC是銳角三角形,

0<B<-

2,:.Be

32

也、

/.tanBG[3,+8,

7

故VA3C面積的取值范圍是.

I2）

【考點03向量、三角函數、解三角形的結合】

【例5】已知VA3C的內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,向量沅=（a,揚），/?=（cosAsinB）,且

mlIn.

（1）求角A的大小；

（2）若.=近，6=2,求VABC的面積.

【答案】（嗚

（2）地

2

【詳解】（1）因為仇=（〃,百匕），H=（cosA,sinB）,且加〃而，

則asinB=y/3bcosA.,

由正弦定理得sinAsin5=Bsin3cosA，

因為5￡（0,兀），所以sinjBwO,

可得sinA=J^cosA,即tanA=有.

IT

旦0＜A＜兀，所以A=§.

（2）在VABC中，由余弦定理可得"=/十^—2ACOSA,

即（近）=22+C2-2X2XCXCOS,

整理可得，一2°-3=0,解得。=3,或c=-1（舍），

所以NABC的面積SAABC=；bcsinA=；x2x3x1.

【例6】設X6R,函數/5）=3（5+9）3＞0,-1＜。＜。］的最小正周期為兀，且〃x）圖象向左平移巳后

得到的函數為偶函數.

-y

1

1

-

2

O心運

11

2翦

-1

(1)求解析式，并通過列表、描點在給定坐標系中作出函數/(尤)在［0,句上的圖象;

(2)在銳角VABC中，a/,c分別是角A,3,C的對邊，若的*=求”3)的值域.

cosBcosC

【答案】(1)詳見解析;

⑵

【詳解】(1)解：因為函數/。)=儂(8+0)(0＞0,一方＜0＜0)的最小正周期為兀,

27r

所以。=工=2,則/'（x）=cos（2x+。）,

71

由/(X)圖象向左平移B后得到的函數為g(%)=cos(2九+￡+9),

63

TTJT

因為函數g(x)是偶函數，所以］+e=E/￡Z,則。=E-§,A￡Z,

因為一,＜夕＜。，所以夕=一1，所以/(%)=cos(2x-§).

由五點法，列表如下：

_7171713715兀

2x—071

32TT

715712兀1171

X071

~612T~12

J_j_

y10-10

22-

/(%)=cos(2x-1)的圖象，如圖所示:

即2sinAcosC-sinBcosC=cosBsinC,

即2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA,

因為ACE[。,'],所以sinAwO,cosC=g,

所以c=(；

因為VABC是銳角三角形，

八A兀c2兀「兀

0<A<—0<------B<—

所以2,即32,解得

八兀兀

0<Br><—0c<rB><—62

1212

因為所以0<22-3〈今，

6233

1TT

所以-5<cos(28-g)<l,

所以”3)的值域是

【變式3-1]已知M=(2cosx,2/sinx),b=(cosx,-cosx),f(x)=a-b.

(1)求函數y=/(元)的最小正周期以及單調遞增區間；

(2)若銳角AASC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若/(A)=-l,a=l,求AABC周長的取值范

圍.

27rjr

【答案】⑴丁=兀，單調遞增區間為hi--,kn--,keZ

3o

⑵(1+百,3]

【詳解】(1)依題意，/(%)=^3sin2x+sin2x—cos2x=^3sin2x—cos2x=2sin(2x-—).

6

所以g(%)=f(x--)=2sin[2(x=2sin(2x--)=-2cos2x.

6662

(2)由(1)知g(5)=—2cos23=l,解得cos25=—J,

2

TT^TTTT

在銳角VABC中，0<5<]，即。<23<兀，則22=可，解得B=

由余弦定理得，16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac>2ac-ac-ac,

當且僅當a=c=4時取等號，于是S^ABC-；acsinB=^-ac<4g,

所以VABC面積的最大值為4宕.

【變式3-3】在銳角VA3C中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且滿足(2a-c)麗?前=c麗?瓦.

(1)求角8的大小；

⑵若c=3,求VA3c面積的取值范圍.

【答案】(1)3=：JT

⑵〔「2J

【詳解】(1)H(2^-c)BA-BC=cCB-CA,貝lj(2Q—c)accos3=c〃Z?cosC,

整理可得2〃cosB=bcosC+ccosB，

利用正弦定理可得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

又因為Ae(0，m，貝UsinA/O,可得2cos3=1,即cos8=L

2

且匹歸,所以8=

ac

(2)由正弦定理

sinAsinC

3百r3.

可得_c?sinA_3sin(B+C)-----cosC+—sinC3PM,

a——22

sinCsinCsinC21tanC,

0<C<-

,解得

由題意可知：92q<Y，

。〈軍.CM6

32、

則tanC＞§可得。＜熹＜5即_3f.

a=-+--1----e----

21tanC714

、

又因為VABC面積=gacsinB=；ax3x>/33>/3(9A/394

——=-----aG------,------

2482J

(9J39

所以VABC面積的取值范圍為f也、

IX2)

【考點04多三角形中的解三角形】

【例7】設VA3C的內角A,民C所對的邊分別為a,6,c,且(a-c>sin(3+C)=0—c>(sin3+sinC)/=g.

