專題10空間向量解決立體幾何問題

目錄

01模擬基礎練.......................................................1

題型一：線線平行，線面平行及面面平行................................2

題型二：線線垂直、線面垂直及面面垂直...............................15

題型三：線線角與線面角的求算.......................................30

題型四：簡單二面角的求算...........................................44

02重難創新練......................................................60

必

博如算礎繽

1/79

題型一：線線平行，線面平行及面面平行

1.如圖，在四面體”一3。中，AD=BDf，AC=BC=2,,ADLDBZCAD^30°,M是4D的中點,

尸是的中點，點。在線段ZC上，S.AQ=3QC.

(1)證明：尸。〃平面BCD；

(2)求二面角A-PC-M的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)電?

20

【詳解】(1)因為AD=G,/C=2,且/C4D=30。，

由余弦定理可得CD?=AC2+AD2-2AC-AD-cos30°，

2向

SPCD2=22+(A/3)--2x273x^-=1,即CD=1,

所以,即又4DA.DB,

且BDcCD=D,AD,CZ)u平面BCD,所以平面BCD,

又BC=2,BD=0,貝Ijay+BD?=8。2,即8O_LCD,

以。為原點，分別以麗，比，而為x，%z軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標系,

則O(0,0,0),4(0,0，6),0,q,q0,1,0,

2/79

又“是/。的中點，則M0,00,尸是的中點，則尸二,0，TI，

V3nV3

24

7

且/°=3℃,則而=；就=；（0,1,一6）,則。。,；,

y-,|-,0,因為AD,平面BC。，取方為平面8C。的一個法向量,

所以尸0=-

7

且百=（0,0,6）,因為國.9=0,所以而_L方"

則尸0〃平面BCD.

、、

（2）由（1）可知尸/二

24

77

設平面APC的法向量為而=（x,y,z）,

萬?―一旦+逋z=0

242x—3z

則，解得廠，取z=2,貝ljy=2A/J,X=3,

京?…旦+尸2=0、y=73z

24

則平面"C的一個法向量為應=（3,26,2）,

設平面尸CM的法向量為k=a,b,c）,

灰V=_Ba+b-&c=0

24c=2a

則,解得6—百，取。=1，則6=V3,c=2,

國.反=2c=0

24

則平面尸CM的一個法向量為力=（1,后2）,

設二面角/-尸C-M為6,顯然e為銳角,

_\m-n\_3+6+4_1313也

貝ijcos0=|cos（in,力）

網?同V25\0620

所以二面角/-尸的余弦值為電2

20

2.如圖，在四棱錐P-N8C。中，PAL\^ABCD,AB!/CD,S.CD=2,AB=l,BC=2y/2,PA=1,AB±BC,

N為PD的中點.

3/79

7?

(1)求證：4N//平面尸5C；

(2)在線段尸。上是否存在一點W,使得直線CM和平面P8C所成角的余弦值是半，若存在，求出器的

值，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析⑵存在，器=；

【詳解】(1)設E為CD的中點，連接則CE=/8=1,

結合CE〃AB,AB工BC,可知四邊形/EC3為矩形，故

y.PAV\^ABCD,4E,4Bu面ABCD,故尸Z_LNE,尸/_L,

以點N為坐標原點，所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

詡=（0,1,-1）,正=（261,-1）,

設平面尸的法向量為五=(x,%z),

ii-PB=y-z=0（、

則_,l,令Z=l,則力=0,1,1,

n-PC=2y/2x+y-z=0

乂赤=［應,一；,；［，貝I］款.萬=（收,一g,￡|.（0,l,l）=0,

即不，萬，而/N<z平面尸3C,故/N//平面PBC；

4/79

（2）假設在線段尸。上存在一點"，使得直線CW和平面P8C所成角的余弦值是逑，

3

則直線CM和平面PBC所成角的正弦值是!；

由（1）知麗=卜2亞,1,1）,設器=/,（0白41），

則DM=tDP=?,r）,AM=AD+DM=（272-2萬/-1/）,

故由=而_就=（-2伍”2,,,

設直線CW和平面尸8c所成角為48，

則sine^cIos〈力，南"〉|=匕同藝叫］=-"卜1石12”T7+干23，

17

即得4產-16/+7=0,解得"彳或（舍），

2L

故在線段尸。上存在一點W,使得直線CM和平面尸3c所成角的余弦值是迪，且也=’.

