培優專題06數列新定義型綜合題

培優強嚏!特利?幫灌提,

題型1數列新定義型與函數綜合

TXTXTXTXTXTATXTXTAT±TATXT4iTAT4iTXTJiT4iTJiTJiT4iT±T4iTATJiTXTJiTXTXTAT±TXTXTXTXTXTXTXTXTXTJiT±T4iT4iTAT4iTXT4iT±TATliT±T4iTXTXT±TJiTXTXTXTXTXTXTXTXTXTAT±TJiTXT±TJiTJiTJiTXTJi,

點工

1、數列新定義型與函數綜合類型：

①已知函數條件，解決數列問題，此類問題一般利用函數的性質、圖象研究數列問題；

②已知數列條件，解決函數問題，解決此類問題一般要充分利用數列的范圍、公式、求和方法對式子化簡

變形.

2、數列新定義型與函數綜合解題思路

（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；

（2）由己知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言；

（3）將已知條件代入新定義的要素中；

（4）結合數學知識進行解答.

3、數列新定義型與函數綜合步驟

（1）理解"新定義"一一明確"新定義"的條件、原理、方法、步驟和結論.

（2）重視"舉例"，利用"舉例”檢驗是否理解和正確運用"新定義"；歸納"舉例”提供的解題方法.歸納"舉例"

提供的分類情況.

（3）類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

1.（2024高三?全國?專題練習）設數列｛4｝（〃N4,〃wN*）,其中％=1,an=m,若同時滿足①％+1=4或

4+1=4+l（i=1,2,…,n）；②對于任意i,j,都存在型使得%+a.=4+4（。w｛1,2,…,n｝且兩兩不相等）,

則稱數列為〃數列.

⑴當m=2,〃=8時，求滿足條件的〃數列的個數；

（2）記S=4+/+…，若相=2左（左eN*）.

（0）證明：S>2k2+9k+4；

（0）在S=49的條件下，求力24的概率.

124

【答案】⑴只有一個（2）（回）證明見解析；（回）—

【分析】（1）由〃數列滿足的兩個條件，確定數列中各項的規律，確定滿足條件的〃數列的個數.

（2）（E）設數列中123,…,24—23—1,2人出現的頻數分別為工,￡工,..、以_2，力3，以，

工21（/=1,2,3,「2"2,201,2左）進而有工"，f2>2,同理以24,f2k_t>2,再利用等差數列前〃項和

公式求解；（回）由（回）中結論，結合S=49得到左e（0,3],分別討論當機=1,2,3,4,5,6時，數列｛%｝的情

況，然后利用古典概型概率求解.

【詳解】（1）當m=2,〃=8時，4=1,%=2,

由條件①知2=1或2.

又由條件②對于任意V,都存在sJ使得4+%=4+a,GJsje｛l,2,…，科且兩兩不相等），

可得滿足條件的〃數列只有一個，且為1,1,1,1,2,2,2,2.

（2）（E）證明：當相=2左（左eN*）時，

設數列中1,2,3,…,2"2,2"1,2人出現的頻數分別為九力，力，…,啟一Mi,以,

由題意知工之1?=1,2,3,…,2左一2,2左一1,2左），

若工<4,則有％+生<4+。，（對任意s>/>2）與已知矛盾，

故工24,同理可得力.4,

若后<2,假設人=1,則存在唯一的矣｛1,2,3,…,2%｝,使得4=2,

那么對于任意不同于1,7,的sJ則有4+4=1+2*4+q,與已知矛盾，

所以力22,同理可得以-N2,

所以S=%+%+%---4

>lx4+2x2+3xl+...+（2Z:-2）xl+（2左一l）x2+2左x4

=3+6+(3+2"2)(2"4)=2/+穌+4.

