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文檔簡介
專題01集合、邏輯用語與不等式
考點01集合及運算
1.(24-25高三上?北京朝陽?期末)已知全集。=何一2<尤<2},集合A={x[0<x<l},則()
A.[-2,0)B.[-2,0)U(l,2]
C.[1,2]D.[-2,0]U[l,2]
【答案】D
【分析】根據補集關系分析運算即可.
【詳解】因為全集。={X-2W2},集合A={x[0<x<l},
所以2A=[-2,0]U[l,2].
故選:D.
易錯分析:在求解不等式解集的交、并、補運算時,一定要注意等號能否取得.
2.(24-25高三上?湖南長沙?期末)已知集合&={“,〃},3={1,4},若leA,則AU3中所有元素之和為()
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【分析】由leA,求出。=1或。=-1,再分類討論由集合的互異性可求出AU3={-U,4},即可得出答案.
【詳解】由leA得。=1或/=1,解得:。=1或a=-1,
若。=1,則/=1,不符合題意;
若a=—1,A={-1,1},從而AU3={T,1,4},
所以AU3中所有元素之和為4.
故選:C.
3.(24-25高三上?四川成都?期中)已知集合4={1,“+2},8={片,1,3},若對VxeA,都有xe瓦貝U〃為()
A.1B.-1C.2D.1或2
【答案】C
【分析】得到A=3,分。+2=/和。+2=3兩種情況,求出。,舍去不合要求的解,得到答案.
【詳解】由題意得
當a+2=〃2時,解得〃=2或-1,
當0=2時,3={4,1,3}滿足要求,
當。=-1時,a+2=l,a2=1,A,B中元素均與互異性矛盾,舍去,
當。+2=3時,a=l,此時“2=1,8中元素與互異性矛盾,舍去,
綜上,4=2.
故選:C
易錯分析:根據集合間的關系求參數時,一定要注意檢驗是否滿足元素的互異性.
4.已知集合人={—L2},B={x|mx—l=O,meR},若AUB=A,則所有符合條件的實數機組成的集合是()
A.1-B.{-1,0,2}C.{-1,2}D.1,0,—j-
【答案】D
【分析】由AUB=A,得到314,分m=0和加工0兩種情況討論,即可求解
【詳解】=A等價于314,
當“2=0時,B=0,此時31符合;
當:〃力0時,B=j—[,因為故工?=-:!或1=2,即機=一1或機=L
[mJmm2
所以符合條件的實數m組成的集合是卜I,。,:1.
故選:D
易錯分析:已知集合間的包含關系人口3求參數時要注意討論A=0,A,0兩種情況.
22
5.已知集合&={尤€昨2-3A18<。},B={xER\x+ax+a-21<0],則下列命題中正確的是()
A.若4=3,貝指=一3B.若A=3,貝iJa=-3
C.若3=0,則aW-6或D.若a=3,貝!]AcB={x|—3Vx<6}
【答案】ABC
【分析】解一元二次不等式求集合4根據各選項中集合的關系,列不等式或方程求參數值或范圍,判斷4
B、C的正誤,已知參數,解一元二次不等式求集合2,應用交運算求AcB判斷正誤即可.
【詳解】由己知得:A={尤卜3Vx<6},g(x)=x2+ax+a2-21
A:若A”,即一季是方程8。)=°的兩個根,則:[;=T8,得。=3正確;
g(-3)=Q2-3<I-18<0
B:若AqB,貝ljg⑹d+6“+9V。’解得“7,正確;
C:當3=0時,A=a2-4(a2-27)<0,解得。W-6或q?6,正確;
D:當a=3時,有8={尤eq/+3尤-18<。}={尤|一6<》<3},所以AcB={x卜3cx<3},錯誤;
故選:ABC.
6.(2025高三?全國?專題練習)已知集合4={巾6>1},B={x\x<2},若AQBw。,則。的取值范圍
為.
