2025年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學(xué)（新高考I卷）01

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4={"-x-2<0},8="xlogjvl,,則（）,

、2,

A-（-14]B-C.（—1,2）D.即

2.已知（2—2i）z=i,貝1丘=（）

八IL11.「11.

A.—+—1nB.--------1C.---------1D.——+—1

44444444

3.已知向量。=（1，-1）,B=（尤+2,無）則"x=-1"是"日/B”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某景區(qū)新開通了AB,C3個游玩項目，并邀請了甲、乙、丙、丁4名志愿者體驗游玩項目，每名志

愿者均選擇1個項目進(jìn)行體驗，每個項目至少有1名志愿者進(jìn)行體驗，且甲不體驗A項目，則不

同的體驗方法共有（）

A.12種B.18種

C.24種D.30種

己矢口sin[a—貝"os]2"爸=()

D.

6.已知S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，4=-21,S1=Sl5,則3的最小值為()

A.-99B.-100C.-110D.-121

22

7.已知點尸為橢圓工+乙=1上任意一點，直線/過。M:Y+y2—4x+3=0的圓心且與。〃交于A,3兩

1612

點，則麗?麗的取值范圍是()

A.[3,35]B.[2,34]C.[2,36]D.[4,36]

8.設(shè)函數(shù)/(x)=e*(2x-l)-6+°,其中。<1,若存在唯一的整數(shù)%,使得/(x0)<0,則。的取值范圍是

()

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知且。+26=1,則下列不等式中成立的有()

A.ab<-B.yJa+y[b>

82

ln(ab+a+b+l)

+b

C.」——-^log23-lD.y<5/3

In2

10.設(shè)函數(shù)/(X)=(%-〃)2(4一2)(〃￡2，則()

A.當(dāng)a=-L時，的圖象關(guān)于點(。,-2)對稱

B.當(dāng)。=0時，方程/(x)+sinl=0有3個實根

C.當(dāng)aN2時，〃是“X)的極大值點

D.存在實數(shù)。，/(x)</(x+l)恒成立

11."②”可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號,也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線C過坐標(biāo)原點。，

C上的點到兩定點耳乙(。,0乂。>0)的距離之積為定值.則下列說法正確的是()(參考數(shù)據(jù)：

垂)X2.236)

A.若閨閭=12,則C的方程為y+力2=72（尤2_力

B.若C上的點到兩定點我］、F?的距離之積為16,則點（-4,0）在C上

C.若a=3,點（3,%）在C上，則2＜此＜3

OO。L

D.當(dāng)。=3時，C上第一象限內(nèi)的點尸滿足d6&的面積為3則|P股2-伊區(qū)「=18/

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

9

12.已知直線/與直線尤7+2=0平行，且與曲線y=lnx'+l相切，則直線/的方程是.

尤

13.在三棱臺ABC-A4G中，AB_LAC,BC=6，A4=AG=40，AAi=542,平面22?。，平面ABC,

則該三棱臺外接球的體積為.

14.小郅和小豪同學(xué)玩紙牌游戲，小郅面前有標(biāo)有點數(shù)分別為1、2、3、4、5的紙牌各1張，小豪面前有

標(biāo)號為1、2、3、4、5的紙牌分別有5、4、3、2、1張（抽牌階段抽到每張牌的概率均等），規(guī)定首先

小豪同學(xué)從其面前紙堆中抽取一張牌點數(shù)記為X,然后放回牌堆，隨后小郅同學(xué)任意從其面前牌堆中

抽取X張牌，記這X張紙牌的點數(shù)和為乙則。（X）=,E（K）=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

如圖（1）,在直角梯形ABC。中，AD//BC,ABYBC,AB=BC^1,AD^2,現(xiàn)沿著AC折起，使得平

面區(qū)4C_L平面DAC,如圖（2）.

圖⑴圖⑵

（1）求證：CD_L平面A4c.

（2）求二面角A-BD-C的大小.

16.（15分）

已知數(shù)列｛??｝是等差數(shù)列，其前，和為S”,%=2,S9=45,數(shù)列也｝滿足

01bl+(1也H—anbn=(?-1)-2"+1

⑴求數(shù)列｛凡｝，｛々｝的通項公式；

(2)若對數(shù)列｛%｝，也｝，在應(yīng)與%之間插入4個1優(yōu)wN*),組成一個新數(shù)列｛4｝,求數(shù)列｛4｝的前2025

項的和4025.