2

(0)由(回)知SN2公+%+4,即2/+9左+4449,解得一

2

又丘N*,所以%(0,3],所以加=2%e(O,6]且為整數，

所以m=1,2,3,4,5,6,

當機=1時，數列｛4｝:｛1』,…/｝,只有1組；

"x個y個、

當〃7=2時，數列｛4｝可以表示為1,1771，五二(x+2y=49,x?4,y24),

滿足條件x+2y=49,x>4,”4的(x,y)有(5,22),(7,21),...,(41,4)共19組;

‘X個y?z個、

當機=3時，數列｛叫可以表示為，I」,「l,2,2,f2,3/\3(x+2y+3z=49,x24,y22,z24),

滿足條件x+2y+3z=49,x>4,y>2,z"的(x,y,z)有

2+3+5+6+8+9+11+12+14+15=85,共85組；

,?y'Z個個、

當機=4時，數列｛%｝可以表示為<1,1,…,1,2,2,…,2,3,…,3,4,…,4"

(x+2y+3z+4Z=49,x>4,y>2,z>2,/>4^,

滿足條件尤+2y+3z+4/=49,x>4,y>2,z>2,/?4的(尤,y,z,/)有94組；

"x,y,z個/個P個'

當機=5時，數列｛%｝可以表示為1,匚:1,2,2,二,2,3,…,3,4,…,4,5,…,5>

(x+2y+3z+4/+5p=49,x>4,^>2,z>l,/>2,p>4),

滿足條件x+2y+3z+4/+5p=49,x>4,y>2,Z>1,l>2,P"的(x,y,z,/,p)有29組;

當:〃=6時，數列｛%｝可以表示為｛1,1,1,1,2,2,3,4,5,5,6,6,6,6｝,只有1組，

所以滿足S=49的數列｛。“｝共有229組，其中m24的有124組，

124

所以根24的概率為二.

2.（2024?河北邯鄲?模擬預測）已知給定數列｛/｝俏eN*）,從第二項起后項與前項作差，得到新數列

出一弓嗎一出，,定義這個新數列為數歹!]｛%｝的1—階差數歹!J,記為Aa“=a”+「a”，繼續上述操作,

得到新數列-一八七，,Aa?+1-Aa?,稱為｛《,｝的2-階差數列，記為,一般地,

對任意meN*,A"4=用-，稱數列｛"%"｝為數列｛。“｝的機-階差數列.

(1)寫出數列1,2,8,22,47,的2—階差數列；

(2)若數列｛an｝的首項％=1,1-階差數歹！JA??=2n,求｛%｝的通項公式；

2,,

⑶若數列也｝的首項4=-7,且Nb”-Nbn+i+bn+2=0,求數列bn的最小值.

【答案】⑴5,8,11,；⑵a”/-〃+1；⑶-10.

【分析】(])根據根一階差數列的定義，寫出已知數列的2-階差數列；

(2)根據已知得。用-。，=2"，應用累加法求通項公式即可；

(3)由已知得第-g=2"T,累加法求數列也｝的通項公式，令X=2"T,則=-旦并確定

8

單調性，進而求數列2的最小值.

【詳解】(1)由題意,得A4=2_1=1,A/=8-2=6,=22-8=14]%=47—22=25,

222

Aa,=6-1=5,Aa2=14-6=8,Aa3=25-14=11,-,所以2階數列為5,8,11,..

(2)因為=a〃+i—%,又Nc1n=2n,所以％討―氏=2環

所以=2,a3-a2=4,，為一%=2(n-l),

累加得為一q=2+4++2(〃-1),an—ax=n-n,

所以〃〃=/一"+i.

(3)因為宏"二幼用一奶，，及號勿―A%]+a+22”=o,得助〃—2=2筋,

又地所以%-2b—兩邊同除2向，得翁勺=2*

當心2時,緊佟-3+g-①+$-*卜+修-畀）+3

=20+2+22+--.+2,,~2+—=^1-2^-Z=2,,~1--，

21-222

所以么=22-1-9.2"一（〃22,〃eN*）,〃=1時4=-7也滿足,

所以"=221-9-2"T（〃eN*）,

當時，函數/(x)單調遞減，當xe《,+co］時，函數/'(x)單調遞增

而21—1<22-“所以2〃T=2,即〃=2時，/取得最小值為-10.

3.(24-25高三上?河北邢臺?期中)已知meN*,m>5,定義：數列｛〃〃｝共有m項，對任意i,j(i,jeN*,z<y<m),

存在人(用￡N*，K工機)，使得。臼=氣，或存在左2(女2￡N*,左2KM,使得乜=%，則稱數列｛4｝為"封閉數

ai

列〃.

⑴若見=九(14〃W10,〃eN*),判斷數列｛%｝是否為"封閉數列"；

⑵已知遞增數列％,2,%，8,%為"封閉數列"，求知色，。5；

⑶已知數列｛%｝單調遞增，且為"封閉數列"，若421,證明：｛%｝是等比數列.

