第11講圓與圓的位置關系【題型歸納目錄】題型一：判斷圓與圓的位置關系題型二：求兩圓的交點題型三：由圓的位置關系確定參數(shù)題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長題型五：圓的公切線條數(shù)題型六：圓的公切線方程題型七：圓系問題【知識點梳理】知識點一：圓與圓的位置關系1、圓與圓的位置關系：（1）圓與圓相交，有兩個公共點；（2）圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個公共點；（3）圓與圓相離（內(nèi)含或外離），沒有公共點．2、圓與圓的位置關系的判定：（1）代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．有兩組不同的實數(shù)解時，兩圓相交；有一組實數(shù)解時，兩圓相切；方程組無解時，兩圓相離．（2）幾何法：設的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為．當時，兩圓相交；當時，兩圓外切；當時，兩圓外離；當時，兩圓內(nèi)切；當時，兩圓內(nèi)含．知識點詮釋：判定圓與圓的位置關系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關系來確定，這種方法運算量?。部衫么鷶?shù)法，但是利用代數(shù)法解決時，一是運算量大，二是方程組僅有一解或無解時，兩圓的位置關系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關系來確定．因此，在處理圓與圓的位置關系時，一般不用代數(shù)法．3、兩圓公共弦長的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求其長．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．4、兩圓公切線的條數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時，無公切線．【典例例題】題型一：判斷圓與圓的位置關系【例1】（2023·安徽·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）圓與圓的位置關系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【解析】兩圓化為標準形式，可得與圓，可知半徑，，于是，而，故兩圓相交，故選：.【對點訓練1】（2023·山東日照·高二校考階段練習）兩圓和的位置關系是（）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】B【解析】由化簡得，圓心為，，由化簡得，圓心為，，兩圓心的距離為，明顯地，，所以，兩圓的位置關系是外切.故選：B.【對點訓練2】（2023·天津北辰·高二天津市第四十七中學校考階段練習）設圓，圓，則圓，的位置（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】D【解析】圓，化為，圓心為，半徑為；圓，化為，圓心為，半徑為；兩圓心距離為：，，圓與外離，故選：D.題型二：求兩圓的交點【例2】（2023·全國·高二專題練習）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點的圓的方程為（

）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【答案】A【解析】由解得兩圓交點為與因為，所以線段的垂直平分線斜率；MN中點P坐標為（1，1）所以垂直平分線為y＝﹣x+2由解得x＝3，y＝﹣1，所以圓心O點坐標為（3，﹣1）所以r所以所求圓的方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0故選：A【對點訓練3】（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校校考期末）平面直角坐標系xOy中，P為圓C1：上的動點，過點P引圓：的切線，切點為T，則滿足的點P有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【解析】設點的坐標為，則①，由已知圓的圓心的坐標為，半徑為1，所以，，因為，所以，化簡可得②，聯(lián)立①②可得，或，所以點的坐標為或，故滿足的點P有2個，故選：C.題型三：由圓的位置關系確定參數(shù)【例3】（2023·高二課時練習）若圓與圓外切，則＝（

）A．21 B．19 C．9 D．【答案】C【解析】依題意可得圓與圓的圓心分別為，，則，又，且兩圓外切，則，得到，解得．故選：C.【對點訓練4】（2023·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學校考期中）若，，且，則r的取值范圍是（

