專題11立體幾何與空間向量

目錄

題型一：立體幾何初步

易錯點01對斜二測法規則掌握不牢出錯

易錯點02線面位置關系考慮不全面出錯

易錯點03對垂直的性質定理、判定定理理解不透徹

題型二空間向量及其應用

易錯點04忽略建系的條件而出錯

易錯點05忽略異面直線所成角的范圍出錯

易錯點06混淆線面角與法向量與直線方向向量的夾角

題型一：立體幾何初步

易錯點01：對斜二測法規則掌握不牢出錯

能易錯陷阱與避錯攻略

典例（2024?山西太原高三模擬）如圖，AHO'B'是用斜二測畫法得到的△NO8的直觀圖，其中

O'A'=2,O'B'=3,則AB的長度為.

【答案】2M

【解析】把直觀圖V4OB還原為如圖所示:

根據直觀圖畫法規則知，OA=O'A'=2,OB=20?=2x3=6,

所以48的長度為AB=^0灰+OB。={4+36=2屈.

故答案為：2回.

【易錯剖析】

直觀圖還原原圖時容易混淆長度的“變”與“不變”，即與X軸平行（重合）的線段長度不變，與〉軸平

行（重合）的線段長度直觀圖是原圖的一半.

【避錯攻略】

1.空間幾何體的直觀圖的概念

直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形.

直觀圖是把空間圖形畫在平面內，既富有立體感，又能表達出圖形各主要部分的位置關系和度量關系

的圖形.

2.水平放置的平面圖形的直觀圖畫法（斜二測畫法）

（1）畫軸：在平面圖形上取互相垂直的x軸和〉軸，兩軸相交于點O,畫直觀圖時作出與之對應的￡

軸和V軸，兩軸相交于點O',且使Nx'0/=45°（或135°）

（2）畫線：已知圖形中平行于或在x軸，J軸上的線段，在直觀圖中分別畫成平行或在￡軸，V軸

上的線段.

（3）取長度：已知圖形中在x軸上或平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變.在〉軸上或平行于歹軸

的線段，長度為原來長度的一半.

（4）成圖：連接有關線段，擦去作圖過程中的輔助線，就得到了直觀圖.

方法歸納：設一個平面多邊形的面積為S原圖，利用斜二測畫法得到的直觀圖的面積為S直觀圖，則有

3.空間幾何體的直觀圖的繪制方法

（1）畫軸.在平面圖形中取互相垂直的x軸和J7軸，兩軸相交于點O,畫直觀圖時，把它們分別畫成對應

的x'軸與V軸，兩軸交于點。'，且使Nx'O》'=45°”（或135°）,它們確定的平面表示水平面；

（2）畫底面.已知圖形中，平行于x軸歹軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于￡軸、V軸或，軸

的線段；

（3）畫側棱.已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于J軸的線段，長度

變為原來的一半；

（4）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖.

2

簡記為：①畫軸；②畫底面；③畫側棱；④成圖.

4.斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質

①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點性不變，即在原圖中相交的直線仍

然相交；③平行于x,z軸的長度不變.

易錯提醒：斜二測畫法要注意：①建立坐標系；②“位置規則”一與坐標軸的平行的線段平行關系不變；

③“長度規則”一圖形中平行于X軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度減為原來

的一半.

舉一反三

1.（2025高三?全國?專題練習）已知梯形/BCD是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖43'C'D'（如

圖所示），其中4。=2,B'C'=4,A'B'=1,則直角梯形邊DC的長度是（）

【答案】B

【分析】由直觀圖作出直角梯形的平面圖形，然后斜二測畫法規則結合已知的數據可求得結果.

【詳解】由直觀圖作出直角梯形/3CD的平面圖形，如圖.

按照斜二測畫法規則，由HO'=20C'=4,4"=1,

得直角梯形/BCD中，AB1BC,AD=A'D'=2,BC=B'C=4,AB=2A'B'=2.

