專題01集合、邏輯用語與不等式

考點01集合及運算

1.（24-25高三上?北京朝陽?期末）已知全集。=何一2<尤<2},集合A={x[0<x<l},則（）

A.[-2,0）B.[-2,0）U（l,2]

C.[1,2]D.[-2,0]U[l,2]

【答案】D

【分析】根據補集關系分析運算即可.

【詳解】因為全集。={X-2W2},集合A={x[0<x<l},

所以2A=[-2,0]U[l，2].

故選：D.

易錯分析：在求解不等式解集的交、并、補運算時，一定要注意等號能否取得.

2.（24-25高三上?湖南長沙?期末）已知集合&={“,〃},3={1,4}，若leA,則AU3中所有元素之和為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由leA,求出。=1或。=-1,再分類討論由集合的互異性可求出AU3={-U,4},即可得出答案.

【詳解】由leA得。=1或/=1,解得：。=1或a=-1,

若。=1,則/=1,不符合題意；

若a=—1,A={-1,1},從而AU3={T，1，4},

所以AU3中所有元素之和為4.

故選：C.

3.（24-25高三上?四川成都?期中）已知集合4={1,“+2},8={片,1,3},若對VxeA,都有xe瓦貝U〃為（）

A.1B.-1C.2D.1或2

【答案】C

【分析】得到A=3,分。+2=/和。+2=3兩種情況，求出。，舍去不合要求的解，得到答案.

【詳解】由題意得

當a+2=〃2時，解得〃=2或-1,

當0=2時，3={4,1,3}滿足要求，

當。=-1時，a+2=l,a2=1,A,B中元素均與互異性矛盾，舍去，

當。+2=3時，a=l,此時“2=1,8中元素與互異性矛盾，舍去，

綜上，4=2.

故選：C

易錯分析：根據集合間的關系求參數時，一定要注意檢驗是否滿足元素的互異性.

4.已知集合人={—L2},B={x|mx—l=O,meR},若AUB=A，則所有符合條件的實數機組成的集合是（）

A.1-B.{-1,0,2}C.{-1,2}D.1,0,—j-

【答案】D

【分析】由AUB=A，得到314,分m=0和加工0兩種情況討論，即可求解

【詳解】=A等價于314，

當“2=0時，B=0,此時31符合；

當:〃力0時，B=j—[,因為故工?=-：!或1=2,即機=一1或機=L

[mJmm2

所以符合條件的實數m組成的集合是卜I,。,：1.

故選：D

易錯分析：已知集合間的包含關系人口3求參數時要注意討論A=0,A，0兩種情況.

22

5.已知集合&={尤€昨2-3A18<。},B={xER\x+ax+a-21<0],則下列命題中正確的是（）

A.若4=3,貝指=一3B.若A=3,貝iJa=-3

C.若3=0,則aW-6或D.若a=3,貝!]AcB={x|—3Vx<6}

【答案】ABC

【分析】解一元二次不等式求集合4根據各選項中集合的關系，列不等式或方程求參數值或范圍，判斷4

B、C的正誤，已知參數，解一元二次不等式求集合2,應用交運算求AcB判斷正誤即可.

【詳解】由己知得：A={尤卜3Vx<6},g（x）=x2+ax+a2-21

A：若A”,即一季是方程8。）=°的兩個根,則：[；=T8,得。=3正確;

g(-3)=Q2-3<I-18<0

B：若AqB,貝ljg⑹d+6“+9V。’解得“7,正確;

C：當3=0時，A=a2-4（a2-27）<0,解得。W-6或q?6,正確;

D：當a=3時，有8={尤eq/+3尤-18<。}={尤|一6<》<3},所以AcB={x卜3cx<3},錯誤；

故選：ABC.

6.（2025高三?全國?專題練習）已知集合4={巾6>1},B={x\x<2},若AQBw。，則。的取值范圍

為.