⑴求B；

⑵若叵+網=3,求VABC的周長;

2

(3)如圖，點。是VABC外一點，設N54C=NZMC=。，＞ZADC=-TT,記△BCD的面積S,求S關于6的

關系式，并求S的取值范圍.

JT

【答案】⑴8=§

（2）3?

（3）S=sin26—sin26cos2e,0<S<-----

4

【詳解】（1）由（a—c>sin（B+C）=0-c）-（sin8+sinC）可得^^i=三；

sinB+sinCa-c

(1h

由正弦定理可知三=q=「;,

sinAsinBsinC

月斤以sin（B+C）sin（兀-A）sinAab-c

sinB+sinCsinB+sinCsinB+sinCb+ca-c

所以/—ac=〃—/,即/+。2_〃=a。.

由余弦定理cosBuO+c、'=上土=)

jr

因此2=*

(2)因為|麗+前|=3,所以等號兩邊同時平方可得前2+反2+2麗反=9；

即/+<72+農=9.

又6=若，由（1）知/+02一℃=3,

所以/+C2=6,可得ac=3,所以a=c=#）,

因此VABC的周長為a+b+c=36.

BCAC_V3_?

（3）由正弦定理可得/^一sin/ABC一瓦一，即BC=2sin。，

V

CD_AC2

且sin/ADC一百一，即CD=2sin①

T

因為四邊形ABCD的內角和為2兀，^.ZABC+ZADC^n,

所以兀-26=NBCD

所以S=；3C?CDsin/BCD=1x2sin。x2sin6xsin（兀-2。）=2sin26?xsin26.

S=2sin2，xsin2，=（l-cos2，）sin26=sin2，一sin2，cos2,,

記x=2。，

令〃%)=sinx-sinxcosx,

則/'(%)=cosx-(cos2%-sin2%)=-2cos2x+cosx+1=(2cosx+1)(-cosx+1).

因為在中所以0<x<：，所以一;vcosxvl,

所以當-g<COSX<l時，「(x)>O,〃x)單調遞增.

、億1日n_2兀H/2吟3A/3

zblcosx=—,即x=—時，f—=---；

23[34

當cosx=1,即x=0時，/（0）=0,

則0<〃耳<￥，

所以0<S<速.

4

【例8】如圖，在平面四邊形ABC。中，AC與。8的交點為E,08平分ZADC,AB=BC=CD=2,AD>2.

⑴證明：BD2=2（AD+2）；

（2）若=三47r，求㈡F.

4BE

【答案】（1）證明見解析

⑵山+1

【詳解】（1）如圖,

B

由題意知NAD3=NCDB,則cos/ADBucos/CDB,

由余弦定理得3上附二百=CDW二BC：

2ADBD2CDBD

即3+9-4=4+302-4,整理得(4)_2).配>2=2碗2_4),

2ADBD4BD7v7

因為AD>2,所以3斤=2（40+2）.

(2)因為3c=8,所以/CDB=/CBD,

因為NAD3=NCD3,所以/ADB=/CBD,所以AD〃3c.

又因為AB=CD,AD>BC,所以四邊形ABC。是等腰梯形，所以NABC=/Ba）.

47r7T

設NADB=NCDB=NCBD=a,則一+a=n—2a,解得a=一.

412

.3K叵

ADsin^ABD2

在△ABD中，由正弦定理可得=港+1,

AB

sin/3sinA76-72

124

又因為AD〃BC,所以gf=槳=當=6+1.

BEBCAB

【變式4-1］如圖，在平面四邊形ABC。中，ZD=2ZB,CD=3AD=3,BC=s/6,cosB=?

3

（1）求四邊形ABCD的周長;

⑵求四邊形A3C。的面積.

【答案】（1）3夜+后+4

⑵4應

【詳解】(1)因為cosB=3,ZD=2NB,

3

所以cosD=cos28=2cos2B-l=,

3

在AACD中，由余弦定理得AC2=AO2+Cr>2-2Arrcr>-cosO=l+9-2xlx3x［—；］=12,

所以AC=2g,

AB2+BC2-AC2AB2+6-12_A/3

在VABC中,由余弦定理得cos3=

~2ABBC2底AB一3

所以AB?-2043-6=0，解得A2=30，

所以四邊形45co的周長為30+n+4；

(2)因為cos3=且，所以sin8=

33

所以S/=^AB.BC-sinB=；x3應X娓X/=3應

因為cos￡>=-；,所以sinD=Jl-［一］2=誓，

11nB

所以s人“n=—A?C?sinZ>=—xlx3x^-=&，

△ACD223

所以四邊形ABC。的面積為3&+應=4忘.