過。作。交BC于E,

貝1］。￡=28=2,￡。=8。-/。=4一2=2,

所以直角梯形邊。C的長度為2行，

故選：B.

2.（24-25高三上?浙江?期中）水平放置的V/2C的直觀圖如圖，其中3'。=O'C'=2,A'O'=6那么原

3

VNBC是一個（）

B.等邊三角形

C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D.三邊互不相等的三角形

【答案】B

【分析】由圖形和百通過直觀圖的畫法知在原圖形中三角形的底邊BCnB'C',AOLBC,且

AO=2y/3,故三角形為等比三角形.

【詳解】由圖形知，在原V4BC中，AOLBC,因為百，則4。=26,

因為3'O'=O'C'=2,則3c=4,所以4B=/C=4,即原VNBC是一個等邊三角形;

故選：B

3.（24-25高三上?重慶?階段練習）如圖，按斜二測畫法所得水平放置的平面四邊形的直觀圖為梯形

?BCD,其中AB'//C'D',A'B'lB'C',A'B'=4,O'C'=2.以原四邊形ABCD的邊AD為軸旋轉一周得到的幾

口5672

A.14近萬+8萬B-----71

3

80n112后

C.U------兀

T3

【答案】D

【分析】根據斜二測畫法規則還原出原圖形，進而確定旋轉體的形狀，再根據相關特征計算幾何體體積即

可.

【詳解】解：由題意，ArBf//CD\ArBr1BrC\ArBf=4,DfC=2.

所以AD=242，

4

如圖，原圖形ABCD中，4B//CD,ABLAD,AB=4,DC=2,AD=2AD=AT2,

所以直角梯形ABCD的邊AD為軸旋轉一周得到的幾何體為圓臺，

2222

V=j（ri+r2+rtr2）h=^（2+4+2x4）x4^"=吟,

故選：D.

易錯題通關

1.（23-24高三下?山西運城?期末）如圖所示，正方形HB'C'O'的邊長為1cm,它是水平放置的一個平面圖形

的直觀圖，則原圖形的周長為（）

A.6cmB.8cmC.（1+收）cmD.2（1+若卜m

【答案】B

【分析】由斜二測畫法畫出圓圖可得答案.

【詳解】由斜二測畫法規則知，正方形/'B'C'。的原實際圖形是平行四邊形/3CO,

如圖，其中。1=0⑷=1,05=20?=26，

因止匕有AB=yJo^+OB2=3，

所以原圖形的周長為2（6U+N8）=8（cm）.

故選：B.

5

2.(24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中)如圖，四邊形OWC'B'表示水平放置的四邊形0/C8根據斜二測畫法

得到的直觀圖，O'A=2,B'C'=4,OP=?,O'A'UB'C,則/C=()

【答案】B

【分析】根據斜二測的性質還原圖形，再由勾股定理即可求解.

【詳解】解：還原四邊形。4CB,如圖所示：

依題意可得：OA1OB,OA//BCQ4=2,BC=4QB=2O.

取2C的中點。，連接4D,

貝且CD=4-2=2,

故/C=府+(2回2=2若.

故選：B.

3.(24-25高三?安徽池州?期中)一水平放置的平面四邊形。48c的直觀圖O'/'B'C'如圖所示，其中

O'A=O'C=1,O'CUO軸,軸,B'C'"軸,則四邊形04BC的面積為()

6

【答案】B

【分析】結合圖形可得4夕=2,則可得四邊形OWB'C'面積，后可得四邊形Q43C的面積.

【詳解】設了軸與/?交點為。，因O'CUx'軸,軸,則O'C"/H3',

又軸，則四邊形ODBC為平行四邊形,故=O'C=1.

又Nx，oy=45°,結合軸，則D4'=O'A'=1,故/?=2.