3DP2

3.如圖，在四棱錐P-ABCZ）中，尸/_L平面NBC。，ABLBC,AC1AD,AP=AD=AC=2,ZBCA=60°,

E為CO的中點，州在NB上，且/=2蕨.

⑴求證：EMH平面PAD；

（2）求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值；

（3）求點M到平面PCD的距離.

【答案】（1）證明見解析⑵叵⑶蟲8

73

【詳解】（1）因為P/_L平面/BCD,ACVAD,

以A為原點，AD、AC.ZP所在直線分別為x、＞、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

5/79

Zj

MX

Cy

則/（O,O,O）,0（2,0,0）,C（0,2,0）,5-,￡（1,1,0）,尸（0,0,2）

由而=2贏得所以由=[-4一1,0,（）],

易知平面尸/。的一個法向量為所=（0,1,0）,

所以畫77=0，即前_L有，

又EW＜Z平面尸所以EM〃平面P/D.

__（也1、

（2）由（1）得尸C=（0,2,-2）,BC=-^-，―,0,

n-PC=2y-2z=0

設平面P8C的法向量為亢=（x,y,z）,則＜

n-BC=—x+-y=0

22

取x=l,可得萬=0,-

出向

所以cosn,fn=

V7XT7

故平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為叵.

7

(3)由題意知，PC=(0,2,-2),麗=(2,0,—2),EM=-^--1,0,0

p-PC=2b-2c=0

設平面尸CD的法向量為萬=（a也c）,則＜

p-PD=2a-2c=0

取a=l可得"=(1,1,1),

6/79

所以點“到平面PCD的距離為時同=[-=1+①.

同=百二="

4.如圖，在四棱錐尸-N5CD中，平面尸CD_L平面/BCD,

AD1AB,ABIICD,AB=AD^1,CD=2,PD=PC=6，氤E在棱PA上,PE=2EA.

(1)證明：PC//DBE；

(2)求PC與平面PAB所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)當

【詳解】(1)如圖，取CD的中點O,連接。尸,08,則。2，8,。8，。，S.OD=OC=1,

由平面PCD_L平面ABCD,平面PCDc平面ABCD=CD,0尸u平面PCD,

所以0P_L平面/BCD,又O8u平面48C。，所以OP_LO8,

建立如圖空間直角坐標系。-平，

由PC=PD=6,OD=1,WOP=yJPD2-OD2=1>

則^(1,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1),

由尸E=2E4,得詼=2至5，即心，丹心-1)=2(1-/,-1-%,-2￡),

xE=2—2XE

得<>E=—2—2>E，解得<

/E-1=-2ZE

____oil__

所以麗=(1,1,0),瓦=(§,§,§),正=(0,1,—1),

設平面Z)5￡的一個法向量為根二(。,ac),

m?DB=Q+b=0

貝?卜――?211，令Q=l,得6=—1,°=一1,

m?DE=—aHbH--c=0

I333

7/79

所以說=(1,一1,一1),有以正=0-1+1=0,則蔡_L定,

又PC(Z平面。5￡,所以PC7/平面。5￡.

(2)由(1)矢口蘇=(1,—1,一1),麗=(1,0,—1),PC=(0,l,-l),

設平面尸45的一個法向量為〃=(x,y,z),

n-PA=x-y-z=0

則<―>，令x=l,得z=l/=0,

n?PB=x-z=0

所以3=(1,0,1),設尸。與平面尸/B所成角為e(。為銳角),

I一?同T11

則sin0=cosPC,n\=—,廠廠二-,

11\PC\\n\V2-V22

所以cos0=V1-sin20=，

2

即PC與平面PAB所成角的余弦值為旦.

2

底面N8CO是平行四邊形，E是的中點，點廠在線段尸8上.

(2)若尸4,平面4BC。，PA=AB=3,BC=5,AC=4f平面口。與平面尸ZC夾角的余弦值為勺竺，求

29

會PF的值?

rD

【答案】(1)證明見解析(2)女

8/79

【詳解】（1）法一：如圖，連接AD,設BD2C=G,連接GE.

