2025屆高考數(shù)學二輪復習專題卷平面向量

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.如圖，在△Q46中，C是AB的中點，尸在線段OC上，且oc=200?過點尸的直線交線段。4,

08分別于點MM,且0M=m0B，ON=nOA,其中相,則加+〃的最小值為（）

234

TT，，]

2.已知△A5C中，AB=6,C=-,若△ABC所在平面內(nèi)一點。滿足DA+D3+—DC=0,

32

則的最大值為（）

3.若省卜+4=百卜—司=2時,則向量與小的夾角為（）

A.巴B.2LC2兀D.史

63,T6

滿足斗則〃。=(

4.已知單位向量q|a+20=|a—23+4)

A.5B.行C.6D-A/6

5.已知O,E分別為△ABC的邊A5,AC的中點，若DE=（3,4）,則點C的坐標

為（）

A.（4,5）B.（l,l）C.（-5,-7）D.（-8,-ll）

6.已知向量a=（l,〃。力=（2,—1〉若a'/,，則實數(shù)機的值是（）

A.-2B.2C._lD.l

22

7.如圖，在△ABC中，。為線段BC上一點，且8O=2OC,G為線段A0的中點，過點G的直

2Q

線分別交直線AB、AC于O、E兩點，AB=mAD（m>0）,AC=nAE（n>Q）,則一+二:----

的最小值為（）

8.已知向量°=（0,2），人=（1,0），則,一,=（）

A.0B.百C.2DJ5

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知向量a=（x—l,x—2），b=（x-2,2）>則（）

A."％=_1”是“aVb”的必要不充分條件

B.“尤=2”是“alb”的充分不必要條件

C“x=3-V3”是“a//b”的充分不必要條件

”是“a//b”的必要不充分條件

D.“X=-3+V3

10.已知雙曲線C:%2—4_=1的左、右焦點分別為片，工，點尸是C的右支上一點，過點尸作C

的切線/與C的兩條漸近線分別交于N兩點，則下列說法正確的是（）

A.|P耳12Tp閶2的最小值為8

B.存在點P,使得斯?尸石=T

C.點M,N的縱坐標之積為定值

D.\MN\=2\MP\

11.在△ABC中，c=45°＞（AB+3AC）BC=Q＞則下列說法正確的是（）

A.sing=tanA=2

10

C54在BC方向上的投影向量為15cD.若=則AB-AC=2

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量滿足卜|=2，卜+20=卜-囚，則卜+0=.

13.在△ABC中,24=60°，[84=3,點。為45的中點，點￡為。。的中點，若設(shè)48=0,4。=/?，

則人石可用°,匕表示為;若BF=；BC，則AE-AF的最大值為-

14.設(shè)工€區(qū)，向量@=（羽1）仍=（4,毛），若0〃匕,則x=---------

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在△ABC中，內(nèi)角AB,。的對邊分別為。，"。，且sin（C—A）=2（l-cosC）sinA.

（1）證明：2=2；

a

（2）點。是線段A3的中點，且CD=46,AD=2，求△ABC的周長.

16.如圖，在四邊形ABCD中,BC=3AD，①）=4，/4。8=60°，且ZM.QB=2?

（1）求AD的長；

（2）求的長；

（3）求cos2c

17.2xABC的內(nèi)角48,C所對的邊分別為a,6,c,/ABC的平分線交AC于點。，BE為△ABC

的中線.若GsinlB+tl-sinlB-1]=0，a=l，c—2-

B

⑵求的長?

18.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,為邊80上的中線.

⑴證明：AD=^2(b2+c2)-a2；

(2)若4=4，a=2，求AD的最大值.

3

19.已知：對任意平面向量AB=(x,y),把AB繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到向量

AP=(XCOS0—ysin0,xsin0+ycos夕)，叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到點P.

⑴已知平面內(nèi)點4(1,2)，點3(3,4)，把點8按已知方式繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)色后得到點尸,求點P

2

的坐標；

122

⑵若曲線G:y=x—▲上的點可以由曲線G：二—斗=1(。〉01〉0)上的點按已知方式繞原點

沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)6(0<6<兀)角得到，求曲線C2的方程；

(3)將曲線耳：丁=%—行in%上的所有點按已知方式繞原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到曲線石2,證明：

片和E2有且僅有一條公切線.

參考答案

I.答案：C

解析：oC=；(OA+O3)，

則2OP=U，ON+，OAf]，OP=—ON+—OM^

m)4〃4m

又P,M,N共線，二二-+二-=l.又

4〃4m

/1A1fm,,nAI，--/m―7),

m+n=\m+n)\1-----=———F1+1H——>—x2+2J---------=1，

14n4m)4(〃m)4(ynm

當且僅當機="=!時取等號，

2

故選：C.