【答案】⑴不是"封閉數列"，理由見解析⑵4=1,阻=4,%=16⑶證明見解析

【分析】(1)舉出反例，得到數列｛4｝不是"封閉數列

(2)數列遞增，由生=1求出％=1,通過分析得到全，生,與都是｛%｝中的項，所以今=2,得名=16,由

/

—=^3,得。3=4,所以q=1,。3=4,。5=16；

(3)數列｛5｝單調遞增，所以9=1是｛4｝中的項，即為=1,且&是｛。“｝中的項，推出

amai

\=ax<<<—<^,根據上式的項數得到勺=〃4+1(1<云m-1,MN*),同理得到

am-lam-2atn-3。2

2L=a>

a,?_i=ajam_j(2<j<m-2,zeN*),兩式結合得到一1二-a=~=-2^,證明出結論.

71a

?,?-iam_2限2G

【詳解】(1)由題意知，數列｛%｝為L2,3,4,5,6,7,8,9,10.

因為『"=2x7=14,?=：,14和1■均不是｛叫中的項，

所以數列｛叫不是"封閉數列

(2)由題意數列遞增可知4<2<%<8<%,則《不是｛%｝中的項，

所以宗=1是｛叫中的項，即q=L

因為>%(1<力<5,ieN*),所以都是｛%｝中的項,

所以告=2,得生=16,

O

%

由7二〃3，得。3=4,所以％=1,%=4%=16.

（3）因為數列｛%｝單調遞增，所以4”>1,則力不是｛風｝中的項,

所以&=1是｛%｝中的項，即q=1.

am

因為機,ieN*）不是｛q｝中的項，所以，是｛%｝中的項,

所以1=%<芻-<芻-<且-<.<—<am.

am-\am-2am-3“2

因為〃卜-^-,-^-,旦，&，4共有加項，

am-\am-2am-342

aa

所以5=i,n+i-i（1<iw7〃-1,i€N*）①,

類似地，2<j<m-l,JGN*,>am,則%,_臼不是｛%｝中的項,

所以竽是｛%｝中的項，

aj

1一44-11/j4-1/

1-4<----<----<----<<----<anm-2，

am-2am-3冊-443

所以(2<j<m-2,zeN*)(2),

由①和②得出=芻旦_Safn-2r

=^=^=a2>l,

G/n-l"nz-2am-3a

所以｛a,｝是首項為1的等比數列.

4.（2024?全國?模擬預測）已知數列｛%｝的前〃項積為定義：若存在keZ,使得對任意的“eN*,

an+1-Tn=左恒成立，則稱數列｛%｝為"％數列

（1）若4=1,且｛%｝為"2數列"，求出.

（2）若q=2,且｛g｝為"數列"，｛%｝的前〃項的平方和為G"，數列｛4｝是各項均為正數的等比數列，滿足

,求％的值和也｝的通項公式.

⑶若k>0,且｛%｝為"％數列"，｛風｝的前"項和為S"，證明：Sn>In?；,+n.

【答案】（1）257（2）4=-1,〃=2"、3）證明見解析

【分析】（1）根據"2數歹廣的定義計算即可;

（2）根據題意得到然后結合"％數歹曠的定義列方程得到左,4,最后寫通項即可;

（3）根據廉數列"的定義得到%>1,然后構造函數得到lnx<x-l（x>l）,最后利用累加法證明即可.

【詳解】(1)由4=1,且｛%｝為"2數列〃，得%,+「4=2,即%=2+(,

則％=2+(=2+%=3,

。3=2+%=2+4%=2+lx3=5,

a4=2+T3=2+=2+1x3x5=17,

。5=2+n=2+axa2a3a4=2+1x3x5x17=257.

(2)設數列出｝的公比為q(q>0),

由4=24々”，得G,=(+log2%

G

即?=ZX=aia2a3an+log2bn,

4=1

則3+1=Zd=%a2a3…,4A+1+log2^+i.

i=l

兩式相減得2a3…?an(a?+1-l)+log2&?+1-log2&?,

a

即a*=a1a2a3……n(%包-1)+log2(?.

因為｛q｝是首項為2的"數列"，所以an+i-T?=k,

即4a2a3an=an+l-k,

所以G+l=(%+i—左)(％+]-l)+lOg2“,

即(左+l)a“+i=%+log24對任意的”eN*恒成立.