因為四邊形/BCD是平行四邊形，所以G為5。的中點，

因為E為PD的中點，所以由中位線定理得GE〃尸8,

因為GE1平面NCE,尸8</平面/CE,

所以尸8〃平面NCE.

法二：因為月8=3,BC=5,AC=4,所以/BA/C?=8C2,

則又P/L平面/BCD,所以48,AC,4尸兩兩垂直.

以A為坐標原點，初，~AC，制的方向分別為x,7,z軸的正方向,

由尸/=43=3,BC=5,AC=4,可知/（0,0,0）,C（0,4,0）,

3（3,0,0）,尸（0,0,3）,D（-3,4,0）,E[-,

則就=（0,4,0）,而=[-[,2,|）,P3=（3,0,-3）.

設G=（尤”%,21）是平面/CE的法向量，

取再=1,可得1=（1,0,1）.因為晨麗=3-3=0,

所以"_1_而，則尸8〃平面NCE.

9/79

(2)因為45=3,BC=5,/C=4,

所以/笈+/。2=臺。2,則

又尸/_L平面48cZ),所以48,AC,/P兩兩垂直.

以A為坐標原點，ZB.~AC，萬的方向分別為X,y,Z軸的正方向,

建立空間直角坐標系，如圖所示.

由尸/=48=3,BC=5,AC=4,

可知2(0,0,0),5(3,0,0),尸(0,0,3),￡>(-3,4,0).

設方=2而(0W/IW1),

則方=萬+而=(32,0,3-32),AD=(-3,4,0).

設為=(x/,z)是平面E4D的法向量,

n-AD=0,-3x+4j=0,

由，'得W

n-AF=0,\32x+(3-34)z=0,

取x=4,可得元=

取平面尸/C的一個法向量為而=(1,0,0).

設平面FAD與平面PAC的夾角為0,

\n-m\4729

cosO—■；~n—?

則B幀I~^9~,

1PF1

解得八『所以商K

6.如圖，4E_L平面NBC。，CF//AE,AD!IBC,AD1AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

10/79

⑴求證：跳7/平面4DE；

(2)求直線CE與平面BDE所成角的大小；

(3)若二面角-尸的余弦值為g,求線段CF的長.

48

【答案】(1)證明見解析(2)arcsin§(3),

【詳解】(1)因為/E_L平面480/8u平面

所以/EJ.A8,因為ADcAE=A,

AD./Eu平面4DE,所以48_L平面4DE,

如圖，建立以A為原點，分別以方，AD，通的方向為

x軸、了軸、z軸正方向的空間直角坐標系，

可得2(0,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),0(0,1,0),￡(0,0,2),

設CF=h(h>0),則尸(1,2,/z),

依題意得在=(1,0,0)是平面ZDE的法向量，

又麗=(0,2,h),可得而.萬=0，則2尸_1_48,

又因為直線面4DE,所以5F〃平面NDE.

(2)依題意得麗=(-1,1,0),礪=(-1,0,2),直=(-1,-2,2),

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設〃=(x,y,z)為平面BOE的法向量,

n?BD=U-X+y=U1

則一，即:八，不妨令z=L可得〃=（2,2,1）.

n-BE=0[_x+2z=0

設直線CE與平面BDE所成角為6,

\cE-n\1-2-4+214

4

故sine=占尸斗=i]一,」=-,得至!）。=arcsin.,

?.CEj4+l+4x，4+l+49

4

即直線CE與平面BDE所成角的大小為arcsin

9,

（3）設加=（X]/],Z]）為平面3D廠的法向量，加二（0,2,〃），

m-BD=0[-x+K=0

則—‘即J"n-

m-BF=012乂+姐=0

不妨令M=l，可得加,

2+2--L--

|m-?|

hrh

HMj4+l+4xJ+1+1

4--

因為二面角E-助-尸的余弦值為:，所以「心不=?Q

解得

3?k4二7

VV

Q

經檢驗符合題意.所以，線段CF的長為

7.如圖，已知四棱錐尸-/3CA的底面/8CA是正方形,側棱底面4BCD,PD=DC=2,E是尸C的

中點.

