2025年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試

高三數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.設(shè)集合A={-1,0,1,2,3},3={xwN|3—2x>0},則4口8=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}c-WD.{2，卦

上到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

2.在復(fù)平面內(nèi)，）

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知平面向量a與B的夾角為60。,。=（2,0）,且=1,則。+2同=()

A.石B.2A/3C.4D.12

4.袋中有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè).在第一

次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（）

A.0.25B.0.4C.0.5D.0.6

5.已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為原，F(xiàn)2,尸為C上一點(diǎn)，|「耳|=|斗月|,N尸耳耳=30。，則C的離心率為（）

A四+百N1+A/2+A/3?1+272?1+2石

A.------D.---------C.------D,------

2222

6.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為〃三角垛〃.其最上層

有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層10個(gè)…，則第二十層球的個(gè)數(shù)為（）

A.210B.220C.230D.240

7.已知四面體ABCD的各頂點(diǎn)均在球0的球面上，平面ABC±平面BCD,AB=BC=AC=CD=2,BCLCD,

則球。的表面積為()

167rC28〃

A.-----B.87rC.-----D.127r

33

8.已知函數(shù)丁=3加"@+2)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),fi/(x+l)=/(7-x),當(dāng)xe［0,2］時(shí)，

〃x)=4cos［；j,貝iJ/(l)+/(2)+〃3)+…+〃2025)=()

A.2上B.2A/2C.254D.2025

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是()

A.y(x)=x|x|B./(x)=|liu|

C.=D./(x)=^-^-

v72V+2v7T

10.已知橢圓江+工=1,A,2為左右兩個(gè)頂點(diǎn)，片,F?為左右兩個(gè)焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn),

96

則().

772

A.kpA'kpB=--

8.|「耳卜|巡|的范圍是［3,9］

C.若直線/過點(diǎn)F?與橢圓交于M,N,則》”=2+百

D.若cos/耳Pg=|,則|PO|=早

11.點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-44GR的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的()

A.當(dāng)P在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P-AB與4的體積發(fā)生變化.

IT1T

B.當(dāng)尸在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2尸與AG所成角的取值范圍是

C.若尸是A圈的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面A5CD上運(yùn)動(dòng)，且滿足尸尸//平面802時(shí)，PP長(zhǎng)度的最小值是如

D.使直線"與平面ABC。所成的角為45。的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為20+兀

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

+a10

12.在等比數(shù)列｛。“｝中，若q=2,a35=>則％=.

13.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)占,馬,…，占。的平均值是1,且尤;，好，…,說的平均值是3,則數(shù)據(jù)玉,當(dāng),…，占。的方差

是.

x3+3x2—2,x<0,

14.已知〃尤)=Inx若函數(shù)g(x)=/(x)-根有兩個(gè)零點(diǎn)，則加的取值范圍為______.

-----,x>0,

、了

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且竺g=吧91空

csin3+sinA

⑴求角B；

(2)若VABC為銳角三角形，AC=2,。是線段AC的中點(diǎn)，求3。的長(zhǎng)的取值范圍.

16.(15分)在三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AB=42,PB=2,ZABC.

2

⑴求證：平面PAC_L平面ABC；

(2)求平面與平面PAC的夾角的余弦值.

17.(15分)某市對(duì)高三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)能檢測(cè)(簡(jiǎn)稱檢測(cè))，現(xiàn)隨機(jī)抽取了1600名學(xué)生的檢測(cè)結(jié)果

等級(jí)(“良好以下”或“良好及以上”)進(jìn)行分析，并制成下圖所示的列聯(lián)表.

良好以下良好及以上合計(jì)

男8001100

女100

合計(jì)12001600

(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；計(jì)算并判斷是否有95%的把握認(rèn)為本次檢測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān);

(2)將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，若從全市高三所有學(xué)生中，采取隨機(jī)抽樣的方法抽取1名學(xué)生成績(jī)

進(jìn)行具體指標(biāo)分析，連續(xù)抽取4次，且每次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，記被抽取的4名學(xué)生的檢測(cè)等級(jí)為“良好

及以上”的人數(shù)為。求孑的分布列和數(shù)學(xué)期望E(f).

