2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題卷空間幾何體

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知球。半徑為4,圓&與圓Q為球體的兩個截面圓，它們的公共弦長為4,若

則兩截面圓的圓心距l(xiāng)?al=（）

A.百B.孚C.3+V3D.2G

2.在棱長為2的正方體ABC。-A31GA中分別為AChBC的中點(diǎn)，則平面截該正方體

的外接球得到的截面的面積為（）

A如B.ZZEc生DW

5555

3.一正四棱錐p—ABC。，=當(dāng)其外接球半徑尺與內(nèi)切球半徑r之比最小時，VP_ABCD為

p.277271

A?久詈B-2?+2Q2A/A/2+1

3

4.如圖，在四棱錐S—A5CD中，四邊形ABC。為矩形，AB=2五,BC=SC=SD=2,BCYSD,

則四棱錐S-A6CD的外接球的體積為（）

D.4布瓦

5.球面上有三點(diǎn)A,8,C,若AB=6,BC=8,AC=10且球心到△ABC所在平面的距離,等于球的半徑

的一半，則該球的球面面積為（）

A--------B.30071C.120071D.1600兀

3

6.宋代是中國瓷器的黃金時代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯.

其中汝窯被認(rèn)為是五大名窯之首.如圖1,這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由

兩個圓臺拼接而成，其直觀圖如圖2所示.已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是12厘米,

中間圓的直徑是20厘米，上底面圓的直徑是8厘米，高是14厘米，且上、下兩圓臺的

高之比是3:4,則該汝窯雙耳罐的體積是（）

C2304兀D250471

3333

7.樟卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶,在連接部分通過緊密的拼接，使得整個結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重

量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得柳卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一

種簡單的機(jī)械工具,是用于填充器物的空隙使其牢固的木檄、木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中

四邊形ABCD是邊長為2的正方形，且A4力正，ARC1"均為正三角形，F(xiàn)FHCTi,2歹=4,則該木楔

子的外接球的體積為（）

C32兀D.%

A」6兀B.32兀

.亍3

8.在正方體ABCD-4gCQ中,E,F,G分別為BC,CD,DDX的中點(diǎn)，若AB=4，則平面EFG截正方體

所得截面的面積為（）

A.6夜B-6A/3C-12拒D12V3

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.如圖，球。的兩個截面圓。i和圓。2的圓心分別為a（0,。,—i），a（o,i,o），半徑均為2,且圓a

和圓。2所在平面分別與z軸和y軸垂直.若動點(diǎn)P,Q分別在兩個圓周上勻速運(yùn)動，每12秒運(yùn)動一周,

其中點(diǎn)尸，。的起始點(diǎn)分別為4（0,—2,—1）,5（0,1,2）,點(diǎn)P,。按照圖中指針方向運(yùn)動，運(yùn)動時間

為f（單位：秒），貝）

A.球O的表面積為2071

B.當(dāng)/=6時，|尸。卜血

C.存在時刻力使得點(diǎn)P,。在球面上相遇

D.|pe|的最大值為275,且同一個周期內(nèi)取得最大值的時間差為8秒

10.如圖，在棱長為2的正方體ABC。—4gGR中，M、N、P分別是AA-CCrCQ的中點(diǎn),

。是線段24上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），貝1（）

A.四面體5CGP的外接球的表面積為9兀

B.存在點(diǎn)。，使2、N、P、。四點(diǎn)共面

C.過。且與5N垂直的平面截正方體ABC。-4月￡。］所得截面面積取值范圍為（0,2君］

D.點(diǎn)X是四邊形內(nèi)的動點(diǎn)，且直線PH與直線AD夾角為巴，則點(diǎn)》的軌跡長度為空

43

11.如圖，棱長為2的正方體ABC。-A4G。的內(nèi)切球為球O,E,尸分別是棱A。，8用的中點(diǎn),

G在棱A3上移動，則下列選項正確的是（）

。，

A.該內(nèi)切球的球面面積為4兀

B.存在點(diǎn)G,使得0D〃平面EFG

471

C.平面EFC被球0截得的截面圓的面積為—

7

D.當(dāng)G為A5的中點(diǎn)時，過E,F,G的平面截該正方體所得截面的面積為3班

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.表面積為16兀的球的體積是（結(jié)果保留兀）

13.若平行四邊形ARC'。'是用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形A3CD的直觀圖.已知

A5'=4,NDA5'=45°，平行四邊形ARC'。'的面積為8,則原平面圖形ABC。中AD的長度為

14.如圖的工藝品是由九個圓柱焊接而成.這些圓柱具有共同的軸,最下邊的圓柱的高為10cm、底面

半徑為5cm?從由下至上第二個圓柱開始，每個圓柱的底面半徑與高都分別是其下面一個圓柱的底面

半徑與高的0.8倍，則這個工藝品的表面積（含最下邊圓柱的下底面積）約為cm?

