2024-2025學(xué)年度上學(xué)期廣東省兩校高三年級(jí)兩校聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，請(qǐng)2B用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.

4.誠信考試，拒絕作弊.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

_.

y-------x3-1

1.曲線-3在1=1處的切線傾斜角是（）

7T兀57r27r

A.—B.-C.—D.—

6363

【答案】D

【解析】

【分析】由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系得到傾斜角的大小即可.

【詳解】設(shè)曲線y=-且dr在％=i處的切線傾斜角為a,

3

因?yàn)閥=-A/3X2,則y'L=-百ntana=-百=>a=^.

所以曲線y=-走式―i在％=i處的切線傾斜角是

33

故選：D.

2.在VABC中，角A,B,。所對(duì)邊長(zhǎng)分別為。，b,。，若則角。的最大值為（）

71717157r

A.—B.—C.—D.—

64312

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)重要不等式得到儲(chǔ)然后根據(jù)后+廿=2。2和余弦定理得到cosC>L,最后求

2

角C的最大值即可.

【詳解】解：Qa7+b2>2ab，儲(chǔ)+/=2。2,

士.普工用不方+b^-c-.a-+b--c2c2-c21

.?由余弦定理得：cosC=----------------N—~—

laba+/722

C為三角形內(nèi)角，

jr

??.C的最大值為

3

故選：C.

in/mU、

3.已知向量a=(—1,4)3=(3,—24),若a//(2a—b),則4=()

A.2B.-2C.6D.-6

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得2：—.=(—5,8+24)，結(jié)合://(20—方)，列出方程，即可求解.

【詳解】由向量a=(—1,4)力=(3,—22),可得2：—，=(—5,8+22)，

因?yàn)閍//(2a—Z?)，可得—1x(8+2X)=4x(—5),解得4=6.

故選：C.

4.設(shè)向量a=(2,1),6=(0,-2),則2b的模長(zhǎng)為()

A.(2,-3)B.(3,-2)D.45

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量加法的坐標(biāo)公式，得到a+2b的坐標(biāo)，再利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式即得解.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?2弁=(2,1)+2x(0,—2)=(2,—3)|a+2歸百+(—34=屈

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.現(xiàn)有印有數(shù)字0,1,2,6,12,20,22,26的卡片，每種卡片均相同且有若干張.若從中任選幾張卡片

并擺成一排，則數(shù)字20220126的擺放方式共有()

A.14種B.16種C.18種D.20種

【答案】C

【解析】

【分析】先求擺放20的方式，再求擺放220的方式，最后求擺放126的方式，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解.

【詳解】依題意，

擺放20的方式有：2,0或20兩種方式；

擺放220的方式有：2,2,0或22,。或2,20三種方式；

擺放126的方式有：1,2,6或12,6或1,26三種方式；

由分步計(jì)數(shù)原理知，數(shù)字20220126擺放方式共有：2x3x3=18種方式.

故選：C.

6.在VABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，c=l,b=2,A=60°,則VA3C的外接圓半

徑是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)余弦定理得a=6，即可由正弦定理求解.

【詳解】解：由余弦定理，^a2=Z?2+c2-2Z7ccosA=4+l-2x2xlx1=3,所以。=石（舍負(fù)），

2R=a=6=2

設(shè)VA3C的外接圓半徑為R,根據(jù)正弦定理，可得sin^—6一，所以H=L

V

故選：D.

22

7.已知直線/：x—y+3=。與雙曲線C：1—3=1（。〉0］〉0）交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)P（l,4）是弦AB

礦

的中點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程是（）

1c1“

A.y=~xB.y=2xC.y=~xD.y=4x

【答案】B

【解析】

（分析】根據(jù)點(diǎn)差法得到（/一/）,+々）=,然后結(jié)合p的坐標(biāo)和直線I的斜率得到

a2b2

b=2a,即可得到雙曲線的漸近線方程.

