專題03三角函數、解三角形與平面向量

考點01三角函數

1.（2024?江西?二模）已知角a的終邊經過點則cosa=（）

A.逅B.BC.72D.也

332

【答案】A

【分析】根據三角函數的定義求解.

【詳解】根據題意r=|。叫=?拒丫+12=6,

由三角函數的定義得cose=2=坐=邁.

/63

故選：A.

易錯分析：利用三角函數的定義求值時要注意終邊上的點是否是角的終邊與單位圓的交

點.

2.（2024.北京通州.二模）在平面直角坐標系宜刀中，角。的頂點與原點重合，始邊與次軸的非負半軸重合，

終邊與單位圓交于點則COS（兀-2a）=（）

9779

A.-----B.-----C.—D.—

25252525

【答案】B

34

【分析】接根據三角函數的定義可求出sina=-|,cosa=I，再由誘導公式和二倍角余弦公式化簡即可得出

答案.

34

【詳解】由三角函數的定義可得sina=-丁cosa=g,

所以cos（兀-2tz）=-cos2a=-（2cos2==

故選：B.

3.（24-25高三上?重慶?期中）如圖，在平面直角坐標系中，以。4為始邊，角。與夕的終邊分別與單位圓相

交于瓦廠兩點，且"小。，/［，△4/，。，若直線跖的斜率為：，則sin（a+0=（）

4

cD.

-47

【答案】A

【分析】根據二角函數的定義可設E(cosa,sin。),產(cos0,sin,結合直線的斜率公式及和差角公式先求

出tan等,然后結合二倍角公式及同角基本關系可求.

【詳解】由題意可設E(cosa,sina),廠(cossin/),

_a+/3.ex,-B

2cos------sm------

sina-sin)3J.

則直線環的斜率左二22

。一c.a+(3.a-Ba+/3

coscos[3-2sin-----sm------3

222

所以3三=3

。,a+/3a+6

2sm------cos......-2tan......-

3

所以sin(a+尸)=_______222

.2a+B2a+B

sm------+cos-----—1+tan......—5

222

故選：A.

4.(2024?北京朝陽?二模)在平面直角坐標系xOy中，銳角。以。為頂點，Ox為始邊.將。的終邊繞。逆時

針旋吟后與單位圓交于點C若cosa=-，貝Uy=()

10

43-34

A.——B.--C.—D.-

5555

【答案】D

【分析】根據同角的平方關系求出sine,結合三角函數的定義和兩角和的正弦公式計算即可求解.

【詳解】如圖,

7>/2

而

所以y=sin（a+：）=（sina+cosa）=x8辭=g.

故選：D

已知，（兀），，，

5.e0,sin+cos=-g則下列結論不正確的是（）

3

A-B.tan6=——

4

37

C.cos6=——D.sin6-cose=一

55

【答案】C

【分析】由sind+cos，=」兩邊平方，求得sindcosd=-U,推得de（工兀），再求得sin6-cose=Z,聯

52525

343

立求得sind=—,cos6=-一,即得tand=—3,即可逐一判斷.

554

【詳解】由sin，+cos，=-1，兩邊平方得：l+2sin6cose='-,

525

1O冗

JU!!sin6（cos（9=-—<0,因。《0,兀），故有（9e弓,兀）,故A正確;

12c49

由上已得：sin8cos8=-石，,故（sin8—cos6了=l—2sin6cose=不，

JT7

由。￡（—,兀）可得sin。-cos6>0,于是sin6—cose=—,

25

134

Xsin<9+cos<9=--,聯立解得：sin0=—,cos0=--,

3

故tan"y,故B,D正確，C錯誤.

故選：C.

易錯分析：根據sina+cosa,sina-cosa,sin0cos。的關系求值時，轉化的手段是平方、

開方，在開方時一定要注意判斷符號.

已知。=一(:wsina?cosa/

6.sina+cos,且ae(0,7T),貝|二---------=()

sina-cosa

12121212

A.——B.C.——D.——

553535

【答案】c

【分析】由條件結合同角關系求sinacos%sina-cosa,由此可得結論.

