專題15解答中檔圓的計算與證明

一、解答題

1.（2024.廣東深圳?統考中考真題）如圖，在△A5Z）中，AB=BD,。。為△A3。的外接

圓，延為。。的切線，AC為。。的直徑，連接。C并延長交3E于點E.

D

（1）求證：DE上BE；

（2）若AB=5娓,BE=5,求。。的半徑.

2.（2023?廣東深圳?統考中考真題）如圖，在單位長度為1的網格中，點。，A,B均在格點

上，OA=3,AB=2,以。為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問

題：

①過點A作切線AC,且AC=4（點C在A的上方）；

②連接OC,交。。于點。；

③連接BD,與AC交于點E.

（1）求證：為OO的切線；

（2）求AE的長度.

3.（2022?廣東深圳?統考中考真題）二次函數丁=5爐,先向上平移6個單位，再向右平移3

個單位，用光滑的曲線畫在平面直角坐標系上.

y=2x2y=2(x-3p+6

(0,0)(3,m)

（L2）（4,8）

。，8）（5/4）

（T2）（2,8）

(-2,8)UM

（1）冽的值為；

11

（2）在坐標系中畫出平移后的圖象并求出y=-萬必9+5與丁=5好9的交點坐標；

（3）點P（玉,％）,。（9,當）在新的函數圖象上，且尸，。兩點均在對稱軸的同一側，若

兀>/，則4巧（填“>”或“〈”或“=”）

4.（2024?廣東深圳?鹽田區一模）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。分別

交AC、于點。、E.點尸在AC的延長線上，且NC3P=LNC4B.

2

A

(1)求證：直線防是O。的切線；

(2)若AB=3,sinZCBF=—,求正的長.

5

5.(2024?廣東深圳?福田區三模)如圖1,AB為O。的直徑，C為。。上一點，點。為AC

的中點，連接AD,CD,過點C作CE〃A￡)交A3于點E,連接DE,DB.

(2)如圖2,過點。作。。的切線交EC的延長線于點R若A￡)=0,且AC=BC，求石尸

的長.

6.(2024.廣東深圳33校聯考二模)如圖，在等腰中，AB=BC,80平分/ABC,

過點A作交80的延長線于D連接CD,過點。作DEL50交的延長線于

(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由;

（2）若DE=10,sinZDAO=—，求四邊形ABC。的面積.

5

7.（2024?廣東深圳-33校聯考一模）如圖，QO是VABC的外接圓，直徑3。與AC交于點E,

點尸在5c的延長線上，連接。產，ZF=ZBAC.

（1）求證：。歹是0。的切線；

（2）從以下三個選項中選一個作為條件，使。/〃AC成立，并說明理由;

①=②AD=DC；③=

你選的條件是：.

8.（2024?廣東深圳?南山區一模）如圖，8。是矩形ABC。的對角線.

（1）求作。A,使得。A與8。相切（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，設瓦）與。A相切于點E,CF±BD,垂足為尸.若直線C尸與。A相

切于點G,求tan/ADB的值.

9.（2024?廣東深圳?寶安區二模）如圖（1）是某餐館外的伸縮遮陽棚，其輪廓全部展開后可

近似看成一個‘圓，即弧A。。，已知。4和遮陽棚桿子OD在同一條直線上，且與地面垂直,

4

當上午某一時刻太陽光從東邊照射，光線與地面呈45。角時，光線恰好能照到桿子底部。點,

已知OD長為2m.

（2）如圖（2）當下午某一時刻太陽光從西邊照射，光線與地面呈60。角，在遮陽棚外，距離

遮陽棚外檐C點正下方E點（月-1卜的尸點處有一株高為L2m的植物，請問植物頂端能否

會被陽光照射？請說明理由.（指”L73）

（3）如圖（3）為擴大遮陽面積，餐館更換了遮陽棚，新遮陽棚輪廓可近似看成拋物線的一

12

部分，已知新遮陽棚上最高點仍為A點，且外檐點C到AD的距離為二111、到DH的距離

28

為-m.現需過遮陽棚上一點P為其搭設架子，架子由線段GP、線段PH兩部分組成，其

中GP，與地面垂直，若要保證從遮陽棚上的任意一點P（不含A點）都能按照上述

要求搭設架子，則至少需要準備_____m的鋼材搭設架子.

10.（2024?廣東深圳?寶安區三模）如圖，。。是AABC的外接圓，連接。A交于點。.

（1）求證：NQ4C與4互余；

（2）若AD=6,班＞=10,CD=8,求。。的半徑.

