2025屆高考數學二輪復習專題卷點、直線、平面之間的位置關系

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。一、單項選擇題：本大題共8小題，

每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正

確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.已知m,小/是三條不同的直線，a,（3是兩個不同的平面，mua,nu/3,a[｝（3=l,mLl,

則是“加，〃”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知/,"是兩條不同的直線,a,p是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A?若〃mila9則/〃加B.若/ua，mu)3，all[3?則〃/冽

C.若I_Laa1(3，Iu。，則/〃尸D.若ma,a1/3，則/_L/

3."平面°內有一條直線/,則這條直線上的一點A必在這個平面內”用符號語言表述是（）

、IuaIua

A.〉=>AuaB.>=>Aea

A(zZAGZ

lea—lea

C.>=>AwiD.>=>Aczor

Au/AeZ

4.若平面a〃平面〃,直線aua,直線bu/7,那么m匕的位置關系是（）

A.無公共點B.平行

C.既不平行也不相交D.相交

5.若/,相為兩條不同的直線，a,為兩個不同的平面，貝（J（）

A.若/〃。，mua,則〃/冽B.若〃mlla9則〃/加

C.若/_Lo，m1/3，/_Lm，則。D.若〃，all[3，則〃/

6.如圖，在體積為V的三棱錐A-BCD中，E,F,G分別為棱AB，AC，AD上的點，且

AE=EBAF=2FC，AG=2G￡＞，記。為平面BCGCDEDBF的交點，記三棱錐O-BCD的體

積為匕，則V：v=（）

A2B._C.1D.l

5567

7.已知非零向量6，g不共線，如果AB=G+e2，AC=2e1+8e2,AD=3G-3弓則四點A，B,

C,。（）

A洪線B.恰是空間四邊形的四個頂點

C共面D.不共面

8.已知正方體ABC。-A4GR，若尸是棱耳G的中點，則異面直線4尸和CR夾角的余弦值為

)

口加

1c或A/10

A.-D.---------D.--

5555

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知四面體ABC。的每個頂點都在球。（。為球心）的球面上,△ABC為等邊三角形，加為AC的

中點,筋=皮）=2,4￡）=JL且4。，5。，則（）

A.BM平面ACDB.Oe平面ABC

C.O到AC的距離為空

3

10.設機、〃是兩條不同的直線,a、夕是兩個不同的平面，給出下列命題正確的是（）

A.若m_La，nila-則〃z_L〃B.若加_1_〃，nila'則/〃

C.右加cellp,則加_L/?D.若rnJ/a，nila1則加//〃?

11.下列說法正確的是（）

A.若加J_a,nila,則加_L〃

B.若all（3,pily,m-La,則根_L7

C.若mllanila,則mlIn

口.若。_17,。工y,則。_L/?

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖.已知圓錐的軸截面為等邊△PAB，/%=2，。，。分別為A5，/%的中點C為底面圓周上一點.

若oc與pg所成角的余弦值為工.則cr>=.

13.兩條異面直線所成角的范圍是.

14.設w是兩條不同的直線,a,￡是兩個不同的平面,給出下列四個命題：

①若mm_La，"cr，則”〃a；

②若mHa，a_L￡，則m_L，；

③若_L夕，tz_L，，則m//a或mua;

④若mJ_〃，m_!_&，〃_L△，則

則其中正確命題的序號為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐尸—A5CD中，平面ABCDJ_平面PAB'△R1B為等邊三角形，四邊形ABCD

為矩形，E為的中點.

(1)證明：平面ADE_L平面

(2)若AB=2AD，求二面角￡一℃一5的余弦值一

16.如圖所示，在直三棱柱ABC—A51cl中，44=6,BC=4,ZABC=ZACB,D為棱BC

的中點，E為棱8片上靠近用的三等分點，尸為線段A。上的動點.

(1)求證：qE±平面DEF；

(2)若四面體GDEF的體積為2寸0，求NEED的正弦值.

17?如圖，在四棱錐.CD中，上4,底面A3CD，AD^AB^DC//AB-PA=AD^DC=1'

AB=2>E為棱Qfi上一點.