附表及公式:

pg>fc0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

其中片=n(ad-bc')

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=ln(x—l)—依+2,acR.

⑴討論了(%)的單調(diào)性；

⑵證明：！+!+…+二(心2且"N*)

352n—123

1一2

(3)若對(duì)任意無＞0,都有〃x+l)21--恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

x

19.（17分）已知拋物線r:丁=2盾（P>0）的焦點(diǎn)為上任意一點(diǎn)尸到F的距離與到點(diǎn)￡（2,0）的距離之

和的最小值為3.

⑴求拋物線r的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知過點(diǎn)E的直線4，與：T分別交于點(diǎn)AC與點(diǎn)B,。，延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)Q,線段AC與3。的中點(diǎn)分別

為M,N.

①證明：點(diǎn)Q在定直線上；

②若直線直線。“，ON的斜率分別為左次2,求左色的取值范圍.

2025年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試

高三數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.設(shè)集合A={-1,0,1,2,3},3={xwN|3—2x>0},則4口8=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1}D.{2,3}

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，求得8={0,1},結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由集合8={xeN|3-2x>0}={0,l},

又因?yàn)锳={-l,0,l,2,3},可得4口3={。，1}.

故選：B.

2.在復(fù)平面內(nèi)，心對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［答案］D

【舞析】利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、除法運(yùn)算法則及幾何意義計(jì)算即可.

【詳解】易知|l—2i|=jF+（_2）2=卮所以^^二（丹;爭(zhēng),

4I"I［4I--1IJJ

即匕型對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（乎,-呼］，位于第四象限.

2+i155J

故選：D

3.已知平面向量4與1的夾角為60。為=（2,0）,問=1,則|花+2同=（）

A.不B.273C.4D.12

【答案】B

【解析】由題得同=2,無B=同歸卜0$60。=2><1*!=1,

所以M+2可=2方）2=J萬2+4）2+4萬?5=A/4+4+4=2A.故選：B.

4.袋中有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè).在第一

次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（）

A.0.25B.0.4C.0.5D.0.6

【答案】B

【分析】分別設(shè)事件“第一次取得白球”和“第二次取得紅球“，由條件概率計(jì)算公式求解即可求解.

【詳解】設(shè)第一次取得白球?yàn)槭录?第二次取得紅球?yàn)槭录?/p>

所以在第一次取得紅球前提下，則第二次取得白球的概率為：

4X2

%[4）=需=舞=|=0.4.

I）6X5

故選：B.

5.已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,P為C上一點(diǎn),|幽|=|耳心|,/尸耳瑪=30。，則C的離心率為（）

4A/2+73?1+72+A/3?l+2y/2?1+2萬

2222

【解析】如圖，取線段%的中點(diǎn)連接耳加，

因?yàn)閨刊"=|月么|,NP耳8=30。，所以N￡P(guān)M=75。，且用欣_LP/"

所以cos/耳PM==cos（45°+30°）="一五,

設(shè)1PMi=（#-0）左，則IP4|=44，

c2c\FlF21\PFX|4k

所以C的禺心率e=—=丁=―=~?DU?=~~<-

a2a|尸耳|-1尸g|\PFl\-\PF2\4k-2（16-gk

_2_a_&（&+1+我_叔丁+1+我_1+應(yīng)+）

-S?「邑"@一（夜+1）2_3-2式-2

故選：B.

6.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層

有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層10個(gè)…，則第二十層球的個(gè)數(shù)為（）

A.210B.220C.230D.240

【答案】A

【分析】依據(jù)規(guī)律找出每一層小球數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出通項(xiàng)，從而求出第20項(xiàng)即可.