2222

【詳解】解：設(shè)401,月），B（x2,y2）,可得?一與=1,§一與=1,

abab

兩式相減可得，-“玉+々)=(x-%)p+%),

點(diǎn)P(L4)是弦A3的中點(diǎn)，且直線/：X—y+3=0,

可得%+%2=2,3+%=4,%一為=七一々，

即有〃=442,即b=2a,

雙曲線的漸近線方程為,=±2%.經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).

故選：B.

8.已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，耳,尸2是橢圓。：會(huì)+三=1的左、右焦點(diǎn)，尸是橢圓在第一象限上的點(diǎn)，且

cos/￡P(guān)6=g,M是/耳P工的角平分線上的動(dòng)點(diǎn)，則W*|+|MO|的最小值為()

A.V6B.V7C.2后D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由橢圓的定義和余弦定理求出|尸行|,忸耳再由角平分線定理求出/KP丹的角平分線與x軸交

點(diǎn)、N,從而求出/耳尸耳的角平分線的方程，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式即可求解.

【詳解】由橢圓定義得戶片|+戶閭=4,Fx(-72,0),1(J5,0)

由余弦定理可cos/￡P(guān)鳥」0用瑪?=j解得歸耳|=3,|P閭=1,所以軸,

即P也1),

設(shè)/與P鳥的角平分線與x軸相交于N(尤0,。)，由三角形角平分線定理得宰，2=；,所以

72—X。1

從而/耳「罵的角平分線的方程為缶―y—1=0,

'正二、

原點(diǎn)o(o,o)關(guān)于/耳「鳥的角平分線對(duì)稱的點(diǎn)設(shè)為a(%,％),經(jīng)計(jì)算可a

^\MF1\+\MO\=\MF1\+\MO1\>\F1O1\=

(或：耳關(guān)于/與尸區(qū)的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)在p%的延長(zhǎng)線上，記為。(天),為)，

且I尸耳|=|PQ|=3,|叫|=1,所以因0=2,PQ=3PX,(x0-A/2,y0-1)=3(0,-1),解得

飛=夜，%=—2,gp2(V2-2),

或由勾股定理知PB軸，得Q(、/5,-2),

所以眼片I+|MO|=|MO|+|M0.OQ卜J(后+(—2)2=

故選：A

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.(多選)已知函數(shù)/(x)=e*-儂(aeR),則()

A.當(dāng)a=e時(shí)，/(%)在(一8,1)上單調(diào)遞減

B.當(dāng)a=e時(shí)，/(九)>0在R上恒成立

C./(%)有2個(gè)零點(diǎn)，則a〉e

D.〃尤)有極值，則a〉e

【答案】AC

【解析】

【分析】對(duì)于A,當(dāng)a=e時(shí)，利用尸(x)<0時(shí)，x<l，即可判斷；對(duì)于B,利用/(力20,即可判斷;

對(duì)于C,討論〃尤)的單調(diào)性，令/(對(duì)而/。，即可判斷；對(duì)于D,利用當(dāng)a>0時(shí)，”力的單調(diào)性即可

判斷

【詳解】對(duì)于A,B選項(xiàng),/(x)=e'-ex,/,(%)=e'-e,

當(dāng)x<l時(shí)，f'M<0,/(%)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時(shí)，f'M>0,/(%)單調(diào)遞增,

?.y=/(l)=e-e=0,.,./(%)>0;故A正確，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，f'(x)=ex-a,

當(dāng)aWO時(shí)，廣。)>0,/(x)單調(diào)遞增，最多有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)a>0時(shí)，令/=得x=Ina,

當(dāng)xe(-co,Ina)時(shí)，/(x)<0,〃尤)單調(diào)遞減，

xe(lna,+co)時(shí)，/⑺>0,/(力單調(diào)遞增，

故/(x)min=/0na)=a—aln”，

若/(%)有2個(gè)零點(diǎn)，則只需a—alna<0,解得a〉e,故C正確；

根據(jù)選項(xiàng)C分析，結(jié)合極值概念可知，a>0時(shí)，/(九)有唯一的極小值，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知向量a=(1,3),b=(2,Y),則()

3兀

A.。力=10B.向量a，b的夾角為「

4

C.?+—=\/7D.向量c=(-6,2)與°垂直

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求解向量的數(shù)量積，模，夾角，驗(yàn)證向量垂直，逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)

論.