AB

(1)證明：尸/〃平面BDE；

(2)求二面角B-OE-C的平面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)逅

3

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【詳解】(1)以。為坐標原點，分別以N,DC,。尸所在直線為x,了，z軸建立空間直角坐標系，如下

圖所示:

設PD=DC=2,則/(2,0,0),尸(0,0,2),￡(0,1,1),B(2,2,0),

二秒=(2,0,-2),D5=(2,2,0),詼=(0,1,1),

設〃]=(x,y,z)是平面BDE的一個法向量,

則端n.??DE=麗0.唱\y++z2=0]。

4=(1,-1,1)?

因此P4?〃]=2-2=0,可得尸乂PNcZ平面8DE,

PAH平面BDE.

(2)由(1)知是平面5DE的一個法向量，

PZ)1ffiABCD,/Ou面43C。，則尸。_LAD,又ADLCD,

由尸DcCr?=D都在面P。內，則ND,面PCD,即面。EC,

則第=房=(2,0,0)是平面DEC的一個法向量.

設銳二面角B—DE—C的平面角為凡則cosargs(4,%)卜百x2=《-，

所以二面角B-OE-C的正弦值為好.

3

8.如圖，在四棱錐S-Z8C。中，底面是直角梯形，側棱S/,底面/BCD,N2垂直于40和

8。,必=工3=8。=2,/。=1,河是棱S3的中點.

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⑴求證：/"http://平面SCD；

(2)求直線SC與平面COM所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)警

【詳解】(1)證明：以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,

則^(0,0,0),S(0,2,0),D(l,0,0),S(0,0,2),M(0,l,l),

貝！JAM=(0,1,1),50=(1,0,-2),CD=(-1,-2,0).

設平面SCD的法向量是萬=(xj,z),

SD-n=0x-2z=0,

則一，即

CDn=0—x—2y=0.

令z=l,則x=2j=-l,

于是萬=(2,-1,1).

?.?力?4W=0-lxl+lxl=0,

AMLn，

又平面SCD,

.?.NM〃平面SCD

(2)?點C的坐標為(2,2,0),

二.SC=(2,2,-2),

設平面CDM的法向量為］=(再,M,4),

14/79

vDM=(-1,1,1),

,ncCD=O,J-x1-2y1=0,

,?I----?即J八

nxDM=0.〔一國+%+4=0.

可求得平面COM的一個法向量4=(2,-1,3),

設直線SC與平面CDM所成角為6,

則si*ms?,、[渭=

，直線SC與平面CDM所成角的正弦值為里.

21

題型二：線線垂直、線面垂直及面面垂直

9.如圖，已知正方體4邊長為2.

(1)證明：BD1A.C.

(2)求二面角A.-BD-C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)_，

【詳解】(1)方法一：連接NC,設/CnAD=O,在正方形/BCD中，AC1BD,

?：在正方體ABCD-44G4中441平面ABCD，且8。u平面ABCD

AA11BD,

???44]U平面4力C,4Cu平面且

???瓦)1平面4%。，又&Cu平面4/C

:.BD1AXC

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方法二：在正方體A8CD-44GA中，DD.LAD,DDJDC,AD1DC.

以點。為原點，方，皮，函為尤//軸正方向建立空間直角坐標系，

則。（0,0,0）,/（2,0,0）,4（2,0,2）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,

.?.9=（2,2,0）,4^=（-2,2,-2）,

■.■DBA^C=（2,2,0）-（-2,2-2）=-4+4+0=0,

（2）方法一：連接4。，

?.?△BCD中，BC=DC,。為50的中點,

CO±BD,

在正方體ABCD-44GA,AXD=AtB,

在AA、BD中4。1BD,

所以ZAfiC即為二面角的平面角，

?.?在△，℃中，oc=4i，4。=痛，A1c=2也

4Q2+OC2-4C2_V3

由余弦定理可cosN4QC=--

2A{OOCT

16/79

方法二：平面BCD，z軸，所以點=(0,0,1)為平面BCD的一個法向量,

設平面的法向量%=(x,%z)

因為西=(2,0,2),麗=(2,2,0)

-n2=2x+2z=0

加2=2x+2》=0

令ex=l,貝！=z=-1,

所以瓶=(i,T-i)為平面4即的一個法向量,

/.cosn^n=

23

觀察圖形可得二面角4-8。-。的平面角為鈍角，

所以二面角4-2D-C的余弦值一

3

一—?1——?

