第十番統(tǒng)計(jì)（三大考向）

一:考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)統(tǒng)計(jì)的考查，重點(diǎn)是以下考2022?新高考n卷，19（1）

頻率分布直方圖、頻

點(diǎn)（1）分層隨機(jī)抽樣2023?新高考II卷,19（1）

數(shù)分布表

（2）統(tǒng)計(jì)圖表2024.新高考n卷,4

（3）會(huì)用統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)2022?新高考I卷,20(1)

求n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).

（4）能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢(shì)

和總體離散程度.

（5）了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.數(shù)據(jù)的數(shù)字特征2023?新高考I卷,9

（6）理解一元線性回歸模型和2x2列

聯(lián)表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)

際問(wèn)題.

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷未考查統(tǒng)計(jì)相關(guān)內(nèi)容,II卷中考查了頻數(shù)分布表中數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的求法。統(tǒng)計(jì)

的考查應(yīng)關(guān)注:相關(guān)性、頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征、獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析等。這些考驗(yàn)的是學(xué)生讀

取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的能力。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查頻率分布直方圖和數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，可

以多留意方差的計(jì)算方法！

三：試題精講

一、單選題

】（2024新高考n卷⑷某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的

畝產(chǎn)量（均在［900,1200）之間，單位：kg）并部分整理下表

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)612182410

據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

【答案】。

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷/；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極

差計(jì)算方法即可判斷C;根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為叫浸，=66%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于。，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確；

對(duì)于。，由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在[1050,1100)的頻數(shù)為100-(6+12+18+24+10)=30,

所以平均值為上x(6x925+12X975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175)=1067,

故。錯(cuò)誤.

故選；C.

高考真題練

一、多選題

【題2】(2023新高考I卷-9)有一組樣本數(shù)據(jù)如儂…,g,其中電是最小值，g是最大值，則()

A.62,力3，/4,力5的平均數(shù)等于力1，22,…，/6的平均數(shù)

B.劣2，力3，64，劣5的中位數(shù)等于22,…，劣6的中位數(shù)

C.力2,63,力4,力5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于力1，力2,…，力6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.62,如力外劣5的極差不大于61,劣2,…，劣6的極差

【答案】RD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)人設(shè)曲曲兩血的平均數(shù)為m,力i,g,…，/6的平均數(shù)為n,

X+X-\~X+X+X+XQX+X+X-\-X2(g+g)—(g+g+g+/D

則？i_m=123452345

因?yàn)闆](méi)有確定2(g+/6),g+g+g+弱的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷77Z,72的大小,

例如：1,2,3,4,5,6,可得nz=n=3.5;

例如1,1,1,1,1,7,可得??2=l,n=2;

例如1,2,2,2,2,2,可得?n=2,九=耳；故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)_8：不妨設(shè)214劣24力3424&力5&力6,

可知名2,傷,劣4,X5的中位數(shù)等于傷,力2,…a6的中位數(shù)均為“3；*4,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)。：因?yàn)?是最小值，&是最大值，

則22,力3,力4,65的波動(dòng)性不大于如力2,…，力6的波動(dòng)性，即力2,g,力4,65的標(biāo)準(zhǔn)差不大于力1，力2,…，力6的

標(biāo)準(zhǔn)差，

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)「=今(2+4+6+8+10+12)=7,

標(biāo)準(zhǔn)差與=^[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12-7)2]=衛(wèi)野,

4,6,8,10,則平均數(shù)巾=十(4+6+8+10)=7,

標(biāo)準(zhǔn)差S2=^[(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2]=V5,

顯然＞V5，即Si＞S2;故C錯(cuò)誤；

O

對(duì)于選項(xiàng)。：不妨設(shè)力14力2&力3＜力4&力5?力6,

則力6——/2,當(dāng)且僅當(dāng)X1=X2,X5=XQ時(shí)，等號(hào)成立，故。正確；

故選：BD.