）A．(0，] B．(0，1] C．(0，] D．[0，2]【答案】C【解析】由知，，所以圓與圓內(nèi)切或內(nèi)含，且圓為大圓，所以，所以.故選：C.【對點訓練5】（2023·貴州黔東南·高二凱里一中校考期末）已知圓與圓有兩個交點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知，圓心與圓心，則圓心距，因為圓與圓有兩個交點，則圓與圓相交，則，解得．故選：B.題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長【例4】（2023·福建福州·高二福建省福州高級中學?？计谥校﹫A：與圓：的公共弦長為________.【答案】【解析】由題意可知，兩圓方程相減可得公共弦方程為，圓的標準方程為，其圓心，半徑；圓心到公共弦的距離所以公共弦長為.故答案為：【對點訓練6】（2023·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學?？计谀﹫A與圓的公共弦所在直線方程為___________.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，則兩圓相交，故將兩圓方程相減可得：，即，即圓與圓的公共弦所在直線方程為，故答案為：【對點訓練7】（2023·湖南長沙·高二長郡中學?？计谀﹫A與圓的公共弦所在直線的方程為________．【答案】【解析】聯(lián)立兩圓的方程得，兩式相減并化簡，得，所以兩圓公共弦所在直線的方程為．故答案為：.【對點訓練8】（2023·全國·高二合肥市第六中學校聯(lián)考開學考試）圓與圓的公共弦長為______．【答案】/【解析】由題意可知，兩圓方程相減可得公共弦方程為，圓的標準方程為，其圓心，半徑；圓心到公共弦的距離所以公共弦長為.故答案為：題型五：圓的公切線條數(shù)【例5】（2023·高二課時練習）已知兩圓，，當圓與圓有且僅有兩條公切線時，則的取值范圍________.【答案】【解析】若圓C1與圓C2有且僅有兩條公切線時，則兩圓相交，圓心C1，半徑R＝2，圓C2，半徑r，則，若兩圓相交，則滿足，即,得，故答案為：【對點訓練9】（2023·廣東·高二統(tǒng)考期末）已知點，，為平面上的動直線，點A，B到直線的距離分別為1，3，則這樣的直線有______條．【答案】4【解析】到點A的距離為1的直線即該直線與以A為圓心，1為半徑的圓相切；到點B的距離為3的直線即該直線與以B為圓心，3為半徑的圓相切；由于，即兩圓相離，如圖所示，故公切線的條數(shù)為4條，即點A，B到直線的距離分別為1，3的直線有4條，故答案為：4.【對點訓練10】（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考期末）平面直角坐標系內(nèi)，點到直線的距離分別為4和9，則滿足條件的直線有__________條.【答案】3【解析】由已知可把直線l看成是以為圓心，4為半徑的圓的切線，同時是以為圓心，9為半徑的圓的切線，由于兩圓圓心距，所以兩圓相外切，根據(jù)外切的兩圓的公切線有3條可知，滿足條件的直線有3條．故答案為：3．【對點訓練11】（2023·湖北襄陽·高二襄陽四中校考開學考試）圓與圓的公切線共有__________條【答案】4【解析】由，所以該圓的圓心坐標為，半徑為2，，所以該圓的圓心坐標為，半徑為1，所以該兩圓圓心距為4，兩圓半徑和為3，因為，所以兩圓的位置關系是外離，故兩圓的公切線共有4條.故答案為：4.題型六：圓的公切線方程【例6】（2023·江西南昌·高二?？茧A段練習）如圖，圓和圓的圓心分別為、，半徑都為，寫出一條與圓和圓都相切的直線的方程：_________【答案】（或或）(答案不唯一)【解析】如下圖所示：因為圓和圓的圓心分別為、，半徑都為，且，所以，圓和圓外切，易知這兩個圓的切點為，且軸，所以，這兩個圓的公切線共條，設這三條切線分別為、、，其中，切線過點，且軸，則直線的方程為，設切線分別切圓、圓于點、，連接、，因為，且，，所以，，故四邊形為矩形，故，易知直線的方程為，且直線與直線間的距離為，結合圖形可知，直線的方程為，同理可知，直線的方程為.故答案為：（或或）.(答案不唯一)【對點訓練12】（2023·河南·高二臨潁縣第一高級中學校聯(lián)考開學考試）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程：__________．【答案】（答案不唯一）【解析】由圓，圓，，可知它們外切，所以兩圓的方程作差即可得內(nèi)公切線的方程為．又直線的方程為，兩圓半徑相等，故可設外公切線的方程為，因為圓心到外公切線距離為，所以或，即兩條外公切線的方程分別為和．故答案為：（答案不唯一）【對點訓練13】（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀懗雠c圓和都相切的一條直線的方程__________．【答案】///【解析】因為圓的圓心為，半徑圓的圓心為，半徑又因為所以圓與圓相離，所以有4條公切線.畫圖為：易得或是圓和的公切線設另兩條公切線方程為：圓到直線的距離為圓到直線的距離為所以所以或或當時所以，切線方程為當時所以所以所以或當時，切線方程為當時，切線方程為故答案為：或或或題型七：圓系問題【例7】過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是_______．【答案】【解析】設圓的方程為，則，即，所以圓心坐標為，把圓心坐標代入，可得，所以所求圓的方程為．故答案為：．【對點訓練14】已知圓與圓相交于A、B兩點．（1）求公共弦AB所在直線方程；（2）求過兩圓交點A、B，且過原點的圓的方程．【解析】（1），①，②①-②得即公共弦AB所在直線方程為．（2）設圓的方程為即因為圓過原點，所以，所以圓的方程為【對點訓練15】已知圓．求證：對任意不等于的實數(shù)，方程是通過兩個已知圓交點的圓的方程．【解析】若是圓、圓的交點坐標，則且，所以必在上，又，所以，則在時，方程表示圓，綜上，對任意不等于的實數(shù)，方程是通過兩個已知圓交點的圓的方程．【對點訓練16】已知圓和圓．（1）求證：兩圓相交；（2）求過點，且過兩圓交點的圓的方程．【解析】（1）證明：∵圓，即，表示以為圓心，半徑等于2的圓，圓，即，表示以為圓心，半徑等于1的圓，所以兩圓的圓心距，大于兩圓的半徑之差且小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交．（2）設過兩圓交點的圓的方程為．把點代入，求得．故所求圓的方程為，即．【過關測試】一、單選題1．（2023·高二課時練習）若圓與圓有公共點，則滿足的條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由得，兩圓圓心之間的距離為＝.∵兩圓有公共點，∴，∴，即，∴，故選：C.2．（2023·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）在坐標平面內(nèi)，與點距離為，且與點距離為的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【解析】當直線的斜率不存在時，直線滿足與點距離為，且與點距離為，以點為圓心，為半徑的圓的方程為，以點為圓心，為半徑的圓的方程為，因為，則兩圓相內(nèi)切，故兩圓的公切線有且僅有條，即，故在坐標平面內(nèi)，與點距離為，且與點距離為的直線共有條.故選：A3．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）圓與圓的位置關系是（