13

則四邊形OWB'C'面積為sx(l+2)xl=5，

因四邊形O'/'B'C'面積是四邊形OABC的面積的"倍，

4

則四邊形OABC的面積為3VL

故選：B

4.(23?24高三上?河北邢臺?期中)如圖，△HB'C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，若/C'=2cm,

【答案】D

7

【分析】根據題意，由三角形面積公式求出8'。'的長，結合斜二測畫法可得原圖中8。的長.

【詳解】畫出平面直角坐標系xOy,在x軸上取=即c/=C'/，

在圖①中，過"作2萬在軸，交/軸于加，在x軸上取00=00',

過點。作加軸，并使DB=2￡>’2’，

連接則V48c即為A/'8'C'原來的圖形，如圖②所示:

圖①圖②圖③

原圖形中，3。，4。于點。，

則為原圖形中/C邊上的高，且BD=2BD,

在直觀圖③中作B'EU/'C'于點則A/3'C'的△a面z>c積B'E2

在直角三角形8'E'D'中，B'D'=42B'E'=—,

2

所以BD=2B'D'=戈,

故原圖形中/C邊上的高為卡.

故選：D.

5.（2025高三?專題測試）已知梯形N3CO按斜二測畫法得到的直觀圖為如圖所示的梯形48'C'O',且H夕=1,

O'A'=2,O'C'=4,現將梯形43CO繞。4槌轉一周得到一個幾何體，則該幾何體的側面積為（）

C.25兀D.28K

【答案】C

【分析】將梯形HB'C'。'復原為原圖即直角梯形48CO,確定相關的邊長，結合題意以及圓臺的側面積公

式，即可求得答案.

8

【詳解】由題意將梯形HB'C'。'復原為原圖，即直角梯形N3CO,

其中N8=1,O/=4,OC=4,則8C=J(4_l)2+42=5，

故將梯形ABCO統0A槌轉一周得到一個幾何體為圓臺，

圓臺上底面半徑為1,下底面半徑為4,高為4,母線長為5,

故該幾何體的側面積為兀（1+4）x5=2571,

故選：C

6.（2025高三?全國?專題練習）（多選）如圖，AHB'C'是水平放置的V/BC的直觀圖，4B'=2,/C'=B'C'=#,

則在原平面圖形VABC中，有（）

B.AB=2

C.AC=2y[5D.Sc=4收

【答案】BD

【分析】首先算出O'C'長度，再利用斜二測畫法將直觀圖還原為原平面圖形，從而判斷各個選項正誤.

【詳解】如圖所示,在直觀圖A43'C'中,過C作于。外

又ZC'O'D'=45°,O'D'=2,O'A'=1,0'C'=272,

所以利用斜二測畫法將直觀圖9。還原為原平面圖形V/2C,如圖:

9

那么有OC=40,04=1,=2,故選項B正確；

又因為AC=yJOA2+OC2=底,BC=-JOB2+OC2=而，故選項A、C錯誤；

而其狽=；xA8x℃=gx2x4貶=4后,故選項D正確.

故選：BD.

7.（24-25高三上?廣東湛江?階段練習）（多選）已知水平放置的正方形的邊長為2c，利用斜二測畫法繪制

該正方形在水平平面內的直觀圖四邊形/BCD,則（）

A.N4B。的最小值小于15。B.230C的最大值小于90°

C.|/C|的最小值大于2D.忸。|的最大值大于4

【答案】AD

【分析】根據題意，由斜二測畫法的性質，畫出直觀圖，然后對選項逐一判斷，即可得到結果

【詳解】

對于AB選項，考慮正方形的一條邊與/軸重合，由斜二測畫法的性質,

另一條邊與了軸重合，如圖所示，

由于對稱性與旋轉可換性，圖中ZACB與/BDC均等價為所求角.

而由斜二測圖性質，AB=CD=?BC=AD=2^./ACB+NCAB=q=45,,

11.