17.(15分)

甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，甲先投2次，然后乙投2次，投進(jìn)次數(shù)多者為勝，結(jié)束比賽，若甲、乙投進(jìn)

的次數(shù)相同，則甲、乙需要再各投1次(稱為第3次投籃)，結(jié)束比賽，規(guī)定3次投籃投進(jìn)次數(shù)多者為

2

勝，若3次投籃甲、乙投進(jìn)的次數(shù)相同，則判定甲、乙平局.已知甲每次投進(jìn)的概率為乙每次投進(jìn)的

概率為各次投進(jìn)與否相互獨立.

(1)求甲、乙需要進(jìn)行第3次投籃的概率；

(2)若每次投籃投進(jìn)得1分，否則得0分，求甲得分X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

18.(17分)

22

已知橢圓E:j+與=l(a>6>0)的左、右焦點分別為1，F(xiàn)2,拋物線C:/=4尤的焦點與工重合，點

ab

G是C與“在第一象限的交點，且|G8|=1

⑴求E的方程.

(2)設(shè)過點尸2的直線/與E交于點M,N,交C于點A,B,且A,B,M,N互不重合.

(回)若/的傾斜角為45。，求詈胃的值；

IAB|

(回)若P為C的準(zhǔn)線上一點，設(shè)朋，PB,的斜率分別為勺,網(wǎng),匕，證明：石為尤和心的等差中項.

19.(17分)

若對氣且％<%，函數(shù)元)，g(x)滿足(巧)|之一)(％)-g&)|(%>。)，則稱函數(shù)

是函數(shù)g(x)在區(qū)間。上的，"級控制函數(shù).

⑴判斷函數(shù)"X)=2x是否是函數(shù)g(x)=d在區(qū)間［-1,1］上的1級控制函數(shù)，并說明理由；

⑵若函數(shù)/(力=3是函數(shù)g(x)=x在區(qū)間［0,3］上的加級控制函數(shù)，求實數(shù)加的取值范圍；

⑶若函數(shù)/'(x)是函數(shù)g(x)=lnx-x在區(qū)間(0,+力)上的優(yōu)級控制函數(shù)，且函數(shù)/(元)在區(qū)間(0,+動上存

在兩個零點。/，求證Q+Z?>2.

2025年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學(xué)（新高考回卷）0L全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4={厘了2-%-2<0},5=<苫1。81%<1■,則Ac&3）=（）,

、2

A.（一1』B,"C.

（T,2）D,

【答案】A

［詳解］因為A={X|X2_X_2<0}={X|_1<X<2}

B=卜'及<1>=jxx>j,則=jx卜<g］

故選：A.

2.已知（2—2i）z=i,貝匹=（）

11.11.11.c1

A.-+-1B.------1C.

4444444

【答案】c

ii（2+2i）-2+2i11.

【詳解】由題意知，z=2一2廣（2二）（2+2廣=+i,

844'

所以

故選：C

3.已知向量M=（L—1）,石=1+2,/）,貝！=是"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

【詳解】由M=B=（X+2,Y）,

^alb，貝IJX+2-X2=0,

解得尤=2或x=—1,

故晨=一1〃是5〃的充分不必要條件，

故選：A.

4.某景區(qū)新開通了AB,C3個游玩項目，并邀請了甲、乙、丙、丁4名志愿者體驗游玩項目，每名志

愿者均選擇1個項目進(jìn)行體驗，每個項目至少有1名志愿者進(jìn)行體驗，且甲不體驗A項目，則不同

的體驗方法共有（）

A.12種B.18種

C.24種D.30種

【答案】C

【詳解】若乙、丙、丁3人體驗的項目各不相同，則有C；A；=12種體驗方法，

若乙、丙、丁3人有2人體驗的項目相同,則有C；C；A；=12種體驗方法,

故不同的體驗方法共有24種.

故選：C.

5.已知sin[a—，貝cos（2a+二

=()

7575

A.——B.-C.-D.——

9999

【答案】D

【詳解】因為sin[a-島=專，所以cos

即cos（20一看]=,,

所以cosher+葛）=cos^2cr-^+7i=-cos\叫5

2a——=——.

、6J9

故選：D.