【答案】（-⑸。）嗎，+，|

【分析】對集合&={x|方>1}根據。>0和。<0進行分類討論，再由AQBw。確定不等關系求解即可.

【詳解】因為Ap|5w0,所以A={x|公則awO.

當a〉0時，A=<x\x>—?,由An5w0,得一<2,解得〃>—；

[|QJa2

當a<0時，A=|x|x<|j,此時AABwO,符合條件.

綜上所述，。的取值范圍為（-雙0）。（；,+。]

故答案為：（-QO，°）u[；，+GO）.

7.（2024?河南駐馬店?二模）已知集合A={x|4x2一％-5>o},3={x|x>m}，若相=0,則他A）IB=

若AU3=R,則加的取值范圍為.

【答案】{%|0<X<|}（一8,-1）

【分析】解出集合A中的不等式，利用集合的交并補運算即可求解.

【詳解】4尤?一彳一5>0即（x+D（4x-5）>。，

則A=[x]x>；或x<-lj,

所以々A={x|-lWxW；},

若根=0,則5={%|x>0},

&A）IB={A|0<X<|},

若A|JB=R,B={X\X>m},

則機<-1,故加的取值范圍為

故答案為：｛%|0<尤<二｝；

4

考點02常用邏輯用語

1.（24-25高三上?北京朝陽?期末）是“1嗚戶<1"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由對數函數的單調性，結合充分條件和必要條件的定義即可下結論.

【詳解】當1<〃<772時，log,,,n<log,,,m=l,所以充分性成立；

若log,,,n<l,即log.,n<log,”m,

當0<〃z<l時，n>m,所以1<〃<機不成立，故必要性不成立，

所以是的充分不必要條件.

故選：A

易錯分析：在判斷充分條件、必要條件時一定要弄清相關概念，以防出錯.

2.（24-25高三上?江蘇常州?期末）已知“，b,ceR,則“。，b,c既是等差數列又是等比數列”是“°=6=c”

的（）

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用推出關系去判斷充要關系即可.

【詳解】當。=力=。=0時，6,c是等差數列，不是等比數列，

當a1,c既是等差數列又是等比數列，則q=6=c,

故"a/,c既是等差數列又是等比數列"是“a5=c”的充分不必要條件，

故選：A.

3.（2025高三?全國?專題練習）設XCR,則“2<x<4”是“2工<一’的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】借助數形結合解不等式，結合圖象判斷結果.

【詳解】畫出函數y=f與丁=2工的圖象，如圖所示.

由圖象知，在（0,+8）上,兩函數有2個公共點4（2,4）,5（4,16）,

在（3,0］上，兩函數有一個公共點（％芯）.

觀察圖象可知：在（-叫/）上，2工</;在（%,2）上，2-r>x2;

在（2,4）上，2x<x%在（4,+8）上，恒有2，>幺.

因此，"2<x<4"是2<9”的充分不必要條件,

故選:A.

4.（2024.山東.二模）已知0：1<2”<4,“:尤2_亦_1<0,若。是4的充分不必要條件，則（）

33

A.aN—B.一C.〃>2D.0va<2

22

【答案】A

【分析】首先化簡命題P,依題意可得當0<x<2時--分-1<0恒成立，參變分離可得a>x-1在0<x<2

X

上恒成立，結合函數的單調性計算可得.

【詳解】命題P：l<2*<4,即。：0<x<2,

因為。是4的充分不必要條件，

顯然當x=0時滿足q：x2-ax-1<0,

所以當0<x<2時Y-ax-lvO恒成立，

貝在0<x<2上恒成立，

x

1Q

又函數〃力=尤-1在（0,2）上單調遞增，且"2）=；,

所以“巧3

故選：A

易錯分析：已知充分、必要條件求參數范圍，一定注意正確轉化為集合間的包含關系再求

解.