11.（2024?廣東深圳?福田區二模）如圖，在AABC中，AB=AC,以A3為直徑的交

邊AC于點。，連接3。，過點C作CE〃AB.

（1）請用無刻度的直尺和圓規作圖：過點B作。。的切線，交CE于點尸；（不寫作法，保

留作圖痕跡，標明字母）

（2）在（1）的條件下，求證：BD=BF；

（3）在（1）的條件下，CF=2,BF=6,求。。的半徑.

12.（2024?廣東深圳?光明區二模）如圖，過圓外一點P作。。的切線，切點為A,AB是。。

的直徑.連接尸0,過點A作/3。的垂線，垂足為。，同時交。。于點C,連接3cpe.

（1）求證：PC是的切線：

（2）若BC=2,OB=?OD,求切線P4的長.

13.（2024?廣東深圳-33校三模）如圖，。。是VABC的外接圓，AD是O。的直徑，尸是AD

延長線上一點，連接。，CF,且CF是。。的切線.

（1）求證：ZDCF=ZCAD；

（2）若CF=限叵，DF=4,求。。的半徑.

14.（2024?廣東深圳?龍華區二模）如圖，以A3為直徑的。。交于點，DE1AC,

垂足為E.

（1）在不添加新的點和線的前提下，請增加一個條件：，使直線OE為。。的切線,

并說明理由；

2

（2）在（1）的條件下，若JDE=6,tanZADE=—,求。0的半徑.

3

15.（2024?廣東深圳?羅湖區二模）如圖，45是0。的直徑，弦8，回于點￡,點尸在。。

上，ZPBC=NC.

（1）求證：CB//PD；

（2）若5c=12,BE=8,求。。的半徑.

16.（2024?廣東深圳?羅湖區三模）如圖，AB是O。的直徑，點。在。。上；按下列步完成

作圖，并回答問題：

①作ZBAC的平分線AD交。。于點。，

②過點O作直線AC的垂線，交AC的延長線于點E,

③連接3DCD,

（1）求證：直線￡）￡1是O。的切線；

（2）若DE=#＞，AB=4,求AD的長.

17.（2024?廣東深圳?南山區三模）如圖，以等腰4WC的腰A3為直徑作O。，交底邊于

點。，過點。作。￡工AC,垂足為工

A

BDC

（1）求證：DE為。。的切線；

（2）若DE=4,DC=6,求OO的半徑.

18.（2024?廣東深圳?南山區二模）如圖，在AABC中，NACB=90。，點。是AB上一點，且

/BC0='/A,點。在5c上，以點。為圓心的圓經過G。兩點.

2

（1）求證：是的切線；

3

（2）若sinB=《,。。的半徑為3,求AC的長.

19.（2024?廣東深圳.九下期中）家用電滅蚊器的發熱部分使用了PTC發熱材料，電阻R（單

位：kQ）隨溫度/（單位：℃）（在一定范圍內）變化而變化，通電后該表記錄了發熱材料溫度

從上升到30°。的過程中，發現電阻與溫度有如下關系：

t(℃)10152030

R/Q)6432

R/k。

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O510152025303540455055〃工

(1)根據表中的數據，在圖中描出實數對&H)的對應點，猜測并確定R與。之間的函數解

析式并畫出其圖象；

4

(2)當時，R與?的函數解析式為R=百，—6.在圖中畫出該函數圖象；

(3)根據以上信息，家用電滅蚊器在使用過程中，溫度在什么范圍內發熱材料的電阻不超過

6kQ?

20.(2024?廣東深圳?紅嶺中學模擬)如圖，在△ABC中，NABC=90。，點。是5c邊上一

點，以CD為直徑的OO與邊AC交于點連接BE,AB=BE.

A

￡

BD\O

(1)求證：B石是O。的切線;

(2)若tanNACB=」，。。的直徑為4,求5。的長.

2

專題15解答中檔圓的計算與證明

一、解答題

1.（2024.廣東深圳?統考中考真題）如圖，在△A5Z）中，AB=BD,。。為△A3。的外接

圓，延為。。的切線，AC為。。的直徑，連接。C并延長交3E于點E.

D

（1）求證：DE上BE；

（2）若AB=5娓,BE=5,求。。的半徑.

【答案】（1）見解析（2）375

【解析】

【分析】本題考查切線的性質，圓周角定理，中垂線的判定和性質，矩形的判定和性質：

（1）連接50并延長，交AD于點H,連接0。，易證80垂直平分AD，圓周角定理，切

線的性質，推出四邊形5HDE為矩形，即可得證；

（2）由（1）可知￡>"=3石=5,勾股定理求出的長，設OO的半徑為「，在RtAAOH

中，利用勾股定理進行求解即可.