【詳解】設(shè)第〃層的小球個(gè)數(shù)為依次構(gòu)成數(shù)列{%},由題:4=1*%=3g=6,4=10…

從而有規(guī)律：=n（n>2,n&N+）

九(九+1)

以a“=q+一％)+(。3-—)=1+2+3+…，+九=(?>2,MeN+）所以

-2~

20x21

=210.

2

即第20層有210個(gè)小球,

故選：A.

7.已知四面體A8CD的各頂點(diǎn)均在球。的球面上，平面ABC上平面=AC=CD=2,BCLCD,

則球。的表面積為（）

16%287r

兀萬

B.3亍D.12

【答案】C

【分析】先找融。和△38的外接圓的圓心，過圓心分別作兩個(gè)三角形所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)

就是球心.

【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)為E,2。的中點(diǎn)為尸，所以尸為△BCD的外心，

連接AE,EF,設(shè)AASC的外心為G,

因?yàn)锳B=3C=AC=2,即AABC為等邊三角形，

所以點(diǎn)G在AE上，且設(shè)球心為。，連接OG,OF,

則OG_L平面ABC,。尸，平面BCD,

因?yàn)槠矫鍭BC上平面8c。，所以O(shè)G_LO/，

因?yàn)椤癓BC為等邊三角形，E為BC的中點(diǎn)，所以AE18C,

因?yàn)槠矫鍭BC上平面BCD,平面ABCc平面BCD=BC,AEu面ABC,

所以AE_L平面BCD,則AE〃。P，又￡Fu平面BCD,所以AE_LEF,

同理1平面ABC,所以EF〃OG,故四邊形OGEF是矩形.

由3cl.cD,可得BD=JgC?+切2=2也，故。尸=血，

XOF=EG=—AE=—ABsin60°=^~，

333

7

設(shè)球。的半徑為R,貝UR?=。。2=。產(chǎn)+加2=耳,

所以球。的表面積5=46?2=手

故選：c.

8.已知函數(shù)y=sinx-/(x+2)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),M/(x+l)=/(7-x),當(dāng)xe[0,2]時(shí)，

〃x)=4cos朋,則/(1)+〃2)+〃3)+…+”2025)=()

A.2A/3B.2A/2C.254D.2025

【答案】B

【解析】由y=sinx"(x+2)是偶函數(shù)推出/(x)的性質(zhì)，

因?yàn)閥=sin尤-/0+2)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，

所以sin(-x)-f(-x+2)=sinx-f(x+2),即一sinx?/(-x+2)=sinx-f(x+2),

對(duì)于任意xeR都成立，那么，(-x+2)=-/(x+2).

用x+2代替x,可得〃-(x+2)+2)=-/((x+2)+2),HP/(-x)=-/(%+4).

又因?yàn)閒(x+l)=f(7-x),則“x)關(guān)于直線無=野=4對(duì)稱，所以f(-x)=f(x+8).

由/(-%)=-/(x+4)和/(一元)=/(x+8)可得/(尤+8)=-于(x+4),

再用x+4代替x,得至iJ/((x+4)+8)=-/((x+4)+4),即〃x+12)=—/(x+8),

W/(x+8)=-/(x+4),所以/(x+12)=/(x+4),進(jìn)而f(x)=f(x+8),所以函數(shù)的周期是8.

7T

已知當(dāng)尤e[0,2]時(shí),/(x)=4cos(-x).

/(I)=4cos—=4x^-=20./(2)=4cos—=0.

422

因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線x=4對(duì)稱，所以/(3)=/(5),/(0)=f(8).

/(3)=/(5)=4cos^=4x(-與)=一2垃.

/(4)=4cos7r=-4./(6)=/(2)=0,/(7)=/(I)=2應(yīng)，/(8)=f(0)=4cos0=4.

貝U/⑴+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)+/(7)+/(8)=2魚+0_2&_4_2&+0+2&+4=0.