P

(1)若E是/35的中點，求證：直線CE〃平面QAD；

(2)若屈=彳而，且二面角E—AC—5的平面角的余弦值為逅，求三棱錐后—ABC的體積

3

18.如圖，在三棱柱A3C—4與。］中，底面ABC是等邊三角形，N4A3=N4ACQ為的中點，過

B?的平面交棱AB于瓦交AC于F.

（1）求證:平面A.AD1平面EB&F；

（2）設M為3?的中點，平面EB[CiF交AD于尸，且PD=2Q4?若PM=A3=6，且NMPD=1，

求四棱錐3-C/的體積.

19.如圖，在直三棱柱ABC—A與G中，AB±AC'AB=AC=AA=2,點￡、尸分別為棱AB、

44的中點.

⑴求證：人尸〃平面BCE；

⑵求直線GE與直線AF的夾角的余弦值;

⑶求點F到平面BgE的距離.

參考答案

1.答案：A

解析：充分性：若因為。「，=/,

mua,ml.1,所以J_，，

因為“u，，所以m_L〃，則充分性成立.

必要性：當〃〃/時，。與，不一定垂直，則必要性不成立.

所以±13”是的充分不必要條件.

故選：A

2.答案：C

解析：A：若ma，mlla^則/、機相交、平行、異面都有可能，錯;

B：若lua，mu/3，allf3>則/、機平行、異面都有可能，錯；

C：若aL/3，貝Mu尸或〃/，，又/</夕，所以〃/萬，對；

D：若〃/&，a，則/、夕平行、相交或/u，都有可能，錯.

故選：C

3.答案：B

解析：?.?平面a內有一條直線/ua,

?.?點A在直線/上，.?.Aw/,

:.A^a-

故選：B.

4.答案：A

解析：由題，直線。，6分別含于兩個平行的平面，

可能平行，可能異面，但不可能相交.

故選：A

5.答案：C

解析：根據線面平行的性質定理，

若〃/a，mua,則〃/加或/與相異面，A錯誤；

平行與同一平面的兩條直線位置關系不確定，可能平行、相交或異面，B錯誤;

如圖，Bu/，過點5作機的平行線幾，設/,〃所在平面為y,

且7Pl月=6，則〃J_Z?，根據己知/所以〃_!_/，

，且ZJU〃，所以C正確;

若〃/。，。〃尸，則〃/尸或/u分，D錯誤.

故選：D

6.答案：C

解析：設36。。石="，跳'口。石=加，連接。'，。加，

易知平面BCG。平面CDE=QV，平面DBF。平面CDE=DM，

顯然CNDOM=O.

.AE=EBAF=2FC^AG=2GD

—?1—?—?2—?—?2—?

AE=-AB^AG=-AD^AF=-AC

233

在△ABZ）中，設前=彳屈，0</1<1,函=〃而，0<〃<1，

°

AN=AG+GN=AG+AGB=AG+A(AB-AG^=AAB+^1-A)AD^

AN=AE+EN=AE+JU^D=AE+JLI(AD-AE)=^(1-JLI)AB+JLIAD,

2=;(1-〃)

2=-

4

由平面向量基本定理得：<2，解得

1

§(1-幾)=〃〃二一

2

在△ABC中，設麗r=加而，O<〃2<1，^7=〃2ZSO<“<1，

2

AM-AF+FM-AF+mFB-AF+m(^AB—AF^=mAB+—(1—m)AC

AM=AE+EM=AE+nEC=AE+n(AC-AE)=^(l-n)AB+nAC，

m=—

由平面向量基本定理得:解得,4

1

g(l一加)=nn=—

12

即兩」麗，麗7」比;

42

DO2

DOCD2DM3

設點O,M,E,A到底面的距離分別為h0,hM,hE,hA,

h0_DO_2&*」短=里==

1*35

'hMDM3hEEC2?AB2,

1V.h

則匕%二/xLJ_,

V%，hhAhMhEhA3226

3uABCD"A

故選：c.

7.答案：C

解析：因為AB=耳+02，AC=2el+8e,,AD=3e；-3e2

顯然抽，/不共線，則A,B,C三點不共線，

所以5AB—AD=5+e?)—(3,—3%)=2,+8e,=AC,

所以須，AD,市?共面，

又A為公共始點，所以A,B,C,。四點共面.