6.已知S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，％=-21,S,=Sl5,則S,的最小值為（）

A.-99B.-100C.-110D.-121

【答案】D

【詳解】設(shè)｛%｝的公差為d,因為%=-21,S7=Si5,

%=—21

可得;7x615x14,解得d=2,所以％=2〃-23,

7qH----d=15qH-------d

、22

—r,口〃X（〃一1）

可得=-2\n+———“2=抬9一22n,

2

所以當(dāng)〃=11時，S”取得最小值%=112—22x11=—121.

故選：D.

fv2

7.已知點P為橢圓一+匕=1上任意一點，直線/過O":%2+,2一4%+3=0的圓心且與交于A,8兩

1612

點，則麗?麗的取值范圍是（）

A.[3,35]B.[2,34]C.[2,36]D.[4,36]

【答案】A

【詳解】QM:x2+y2-4x+3=0,即（x-Z?+y?=1的圓心M（2,0）,半徑為1,

22

22222

橢圓方程C:土+匕=1中，a=16,b=12,c=a-b=16-12=4,c=2,

1612

則圓心"（2,0）為橢圓的右焦點，線段AB為。M的直徑，連接？拉，

因止匕西?而=（而+蘇）?（而+痂）=（而一麗?（閑+標(biāo)）

=|啊2_網(wǎng)2=|啊27，點尸為橢圓u]+*]上任意一點，

貝而|=a-c=2,\PM\=a+c=6,gp2<\PM\<6,

IminIImaxII

所以西?麗=|兩'『-1e[3,35].

故選：A

8.設(shè)函數(shù)/(x)="(2x-l)-6+a,其中。<1,若存在唯一的整數(shù)%,使得/(x0)<0,則。的取值范圍是

()

A--7

【答案】D

【詳解】設(shè)g(x)=/(2x-1),y=a(x-l),

由題意知，函數(shù)y=g(x)在直線、=取-a下方的圖象中只有一個點的橫坐標(biāo)為整數(shù),

g'(x)=e*(2x+l),當(dāng)時，gf(x)<0；當(dāng)■時，g'⑺>0.

所以，函數(shù)y=g(x)的最小值為g—2-

又g⑼=T，g(l)=e>0.

直線y=av-a恒過定點(1,0)且斜率為a,

^-?>g(O)=-l>g(-l)=-1>-a-a,解得力a<l,故選D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知且。+2人=1,則下列不等式中成立的有()

B

A.ab<--&+筋當(dāng)

8

ln(ab+a+b+l)

Z+b

C.)——>log23-1D.y<5/3

In2

【答案】ABC

【詳解】對于A,因為a,620,所以。20,2620,仍=264（（二,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=：時取

22282

等號，A正確;

對于B,因為a+26=l:.(G『+(&K『=1,

令=cos。,=sin。/：a/N0,，6e0,—,Ja+db=cos^+-^sin^,

L2」2

令/(。)=cos0+^-sin(9,.'.f'(0)=-sin(9+^-cos(9,

令廣⑻=0,...tanq=冬4e0,"令,

當(dāng)e?o摳）時,廣⑻>0"⑻在e?o,q）上單調(diào)遞增;

當(dāng)公",］）時,廣⑻<0,〃，）在可知:上單調(diào)遞減；

又〃。）=1,后卜日，

/（。）的6=］時，f（x）取最小值日，所以B正確；

2

對于C,皿""；；"1）=log2（?Z7+a+b+I）=log2［。-2b）Z?+l-2b+0+l］=log2（-2Z?+2）log23-1=log2

iri~|33

因為。=1-2強0,r.04。《彳，所以、=-262+2在此0,-上最小值為3,log2（-2^+2）Nlog23,C正確;

對于D,3a+b=3'-b,-.-0<b<--<l-b<l,:.3l-b>31=^,D錯誤；

22

故選：ABC.

10.設(shè)函數(shù)〃尤）=（尤-a7（x-2XaeR）,貝。（）

A.當(dāng)a=-l時，〃x）的圖象關(guān)于點（0,-2）對稱

B.當(dāng)。=0時，方程〃x）+sinl=0有3個實根

C.當(dāng)時，。是“X）的極大值點

D.存在實數(shù)。，〃x）</（x+l）恒成立

【答案】ABD

【詳解】對于A選項，當(dāng)a=-l時，〃尤)=(尤+1)2(*-2)=工3一3無一2,

因為/x)=(—尤丫-3?(—尤)一2=—尤3+3x—2,所以，/(x)+/(—x)=-4,

所以的圖象關(guān)于點(0,-2)對稱，故A正確；

對于B選項，當(dāng)a=。時，/(x)=x3-2x2,則r(x)=3/-4x,

令/'(尤)=0,可得尤=0或x=g,列表如下：

4

X(-℃,0)0

心3

r(x)+0—0+

〃尤)增極大值減極小值增

所以，函數(shù)/(x)在(y,0)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，［g,上單調(diào)遞增，