二、解答題

卜23]（2022新高考I卷-20）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為

良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾

病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

n(ad—bc)2

附Y(jié)=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P0.05

0.0100.001

（定〉國(guó)0

6.63

k3.84110.828

5

【答案】（1）答案見解析

【分析】⑴由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K2的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把

握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；（2）⑴根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即

可完成證明；（久）根據(jù)⑴結(jié)合已知數(shù)據(jù)求兄

200(40X90-60X10)2

【詳解】（1）由已知K2=-_Mad”

、__50X150X100X100'

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

又P（K2）6.635）=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

[題4]（2022新高考n卷?19）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,得到如下

的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）;

【答案】⑴47.9歲；

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；

【詳解】(1)平均年齡萬(wàn)=(5x0.001+15X0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)xl0=47.9(歲).

【題5】(2023新高考n卷-19)某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯

差異,經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人

判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定

為陽(yáng)性的概率，記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c);

【答案】⑴c=97.5,q(c)=3.5%;

【分析】(1)根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出c,再根據(jù)第二個(gè)圖求出c>97.5的矩形面積即可解出；

【詳解】⑴依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c―95)義0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01X(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、分層隨機(jī)抽樣

1、分層隨機(jī)抽樣的概念

一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體,在每個(gè)子總體

中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分

層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.

2、分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)計(jì)算

在分層隨機(jī)抽樣中，以層數(shù)是2為例，如果第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N,抽取的樣本量分別

為m和71,第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為x,9，樣本平均數(shù)位石，則M=歷+血辛瓦］=

m-x+ny.我們可以采用樣本平均數(shù)了估計(jì)總體平均數(shù)W

m+nm+n

二、樣本的數(shù)字特征

1、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

（1）眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù),眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.

（2）中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平.

（3）平均數(shù)：幾個(gè)樣本數(shù)據(jù)電,電,…網(wǎng)的平均數(shù)為了反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式變形：

n

n

@=nx.

i=l

2、標(biāo)準(zhǔn)差和方差

（1）標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是如陶…，為，了表

222

示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),則標(biāo)準(zhǔn)差S=—X）+（X2—X）Hl-（xn—x）］.

⑵方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即§2=工［（傷—訪2+（g-可+…+3n-戲］.顯然,在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分

n

散程度上,方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

（3）數(shù)據(jù)特征

標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)

準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.反之亦可由離散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小.

三、頻率分布直方圖

1、頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法

①獸當(dāng)x組距=頻率.

組距

②》、學(xué)0=頻率，普=樣本容量，樣本容量X頻率=頻數(shù)?

樣本容量頻率

③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于1.

2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算

（1）最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.設(shè)中位數(shù)為工,利用多左（右）側(cè)矩形面積之和等于

0.5,即可求出x.

（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)

的橫坐標(biāo)之和，即有x=ajjpj+ajjpjH---其中立”為每個(gè)小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)，外為每個(gè)小長(zhǎng)方形的面

積.

四、百分位數(shù)

1、定義

一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有

（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

2、計(jì)算一組八個(gè)數(shù)據(jù)的的第p百分位數(shù)的步驟

（1）按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

（2）計(jì)算i=nxp%.

（3）若i不是整數(shù)而大于i的比鄰整數(shù),，貝I第p百分位數(shù)為第/項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)

與第i+1項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3、四分位數(shù)

我們之前學(xué)過(guò)的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25

196

百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).

五、變量間的相關(guān)關(guān)系

1、變量之間的相關(guān)關(guān)系

當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系.由于相關(guān)

關(guān)系的不確定性,在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過(guò)程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著非常重要的作用.我們可以通過(guò)收集大

量的數(shù)據(jù),在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,對(duì)它們的關(guān)系作出判斷.

注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且函

數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.

2、散點(diǎn)圖

將樣本中的幾個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（如%）（i=1,2,…，⑴描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖.根據(jù)散點(diǎn)圖中

點(diǎn)的分布可以直觀地判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

⑴如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正

相關(guān)，如圖⑴所示；

（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)

相關(guān)，如圖（2）所示.

0*0?

（1）（2）

3、相關(guān)系數(shù)

若相應(yīng)于變量力的取值色，變量g的觀測(cè)值為仇（1則變量n與y的相關(guān)系數(shù)度=

__n_

Z（◎一⑸（僅一萬(wàn)）^Xiy-nxy

/1'=口，通常用「來(lái)衡量田與沙之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱,r的范

、優(yōu)（◎-金）力（仇一方、優(yōu)*-與虎-麗2

Vi=li=lV4=1V2=1

圍為一1<丁&1.