2.答案：A

解析：取AB中點為M,連接。1,DB

由加+。3+L。。=0

2

得2DM+-DC=O^4DM=CD,

2

4

所以DA=Z)C+CA=WMC+G4,

41/—.―.x--3-2-

=——x-CA+CB]+CA=-CA——CB

52、)55

4

DB=DC+CB=-MC+CB,

=__X-(CA+CB]+CB=--CA+-CB

52、>55

故DA"=1|G4_|C“(_|G4+|C",

621362

--CA+-CACB-—CB

252525

,.2/\2.2-2

由于AB=(CB-CA)=CB+CA-2CBCA,

=CB+CA-21cq-|G4|COS|=36

故+|CA|2-|C5|-|CA|=36>2|CB|-|C4|-|CB|-|CA|=|CB|-|CA|

即|CB|-|C4|<36,當且僅當=|CA|=6時等號成立，

6/-2-2\13

DADB^-—\CA+CB]+—CACB

25\/25

-—(36+2CACB)+—CACB

25、)25

6x366x36+-363

―--25~畫255025

故05-的最大值為-1二98

25

故選：A

3.答案：A

解析：由條件可知K+川=|。-4兩邊平方后得〃.方=0,

/、(a-byaa2-a-b_V3

并且,一。cos(a-b,a]=-,----4——--

、/〃―/?同2V3.122"-

因為向量夾角的范圍是［0,司，所以向量與d的夾角為

6

故選:A.

4.答案：A

解析：由卜+2,=卜一2"得〃./?=()，

--2-2

(3a+48)2=9。+16Z?+24a?0=25，

故|3a+461=5.

故選：A.

5.答案：A

解析：因為。，E分別為AB,AC的中點,

所以BC=2￡>E=(6,8),

設(shè)。(x,y),又8(-2,-3),所以(x+2,y+3)=(6,8),

x+2=6x=4

即《,解得1

y+3=8[y=5

故選：A.

解析：根據(jù)已知有:a必=lx2+mx（-l）=0n加=2.

故選:B.

7.答案：C

解析：因為8O=2OC,則AO—AB=2（AC—A。）,

——12

所以，AO=-AB+-AC,

33

-11.1

因為G為A0的中點，則AG=—AO=—A3+—AC,

263

因為。、G、E三點共線，設(shè)。G=2OE,

則AG-AD=X（AE-AD）,

所以，AG=（1-2）AD+2AE,

因為AB=〃ZAD（7”>0）,AC=nAE（n>0）,

11

則AD=—AB,AE=-AC,

mn

]_Q夕

所以，AG=——AB+-AC,

mn

因為48、AC不共線，

1-21

m6

所以，《

21

、n3

所以，^+|=（i-2）+2=i,

所以，加+2"=6,即劌『2〃[6,

2_919

所以,=—+

m

m-+2n—+2n

2T2

1m19

—+一十

62mm八

-+2n

~22)

(

9mm-9m、

—+2n

2128

+>—10+22

m-mm與

——\-2n~6——\-2n3

2)22J

m八9m

—+2n

2F

mm八

—+2n

~22

mm\,

當且僅當《——F——=6時,

22

m>0,n>0

m=3

即當3時，等號成立，

n=—

12

因此，29的最小值為82.

m生+2〃3

2

故選：C.

8.答案：D

解析：因為a=(0,2)，人=(1,0)，

所以a_6=(0,2)-(1,0)=(―1,2)，

所以|a-Z?|=4-］『+2?=亞,

故選：D

9.答案：BC

解析：若a_|_Z;，則=(x—l)(x—2)+2(x—2)=(x—2)(九+1)=0，

解得x=2或x=—1，=是的充分不必要條件，所以A選項不正確;

結(jié)合A的解題思路知，“％=2”是“a工。”的充分不必要條件，B選項正確；

右d〃b,則2(x-l)-(x-2)~=0,即兀2-6%+6=0,

解得x=3±g"，“x=3-百”是“a〃。”的充分不必要條件，所以C選項正確，

由C的解題思路知，"％=_3+6”是“q〃//'的既不充分也不必要條件，D選項不正確,

故選：BC.