1

【詳解】因為sina+cosa=-

5

所以(sina+cosa)

故sin2a+2sinacosa+cos2a=\,Xsin2cr+cos2a=l,

25

12

所以sinacosa=---,又o￡(0,4),

25

所以i

所以sina—cos。>0,

X(sin^-cos6Z)2=l-2sin6zcos?=l+—=—

v72525

一7

所以sina-cosa=~

12

sina-cosa_25_12

所以

sina-cosa735

5

故選：C.

cos[]+aj

1

7.已知sina+cosa=一,則()

2

l-tan(-cif)

333

A.B.C.D

~4416-A

【答案】A

cosF-sinacosa13

【分析】通過變形12可以得到,從而先對sincr+cosi=——平方求出sinacosa=一一,

coscif+sin<728

l-tan(-6Z)

進一步化簡求值即可.

【詳解】因為sina+cosa=-工，所以(sina+cosa)?=l+2sinacosa=L

24

所以sinacosa=——,

cosI—+aI3

(2)_-sina_-sina—sina_-sinacosag_3

所以

1-tan(-cr)1+tana11sin「cosa+sinacosa+sina_j_4

cosacoscr2

故選：A.

8.(24-25高三上?山東煙臺?期末)若cos,-弓卜g,則sin(28+"=(

)

55

A.B.C.D.

9999

【答案】A

【分析】先將2。+^用表示為20+$=5+2(。-與，再利用誘導公式和二倍角公式求解即得.

66626

【詳解】因2，+U+2("少，

626

則sin(2^+—)=sin[—+2(0——)]=cos2(^--)=2cos2(^--)—1=--.

626669

故選：A.

易錯分析：三角求值時要注意尋找條件角與未知角之間的關系，基本思路是用條件角來表

示未知角，角的變換是求解的關鍵.

jr477r

9.(24-25jWj二上,河北廊坊,期末)已知cos(a)—cosa=—,則sin(2]H----)=()

356

A.LB.-工C,左D.-左

25252525

【答案】A

【分析】利用和差的余弦公式求得cos(a+g),再利用誘導公式及二倍角公式可求解.

?、4bn、/?口=vr71..71471.714./7C.4

【年解】【衣題思，cosdzcos—+smasin——cosa=—,o即ncosacos——sin?sin—=——,則cos(a+—)=——,

33533535

77T27rjrjrjr7

所以sin(2aH----)=sin[(2aH------)+—]=cos2(a+—)=2cos2(cr+—)-1=—.

故選：A

10.(23-24高二下?河南洛陽?期末)已知sin"^|J=q,則cos[a-1^]=()

A.-B.--C.蟲D.-6

3333

【答案】C

【分析】利用誘導公式即可求得答案.

【詳解】由sin[a+^1|=。,

故選：C.

11.（2024?黑龍江大慶?模擬預測）已知sin（6+二]=：貝ljsinf20-y

551￡

A.B.C.D.

9999

【答案】C

【分析】由sin12e-=+，再結合誘導公式和余弦倍角公式即可求解.

【詳解】5《。中卜皿]。+總司一sin,2,+.]

=一8$]2,+a)=2sin2,+a)—l=2x[g]-1=-^,

故選：C

12.（2025高三?全國?專題練習）函數y=sin[2x-￡j的單調遞增區間是（）

A.2ht--,2kn+—(kGZ)B.kn--,kii+—(攵￡Z)

2263J

C.A：7i+—,fai+-(fceZ)D.-2kn--,一2%兀+—(左￡Z)

36JV763v7

【答案】B

【分析】根據整體代換法求單調區間即可求解.

【詳解】因為>=sin(2x-巴],^2kn--<2x-—<2kji+—,keZ,

\6J262

7171

角軍彳導AnWxWkuH—,kGZ,

63

所以函數的單調遞增區間為:|-/版弋（k?Z）.