）A．相切 B．相交 C．內(nèi)含 D．外離【答案】B【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，于是，所以兩圓相交.故選：B4．（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知：，，，，.因為和有公共點，所以，解得.故選：C5．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓外切，則實數(shù)（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．4【答案】D【解析】由條件化簡得，即兩圓圓心為，設其半徑分別為，，所以有.故選：D6．（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知點P為直線上的一點，M，N分別為圓：與圓：上的點，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，可得圓心距，如圖，，所以，當共線時，取得最小值，故的最小值為.

故選：B7．（2023·高二課時練習）若兩圓和圓相交，則a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】圓與圓相交，兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和，即，所以.解得或.故選：B8．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知點是圓上的一點，過點作圓的切線，則切線長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】切線長，所以當取得最小值時，切線長取得最小值.當共線且點在之間時，最小，由于,所以min，所以.故選：.

二、多選題9．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）已知圓的方程為，下列結論正確的是（

）A．該圓的面積為 B．點在該圓內(nèi)C．該圓與圓相離 D．直線與該圓相切【答案】BD【解析】，可知圓心為，半徑；對于A：由圓的半徑，得該圓的面積為，故A錯誤；對于B：因為，所以點在該圓內(nèi)，故B正確；對于C：圓的圓心為，半徑為1，因為兩圓心距離為，且，所以兩圓相交，故C錯誤；對于D：圓心到直線的距離，所以直線與該圓相切，故D正確，故選：BD．10．（2023·甘肅蘭州·高二蘭大附中校考階段練習）已知圓和圓，則下列結論正確的是（