過A作的垂線，則tan44cB=—j=—<-----產=tanl5°

2V2+12+占

即//C5<15。，故/ZAD的最小值小于15。，故A正確;

10

2l

過。作8C的垂線，易有。2=45。，5.tanA=^~=2y/2-1>1=tan45°,

31

故4>45。，則/8。。>90。,/8。。的最大值大于90。，故B錯誤；

對于CD選項，設圖形繞C點逆時針旋轉々，貝！］CA=（^4cosa+V2sin（z,V2sina）,

即=，(4cose+A^sina)+(^/Ssintz)=J10+2A/T7sin(2a+p),

其中tanp=￥^,則最小值為，10-25<2,

最大值為J10+2J萬>4,故C錯誤，D正確.

故選：AD.

8.（24-25高三上?江西?階段練習）已知V/2C在斜二測畫法下的直觀圖（其中/與H對應，3與夕對應）為

下圖所示的A/'B'C',其中。W=O?=1,O'C=—，貝!JV/3C的面積為；以該V/3C為底面的三

2

棱錐尸-48C中，△尸四△C43,PC=3,則三棱錐尸-48C的外接球半徑為.

【分析】根據斜二測畫法得到V/8C中48=2,對應的高為百，求出V/2C面積，并得到V/3C為等邊三

角形，并作出輔助線，得到三棱錐外接球的球心，由余弦定理得到/尸尸。=120。，并求出外接球的半徑

R=OC=--

3

【詳解】由斜二測畫法原理可知VZBC中，AB=2,45邊上的高/I=2OC=G，

所以=

由勾股定理得AC=BC=Vl2+A2=2，故VABC為等邊三角形,

由NAB咨ACAB得APAB是邊長為2的等邊三角形.

設D,￡分別為AP48,VN8C的外心，NB的中點為凡

連接尸尸，CF,過點。，E分別作平面尸平面。5的垂線,

11

設兩垂線交于點O,則點。為該三棱錐外接球的球心,

連接。C,OF,則OC為外接球的半徑,

依題意。尸=尸尸=6，且CF_L/B,PFAB,

PFhCF?-CP?3+3-9]_

由余弦定理得cos/PFC=

2PFCF2x也義52

所以NPFC=120。，由￡為△C4B的外心,

所以CE=2CF=2,EF=-CF=—,

3333

因為OO_L尸尸，OE1CF,DF=EF,

所以△O￡＞尸部△OE廠,

所以ZOFD=ZOFE=60°,所以OE=EFtan60°=l,

V21

所以OC=

亍

即外接球的半徑R=OC=H

3

故答案為：6,早

易錯點02：線面位置關系考慮不全面出錯

能易錯陷阱與避錯攻略

典例（2024?甘肅蘭州校考模擬預測）設辦〃是兩條不同的直線，見，是兩個不同的平面，則下列說法正確

的是（）

A.若加_L%〃〃a,則加JLa

B.若冽〃⑸，_La,則加J_a

C.若加則加_La

12

D.若加_L",〃a,則加_La

【答案】D

【解析】當加_L〃，〃〃a時，可能有加_La,但也有可能加〃tz或m(=。，故A選項錯誤;

當小〃/?,￡_La時，可能有加_La,但也有可能加〃a或刈ua,故選項B錯誤；

在如圖所示的正方體48CD-48cA中，

取，"為Be，"為aq,6為平面JSCD,。為平面這時滿足加B，a,但加_La不

成立，故選項C錯誤；

當機_1_尸，〃J_a時，必有a///?,從而加_La,故選項D正確；

故選：D.

【易錯剖析】

本題求解時容易因為考慮不全面而出錯.

【避錯攻略】

1、平面的基本性質

(1)公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.

【解讀】①此公理是判定直線在平面內的依據；②此公理是判定點在面內的方法

(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(注意：三點不一定能確定一個平面).

【解讀】①此公理是確定一個平面的依據；②此公理是判定若干點共面的依據.

推論1：經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面.

【解讀】①此推論是判定若干條直線共面的依據；

②此推論是判定若干平面重合的依據；

③此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據.

推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面.

(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

【解讀】①此公理是判定兩個平面相交的依據；

13

②此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）；

③此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據.

