2025屆高三數學高考二輪復習：立體幾何中檔大題專項訓練

1.如圖，三棱柱ABC—A⑸G中，=60°,AC±BC,AXC±AB,AC=l,AAi=2.

(1)求證：A。，平面ABC；

(2)直線BA,與平面BCC禺所成角的正弦值為B,求平面ABB,與平面^夾角的余弦值.

4

2.如圖，在斜三棱柱中，M為與G的中點，底面；ABC為等腰直角三角形,

⑴若A在底面ABC內的射影為點B,求點A到平面ABC的距離;

⑵若A在底面ABC內的射影為BC的中點，求平面\MB與平面BCG用夾角的余弦值.

3.如圖，在四棱柱ABCD-中，底面ABC。是矩形，AA{=AB=2AD,NDQC=6。，

平面。CCQL平面4BCD點E,尸分別為棱CG，A4t的中點.

(1)證明：B,E，Q，尸四點共面；

(2)求平面BD、E與平面A4GA夾角的余弦值.

4.如圖，在三棱柱ABC-A用G中，CQ1ABC,CQ=BC=2AC,BC1AC.,

BM=2BA(0<A<1).

(1)若2=；,求證：AC1〃平面21cAf；

⑵若二面角2-BC-M的余弦值為求X的值.

5.如圖，在正三棱臺ABC-A用G中，AB=6,A耳=4.

B

（1）若cq=夜，證明：eq，平面例4國

（2）若三棱臺的高為地，求平面A414g與平面B8CC夾角的余弦值.

3

6.已知—ABC-A3。均為等腰直角三角形，J.AB=BC=BD,平面ABC平面ABD.平

面四邊形CBDE中，CE=」班）,CE〃平面ARD,點尸為8。的中點，連接

2

⑴求證：ADYEF；

⑵求二面角C-AE-￡＞的正弦直

7.如圖，在四棱錐P-ABC。中，BC//AD,AB±AD,AB=3C=1,△R4D是邊長為2

的等邊三角形，且平面上位＞，平面ABCD,點E是棱上的一點.

(1)若PE=ED,求證：CE〃平面上鉆；

(2)若平面EAC與平面PBC的夾角的余弦值為—,求尸E的值;

4

⑶求點B到直線CE的距離的最小值.

8.如圖，在所有棱長都為2的三棱柱ABC-A旦G中，點E是棱AA的中點，AB.LCE.

C

(1)求證：平面AA5瓦，平面ABC；

(2)若乙41AB=方，點尸滿足AG=3AP，求直線CP與平面AAB4所成角的正弦值.

9.在四棱錐尸-ABCD中，上4,平面ABC。，底面為矩形，PA=AB=1,尸C與平

面PAD所成角的正切值好.

5

(2)已知G是棱BC上一點，且點。到平面PAG的距離為0,求平面PAG與平面P3G的夾

角的大小.

10.如圖，多面體ABCDE中，E4_L平面A3CDCJ■平面ABC,￡A=2r>C,尸是fig的中點.

⑴證明：。尸//平面ABC.

(2)若出=43=2,/84^=90,且二面角g—DE-C的余弦值為獨,求AC的長.

11.如圖，VABC和△r>3C所在平面垂直，5.AB^BC^BD,ZABCZDBC^120°.

(1)求證：ADLBC；

(2)若CE=gcA,連接DE,求直線OE與平面ABD所成角的正弦值.

12.圖1是邊長為&的正方形ABCD,將」ACD沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐

P-ABC,且PB=g.

(1)證明：平面PAC_L平面ABC；

(2)棱以上是否存在一點使得平面A3C與平面的夾角的余弦值為逅，存在，指

3

出點M的位置；若不存在，請說明理由.

13.如圖，三棱柱ABC-A^G中，側面ABBH是菱形，側面CB與G是正方形，^0=4,

用8=笈4=2,點。是AC的中點.

⑴求證：CB_L平面

(2)若C1E=2EC,求平面8QE與平面片。8的夾角的余弦值.

14.如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是正方形，尸ZU平面ABCD,PD=2DC=4,

E是棱FA的中點.

(1)求證：PC〃平面雙足；

(2)求直線BP與平面所成角的正弦值.