因?yàn)?025+8=253……1,其中1是余數(shù).

所以/(D+/(2)+/(3)+…+/(2025)=253x0+/(1)=20.

/⑴+/(2)+/(3)+…+/(2。25)=2&,故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）

A./（x）=x|x|B,/（x）

C.=D.=

v721+2v7T

【答案】AD

【解析】對(duì)人,,."（一”=一對(duì)—才=一刈乂=一/（",二函數(shù)/（彳）為奇函數(shù).且當(dāng)工€[0,+00）時(shí)，/（尤）=/單調(diào)

遞增；

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，/（X）在（F,0]上也單調(diào)遞增，.?./（>）在R上為增函數(shù)，故A正確；

對(duì)BJ.,函數(shù)/（x）的定義域?yàn)椋?,+8）,.?.函數(shù)〃x）為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

1_91

對(duì)C,；/（0）=G=-§H0,二函數(shù)“X）不是奇函數(shù),故C錯(cuò)誤；

對(duì)D=2,—2二;J（t）=2-x—2工=_（2工—2-，）=_〃x）,二f（x）為奇函數(shù),

且>=20、=-2-*均隨x的增大而增大，即“X）=2-2-*在R上為增函數(shù)，故D正確.故選：AD

22

10.已知橢圓匕+匕=1,A,8為左右兩個(gè)頂點(diǎn)，屈，F(xiàn)2為左右兩個(gè)焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，

96

則（）.

7/2

A.kPA'kPB=--

8.|巴訃|尸用的范圍是[3,9]

C.若直線/過點(diǎn)F?與橢圓交于M,N,則沁、2+石

、4BMN

D.若cos/耳P8=g,則|尸。|=岑

【答案】ACD

【分析】根據(jù)斜率公式即可化簡(jiǎn)求解A；

根據(jù)橢圓定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解B；

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解C；

根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式，結(jié)合余弦定理即可求解D.

22

【詳解】對(duì)于A,設(shè)尸（性〃）,則以+1=1,A（-3,0）,5（3,0）

nnn29J2故A正確,

。屋PB~m+3m-3-m2-9-m2-9~~39

對(duì)于B,由于|尸國+|夕鳥|=2〃=6,又a—cK|/￥；區(qū)〃+c,BP3-V3<|P^|<3+V3,

所以附H%|=|明?（2。-附|）=-（閥|-3丫+9,

故當(dāng)|尸耳|=3時(shí),|尸耳卜|尸閶取最大值9,當(dāng)|尸耳|=3-石或3+小時(shí),|尸耳|歸閭?cè)∽钚≈?,故B錯(cuò)誤，

1,卜3一詞

q—\MN\dAd/22Q.C

對(duì)于c,設(shè)/方程為尤+百，所以=-------=今="+魯=71=2+石，其中北也為

S、BMNL\MN\dBdB373373

」712+m2

到直線/的距離，故C正確，

對(duì)于D,由余弦定理可得閨工「=（忸團(tuán)+忸用J-2閥忸閭一2閥歸B|cos4P巴，

因止匕4c2=46-2儼媚|尸周一2|/V的尸國xg=儼用Z用=t=g，

------??1/-------?-------?\------>2/------->-------?\2-------?2-------?2-------?-------?

又尸0=5（尸耳+町）=4Po=（PFl+PF2J=PF]+PF2+2PFiPF2,

4所2=Q所|+國]珂+2西?河cos/耳尸笈=36-2xT+2xgxg=30,故|尸。|=孚,

故選：ACD

11.點(diǎn)尸是棱長(zhǎng)為1的正方體A8CO-4片和2的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的（）

A.當(dāng)尸在平面CCQQ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐P-ABBH的體積發(fā)生變化.