10.如圖所示，MA15FffiABCD,底面4BCQ邊長為1的正方形，MA=2f尸是上一點，^CP=-CM.

(1)建立適當的坐標系并求點尸坐標;

(2)求證：MB1DP.

17/79

「442、

【答案】⑴答案見解析，證明見解析

【詳解】(1)因為M4_L平面/BCD,且N2,4Du平面4BC。，

所以，AM±AB,AM±AD,

在正方形ABCD中，AB1AD,

所以,AD,AM兩兩垂直，

如圖，以A為原點，方向為x、》、z軸，建立空間直角坐標系/-孫z,

因為底面48co邊長為1的正方形，MA=2,

則C(l,l,0),M(0,0,2),5(1,0,0),D(0,1,0),CM=(-1-1,2),

設尸(x,y,z),

—?1——?1

由。尸=1CN,可得(x—1/—1,Z)=M(T，T，2),

442(442、

解得=即尸不中1.

—.—?(412、

(2)因為也=(1,0,-2),DP=二,一十二，

—?44

所以，MBDP=-+0--=Q,則〃5_1_￡)尸，

所以，MBVDP.

11.如圖，在四棱錐P-/2CD中，尸。_L底面48C。，底面/3CD是正方形，PD=AD=2,E是PA的中

—?1—■

點，PF=-PB.

18/79

⑴求叩

(2)證明：DEIBP-

(3)求cos而，冠的值.

73

T

因為尸底面/BCD,底面/2CA是正方形，故建立如圖所示的空間直角坐標系,

則0(0,0,0),3(2,2,0),P(0,0,2),

、

而尸—尸?=］1尸—8?,故尸(匕2，2§，4小，

±.|—I14o16276

故\DF\=J—X2H--=---.

1V993

(2)因為力(2,0,0),故第1,0,1),故瓦=(1,0,1),而=(—2,—2,2),

所以瓦?麗=—2+2=0，所以發_L而.

(3)由(1)、(2)可得而而0(0,2,0),

2+4.0

EFAC3

故就=(-2,2,0),故cos但尸,40=33_

EFCV62

\￥\x-----

3

12.如圖，在四棱錐尸-45C7)中，底面/BCD為矩形，尸。_1底面45。。，AD=1,PD=DC=2,E是PC

的中點，作EFLPB交PB于點F.

19/79

p

業—

⑴求證：P3_L平面EFD；

(2)求8月的長；

(3)求平面EFD與平面BDE夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)^(3)第

【詳解】(1)以。為原點，DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系。-孫z.

由題意知：尸(0,0,2),5(1,2,0),￡(0,1,1),

則麗=(1,2,-2),方=(0,1,1).

,*,PBDE=0+2-2=0

二?PB1DE

又,:PBLEF,EFcDE=E,EF,DEu平面DEF,

平面。斯.

(2)由題意知：麗=(-1,-2,2),麗=(1,1,一1).

設而=2而(0W2V1),

UULiL1ULLILIB

貝1」石/二￡8+8/=。,1,_1)+丸(_1,_2,2)=(1_41_242；1_1).

PBLEF,

???EF?BP=。，

即=0,

20/79

展開有：A-l+42-2+4A-2=0,

解得：A=|.

—?5—?

故BF=§BP,

則有網冏=:

(3)由題意知：麗=(1,2,0),瓦=(0,1,1),

設平面ED8的法向量撫=(x,y,z),

，.m-DB=0x+2y=0/、

有一貝1]'八，令了=1,則成=一2,1,-1,

m-DE=0[y+z=0

由(1)知P8_L平面DEF,則平面廠的一個法向量為麗=(-1,一2,2),

設平面EDB與平面DEF所成的角為0,

則cose=卜,而卜|前前一[院曰=%

所以平面瓦用與平面DM夾角的余弦值為逅.

9

13.如圖，在棱長均為2的正四棱柱中，DD^2DE,DB=IDF,函=3力，《=2而，用空間向量

法解決下列三個問題：

(1)證明：EF±SjC；

(2)求異面直線EF與Cfi夾角的余弦值;

(3)求呂〃的長度.