15.如圖，在四面體RWE中，C為棱PO上一點，AC=1,4人冬叵，C￡=—,MAC±P￡>,

33

PDA.DE,二面角C—AE—。的大小為

6

(1)證明：AC,平面PDE；

(2)求四面體AC￡>E的外接球的體積;

⑶求OE的長.

16.如圖，底面四邊形ABCD是正方形，PAL平面A5CD,平面ABCD,AD=ED=2,

PA=3.

⑴證明：2平面PAC；

⑵求二面角B-PC-E的正弦值.

17.如圖，在直三棱柱A8C-A8|G中，ZBAC=90°,AB=AC=2,AAi=2,Af是AB的

中點，N是與&的中點，尸是BG與瓦C的交點.

⑴求證：8G〃平面ACM；

(2)求直線2。與平面ACM的所成角的余弦值;

(3)求三棱錐N-ACM的體積.

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，AB=2點,BC=4,是等邊三角形，平

面平面ABC。，。為A。的中點，M在線段PC上且滿足尸PC,AC與8。相交

于點E.

⑴求證：AC15??PBO；

(2)求直線EM與平面PC。所成角的正弦值.

19.如圖，三棱錐P-ABC的棱BC上存在一點。，使得平面底面ABC,點E在棱4。

上，且PELARP。，平面RW.

⑴證明：AB_L平面FAQ；

⑵若AB=AD=2,AP^PD,BD=2CD,求平面PAB與平面PAC夾角的余弦值.

20.如圖所示，多面體ABCDQE中，底面ABCD為菱形，ZBAD=6O°,DR，平面AB。,

AD=DD{=2CE=2,CE//DDX.

⑴探究直線BE與平面ADD,是否有交點；

(2)求直線AD,與平面BER所成角的正弦值.

21.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=2AD=2CD=4,將△ZMC沿AC翻折至

PAC,使得平面PAC_L平面3AC.

⑴求異面直線PC與所成角的余弦值；

(2)求直線PA與平面P3C所成角的正弦值；

⑶點。在棱(不包含端點)上，且平面PC。與平面BCQ所成角的余弦值為立，求黑

4AB

的值.

22.如圖，AEJ_平面ABC。，CF//AE,AD//BC,ADJ.AB,AB=AD=2,

AE=BC=2CF=4.

⑴求證：BP〃平面ADE；

(2)求平面ADE與平面BDF夾角的余弦值;

(3)求四面體5-￡)石尸的體積.

《2025屆高三數學高考二輪復習：立體幾何中檔大題專項訓練》參考答案

1.(1)證明見解析

⑵邁

7

【分析】(1)利用余弦定理以及勾股定理，可得線線垂直，結合線面垂直判定定理，可得答

案；

(2)由題意建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量以及平面的法向量，利用線面角的

向量公式建立方程，求得點的坐標，根據面面角的向量公式，可得答案.

【詳解】(1)在中，Z4AC=60°,AC=1,AA1=2,

，…八AC2+AA2-AC2

由余弦定理可得cosZA,AC=——二J“」—,

2-AC-^A

則cos60=生匕心C,解得人。2=3,

2x2x1

由AC2+AC2=AA2,則在△AAC中，Ac1AC.

因為AC_LAB,AC,ABu平面ABC,AC<^AB=A,

所以AC,平面ABC.

(2)由(1)及AC1.3C,則ACACBC兩兩相互垂直，以C為原點，分別以CA,CB,CA

為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如下圖:

設5C=M左＞0),由(1)知AC=A/L

則A(0,0,退)，*0,太0),c(0,0,0),Ct(-l,0,y/3),

則叫=(0,-左,右)，CB=(o,k,o),cq=(-1,0,73),

n-CB=0ky=0

設平面BCC.B,的一個法向量元=(x,y,z),則，,，可得

-x+Cz=0'

n-CCx=0

令x=6貝力=。，Z=1,所以平面BCG4的一個法向量力=(石,0,1卜

5A-n\

設直線BA與平面BCG耳所成角為凡貝"sind=

|BA|-|?|+3-73+1)

則f=/6,解得k=L貝I網=(0,-1,百),

442+3.2、'