因為。2=1+左=%+左=2+左，%=(+左=q%+左=2(2+左)+左=3左+4,

(2+1)%-4=log29即(%+1)(2+左)一%=log2q

則

(%+1)/_左=log2q'(A:+l)(3^+4)-A:=log2q'

解得左=—1,q=2.

又由a；=q+log24，即4=2+k)g24,得4=4,所以2=2..

檢驗可知k=-l符合要求，故數列也｝的通項公式為久=2川.

（3）因為｛“〃｝為'》數列〃，所以。向-左，

即4+i=01a2a3,?…4+k對任意的〃￡N*恒成立，

因為6>1,k>0,所以。2=4+左>L

再^結合'4>1,k>0,%>1,反復利用“〃+1=...%+k,

可得對任意的〃EN*,。〃>1.

設函數/(x)=lnx-x+l,則/(無)=：一1.

由/'(力=0,得x=l.

當x>l時,r(x)<0,所以“X)在(1,+8)上單調遞減.

所以當x>l時，/(x)=lnx-x+l</(l)=O,即lnx<x-l(x>l).

又4>1,所以1.

可得Inqv6—1,In%<a2-l,…,]nan<an-l,

累力口可得Inq+InqH--FIn%<ax+a2-\\-an-n,

即111(4%……%)<S"-“，即ln1<S,-〃，

所以S,>inTn+n.

5.(2024?浙江臺州?一模)對于無窮數列｛??｝和如下的兩條性質：片：存在實數4>0,使得Vi,jeN*且i<,

都有生一422；2：任意i,jeN*且i</,都存在〃2WN*,使得2%-生.

⑴若a"="+L,"eN*,判斷數列｛q｝是否滿足性質片，并說明理由；

(2)若…<?”<"GeN*?=l,2,3,),且數列也｝滿足任意“eN*也=%，則稱也｝為數列｛4｝的一

個子數列.設數列｛%｝同時滿足性質P,和性質B.

①若4=1，生=5,求出的取值范圍；

②求證：存在｛%｝的子數列為等差數列.

【答案】⑴滿足，理由見解析(2)①[3,5)；②證明見解析

【分析】(1)根據性質《的條件，結合不等式的性質求解；

(2)①由條件可得｛4｝是單調遞增數列，且存在MCN*,使得金=2%-q.進而可得機23,?2>3,結

合出<%，可得出結果；②依題意可得｛%｝單調遞增，設。2=%+%1>0，由性質6可推得，當%22時,

存在心eN*,使得氣”=2進而得4=q+（〃-l）d,利用等差數列的定義證明即可.

【詳解】（］）數列｛%｝滿足性質

\/i,jwN*且j<j,aj-=J+j-（z+-7）=（j-,

因為3/22,所以1-二二24，又因為所以（/"）（1-1二）2：,

i-］2i-j2

因此，存在2=使得MjeN*且i</,都有力-。,2"故｛4｝滿足性質片.

注：彳取（0,；之間的任意實數都可以.

（2）①因為數列｛。“｝滿足性質《，所以｛%｝是單調遞增數列，

又因為數列｛%｝滿足性質G，所以存在根eN*,使得（=2%-4.

而〃7n=2〃2—%=%+〃2一。1>%，因止匕，m>3,

由2%-q=472a3=5,得％》3,

由。2<%，得34〃2<5,故〃2的取值范圍是［3,5）.

②由數列包,｝滿足性質匕，可知｛%｝單調遞增，設%=%+d，d>0，

令4=1,4=2,由性質8，存在，3eN*,使得%=2%一%=%+2d,

同理，存在￡wN*,使得氣=2%-4=4+3d,…，

以此類推，當人22時，存在心eN*,使得%=24一％7=%+加,

由數列｛4｝單調遞增,可知力氣<<in<.

記2=%〃eN*,則6,=al+（n-X）d,

因為b,”「b"=d,neN*,所以數列也“｝是等差數列，

故存在｛??）的子數列物,｝為等差數列，得證.

題型二：數列新定義型與不等式綜合

點

數列新定義型與不等式綜合，解題的思路是：

1、數列新定義型與不等式綜合類型：

數列常與不等式結合，如比較大小、不等式恒成立、求參數范圍等問題，需要熟練應用不等式知識解決數

列中的相關問題.

2、數列新定義型與函數綜合解題思路

（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；

（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言；

（3）將已知條件代入新定義的要素中；

（4）結合數學知識進行解答.