5.（23-24高三上?浙江寧波?期末）命題“王《-2』，V-x-o>0”為假命題的一個充分不必要條件是（）

A.aW—B.Q?0C.a>6D.a>8

4

【答案】D

【分析】首先轉化為存在量詞命題的否定，求參數。的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項.

【詳解】若命題“天目-2』，/_彳">0”為假命題，

2

則命題的否定“以e[-2,1],x-x-a<0”為真命題，

即aWd-x，xw[—2』恒成立，

『2_尤=[_]_:,xe[-2,l],當天=_2,取得最大值y=6,

所以"26,選項中只有是｛a|aN6｝的真子集，

所以命題“Hxe[-2,1],無2-x-a>0”為假命題的一個充分不必要條件為

故選：D

易錯分析：要注意“A是3的充分條件”和“A的充分條件是3”的區別.

6.已知=-3,則〃x）<5的一個必要不充分條件是（）

A.x>—4B.%>—3C.xv—2D.x<—3

【答案】A

【分析】根據題意，利用指數函數的性質，求得不等式/（X）<5的解集，結合選項，以及必要不充分條件的

判定方法，即可求解.

【詳解】由不等式〃x）<5,可得-3<5,即仁]<8,解得x>-3,

結合選項，可得了（同<5的一個必要不充分條件為x>-4.

故選：A.

7.（2024.重慶?三模乂多選）命題“存在1>0,使得作2+2%_1>（），，為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.m>—2B.m>—\C.m>0D.m>1

【答案】CD

【分析】根據題意，轉化為存在尤>0,設定〃?>號，利用二次函數的性質，求得匕學的最小值為-1,

求得加的取值范圍，結合充分不必要條件的定義和選項，即可求解.

【詳解】由題意，存在x>0,使得力/+2》一1>0,即機>士乎=（J_）2-2X』=（L-1）2-1,

XXXX

1i-2r

當上一1=0時，即尤=1時，的最小值為一1,故加>一1；

Xx~

所以命題“存在尤>0,使得皿2+2x_1>0”為真命題的充分不必要條件是｛rn\砂-1｝的真子集，

結合選項可得，C和D項符合條件.

故選：CD.

8.（24-25高三上?天津河北?期末）命題P：3x<0,尤2-2x+a40的否定是（）

A.\/x>-09爐—2%+a<0B.>0,%2—2X+Q?0

C.Vx<0,x1—2x+a>0D.Hx<0,x2—2x+tz>0

【答案】C

【分析】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.

【詳解】命題P：/一2%+々40為存在量詞命題，

其否定為：Vx<0,X2-2X+?>0.

故選：C

易錯分析：寫全稱命題和存在量詞命題的否定要注意兩點：一是轉換量詞；二是否定結論.

9.（2024?四川?模擬預測）已知命題“V%￡[l,4],e”——相>0”為真命題，則實數加的取值范圍為（）

x

A.（?,e—2]B.1―8,eJ；C.[e-2,+co）D.e4—g,+oo]

【答案】A

【分析】分離參數根We-7求函數/（%）=e。不％41,4]的最小值即可求解.

79

【詳解】因為命題4],e。、-根20”為真命題，所以7

令〃》）=二七"?1,4]?=/與丫=-：在[1,4]上均為增函數，

故"X）為增函數，當x=l時，/（X）有最小值e-2,BPm<e-2,

故選：A.

10.（24-25高三上?山西?階段練習）若命題p：Ae[-2,2],使得V-2犬-蘇+2機20為假命題，則實數加的

取值范圍為（）

A.（-oo,l）u（l,+oo）B.（-oo,0）u（2,+<?）

C.（-oo,-4）u（2,+oo）D.（-<z>,-2）u（4,+oo）

【答案】D

【分析】問題轉化為當-24xW2時，d-2x-療+2機<0恒成立，利用二次函數的性質，求出

/（力=/—2%-冽2+2根在12,2]上的最大值，解不等式求實數機的取值范圍即可.