71JT

B.當(dāng)尸在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2尸與AG所成角的取值范圍是gw

C.若尸是44的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面A2CD上運(yùn)動(dòng)，且滿足PF〃平面4cA時(shí)，P/長(zhǎng)度的最小值是漁

2

D.使直線"與平面ABC。所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為20+兀

【答案】BC

【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求異面直線所成的角、已知線面角求其他量、立體幾何中的軌跡問題

【分析】A選項(xiàng)，正方形ABBIA的面積不變，P到平面AB4A的距離不變，由體積公式可知，體積為定值；

B選項(xiàng)，A尸與AG所成角即為R尸與AC所成角，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)尸在端點(diǎn)A,C時(shí)，所成角最小，最小

7TIT

角為當(dāng)P在AC中點(diǎn)時(shí)，所成角最大為萬，B正確；C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

P(m,n,O),O<m<l,O<?<l,求出平面CB.的一個(gè)法向量Z=(T,1,1),由再."=()可得"=+g,所以

|EP|=^2(m-1)2+|>^,當(dāng)加=g時(shí)，等號(hào)成立，C正確；D選項(xiàng)，分別考慮點(diǎn)P在各個(gè)平面內(nèi)的情況,

得到軌跡長(zhǎng)度，相加得到答案.

【詳解】對(duì)于A,底面正方形AB4A的面積不變，

當(dāng)P在平面CGRD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P到平面A84A的距離不變，

即四棱錐的高為正方體棱長(zhǎng)，

故四棱錐尸-AB44的體積不變，故A不正確；

對(duì)于B,因?yàn)锳QJ/AC,所以2P與A?所成角即為。/與AC所成角，

因?yàn)锳C=C"=AQ,所以△ACQ為等邊三角形，

7T

顯然，當(dāng)尸在端點(diǎn)A,C時(shí)，所成角最小，最小角為三，

當(dāng)尸在AC中點(diǎn)時(shí)，由三線合一可知，D,P±AC,此時(shí)所成角最大為T，

TTTT

所以2尸與AG所成角的取值范圍是,故B正確；

對(duì)于C,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,DC,￡>2所在直線分別為X,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

―■—.—.1

設(shè)P(m,n,O),O<m<l,O<n<l,貝|Cg=(1,0,1),CD,=FP=,

設(shè)平面CBQj的一個(gè)法向量為T=(x,y,z),

?日=(1,0,1)?(%,y,z)=x+z=0

則

-u=(0,-l,l)-(x,y,z)=-y+z=0

令z=l得x=—l,y=l,故平面的一個(gè)法向量為Z=(—l,1,1),

因?yàn)槭ㄆ矫嬗谩＃远?0,可得〃=加+；,

所以網(wǎng)=J(m-l)2+(n-1)2+l=也蘇-2m+2=,2(加-g)2,

當(dāng)根=g時(shí)，等號(hào)成立，C正確.

對(duì)于D,因?yàn)橹本€AP與平面A2CZ)所成的角為45。,

若點(diǎn)尸在平面BCC向內(nèi)，此時(shí)當(dāng)尸與與重合時(shí)，直線”與平面A2CD所成角最大,

最大值為/B|AB=45。，其他位置均不合要求，

同理，若點(diǎn)P在平面DCGA內(nèi)，此時(shí)當(dāng)P與2重合時(shí)，

直線AP與平面ABC￡＞所成角最大，最大值為ND,AZ)=45。，其他位置不合要求,

若點(diǎn)尸在平面AQ4A內(nèi)，點(diǎn)尸的軌跡是

若點(diǎn)尸在平面A84A內(nèi)，點(diǎn)P的軌跡是皿=應(yīng)；

若點(diǎn)尸在平面4與G2時(shí)，作PM_L平面ABC。，如圖所示，

因?yàn)橐倚?=45。，所以=

又因?yàn)?所以AM=M,所以=

7TTT

所以點(diǎn)P的軌跡是以A點(diǎn)為圓心，以］為半徑的四分之一圓，其弧長(zhǎng)啊/7,

故尸的軌跡長(zhǎng)度為2&+=,故D錯(cuò)誤；

2

故選：BC

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在等比數(shù)列｛%｝中，若。3=2,a｝+a5=10,則%=.