在三棱柱ABC-中，BBJ/CC,,則BB{=CCX=(-1,0,73),

設平面48旦的一個法向量機=(1,％,20),

m-BA,=0

-y0+—0J/-r-

則，可得[z_n9z()=1,則％°=g，％=g，

m-BBX=0—XQ+73z。=0

所以平面48用的一個法向量力=(5/卜

NM3+0+L2近

設平面\BB與平面BCC.B,的夾角為&,則cosa=

｛\n\]m\2x>/77

2.(1)72;

嗎

【分析】(1)取BC的中點。，可得AO_L3C,證明AO,面ABC,A0即點A到平面A^C

的距離，得解;

(2)取BC的中點。，易得A。*。］。兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，求出平面

和平面BCC4的一個法向量，利用向量夾角公式運算求解.

【詳解】(1)如圖，取BC的中點。，連接AQ

ABC為等腰三角形，AB=AC,AOLBC,

又?.A在底面A3C內的射影為點8,

「.43上面ABC,又AOu面ABC,\A^AAO,

又&BcBC=B,且AB.BCU面ABC,

.-.AO±[S]

AO即為點A到平面\BC的距離.

又：ABC為等腰直角三角形，且AB=AC=2

AO=y/2.

點A到平面ABC的距離為迎.

(2)如圖，

取BC的中點。，連接A0,4。，

A在底面ABC內的射影為BC的中點,

A,01面ABC.

ABC為等腰三角形，AB=AC,AOLBC.

建立如圖所示的空間直角坐標系，易知4。=日，

(0,-V2,V14),網一行,0,0),4(0,05714),^(-72,-72,714),

.-.MB=(-72,72,-714),網=(虛,0,舊)，(0,-72,714),

設平面MA4］的一個法向量為元=(%lly1,z1),

4?MB--血再+6義_V14ZJ=0

令4=1,得力=卜嶼,0,1),

nx-5A=y/2xl+^/5心1=0

設平面3。。不1的一個法向量為%=(々，%/2),

-+-Jl4z2—0

由＜令Z2=l,得九2=(0,夕,11

-y/2y2+V14Z2=0

則同i心麗=瓦1丁履1

所以平面A.MB與平面BCQBi夾角的余弦值為！

O

3.(1)證明見解析

⑵如

4

【分析】(1)證明四邊形AG，尸為平行四邊形，利用平面的基本性質得出結論;

(2)建立空間直角坐標系，利用向量方法求面面角.

【詳解】(1)取。A中點G,連接AG,EG,則有DG〃CE,DG=CE,

所以四邊形C￡)GE為平行四邊形，所以CD//EG,CD=EG,

又因為AB//CD,AB=Q)，所以AS//EG,AB=EG,

所以四邊形ABEG為平行四邊形，所以BE//AG,BE=AG,

又因為A尸//RG,AF=RG,所以四邊形AGO尸為平行四邊形,

所以AG//R尸，所以8E//RR所以8,E，2,尸四點共面.

(2)取。C中點O,AB中點連接。。，OM.

因為懼=ABZ￡>,￡>C=60，所以側面DCG2是菱形,

所以DQLDC,

因為平面。CCQJ平面A8C￡),平面DCGR平面ABC。=CDROu平面。CGR,

所以RO,平面ABC。，進而有ROLOM,D{OLOC,

因為底面48co是矩形，所以Q0//OG所以OM,0C，兩兩互相垂直.

如圖所示建系,

由⑴知，平面ABCD,所以機=（0,0,1）是平面A4aA的一個法向量.

設4￡>=1,則〃（0,0,君），川1,1,0）.因止匕"8=（1,1,-君）,"￡=[。,],一4

[22J

設〃=（尤,y,z）平面R2E的法向量，則”，而〃，屏

x+y-=0,

x-2y=0

所以3g所以＜

—y----z=0.”=0.

12)2

取y=1，則x=2,Z=6.于是〃=（2,1,石）是平面RBE的一個法向量.

設平面BD、E與平面A4GA夾角為e,COS0=在今J=手，

即平面BD,E與平面44GA夾角的余弦值為手

4.（1）證明見解析

⑵丹.

【分析】（1）連接BQ,設BGB}C=N,連接MN,利用線線平行可證線面平行;

（2）可證8CLAC,以C為坐標原點，C4,CB,CG的方向為X軸，>軸，z軸正方向，

建立空間直角坐標系Cxyz,求得平面CMBy的法向量是n,求得平面平面BCB]的一個法向

量，利用向量法可得力的方程，求解即可.