7T

【變式4-2］如圖，在平面四邊形ABCD中，ZACD=—,若￡是49上一點，CD=CE,AC=mAE.

2

⑴證明：cos2ZAZ)C+sinZACE=0；

IT

(2)若AB=1,BC=3,ZACE=-.

6

①求加的值；

②求8。的最大值.

【答案】(1)證明見解析

(2)①m=j3;②-

3

【詳解】(1)證明：在ACDE中，???CD=CE,

ZCED=ZADC,故ZDCE=兀-2ZADC.

TTTT

又ZACO=—,ZACE+ZDCE=ZACE+K-2ZADC=-,

22

TT

即2ZADC=ZACE+~,

2

故cos2ZAZ)C+sinZACE=cos^ZACE+授)+sinZACE=-sinZACE+sinZACE=0.

jrjr

(2)①NACE=—,由CD=CE,NDCE=—可知：ACDE是等邊三角形，

所以NAEC=—

3

故在AACE中，由正弦定理可得：AE—=~.故AC=7i4E.

sinNACEsinNAEC

所以HZ=抬.

②設ZABC=e,

在VA3C中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC--2AB-BCcos0,

由AC/宏是等邊三角形，E是AD的中點，

AC=5/3AE=yfiCD,所以CO?=?-2cosd,

在△BCD中，由余弦定理得：

BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosNBCD

=-----2cos0-6J------2cos3,cos^+ZACB

3V3

=-----2cos。-6J------2cos0-sinZACB

3V3

在VABC中，由正弦定理得：

sin。sin0_sin6

ACABsinZACB=

,所以~\CV3^-2COS/V1°-6COS^

sin。sinZACB

所以3r>2=y-2cos6*+2^sin6*=4sin^-^j+y,

所以當。=當時，即NA3C=?時，BD”手

【變式4-3］如圖，四邊形ABCD中，AB=1,CD=AD=2,BC=3,ZBAD+ZBCD=TI.

⑴求N54￡）；

(2)P為邊BC上一點，且△PC。的面積為白，求△鉆尸的外接圓半徑.

【答案】⑴T2兀

⑵坐

4

【詳解】（1）解：因為/RW+N8CD=7t,所以cos/NAD=—cos/BCD,

在△AB￡>中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2ABADCOSABAD=5-4cosABAD,

在△BCD中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD=13+12cosABAD,

兩式作差得：8+16cosZR4D=0,解得cosNBAD=-，，

2

2兀

因為NAAOwQ兀），所以NA40=3-.

（2）解：因為AB=1,C0=AD=2,5C=3,N5AD+N5CD=TI

由（1）^BD2=5-4cos—=7,可得BD=幣,S.ZPCD=ZBCD=-,

33

則S/=~PCCDsin/PCD=PC=真，所以PC=2,

在△PCD中，可得Pr）2=CZ）2+Pc2-2CZZPCcos/PCr>=4,所以尸￡>=2,

6+必一.

1+7-4_2

在Z\ABD中,可得cos乙45。=

2xABxBD2xixV7-V7

BD2+BC2-CD27+9-42

在△BCD中，可得cos/DBC=

2xBDxBC_2x77x3-"'

可得ZABD=NDBC,所以cosZABP=2cos2ZABD-1=-,貝1JsinNABP=迪

77

所以A尸=AB2+BP--2AB-APcosZABP=—,解得AP=

77

設AABP的外接圓半徑為R,

2匹

AP卡="解得氏=孝，

由正弦定理得2R=

sinNABP

7

所以△叱的外接圓半徑為1

【考點05三角函數的實際應用】

【例9】某城市平面示意圖為四邊形ABC。（如圖所示），其中AACD內的區域為居民區，VA3C內的區域

為工業區，為了生產和生活的方便，現需要在線段A3和線段AD上分別選一處位置，分別記為點E和點產,

修建一條貫穿兩塊區域的直線道路EF,線段所與線段AC交于點G,EG段和GF段修建道路每公里的費

7T

用分別為10萬元和20萬元，已知線段AG長2公里，線段A3和線段4）長均為6公里，AB±AC,^CAD=-,

6

設NAEG=9.

A

F

（1）求修建道路的總費用y（單位：萬元）與。的關系式（不用求?的范圍）;

（2）求修建道路的總費用y的最小值.

2020

y=-----1---7----

【答案】⑴sin。sin『“

(2)80萬元

AG2

【詳解】（1）在RtZ\AEG中，因為sin/AEG=—K，可得EG=

EGsin/AEGsin0'

IT

在△AFG中，可知NAbG=1—e,

「廠AGsinZGAF1

GFAG,GF=-------------------=——-------v

由正弦定理可得sinZAFGsin(7二-g］，