【詳解】因為P為假命題，所以力:Vxe[-2,2],/-2工-蘇+2〃7<0為真命題，

22

即當-24xW2時，x-2x-m+2m<0恒成立.

因為函數/（力=無2—2%—〃22+2〃2=（%-1）2一〃22+2〃?-1圖象的對稱軸為％=1,

所以當-24x42時，/（-2）=-m2+2m+8,所以-加？+2〃?+8<0,

即加2-2m-8>0,解得加<-2或〃?>4,

即實數機的取值范圍為（-8,-2）。（4,+8）.

故選：D.

易錯分析：不等式的恒成立問題和有解一般都要轉化為函數的最值問題.

9

11.（2024.黑龍江.模擬預測）（多選）已知命題"Vxe[l,4],/——根20”為真命題，則實數機的可能取值

X

是（）

A.-1B.0C.1D.e

【答案】AB

【分析】先利用題給條件求得實數機的取值范圍，進而得到實數機的可能取值.

9

【詳解】因為命題"Vxe[l,4],er-―-m20”為真命題，

X

所以Vxe[l,4],機We'-；,

令〃x）=e'-；,xe[l,4],則（（x）=ex+亍>0,

可知/（x）為增函數，當x=l時，“X）有最小值〃l）=e-2,

故實數m的取值范圍為mWe-2,

故選：AB.

考點03不等式

1.(2024?北京海淀?三模)下列命題中，真命題的是()

A.若a<b,貝B.若a>b,貝!J/〉。/,〉/

ab

C.若0<a<6<c,則log,a<log,6D.若a+26=2,貝1」2"+4》“

【答案】D

【分析】舉反例即可判斷ABC,根據基本不等式和指數運算即可判斷D.

【詳解】對A,當。=-1/=1時，則!<1,故A錯誤；

ab

對B,當〃=-1涉=一2時，貝1」。2=1,仍=2,則/〈必，故B錯誤；

對C,當0<。<1時，根據對數函數單調性知log,1。&萬，故C錯誤；

對D,若。+2/?=2,貝lj2。+4,2212cl.4"=212。+2b=4，

當且僅當。=1,6=1時取等號，故D正確.

2

故選：D.

2.(2025高三?全國?專題練習)若a>b>0,那么下列不等式一定不成立的是()

Z?+1bcibI—11

A.>—B.—<—C.a>y/ab>bD.QH—>bT-\—

a+1ababa

【答案】B

【分析】利用作差法判斷AD,利用不等式的性質判斷BC.

.、-,,Z?+1ba(b+1)-b(a+1)a-b_.,一?，

【詳解】對于A,因為a>b>0,所以-T7一一=/,n=(工代〉。，故A正確；

a+1aa(a+1)a(a+1)

對于B,因為。>6>0,所以，>l>2>0,故B錯誤；

ba

對于C,因為a>>>0,y/a>\fb,yfa>0,所以

因為血〉石，y[b>0,所以所以a〉〉b,故C正確；

對于D,a+Y-b--=(a-by[l+-^—\>0,故D正確.

ba\abJ

故選：B

易錯分析:利用不等式的性質判斷不等關系式時,一定要注意不等式性質成立的前提條件.

3.(2025高三?全國?專題練習)已知集合4=舊-%2+5%<0},5={%|區<3},則&A)U5=()

A.[0,3）B.[-3,3)C.(-3,5)D.(-3,5]

【答案】D

【分析】解出集合A、B,利用補集和并集的定義可求得集合（\A）U3.

【詳解】由一爐+5彳<0,得無2-5彳>0,解得尤<0或x>5,貝I]A={x|x<0或x>5},

由國<3,得一3<x<3,所以%A={x|0VxV5},3={無卜3c尤<3},

所以（々A）u3={尤卜3<x45}.

故選：D.