【詳解】（1）連接BG，設BQBlC=N,連接MN,

則在平行四邊形BCC國中，N是BG的中點，

又BM=5A,所以M是A3的中點，

2

所以跖V〃AC”

又MNu平面4CM,AG也平面4cM,

所以AG〃平面與CM.

(2)因為CG，平面A3C,AC,8Cu平面ABC,所以C&，AC,CG，

又5C，AC1,AC】cC￡=G,AC1,C￡u平面AC。，所以BC，平面ACC,

又ACu平面AC。，所以3C_LAC.

故以C為坐標原點，C4,CB,CG的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標系8z,

設AC=1,則C￡=8C=2,

所以C（0,0,0）,A（l,0,0）,8（0,2,0）,4（0,2,2）,

故CB}=（0,2,2）,BA=（1,-2,0）,C5=（0,2,0）,BM=ABA=（A,-2A,0）,

CM=CB+BM=（2,2-22,0）,

n-CM=0,

設平面CM用的法向量是〃=(x,y,z),所以，

n?CB1-0,

即-濘=。,取日，得方亨,a,

[2y+2z=0x

所以〃=

易知平面BC用的法向量是m=(1,0,0).

因為二面角8-月。-"的余弦值為逅,

3

2-22

解得力=;.

5.(1)證明見解析

⑵■

3

【分析】(1)過點用作用E〃CG，交BC于點、E,進而求出相關邊長，可證得Cq_LB用，

CGJ.A4,,進而可證得到結論；

(2)以42的中點。為原點，OB,0C所在直線分別為x軸，y軸，過點。且垂直于平面

A8C的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.取線段A片中點E求出平面441AB與

平面8瓦CO的法向量，進而可求得結果.

【詳解】⑴如圖所示，過點與作耳E//CC一交BC于點E,

易知四邊形BECG為平行四邊形.

所以gE=CC]=夜，EC=Bg=4,所以砥=2.

又BB\=6.,所以BE+BB；=BE?,即gE，JB4.故CCaBg，

同理可得CCLAV

又直線AA與BBl相交，且直線M與BBt都在平面AA.B.B內,

所以CG，平面441AA

(2)以AB的中點。為原點，OB,0c所在直線分別為x軸，y軸,

過點。且垂直于平面ABC的直線為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系.取線段A與中點F,

62⑹

4(-3,0,0),B(3,0,0),C倒,4~2?9.D\/，，,中考,

133

\7

(/?2后、

所以AB=(6,0,0),BC=(-3,3^0),BBX=-1,—

v33,

設平面A44B的法向量為々=(8y,z),

6x=0

AB-n.=0

則，即取z=l,貝h=0,y=—20,

BB.勺=0

]T+當+亞Z=0

33

故%=(o，-2?

設平面331cle的法向量為%=（帆n,r）,

八f-3m+3y/3n=0

BC-=0

則加:n'即出2網八，

BB,n=0-mH-----nH--------1=0

i2I33

取根=百，則〃=1,t=叵,

2

故％=G，i,,

I2)

—20+走[

一一，?必71

所以cos<4,n2>=I―ri-?=-I=一1

網聞衍由+1+g3

所以平面4414g與平面BB&C夾角的余弦值為;.

⑵年

【分析】（1）利用線面垂直判定定理可證明3CL平面4即，即可得E尸，平面A3D,再由

線面垂直性質可得結論；

（2）建立空間直角坐標系利用空間向量得出兩平面的法向量，即可求得二面角C-AE-D的

正弦值.

【詳解】(1)證明：A8C,一A8D均為等腰直角三角形，

且AB=BC=BD,:.AB±BD,AB1BC,

.?./。3￡>為二面角。—至-。的平面角.

又平面ABC±平面ABD,BCA.BD.

又AB_L3C,ASc=民ABu平面ABD,u平面ABD,

;.3C_L平面ABD.

CE〃平面ABO,平面CBDEc平面ABD=3￡>,。￡<=平面08￡固，

：.CE//BD,即CEV/BR,

XBF=-BD,CE=-BD,:.CE^BF,

22

，四邊形BCEF是平行四邊形，.?.EF〃BC.

