2025屆湖南省長沙市芙蓉區(qū)長沙鐵路第一中學高三一模數學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設。是銳角，cos(6+：1=cos(9-：)tane,則tan(9=()

A.V2+1B.也±1C.V2-1D.且

22

2.已知圓Y+y2-2x+2y+a=0截直線x+y-4=0所得弦的長度小于6,則實數。的取值

范圍為()

A.(2-717,2+717)B.(2-717,2)

C.(-15,+oo)D.(-15,-6)

3.已知平面向量工另均為單位向量，且夾角為60。，若向量"與之反共面，且滿足2."=尻"=1,

貝胴=()

A.1B.空C.6D.2

3

4.某城市隨機選取〃個人參加活動，假設該城市人口年齡分布均勻，要使得參加該活動有

人生肖相同的概率大于50%,則至少需要選取()個人.

A.3B.4C.5D.6

5.鄭州綠博園花展期間，安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務，要求甲、乙兩個展區(qū)各安

排一個人，剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有

()

A.168種B.156種C.172種D.180種

6.已知過拋物線C:/=2川(0>0)的焦點r且傾斜角為1?的直線交C于A,8兩點，/是

A8的中點，點尸是C上一點，若點"的縱坐標為1,直線/:3x+2y+3=0,則尸到C的準

線的距離與P至心的距離之和的最小值為()

A3屈口5713r3而「9而

26261326

7.已知函數/（x）滿足/"）=/［撲in尤-cosx,求在無=：的導數（）

A.V2+1B.V2-1C.-2D.普立

8.圖1是蜂房正對著蜜蜂巢穴開口的截面圖，它是由許多個正六邊形互相緊挨在一起構

成.可以看出蜂房的底部是由三個大小相同的菱形組成，且這三個菱形不在一個平面上.研

究表明峰房底部的菱形相似于菱形十二面體的表面菱形，圖2是一個菱形十二面體，它是由

十二個相同的菱形圍成的幾何體，也可以看作正方體的各個正方形面上扣上一個正四棱錐

（如圖3）,且平面與平面ATBS的夾角為45。，貝Ijcos/ASB=（）

圖1圖2圖3

B-TCYD.手

二、多選題

9.已知函數/（X）滿足對任意尤eR,都有〃x+l）+/（V+2x）=2,則（）

B.7（元）可能是增函數

C〃2)=〃8)D./(x)=/(-%)

10.已知函數/（x）=sinor+acos0x（。＞0）的最大值為拒，其部分圖象如圖所示，則（）

B.函數y=為偶函數

試卷第2頁，共4頁

C.、=/1。)在［。,相］上恰有4個零點，則——<m<——

44

D.當時，函數y=3的值域為「L班)

\3)COSX

11.已知點A(-2,0),3(1,0),圓C:Y+丁-4尤=0,則()

A.圓加：/+(丫-1)2=1與圓c公共弦所在直線的方程為3x-y=0

B.直線y=%(x-3)與圓C總有兩個交點

C.圓C上任意一點/都有|阿=2|MB|

D.6是。的等差中項，直線/處+2勿+c=0與圓C交于P,。兩點，當|尸0最小時，1

的方程為x+y=o

三、填空題

12.在等差數列｛%｝中，數列｛%,｝的前w項和為S“，$7=28,“［+4=5,若4a“+(=%

2

(m,neN*),貝。?+m的最小值為.

13.若一個正三棱臺的各頂點之間的距離構成的集合為｛1,若,2｝,且該三棱臺的所有頂點都

在球。的表面上，則球。的表面積為.

14.己知〃x)=sin(0x+e)(0>O,O<e<3),〃O)=g,且在0,弓單增，方,］上

單減，則。=

四、解答題

15.已知VABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,J=［y/2asinC-ccosA-c=0.

⑴求A；

(2)若a=4,VABC面積為2TL求。+c的值.

16.已知等比數列｛qj滿足％+a2=3,a4+a5=24.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)設優(yōu)=log2a3?_2,求數列也｝的前n項和Sn.

17.已知函數〃x)=lnx-2x.

⑴求函數〃x)的最大值；

⑵若不等式/(x)〈(a-2)x+2在(0,+8)上恒成立，求實數。的取值范圍.

18.如圖，在四棱錐P—ABCO中，底面ABC。為等腰梯形，AB//CD,AD=DC=2,AB=4,

△尸加為等邊三角形，且平面平面ABCD.