【詳解】對(duì)A,a=(l,3),b=(2,-4),.-.a-b=lx2+3x(^)=-10,故A錯(cuò)誤;

/,\a-b-100/.

對(duì)B,cos(叫=麗=而再=一式又0?吟.

371

二.向量〃，/7的夾角為—，故B正確；

4

對(duì)C,a+-&=(l,3)+-(2,-4)=(2,1),a+；b=是式=5,故c錯(cuò)誤;

222

對(duì)D,?/°.a=-6xl+2x3=0,/.c_La，故D正確.

故選：BD.

11.橢圓曲線產(chǎn)+緲=%3+"2+位+〃是代數(shù)幾何中一類重要的研究對(duì)象.關(guān)于橢圓曲線「：

y2-2y=%3+/nx-3,下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線「關(guān)于點(diǎn)（0,—3）對(duì)稱

B.曲線「關(guān)于直線y=l對(duì)稱

c.當(dāng)〃z=—3時(shí)，曲線r上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為［2,+8）

D,若曲線「上存在位于y軸左側(cè)的點(diǎn)，則〃?<—3

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)A選項(xiàng)和B選項(xiàng)，設(shè)一組對(duì)稱點(diǎn)代入檢驗(yàn)即可；對(duì)選項(xiàng)C和選項(xiàng)D結(jié)合函數(shù)值域分析即可求解.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：

設(shè)曲線上有一點(diǎn)P（%0,y0）,則y；-2y0=XQ+mx0-3①，

而點(diǎn)P（%,%）關(guān)于（0,-3）對(duì)稱的點(diǎn)為P'（―%,-6—%）,

如果曲線關(guān)于（0,-3）對(duì)稱，則尸'也應(yīng)在曲線上，則有

（—6——2（—6—%）=（一七）3+機(jī)（―/）—3②；

聯(lián)立①②，得北+6%+27=0,此時(shí)為無解，

所以P和0'這樣的對(duì)稱點(diǎn)不存在，即（0,-3）不是該橢圓曲線的對(duì)稱點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B：

設(shè)曲線上有一點(diǎn)P（x0,y0）,則Jo-2_y0=XQ+mx0-3@,

而點(diǎn)P（x（）,y0）關(guān)于y=1對(duì)稱的點(diǎn)為P'（1,2,

如果曲線關(guān)于y=l對(duì)稱，則尸'也應(yīng)在曲線上，則有仁一為了筌合一為卜伉丫+制陶會(huì)②；

聯(lián)立①②，得需―2%=（2—%）2—2（2—%）,即需―2%=第—2%，該式恒成立，

則p和尸'是在曲線上且關(guān)于y=l對(duì)稱的點(diǎn)，即y=l是該橢圓曲線的對(duì)稱軸，故B正確；

對(duì)選項(xiàng)c：

因?yàn)槎。恳?）=A3+mx-3,所以）2—2》+1=尤3+如一2，

所以（丁一1）2=%3+mx-2,當(dāng)根=—3時(shí)，W（y-l）2=%3-3x-2,

因?yàn)?y—1)2?0,所以無3—3%—220；

設(shè)/(x)=爐一3x—2,則/4》)=3丁-3,

令/,(x)=3x2-3=3(x-l)(x+l)=0,所以]=±1,

當(dāng)xe(fo,—l)時(shí)，/f(x)>0,/(%)在(一8,-1)單調(diào)遞增

當(dāng)1』時(shí)，r(x)<0,〃尤)在［-1』單調(diào)遞減

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，f'(x)>0,/(九)在(1,+8)單調(diào)遞增，

極大值/(—1)=0,即點(diǎn)(―1,1)也在曲線(y—1)2=尤3—3x—2上，所以C錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)D：

由原方程得：(y-l)2=/+%x-2,

曲線「上存在位于y軸左側(cè)的點(diǎn)，即當(dāng)x<0時(shí)有點(diǎn)(尤,y)在曲線上，

設(shè)/(%)=丁+“映—2,則/'(%)=3*+7律,

當(dāng)帆20,r(x)>0,/(力在R上單調(diào)遞增，且/(0)=—2,

所以此時(shí)/(%)4—2,此時(shí)沒有V能使(丁一1)2=尤3+的一2成立；

m

當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，令/'(X)=3^2+7〃=0,所以x=±.