.?.EF_L平面AB。，又ADu平面ABD,

:.EF±AD.

(2)由(1)知AB,BC,3D兩兩垂直，

故以8為坐標原點，分別以8ABC,8。所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標

系：

ZA

認

俎

少

y

"X

不妨設AB=3C=BD=2,則A（2,0,0）,C（0,2,0）,E（0,2,1）,0（0,0,2）,

CE=（0,0,1）,AE=（-2,2,1）,AZ）=（-2,0,2）.

設平面AEC的法向量為元=（x,y,z）,

.CF=7=0

則，令x=l,則"=（1,1,0）.

n-AE=-2x+2y+z=0,

設平面AED的法向量加=(a,b,c),

m?AD=-la+2c=0,1

則,不妨令c=l,貝!|。=1,6=二,

m-AE=-2a+2b+c=0,2

所以

故所求二面角C-AE-D的正弦值為

7.(1)證明見解析

⑵：

⑶手

【分析】(1)取承的中點E可得CE//BF,再由線面平行的判定定理可得答案;

(2)取AO的中點O,由面面垂直、線面垂直的性質定理得尸O_LOC,POVOD,以。為

坐標原點，直線OC,OD,O尸分別為尤，y,z軸建立空間直角坐標系，設法=2茄，求

出平面E4C、平面P3C的法向量，由二面角的向量求法求出2可得答案；

設PEiPD,0』］,求出點8到直線CE的距離J1一一4——，分〃=0、

\4〃--6〃+4

0<〃<1、〃=1可得答案.

【詳解】(1)取R4的中點/，連接3F,EF,

又PE=ED，點/是叢的中點，

所以EF〃位)，EF=-AD,

2

5LBCHAD,BC=-AD,所以EF//BC,EF=BC,

2

所以四邊形由C是平行四邊形，所以CE7/RL

又CE/平面上4B,平面所以CE〃平面上鉆;

(2)取AD的中點。，連接尸O,OC,如圖所示，

又平面平面ABC。，平面R4Z>c平面ABCE>=AD,

尸Ou平面PAD,所以PO_L平面A3C￡>,

又OC,ODu平面A2CZ),所以PO_LOC,PO±OD,

又OC/MB,AB，4),得OCLOD,所以以。為坐標原點，直線OC,OD,OP

分別為龍，》z軸建立空間直角坐標系，

所以A(0,-1,0),Z)(0,1,0),C(l,0,0),3(1,T,0),尸(0,0,⑹,

設涉=4茴，九W。』］,

又AC=(1,1,0),設平面E4C的法向量為m=(x',y',z'),

m?AC=x'+y'=0

所以‘m-A￡=(2+l)y+(73-V32)z,=0，

令y=-1),解得公=同T),/=A+1,

又。=卜1,0,石)，元=(0,1,0),

,,/、n-CP=-x+A

設平面尸3C的法向量為〃=(x,y,z),所以〈

n.BC=y=Q

令x=6，解得y=。，z=i,

所以平面MC的法向量力=(有,0,1).

設平面EAC與平面PBC的夾角為。,

ft

r-rrj

阿川

|4—27l||2-4^0

73（1-2）2+3（2-1）2+（2+1）2X^7TV722-102+74，

1I7

解得人=§,所以尸￡=

（3）設PE=〃PZ>,/ze[0,1],

所以CE=CP+PE=卜1,0,石）+〃（0,1,-6）=卜1,〃,右一回卜

又CB=（O,T,O）,所以點8到直線CE的距離

J一——

V4〃2_64+4

當〃=0時，d=l；

d=1--------------=1---------------z-----

當0<〃（1時，4—9+±AJ13、7,

V〃"74[〃-j+4

綜上，點8到直線CE的距離的最小值為也.

2

8.(1)證明見解析

⑵我

10

【分析】(1)如圖，由題意可得A瓦，E。，根據線面垂直的判定定理可得A瓦，平面EOC,

結合面面垂直的判定定理即可證明；

(2)建立如圖空間直角坐標系，根據CG=34和空間向量的坐標表示求得G(百，1，石卜

利用空間向量法求解線面角即可.

【詳解】（1）取A3的中點。，連接EO,\B,OC.