3、數列新定義型與函數綜合步驟

（1）理解"新定義"一一明確"新定義"的條件、原理、方法、步驟和結論.

（2）重視"舉例"，利用"舉例”檢驗是否理解和正確運用"新定義"；歸納"舉例”提供的解題方法.歸納"舉例"

提供的分類情況.

（3）類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.

1.（2024?江西新余?模擬預測）我們規定：若數列優｝為遞增數列且也為遞增數列，則優｝為"X—

數列

⑴已知：4=仲2=i°g/，*=總數列｛%｝，｛2｝，｛%｝中其中只有一個X—數列，它是：

（不需說明理由）；并從另外兩個數列中任選一個證明其不是X—數列；

（2）已知數列｛%｝滿足：九（%+「％）=%+4,%=1,S,為｛g｝的前〃項和，試求｛%｝的通項并判斷數列

是否為X—數列并證之；

⑶已知數列｛%｝、也｝均為X—數列，且4>0,4>0,求證：數列1=%也也為X—數列.

【答案】（D｛qJ;條件選擇見解析，證明見解析⑵不是，證明見解析⑶證明見解析

【分析】（1）結合幕函數的單調性，證明｛c,,｝是X—數列，舉反例說明另外兩個數列不是X—數列；

（2）由已知構造得9*-2=工-一工，累加法求得見=2"-1,則｛4“｝是等差數列，求出S",由定義判斷

數列是否為X—數列；

（3）由已知有4,>4>0,bn>b1>0,且②>%>0,細>4>0,利用不等式的性質，結合定義證明

n+1nn+1n

數列｛g｝為X—數列.

【詳解】（1）空格處填匕｝.

3

3T131「、

原因如下：因為的=/，則H=小，由幕函數1=爐與,=爐在[。,"）上都是增函數，

n

由“eN*,故數列匕｝與1手，都是遞增數列，則k｝為"X-數列

若選｛%｝,下面證明｛4"｝不是X-數列.

證明:由/=圖,則孑=|，=9.

~2~2-8

故?〉與，所以不是遞增數列.

12[n\

故｛%｝不是X-數列;

若選也,｝,下面證明｛2｝不是X-數列.

log32logs42log32

由我=現3”,

證明:貝!］匕=5,A_55_%.

22-24-42x2-T

所以不是遞增數列.

n

故但,｝不是X-數列.

（2）由%+q=4,+1可得"。“+1=（〃+1）。“+1,

日斤PI—______JL—_____________

“〃+1n+nn+1

1__J_

設則仇_4=1_:，”一仇=卜；么一心

〃ZL3n—1n

1n-1

累力口得一4=+-------—1—=-----

223n-1nnn

又4=?=1,故%=%=2-工=2,所以%=2”一1.

1nnn

由an+i~an=2（n+l）—1—（2n—1）=2,

故｛g｝是以1為首項，2為公差的等差數列.

所以S.=(1+2"T)"=『則&=〃，4=1.

"2nrT

即數列是遞增數列，但［*1不是遞增數列，故1｝|不是X-數列.

(3)數列｛%｝、也｝均為X-數列，且4>0,4>0,

由題意可得。“>%>。，b“>瓦>Q,M-^!±L>—>0,—>0,

〃+1nn+ln

ab

Q〃+i?2+in'n

由不等式的性質可得，(；+『>二,又％=。〃2>。，

n2c,,,、cncn+\

則所以｛5｝為遞增數列，且有常<；"卡，

In+11(〃+1)

c?+1C?_(?+1)C?+1c(M+l)c?+lncn+l

則羨FT正廠一丁記廠一即>°，

故也是遞增數列，故｛cj為X-數列.

2.(2024?吉林?模擬預測)對于數列｛%｝,若m/>0,對任意的〃eN*,有聞</，則稱數列｛七｝是有界

的.當正整數"無限大時，若x“無限接近于常數。，則稱常數。是數列｛%｝的極限，或稱數列｛%｝收斂于a,

記為，蚓龍"="?單調收斂原理："單調有界數列一定收斂"可以幫助我們解決數列的收斂性問題?

⑴證明:對任意的xN-1,?!eN*,(1+x)“Nl+nx恒成立；

⑵已知數列｛%｝,｛2｝的通項公式為：%=(i+￡|",4=,+￡|"',〃CN*.