【小問1詳解】

證明：連接80并延長，交AD于點H,連接。。，

D

VAB=BD,OA=OD,

/.80垂直平分AD,

ABH±AD,AH=DH，

BE1為。。的切線，

/?HBLBE，

?：AC為。O的直徑，

：.ZADC^90°,

四邊形5HDE為矩形，

；?DELBE；

【小問2詳解】

由（1）知四邊形3印）石為矩形，BHJ.AD，AH=DH,

SAH=DH=BE=5,

?*-BH=y/AB2-AH2=575，

設。。的半徑為,，貝的OA=OB=r,OH=BH-OB=5y[5-r,

在Rtaaw中，由勾股定理，得：,=（5『+（56—

解得：r-3^5；

即：。。的半徑為36.

2.（2023?廣東深圳.統考中考真題）如圖，在單位長度為1的網格中，點。，A,B均在格點

上，04=3,AB=2,以。為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問

題：

①過點A作切線AC,且AC=4（點C在A的上方）;

②連接0C,交。。于點。；

③連接BD,與AC交于點E.

（1）求證：5。為。。的切線；

（2）求AE的長度.

【答案】（1）畫圖見解析，證明見解析

3

（2）AE=-

2

【解析】

【分析】（1）根據題意作圖，首先根據勾股定理得到OC=Nod+402=5，然后證明出

AAOC^ADOB（SAS）,得至I]ZOAC=ZODB=90°,即可證明出BD為O。的切線；

（2）首先根據全等三角形的性質得到=AC=4,然后證明出VB4ESVBDO,利用相

似三角形的性質求解即可.

【小問1詳解】

如圖所示，

：AC是OO的切線,

；?OA1AC,

VOA=3,AC=4,

???OC=^O^+AC2=5>

VOA=3,AB=2,

***OB=OA+AB=5,

***OB=OC,

又,：OD=OA=3,AAOC=/DOB,

：.AAOC^DOB(SAS),

/.ZO4C=Z<9DB=90°,

/.ODLBD,

:點。在。。上，

為。。的切線；

【小問2詳解】

,/7Aoe冏DOB,

：.BD=AC=4,

VZABE=ZDBO,ZBAE=ZBDO,

，NBAE^NBDO,

AEABAE2

二——=——，即an一=一,

ODBD34

3

解得AE=—.

2

【點睛】此題考查了格點作圖，圓切線的性質和判定，全等三角形的性質和判定，相似三角

形的性質和判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

1,

3.（2022?廣東深圳?統考中考真題）二次函數y=e],先向上平移6個單位，再向右平移3

個單位，用光滑的曲線畫在平面直角坐標系上.

y=2%2y=2(x-3p+6

(0,0)(3,m)

。，2）（4,8）

（2,8）（544）

(T2)(")

(-2對（U4）

（1）加的值為；

1919

（2）在坐標系中畫出平移后的圖象并求出丁=———+5與3；=——的交點坐標；

2.2

（3）點P（%,%）,。（%,%）在新的函數圖象上，且RQ兩點均在對稱軸的同一側，若

yi>%則Xi4（填“>”或“〈”或“=”）

【答案】（1）m-6

（2）圖見解析，（石,0）和（―J?,0）

（3）<或>

【解析】

【分析】（1）把點（3,機）代入y=2（x—37+6即可求解.

（2）根據描點法畫函數圖象可得平移后的圖象，在根據交點坐標的特點得一元二次方程，解

出方程即可求解.

（3）根據新函數的圖象及性質可得：當P,。兩點均在對稱軸的左側時，若%>%，則占<多，

當P,。兩點均在對稱軸的右側時，若為〉％,則%>々，進而可求解.

【小問1詳解】

解：當x=3時，m=2（3-3）2+6=6,

m=6.

【小問2詳解】

平移后的圖象如圖所示:

當X=J?時，y=o,則交點坐標為：（、后,0）,

當x=—6時，y=。，則交點坐標為：（一J?,o）,

綜上所述：y=—與y=的交點坐標分別為（、后,0）和（-J?,0）.