（精確到Icn?）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知圓錐的母線長為5cm,高為4cm,求這個圓錐的側(cè)面積和體積.

16.在球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，面積分別為49?rcm2,400Kcm2,求此球的半徑.

17.寫出棱臺中任意兩個側(cè)面的位置關(guān)系.

18.球面上是否存在共線的3個點(diǎn)？為什么？

19.如圖所示，已知三棱臺ABC-44孰的上、下底面都是等腰直角三角形，CG，平面ABC,

AC=2,A￡=I，CG=1?求這個三棱臺的全面積.

參考答案

1.答案：D

解析:設(shè)圓&與圓。2公共弦為A6,其中點(diǎn)為瓦

則川=?「=442—32囿=22=荷—后=屈，

Ia2To=5,1QJOA|-|OO2|

所以|0閨=屈川2_卜吁="4=百，|。2同=加心問=V13-4=3'

3

所以在RtAOQE中,tanNOEQ==8,所以NOE。=60°,

在RtAOO2E中,tan/OEO,=且，所以ZOEO2=30°,

22

所以在△01￡。2中，NOIEQ=90°，所以|O|Q|=^|C>2E|+|<9,E|=79+3=273-

故選:D.

2.答案：D

解析：如圖，連接耳/，由題意易知E/〃A片,

EF=4片,故四邊形ABpE為平行四邊形.

設(shè)耳C取用G的中點(diǎn)K,連接",

在Rt△用KP中,BF=下‘B]K=LFK=2,

故點(diǎn)K到BF的距離為撞，故點(diǎn)H到B]F的距離為昱,

因此圓心O到平面4政的距離為書.由題易知球0的半徑R=G，

故平面\EF截球0得到的截面圓的半徑r=J[:=粵，故截面圓的面積S=兀產(chǎn)=菖兀.

故選：D.

3.答案：D

解析：如圖，正四棱錐中P—ABCD，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)M，則平面ABCD，

如圖所示，設(shè)正四棱錐P—ABCD外接球的球心為。，PM=h，

連接QC，則PQ=CQ=R,

P

因為AB=、叵，所以CM=1，

在RtZsQMC中，CQ2=QM2+CA/2，即氏2=（/z—氏）-+儼=^=3+前,

如圖所示，設(shè)正四棱錐尸—A5CD內(nèi)切球的球心為°，PM=h，

取的中點(diǎn)區(qū)連接尸石，

設(shè)內(nèi)切球。與面PCD切于點(diǎn)尸，與面ABC。切于點(diǎn)加，易知FePE，/\POF^/\PME-

OFPM-OMh-rJ2/+1-1

則ME

h1

R2+2/z/72+l

所以一=

r172/7+1-1

2A

令］=J2/+1—則2/?=（2+1）2-1n/I?='

r+It

所以o=/L=-^，+5Q=、

rV2A2+1-1t2tN2t

當(dāng)且僅當(dāng)工=［即.=行時，等號成立，片取得最小值，

所以興(V2)+2逝

2

所以％-ABCD=g-X&XJ&+1=N*±1，

故選：D

4.答案：D

解析：因為四邊形ABC。為矩形，所以5CLCD,

又5。，50,且S￡>CD=D,SD,CDu平面SCO,

所以BC,平面SCD,

又BCu平面ABCD,故平面ABCD_L平面SCO,

又SC2+SD2=CD2,

所以△SCO是等腰直角三角形，

所以其外接圓的圓心是。的中點(diǎn)，

又四邊形A8CD為矩形的外接圓的圓心為4C,8。的交點(diǎn)，

所以四棱錐S—A5CD的外接球的球心為AC,8。的交點(diǎn)，

所以外接球的半徑為R=舟+Q偽2=6，

2

所以四棱錐S-A5CD的外接球的體積為V=±忒3=4岳.