(i)判斷數列｛4｝,也“｝的單調性與有界性，并證明；

(ii)事實上，常數6=,眄%=屈22,以e為底的對數稱為自然對數，記為Inx.證明：對任意的〃?N*,

丑占<山(〃+1)<之;恒成立.

左=1左+1k=l化

【答案】⑴證明見解析；

(2)(i)｛%｝是遞增數列，是有界的，也J是遞減數列，也是有界的，(ii)證明見解析.

【分析】(1)主要是構造函數/(x)=(l+x)"-l-〃x(X>-1),利用導數進行證明；

(2)(i)利用作差法，作差。“-。用，結合(1)中不等式證明數列的單調性，根據有界性的定

義結合單調性證明有界性，(ii)由極限定義及單調性得出左eN*,(l+：)/<e<(l+：)E,取對數變形后，

kk

令k=l,2,，〃并相加得證.

【詳解】(1)%=-1時，不等式(1+xfNl+nx顯然成立，同樣，〃=1時，(1+x)"Nl+nx顯然成立,

%>—1時,設/(%)=(1+九)"一1一批(x>-l),且〃$N*,

貝I/'(%)=a(1+x)a-〃，

當一lv尤<0時Ovl+xvl,/r(x)<0,/(%)遞減，

%>0時，1+f\x)>0,/(尤)遞增，

所以x>—1時，/(x)>/(O)=O,即(1+x)7>\+nx,

綜上，對任意的％2-1,neN*,+Zl+nx恒成立;

(2)(i)1+-

n

1,191

氏=(1+—)』+c-+C〉7++c：.—

nn

n(n—1)1n(n-l)(n—2)1n(n-I)II

=1+1+?/+-----------------?—

2!3!,Qn+n\nn

1I,2、

=1+1+—(1--)+—(1--)(1--)++1(l—)0—)(1-—),

21n31nnnlnnn

I、嚴+1=1+C1?—―+C2-----i—+??+C”+1.I

%=Za1+Q)

華〃+115+1)2川(〃+l嚴

I_(n+l)n(n-l)I(n+l)n(n—1)1I

=1+1+--------r++

2!n+l)23!n+l)n\n+l)n

=1+1+—(1—)+—(1一一—)(1--—)+.■+—(1—)(1--—)(1-^—i)

2!n+13!n+Yn+1nln+1n+1n+1

11...2、—n—1..n.

+----------(1---------)(1---------)(1---------)(z1---------),

5+1)!n+1n+1n+1n+1

比較對應項可得＜47i+l，所以｛怎｝是遞增數列;

I

又由上面展開式知v1+1+'+同+H-----<2+2^"+H-----=3——<3,又〃〃>0,所以同<3,

T

所以｛%｝是有界的;

n+\

bn=1+-2時,

n

/「匕=(1+1)"-(1+與"=(號)"一(四嚴=(3)"[(『)〃"+1]

n—1nn—1nnn—1n

"21M1

由(1)得(上)"=(1+^^)">1+￡>1+—=n+1

n-1n—1n-1nn

所以用―-優>。，即2<Nt，所以電｝是遞減數列，

因此仇=4,又b,,>0,所以聞<4,所以｛2｝是有界的；

(ii)由⑴知ak<e<bk,左?N*,即(1+?)上<e<(1+!)1，

kk

取自然對數得kln(l+y)<l<(^+l)ln(l+

kk

所以ln(l+1)<7，山(1+J)〉J1，即<In(4+1)—In左<J,

令左=1,2,，〃并相力口得』+』++-J-<ln(w+l)-lnl<l+-++-,

23n+12n

nn

即為晨i3<ln(〃+l)〈為i%

女=1K十1k=lK

3.(24-25高三上?河南焦作?開學考試)對于一個正項數列｛%｝,若存在一正實數4,使得V”eN*且〃22,

有4+%+>Aa?,我們就稱｛4｝是；I-有限數列.

⑴若數列｛%｝滿足%=1,%=1，%=a,T+a.-2(〃N3),證明：數列｛%｝為1-有限數列；

(2)若數列｛。,｝是2-有限數列，三四>0,使得V〃cN*且“22,a?<M,證明：

e11幾W11，

〉,2—T-----------------------.

+a

曰%4Myax%+〃2+n)

【答案】⑴證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用累加法可得%+|-％=4+/++4T，結合數列的單調性及1-有限數列的定義可知｛4｝

為1-有限數列；

(2)利用放縮法和裂項相消法可證不等式成立.