C

因為E為AA中點，。為AB中點，所以EO//AB.

在三棱柱ABC-ABiC中，AB=AAt=2,則四邊形A3與A是菱形，得人用,人仆，

則AB|_LE。，又AB4CE,EOCE=E,EO,CEu平面EOC,

所以4月，平面EOC.又因為OCu平面EOC,所以。CLA片.

因為VABC是等邊三角形，。為AB中點，所以OCLAB.

又因為OCLAB，ABABt=A,AB,4月^=平面448瓦，

所以OC,平面AAB瓦.又因為OCu面ABC,

所以平面AABBi1平面ABC.

（2）連接A。.

因為NAAB=g,AB=AAl,所以是等邊三角形，所以A0，A8.

又平面_L平面ABC,平面人^^用c平面ABC=AB,A。u平面片ABB一

所以AQ_L平面ABC.由。C,08u平面ABC,\OLOC,\OLOB,又OC_LAB,

如圖，以。為原點，OC、OB、。4分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系。-孫z.

X'

貝10(0,0,0),C(右,0,0),3(0,1,0),A(0,0,退)，Bi(0,2,73).

x=V3

設G(x,y,z),又CG=BB「即*-五y,z)=(o,l,我，得,y=l,

z=上

所以G(百,1,6),則CP=M+4AG=,

3I33J

/、心CPn730

易知平面AAB片的一個法向量〃=(1,0,0),所以cosCP,n=回府,

設直線CP與平面AABq所成角為3,貝Isin6=|cosCP,"卜等.

9.(1)2

⑵申

［分析1(1)先證明CD1平面PAD,推得NCPD即為直線PC與平面PAD所成角，設BC=m,

利用條件列出方程，求出加的值即可；

(2)方法1：取BC邊上一點G,連接AG,DG,PG,設BG=r,利用匕=求

得7=1,取AG的中點H,作HM_LPG,垂足為M,連接證明即為二面角

3-PG-A的平面角，計算即得;方法2：以A為坐標原點，建系如圖，設BG=f,(04,42),

利用點到平面的空間向量計算公式求得f=l,分別寫出相關點的坐標，求出兩平面的法向量

坐標，利用夾角公式計算即得.

【詳解】(1)因上4_1_平面ABCD,且CDu平面ABCZ),故R4_LCD.

又因為四邊形ABC。為矩形，所以CDLAD,

由9c">=A,R4u平面PAD,AOu平面PAD,可得CD_L平面PAD,

故PD是尸C在平面PAD內的射影，則ZCPD即為直線PC與平面上4￡>所成角，

設3c=7”，則AD=m,由勾股定理得，PD=d府+1，

則在RtZkCDP中，tanZCPD='_=坐,

V77J2+15

解得力=2即BC=2.

(2)方法1：

取2C邊上一點G,連接AG,DG,PG,設3G=r,

p

因為=gxlx2=l,PA±^ABCD,

VP-AGD=1X5AAGDXPA=1X1X1=1,

在Rt^ABG中，AG=y[t^>貝U=gxlx#7i=^^,

因點。到平面PAG的距離為72，故VDTAG='亞x正豆=也產+2,

由％TGD=S*AG可得：6tF=L,解得r=l,所以BG=1.

63

取AG的中點//,作HM_LPG,垂足為M,連接3”.

因為AB=3G,所以瓦/_LAG,

又上4_1面48。￡>,由/u面ABC。，則陽_Lfi4,

又因AGcPA=A,AG,PAu平面PAG,則3"J_平面PAG,

又PGu平面PAG,所以尸G_LBH,

又PGIBM,BHcHM=u平面BHM,故尸G_L平面

又BMu平面所以PG_L3M,則NBAfff即為二面角3-PG-A的平面角.