2、空間中兩直線的位置關系

（1）空間中兩直線的位置關系

共面直線、「平行二

■林目交

異面直線：丕同在任何二±￡<&

【解讀】①兩條異面直線不能確定一個平面.

②不能把異面直線誤解為分別在不同平面內的兩條直線.

易錯提醒：確定空間中點線面位置關系，熱點是線線、線面位置關系，空間中兩直線位置關系的判定,

主要是異面、平行和垂直的判定.對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形（梯形）

中位線的性質、公理4及線面平行與面面平行的性質定理；對于垂直關系，往往利用線面垂直的性質來解決,

確定位置關系時要考慮到所有可能，一是逐個尋找反例作出否定的判斷，逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷;

二是結合長方體模型或實際空間位置（如教室、課桌、燈管）作出判斷。

舉一反三

1.（24-25高三上?重慶?階段練習）已知直線〃/平面二,點尸ea,那么過點?且平行于直線/的直線（）

A.有且只有1條，且在平面a內B.有且只有1條，不在平面a內

C.有無數條，不都在平面a內D.有無數條，都在平面a內

【答案】A

【分析】根據線面平行的性質可得存在性，根據平行的傳遞性可得唯一性，故可得正確的選項.

【詳解】由題設P拓/,故存在唯一平面。，是的Pe/Vu/7,

設=因為〃/平面a,buB,故〃/b,而6ua,

故存在一條直線b與/平行，若還有另一條直線c〃/,則6〃c,

而矛盾，故有且只有1條，且在平面a內，

故A正確，

故選：A.

2.（24-25高二上?上海?階段練習）下列命題中正確的是（）

A.兩個平面可以有且僅有一個公共點B.三條相互平行的直線必在同一個平面內

C.兩兩相交的三條直線一定共面D.過不在一直線上的三點有且僅有一個平面

14

【答案】D

【分析】以正方體為載體，結合空間中線線、線面、面面間的位置關系直接求解.

【詳解】在A中，兩個平面有一個公共點時，這兩個平面交于一條直線，故A錯誤；

在B中，在正方體NBC。-44GA中，AB、DC、4g三條直線互相平行，但不共面,

故三條互相平行的直線可以在不同的平面內，故B錯誤；

在C中，在正方體48CD-44GA中，兩兩相交的三條直線/8、40、/4不共面,

故兩兩相交的三條直線不一定共面，故C錯誤;

在D中，過不在一直線上的三點有且僅有一個平面，定理正確，故D正確.

3.（23-24高三上?山東荷澤?階段練習）在三棱錐D-4BC中，點E,F,G,X分別在AB,BC,CD,DA

上，魚EFIIGH,則下列說法中正確的是（）

A.直線Mr與FG一定平行B.直線即與尸G一定相交

C.直線E"與尸G可能異面D.直線與尸G一定共面

【答案】D

【分析】根據兩條平行線確定一個平面，即可求解.

【詳解】由于EF//G//,所以E,F,G,X四點確定一個平面即G8,因此直線昉r與尸G一定共面，故D

正確，C錯誤；

15

D

只有當即〃GH,EF=G〃時，此時四邊形EFGH為平行四邊形，此時EH7/GF,故A不正確;

只有當EH7/Gb但跖WG"時，此時四邊形EFG/Z為梯形，此時E/AGF相交于一點，故B不正確.

故選：D.