(1)作出點B在平面PAD的射影E,并證明；

(2)求平面PAB與平面PAD的夾角的余弦值.

19.某超市每天以4元/千克購進某種有機蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6點以

前所購進的有機蔬菜沒有全部銷售完，則對未售出的有機蔬菜降價處理，以2元/千克出售，

并且降價后能夠把剩余所有的有機蔬菜全部處理完畢，且當天不再進貨.該超市整理了過去

兩個月(按60天計算)每天下午6點前這種有機蔬菜的日銷售量(單位：千克)，得到如下

統(tǒng)計數據.(注：視頻率為概率，s/eN*)

每天下午6點前的銷售量/千克250300350400450

天數1010St5

⑴求1天下午6點前的銷售量不少于350千克的概率；

(2)在接下來的2天中，設X為下午6點前的銷售量不少于350千克的天數，求X的分布列

和數學期望.

試卷第4頁，共4頁

《2025屆湖南省長沙市芙蓉區(qū)長沙鐵路第一中學高三一模數學試題》參考答案

題號12345678910

答案CDBCBDDAACDABC

題號11

答案BCD

1.C

1一tan。

【分析】利用兩角和與差的余弦公式，結合齊次式弦化切可得tan。=,進而可得答案.

1+tan。

【詳解】因為COS(0+：=cos[e一:

tan。且tan9>0,

cos(e+：交cos”交sme

1一tan6

所以tan6=22

cos[e-￡1+tan6'

—cos6>+—sin6>

22

^tan26>+2tan6>-l=0,結合tan9>0,

解得tan0=A/2-1.

故選：C.

2.D

【分析】將圓的方程化為標準方程，再利用直線與圓相交的性質與圓的弦長公式得到關于，

的不等式組，解之即可得解.

【詳角星】因為圓f+,2—2%+2y+Q=。，可化為(％—1)+(y+l)=2—a,

則其圓心為。，-1),半徑為萬且2-〃>0,即〃<2,

圓心到直線尤+y—4=o的距離為d==2V2,

A/2

因為直線x+y-4=0與圓尤2+,2-2x+2y+a=0相交，且所得弦的長度小于6,

解得一15<。<一6，

綜上，一15<a<-6,即ae(-15,-6).

故選：D.

3.B

2

【分析】設2=7點+怎，然后由72=解方程組求出，〃=〃="再利用模長的定義求

出即可.

答案第1頁，共13頁

【詳解】設三癡+怎，

因為Q.B=WWCOS(Q,B)=lxlx；=g,

a-c-a-(ma+nb^=m+—n=l

又7Z=~2=l，即___i2,

b-c=b'(ma+nb^=—m+n=1

2

解得m=n=—,

所以"=+所以R=二孚，

故選：B.

4.C

【分析】利用分步計數原理及排列，先求得選取〃個人中生肖均不相同概率尸(")=臺A"，再

求出P(〃)<50%,即可求解.

【詳解】已知12個生肖，按先后順序選擇〃個人，每次選中的人有12種等概率可能，由分

步乘法原理共有12"種情況，

若選取“個人中生肖均不相同，有A；2(〃W12)種可能，故選取〃個人中生肖均不相同概率

尸(,)=需

要使得參加該活動有人生肖相同的概率大于50%,即P5)<50%,

P12,

由于u=吾—>1，即隨〃隨〃的增大而減小,

2+112f

用=3電55A5

2=—>50%,P(5)=餐生工=旦<50%,故至少要選5個人,

12412.1212-1296125963144

故選：C.

5.B

【分析】根據題意，用間接法分析，先分4步進行不受限制的排法數目，再排除計算其中小

李和小王在一起的排法數目，從而可得答案

【詳解】根據題意，設剩下的2個展區(qū)為丙展區(qū)和丁展區(qū)，用間接法分析:

先計算小李和小王不受限制的排法數學：先在6位志愿者中任選1個，安排在甲展區(qū)，有

爆=6種情況,

再在剩下的5個志愿者中任選1個，安排到乙展區(qū)，有C；=5種情況,

答案第2頁，共13頁

最后將剩下的4個志愿者平均分成2組，全排列后安排到剩下的2個展區(qū)，有W*A；=6

A?