在中，BH=-AG=—,

22

因*GGJGS易得PWC,則3=曾=曾邛，

由=可得/BW”=囚,

BM23

7T

故平面PBG與平面PAG的夾角的大小為

方法2：

由題AB,AZ),AP三線兩兩垂直，故可以A為坐標原點，以A8,AD,AP所在直線

分別為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標系A-個Z,

設5G=，，(0<r<2)則4(0。0),P(0,0,l),G(1,Z,O),D(0,2,0),

所以0G=(1,”2,0),AG=(1J,O),”二(0,0,1),

設平面PAG的法向量記={x,y,z),

AG-m=0x+ty=0/，/、

則,即?，令y=-l,得加=&-1,0),

AP-m=0Z=(J

DGm\

又因為點。到平面PAG的距離為血，則二^29

\m\

即=y[2,解得t=1,所以BG=1,

+1

所以G(l』,0),B(l,0,0),PB=(1,O,-1),PG=(1,1,-1),

設平面PBG法向量為，=(&x，zj,

PB,n=0,fx-z,=0,/、

則即c令％=1，得”=1,0,1).

PG-n=Q,［占+%—4=0,

設平面P3G與平面PAG夾角為0,

??\m-n\11

則cos6>=cosm,n\=■,,'=一尸=一，

1|M-同72x722

jr7T

又因為04。4萬，所以平面尸8G與平面PAG夾角為

10.(1)證明見解析

⑵3

【分析】(1)取AB的中點G,連接GRCG,由線面平行的判定定理證明即可；

(2)建立空間直角坐標系，設AC=相，求出平面的法向量，利用坐標計算求解即可.

【詳解】(1)

E

D

“B

取回的中點G,連接GRCG,

因為尸為BE中點，所以FG〃屈1,FG=-EA=CD,

2

因為E4_L平面A3C,OC，平面ABC,所以DC〃E4.

又因為FG〃E4,所以。C〃FG,

所以四邊形CGfD為平行四邊形，所以D尸〃CG；

因為WN平面ABC,CGu平面A8C,所以〃平面ABC.

（2）

如圖所示建立空間直角坐標系，設AC=〃z,

則8（0,2,0）,E（OQ2）,。（租,0,1）,

BE=（0,-2,2）,=（切,-2,1）,

設元=O,y,z）為平面3OE的法向量，

n-BE=0f-2y+2z=0

則有得r八，

nDE=0（mc-2y+z=0

令丁=根,^n=（l,m,rri）,

顯然平面ACDE的一個法向量可以為v=（0,1,0）,

因為二面角大小余弦值為主眄，所以有

19

cos（〃,v）vi'Vm3M

|?IM42ml+119

解得加=3,即AC的長為3.

n.⑴證明見解析

n,2#10

55

【分析】(1)過點A作AO_LCB,垂足為。，由面面垂直性質定理證明AO_L平面D3C,

再證明ODLOC,建立空間直角坐標系，求直線力。和直線BC的方向向量，利用向量方法

證明結論.

(2)求平面45。的法向量，再由條件關系求E的坐標，再求直線DE的方向向量，利用向

量夾角公式求結論.

【詳解】(1)(1)延長CB,過點A作AOJ_CB,交CB于點。，連接OD.

由平面A3C_L平面D3C,平面A3。平面D3c=3C,

A。u平面ABC,

則AO_L平面DBC,

由AB=BC=BD,ZABC=ZDBC=120°,

得AABC^ADBC,

故AC=DC,ZACB=ZDCB.

又CO=8,得△AOC四△DOC,

則ZDOC=ZAOC=90°,

即OD_LOC.

以。為坐標原點，以OD,OC,所在直線分別為x軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標系,

設AB=BC=BD=2,

則O（6,0,0）,5（0,1,0）,C（0,3,0）,A（0,0,6）,

所以A￡>=（后0,-⑹，BC=（0,2,0）,

因為A?BC=O，

所以AO_L2C，即AD23c.

(2)由(1)知AB=(0,1,-右)，AD=(V3,0,-A/3),

設平面ABD的法向量為〃=(x,y,z),則=/=0，"?ADnO

所以片

X=Z

取z=l,貝！Jx=l,y=G

所以〃=（1,百,1）為平面AB。的一個法向量,

設E（1,%,z0）,由CE=gcA,

得（x。,%-3,z°）=g（0,-3,右），

所以毛=。，%=2,z0=4,即點E0,2,

所以。E=

設直線DE與平面ABD所成角為。,

\DE-n\

貝1Jsin<9=^~p—L

1叫同

f-A2,(1,73,1)一6+2百+3_

_13廣)______________3__

,3+4+gx遙gx455

故直線OE與平面A5Q所成角的正弦值為2通.