故選：B

易錯分析：三角函數單調性問題的求解思路是利用復合函數單調性規律求解，過程中要注

意系數的符號對單調性的影響.

13.（2024?全國?模擬預測）函數小）=-3“2尤+0的單調遞增區間為（）

兀兀兀27r

A.ku,kuH—,kGZB.左兀H—,kuH-----,kGZ

3663

c.ku——，女￡ZD.kn--,kn+—，女￡Z

12121212

【答案】D

【分析】整體法得到不等式，求出單調遞增區間.

()弓

【詳解】/X=-3cos[2x+,令2fal<2x+—<2配+兀,左￡Z,

6

7兀//75兀

rCJl-----<X<rCJl----,keZ,

1212

jr5冗

故函數“X）的單調遞增區間為kn--,kn+—,keZ.

故選：D.

兀在［。，向上為單調遞增函數，則。的取值范圍為

14.（2024?河北唐山.二模）函數〃x)=sin(2x-0)||?|

-2

()

兀兀n兀八兀

A.B.兀0C.D.0,-

2，-66526

【答案】C

2兀71

--------(D<—

32

【分析】由x的取值范圍,求出2X-9,結合正弦函數的單調性得到，解得即可.

2

2兀

【詳解】由可得2尤一夕?I一一，

3

又歸區貝吟v?一夕且〃）在

3,x上為單調遞增函數,

203O\

2兀71

--------(P<—

32

所以解得六Y，

7162

-(D>-----

2

7171

即。的取值范圍為

6,2

故選：C

71

15.（24-25高三上?天津武清?階段練習）將函數〃x）=sin|妙+三3＞。）的圖象向右平移5個單位長度，再將

36

所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的?縱坐標不變，得到函數g（x）的圖象.若g（x）在［。，［上單調遞

增，則0的取值范圍為（）

A.B.°'1C.°4D.°4

【答案】B

【分析】根據平移規則可得g(x)的解析式，再由正弦函數的單調性得出對應不等式可得結果.

C071兀

【詳解】由題可得g(x)=sin2ox-——+—

63

〃>兀兀〃>兀兀

因為0>0,所以當0<x<?時，2s-竿+——+—,——+—

3o36323

L.兀①兀71①R71

且一￡------F—,------F—

36323

〃7兀+兀〉71

因為g(x)在(0,鼻單調遞增，所以<~6~3~~2

(DTI兀，兀

-----1——<—

〔2----32

又外〉0,解得0<6?<—.

故選：B

16.(24-25高三上?江蘇南通階段練習)將函數/(%)=85(2%+夕)(夕>0)圖象向右平移9個單位得到奇函數,

6

則。的最小值為()

n5兀2兀c兀

A.B.—C.—D.-

6633

【答案】B

57r

【詳解】先根據平移得出g(x)=cos12%+0-/,再應用函數是奇函數得出。=?+桁(左eZ)進而求出最

O

小值即可.

71

+夕

【分析】根據題意可得：g(x)=cos2尤=cosl2x+^?—

g(x)為奇函數,

:.(p——=—+kn[k^Z^-+hi^keZ)

326

八7n5兀

夕>0,.?=0,0mm=彳

故選：B

易錯分析：三角變換問題要注意系數對平移單位的影響，以及橫坐標、縱坐標平移規律的

差異.

17.(24-25高三上?廣西?期末)將函數/(x)=sin|2s+S(0>O)的圖象向右平移已71個單位長度得到函數gQ)

6

的圖象，若曲線y=g。）關于直線尤=占對稱，則g（x）的最小正周期的最大值為（）

【答案】A

【分析】首先根據函數的性質求。的集合，再根據三角函數的最小正周期公式，即可求解.