種情況，

所以小李和小王不受限制的排法有6x5x6=180種，

若小李和小王在一起，則兩人去丙展區(qū)或丁展區(qū)，有2種情況：

在剩下的4位志愿者中任選1個，安排到甲展區(qū)，有C：=4種情況，

再在剩下的3個志愿者中任選1個，安排到乙展區(qū)，有C；=3種情況，

最后安排2個安排到剩下的展區(qū)，有1種情況，

則小李和小王在一起的排法有2x4x3=24種，

所以小李和小不在一起的排法有180-24=156種，

故選：B

6.D

【分析】首先聯(lián)立48與拋物線方程，結合已知、韋達定理求得P,進一步通過拋物線定義、

三角形三邊關系即可求解，注意檢驗等號成立的條件.

【詳解】由題得C的焦點為歹設傾斜角為1的直線AB的方程為y=x-點，

與C的方程=2px（聯(lián)立得y2-2py-p2=0,

設，則M+%=20=2,0=1,故C的方程為V=2x,,0）.

由拋物線定義可知點P到準線的距離等于點P到焦點F的距離，

聯(lián)立拋物線C:/=2x與直線/：3x+2y+3=0,化簡得9元?+10彳+9=0,

Q,S,R分別是過點尸向準線、直線/：3x+2y+3=0以及過點/向直線/:3x+2y+3=0引垂

答案第3頁，共13頁

線的垂足，連接尸P,內，

所以點p到C的準線的距離與點P到直線/的距離之和|「。|+邱|=|尸耳+的抹陷以平，等

號成立當且僅當點尸為線段用與拋物線的交點，

所以尸到C的準線的距離與尸到/的距離之和的最小值為點尸，,。］到直線/：3x+2y+3=0

3x-+0+3f—

的距離，gPiFpi_2_9V13.

1-26

故選：D.

7.D

【分析】求導，令求得廣］1百，在/(x)=dcosx+sinx中，令x三求得

答案.

【詳解】因為廣(x)=/'g卜)sx+sinx,

所以陪卜信">sin沼陪卜等,解得陪］=5

q]=/,[二〕xcos?+sin￥=^x"+@=^l

4)44222

故選：D.

8.A

【分析】利用二面角平面角可得/SEO為45°,再在ASAB中利用余弦定理可求得結果.

【詳解】

連接AC、BD相交于點。，連接S。，因為四棱錐S-ABCD為正棱錐,

所以SO,平面ABCD取的中點E,連接SE、0E,

因為SA=SB,OA=OB,所以SELAB.CCAB,

所以NSEO即為平面ABCD與平面ATBS的夾角，即ZSEO=45°,

答案第4頁，共13頁

設AE=a,則OE=OS=a,

所以跖2=OS2+O￡2=2〃，SA2=SB2=SE2+BE2=3cr,

+門“r+i/<*ccSB~+SA^_AB~3ct~+3ci"—4。—1

在△ASAB中,由余弦定理cosNASB=---------------------=---------------——=-,

2SBxSA2x3礦3

故選：A.

9.ACD

【分析】取工=匚7計算可判斷AB；用x-l代換x可得+-1）=2,進而可得

可判斷D；取x=2,x=3可求得/（2）=/（8）可判斷D.

【詳解】令x+l=f+2x,得f+無一1=0,解得x=^^,

2

代入〃X+1）+/（尤2+2同=2,得（告后）=1,所以A正確，B錯誤；

用x—1替換〃x+l）+f（x2+2x）=2中的x,得〃力+/卜2-1）=2,

用T替換"引+/1一1）=2中的x,得〃_句+/（犬-1）=2,

所以"x）="T），故D正確;

〃X）+/（X2_I）=2中，取*=2得〃2）+〃3）=2,取*=3得〃3）+〃8）=2,

所以7（2）=/（8）,故C正確.

故選：ACD.

10.ABC

【分析】對于A：根據函數周期分析判斷;對于B：根據函數最值分析判斷;對于C：令/（%）=0,

可得sin（x-；）=0,以X-：為整體，結合正弦函數性質分析判斷；對于D：整理可得

—=tanx-l,結合正切函數分析求解.

COSX

【詳解】對于選項A：Hf（x）=sincox+acoscox=y1l+a2sin^a）x+（p）,

由圖象可知：函數y=fM的最小正周期T=2（苧-=2兀，

且0>0,貝!I普=2兀，解得0=1,可得"x）=sinx+acosx,故A正確；

5+型

對于選項B：由圖可知：當443n時，函數y=/（元）取到最大值，

X=---------=—

24

答案第5頁，共13頁

3兀.3兀3兀

則了sin-----bacos——-CL+1>0,

444

整理可得/1個)=sin吃+Qcos~~=-^-(1-a)=[a2+1>0,解得a=-l

貝!J/(%)=sinx—cosx=A/2sin

所有丫=小-二=血何卜-+=-后cosx為偶函數，故B正確;

對于選項C：4fW=V2sin^x-^=0,可得sin(x-?j=0,

717r71

——

因為X￡[0,根],貝——9

若y=/(x)在[0,m\上有4個零點，

7i137r17兀

則3W〃.<4%解得力"<丁’故C正確;

rIF3THeEMAC%)SillX-COSX.