55

Z\

A

E

7D

rX

12.(1)證明見解析

⑵存在，且點M為線段小靠近尸的三等分點

【分析】(1)取AC的中點為0,連接8。、PO,證明出平面ABC,再利用面面垂直

的判定定理可證得結論成立；

(2)以。為原點，分別以OC、OB、。尸所在直線為X、丁、z軸建立空間直角坐標系，

^AM=AAP，[0,1],利用空間向量法可得出關于彳的等式，結合Xe[0,l]求出力的值，

即可得出結論.

【詳解】(1)取AC的中點為0,連接B。、PO,作圖如下：

因為四邊形ABC。是邊長為加正方形，所以PO_LAC,PO=BO=1,

在VPQ3中，PO-+BO-=2=PB-,則尸0,03,

因為ACc3O=O,AC、BOu平面ABC,所以尸O_L平面ABC,

因為POu平面ACP,所以平面PAC_L平面ABC.

(2)易知VABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且。為AC的中點，則OBLAC,

又因為POL平面A3C,

以。為原點，分別以OC、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，如下圖

所示：

則A(—1,0,0)、P(0,0,l)、C(l,0,0),3(0/,0),

設加(%,％?)，貝。AM=(Xo+l,%,z。)，設AM=XAP=(4(U),AG[0,1],

XQ+1=A.x0=4—1

解得卜=0，所以M（"L（U）,

可得＜%=0

*o=4z0=4

則CM=(4-2,0㈤，BC=(l,-l,0),

/、rri-CM=(A-2)a+Ac=0

設平面的法向量町=(〃,/?,c),可得《，

叫?BC=a—b=0

令a=X,貝c=2-A,所以平面A/SC的一個法向量犯=(442—/1),

由圖易知平面ABC的一個法向量徑=（0,0,1）,

設平面ABC與平面MBC的夾角為6,

,八"叫||2-2|V6

貝ljcose=J-Pi-L=/--------------=—,

阿,卜叫+22+（2-2）2-A/0+O+I3

2

化簡可得3萬+44-4=0,解得彳=§或幾=一2（舍去），

所以存在滿足題設條件的點M，點A7為線段AP靠近尸的三等分點.

13.（1）證明見解析

⑵噂

【分析】（1）取A8的中點。，由余弦定理求出4爐，然后由勾股定理得CB_LAB,再由線

面垂直的判定定理可得答案；

（2）以。為原點，OB,OD,。片分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設E（%y,z）,

由GE=2EC求出得點E坐標，求出平面瓦。8、平面與。￡的法向量，再由二面角的向量求

法可得答案.

【詳解】（1）取AB的中點O,連接。與，OD,\B,

在菱形ABB^中，AB=BiB=BlA=2,貝|ABBt為正三角形，ZABB,=60,

從而N54A=120,由余弦定理，

\B2=AB1+AA^~2AB-AA^cosZBAA,=22+22-2x2x2x^-1^j=12,

又AC=4,正方形中，BC=BtB=2,

所以3c2+432=AC=即CB_LA5.

在正方形中，CB1BBt,BBJAB=B,

BB(,48u平面A&B|A1,所以CB平面ABB]A;

（2）ABu平面ABB]A，則CBJ_AB,

又O。為中位線，OD//BC,所以8_LAB.

在正三角形鉆4中，AB±Bp,

由（1）知，CB_L平面43月4，OB]U平面A331A，則CB_LO4,

而OD//BC,所以。。_1。片,

如圖，以。為原點，OB,OD,。耳分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,

貝UB(1,O,O),A(-I,O,O),耳(O,O,@,C(l,2,0),D(0,l,0),

設E(x,y,z),QE=2EC,則EC=；GC=；B|B=

由(l-x,2-y,-z)=^,0,-^y-,解得點E|>2,手].

<22b)

BQ=(0,1,-6),BXB—^1,0,—\/3j,BXE=—,2,.....-,

設平面的法向量為/=（/,%,z。,

%B[D=y-V3Zj=0

1取4=1,則%=%=6,

?BXB=xx-A/SZJ=0

平面BRB的法向量為%=（若,6,1）.

設平面與。石的法向量為巧=（工2，%*2），

n2-BXD=y2~也z?=0

由,