⑴當(dāng)r>0時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

（2）|r|越接近1,表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；上|越接近0,表示兩個(gè)變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.

當(dāng)|『|=1時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上.

⑶通常當(dāng)|『|>0.75時(shí),認(rèn)為兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

六、線性回歸

1、線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法.

對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（的，%）,（62,紡），…，（/九，外），其回歸方程。=62+（2的求法為

（現(xiàn)一歷）（%~y）ZxiUi-n^y

a=y—bx

其中，x=—^xi9歹=一匯%，（5，y）稱為樣本點(diǎn)的中心.

2、殘差分析

對(duì)于預(yù)報(bào)變量夕,通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值物，通過(guò)回歸方程得到的0稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值

等于殘差，a稱為相應(yīng)于點(diǎn)（%%）的殘差，即有釵=yt—備.殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析

可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.

⑴殘差圖

通過(guò)殘差分析，殘差點(diǎn)（物動(dòng)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，其中這樣的帶

狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

⑵通過(guò)殘差平方和Q=Z（%-。尸分析，如果殘差平方和越小，則說(shuō)明選用的模型的擬合效果越好；反之，

1=1

不合適.

（3）相關(guān)指數(shù)

￡（紡-詞2

用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫回歸的效果,其計(jì)算公式是：笈=1-與-------.

」（筑-赤

2=1

&越接近于1,說(shuō)明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

七、非線性回歸

解答非線性擬合問(wèn)題,要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程,通過(guò)換元將陌生的非線性回歸

方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程.

求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù),還原后即

可求出非線性回歸方程,再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)，注意計(jì)算要細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤.

1、建立非線性回歸模型的基本步驟：

⑴確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；

⑵畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；

（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函數(shù)、

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、賽函數(shù)模型等）;

（4）通過(guò)換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

⑸按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤,或模型是否合適等.

八、獨(dú)立性檢驗(yàn)

1、分類變量和列聯(lián)表

（1）分類變量：

變量的不同"值''表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

⑵列聯(lián)表：

①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.

②2x2列聯(lián)表.

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和y,它們的取值分別為｛e，g｝和｛依，的｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2X2

列聯(lián)表）為

yiV2總計(jì)

X1aba+b

力2Cdc+d

n=a+b+

總計(jì)a+cb+d

c+d

從2X2列表中，依據(jù)一^與一^y的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系.

a-\-bc+a

2、等高條形圖

(1)等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表

數(shù)據(jù)的頻率特征.

(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)—與上y相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系.

a+bc+d

3、獨(dú)立性檢驗(yàn)

計(jì)算隨機(jī)變量/=__叫ic)2__^利用必的取值推斷分類變量X和y是否獨(dú)立的方法稱為尤

(a+0)(c+d)(a+c)(b+a)

獨(dú)立性檢驗(yàn).

0.0.

a0.100.050.001

010005

2.3.6.7.10.

706841635879828

【統(tǒng)計(jì)常用結(jié)論】

均數(shù)、方差的性質(zhì):如果數(shù)據(jù)如電，……后的平均數(shù)為口方差為$2,那么

①一組新數(shù)據(jù)ii+Ag+b,...xn+b的平均數(shù)為了+b,方差是

②一組新數(shù)據(jù)...的平均數(shù)為a元,方差是a2s5

22

③一組新數(shù)據(jù)a力i+6,ax2+b,...,axn+b的平均數(shù)為a無(wú)+b,方差是as.

常見的非線性回歸模型

(1)指數(shù)函數(shù)型y=cax(a>0且aWl,c>0)

兩邊取自然對(duì)數(shù)，Ing=In(ca"),即Iny=Inc+clna,

人|式=1收

，原方程變?yōu)閥'=Inc+a/lna,然后按線性回歸模型求出Ina,Inc.

V]c'=/Ooooooooo

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)型y=b\nx+a

r

y—yOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

，原方程變?yōu)槭?+a,然后按線性回歸模型求

{N'=ln/。0000000O

出b,a.