）A．圓與圓外切B．直線與圓相切C．直線被圓所截得的弦長為2D．若分別為圓和圓上一點，則的最大值為10【答案】ACD【解析】圓化為，圓心坐標為，半徑為2，圓化為，圓心坐標為，半徑為3.因為兩個圓的圓心距為，等于兩個圓半徑的和，所以兩個圓外切，正確.圓的圓心到直線的距離為，所以直線與圓不相切，錯誤.圓的圓心到直線的距離為，直線被圓所截得的弦長為，C正確.若分別為圓和圓上一點，則的最大值為，正確.故選：ACD11．（2023·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）設，圓與圓的位置關系可能是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】AB【解析】由題意已知兩圓圓心距為，半徑分別為，，因此，也可能,∴兩圓相交或內(nèi)切或內(nèi)含，故選：AB．12．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，則下列說法正確的是（

）A．圓C的半徑為18B．圓C截x軸所得的弦長為C．圓C與圓相外切D．若圓C上有且僅有兩點到直線的距離為1，則實數(shù)m的取值范圍是【答案】BC【解析】A：將一般式配方可得：，A錯；B：圓心到x軸的距離為2，弦長為，B對；C：由題意，，所以圓C與圓外切，C對；D：圓C上有且僅有兩點到直線的距離為1，d表示圓心與直線的距離，，則，解之:，D錯；故選：BC.三、填空題13．（2023·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.【答案】【解析】圓：的圓心坐標為，因為圓過圓的圓心，所以，所以，所以：，兩圓的方程相減可得相交弦方程為.故答案為：.14．（2023·高二課時練習）到點、的距離分別為和的直線有________條．【答案】【解析】到點的距離為3的直線是以為圓心，為半徑的圓的切線；同理，到點的距離為的直線是以為圓心，半徑為的圓的切線，所以滿足題設條件的直線是這兩圓的公切線，而這兩圓的圓心距，則，所以圓和圓外離，因此它們的公切線有條，即滿足條件的直線有條.故答案為：.15．（2023·四川資陽·高二四川省資陽中學校考期中）已知圓與圓恰有兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍________．【答案】【解析】由，即，可知圓的圓心為，半徑為；因為圓與圓恰有兩條公切線，所以圓與圓相交，則，∵，解得：，即的取值范圍是.故答案為：.16．（2023·高二單元測試）已知圓和圓的公共弦所在直線恒過定點M，且點M在直線上，則的最小值為_____.【答案】【解析】由圓和圓，兩式相減，可得公共弦的方程為，即，聯(lián)立方程組，解得，即公共弦恒過點，又由點在直線上，可得在上，因為可以看出點到原點的距離，又因為原點到直線的距離為，即的最小值為.故答案為：.四、解答題17．（2023·廣東深圳·高二深圳中學校考期中）已知圓C的圓心為，且與直線相切．(1)求圓C的方程；(2)求圓C與圓的公共弦的長．【解析】（1）由題意得圓C的半徑為，故圓C的方程為；（2）圓和的圓心距為，而，即兩圓相交，將和相減得，圓的圓心到的距離為，故兩圓的公共弦長為.18．（2023·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學校考期末）過點可以作兩條直線與圓相切，切點分別為(1)求實數(shù)的取值范圍.(2)當時，存在直線嗎？若存在求出直線方程，若不存在說明理由.【解析】（1）由題意可知，點在圓外，即，解得.又因為圓，即，所以，即或，綜上，實數(shù)的取值范圍是.（2）當時，，即，所以圓心，因為與圓相切，所以四點共圓且以為直徑.設過四點的圓上一點，則，即，即所以過過四點的圓的方程為，兩圓方程相減得，于是直線的方程為.19．（2023·四川成都·高二?？茧A段練習）如圖，圓，點為直線上一動點，動點P引圓M的兩條切線，切點分別為A、B．(1)若，求兩條切線所在的直線方程；(2)求線段AB的最小值；(3)求直線AB的方程，并寫出直線AB所經(jīng)過的定點的坐標．【解析】（1）設圓M的過點P的切線方程為，即.數(shù)到直線的距離解得或則切線方程為和.（2）（2）連接PM，AB交于點N，設，則，在中，，由，則，有，所以.（3），，