易錯分析：解一元二次不等式時要注意二次項系數的符號，它決定了不等式解集的性質.

2

4.（23-24高一上?河南濮陽?階段練習）已知關于x的一元二次不等式ax+bX-c<0的解集為{x13<x<5},

則不等式52+灰一。>0的解集為（）

A.卜卜或B,“卜<_：或

c.D.卜,<",

【答案】D

【分析】由題意可得。>0且方程62+灰一,=（）的解為3,5,利用韋達定理將瓦c用。表示，再根據一元二次

不等式的解法即可得解.

【詳解】因為關于x的一元二次不等式灰-c<0的解集為{x[3<x<5},

所以。>0且方程ax?+法一0=0的解為3,5,

bc

所以一一=8,--=15,所以6=-8a,c=-15o,

aa

則不等式cf>0,即為不等式-ISav,-8ax-a>0,

則15爐+8無+1<0,解得一g<x<-g,

所以不等式ex2+bx-a>0的解集為卜|一,<x<--:.

故選：D.

易錯分析：通過一元二次不等式的解集，可以判斷其對應的二次函數的開口和零點.

5.對于任意實數x,不等式（a-2）元2-2（。-2）x-4<0恒成立，則實數a取值范圍為（）

A.(-<?,2)B.(-<?,2]C.(-2,2)D.(-2,2]

【答案】D

【分析】分類討論，利用判別式小于0,即可得到結論

【詳解】當。-2=0,即。=2時，T＜0,恒成立；

2

當“一2"時'U-2）+W-2）＜0'解之得一2＜"2，

綜上可得-2＜。（2

故選：D

易錯分析：一元二次型不等式在R上的恒成立問題，要注意討論二次項是否可以為零.

2+3

6.（24-25高三上?山東濟南?階段練習）已知xwR,則%/的最小值為（）

+2

A.1B.J2C.2D.還

2

【答案】D

【分析】換元，利用對勾函數的單調性求出最小值.

【詳角軍】令0+2=tN也,則++

而函數＞=/+；在［夜,+oo）上單調遞增，

所以當f=即x=0時，叁土取得最小值述.

Jx+22

故選：D

7.若函數〃刃=尤+」（尤＞2）在x=a處取得最小值，則。等于（）

X—2

A.1+72B.1+＞/3C.3D.4

【答案】C

【分析】由〃尤）=%+'；=尤-2+'；+2,利用基本不等式求解.

x-2x-2

【詳解】解：因為函數〃"=尤+'=尤一2+二+222n加工+2=4,

x2x2Yx2

當且僅當尤-2=」，即x=3時，等號成立，

所以a等于3,

故選：C

易錯分析：利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件是否成立.

8.（23-24高三上.上海楊浦?期中）關于x的不等式上二20的解集是.

X

【答案】｛小―

【分析】利用分式不等式的解法求解即可.

【詳解】因為二20,

所以卜解得尤＜0或h3,

["0

所以一20的解集為｛小＜0或x23｝.

故答案為：｛小＜0或-3｝.

9.不等式"n尤的解集是_______.

x-1

【答案】(-oo,-l]u(l,5]

【分析】移項通分得0+1)(：一叭0,即產：)f+l)(x-5)W0,再利用穿根法即可得到答案.

x-1"-130

【詳解】即3尤+5-/+苫20,即(x+l)(x5).0,

X-1X-1x-1

2：),+l)(x-5)V0,根據穿根法解得

wO

故答案為：(-a＞,-l]u(l,5].

易錯分析：分式不等式一般轉化為整式不等式求解，要注意轉化的等價性，避免造成取

值范圍的變大.

專題01集合、邏輯用語與不等式

考點01集合及運算

1.（24-25高三上?北京朝陽?期末）已知全集。=何一2<尤<2},集合A={x[0<x<l},則（）

A.[-2,0）B.[-2,0）U（l,2]

C.[1,2]D.[-2,0]U[l,2]

易錯分析：在求解不等式解集的交、并、補運算時，一定要注意等號能否取得.