7171

【詳解】函數/（X）的圖象向右平移巳個單位長度得到函數g（元）=sin2,X--+—

6

函數的圖象關于直線x書對稱,

兀717171

所以2oxH—=—Fkji,左￡Z,co——2—6k,keZ,0

12~662

所以。的最小值是4,則g（x）的最小正周期的最大值為葛=：

故選：A

jr

18.（24-25高三上?甘肅臨夏?期末）將函數g（x）=2sin2x的圖象向左平移當個單位長度，再向下平移1個

單位長度得到函數了（天）的圖象，則函數/（彳）的（）

A.最大值為3B.最小值為-1C.一個對稱中心為[yl.ojD.一條對稱軸為尤=《

【答案】D

【分析】利用平移變換求得了（無）的解析式，進而求得最值判斷AB；求得對稱中心與對稱軸方程判斷CD.

【詳解】函數g（x）=2sin2尤的圖象向左平移二個單位長度,

可得g（x+^|）=2sin2]x+^1J=2sin12x+eJ的圖象，

又再向下平移1個單位長度得到函數了。）的圖象，所以/（x）=2sin12x+巳J-1,

當sin（2x+胃=1時，〃力皿=1,故A錯誤；

當$出（2天+2]=-1時，"411n=-3,故B錯誤；

由2尤+巴=ht,keZ,得尤=---+—，^eZ,所以函數/（x）的[-會+段,-1],左eZ,

6122

當k=l時，f（x）的一個對稱中心為6,-1,故C錯誤;

由小會會析代學得x程建Z,所以小）的對稱軸為

當當人=0時，“X）的一條對稱軸為天=B，故D正確.

O

故選：D.

19.(24-25高一上?浙江寧波?期末)將函數y=/(x)圖象向左平移點個單位長度，再將橫坐標伸長到原來

的2倍，縱坐標不變，得到函數好儂口》一"的圖象，則〃x)=()

【答案】B

【分析】結合三角函數伸縮變換與平移變換的性質往回推導即可得.

【詳解】由題意可得，將函數y=cos[2x-[]橫坐標變為到原來的g倍，縱坐標不變，

可得y=cos(4x-j],再將其向右平移三個單位長度，

I6J24

=COS^4%-,BP/(-^)=COS^4x-y^.

故選：B.

4

20.(2024?河北石家莊?模擬預測)已知$皿。+?)=28$(1-6)，tana+tan^=-,則tana-tan￡=()

A.3B.—3C.-D.—

33

【答案】D

【分析】利用兩角和差公式可得tana+tan尸=2+2tanctan尸，結合題意即可得結果.

4

【詳解】因為tana+tan/=§,貝iJcosiwO,cos/7^0,

又因為sin(a+月)=2cos(。-/?),

貝ijsinacos/3+coscrsin/?=2cosacos/?+2sinasin/?①，

等式①的兩邊同時除以cosacos/

4i

可得tana+tan4=2+2tanatan分=§,解得tanitan/?=—.

故選：D.

易錯分析：三角求值時要注意結合條件式的結構特點聯想相關的公式進行變形.

2tanQC|

21.(24-25高三上?山東淄博?期末)己知sin(a-?)=-],嬴彳=一§，則sin(a+￡)的值為()

【答案】C

【分析】根據題意切化弦可得cosasin，=-3sinacos/,再結合兩角和差公式運算求解.

■、，八■一，tanasinacosB1八八

【詳解】因為----=------=可得cosasm，=-3smacos/?,

tanpcosasmp3

21

又因為sin一月)=sinacos尸-cosasin尸=4sinacos尸=——,可得sinacos-=——,

36

所以sin(a+=sinacos/3+cosasinf3=—2sincrcos/}=；.

故選：C.