【答案】(-⑸。)嗎,+,|
【分析】對集合&={x|方>1}根據。>0和。<0進行分類討論,再由AQBw。確定不等關系求解即可.
【詳解】因為Ap|5w0,所以A={x|公則awO.
當a〉0時,A=<x\x>—?,由An5w0,得一<2,解得〃>—;
[|QJa2
當a<0時,A=|x|x<|j,此時AABwO,符合條件.
綜上所述,。的取值范圍為(-雙0)。(;,+。]
故答案為:(-QO,°)u[;,+GO).
7.(2024?河南駐馬店?二模)已知集合A={x|4x2一%-5>o},3={x|x>m},若相=0,則他A)IB=
若AU3=R,則加的取值范圍為.
【答案】{%|0<X<|}(一8,-1)
【分析】解出集合A中的不等式,利用集合的交并補運算即可求解.
【詳解】4尤?一彳一5>0即(x+D(4x-5)>。,
則A=[x]x>;或x<-lj,
所以々A={x|-lWxW;},
若根=0,則5={%|x>0},
&A)IB={A|0<X<|},
若A|JB=R,B={X\X>m},
則機<-1,故加的取值范圍為
故答案為:{%|0<尤<二};
4
考點02常用邏輯用語
1.(24-25高三上?北京朝陽?期末)是“1嗚戶<1"的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由對數函數的單調性,結合充分條件和必要條件的定義即可下結論.
【詳解】當1<〃<772時,log,,,n<log,,,m=l,所以充分性成立;
若log,,,n<l,即log.,n<log,”m,
當0<〃z<l時,n>m,所以1<〃<機不成立,故必要性不成立,
所以是的充分不必要條件.
故選:A
易錯分析:在判斷充分條件、必要條件時一定要弄清相關概念,以防出錯.
2.(24-25高三上?江蘇常州?期末)已知“,b,ceR,則“。,b,c既是等差數列又是等比數列”是“°=6=c”
的()
A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用推出關系去判斷充要關系即可.
【詳解】當。=力=。=0時,6,c是等差數列,不是等比數列,
當a1,c既是等差數列又是等比數列,則q=6=c,
故"a/,c既是等差數列又是等比數列"是“a5=c”的充分不必要條件,
故選:A.
3.(2025高三?全國?專題練習)設XCR,則“2<x<4”是“2工<一’的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】借助數形結合解不等式,結合圖象判斷結果.
【詳解】畫出函數y=f與丁=2工的圖象,如圖所示.
由圖象知,在(0,+8)上,兩函數有2個公共點4(2,4),5(4,16),
在(3,0]上,兩函數有一個公共點(%芯).
觀察圖象可知:在(-叫/)上,2工</;在(%,2)上,2-r>x2;
在(2,4)上,2x<x%在(4,+8)上,恒有2,>幺.
因此,"2<x<4"是2<9”的充分不必要條件,
故選:A.
4.(2024.山東.二模)已知0:1<2”<4,“:尤2_亦_1<0,若。是4的充分不必要條件,則()
33
A.aN—B.一C.〃>2D.0va<2
22
【答案】A
【分析】首先化簡命題P,依題意可得當0<x<2時--分-1<0恒成立,參變分離可得a>x-1在0<x<2
X
上恒成立,結合函數的單調性計算可得.
【詳解】命題P:l<2*<4,即。:0<x<2,
因為。是4的充分不必要條件,
顯然當x=0時滿足q:x2-ax-1<0,
所以當0<x<2時Y-ax-lvO恒成立,
貝在0<x<2上恒成立,
x
1Q
又函數〃力=尤-1在(0,2)上單調遞增,且"2)=;,
所以“巧3
故選:A
易錯分析:已知充分、必要條件求參數范圍,一定注意正確轉化為集合間的包含關系再求
解.