對于選項D：因為y=------------------------tanx—\,

COSXCOSX

又因為XW,則tanx^O,g),可得tanx—l￡,

故選：ABC.

11.BCD

【分析】A通過圓的方程相減即可判斷，B通過直線過定點，點在圓內即可判斷；C：求得M

的軌跡方程即可判斷；D通過等差中項得到26=。+°,確定直線過定點，由戶0最小，得

到圓心和弦中點的連線與直線/,即可求解.

【詳解】對于A：兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程：y=2無；錯誤

對于B：丁=左（左一3）過定點（3,0）,而（3,0）在圓C:/+y2一八=0的內部，所以直線

y=Z（x-3）與圓C總有兩個交點，正確；

對于C:設M（%,V）,由|阿=21MBi可得：&+2『+丁=2卮1尸化簡可得：

尤2+y2-4x=0,所以滿足條件的Af軌跡就是圓C,正確;

對于D：因為6是。的等差中項，所以26=a+c（不同時為0）

所以/:依+2勿+。=0可化為ar+(a+c)y+c=0,即a(x+y)+c(y+l)=0

答案第6頁，共13頁

x+y=0

y+1=0

x-]

一，，則直線/過定點

y=T

設（x—4）-+y2=i2的圓心為C,

當CN與直線/垂直時,|尸0最小,此時左CNX%=T,

即---x&=-l,得勺=T,結合＜zc+(q+c)y+c=0

所以片=-4=-1,解得c=0

，直線/的方程為x+y=O.正確

故選：BCD

12.17

【分析】根據給定條件，求出數列｛%｝的通項公式，再由4%+（=%求出加，〃的各組值,

計算比較得解.

[詳解]在等差數列｛凡｝中，$7=73；%）=7%=28,解得&=4,而％+%=5,貝IJ%=1,

數列｛%｝的公差“==1,則%=〃，由4%+4“=[7，得4"+m=17,

*fn=l、]〃=2、1〃=3，、伍=4

而九〃wN,則｛1。或｛0或《〈或《一

[m=13[m=y[m=j[m=\

fn=4

所以當（1時，”2+療的最小值為42+『=17.

[m=l

故答案為：17

13.—71

2

【分析】設正三棱臺ABC-A耳G，先考察正三棱臺的一個側面山珥A，設求

得43=6,至=9=1，4耳=2,設三棱臺的上底面中心為。，下底面中心為A,利用三

角形重心的性質求得設球。的半徑為R,OD｛=x,利用

勾股定理即可求解.

【詳解】設正三棱臺ABC-A4G.如圖，先考察正三梭臺的一個側面A.

答案第7頁，共13頁

設瓦，在AAAB中，由于/AAB是鈍角，故中最大的邊是A8.

若AB=2,則48和AA的長只能取1或6.此時若兩邊長均為1和1，貝心44tB不滿足兩

邊之和大于第三邊；

若一邊長1,一邊長6，則△口田變?yōu)橹苯侨切危?/p>

若兩邊長均為百，則A中的長只能為1,與A2<A可矛盾.

因而只能是A3=J5,AB==1，Ag=2.

設三棱臺的上底面中心為O,下底面中心為2.

如圖，在直角梯形中求球。的半徑，

V3V3

D.——3_AD——3A

3

O

2V3

2V3

在直角梯形ADDA中求球。的半徑，

利用重心的性質容易求得AD力，AR=2回,DR=1,

311313

設球。的半徑為R,OD1=x,x>0,由圖1得笛=/+[與]=*x+

解得尤=一",R2=U（舍），

128

由圖2得笛=/+[38]=["+x]+[且],解得x=逅,

I3JI3JI3J128

故球。的表面積為4兀&==兀.

2

故答案為：■

答案第8頁，共13頁

【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化

為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：

(1)定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心

到接點的距離相等且為半徑；

(2)作截面：選準最佳角度做出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元

素以及體現(xiàn)這些元素的關系)，達到空間問題平面化的目的；

(3)求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.