22.(24-25高三上?安徽阜陽?期末)已知cos(a-/)=l,tanatan/7=2,則cos(a+/?)=()

11

A.——B.——c"D

23-1

【答案】B

21

【分析】根據余弦的和角公式以及弦切互化，即可求解sinasin夕=]Cosacos/?=§,即可由余弦的差角公

式求解.

cosacos夕+sinasin0=1,

【詳解】由85（=-/?）=1/011必0114=2可得＜csinccsinf3_,

tanatan,二---------二2

cosacos尸

21

解得sinasinJ3=—,cosacos/?=—,

故cos(a+,)=cos。cos/一sin。sin'=-g,

故選：B

23.(24-25高三上?黑龍江?期末)已知cosasin^=Ltana=3tan/7,則sin(a—R)=()

6

A.--B.--C.-D.-

9393

【答案】D

【分析】利用切化弦的思想和兩角和差公式即可求解

【詳解】因為tanc=3tan/7,

”,sina3sinB口.八「.八

所以----=-----,即sinacosp-3cosasm夕，

cosacosp

又cosasin/?=一,

6

所以sin(a-分)=2cosasiny0=2x'=；.

故選：D.

考點02解三角形

1.在VABC中，已知A=60°，a=2y/3,匕=2,則3=()

A.30°或150°B.60°C.30°D.60°或120°

【答案】C

【分析】運用正弦定理計算即可.

【詳解】因為在VABC中，A=60°，a=26b=2,

abZ?sinA2xsin601

由正弦定理,得sin2=

sinAsinBa273-2

解得8=30°或8=150°,

又因為可得A>3,所以3=150°不符合題意，舍去.

可得3=30°,故A,B,D錯誤.

故選：C.

易錯分析：利用正弦定理解三角形時要注意判斷解的個數，判斷依據是結合正弦值、大邊

對大角.

2.在VABC中，三個角A民C所對的邊分別是〃也c,若人=30。,々=1,。=2,則。=（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】C

【分析［根據條件，利用正弦定理，得至UsinC=l,即可求解.

ac12

【詳解】因為A=3（T,a=Lc=2,由正弦定理得到,即

sinAsinCsin30°sinC

得至彌［!1。=2乂511130°=1,又。￡（0,兀），所以C=T，

故選：C.

3.（24-25高三上?山東濟寧?階段練習）在三角形ABC中，a=2,A=—,b=2垂t,則/C=()

6

71兀兀

A.—cDTA.二或-P不-

6-M32

【答案】C

【分析】由正弦定理求得3,即可求解.

,2_

【詳解】由一y二—，可得：了二協,

sinAsinB—

2

所以sinB，又b>a,

2

所以8=弓或名，

33

TT7T

結合內角和定理,所以"二不或萬,

故選：c

4.（24-25高三上?北京房山?期中）在VABC中，a=2,A=y,b=2拒,則/C=（）

6

71

A.—c-MD.M

6

【答案】C

【分析】利用正弦定理先求8,再根據三角形內角和計算即可.

b22A/3

【詳解】利用正弦定理可知赤萬=嬴力^]sinB，解之得sin3=心,

2

2

因為340,兀），所以2=1,則C=n—A-3=5,

或3=—,則。=兀一A-3=工.

36

根據大邊對大角，以上兩種情況都符合題意.

故選：C

5.（24-25高三上?江蘇淮安?期中）在外接圓半徑為4的VABC中，ZA3C=30。，若符合上述條件的三角形

有兩個，則邊A3的長可能為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根據給定條件，由三角形有兩解的條件，結合正弦定理求出邊的范圍.

【詳解】在VABC中，ZABC=3Q°,由VABC有兩解，得30<C<150,且Cw90,

則g<sinC<l,由VABC外接圓半徑為4及正弦定理，得AB=8sinCe（4,8）,

所以邊A3的長可能為5.

故選：D

TT

6.在VABC中，B=~,a=x,b=l,若滿足條件的VABC有2個，則了的取值范圍是（）

A.（0,1]｛碼B.（0,1）｛碼C.（0,72）D.（1,V2）

【答案】D

【分析】根據正弦定理，結合三角形解的個數，即可列式求解.

【詳解】根據正弦定理，就=焉則sm八卡一條,

V2

0<—x<1左力/日,—

若滿足條件的VABC有兩個，貝叫2，解得lvxv夜，

X>1

所以x的取值范圍是（1，行）.

故選：D.