【小問3詳解】

由平移后的二次函數可得：對稱軸x=3,。=2>0,

.?.當％<3時，y隨尤的增大而減小，當時，y隨工的增大而增大，

當P,。兩點均在對稱軸的左側時，若丹〉為，則X[<9，

當P,。兩點均在對稱軸的右側時，若為〉％,則%%,

綜上所述:點尸（七,州）,。（々,％）在新函數圖象上，且P，Q兩點均在對稱軸同一側，若M〉為，

則X]</或為>%2，

故答案為：〈或〉.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象及性質，二次函數圖象的平移，理解二次函數的性質，

利用數形結合思想解決問題是解題的關鍵.

4.（2024.廣東深圳?鹽田區一模）如圖，在反48。中，AB=AC,以A3為直徑的O。分別

交AC、于點。、E.點廠在AC的延長線上，且=

2

A

BF

（1）求證：直線班'是。。的切線；

（2）若AB=3,sinZCBF=—，求班'的長.

5

【答案】（1）見解析（2）4

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質，三角函數的定義，熟練掌握各種

性質是解題的關鍵.

（1）連接AE,利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳

角相等得到直角，從而證明結論；

⑵作CG,所于點G,利用已知條件證明廣，利用比例式求出線段長.

【小問1詳解】

證明：連接AE,

???AB是的直徑，

ZAEB=90。,

:.ZEAB+ZEBA=90°,

?.?AB=AC,

:.NEAB=NEAC,

ZCBF=-ZCAB,

2

ZCBF=ZEAB,

ZCBF+ZEBA=90°,

即NABb=90°,

二直線^8戶是。。的切線；

小問2詳解】

解：作CG_L5b于點G,

在RtAABE中，sinZEAB=sinZCBF=—

5

EB7?

---——，

AB5

AB=3,

.RF_3小

..JDJLS------------，

5

BC=2BE=述，

5

在Rt^BCG中，sinZCBF=—=—,

BC5

於6石

BC=-----，

5

??Cj--,

5

'.?CG//AB,

.GFCG

一而一而‘

BG=y]BC2-CG2=—

5

:.GF=BF-BG=BF-—

5

A

?：CG=-,AB=3,

5

DDAr----1--2-

52,

BF5

解得5尸=4.

5.(2024?廣東深圳?福田區三模)如圖1,AB為O。的直徑，C為。。上一點，點。為AC

的中點,連接AD,CD,過點C作CE〃A￡)交A3于點E,連接DE,DB.

(2)如圖2,過點。作。。的切線交EC的延長線于點R若A￡)=0,且AC=BC，求石尸

的長.

【答案】(1)證明見解析

⑵2+72

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，弧與弦，圓心角，圓周角之間的關系，

等腰直角三角的性質與判定，勾股定理等等：

(1)由直徑所對的圓周角是直角得到NADfi=90。，由平行線的性質得到

NEGB=NCGB=90。,證明得到EG=CG,再證明

△DGEmADGC(SAS),即可證明DE=DC；

(2)如圖所示,連接OD、OC,先求出ZAOC=NBDC=90°，則ZCDB=-ZBOC=45°,

2

進而得到NADC=NAD5+NCDfi=135。，由平行線的性質得到NZ)CE=45°,則可證明

△￡)CE是等腰直角三角形，可得CD=DE=AD=0，則CE=J5CD=2;

是。。的切線，再證明NCD尸=22.5。=/尸，得到。尸=8=血，貝U

EF=CE+CF=2+y/2-

【小問1詳解】

證明：設CE,BD交于G,

AB為。。的直徑，

AZAZ)B=90°,

?：CE//AD,

：.NEGB=NADB=90°,

：.NEGB=/CGB=90°,

:點。為AC的中點，

?>-AD=CD，

：./EBG=NCBG,

又,：BG=BG，

：.ACBG名AEBG,

：.EG=CG,

又?：DG=DG,/DGE=/DGC,

：.SGE均DGC(SAS),

**?DE=DC；

C

D

rI【小問2詳解】

圖i

解：如圖所示，連接OD、OC,

"-,AC=3C，

ZAOC=ZB￡>C=90°,

/.ZCDB=-ZB（9C=45°,

2

ZADC=ZADB+ZCDB=135°,

?/AD//CE,

：./DCE=180°—/ADC=45°,

由（1）可得DE=DC,

：.ZDEC=ZDCE=45°,

/.△￡）色是等腰直角三角形，

?二.,點。為AC的中點，

二AD=CD，

:.CD=DE=AD=6,

?>-CE=亞CD=2;

:。石是。。的切線，

ZODF=90°,

ZBDF=67.5°,

NF=90°-NFDB=22.5°,

?/ADHEF,

，NADF=180°-ZF=157.5°，

：./CDF=2250=/F,

CF=CD=也,

EF=CE+CF=2+y/2.