易錯題通關

1.（2024?陜西銅川?模擬預測）下列說法正確的是（）

A.若直線/,加,"兩兩相交，則直線/,掰,"共面

B.若直線/,加與平面0所成的角相等，則直線/,加互相平行

C.若平面a上有三個不共線的點到平面￡的距離相等，則平面a與平面戶平行

D.若不共面的4個點到平面a的距離相等，則這樣的平面a有且只有7個

16

【答案】D

【分析】根據題意，結合空間中直線與平面位置關系的判定和性質，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，當直線交于同一點時，則直線/,掰〃可能不共面，所以A錯誤；

對于B中，當直線/,加傾斜方向不同時，直線/，加與平面。所成的角也可能相等，所以B錯誤；

對于C中，當這3個點不在平面￡的同側時，平面a與平面"相交，所以C錯誤；

對于D中，根據題意，顯然這4個點不可能在平面a的同側，

當這4個點在平面a兩側1,3分布時，這樣的平面e有4個，

當這4個點在平面a兩側2,2分布時，這樣的平面￡有3個，

所以這樣的平面口有且只有7個，所以D正確.

故選：D.

2.（2024?寧夏銀川?三模）45是兩個不同的點，a,〃為兩個不同的平面，下列推理錯誤的是（）

A.n

C.=

D.AwlJuanAwa

【答案】c

【分析】A、B可由書上的公理可直接判斷；C可由/與a相交時，交點為N點的情況進行判斷；D可直接

根據線面位置關系來判斷點面位置關系.

【詳解】A,直線上兩個不同點在某個平面內，則直線在該平面內，故正確；

B,兩個不同點同時在兩個不同平面內，則兩點所在直線為兩平面的交線，故正確；

C,a有兩種情況，/與0相交或〃/a,其中/與a相交，且交點為N點，則C錯誤；

D,直線在面內，則直線上的點都在面內，故結論正確；

故選：C.

3.（2024?四川南充?三模）如圖，在直三棱柱NBC-44cl中，AC1BC,AC=BC=A^,E、F、G、H

分別為/B、BB、、Cq、NC的中點，則下列說法中錯誤的是（）

17

A.A.C1GH

B.E、F、G、〃四點共面

C.設8C=2,則平面EFG截該三棱柱所得截面的周長為1+Q+2&

D.EF、GH、44三線共點

【答案】C

【分析】根據線線平行及菱形對角線垂直判斷A,根據兩直線平行確定平面判斷B,作出截面四邊形，根據

截面邊長的大小判斷C,利用相交平面的公共點共線得三點共線可判斷D.

【詳解】如圖，

連接“G，4C，由%G分別為C4CJ中點，可得HG〃/。，

由/C=8C=/4可知，側面可。。為菱形，

所以所以4C，G〃，故A正確；

連接〃E,G尸，因為￡、F、G、H分別為、BB、、CQ、NC的中點，

所以HE//BC,GFHBC,所以GFHHE,所以E、F、G、X四點共面，故B正確;

延長在交//的延長線于尸點，連接尸￡,交ZC于。點，連接0E,QF,

設FE;FG確定平面為a,則尸,￡ea,所以PGua,所以C?,0￡ua,

則易知三棱柱的截面四邊形為用。。，在RLC￡尸中，=，

18

在RtZkAE戶中，￡尸=，（0『+]2=6，而中，QE>EH=1,

而C0>G〃=J12+2?=石,所以截面的周長大于1+G+26,故C錯誤；

由B知，GFHHE旦HE手GF,所以梯形的兩腰所、G8所在直線必相交于一點P,

因為Pe平面A.ABB,,Pe平面A.ACC,,

又平面平面4/CC|=E，所以尸'e//，所以尸'與P重合，

即斯、GH、三線共點于尸，故D正確.

故選：C

4.（23-24高三上?上海靜安?階段練習）在空間中，下列命題是真命題的是（）

A.經過三個點有且只有一個平面

B.垂直同一直線的兩條直線平行

C.如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等

D.若兩個平面平行，則其中一個平面中的任何直線都平行于另一個平面

【答案】D

【分析】借助長方體以及平行六面體，舉例即可判斷B、C；根據面面平行的定義，即可判斷D項.