5.(23-24高三上?浙江寧波?期末)命題“王《-2』,V-x-o>0”為假命題的一個充分不必要條件是()
A.aW—B.Q?0C.a>6D.a>8
4
【答案】D
【分析】首先轉化為存在量詞命題的否定,求參數。的取值范圍,再求其真子集,即可判斷選項.
【詳解】若命題“天目-2』,/_彳">0”為假命題,
2
則命題的否定“以e[-2,1],x-x-a<0”為真命題,
即aWd-x,xw[—2』恒成立,
『2_尤=[_]_:,xe[-2,l],當天=_2,取得最大值y=6,
所以"26,選項中只有是{a|aN6}的真子集,
所以命題“Hxe[-2,1],無2-x-a>0”為假命題的一個充分不必要條件為
故選:D
易錯分析:要注意“A是3的充分條件”和“A的充分條件是3”的區別.
6.已知=-3,則〃x)<5的一個必要不充分條件是()
A.x>—4B.%>—3C.xv—2D.x<—3
【答案】A
【分析】根據題意,利用指數函數的性質,求得不等式/(X)<5的解集,結合選項,以及必要不充分條件的
判定方法,即可求解.
【詳解】由不等式〃x)<5,可得-3<5,即仁]<8,解得x>-3,
結合選項,可得了(同<5的一個必要不充分條件為x>-4.
故選:A.
7.(2024.重慶?三模乂多選)命題“存在1>0,使得作2+2%_1>(),,為真命題的一個充分不必要條件是()
A.m>—2B.m>—\C.m>0D.m>1
【答案】CD
【分析】根據題意,轉化為存在尤>0,設定〃?>號,利用二次函數的性質,求得匕學的最小值為-1,
求得加的取值范圍,結合充分不必要條件的定義和選項,即可求解.
【詳解】由題意,存在x>0,使得力/+2》一1>0,即機>士乎=(J_)2-2X』=(L-1)2-1,
XXXX
1i-2r
當上一1=0時,即尤=1時,的最小值為一1,故加>一1;
Xx~
所以命題“存在尤>0,使得皿2+2x_1>0”為真命題的充分不必要條件是{rn\砂-1}的真子集,
結合選項可得,C和D項符合條件.
故選:CD.
8.(24-25高三上?天津河北?期末)命題P:3x<0,尤2-2x+a40的否定是()
A.\/x>-09爐—2%+a<0B.>0,%2—2X+Q?0
C.Vx<0,x1—2x+a>0D.Hx<0,x2—2x+tz>0
【答案】C
【分析】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.
【詳解】命題P:/一2%+々40為存在量詞命題,
其否定為:Vx<0,X2-2X+?>0.
故選:C
易錯分析:寫全稱命題和存在量詞命題的否定要注意兩點:一是轉換量詞;二是否定結論.
9.(2024?四川?模擬預測)已知命題“V%£[l,4],e”——相>0”為真命題,則實數加的取值范圍為()
x
A.(?,e—2]B.1―8,eJ;C.[e-2,+co)D.e4—g,+oo]
【答案】A
【分析】分離參數根We-7求函數/(%)=e。不%41,4]的最小值即可求解.
79
【詳解】因為命題4],e。、-根20”為真命題,所以7
令〃》)=二七"?1,4]?=/與丫=-:在[1,4]上均為增函數,
故"X)為增函數,當x=l時,/(X)有最小值e-2,BPm<e-2,
故選:A.
10.(24-25高三上?山西?階段練習)若命題p:Ae[-2,2],使得V-2犬-蘇+2機20為假命題,則實數加的
取值范圍為()
A.(-oo,l)u(l,+oo)B.(-oo,0)u(2,+<?)
C.(-oo,-4)u(2,+oo)D.(-<z>,-2)u(4,+oo)
【答案】D
【分析】問題轉化為當-24xW2時,d-2x-療+2機<0恒成立,利用二次函數的性質,求出
/(力=/—2%-冽2+2根在12,2]上的最大值,解不等式求實數機的取值范圍即可.