7.（24-25高三上?河北張家口?階段練習）已知VABC是銳角三角形，角AB,C所對的邊分別為.Bc,S為

VABC的面積，4S=a2+b2-c2,則，的取值范圍為（）

b

【答案】B

【分析】先根據三角形的面積公式及余弦定理求出角C,再利用正弦定理化邊為角，結合三角形內角和定

理及三角函數的性質即可得解.

【詳解】由4s=/+廿—

『,R2_2

2absinC=a2+b2—c2所以sinC=----------=cosC,

2ab

所以tanC=l,又c（。，]），所以C=

由正弦定理得jsinAsi"1一可fcosB+fsinJg】Q

bsinBsinBsinB2tanB2

所以tan8w（l,+8）,所以

所以十

故選：B.

易錯分析：三角形中的三角問題要注意挖掘三角形中的隱含條件.

8.（2024高三?全國?專題練習）在鈍角三角形ABC中，角的對邊分別為a,b,c,bsinC+acosCb,

則4的取值范圍為（）

C

【答案】B

【分析】根據正弦定理邊角互化，結合和差角公式可得sinS=cosA>0,進而討論8為銳角還是鈍角，得

7T

B=-+A,即可結合三角恒等變換，和三角函數的性質求解.

【詳解】由Z?sinC+〃cosC=b及正弦定理，得sinBsinC+sinAcosC=siaB.

又-sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,/.sinBsinC=cosAsinC.

0<C<7i,sinCw0,貝UsinB=cosA.

ABC為鈍角三角形，且sinB=cosA〉0、，角A為銳角.

又cosA=sin[^■—，z.sinB=sin^-AI-

若B為銳角，則8弋-A,.?.A+JB=:不符合題意.

若B為鈍角，則B+g-A=%,.-.B=J+A,

22

.-.C=7r-(A+B)=-^-2Ae^O,^,Ae

sinf—+A|-sinA

b-a_sinB-sinA_12)cosA-sinA

csinC.(7i△八cos2A

1_1

cosA+sinA0sin]A+j-

由Ae?,得A+3

<sin^A+^<1,1<V2sin^A+-^J<&,

^2b-a1

/.——<------<I.

2c

故選:B.

9.（24-25高三上?浙江?期中）已知銳角VA8C,角A氏。的對邊分別〃也c,且就0$。+8054=2反0$3,則

—的取值范圍是（）

a

C.（73,273）D,孚2否

【答案】A

【分析】利用正弦定理化簡已知條件，由此求得cosB的值，進而求得8的大小.再利用正弦定理和兩角差的

正弦公式，求得￡的表達式，進而求得色的取值范圍.

aa

【詳解】由題設知，acosC+ccosA=2bcosB,

由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,

即sin（A+C）=2sinBcosB=>sinB=2sinBcosB,

1jr27r

又OC,所以sinbwO,所以cosB=],得5=所以A+C=3~,

.『2兀八/i

-sin------A—AJ-cinA

又c_sinj（323八+2$1吁

asinAsinAsinA

即￡=".，+工，又銳角VA5C,所以所以tanA>且，

a2tanA2623

所以0<tanA<豆，即,<在.——+-<2,

22tanA2

所以:的取值范圍是g，2）.

故選：A

10.（24-25高三上?江西新余?階段練習）記ABC的內角AB,C的對邊分別為a,b，c,已知a=6,A=1,

則62+2,2的最大值為（）

A.9B.6+2/C.9+粗D.12

【答案】B

【分析】由已知可得62+2Y=3（吃2/）,利用正弦定理邊化角，利用三角恒等變換，根據正弦函數的性

a

質，可得答案.

【詳解】由a=Q,A=f,則尸+2°2=迎二生2,

3a

根據正弦定理，可得12==的耐2

b+2c3加"2siirC)B+2sinC)

sinA

“1—cos25_l-cos2Cx,cc—

=4(------------F2*-----------)=6—2cos2B—4cos2C,

2兀

在VABC中，C=TI-A-B,則。=9—5,

b1+2c2=6-2cos2B—4cos(^—2B)=6—2cos2B+2cosIB+2^3