所以〃x)極大=〃°)=°，/(x)極小=-1|，又因為0<sinl<l,如下圖所示:

由圖可知，直線V=-sinl與函數(shù)“X)的圖象由三個交點，

即。=0時，方程/(x)+sinl=0有3個實根，故B正確；

2(〃+4

對于C選項，/'(%)=2(X-Q)(X-2)+(X-Q)=3(%-〃)x-----

當(dāng)〃=2時，/(X)=3(X-2)2>0,此時函數(shù)/⑴在R上單調(diào)遞增，故C錯誤;

對于D選項，當(dāng)a=2時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，此時/(x)</(x+l)恒成立，故D正確.

故選：ABD.

11."8"可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線C過坐標(biāo)原點0,

C上的點到兩定點耳乙(。,0乂“>0)的距離之積為定值.則下列說法正確的是()(參考數(shù)據(jù)：

加a2.236)

A.若山村=12,則C的方程為(/+力2=72卜2-力

B.若C上的點到兩定點式|、尸2的距離之積為16,則點(-4,0)在C上

C.若。=3,點(3,%)在C上，則2〈此<3

D.當(dāng)。=3時，C上第一象限內(nèi)的點尸滿足眼的面積為叁，則也「-附『=186

【答案】ACD

【詳解】已知原點。在C上，則|0周?|0國=。2,設(shè)(x,y)為C上任意一點，

則有/=，(…)2+『."4+產(chǎn),整理得1+y2丫=2a2(x2-y2).

若用閶=12,則C的方程為y+力2=7212_力，故A正確；

若|。月卜|。閭=16,貝股=4,代入方程得［2+y)2=32(/-必)，顯然點(-4,0)不在此曲線上，故B錯誤;

若a=3,點(3,%)在C上，有J(3-3)2+尤.“3+3)2+y：=9,

整理得(常+18丫=405,所以尤=9?-18處2.124,故C正確；

因為久好=；|尸片儼劇sin/f；PH=T，|P制尸閶=9,可得/片尸兇=90。，

所以點尸是曲線C:(/+y2丫=18(--J?)和以片居為直徑的圓1+丁=9在第一象限內(nèi)的交點，

聯(lián)立方程，解得x=半，v=|,即尸(九5,2),所以|尸耳「一「巴「=186,故D正確.

2222

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題干背景得到曲線方程（無2+>2）2=2〃（無2一丁）為關(guān)鍵.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

2

12.已知直線/與直線％->+2=0平行，且與曲線y=lnx--+1相切，則直線/的方程是.

%

【答案】y=%+ln2-2（或x-y+ln2-2=0）

【詳解】直線％->+2=0的斜率為1,由于直線/與直線％->+2=0平行，則直線/的斜率為1,

21212

對函數(shù)y=ln%--+1求導(dǎo)得）/=—+一■,令y=—+_=i,解得％=2或%=一1（舍去），

XXXXX

所以切點的坐標(biāo)為（2』n2）.

故直線/的方程為y_ln2=x-2,即y=x+ln2-2.

故答案為：J=x+ln2-2（或尤-y+ln2-2=0）.

13.在三棱臺ABC-ABC中，AB_LAC,3C=6，A4=AG=40,A4,=572,平面，平面ABC,

則該三棱臺外接球的體積為.

【詳解】

分別取的中點。必，則。平面ABC,且外接球球心M在直線上，由題意,

2

AO=3,AlO[=4,OOi=^AA;-（AiOI-AO）=7.

設(shè)跖4==x,

若球心在線段0a上，則/=9+（7-無y,r=4?+/,得x=3,r=5；

若球心不在線段。。1上，則戶=9+（7+4,/=4?+尤2,無正數(shù)解.

4刀"〃3S0077

所以外接球體積為V=竺。=世呸.