【詳解】因為P為假命題,所以力:Vxe[-2,2],/-2工-蘇+2〃7<0為真命題,
22
即當-24xW2時,x-2x-m+2m<0恒成立.
因為函數/(力=無2—2%—〃22+2〃2=(%-1)2一〃22+2〃?-1圖象的對稱軸為%=1,
所以當-24x42時,/(-2)=-m2+2m+8,所以-加?+2〃?+8<0,
即加2-2m-8>0,解得加<-2或〃?>4,
即實數機的取值范圍為(-8,-2)。(4,+8).
故選:D.
易錯分析:不等式的恒成立問題和有解一般都要轉化為函數的最值問題.
9
11.(2024.黑龍江.模擬預測)(多選)已知命題"Vxe[l,4],/——根20”為真命題,則實數機的可能取值
X
是()
A.-1B.0C.1D.e
【答案】AB
【分析】先利用題給條件求得實數機的取值范圍,進而得到實數機的可能取值.
9
【詳解】因為命題"Vxe[l,4],er-―-m20”為真命題,
X
所以Vxe[l,4],機We'-;,
令〃x)=e'-;,xe[l,4],則((x)=ex+亍>0,
可知/(x)為增函數,當x=l時,“X)有最小值〃l)=e-2,
故實數m的取值范圍為mWe-2,
故選:AB.
考點03不等式
1.(2024?北京海淀?三模)下列命題中,真命題的是()
A.若a<b,貝B.若a>b,貝!J/〉。/,〉/
ab
C.若0<a<6<c,則log,a<log,6D.若a+26=2,貝1」2"+4》“
【答案】D
【分析】舉反例即可判斷ABC,根據基本不等式和指數運算即可判斷D.
【詳解】對A,當。=-1/=1時,則!<1,故A錯誤;
ab
對B,當〃=-1涉=一2時,貝1」。2=1,仍=2,則/〈必,故B錯誤;
對C,當0<。<1時,根據對數函數單調性知log,1。&萬,故C錯誤;
對D,若。+2/?=2,貝lj2。+4,2212cl.4"=212。+2b=4,
當且僅當。=1,6=1時取等號,故D正確.
2
故選:D.
2.(2025高三?全國?專題練習)若a>b>0,那么下列不等式一定不成立的是()
Z?+1bcibI—11
A.>—B.—<—C.a>y/ab>bD.QH—>bT-\—
a+1ababa
【答案】B
【分析】利用作差法判斷AD,利用不等式的性質判斷BC.
.、-,,Z?+1ba(b+1)-b(a+1)a-b_.,一?,
【詳解】對于A,因為a>b>0,所以-T7一一=/,n=(工代〉。,故A正確;
a+1aa(a+1)a(a+1)
對于B,因為。>6>0,所以,>l>2>0,故B錯誤;
ba
對于C,因為a>>>0,y/a>\fb,yfa>0,所以
因為血〉石,y[b>0,所以所以a〉〉b,故C正確;
對于D,a+Y-b--=(a-by[l+-^—\>0,故D正確.
ba\abJ
故選:B
易錯分析:利用不等式的性質判斷不等關系式時,一定要注意不等式性質成立的前提條件.
3.(2025高三?全國?專題練習)已知集合4=舊-%2+5%<0},5={%|區<3},則&A)U5=()
A.[0,3)B.[-3,3)C.(-3,5)D.(-3,5]
【答案】D
【分析】解出集合A、B,利用補集和并集的定義可求得集合(\A)U3.
【詳解】由一爐+5彳<0,得無2-5彳>0,解得尤<0或x>5,貝I]A={x|x<0或x>5},
由國<3,得一3<x<3,所以%A={x|0VxV5},3={無卜3c尤<3},
所以(々A)u3={尤卜3<x45}.
故選:D.