【答案】32

【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得2(l+q2)=10,則得到q、4,則%=%d=32.

【詳解】設(shè)公比為9，%+%=10即的(1+/)=10，即2(1+不)=10,

得d=4,所以％==32.

故答案為：32.

13.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)看,形,…，再。的平均值是1,且尤;，*，…，瑞的平均值是3,則數(shù)據(jù)玉,法…,占。的方差

是.

【答案】2

【分析】根據(jù)平均數(shù)以及方差的定義，代入公式計(jì)算即可得結(jié)果.

【詳解】由題意得再+X2-+---+%0=10,考+君H---4-X,Q=30,

所以數(shù)據(jù)玉，尤2,…,%的方差?=(石一戶(%2T丫+…+(/R

10

(片+*+…+匕)-2(%+尤2+…+%o)+l。30-20+10_

=-------------------------------------=----------=2?

1010

故答案為：2.

x3+3x2-2,x<0,

14.已知/⑴=In九八若函數(shù)g("=〃力-機(jī)有兩個(gè)零點(diǎn)，則加的取值范圍為______.

---,x>0,

、x

【答案】(,，一2)口l'

【解析】當(dāng)xVO時(shí),/(%)=丁+3%2—2,貝1]/'(%)=3%2+6尤=3%(%+2),

當(dāng)xe(-s,-2)時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，/(%)<0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減.

所以xwo時(shí)，/(xk=/(-2)=(-2)、3x(-2)2-2=2.

當(dāng)x>。時(shí)，/(x)=—,則/⑺=上半，

XX

當(dāng)xe(0,e)時(shí)，/(%)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí)，r(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.

所以x>0時(shí)，、/max=/(e、)/=—e=-e.

畫出函數(shù)/(X)的圖象，如圖所示：

函數(shù)g(x)=/(尤)-現(xiàn)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y=/(x),y=機(jī)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，

由圖可知加<-2或!<根<2.

所以m的取值2范圍為2）u5

ll=A

eleX

。

故答案為：（-8,-2）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且"@=鄴3^

csin3+sinA

⑴求角B；

（2）若VABC為銳角三角形，AC=2,。是線段AC的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)的取值范圍.

TT

【答案】（DBM?；,A/3

h—nsinC-sinA由正弦定理得"@=尸

【解析】（1）因?yàn)椤?/p>

CsinB+sinAcb+a

所以l2+。2一〃=ac，

ac_1

由余弦定理得cosB=

2aclac2

TT

又3￡（0,兀），所以B=

（2）因?yàn)閍?+/一。2=a。，所以片+/=々。+4.

—.1―.—.

因?yàn)镈是線段AC的中點(diǎn)，所以BO=5(BA+BC),

——2

22

所以加2=-(BA+BC)=-(a+c+ac)=l+-acf

_2J4V72

a_b_c_2_「r-

由正弦定理得sinAsinBsinC'兀3，所以〃二工一sinA,c=―――sinC,

sin—33

迪sinA-迪sinC=嶼sinAsin(A+

所以〃c二—sinA+

333I3)2

^sin^4=^sinAcosA^-"cos2A+^sin2A^sin2A-2E4,

3333333I6)3

0<A<-

又VABC為銳角三角形，所以）2，解得g<A<g,所以

八2兀/兀62666

0<------A<—

I32

即si%-患嗎,則改哈4,所以麗建，,3

即比）《理,則BD的長(zhǎng)的取值范圍是容，百

16.（15分）在三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AB=y/2,PB=2,ZABC=1.

⑴求證：平面PAC_L平面A3C；

⑵求平面P4B與平面PAC的夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵手

【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、證明面面垂直、面面角的向量求法

【分析】（1）取的中點(diǎn)為0,連接通過證明。尸，平面ABC,即可解決問題；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面PAC的法向量，代入夾角公式即可.