【答案】(1)證明見解析(2)場(3)巫

153

【詳解】(1)

21/79

以。為坐標原點，DA、DC、所在直線為x、了、z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系。-xyz,

則由題意得磯0,0,1),F(1,1,0),4(2,2,2),C(0,2,0),

G(0,2,2),G(0,g,0),

因為E尸=(1,1,-1),4c=(-2,0,—2),

所以麗?瓦4=1x(-2)+1x0-lx(-2)=0,

所以麗，麻，所以E尸，4c.

（2）由（1）可得麗=（1,1,一1）,qG=[o,-1,-2

EF-Cfi

所以卜os而，而卜

EF\jCfi

4

3_V30

限"15?

3

故異面直線EF與GG夾角的余弦值為叵.

15

(3)由(1)可得瓦斤

14.如圖，四棱錐P-/2C。的底面是矩形，AB=242,BC=4,△尸ZD是等邊三角形，平面尸平面

ABCD,。為的中點，W在線段尸C上且滿足PM=gpC,/C與8。相交于點E.

22/79

⑴求證：/C_L平面P3O；

(2)求直線E"與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)5

【詳解】(1)法一：QVR1D為正三角形，。為AD中點，.?.P0L4D,

???平面平面48c。，交線為尸Ou平面R1D,

;.PO_L平面ABCD,

由于￡。和OD均在平面ABCD內，

POYOE,PO1OD,

???四棱錐尸-/BCD的底面是矩形，且。為/。的中點，E為NC的中點，.?.￡0,40,；.0￡,。。,0尸兩兩垂

直，

以。為原點，OE,OC,。尸所在直線分別為x,外z軸建立空間直角坐系,

/（0,-2,0）,8（2倉一2,0）,C（2/2,0）。。2,0）尸（）,0,2不，（啟,0）,

AC=（2A/2,4,0）,OB=（272,-2,0）,OP=（0,0,2）,

OB-m=Q2A/2X-2J=0

設平面P08的法向量為應=(x,%z),貝1|，

OP-m=0'2z=0

令x=JI，得玩=(&,2,0),

可知衣=2況二/_L平面尸。3,即/C_L平面尸08

23/79

法二：QVP/D為正三角形，。是工。中點，，尸

???平面PAD±平面ABCD,平面HOC平面ABCD=AD,POu平面PAD,：.PO±平面ABCD,

又4Cu平面ABCD,:.PO±AC,-.-四邊形ABCD為矩形，。為/。的中點，

_11―4―OAAB\

AO=—AD=—BC=2,在7?以0/8和RIA/BC中，'*'――=――=—f=,

22ABBCV2

Rt^OAB?Rt^ABC,:.ZABO=ZACB,ZBOA=ZCAB,

ZBAC+ZABO=ZBAC+ZACB=90°;.AC1BO,

又PO,30在平面尸。8內且相交，故.1/C，平面尸50.

(2)?:PM=；PC面=(6,2,0)芹=(-272,-2,273),

——?2—?(-4-42-4473^——?—?-—??—?[-412

:.CM=-CP=—^―,—，^―,EM=EC+CM=EC+-CP=,

33333333

CD=(-2V2,0,0),CP=(-2V2,-2,2V3)，設平面PCD法向量為力二(xJ,z),

岳

CDn=0即[-2亞龍-=20了+26=0

則取y=G，得力=(0,6,1),

CPn=0

設直線W與平面PCD所成角為9,

——

,_.,n-EM—2出—也

sin0-cos〈用EM)\=---------

11n\\EM了2后2,

-6、

，直線,與平面尸。所成角的正弦值日

15.如圖，在棱長為2的正方體中，E,尸分別為。口,她的中點，點G在CD上且CG=(CZ)

(1)求證：EF1B.C；

(2)求EF與CG所成角的余弦值；

(3)求平面EFD與平面4GG所成的二面角的正弦值.

24/79

【答案】(1)證明見解析；(2)且⑶MI.