~3

當(dāng)xe時(shí),/'(力>。，/(%)在

當(dāng)時(shí)，r(x)<o,“龍)在單調(diào)遞減;

時(shí)，r(x)>o,“龍)在單調(diào)遞增;

所以只需/(%)的極大值大于。即可使曲線r上存在位于y軸左側(cè)的點(diǎn),

所以m-2>0,

所以-"29,得加<—27,即加<—3,所以D正確.

3

故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)曲線涉及到對(duì)稱時(shí)，可設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)代入方程進(jìn)行驗(yàn)證；涉及到取值范圍，需要結(jié)

合函數(shù)求出其取值范圍綜合分析.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a>0,則巴二的最小值為.

a

【答案】4

【解析】

2

【分析】直接展開得Z7巴+二4=。+主4，利用基本不等式即可求出最值.

aa

（72+44I4-

【詳解】a>0,-.^-Ll=a+_>2.a--=4,a=2時(shí)取等號(hào)，

aa\a

故答案為：4.

13.已知函數(shù)〃X）=LX+1（X〉2）,若玉?2,+8）,使成立，則實(shí)數(shù)用的取值范圍是

X1

【答案】（3,+8）

【解析】

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/（可在（2,+8）上的單調(diào)性，進(jìn)而求解即可.

【詳解】因?yàn)樾。?廠7+1+」-

x-lX—1

所以r（x）=i—（

當(dāng)xe(2,y)時(shí)，/"(x)=l_(

則函數(shù)/（%）在（2,+8）上單調(diào)遞增,

所以/（x）＞/（2）=3,即〃x）?3,y）

因?yàn)?xe（2,+co）,使/（%）＜加成立，

所以相＞3,

即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（3,+8）.

故答案為：（3,+8）.

14.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一，該禮品包裝盒可

以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長(zhǎng)方體

ABCD-A.B^D,的上底面44GA繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體ABCD—EFGHE

知AB=A￡＞=2,AE=J7，DC=2（V2+1）DP,過直線石P作平面a,則十面體A3CD—ER汨

外接球被平面a所截的截面圓面積的最小值是

【解析】

【分析】根據(jù)給定的幾何體，確定出球心。的位置，求出球半徑，再建立空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)。到直線

距離，進(jìn)而求出最小截面圓半徑作答.

【詳解】依題意，四邊形ER汨是正方形，令正方形ABCD與正方形ER汨中心分別為。',。1,連接

0,0},

因?yàn)檎叫闻c正方形EFGH在同一平面內(nèi)，且有相同中心，因此它們有相同的外接圓，

從而十面體A3CD—EFGH與長(zhǎng)方體ABC。-A與G2的外接球相同，球心。是線段的中點(diǎn)，如

圖,

取AB中點(diǎn)M，連接O'M,應(yīng)0,因?yàn)?則石MLA3,顯然O'AfLAB，

又O'Afi￡M=M,O'MEM<=平面EMO',則AB,平面EW,

而O'。1，平面ABC。，A5u平面ABC。，即有O'q^AB,

O'O]。'河=0',0'加,0'0]匚平面加。'。1，則AB,平面MOQ,平面EW與平面MOQ有公共

點(diǎn)O',

顯然平面EW與平面加。'。1為同一平面，有。E//O'",而O]E=J5,O'M=1,

ME=ylAE2-AM2=A/6,

在直角梯形EM。'。1中，過M作M/，aE于/,

22

O'OX=MI=^ME-Er=76-(72-1)=A/2+1>

球。的半徑R=05=y]o'O2+O'B2=J(^^-)2+(V2)2=血;,

過。作Dz,平面ABC。，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，射線DADCDz分別為蒼％z軸非負(fù)半軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