F

圖2

6.（2024?廣東深圳-33校聯考二模）如圖，在等腰中，AB=BC,80平分/ABC,

過點A作AD/BC交80的延長線于O,連接CD,過點。作DELBD交的延長線于

E.

BCE

（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

（2）若。E=10,sinZDAO=—,求四邊形ABC。的面積.

5

【答案】（1）四邊形ABCD是菱形，理由見解析；

（2）25.

【解析】

【分析】本題考查了菱形的性質與判定、等腰三角形的性質、解直角三角的相關計算、菱形

的面積計算，熟練掌握菱形的性質與判定是解題的關鍵.

第一問，由等腰三角形三線合一，結合平行線的性質，可證得到=

推出四邊形ABCD是平行四邊形，再結合鄰邊相等，得證；

第二問，由sinNZMO=sin/3CO,得到80和的比，再利用勾股定理得到80和CO

的長度，最后由菱形的面積公式得出答案.

【小問1詳解】

四邊形ABCD是菱形，理由如下，

AB=BC,80平分/ABC,

???AC1BD,AO^CO,

■：ADUBE,

；ZADO^ZCBO,

：.AADO=^CBO（AAS）,

AD=BC,

四邊形ABC。是平行四邊形，.

??AB=BC,

四邊形ABC。是菱形.

【小問2詳解】

???OC//DE,。是的中點，

*'■ABOCSABDE，

,BOBCPC1

??茄一族一法—5'

OC=-DE=-xlQ=5,

22

AD//BE,

/DAO=ZBCO,

■■■sinZDAO=sinZBCO,

BC5

設50=x,則5C=&x，

由及ABOC得,￡+52k（小,

x=-,SPBC>=-,

22

???四邊形ABC。是菱形,

?.BD=2BO=5,AC=2CO=10,

S^^——BD-AC=—x5xlO=25.

麥影ABfiCrDn22

故答案為：25.

7.（2024?廣東深圳33校聯考一模）如圖，QO是VABC的外接圓，直徑3。與AC交于點E,

點尸在5C的延長線上，連接DR,ZF=ZBAC.

（1）求證：。歹是0。的切線；

（2）從以下三個選項中選一個作為條件，使。尸〃AC成立，并說明理由；

①AB=AC；②A。"。；③NC4D=ZAB"

你選的條件是：.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余，理解并掌握相關圖形

的性質定理是解決問題的關鍵.

（1）由直徑所對圓周角為直角可知N54C+ND4c=90。，結合圓周定理可知

ZDAC=ZDBC,由/歹=44。，可知ZF+N￡>fiC=90°,進而可知即，爐，即

可證明結論；

（2）若選②，由等弧所對圓周角相等可知NASD=NDB廠，結合（1）證NADB=NR,

由圓周角定理可知/4/汨=/8。4,證得/歹=/86,進而可得結論；

若選③由同弧所對圓周角相等可知NC4O=NOBC,結合NC4D=NA5。，可知

ZABD=NDBC,得公。=℃，同②，可證。7〃AC.

【小問1詳解】

證明：是。。的直徑，

ZBAD=90°,

ZS4C+ZZ14C=90o,

CD=CD

/DAC=NDBC,

又：ZF=ZBAC,

：.ZF+ZDBC=90°,則ZBDF=90°,

：.BD±DF,

O歹是。。的切線；

【小問2詳解】

若選②AD=DC；

;AD=DC'

/.ZABD=ZDBF，

由（1）可知：ZABD+ZADB=90°=ZDBF+ZF=90°,

ZADB=ZF,

由圓周角定理可知ZADB=NBCA,

NF=/BCA,

DF//AC■,

若選③NC4Z）=NASD；

???CD=CD，

NCAD=NDBC,

???NCAD=ZABD,

：.ZABD=ZDBC,

AD=DC）

同②，可知。E〃AC；

8.（2024?廣東深圳?南山區一模）如圖，8。是矩形ABC。的對角線.

（1）求作。A,使得。A與8。相切（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，設3。與。A相切于點E,CFLBD,垂足為足若直線CP與。A相

切于點G,求tan/ADB的值.