【詳解】(1)因為4,=%.1+4-2且｛%｝為正項數列，故0”>%，

而見=2>。2，4=1=。1，故當2時，an>an_x,

因為4=a“_i+an_2(n>3),故an-an_Y=an_2,

由累加法可得。"+|=4+。2++an-l>

故4+%++a?-i-an=an+l-a2-an=an_x-ax>an_2-ax>>ax-ax=Q,

故數列｛g｝為1-有限數列;

1A2

(2)----1--------F+

a；

二+卻+--~，

Q]ai(〃]+〃2+-+an-\)

、1萬矛

>----1--------------FH------------------------------------------

q(q+%)(6+%++an_x)+a2++a〃)

22f11

-------------+--------

+。2,CJ>3、IC^2^Z]Id?I^^3

22f11

~\-----------------------------------------------------------

〃〃1％+%++an-la\+〃2++(2n-\+an

因為V〃EN*且"22,an<M,

故事二十條['，]++[—1-----------------1——]

+a

~TataxMax+a2)卬+/+-n-i^+a2++an_x+an)

4.（2024?河南?模擬預測）已知｛%｝和｛2｝是無窮的非常數數列.給出兩個性質：①對于｛%｝中任意兩項

%為">/）,在｛瑪｝中都存在一項品，使得2q-%=%,；②對于｛%｝中任意一項%（a23）,在｛a“｝中都存

在兩項%，0/1>/）,使得a.=24-q.

⑴若4=2〃，證明：數列｛%｝滿足性質①②；

（2）若｛。,｝是單調數列，且滿足性質①②，判斷｛%｝是否為等差數列，并說明理由；

（3）若數列｛%｝和｛2｝滿足.（2）的條件，記q=max｛4—嗎也一Wj，…,6”一叫J（"=1,2,3,…,max｛x,y,z,…｝

表示％,y,z,...中的最大者），證明：下列兩個結論必有一個成立.

（0）對任意的正數存在正整數相，當機時，^>M；

n

（0）存在正整數m,使得％,cm+l,q“+2，...是等差數列.

【答案】⑴證明見解析⑵是等差數列，理由見解析⑶證明見解析

【分析】（［）由性質①②的定義，代入數列通項證明；

（2）假設｛q｝是單調遞增數列，利用性質②證明《，。2,4成等差數列，然后利用性質①證明%=%+34,

%=q+4d,a6=a1+5d,…即可；

(3)設｛%｝和｛2｝的公差分別為4,d2,表示出c“，當4>0時，證明G，Cm+l,%+2,…是等差數列；當

4<0,證明土〉

n

【詳解】(1)S^VzJeN*,i>j,2aLa產2義2i-2j=2Qi-j),

所以2ai-aj=a2i_j,所以｛4｝具有性質①.

因為V〃eN*,n>3,3k=n—\,I=n-2,2%-4=4(〃—1)—2(〃-2)=2〃=，

所以｛4｝具有性質②.

(2)假設｛q｝是單調遞增數列.

首先利用性質②：取〃=3,此時%=2%—q=%+(見一%)(左>/),

由數列的單調性可知ak>a,,

所以%=4+(4—q)>4，故左<3,

此時必有左=2,7,即。3=24-〃1，

即q,a2,生成等差數列，不妨設。2=。|+",%=%+2"3>0).

然后利用性質①：取，=3,j=2,則。,“=20,-。2=24+44-〃1-4=4+34,

即數列中必然存在一項的值為4+3d.

下面證明。4=4+3d,

若C*%+3d,則由數列的單調性可知&<%+3d.

在性質②中，取〃=4,則%=24-0=歿+(/-0)>4，從而％<4,

則伏,/｝三｛1,2,3｝[>/).

若左=3,/=2,貝！I%=2a3-%=%+3]，與假設矛盾；

若k=3,i=i,則%=2%-4=%+4d,與假設矛盾；

若左=2,"1,則。&=22一%=%+2d=%，與數列的單調性矛盾.

故不存在滿足題意的正整數鼠I,可見/<4+3"不成立，從而q=4+3d.

同理可得為=6+41,a6=ax+5d...從而｛q｝為等差數列.

｛%｝是單調遞減數列時同理可證，故｛%｝為等差數列.