【詳解】（L）取AC的中點(diǎn)為0,連接。尸,03,

因?yàn)槭珹C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以。尸，AC,。尸=代，

711

在直角三角形ABC中，ZABC=~,。為AC中點(diǎn)，所以O(shè)B=2AC=1,

又尸3=2,所以O(shè)P^+OB。=/,

所以NPO6=90°,即OPLO3,

又：OPJ_AC,OBIAC=O,O8,ACu平面ABC,

所以O(shè)P_L平面ABC,

又OPu平面PAC,

所以平面PAC_L平面ABC.

由（1）知OP,AC,03兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-孫z

則5（0,1,0）,A（l,0,0）,P（0,0,@,所以港=（1,0,-⑹，蘢=（-1,1,0）,

設(shè)平面巴43的法向量為A=（x,y,z）,

n-PA=0L-V3Z=0

則一，即《，

n-AB=0[-尤+y=0

令z=l,可得為=（百,6,1）,

設(shè)平面PAC的法向量為帚，則慶=（0,1,0）,

設(shè)平面R1B與平面PAC的夾角為，，

則3。=卜os仞㈤[137r理.

所以平面BIB與平面PAC的夾角的余弦值為應(yīng).

7

17.（15分）某市對(duì)高三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)能檢測(cè)（簡(jiǎn)稱檢測(cè)），現(xiàn)隨機(jī)抽取了1600名學(xué)生的檢測(cè)結(jié)果

等級(jí)（“良好以下”或“良好及以上”）進(jìn)行分析，并制成下圖所示的列聯(lián)表.

良好以下良好及以上合計(jì)

男8001100

女100

合計(jì)12001600

（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；計(jì)算并判斷是否有95%的把握認(rèn)為本次檢測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān);

(2)將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，若從全市高三所有學(xué)生中，采取隨機(jī)抽樣的方法抽取1名學(xué)生成績(jī)

進(jìn)行具體指標(biāo)分析，連續(xù)抽取4次，且每次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，記被抽取的4名學(xué)生的檢測(cè)等級(jí)為“良好

及以上”的人數(shù)為。求孑的分布列和數(shù)學(xué)期望E(f).

附表及公式:

PK>fc0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910,828

其中X=3圖江)n=a+b+c+d.

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有95%的把握認(rèn)為本次檢測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)

(2)分布列見解析,E(f)=1

【分析】(1)根據(jù)條件可完善表格，然后計(jì)算出42的值即可;

(2)由條件可得f?然后算出答案即可.

【詳解】(1)由題中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充列聯(lián)表可得：

良好以下良好及以上合計(jì)

男8003001100

女400100500

合計(jì)12004001600

K2=1600X(800X100-400X300)2=當(dāng)=9697>3841，

1200X400X1100X50033~'

故有95%的把握認(rèn)為本次體測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)系.

⑵根據(jù)題意，體測(cè)結(jié)果等級(jí)為“良好及以上”的頻率闿

可知f的取值有0,1,2,3,4,f?記P(《=i)。=0,1,2,3,4)為§=泊勺概率,

則P&=°)=c：.(|)4=羨

p(”】)=禺.(/G)=黑

%=2)=鬣.(|)2(丁=裝，

P—,圖(廣急

P(f=4)=*(34=專

則f的分布列為：

01234

8110854121

p

256256256256256

所以f的數(shù)學(xué)期望EG)=4x；=1.

18.(17分)已知函數(shù)/(%)=ln(x—l)—ox+2M￡R.