14.1

【分析】根據“0)=:,0<夕<：求出9,在單增，上單減求出

【詳解】因為/(o)=g,所以sin°=；,

因為。所以°=

所以/(x)=sin(0x+*,因為在0,y單增，今,]上單減，

所以“々是/(天)的最大值點，所以10+?=々+2也化eZ),

所以。=1+6左件冏，因為小)在0,2單增，品上單減，

所以單調區(qū)間長度大于等于g,所以二zg,

3CD3

且①>0,所以0v6y<3,所以G=1.

故答案為：1.

71

5(若

⑵2m

【分析】(1)由正弦定理,可得6sinAsinC-sinCeosA-sinC=0,得分sinA-cosA-1=0,

則2sin(A-e]=l,即可求得A；

(2)由VASC面積為2?,利用三角形面積公式可得秘=8,由余弦定理得

16=b2+c2-2bcxj-,即g+c)2=16+3bc=40,則可求得6+c的值.

【詳解】(1)由正弦定理得〃=2RsinA,c=27?sinC,

又y[3asinC-ccosA-c=0,

答案第9頁，共13頁

sinAsinC-sinCeosA-sinC=0，

,/CG(0,7t),「.sinCwO,

/.^3sinA-cosA-l=0,

/.2sin(A_j=1,

JT

Ae(0,7i),A=—.

3

(2)?.?△ABC面積為2TL

/.2\/3=—besinA=—besin—=^-bc，

2234

「2c=8,

?「a=4,A=半

2222

由=b+c-2bccos=b+c-2bcx^~,

2

即S+c)2=16+3bc=40,

:.b+c=2A/10.

16.⑴%=2〃T

3n2-3n

⑵S"-2—

【分析】(1)根據條件，求出q=2,q=l,即可求出結果；

(2)利用(1)中結果，得到么=3〃-3,再利用等差數列的前〃項公式，即可求解.

【詳解】(1)設公比為4,因為%+%=3,。4+。5=24,

伉(1+“)=3，、,

所以M；3(；q)=24,解得4=2,%=1,所以｛%｝的通項公式為。〃=4尸=2〃7.

(2)由(1)知丁=log2a3=2=1。82=3〃-3,

所以S“=3(1+2+…+幾)—3〃=3〃(三幾)_3〃=3而；3n

17.(l)-ln2-l

(2)*,+8)

【分析】(1)確定函數定義域，求出導函數，利用導數正負，可得函數/(X)的單調區(qū)間,

答案第10頁，共13頁

從而求出函數/（元）的最大值；（1）分離參數，將問題轉化為aN電三工在（0,+“）上恒成立,

令g（x）=生匕（x>0）,利用導數研究g（x）在（。,+e）上的最大值即可得到答案.

X

11_9Y

【詳解】（1）函數“X）的定義域為（。,+8）,且/'（X）=：-2=T，

令/'（x）>0,解得：0<x<1,

令（（x）<。，解得：

2

所以/（X）的單調增區(qū)間為（0,；）,單調減區(qū)間為

貝UABmaxuAfn一足2-1

（2）不等式/（x）W（a-2）x+2在（0,+⑹上恒成立，即a2里—在（0,+“）上恒成立,

/、lnx-2/八、

令Ag(%)=---------(%>0),

1-(Inx-2)3-lnx

則g'(x)=

3

令夕（x）>0,解得：0<x<e,

3

令g，（無）<0,解得：%>e

所以g（x）的單調增區(qū)間為（0足），單調減區(qū)間為卜3,+8）,

lne3-2_1

則g(x)g=g\^

所以"4

所以不等式/（X）?（"2）X+2在（0,+s）上恒成立，則實數〃的取值范圍為

18.（1）作圖見解析，證明見解析

⑵巫

13

【分析】（1）要證明3E_L平面PAD,應用余弦定理得出AD_L3￡>,再結合面面垂直性質

定理得出AD_L平面尸8￡>,AD±BE,BELPD最后根據線面垂直判定定理證明；

（2）由平面P8DJ_底面ABCD時，建立空間直角坐標系，求解二面角的余弦公式即可.

【詳解】（1）在△PBD中，作3E_LPD,垂足為E,點E即為點B在平面PAD的射影.下

面證明2E_L平面PAD：

答案第11頁，共13頁

因為四邊形A3。為等腰梯形，所以NAT>C=i-NA,

在△ABD,△BCD中，

BD1=AB2+AD2-2AB-ADcosZA=20-16cosZA,

BD2=CB2+CD2