（3）設｛%｝和也｝的公差分別為4，d29

則4-nak=bx-^(k-l)d2-n[al-^-(k-T)di]=bl-na{+(t/2-^)(^-1).

所以當壯2＞〃4時，=4一叫+（〃一1）（4一叫）；當心。4時，Cn=bx-na1.

①當4＞。時，取正整數機＞丁，則當九2機時，ndx＞d2,因此c〃二仇一〃q,

此時分，^m+l，C/n+2，,,,是等差數列.

②當4<。，且時，有〃4<4.

方日以，=4-叫+(〃一1)(4"4)

nn

=〃(-4)+4-4+4+—~~—

一n

2H(-4)+4—q+d-2—%-41.

對任意的正數M,取正整數心max]加+—-&I：?-4一人,\],當〃之機時，有4＞聞.

I—4dxJn

所以題中的兩個結論必有一個成立.

5.（2024?海南?模擬預測）定義：已知數列｛風｝為有窮數列，①對任意力,j/）,總存在《eN*,

使得aflj=縱，則稱數列｛%｝為"乘法封閉數列"；②對任意i,j㈠"eN*,i，）,總存在府eN*,使得，=%，

則稱數列｛aj為“除法封閉數列"，

⑴若氏=3〃-2（lW"W20,〃eN*）,判斷數列｛%｝是否為"乘法封閉數列”.

（2）已知遞增數列L電，4,8,為"除法封閉數列"，求出和口

⑶已知數列｛%｝是以1為首項的遞增數列，共有％項，kN5,keN*,且為"除法封閉數列”，探究：數列｛%｝

是否為等比數列，若是，請給出說明過程；若不是，請寫出一個滿足條件的數列｛g｝的通項公式.

【答案】⑴不是（2）%=2,%=4⑶是；說明過程見解析

【分析】（1）舉例說明。3，4兩項之積不是數列｛%｝中的項即可；

（2）由遞增數列得不等關系，再利用不等式性質重新排序，由此將兩類排序數列中的項對應相等，建立方

程組求解可得；

（3）由特殊到一般，找到規律，同（2）方法分別以左項與左-1項的大小關系入手，排序可得兩個系列的等

量關系，借助中間量可得比例關系蟲=2=旦=-=也=2,由此得證.

ClyCl?d_2dk一］

【詳解】（［）由題意知，數列｛%｝為：1,4,7,10,13,,58.

由生。=7x10=70,70不是數列｛%｝中的項，

故數列｛q｝不是"乘法封閉數列"；

（2）由題意數列遞增可知1</<生<8,貝口<&■<%,且1<g"<色<8,

又數列｛q｝為"除法封閉數列“，則二，一，一都是數列｛%｝中的項，

^^3^^2

所以會=為，即的=W①;

88

且一=〃2,—=。3,即。2。3=8②，

聯立①②解得，%=2,%=4；

（3）數列包J是等比數列.

證明：當月=5時,設數列｛4”｝為1,%%，。4，。5，

由題意數列｛%｝遞增可知l<a2<a3<a4<a5,

貝U有rOt-rVt-■r<=<▲VTc=%,

由數列｛a?｝為"除法封閉數列"，

則&，生，生，生，出這5個數都是數列｛%｝中的項，

1）

a5a4a3a2ax

14a.a.a.a.

所以有l=—=q,--=%，—=〃3，--=44，—=。5,

^^5^^4CI3d?d-y

則有a5=a1a5=a2a4=af,—=—,—=—③.

同理由1=4~<4~<幺<幺=%,可得幺=%,幺=%,4~=〃4，

則有。4=。1。4=。2。3，即-’■④；

^^3Cly

由③④可得，故｛%｝是等比數列.

當左?6時，由題意數列｛4｝遞增可知1<a2<a3<<ak_x<ak,

貝U有1="<&<

akak-\“3a2a\

由數列｛%｝為〃除法封閉數列〃，則這k個數都是數列｛an｝中的項.

a=a

所以有1=」=。1，一二。2,，上=4-2，工=k-V-k.

^,ic—ici?

aa

所以有處=4%=a2al==k\，即%1="0(14區％-1)⑤；

aiak-i

同理由1<〃2<。3<<〃i，可得=ak_x

“左-1做-2%41

±

所以1二^=〃1，-^±=〃2，，^±=%-2，^±=%-1.

〃女-1%-2，2

a=aa=aa==aa

則k-l\k-\