33

500兀

故答案為:

3

14.小郅和小豪同學(xué)玩紙牌游戲，小郅面前有標(biāo)有點數(shù)分別為1、2、3、4、5的紙牌各1張，小豪面前有

標(biāo)號為1、2、3、4、5的紙牌分別有5、4、3、2、1張(抽牌階段抽到每張牌的概率均等)，規(guī)定首先小豪

同學(xué)從其面前紙堆中抽取一張牌點數(shù)記為X,然后放回牌堆，隨后小郅同學(xué)任意從其面前牌堆中抽取X張

牌，記這x張紙牌的點數(shù)和為y,則D(X)=,E(y)=.

14

【答案】y7

【詳解】X的分布列為：

當(dāng)X=1時，匕的分布列為:

12345

]_111J_

P

55555

所以E&)=3,

當(dāng)X=5時，工的分布列為:

所以雙月)=15,

當(dāng)X=2時：右的分布列為:

A3456789

11J_j_111

P

W10555io10

E(Y2)=6,

當(dāng)X=3時：打的分布列為:

6789101112

1111111

p

10105551010

E(Y3)=9,

當(dāng)X=4時：匕的分布列為:

匕1011121314

工1111

p

55555

E化)=12,

14121

所以：￡(y)=--3+——6+-9+——12+——15=7.

V731551515

14

故答案為：—;7

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.如圖(1),在直角梯形A2CD中，AD//BC,AB±BC,AB=BC=1,AD=2,現(xiàn)沿著AC折起，使得平

面BAC_L平面ZMC,如圖(2).

圖(1)圖(2)

⑴求證：CDJ_平面BAC.

(2)求二面角A-3D-C的大小.

【答案】⑴證明見解析

【詳解】(1)由題可求得AC=CO=&，且AD=2,

貝AC2+C￡>2=AT>2,可知AC_LCD,

且平面R4CJL平面DAC,平面BACc平面ZMC=AC,C￡>u平面DAC,

所以CD_L平面3AC.

(2)取AC的中點。，連接8。，

因為AB=3C,貝lj8O_LAC,

且平面區(qū)4C_L平面DAC,平面B4Cc平面ZMC=AC,BOu平面8AC,

所以801平面ACD.

以。為坐標(biāo)原點，OCOB所在的直線分別為x,z軸，平行于CD的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

,O,O!AL—,O,O1B[O,O,—lof—,^2,0

(2JI2J(2J(2J

可得麗=(0,后,0),前=［曰,0,-曰］荏='號,0,#],布=（在夜,0）,

（22

m-CD=也必=0

設(shè)平面BDC的一個法向量為玩=(%,弘，4),IJ小—?72V2，

m-BC=——%------4=0

、22

令石=1,則M=。，4=1,可得海=(1,0,1)；

n?AB=x+z=0

叫222222,

設(shè)平面瓦M(jìn)的一個法向量為H=(x2ly2lz2),

為.AD=后馬+0%=0

令％2=1,則%=Z2=—1,可得為=(1,—1,—1),

-_玩?五0八

則"，"硝廣氐四=°，

IT

所以二面角A-BD-C的大小為”.

2

16.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，其前〃和為S”的=2,S9=45,數(shù)列也｝滿足她+a2b2+…%2=(〃-1)?2"+1

⑴求數(shù)列｛七｝，｛〃｝的通項公式;

(2)若對數(shù)列也卜也｝,在應(yīng)與之間插入4個1(%WN*),組成一個新數(shù)列｛"0｝,求數(shù)列｛"“｝的前2025

項的和心)25.

【答案】⑴4=〃,￡=2"-

(2)2080

【詳解】(])｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

則q+d=2,S9=9al+36d=45,解得q=d=1,

故=4+(〃T)d=〃；

44+/24---卜a11bli=(〃-1),2"+1(T),

1

故當(dāng)〃22時，01bl+a也2H--F=(〃-2)?2"+1②,

兩式相減得。的“=(〃—1)?2"+1-伍—2)?2?-I-l=n-2"T,

故曲=，2"T,所以a=2、n>2,

=0+1=1,故4=1,滿足a=2"L

從而2=2"T；

nl

(2)由(1)知，a?=n,bn=2~,

所以在｛4｝中，從4開始到項氏為止，

1_T

共有項數(shù)為％+2°+2i+22+—+2"2=^+：t-----=k+2k-1-l,

1-2

當(dāng)上=11時，11+21°—1=1034<2025,

當(dāng)上=12時，12+211-1=2059>2025,

所以數(shù)列｛4｝前2025項是項&之后，還有2025-1034=991項為1,

故(025=0+2+3+…+11)+2°+2〔+2?+…+29+991=2080.