【答案】（1）作圖見解析

⑵

2

【解析】

【分析】（1）先過點A作5。的垂線，進而找出半徑，即可作出圖形；

（2）根據題意，作出圖形，設NAZ55=a,OA的半徑為「，先判斷出5E=DE,進而得出

四邊形AE尸G是正方形，然后在放△A3E中，根據勾股定理建立方程求解vtan。，再

判定△ABE1四△CDF,根據5￡=。方二八311。，DE—DF+EF-rtana+r9在

AE

放△AOE中，利用tanNAQE=—,得到taMa+tana—1=0，求解得到tanNAOB的值

DE

為叵立

2

【小問1詳解】

解：如圖所示，0A即為所求作：

【小問2詳解】

解：根據題意，作出圖形如下:

設NAD5=a,。4的半徑為廠，

???8D與。A相切于點及C尸與。A相切于點G,

：.AE_LBD,AGLCG,即NAEb=NAG尸=90。，

VCF1BD,

：.ZEFG=90°,

???四邊形AEFG是矩形，

又AE-AG-r,

???四邊形AEFG是正方形，

EF=AE=r,

在放AAM和放△ZMB中，ZBAE+ZABD=90°,ZADB+ZABD=90°,

:./BAE=ZADB=cc,

BE

在放中，tanZBAE=——,

AE

BE=rtana

???四邊形ABC。是矩形，

/.AB//CD,AB=CD,

：.ZABE=ZCDF,又ZAEB=/CFD=90°,

：.AABE/ACDF,

:.BE=DF=rtanof,

DE—DF+EF-rtana-vr,

AE

在Rt/\ADE中，tan/ADE=---,即DE-tana-AE,

DE

(rtana+r)tana=r,即tan?￡+tana—l=0，

丁tana>0,

tana=近4，即tanZADB的值為近人.

22

【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規作圖，切線的性質，全等三角形的判定和性質，

正方形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理，銳角三角函數，利用三角函數得出線

段長建立方程是解決問題的關鍵.

9.（2024?廣東深圳?寶安區二模）如圖（1）是某餐館外的伸縮遮陽棚，其輪廓全部展開后可

近似看成一個工圓，即弧AOC，已知。4和遮陽棚桿子0。在同一條直線上，且與地面垂直，

4

當上午某一時刻太陽光從東邊照射，光線與地面呈45。角時，光線恰好能照到桿子底部。點，

已知OD長為2m.

圖1圖2圖3

（1）求遮陽棚半徑04的長度.

（2）如圖（2）當下午某一時刻太陽光從西邊照射，光線與地面呈60。角，在遮陽棚外，距離

遮陽棚外檐C點正下方E點（6-1卜的尸點處有一株高為L2m的植物，請問植物頂端能否

會被陽光照射？請說明理由.（G7L73）

（3）如圖（3）為擴大遮陽面積，餐館更換了遮陽棚，新遮陽棚輪廓可近似看成拋物線的一

部分，已知新遮陽棚上最高點仍為A點，且外檐點C到A。的距離為gm、到DH的距離

為現需過遮陽棚上一點尸為其搭設架子，架子由線段GP、線段PH兩部分組成，其

中GPL與地面垂直，若要保證從遮陽棚上的任意一點尸（不含A點）都能按照上述

要求搭設架子，則至少需要準備_____m的鋼材搭設架子.

【答案】(1)2m

(2)植物頂端不能被太陽照射，理由見解析

【解析】

【分析】(1)解直角三角形CDO,求得結果；

(2)連接延長FG交于V,可證得RtAHPWkRtAHOD,從而得出

ZWHO=ZDHO^30°，DH=WH,從而求得QH的值，進而得出

FH=DH-DE-EF=6，從而得出

FV=FH-tanZDHW=(6—1)?tan60°?tan60°=3-A5a3—1.73=1.27/n,進一步得

出結果;

(3)以所在直線為x軸，DA所在的直線為＞軸建立坐標系，可求得拋物線的解析式為

y=-|x2+4,從而可設設P(777,--m2+4),從而表示出

22

119

PG+PH=——TT?+m+4=——(m-l)?2+-,進一步得出結果.

2t22

【小問1詳解】

\-OALDX,NCDX=45。,

:.ZODC=45°,

ZCOD=90°,OD=2,

OC=OD-tan/ODC=2，

\OA=OC=2；

【小問2詳解】

植物頂端不能被太陽照射，理由如下：

連接延長FG交于V,

?.?WH與相切，

:.ZD^ZOWH^90°,

?.?OW=OD=2,OH=OH,

：.Rt"ffWgRtqOD(HL),

ZWHO=ZDHO=30°,DH=WH,

DH=———=—-—=2A/3,

tanZDHOtan30°

1.?FH=DH-DE-EF=26-2-4-口=6-1,

FV=FH-tanZD7/W=(V3-1)-tan600-tan60°=3-A/3?3-1.73=1.27m,

V1,27>1.2,

二植物頂端不能被太陽照射；

【小問3詳解】

解：如圖3,

設拋物線的解析式為：y=o?+4,

1

a——,

2

(12

設夕陽,——m+4

11?Q

PH+PG=——Tr+m+4=——(m-1}+-,

2t2V72

9

???當加=1時，9+PG有最大值為一，

2

9

故答案為：—.