故選：C.

8.答案：D

解析：令正方體ABC。—A4Gq的棱長為2,連接BA1，BP,

則4P=族=底%B=2也

四邊形A.BCD,是正方體AG的對角面，

則四邊形AXBCD,是矩形，即%BHCD\,

因此NBAP是異面直線4P和CQ所成的角，

卜。后〉如

在等腰△2413中，cosNB41P=

所以異面直線A.P和CQ夾角的余弦值為普.

故選：D

解析：設△A3。的中心為G,過點G作直線/_￡平面ABC,

則球心。在/上.由M為AC的中點，得5M■工AC.

因為ACJ.5。?所以AC，平面則ACLD0,

所以AD=DC=yfl，所以AD-+DC2=AC2，所以ZADC=90°，。知=L4。=1，所以

2

DM2+BM2=BD"

所以BM±DM，可得BM，平面AC。，

所以球心0在直線MB上，因此。與G重合.過M作MH±CD于"，

連接。只則OH_LCD，從而ZOHM為二面角A-CD-O的平面角.

因為。〃=嗎=亙碗=必=也，

3322

所以。到AC的距離為止，且tanZOHM=-=也-

3HM3

故選:AD

10.答案：AC

解析：對于A：因為可知在平面a內存在直線/,使得///n，如圖所示,

又因為且/ucr，則加所以加_!_〃，因此A正確;

對于B：如圖所小：m_Lnf〃〃a，但加〃a，故B錯誤；

對于C：若加_La，all(3，則由線面垂直的判定定理得zn_L/?,故C正確.

對于D：mHa?nila?如圖所小，m[\n—P?故D錯誤.

m

故選：AC.

11.答案：AB

解析：對于A,因為M/a,過直線〃作平面，，使得0n力=。，

因為M/a,nu(3,a[}/3=a,則〃〃a,

因為根_La,aua,則m_LQ,故加_L〃，正確;

對于B,若。〃/7,mLa,則加_L/?,又，〃則加_L7,正確;

對于C,若mHa,nila,則〃或相與〃相交或根與〃異面，錯誤;

對于D,若。_1/,01丫,則。〃分或。與，相交，錯誤.

故選：AB

12.答案：逅或叵

22

解析：連接OD，O,Z）分別為AB，Q4的中點?

則OD//PB，OD=LpB,

2

所以NCOD（或其補角）為異面直線0C與P5所成的角,

所以cosZCOD=',或cosZCOD=---

44

又OC=1，。。"

當cosZCOD=：時，CD=7(?C2+OD2-2OC-ODcosZCOD=

l+l-2xlxlx—,

42

當cosNCOD=-；吐CD=OC~+OD2-2OC-ODcosZCOD=Jl+l+2xlxlx；=T,

所以CD=Y5或巫.

22

故答案為:逅或巫.

22

13.答案：|^0,|

解析：根據異面直線的定義，兩條異面直線所成角的范圍是為.

故答案為：|^0,|.

14.答案：①③④

解析：①若根_]_〃，根_La，有〃ua或幾〃。，又〃a0,則nila，對；

②若m//a，a_L/?，則皿。相交或mlip或加u力，錯；

③若加ua,加_L/?,則C，滿足；

若設2口力=，，在a內作直線〃

又o_L/,則〃_L/7,而zn_L0,所以m//n，

由〃ua,則m//a.

綜上,mlla或根ua,對；

④若加_|_a,〃_L/3，將m,n分別看作a,）3法向量所在直線，又m-Ln,則a1/3，對.

故答案為：①③④.

15.答案：（1）證明見解析；

。

(2)2

解析：(1)證明：因為為等邊三角形，E為的中點，所以AEJ_PB.

因為平面A5CD，平面已鉆且相交于A3，ADrAB^ADu平面ABCD，

所以ADJ_平面乃43，而PBu平面#45，則

又AZ)r|AE=A，AD,AEu平面ADE，所以。B_L平面ADE.

因為Qfiu平面PBC，所以平面ADE，平面PBC-

(2)以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A-孫z.