2.（24-25高三上?湖南長沙?期末）已知集合4={〃,。2},3={L4}，若leA,則A[JB中所有元素之和為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（24-25高三上?四川成都?期中）已知集合4={1,。+2},8={",1,3},若對VxeA,都有xe瓦貝段為（）

A.1B.-1C.2D.1或2

易錯分析：根據集合間的關系求參數時，一定要注意檢驗是否滿足元素的互異性.

4.已知集合4={-1,2},3={幻"a-l=0,mcR},若AU3=A，則所有符合條件的實數加組成的集合是（）

A.bB.{-1,。,2}C.{-1,2}D.1,0,—j>

易錯分析：已知集合間的包含關系求參數時要注意討論A=0,A，0兩種情況.

5.已知集合A={尤e氏卜2—3x—18<B={xe+ox+a~-27<。},則下列命題中正確的是（）

A.若4=3,則。=—3B.若4=3,則。=一3

C.若3=0,則或aN6D.若。=3,則ACB={H_3<x<6}

6.（2025高三?全國?專題練習）已知集合4={刈6>1},B={x\x<2},若4口3/0,則。的取值范圍

為.

7.（2024?河南駐馬店一二模）己知集合4={^4尤2-尤-5>。},3={討彳>m}，若m=0,則（々A）IB=；

若AU8=R,則加的取值范圍為.

考點02常用邏輯用語

1.（24-25高三上?北京朝陽?期末）是“1鳴/<1"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

易錯分析：在判斷充分條件、必要條件時一定要弄清相關概念，以防出錯.

2.（24-25高三上?江蘇常州?期末）已知。，b,ceR,則“。，6,。既是等差數列又是等比數列”是“a=6=c”

的（）

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2025高三全國?專題練習）設xeR,則“2<x<4”是“2工〈尤2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024?山東?二模）已知p:l<2'<4,q-.x1-ax-l<Q,若。是4的充分不必要條件，則（）

33

A.〃之一B.一C.a>2D.0va<2

22

易錯分析：已知充分、必要條件求參數范圍，一定注意正確轉化為集合間的包含關系再求

解.

5.（23-24高三上?浙江寧波?期末）命題“王石-彳-4>0”為假命題的一個充分不必要條件是（）

A.QW—B.C.a26D.aN8

4

易錯分析：要注意“A是3的充分條件”和“A的充分條件是3”的區別.

6.已知=-3,則“X）<5的一個必要不充分條件是（）

A.x>—A-B.x>—3C.—2D.%<—3

7.（2024.重慶.三模）（多選）命題“存在%>0,使得作2+2%_1>（），，為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.m>-2B.m>-lC.m>0D.m>l

8.（24-25高三上?天津河北?期末）命題P：3x<0,爐_2%+Q<0的否定是（）

A.\/x>09爐―2%+a?0B.>0,爐—2x+aV0

C.Vx<0,x1—2x+a>0D.Hx<0,—2x+a>0

易錯分析：寫全稱命題和存在量詞命題的否定要注意兩點：一是轉換量詞；二是否定結論.

9.（2024?四川?模擬預測）已知命題“V%￡[l,4],e、——根>0”為真命題，則實數加的取值范圍為（）

x

A.（v,e—2]B.1―oo,eJgC.[e-2,+oo）D.e,—g+oo]

10.（24-25高三上?山西?階段練習）若命題。玉目-2,2],使得2x—病+2加之0為假命題，則實數用的

取值范圍為（）

A.（-8,l）D（l,+8）B.（-8,0）D（2,+8）

C.（-8,T）U（2,+8）D.（-00,-2）u（4,+00）

易錯分析：不等式的恒成立問題和有解一般都要轉化為函數的最值問題.

n.（2024.黑龍江.模擬預測）（多選）己知命題"