B11

則D(0,0,0),C(0,2,0),E(V2+1,1,A/2+1),0(1,1,)，DC=(0,2,0),

]

由已知得DP=DC=(0,72-1,0)即P(0,V2-l,0),

2(0+1)

PE=(01,2—叵01),OE=(J5,O，S±1),則點(diǎn)。到直線PE的距離d有:

\PEOE\

d2=|OE'-(■了,

\PE\

球。被過直線石P的平面a所截的截面圓最小時(shí)，球心。到平面a的距離最大，即為點(diǎn)。到直線尸石的距

離d,

,,,,\PEOE\2,\PEOEI

截得的最小截面圓半徑為r,而OE=R,貝|/=尺2—12=R2—（J----：—1）］=1------L

\PE\\PE\-

:（2+&+3+：&）2_81+560,

—2（后+1『+（2-衣2-48

所以截得的截面圓面積的最小值是兀戶=（81+56偽>

48

故答案為：⑻+56后兀

48

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/⑴=b?ax（其中。"為常量,且a>O,awl，wO）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（l,10）,B（2,50）.

（1）求。，6的值；

（2）若關(guān)于x的不等式"―m+3在［-2,2］上有解，求用的取值范圍.

【答案】（1）〃=5,b=2

(2)I25.

【解析】

【分析】（1）把A3兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求。，6的值;

（2）證明函數(shù)g（x）=、、_0在［-2,2］上單調(diào)遞增，有g(shù)⑵2加+3,可求加的取值范圍.

【小問1詳解】

函數(shù)/'（X）=》?"的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（LIO），5（2,50）,

b-a=10〃二5

得《力〃=5。’解得

b=2

【小問2詳解】

由(1)得a=5,b=2,

因?yàn)楹瘮?shù)y=Z/=2'在［-2,2］上單調(diào)遞增，函數(shù)y=

所以g(x)=bx-在［-2,2］上單調(diào)遞增,

99

25

因?yàn)殛P(guān)于X的不等式2根+3在［-2,2］上有解，

9924

所以機(jī)+3＜——，解得機(jī)＜—,

2525

(24'

即〃z的取值范圍為一-萬.

16.如果函數(shù)y=/(x)滿足：對(duì)于任意和馬€。，均有|〃藥)一〃九2)目石一%「(機(jī)為正整數(shù))成立，

則稱函數(shù)在D上具有“四級(jí)”性質(zhì).

(1)分別判斷函數(shù)y=^x,＞=/,是否在R上具有“1級(jí)”性質(zhì)，并說明理由；

⑵設(shè)函數(shù)y=g(x)在R具有“級(jí)”性質(zhì)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)。，證明函數(shù)y=g(x+a)具有“加級(jí)”性質(zhì)；

(3)若函數(shù)y=/i(x)在區(qū)間可以及區(qū)間［仇力上都具有“1級(jí)”性質(zhì)，求證：該函數(shù)在區(qū)

間［a,c］上具有“1級(jí)”性質(zhì).

【答案】(1)函數(shù)y=gx在R上具有“1級(jí)”性質(zhì)，＞=彳2在口上不具有“1級(jí)”性質(zhì)，理由見解析

(2)證明見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)‘元級(jí)”性質(zhì)的定義可說明y=；x在R上具有“1級(jí)”性質(zhì)，利用特殊值可判斷＞=/在R

上不具有“1級(jí)”性質(zhì)；

(2)根據(jù)“7"級(jí)”性質(zhì)的定義即可證明結(jié)論；

(3)任取石,々e［a,c］,討論西,尤2是同時(shí)屬于［。，勿或［仇c］，還是一個(gè)屬于［。,口,另一個(gè)屬于出,c］,結(jié)

合“1級(jí)”性質(zhì)的含義，說明y=//(x)在區(qū)間［a,c］上滿足定義，即可證明結(jié)論.