易錯分析:解一元二次不等式時要注意二次項系數的符號,它決定了不等式解集的性質.
2
4.(23-24高一上?河南濮陽?階段練習)已知關于x的一元二次不等式ax+bX-c<0的解集為{x13<x<5},
則不等式52+灰一。>0的解集為()
A.卜卜或B,“卜<_:或
c.D.卜,<",
【答案】D
【分析】由題意可得。>0且方程62+灰一,=()的解為3,5,利用韋達定理將瓦c用。表示,再根據一元二次
不等式的解法即可得解.
【詳解】因為關于x的一元二次不等式灰-c<0的解集為{x[3<x<5},
所以。>0且方程ax?+法一0=0的解為3,5,
bc
所以一一=8,--=15,所以6=-8a,c=-15o,
aa
則不等式cf>0,即為不等式-ISav,-8ax-a>0,
則15爐+8無+1<0,解得一g<x<-g,
所以不等式ex2+bx-a>0的解集為卜|一,<x<--:.
故選:D.
易錯分析:通過一元二次不等式的解集,可以判斷其對應的二次函數的開口和零點.
5.對于任意實數x,不等式(a-2)元2-2(。-2)x-4<0恒成立,則實數a取值范圍為()
A.(-<?,2)B.(-<?,2]C.(-2,2)D.(-2,2]
【答案】D
【分析】分類討論,利用判別式小于0,即可得到結論
【詳解】當。-2=0,即。=2時,T<0,恒成立;
2
當“一2"時'U-2)+W-2)<0'解之得一2<"2,
綜上可得-2<。(2
故選:D
易錯分析:一元二次型不等式在R上的恒成立問題,要注意討論二次項是否可以為零.
2+3
6.(24-25高三上?山東濟南?階段練習)已知xwR,則%/的最小值為()
+2
A.1B.J2C.2D.還
2
【答案】D
【分析】換元,利用對勾函數的單調性求出最小值.
【詳角軍】令0+2=tN也,則++
而函數>=/+;在[夜,+oo)上單調遞增,
所以當f=即x=0時,叁土取得最小值述.
Jx+22
故選:D
7.若函數〃刃=尤+」(尤>2)在x=a處取得最小值,則。等于()
X—2
A.1+72B.1+>/3C.3D.4
【答案】C
【分析】由〃尤)=%+';=尤-2+';+2,利用基本不等式求解.
x-2x-2
【詳解】解:因為函數〃"=尤+'=尤一2+二+222n加工+2=4,
x2x2Yx2
當且僅當尤-2=」,即x=3時,等號成立,
所以a等于3,
故選:C
易錯分析:利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件是否成立.
8.(23-24高三上.上海楊浦?期中)關于x的不等式上二20的解集是.
X
【答案】{小―
【分析】利用分式不等式的解法求解即可.
【詳解】因為二20,
所以卜解得尤<0或h3,
["0
所以一20的解集為{小<0或x23}.
故答案為:{小<0或-3}.
9.不等式"n尤的解集是_______.
x-1
【答案】(-oo,-l]u(l,5]
【分析】移項通分得0+1)(:一叭0,即產:)f+l)(x-5)W0,再利用穿根法即可得到答案.
x-1"-130
【詳解】即3尤+5-/+苫20,即(x+l)(x5).0,
X-1X-1x-1
2:),+l)(x-5)V0,根據穿根法解得
wO
故答案為:(-a>,-l]u(l,5].
易錯分析:分式不等式一般轉化為整式不等式求解,要注意轉化的等價性,避免造成取
值范圍的變大.
專題01集合、邏輯用語與不等式
考點01集合及運算
1.(24-25高三上?北京朝陽?期末)已知全集。=何一2<尤<2},集合A={x[0<x<l},則()
A.[-2,0)B.[-2,0)U(l,2]
C.[1,2]D.[-2,0]U[l,2]
易錯分析:在求解不等式解集的交、并、補運算時,一定要注意等號能否取得.