17.甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，甲先投2次，然后乙投2次，投進(jìn)次數(shù)多者為勝，結(jié)束比賽，若甲、乙投進(jìn)

的次數(shù)相同，則甲、乙需要再各投1次（稱為第3次投籃），結(jié)束比賽，規(guī)定3次投籃投進(jìn)次數(shù)多者為勝，

若3次投籃甲、乙投進(jìn)的次數(shù)相同，則判定甲、乙平局.已知甲每次投進(jìn)的概率為￡,乙每次投進(jìn)的概率為:，

各次投進(jìn)與否相互獨立.

⑴求甲、乙需要進(jìn)行第3次投籃的概率；

（2）若每次投籃投進(jìn)得1分，否則得。分，求甲得分X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴9

36

⑵分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：77

54

【詳解】⑴設(shè)甲第中=L2）次投進(jìn)為事件A”乙第中=1,2）次投進(jìn)為事件與，

71

則尸（a）=§,P（B,）=-.

設(shè)甲、乙需要進(jìn)行第3次投籃為事件C,則事件C包括以下兩兩互斥的三個事件：

Z.\2/、、2r

①"甲、乙前2次都投進(jìn)2次"，其概率為P（AA）.P（月初=["=-f

②"甲、乙前2次都投進(jìn)I次”，其概率為尸（4區(qū)+44）?尸（4瓦+瓦打）=2義

33229

③"甲、乙前2次都投進(jìn)0次"，其概率為尸.尸（瓦瓦）=[1-

17113

則由互斥事件的概率加法公式，可得尸（0=§+§+花=痛.

（2）由題意可得X的所有可能取值為0,1,2,3,

p（x=o）=（i-t}*

「（x=i）4幺士

'7233[⑴I2）2212）3）36354

（提示：此時有三種情況，①甲前2次投進(jìn)1次，乙前2次投進(jìn)0次或2次;

②甲、乙前2次均投進(jìn)1次，第3次甲未投進(jìn)；③甲、乙前2次均未投進(jìn)，第3次甲投進(jìn)）

尸（X=2）=+c；xW＞用x]+■|x；=3,

所以X的分布列為:

X0123

517142

P

54542727

所以E（X）=Ox9+lx衛(wèi)■+2xV+3*2=9.

''5454272754

22

18.已知橢圓￡:5+當(dāng)=1（。>6>0）的左、右焦點分別為乙，F(xiàn)2,拋物線C:/=4x的焦點與F?重合，點

ab

G是C與E在第一象限的交點，且|G6|=|.

⑴求E的方程.

⑵設(shè)過點F2的直線/與E交于點M,N,交C于點4B,且A,B,M,N互不重合.

\MN\

（0）若/的傾斜角為45。，求島1的值；

（0）若P為C的準(zhǔn)線上一點，設(shè)%,PB,PF2的斜率分別為《,網(wǎng),內(nèi)，證明：匕為《和后的等差中項.

22

【答案】⑴土+匕=1

43

3

⑵（團）,；（團）證明見解析

【詳解】（Q由已知得c的焦點為（1,0）,即工（1,0）,所以解—4=1.①

因為|GEI《，由拋物線的定義可得%=>i=g,所以G1|，A]

AQ

代入E的方程可得小+京=1?②

22

由①②解得/=4,廿=3,所以E的方程為土+匕=1.

43

（2）設(shè)4（再，%）,BO2,%）,MO3，％），陽4》4）-

（回）因為直線I的傾斜角為45。，所以號=1,直線I的方程為y=x-L

聯(lián)立，〃整理得r-6x+l=0,貝1]占+無2=6,

[y=4x,

所以|43|=占+%+0=6+2=8.

y=xT

聯(lián)立1尤22整理得7/_8X-8=0,

一+—=1,

143

E88

貝11%3+%=,,X3X4=--

8824

所以|肱V|=+k；|x-x|=A/2-yl(x+x)2-4XX=A/2?

343434T

24

所以g.五=3.

\AB\87

（團）由題意知耳（T,。）,"（I。）,

設(shè)尸（-1,加），且直線AB的方程為X="+L

［x=ty+l,c

聯(lián)立Jy2二［］整理得丁―4/y—4=0,顯然A＞0,

貝!J%+必=今,%.%=