2

【點睛】本題考查了二次函數及其圖象的性質，圓的切線的性質，三角形全等的判定與性質,

解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是理解題意，列出函數關系式.

10.（2024?廣東深圳?寶安區三模）如圖，。。是AABC的外接圓，連接Q4交于點。.

A

(1)求證：NQ4c與互余；

(2)若AD=6,BD=10,CD=8,求。。的半徑.

【答案】(1)證明見解析

29

(2)——

3

【解析】

【分析】(1)延長A0交。。于點E,連接CE,如圖所示，由直徑所對的圓周角是直角,

利用互余及圓周角定理代換即可得證；

40

(2)由題中條件得到△AOBSAQCE,利用相似比，代值求解得到DE=一即可確定答案.

3

【小問1詳解】

證明：延長AO交。。于點E,連接CE,如圖所示:

???AE是。。的直徑，

ZACE=90°,

：.ZE+ZOAC^90°，

,/ZB=ZE,

：.ZOAC+ZB=90°；

【小問2詳解】

解：vZB=ZE,ZADB^ZEDC,

AADBS^DCE,

DBDA

DE~DC

*.*BD=10JCD=8,AD=6,

t=['解得=,

.?.oa=L1竺+629

23T

【點睛】本題考查圓綜合，涉及圓周角定理、互余、相似三角形的判定與性質、圓的性質等

知識，熟練掌握圓的性質及三角形相似的判定與性質是解決問題的關鍵.

11.（2024?廣東深圳?福田區二模）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的交

邊AC于點。，連接3。，過點C作CE〃AB.

（1）請用無刻度的直尺和圓規作圖：過點B作。。的切線，交CE于點尸；（不寫作法，保

留作圖痕跡，標明字母）

（2）在（1）的條件下，求證：BD=BF；

（3）在（1）的條件下，CF=2,BF=6,求。。的半徑.

【答案】（1）畫圖見解析

（2）證明見解析（3）。。的半徑為5.

【解析】

【分析】（1）根據尺規作圖，過點8作A3的垂線，交CE于點產，即可求解；

（2）根據題意切線的性質以及直徑所對的圓周角是直角，證明N5￡）C=N5FC,根據平行

線的性質以及等腰三角形的性質得出BCD=ZBCF,進而證明ABCD^ABCF（AAS）,即

可得證.

（3）由（2）得:BD=BF=6,CD=CF=2,設A5=AC=2r,再利用勾股定理可得

（2r-2）2+62=（2r）\再解方程即可.

【小問1詳解】

解：方法不唯一，如圖所示.

【小問2詳解】

AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

又；CE//AB,

:.ZABC=/BCF,

:.ZBCF=ZACB.

?.?點。在以AB為直徑的圓上,

：.ZADB=90°,

:.NBDC=90。.

又；B尸為。。的切線，

：.ZABF=90°.

'：CE//AB,

：.ZBFC+ZABF^1SO0,

：.ZBFC=9Q°,

：.ZBDC=ZBFC.

:在ABC。和△BCR中，

NBCD=NBCF,

<ZBDC=NBFC,

BC=BC,

：.ABCD^ABCF(AAS).

，BD=BF.

【小問3詳解】

由（2）得：BD=BF=6,

,：RtAB￡）C^RtABFC,

：.CD=CF=2,

設AB=AC=2r,

；?AD=2r-2,

VZAZ）B=90°,

.-.（2r-2）2+62=（2r）\

解得：r=5,

的半徑為5.

【點睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性

質與判定，勾股定理的應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

12.（2024?廣東深圳.光明區二模）如圖，過圓外一點P作的切線，切點為A,AB是

的直徑.連接尸o,過點A作PO的垂線，垂足為。，同時交。。于點c,連接3cPC.

（1）求證：PC是OO的切線:

(2)若BC=2,OB=?OD,求切線Q4的長.