【詳解】對于A項，若三點共線，則經過三個點的平面有無數個，故A項錯誤；

圖1

對于B項，如圖1,長方體48co-44GA中，有48_LW41,ADIA^,但是AB_LAD,故B項錯誤;

圖2

19

對于C項，如圖2,平行六面體/BCD-446〃中，AD//AR,4B//CQ],但是/84D與//QG不相

等，故C項錯誤；

對于D項，若兩個平面平行，根據面面平行的定義可知，其中一個平面中的任何直線都平行于另一個平面,

故D項正確.

故選：D.

5.（2025高三?全國?專題練習）在正方體-44GA中，下列選項錯誤的是（）

A./4與2c異面B.耳4G

C.平面NCR//平面&BGD.42,平面4DC

【答案】D

【分析】根據異面直線的性質即可求解A,根據線面垂直的性質可判斷B,根據線線平行可證明線面平行判

斷D,根據面面平行的判定求解C.

【詳解】由于/8"/DG,而與DG相交，結合正方體的性質易知/4與QC異面，所以A正確；

因為。2，平面44G2,4Gu平面44GA，所以。A，4G,

又在正方體中易知BR14G，B°nD0=2,

BQ、,DXDu平面BXDDX,所以4Q1平面B]DD{,

又用。u平面片。口，所以所以B正確；

因為4C"http://C,/Cu平面/CO-4G/平面力CDi，所以4￡//平面/CDI,

又BC]IAD\,/Qu平面/CD1,8￡/平面47小，所以8￡〃平面/。烏，

因為4qC3G=G，4。，BQU平面/田6，

所以平面NC。"/平面4臺。，所以C正確；

因為A[B//DXC,DXCu平面DtBtC,AXB仁平面DXBXC,

所以43//平面所以D錯誤.故選D.

故選：D

20

6.（24?25高三上?天津?階段練習）m,〃為空間兩條不重合直線，a為空間平面，下列命題正確的是（）

A.mLa,nVm,則〃//a

B.m,〃與。所成角均為30。，則加〃〃

C.mlla,nlla,mHn,則直線加，〃到a的距離相等

D.mlla,〃//a,則加，幾可以是異面直線

【答案】D

【分析】根據直線、平面的位置關系、等角定理，結合圖形，通過舉反例進行判斷.

【詳解】對于A,mLa,〃_L加，則有可能〃ua,A錯誤；

對于B,m,〃與。所成角均為30。，則內〃可能相交或平行或異面，B錯誤；

對于C,mlla,n!la,mHn,直線加，〃到。的距離可以不相等，C選項錯誤;

----------------m

----------------n

對于D,mlla,nlla,則冽，〃可以是平行直線，相交直線，也可以是異面直線，D選項正確.

故選：D.

易錯點03：對垂直的性質定理'判定定理理解不透徹

易錯陷阱與避錯攻略

典例（2025高三上?專題訓練）已知四棱錐的底面4BCD為菱形，其中

ZBCD=120°,SA=SB=2AB=—SC,*H4SB±,若平面"3_L平面CZW,則黑=______

3BS

21

2

【答案】j/0.4

【詳解】設平面CD"與直線S4交于點G,連接。G,〃G,取N5中點連接的,CM,SM與GH交于

點E,連接CE,

因為CD///8,平面X48,48u平面&<8,所以CD//平面248,

又平面Cl平面C￡>//=〃G,CDu平面CZ汨，所以CD//HG,從而CD〃〃G〃ZB,

又菱形/BCD中，ZBCD=120°,所以“BC是等邊三角形，則0/工/5,

而&4=5B,所以SN_L48,

又SMcCM=M,SN,CMu平面SCM,所以481平面SCM,

而CEu平面SCM,所以CE14B,從而CE_L〃G,

因為平面“3_L平面CD"，平面”8。平面CD〃=HG,CEu平面CDH,所以CE_L平面”8,又因為

5Mu平面&1B,所以CE_LSM,

設AB=1,則由已知得S4=SB=2,SC=—

2

CM=—,SM=yjs^-AM2=—,

22

6315

—H-----------

444

△SCM中,cosZSCM=,從而NSCA/=135。,sinZ.SCM=----

2義里必2

22

C-SC-CMsinZSCM—x—x—

CE=SCM_2=222

-SM-SMg

222

EM=y]CM2-CE2=—)

5

V15

由川BHME/2

所以——=——=-^=-.