3

故選：D.

5.答案：A

解析：令△ABC外接圓的半徑為匕球的半徑為民

由AB=6,6C=8,AC=107￥A32+3C2=36+64=100=AC2，

所以△ABC為直角三角形，則2r=10,即r=5，

因為球心到△ABC所在平面的距離，等于球的半徑的一半，

所以夫2—52=(；,解得R=^，所以球的表面積為4口2=等E.

故選：A.

6.答案：D

解析：上、下兩圓臺的高之比是3:4，.??上圓臺的高為14x^—=6厘米,

3+4

下圓臺的高為14義」一=8厘米，

3+4

故上圓臺的體積為y6,+1°2+,16x1°°);"2兀立方厘米，

13

下圓臺的體積為V_8x^(62+102+736x100)_1568立方厘米，

133

故該汝窯雙耳罐的體積為

“T.15682504兀4七畝來.

Vl+Vl=312TH——--7i=——--"方厘術(shù).

故選：D.

7.答案：C

解析：

8.答案：D

解析：如圖，過點(diǎn)G作EF的平行線交3月于點(diǎn)，過點(diǎn)J作FG的平行線交4用于點(diǎn)I,

過點(diǎn)/作EF的平行線交42于點(diǎn)X，易知點(diǎn)J,/,"都在截面EFG內(nèi)，

且都是其所在棱的中點(diǎn)，從而所得截面是邊長為20的正六邊形，

所求面積S=6XQX2V2x2V2xsin600)=12百.

故選:D.

9.答案：ABD

解析：對于A,設(shè)球。的半徑為R,

2

由題意0到圓面a和圓面。2的距離為d=yjR'-2=1,

所以R=所以球。的表面積為S=4兀尺之=20兀，故A正確；

對于B,由題意，A(0,-2,-l),3(0,1,2),G/0,0,-1),O2(0,1,0),

因為動點(diǎn)P,。分別在兩個圓周上勻速運(yùn)動，每12秒運(yùn)動一周，

27r7T

設(shè)尸，。兩點(diǎn)運(yùn)動的角速度為0,所以T=12=」，解得：。=—,

co6

所以尸，。兩點(diǎn)分別從A,B同時出發(fā)，

7T

按箭頭方向沿圓周。1,。，以每秒七弧度的角速度運(yùn)動，

6

運(yùn)動/秒后，尸(-2sin亥,-2cos亥,-1),Q(2sin—,1,2cos—),0<^<12,

6666

|PQ「=14sin?]+[l+2cos?1+12cos?+l]

=16sin2—+8cos2—+8cos—+2

666

=18+8cos--8cos2—，

66

當(dāng)％=6時，|尸0=18+8cos兀一8cos之兀=18—8—8=2,

所以|尸。卜0,故B正確；

對于C,令k=cos氣,0<?<12,所以左e[—1,1],

則|=一8左2+8k+18=—8(左一gf+20,

當(dāng)左=—1時，|PQ『.=—8—8+18=2>0,

I~lmin

所以不存在時刻3使得點(diǎn)P,。在球面上相遇，故C錯誤；

對于D,當(dāng)左='時，\pQf=20,cos—=-,f=2或/=10,

2g2

|P（2|niax=2A/5,兩個時刻的時間差為8秒，故D正確.

故選：ABD.

10.答案：ACD

解析：對于A選項，將四棱錐尸-BCCjB1補(bǔ)成長方體PEFG—G與BC，

P_____C,

FB

所以，四面體BCG。的外接球的直徑即為長方體PEPG-GgBC的體對角線長，即四面體BCGP

的外接球的直徑為2R=J]2+2?+2?=3'