317

【詳解】(1)在棱長為2的正方體NBC。-44G〃中，建立如圖所示的空間直角坐標系,

3

則￡>(0,0,0),E(0,0,l),F(l,l,0),丹(2,2,2),C(0,2,0),Q0,-,0),Q0,2,2),

于是麗=(1,1,一1),^C=(-2,0,-2),貝1J礪?麻=lx(-2)+0+(-l)x(-2)=0,

即￡F_L8]C,所以

(2)由(1)知，GC=(0,1,0),

一.?^F-GCO+lx^+O

貝ljcosV￡T^CG)=-------4——=——

\EF\\CG\百/3

2

所以的與CG所成角的余弦值為理

3

(3)由(1)知，DE=(0,0,1),DF=(1,1,0),=(-2,0,0),GC；=(0,1,2),

m-DE=c=0

設平面房D的法向量方=(見8c)，貝IJ

m-DF=a+b=0

取4=1,得小=(1,—1,0),

m?B]G=-2x=0

設平面4GG的法向量〃=(x,y,z),貝卜-1，

m-GCx=-y+2z=0

取z=1,得〃=(0,-4,1)，

設平面EFD與平面4。。所成的二面角的大小為6,

\m-n\_4_2&

貝！J|cos0\=\cos(m,ri)\=

\m\\n\~五x歷一歷

25/79

所以平面即D與平面耳QG所成的二面角的正弦值sin0=Jl-cos2=巫.

17

16.如圖，在四棱錐S-4BCD中，底面/8CA為直角梯形，SN，底面43C。，且有

ADHBC,AD1AB,AD=AB=2BC,AABS為等腰直角三角形.

（1）證明：ADLSB-,

（2）求二面角3-SO-C的平面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）孚

【詳解】（1）由題意得，AD=AB=AS=2BC,設3c=1,則4D=48=/S=2.

以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則/（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,l,0）,￡＞（0,2,0）,5（0,0,2）,

=（0,2,0）,SB=（2,0,-2）,

二而濕=0，ADLSB.

（2）由（1）得，50=（0,2,-2）,SB=（2,0,-2）,CD=（-2,1,0）,

SD-m=2v-2z=Q

設平面BSD的法向量為加=（x/,z），則__

SB-m=2x-2z=0

取x=l,則y=l,z=l,故比=(1,1,1).

26/79

/,,SD-n=2y,-2z,=0

設平面SQC的法向量為元=（咒了,，），貝I」_尸

CDn=-2x,+y,=0

取￡=1,則歹注2,z=2,故為=（1,2,2）,

__m-nl+2+2_56

cosm,n—-；—r；~~r

同司6x3-9

由圖象可知二面角B-SD-C的平面角為銳角，故二面角B-SD-C的平面角的余弦值為述.

9

17.如圖，在正方體/BCD-44GA中，E,F,G,H,K,L濟別是AB,BBl，BlCl，Cn，各棱的中點.

⑴求證：//，平面后網;”/,；

（2）求平面CGH與平面EFGHKL夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）也

3

【詳解】（1）設正方體的棱長為2,以。為原點，分別以。4。。,。2所在直線為陽-2軸，建立空間直角

坐標系;

4（2,0,2）,C（0,2,0）,￡（2,1,0）,尸（2,2,1）,G（l,2,2）,“（0,1,2）,K（l,0,2）,

i（1,0,0）,

進而得至岫量4=（0-2,2-0,0-2）=（-2,2,-2）;

因為即=（2-2,2-1,1-0）=（0,1,1）,

27/79

所以“?麗=(-2)x0+2x1+(-2)x1=0,即&C_L￡尸；

因為麗=(0-2,1-1,2-0)=(-2,0,2),

所以/麗=(-2)x(-2)+2x0+^2)x2=0,即4c，

因為所且EF,EH=平面EFGHKL,

所以&C_L平面EFGHKL.

(2)已知C(0,2,0),G(l,2,2),H(0,l,2),

則詬=(1-0,2-2,2-0)=(1,0,2),西=(0-0,1-2,2-。=(

,、n-CG=0[x+2z=0

設平面CG/Z的法向量為力=(x,y,z),則有|_.，即〈,

fiCH^O[~y+2z^0

(x=-2

令z=l,可得：=2,所以元=(-2,2,1)；

由(1)可知，*=(-2,2,-2)是平面￡FGm2的一個法向量；

設平面CG/7與平面EFGHAZ的夾角為(9,兩平面法向量的夾角為a,貝I]cosd=|cosa|,

n-A,C

根據向量點積公式cos。=?力,