2.(24-25高三上?湖南長沙?期末)已知集合4={〃,。2},3={L4},若leA,則A[JB中所有元素之和為()
A.2B.3C.4D.5
3.(24-25高三上?四川成都?期中)已知集合4={1,。+2},8={",1,3},若對VxeA,都有xe瓦貝段為()
A.1B.-1C.2D.1或2
易錯分析:根據集合間的關系求參數時,一定要注意檢驗是否滿足元素的互異性.
4.已知集合4={-1,2},3={幻"a-l=0,mcR},若AU3=A,則所有符合條件的實數加組成的集合是()
A.bB.{-1,。,2}C.{-1,2}D.1,0,—j>
易錯分析:已知集合間的包含關系求參數時要注意討論A=0,A,0兩種情況.
5.已知集合A={尤e氏卜2—3x—18<B={xe+ox+a~-27<。},則下列命題中正確的是()
A.若4=3,則。=—3B.若4=3,則。=一3
C.若3=0,則或aN6D.若。=3,則ACB={H_3<x<6}
6.(2025高三?全國?專題練習)已知集合4={刈6>1},B={x\x<2},若4口3/0,則。的取值范圍
為.
7.(2024?河南駐馬店一二模)己知集合4={^4尤2-尤-5>。},3={討彳>m},若m=0,則(々A)IB=;
若AU8=R,則加的取值范圍為.
考點02常用邏輯用語
1.(24-25高三上?北京朝陽?期末)是“1鳴/<1"的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
易錯分析:在判斷充分條件、必要條件時一定要弄清相關概念,以防出錯.
2.(24-25高三上?江蘇常州?期末)已知。,b,ceR,則“。,6,。既是等差數列又是等比數列”是“a=6=c”
的()
A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3.(2025高三全國?專題練習)設xeR,則“2<x<4”是“2工〈尤2”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.(2024?山東?二模)已知p:l<2'<4,q-.x1-ax-l<Q,若。是4的充分不必要條件,則()
33
A.〃之一B.一C.a>2D.0va<2
22
易錯分析:已知充分、必要條件求參數范圍,一定注意正確轉化為集合間的包含關系再求
解.
5.(23-24高三上?浙江寧波?期末)命題“王石-彳-4>0”為假命題的一個充分不必要條件是()
A.QW—B.C.a26D.aN8
4
易錯分析:要注意“A是3的充分條件”和“A的充分條件是3”的區別.
6.已知=-3,則“X)<5的一個必要不充分條件是()
A.x>—A-B.x>—3C.—2D.%<—3
7.(2024.重慶.三模)(多選)命題“存在%>0,使得作2+2%_1>(),,為真命題的一個充分不必要條件是()
A.m>-2B.m>-lC.m>0D.m>l
8.(24-25高三上?天津河北?期末)命題P:3x<0,爐_2%+Q<0的否定是()
A.\/x>09爐―2%+a?0B.>0,爐—2x+aV0
C.Vx<0,x1—2x+a>0D.Hx<0,—2x+a>0
易錯分析:寫全稱命題和存在量詞命題的否定要注意兩點:一是轉換量詞;二是否定結論.
9.(2024?四川?模擬預測)已知命題“V%£[l,4],e、——根>0”為真命題,則實數加的取值范圍為()
x
A.(v,e—2]B.1―oo,eJgC.[e-2,+oo)D.e,—g+oo]
10.(24-25高三上?山西?階段練習)若命題。玉目-2,2],使得2x—病+2加之0為假命題,則實數用的
取值范圍為()
A.(-8,l)D(l,+8)B.(-8,0)D(2,+8)
C.(-8,T)U(2,+8)D.(-00,-2)u(4,+00)
易錯分析:不等式的恒成立問題和有解一般都要轉化為函數的最值問題.
n.(2024.黑龍江.模擬預測)(多選)己知命題"
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