BSMS4155

~T

2

故答案為：—.

22

【易錯剖析】

在利用面面垂直的性質定理的過程中，往往以為兩個面內的任意兩條直線都垂直而出錯。

【避錯攻略】

空間中的垂直關系

(1)線線垂直

①等腰三角形(等邊三角形)的三線合一證線線垂直

②勾股定理的逆定理證線線垂直

③菱形、正方形的對角線互相垂直

(2)線面垂直的判定定理

判定定理：一直線與平面內兩條相交直線垂直，則線面垂直

圖形語言符號語言

1La

l-Lb

,/_La

A7a[']b=A

a,bua

(3)線面垂直的性質定理

性質定理1:一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內的任意一條直線

圖形語言符號語言

Z。/1.La]

}n/_La

auoj

性質定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行

圖形語言符號語言

23

aba.La

allb

zdn7b.La]

（4）面面垂直的判定定理

判定定理：一個平面內有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直

（或：一個平面經過另一個平面的垂線，則面面垂直）

圖形語言符號語言

/P

a_La]

/卜=>a_L,

au隊

（5）面面垂直的性質定理

性質定理：兩平面垂直，其中一個平面內有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于

另一個平面

圖形語言符號語言

aVp

A

不aC0=CD

I'/ABLCD產

二7ABuaJ

易錯提醒：線面垂直的判定定理使用時一定要注意直線與平面內兩相交直線垂直；面面垂直的性質定理要

注意一個平面內直線和兩個平面的交線垂直，才能推出直線與平面垂直.

?舉一反三

1.（24-25高三上?天津河西?期末）設私〃是兩條不同的直線，。，夕是兩個不同的平面，則下列說法中正確

的是（）

A.若機//。,加///?,則夕//6

24

B.±a,ml.n,貝！J〃_La

C.若a_!_/?,，”_La,則m//6

D.若加_La,加//。，則a_LQ

【答案】D

【分析】根據各項給定的線面、面面的位置關系，結合平面的的基本性質及空間想象判斷正誤即可.

【詳解】A：若加//%〃？//月，則a、尸可能平行或相交，故A錯；

B：若加J_a,加_L〃，貝U〃//a或"ua,故B錯；

C：若a_L/?,〃?_La,則機//6或機u￡,故C錯；

D：若m1a,mmlIB,則存在直線〃u￡,使得小//〃，

又所以〃_Ltz,所以a_L〃.故D對.

故選：D

2.（24-25高三上?河南?階段練習）已知在三棱錐P-48C中，平面PNC,平面48C,BC=2^，PA=3,

ZPAC=9Q°,/A4c=120。，則三棱錐尸-48c的體積的最大值為（）

A.66B.476C.276D.2#）

【答案】D

【分析】由面面垂直的性質得到P/工平面N3C,利用余弦定理及基本不等式求出A48,從而求出AA4c的

面積最大值，最后根據/-sc計算可得；

【詳解】解：因為/尸/C=90。，即尸/_LNC,又平面P4C_L平面Z8C,

平面尸ZCC1平面/8C=ZC,R4u平面尸/C,所以P/_L平面48C,

在AB4c中BC=2而,NBNC=120。，由余弦定理/一2比cos/3/C，

BP24=b2+c2+bc,所以〃+°2=24_6cZ2bc,所以6cW8,當且僅當6=c=2應時取等號；

所以S^cuLbcsin/B/Cu由bcVZA/L即AB/C的面積最大值為26;

所以VP-ABC=；9-S.<|X3X2V3=2V3,即三棱錐P-ABC的體積的最大值為28;

故選：D

3.（24?25高三上?湖南懷化?期中）如圖，是圓的直徑，PZ垂直于圓所在的平面，。是圓上一