所以，四面體3CGP的外接球的表面積為S=4TTR2=9兀，A對；

對于B選項，連接48、人尸、CDX，

因為且3C=4A，故四邊形A}BCDX為平行四邊形，所以CDJ/A.B，

D\pG

因為p、N分別是G2、QC中點(diǎn)，則PN//CD,,所以PN//AtB,

即A、P、N、2四點(diǎn)共面，

當(dāng)。與人重合時滿足2、N、尸、。四點(diǎn)共面，

但Q是線段2A上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）,B錯；

對于C選項，如圖，在平面4呂。]￡>]上作QKLgC],垂足為點(diǎn)K,

過點(diǎn)K作在平面BBgC內(nèi)KTLBN交BC或者CG于「

因為平面A4G2,平面BCGB],平面44cl2i平面BCC^=Bg,

且QKu平面A⑸GR，所以QKJ_平面BCCR，

又BNu平面BCCiBj所以QKL3N，

因為QKKT=K，QK、KTu平面QKT，所以BN,平面QKT，

平面QKT截正方體ABC。-截面為平行四邊形QK7Z，

當(dāng)T與點(diǎn)C重合時，面積最大，此時KT=J^，QK=2，面積為26，

當(dāng)。與點(diǎn)A無限接近時，面積接近于0,

過。且與BN垂直的平面截正方體ABC。-A4G2所得截面面積取值范圍為（0,2百]，C對;

對于D選項，取4片的中點(diǎn)。，連接PO,則PO//AD，

則PO±平面AA^B，取AB的中點(diǎn)匕

以。為圓心，0/=2為半徑作圓，交B]B于X、Y,

則點(diǎn)H的軌跡為以O(shè)為圓心，2為半徑的部分圓弧XVY'

此時滿足直線尸燈與直線A。夾角為巴，

如圖，OX=OY=XY=2<故NXOV=殳,

3

所以點(diǎn)》的軌跡長度為四義2=至，D對.

故選：ACD.

11.答案：ACD

解析：對于A,根據(jù)已知條件球。以。圓心，

半徑H=l,內(nèi)切球的球面面積為4兀，A正確;

對于B：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在直線

分別為x,y,z所示空間直角坐標(biāo)系，

則由題意可得0(1,1,1),￡(1,0,0),F(2,2,l),￡>(0,0,0),C(0,2,0),

設(shè)點(diǎn)G(2,a,0),其中0WaW2,

對于0￡)=(-1,一1,一1),EF=(1,2,1),EG=(l,?,0),

設(shè)平面EFG法向量為〃=(X,y,z),

n±EF,nLEG,

n-EF=x+2y+z=0

則《，

n-EG=x+ay=0

令x=a,則y=-l,z=2-a,

〃=(a,—1,2—a)為平面跖G的一個法向量，

若存在點(diǎn)G,平面EFG,

只需因為〃?<?￡>=—a+1+a—2=0不成立，所以B錯誤;

對于C：設(shè)平面EfC法向量為加=(%,%zj,EC=(-1,2,0),

m_LEF,m_LEC,

朋m-EF=再+2yl+4=0

m-EC=+2%=0

令％=2,則％=1,Z]=-4,

機(jī)=(2,1,T)為平面EEC的法向量，

又因為=

則。平面跖C的距離為d,

則公生=上旦=q=叵

\m\-4+1+16V217

設(shè)平面EFC被球。得的截面圓的半徑為r

,=口=與=巫,

V77

471

所以平面所c被球。得的截面圓的面積為把，c選項正確；

7

對于D,當(dāng)G為AB中點(diǎn)時，

過E,F,G,的平面截該正方體所得截面為正六邊形EGEHNP,NE4G=90。,

在RtZ\EAG中，AG=AE=1,所以邊長AG=+F=屈，

所以截面面積S]=6xgx后義e'xsin60°=3G，D正確；

故選：ACD.

12.答案：些

3

解析：設(shè)球的半徑為民則4兀火2=16兀，火=2，

所以球的體積為史義23=碼

33

故答案為：些E.

3

13.答案：472

解析：如圖，過點(diǎn)D'作ZXE_LA5'于點(diǎn)區(qū)則△A￡D'為等腰直角三角形,

由平行四邊形A'B'C'D的面積為8得A'B'-D'E=8，

A3'=4,..￡>'￡=2,二AD'=2四，

???原平面圖形ABCD中,ZDAB=90。，AD=24。'=472-

故答案為：4A/2.

14.答案：1014

解析：由題設(shè)，第，個圓柱的高4=10x0.8"、,底面半徑q,=5x0.8"*

所以，第"個圓柱的側(cè)面積為2叫A=100x0.82"-2兀，底面積為叫2=25x0.82"-2兀，

則側(cè)面積之和為100兀X（1+0.82+0.84++0.816）=I。。兀*J064土857cm2，

1-0.64

22

底面積之和為7t[zj+（L