10.答案：ACD

解析：由題意，雙曲線A；?—2—=1,

3

可得Q=1,b=6，則0=正十/二2,

所以焦點耳（—2,0）,月（2,0）,

2

設(shè)P（后,%），則/21，且%—？=1，即需=3焉—3,

由\PF^-\PF2f=［國+2）2+需卜［函—2）2+/［=8%》8,故A正確；

假設(shè)存在點尸，設(shè)P（%,為），

2

則修之1，且焉—守=1，即y；=3x；—3,

所以P￡-P6=（一2—%,—y°＞（2-%,一%）

—XQ—4+y：—XQ—4+3XQ—3

=4XQ-7N—3,

所以不存在點P,使得尸片?尸耳二T,故B錯誤；

顯然直線/的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為1=加丁+〃，

得（3m2—l\y2+6mny+3n2—3=0,

又直線/與C相切,

所以A=364/—12（3療—1）（*—1）=0,

整理得/2=1—3〃/,

所以一“2y2+6mny-9tn2-0,

即—3根y=o,解得》=網(wǎng)，

即點尸的縱坐標為'/=工.

n

不妨設(shè)直線/與丁=的交點為M,與〉=-6》的交點為乂

卜=▼+〃，解得好斗,

由＜

y=6xl-v3m

即點M的縱坐標為yM=#,

1-V3m

卜=7：〃，解得產(chǎn)今,

由＜

J=-y/3x1+V3m

即點N的縱坐標為y=:喘,

N

則點M,N的縱坐標之積為yMyN=今?

l-y/3m1+V3m

=—3,故C正確;

1-3療1—3加

6〃—y[3n

因為3M+MV=1一百加1+G加

、22

百〃（1+yf3mj—百〃（1-6m

6mn3m

2（1-3m2）2n2n

所以點尸是線段MN的中點，所以|MN|二2|MP|,故D正確.

故選：ACD.

11.答案：AC

解析：A選項，對于（AB+3AC）?5C=0，根據(jù)數(shù)量積的定義展開可得，

c6zcos（7i-jB）+3tecosC=0，

即3Q/?COSC=QCCOSJB，即3Z?COSC=CCOSJB，由正弦定理，3sinBcosC=sinCeosB?

sinB_1

即tanB=—tanC=—tan45°=—則B為銳角，由<cosB—3

333

sin2B+cos2B=1

解得sin8=①，cos3=d叵，A選項正確,

1010

B選項：由A選項和題干可知，tanB=->tanC=1?

3

tan(B+C)=tan+tan=2=tan(7i-A)=-tanA，故tanA=-2，B選項錯誤.

1-tanBtanC

C選項：BA在方向上的投影向量為|R41cos

\BC\

sinA2

解得sid竽,

由B知，tanA=2<cosA，且0cA<兀，sinA>0

sin2A+cos2A=1

由正弦定理，上=^1￡=叵，則15Ale055.-^=亞.^^5。=%。，c選項正確.

BCsinA4\BC\4104

a_后_c

D選項：由正弦定理，上-=—L_=^，即而=詬=79,解得a=4，C=JIU，于

sinAsinBsinC會？、

5102

是COSA="+；"2=—：,AB.AC=M.四［—鬢）=_2,D選項錯誤.

故選：AC

12.答案：2

解析：因為卜+2司=卜—同，

所以a~+4a?b+d//=/一2a?b+b-'

化簡得『+2a必=()?

又因為(a+Z?)=a2+2a-b+b~=a2=4>

所以卜+Z?|=2，

故答案為：2.

13.答案：型；

428

解析：(1)因為點。為AB的中點，所以4。=工43=,人

22

又因為AC=/;，根據(jù)向量加法C￡)=AD—AO可得。。=；4一萬?

因為點E為CO的中點，所以CE=^CD，即CE=^da—b)=」a—工人

22242

再根據(jù)向量加法AE=AC+CE，可得AE=b+；a-g方=：a+gb.

(2)因為5歹=；30,80=40—川=/,—。，所以3尸=；3—4)?

121

AF—AB+BF—tz+—(Z?—a)=耳〃+§6r,

1121

AE-AF=(-a+-b)\-a+-b)

12211712-11,2125-1,2

=_x_QH—x_ci'b-\—x_CL'b—x_b——QHci'b—b，

434323236126

在△ABC中,NA=60°，根據(jù)向量數(shù)量積公式a/=\a\x\b\xcosA，

可得〃?b=|a|x|b|xg.由|BC|=3?

根據(jù)余弦定理|5CF=|AB|2+1A。『—21A3|x|AC|xcosA,

即9=|a『+|切2—g|x|b|.

根據(jù)基本不等式，可得9+,卜也歸21Hxi4即\a\x\b\<9.

1

將〃?/?=|a|x|。1、］代入74￡?71方的表達式：

222

AE-AF=-\a\+^-x^\a\x\b\+y\b^=^\a\+\b\)+^-\a\x\h\

61226624

15--33-

=-^\a\x\b\)+—\a\x\b\=-+-\a\x\b\

6242o

因為時x網(wǎng)V9,ABAF取得最大值，最大值為。+』x9=—'

11288

故答案為：—a+—b；—■

428

14.答案：±2

解析：由題意得尤2_卜4=0,解得x=±2，

故答案為:±2.