不妨設依=AB=Q4=2,則AD=1，。(0,0,1)，E坐；,0，C(0,2,l)，

122J

__.-.(J33、

DC=(0,2,0)，DE=—,-,-1

設平面￡￡>C的法向量為比=(X，M，ZJ，

r——2y=0

則17nl《m-D—C,=0，代/43.-入rzg可「得□

mDE=Q—X+-U-Z,=0

iI21211

令％]=2，則乂=0，Z]=^3，所以玩=(2,0,?

由題意可知n=(1,0,0)是平面ABCD的一個法向量，

m-n2近

所以|cos〈泣①|=

\m\\n\島~T~

所以二面角石_℃一5的余弦值為冬夕?

7

16.答案：（1）證明見解析

解析：（1）由于NA5C=NACB,

所以A3=AC,由于。是的中點，

所以AZJL5C,由于CCj,平面ABC,ADu平面ABC,

所以CC]，A￡>,由于

BC,。￡匚平面3。。內，

所以AD_L平面BCG；耳，

由于GEu平面BCC[5],所以AD_L￡E.

由題設易知4E=2,BE=4,GE=DE=25C；D=2^/10

所以GE?+DE2=GL）2,所以GELDE，

由于40。。￡=。，AD,DEu平面。EF,

所以GEL平面DE尸；

⑵由⑴得AD_L平面BCC4,所以曾產_1平面3CC]B[,

匕DEFCDE=-|-x275x2V5|xDF=—,DF=2,

C]一L）tLrr—L-^Uc,3（2''J3?

由于DEu平面BCC14,所以。尸，DE,

所以EF=,22+(2布j=2瓜,

A/30

所以sin/￡FD=#

~6~

2V6

17.答案：（1）證明見解析；

⑵工

6

解析：（1）證明：取的中點「連EF，DF'

?.?E為依的中點，.?.EF7/AB且=

2

又CD〃AB，且CD=LAB，

2

EF//CD>EF=CD，

所以四邊形CDEE為平行四邊形，

CEHDF，

又CEO平面MD，DEu平面PA。，

故直線CE〃平面PAD

(2)以A為坐標原點，以A￡)，AB,AP所在射線分別為x，》z軸建立空間直角坐標系A-孫z，

如圖所示,

則A(0,0,0)0)，P(O,O,1)1)，3(0,2,0)，C(l,l,0)1

設E(x,y,z)，則屋=(x,y,z-l)，PB=(0,2,-l)-

在棱PB上，,可設而=力而(0<X<l)，

x=0

故(x,y,z—l)=2(02—1)，解得<y=24，即E(0,241—丸)，

z=1—A

易知平面ACB的法向量為U=(0,0,1)，

設平面ACE的法向量。=(々,%*2)，AE=(0,22,1-2)>AC=(1,1,0)-

v-AE=0f(x2,y2,z2)-(0,2/l,l-Z)=0

__，即<

v.AC=0[(x2,y2,z2)-(l,l,0)=0

f22y+(l-2)z=0

即V22

%+為=0

22,22

取x,=1，則%=-1，z=-----(------>0)，

21-21-A

故”(1,-1,當,

1-A

因為二面角￡_AC—5的平面角的余弦值為四,

3

所以?cos〈五萬〉|=逅，即巫EL=Y5，

3\u\-\v\3

即，L)2=2[I+I+(工￡力，

1-231-2

22

l(2￡)2=l^(J_)2=1^2=i-2A+/i-解得幾=工

31-231-/12

故E是尸3的中點，

因此%-ABC=5ABC?PA=—X—X—x2xlxl=—

2326

18.答案：（1）證明見解析

(2)24

解析：（1）證明:連接4瓦A0.

因為N&AB=NA&C，AB=AC，"=抽

所以△A1AB之△4AC,所以=AC.

因為。為BC的中點，所以BC,A。.

因為AB=AC，。為5C的中點，所以BC,AD-

因為4。04。=。，4。，4￡＞（=平面44。

所以6。_1_平面44。?

又BCJ/BC,所以瓦G，平面AAD.

又AGu平面EB|C尸

所以平面A.AD1平面EBgF.

（2）由題意得:AP=LAD=^^義6==—AD=2A/^，

33