⑴討論了(%)的單調(diào)性；

(2)證明：—I----1-----1-------->—In--------(〃22且〃￡N*)

352幾一123

(3)若對(duì)任意x>0,都有/(x+l)21-。-士恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

X

【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)

【分析】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論”的取值范圍，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)首先a=l時(shí)，函數(shù)為"x)=ln(x-l)r+2,根據(jù)(1)的結(jié)論，得x>2時(shí)，0<ln(x-l)<%-2,再

賦值尤=M±^+1>2(〃22且〃eN*),代入不等式，利用累加法，即可證明；

2九一1

(3)由所證明的不等式，構(gòu)造函數(shù)g(x)=q+ln%-以+1,x>0,再討論，得到取值，通過放縮法得到

g(x)=-—+\nx-ax+l>-—+lnx-x+l=e^2-lnx-(x-2-lnx)-l,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，即可證明.

【詳解】(1)“X)的定義域?yàn)?1,內(nèi))，所以((無)=」：-a,當(dāng)aVO時(shí)，r(x)>0,/(x)在(1,+向上單

調(diào)遞增，當(dāng)a〉0時(shí)，令/'(力=0,得尤=1+：,

當(dāng)1<X<1+：時(shí)，f'(x)>0,/(x)在區(qū)間[1』+￡|上單調(diào)遞增，

當(dāng)尤>1+：時(shí)，r(x)<0,小)在1+J上單調(diào)遞減，

綜上可得，當(dāng)aVO時(shí)，/(x)在+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，“X)在1,1+j上單調(diào)遞增，在區(qū)間(l+：,+eJ上單調(diào)遞減；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，=ln(x—1)—x+2,由(1)可知，/(九)在。,2]上單調(diào)遞增，在(2,+oo)上單調(diào)遞減，

故〃尤)《〃2)=0,即In—1)—%+2。。在(l,+oo)上恒成立,所以當(dāng)x>2時(shí)，0<ln(x—l)<x—2,

4x=^^+l>2(?>2H〃eN*),則■—1=^—,

2n-l2n-l2n-l2n-l

即工>L(ln5-ln3),->-(ln7-ln5),>-[ln(2M+l)-ln(2?-l)],

325212

所以累加得g+(+…+^~^>；(1115-1113)+3(1117-1115)+...+；口11(2"+1)-111(2〃-1)]=3111^1,

,,cl*-1111,2Z2+1

故當(dāng)且時(shí)，—+—+??-+->—In--一.

352n-l23

(3)由題對(duì)任意%>0,\nx-ax-a+2>l-a--—恒成立，HP-—+111%一〃1+120在(。,+8)上恒成立，

xx

令g(x)=±—+kix-ax+l,x>0,即g(x)zo在(0,+e)上恒成立,①當(dāng)時(shí)，由于x>O,-aN-l,

e"一2巳"一2

貝I有g(shù)(尤)=---Flnx-tzx+1>--------1-]nx-x+l=ex-2-lnx-(x-2-lnx)-l,

1y_1

令/z(x)=x-2—lnx(x>0),所以=l——=----,令/?x)=0,得彳=1,

所以當(dāng)x?O,l),〃(x)<0,〃⑺在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)X€(l,+oo),〃(x)>0,在(1,+co)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X?O,4W)時(shí),/i(x)>/i(l)=-l,

令f=x-2-Inx,貝！]tw[-1,+oo),令p(r)=e'一/一1,所以p'(t)=e'-1,

令//9)=0,得t=0,所以當(dāng)/4TO)時(shí),p'⑺<0,p⑺在[T0)單調(diào)遞減,

當(dāng)fe(O,"K?)時(shí)，p'⑺>0,p(。在(0,+<?)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)fw[-l,+oo)時(shí)，pp(O)=O,

即g(x)=----\-\nx-ax+\>p(f)NO在xe(0,+co)上恒成立，符合題意，

②當(dāng)時(shí)，由于力⑴在(1,+8)上單調(diào)遞增且力(2)=-ln2<0,A(4)=2-21n2>0,

故存在唯一%e(2,4),使得〃(%)=0,即=。，即%一2=111%,即^^二天,

e與-2

此時(shí)g(%)=---+1口/0-~+1=(1-々)/vO這與g(x)NO在(0,+8)上恒成立不符，

%0