15.答案：(1)證明見解析

(2)10

解析：⑴證明:因為sin(C-A)=sinCcosA-cosCsinA,

由sin(C-A)=2(l-cosC)sinA,

可得sinCcosA-cosCsinA=2sinA—2sinAcosC

所以sinCcosA+cosCsinA=2sinA，所以sin(A+C)=2sinA,即sinB=2sinA，

又由正弦定理，可得b=2。，所以2=2.

a

(2)因為點。是線段AB的中點，所以=可得CD=；CB+gcA，

則CD2=^CB2+CA：+2CB-CA^=^(a2+b2+labcosZACfi).

由余弦定理得=儲+〃_2abcos/ACB，

又由(1)知,人=2。，。。=#，4￡)=2，則。=鉆=4，

,、、▼,a2+(2aV+2a-2acosZACB=24

聯(lián)乂方程組<，解得a=2,則b=2a=4，

a2+(2aJ-2a-2acosZACB=16

所以△ABC的周長為a+b+c=2+4+4=10-

⑵岳

⑶得

解析：（1）因為3D=4，N/M）B=60°

所以D4D5=IDA|-|DB|cosZADB

=|DA|X4X1=2，

，同=1，即^￡>=1；

⑵BC=3AD，，BC=3A￡>=3且AD〃BC，

:.ZDBC=ZADB=60°^

CD2=BD2+BC2-2BD-BCcosZDBC

=16+9-2x4x3x-=13,

2

CZ）=V13；

「CB-+CD2-BD29+13-16岳

2cBCD2x3xV1313

2C1111

「.cos2C=2cos2C-l=2x—-1

17.答案：（1）且;

2

解析：（1）由+—=0n

所以1皿18+生］=一正，又二＜3+二＜“，所以3+巴=型=5=如.

{6）3666663

因為E為A。中點，所以5石=3（區(qū)4+3。），

所以=^-（BA+BC）2=^|SA|2+|BC|2+2BABC^

=—（4+l+2x2xl-cos-=—?

4l3）4

所以網(wǎng)=￥，即成=等.

（2）因為5。平分/ABC，所以NA3D=NCBD=C-

3

'n.門p-L,c0o1.7t1.7T127r

i又BD=x，由SAMO+SACBO=S^ABC—cxsm—+—axsin—=—tzcsin—?

2

所以2%+%=2=＞%=—?

3

故B￡）=2.

3

18.答案：（1）證明見解析；

⑵6

解析：（1）方法一：-A。為3C邊上中線，AD=^AB+AC

AD?=；(AB+A。/nAD?=：(c2+/+2人ccosA),

在△ABC中，由余弦定理得：tz2=Z?2+c2-2bccosA9

2Z?ccosA=b2+c2-a29

:.AD"=^(2b2+2c2-a2)<

,-.AD=1^2(&2+c2)-a2.

方法二：A￡>為BC邊上中線，

在△ABC中，ZADB+ZADC=兀,；.cosZADB+cosZADC=0，

在△的它和△ADC中，由余弦定理得：

AD2+BD2-AB2AD-+CD'-AC2…八5

-------------------------1-------------------------=1),BD=CD'

2ADBD2ADBD

即Zm+BZF+m—AgZ—Ac?=0,

AD2=^b2+c2-

-a2

2

即=g網(wǎng)再耳7；

（2）A=—，〃=2，由余弦定理可得々2=）2+02-兒，

3

故從+（?2—4=/?。<（僅2+，），即人2+。2K8，

b=c

當且僅當I9時，即人=0二2時等號成立，

bz+C1—^―be

22

所以AD=gj2（片+02）_片=1^2（/?+C）-4<1V16-4=G，

所以A。取得最小值為g.

19.答案：（1）（3,0）

?_________r___

Q）涯』一2（后+1=11

（3）證明見答案

解析：（1）由題意可知：AB=（2,2）>OA=（1,2）

點B按已知方式繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)N即等價于點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)型,

22

可得AP=(2cos--2sin-,2sin-+2cos-)=(2,-2),

2222

則OP=OA+AP=(3,0)，即點P的坐標(3,0)?

2y2

⑵設(shè)M(x,y)為曲線G上任一點，則J-=1^OM=(%,y)，

a2

點M按已知方式繞原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)O(O<0<Ti)角得到

ON=(xcos^-ysine,xsin6+ycos0)，

即N(xcos9-ysiii^,xsin^+ycos。)在曲線Cx上,

則xsin6+ycos6=%cos0-ysin0---------------------

%cosg_ysing

整理可得夕cos20-sin26-1

1+c°s29-sin2一孫(sin29+cos2。)-/=1

22

Cl—

1+cos20-sin20

227

又因為二一2L=i,則。2=---------f----------，可得32。=—1，

a2b1cos28—sin28—1

sin26,+cos20=0

且0<。<兀，則0<2。<2兀，可得2，=2或2。=0

44

22

<0

若2夕=型，則°=一V272-1-72，不合題意;

41-

22

2

a2