【小問1詳解】

函數(shù)y=；x在R上具有“1級(jí)”性質(zhì)，＞=必在R上不具有“1級(jí)”性質(zhì)，理由如下:

對(duì)于y=萬%，任意石,々eR,|/(X］)—/(x?)|=Q|%々區(qū)|X］—々I，

故y=；x在R上具有“1級(jí)”性質(zhì)；

對(duì)于y=/,芯=2,巧=0,則/(/)_/'(&)=4>七_(dá)%2=2,

故y=/在R上不具有“1級(jí)”性質(zhì)；

【小問2詳解】

函數(shù)y=g(無)在R具有“小級(jí)”性質(zhì)，

即對(duì)于任意看,馬eR,均有|g(x)—g(%2)區(qū)1%-々廠成立，

故對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,XpZeR,則石+。,%+。eR,

設(shè)加(x)=g(x+a),貝力〃篦(±)R8(番+。)一8(*2+。)

1

<1(%+a)-+。)r=lx{-x2I",(m為正整數(shù)),

故函數(shù)y=g(x+a)具有，級(jí)”性質(zhì)；

【小問3詳解】

函數(shù)y=/z(尤)在區(qū)間[a,可以及區(qū)間[4c](a<Z?<c)上都具有“1級(jí)”性質(zhì)，

即對(duì)于任意玉,馬€團(tuán)，萬|，均有|丸(七)一/2(%2)區(qū)一*2I，

對(duì)于任意石,々e[6,c],均有|/7(/)一丸(%2)區(qū)I玉一々I，

故任取%1，%2e[a,c],若%%同時(shí)屬于[a，口或由,c]，則I/?(%)-%(%2)留玉一為21成立；

若石,々中一個(gè)屬于萬)，另一個(gè)屬于[瓦c],不妨設(shè)不e[dc],a<b<c,

則|〃(石)一〃(々)|=|h(AJ)—h(/?)+/?(Z?)—/?(^2)|<|/?&)—+|力。)一〃(%2)1

<\xY-b\+\h-x^b-xx+x2-b-x1-x{=|x2-x,|,

綜合上述，對(duì)于任意.，龍2e[a,c],均有|力(王)—立仁)區(qū)|西—9I，

故函數(shù)y=M尤)在區(qū)間[a,c]上具有“1級(jí)”性質(zhì).

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于第三問中證明函數(shù)y=/i(無)在區(qū)間[a,c]上具有“1級(jí)”性質(zhì)，解

答時(shí)要首先理解“1級(jí)”性質(zhì)的定義，然后要分類討論任取七,赴所處區(qū)間，分別說明均符合“1級(jí)”性質(zhì)的

定義，即可證明結(jié)論.

17.已知雙曲線c：\—5=1（。〉0）〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,左、右頂點(diǎn)分別為A、4,點(diǎn)

P（若,4）在C上，比閭2=18/闋.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）若過焦點(diǎn)F2且斜率存在的直線與雙曲線C的右支交于〃、N兩點(diǎn)，線段肱V的垂直平分線與％軸

sin/MQKsin/NQg

交于點(diǎn)。，試問是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理

smZQMF,sinZQNF2

由.

2

【答案】（1）d—匕=1

8

⑵2

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題中條件可得出關(guān)于。、力、c的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線C的方程；

（2）設(shè)直線肱V的方程為丁=左（％—3）（左W0）,設(shè)點(diǎn)MO1,當(dāng)）,yv（x2,y2）,將直線肱V的方程與雙曲線

C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出線段的垂直平分線方程，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，求出|MN|、|。叫|,

sin/MQKsin/NQB

利用正弦定理可求得的值.

sinZQMF2sinNQN&

【小問1詳解】

Q1/C

解：由點(diǎn)P（6,4）雙曲線。上，可得j—/=1.

因?yàn)閨耳閭2=18國闋，所以（2c）?=36a.

又f=ci1+檸，所以a=l,b=2亞,c=3,

2

所以雙曲線C標(biāo)準(zhǔn)方程為好一匕=1.