【答案】（1）見解析（2）3M

【解析】

【分析】⑴連接OC,由垂徑定理可得AD=CD,通過小。!!在△OCD（SSS）,得

ZAOD=ZCOD,通過4Pg△OCP（SAS）,可得NOCP=NQ4P=90°,根據切線的判

定定理，即可求解;

(2)由三角形的中位線得到。。=33。=；*2=1,OA=OB=MOD=M,

在RtZXADO中，根據勾股定理，得到A。的長，tanNAOD=3,在Rt^APO中，根據正

切三角函數，即可求解，

【小問1詳解】

解：連接0C,

13.(2024?廣東深圳33校三模)如圖，。。是VABC的外接圓，AD是。。的直徑，尸是AD

延長線上一點，連接CD,CF,且C尸是。。的切線.

(1)求證：ZDCF=NCAD；

(2)若CF=限叵，DF=4,求O。的半徑.

【答案】(1)見解析(2)。。的半徑為2

【解析】

【分析】本題主要考查了圓的基本性質、圓周角、切線的性質、勾股定理等知識，正確作出

輔助線是解題關鍵.

(1)連接OC,結合“直徑所對的圓周角為直角”可得ZACD=90。，即有

ZOCD+ZOCA=90°,再結合切線的性質可得OCJ_CE,進而可得

“CF+NOCD=90。，可證明NOC4=NDCF,結合OC=Q4,易得NC4D=NOC4,

即可證明結論；

(2)設OC=OD=x,在RtZkOCE中，根據勾股定理可得0。2+。/2=0尸2,代入數值

并計算，即可獲得答案.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接OC,

2

rc

：AD是。。的直徑，

ZACD=90。,

Z.ZOCD+ZOCA=90°,

：“是。。的切線，OC為。。半徑，

OCA.CF,

：.ZDCF+ZOCD^90°,

ZOCA=ZDCF,

:OC^OA,

：.ZCAD=ZOCA,

：.ZDCF=ACAD；

【小問2詳解】

解：設OC=OD=x,

,:CF=4叵,DF=4,

?*.OF=OD+DF=x+4，

,?OCA.CF,

：.NOCF=90。,

?*-OC~+CF2=OF2,

：.X2+(4A/2)2=(x+4)2,

解得x=2,

即。。的半徑為2.

AD—CD，

,:OA-OC,OD-OD,

A04D^AOCD（SSS）,

ZAOD=ZCOD,

VOA=OC,OP=OP，

：.AOAP^AOCP（SAS）,

ZOCP=ZOAP,

'：是。。的切線，

NQ4P=90。，

ZOCP=ZOAP=90°,

：.PC是。。的切線，

【小問2詳解】

解：：AD=CD,AO=BO,

：.OD=-BC=-x2=l,

22

：.OAOB=MOD=M,

_____________24P3

在RtZXADO中，AD=^AO2-DO2=V10-l=3>tanZAOD=麗=7=3，

在Rt^APO中，PA^AOtanZAPO^y/10x3^3sJ10，

故答案為：3M.

【點睛】本題考查了垂徑定理，全等三角形的性質與判定，切線的性質與判定，三角形的中

位線，解直角三角形，熟練掌握相關性質定理及判定定理是解題關鍵.

14.（2024?廣東深圳.龍華區二模）如圖，以A3為直徑的。。交于點，DE1AC,

垂足為E.

（1）在不添加新的點和線的前提下，請增加一個條件：，使直線OE為。。的切線,

并說明理由；

2

（2）在（1）的條件下，若JDE=6,tanZADE=—,求。0的半徑.

3

【答案】（1）增加條件：AB=AC,見解析

13

(2)

T

【解析】

【分析】本題考查切線的判定，解直角三角形，圓周角定理等知識，解題的關鍵是掌握切線

的判定方法，屬于中考常考題型.

（1）添加條件：AB=AC（答案不唯一）.證明推出0。E即可；

（2）解直角三角形分別求出AE，EC,再證明=得出AB=AC=13,進而

可得答案.

【小問1詳解】

增加條件：AB=AC.

證明：連接0。，

???AB為。。的直徑，

ZADB=90°,

VAB=AC,ZADB=90°,

BD=CD,

AO-BO，BD=CD，

：.OD//AC,

又,：DEJ.AC,

NODE=NDEC=9Q。,

即ODIDE,

為半徑，

OE為。。的切線；

【小問2詳解】

2

在Rt2XADE中，DE=6,tanZADE=一，

3

2

AE=DEtanZADE=6x—=4,

3

,/ZAZ)B=ZAZ)C=90°,

ZADE+ZEDC=90°,

?：DE±AC,

：.ZDEC=90。,

ZEDC+ZC-90°,

ZC=ZADE,

*—___DE—