8

【小問2詳解】

sin/MQEsin/NQ瑪

解:為定值，理由如下:

sinZQMF2sinZQNF2

設(shè)直線M2V的方程為y=左（為一3）（左彳0）,設(shè)點(diǎn)”（久口為），N（x2,y2）,

2

X-----=11

聯(lián)立《8可得（8—左2）無2+6左2尤_9左2—8=0,

y=左（工-3）

當(dāng)*=8時(shí)，直線"N與雙曲線C的漸近線平行，此時(shí)直線和雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意,

故左2/8，此時(shí)八=256（左2+i）＞o,

則…=￡942+8

=-；---

1-廿一8

_6k2

2>0

由己知可得J~k-S

可得嚴(yán)＞8,

9k2+8

>0

上2—8

西+工2_3k2%+%_A（%+々）°7_3k3°7_24k

2k2—82242_8F-8

3k224k

所以，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為

2_8，42_8,

24kU3k2、

所以線段肱V的垂直平分線的方程為y-

k2-84一產(chǎn)_8,

U3.）21k2Zllc

的方程中，令得,即

令在直線y-4s,『一產(chǎn)—8,y=0x=Q,0

左2—8、公一87

24儼+1）

所以也閭=蕓-3

42—8

又八標(biāo)也一中二小告-答

—oyK—oK—o

MlsinZMQF\MF\

在.QM8中，由正弦定理得I。閭22

smZQMF2sinNMQBsinZQMF2\QF2\'

N用sinNN。)口閭

在△QN&中，由正弦定理得

sinZNQF'sinZQNF\QF\

sinZQNF2222

16代+1)

sinNMQ)sinNN”=|他+上閭=膽=甘一8=2....

2

sinZQMF2sinZQNF2|Q閭\QF2\24(Z:+1)§為定值

――8

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值

18.已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，數(shù)列也｝為等比數(shù)列，且4=7,q=1,%+&=雨，

ajb3=4a3+打(〃eN+).

⑴求￡%；

i=2

。也，〃為奇數(shù)

(2)已知c〃=<a"“為偶數(shù)'求數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)和《“；

9,"“+2'

⑶求證：￡Jr<2(ieN)

。2〃+1q

【答案】(1)-~—

3

(12n-13)-22n+1+264〃

(2)+〃+

93(472+3)

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛5｝的公差為d,等比數(shù)列｛與｝的公比為4,由已知條件求出｛an｝和｛如｝的通項(xiàng)，

利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求￡>〃,；

i=2'

(2)〃為奇數(shù)和“是偶數(shù)時(shí)，分別求｛%｝的通項(xiàng)，利用分組求和求數(shù)列｛1｝的前2〃項(xiàng)和IL；

(3)利用放縮和等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式證明不等式.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d，等比數(shù)列｛b｝的公比為4,

由4=7,q=l,得q+3d=l+3d=7,解得d=2,

則4=l+2（〃—1）=2Tl—1,

2

由〃1+4=蠟，a2b3=4a3+b2,得/?爐+1=9,^q=2Q+b{q,

解得[=q=2,則a=2〃,

23（l-4,1-1）_22?+1-8

所以￡%=23+25+...+22n-1

1^4—-—3

i=2

【小問2詳解】

當(dāng)，是奇數(shù)時(shí)，c?=（2n-l）-2n,

（2n+l）2_4/2+4〃+1_]+（2“+3）-（2九_(tái)1）_]+/11

（2“-1）（2〃+3）—+4〃—3—+（2n-l）（2n+3）\2n-l

2n+3

n

則=1x2】+5x23+9x2,+...+（4〃-3）X22"T,

k=l

n

于是4Z°2"1=1x23+5x25+9x27+...+（4"—3）義22'"1,

k=l

兩式木目減，得-3^-1=2+4（23+25+...+22"-1）-（4?-3）x22n+1

k=l

2（1—4）/、2”+i（12H-13）22,!+1+26

=2+4x—------^-（4H-3）X22,!+1=-^--------'---------,

1-4v73

11