⑶賽函數(shù)型y=axn

兩邊取常用對(duì)數(shù)，Igg=lg(aa巧，即Igy=nlgx+Iga,

r

qi=]<yQI°OOOOOOOOO

{：，二H。。。。。。。。。。，原方程變?yōu)閁'=m，'+lga,然后按線性回歸模型求出門，lga.

(4)二次函數(shù)型y=bx?+a

r

ni--7/000000000000000

{二。。。。。。。。。。。，原方程變?yōu)?=五'+*然后按線性回歸模型求出b,a.

⑸反比例函數(shù)型9=a+立型

X

yl=yGooooooooooooo

令N，=_1_Oooooooooooooo，原方程變?yōu)槭?+a,然后按線性回歸模型求出b,a.

X

名校模擬練

一、單選題

【題6】（2024?河南?三模）已知某學(xué)校高三年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)人數(shù)分別為40,30,50,學(xué)校計(jì)劃采用按比

例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法在三個(gè)班級(jí)中評(píng)選優(yōu)秀學(xué)生，已知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人，則

高三年級(jí)三個(gè)班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為（）

A.16B.30C.24D.18

【答案】。

【分析】利用分層隨機(jī)抽樣及已知，求出三個(gè)班級(jí)分配到的優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)即得.

【詳解】甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)人數(shù)比為4:3:5,由分層隨機(jī)抽樣知，三個(gè)班級(jí)優(yōu)秀學(xué)生名額分別為8,6,

10,

所以高三年級(jí)三個(gè)班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為8+6+10=24人.

故選：C

【遨7】（2024?山東?二模）某校高三共有200人參加體育測(cè)試，根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績(jī)等級(jí)為A,則估

計(jì)獲得A的考生人數(shù)約為（）

【答案】。

【分析】首先計(jì)算出82分以上的考生的頻率，即可得獲得A的考生人數(shù).

【詳解】由頻率分布直方圖可得82分以上的考生的頻率約為0.025X10X"書+0.005x10=

9（J—o（J

0.25,

所以獲得A的考生人數(shù)約為200x0.25=50人，

故選：C.

【題8】（2024?浙江紹興?三模）有一組樣本數(shù)據(jù):2,3,3,3,4,4,5,5,6,6.則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征

中，數(shù)值最大的為（）

A.第75百分位數(shù)B.平均數(shù)C.極差D.眾數(shù)

【答案】4

【分析】分別求出該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)、平均數(shù)、極差、眾數(shù)，比較大小，即可得到答案.

【詳解】計(jì)算第75百分位數(shù)：i=10x0.75=7.5,則取第8位數(shù)據(jù)，

即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為5;

平均數(shù)為2+3+3+3+4+4+5+5+6+6=41；

極差為6—2=4；

眾數(shù)為3.

綜上，第75百分位數(shù)最大.

故選：A.

【題9】（2024?山西?三模）某次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì),設(shè)置了教師足球射門比賽:教師射門，學(xué)生守門.已知參與射門比

賽的教師有60名，進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是3和13,其中男教師進(jìn)球數(shù)的平均值和方差分別是4和

8,女教師進(jìn)球數(shù)的平均值為2,則女教師進(jìn)球數(shù)的方差為（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【分析】設(shè)參加射門比賽的男教師人數(shù)為上根據(jù)總體的平均數(shù)求出R,設(shè)女教師進(jìn)球數(shù)的方差為s2,

根據(jù)方差公式計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)參加射門比賽的男教師人數(shù)為k,則全部參賽教師進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)或十（62;乃義2=3,

60

解得k=30,即參賽的男女教師各有30人，

設(shè)女教師進(jìn)球數(shù)的方差為s2,

依題意可得13=|^-X[8+（4—3力+察x0+（2—3月,解得s2=16.

bl）o（J

故選：B

（2024?四川涼山,三模）樣本數(shù)據(jù)g,A,的平均數(shù)。=4,方差s?=1,則樣本數(shù)據(jù)2g+1,2x2+

1,…，24+1的平均數(shù)，方差分別為（）

A.9,4B.9,2C.4,1D.2,1

【答案】4

【分析】由平均值、方差的性質(zhì)求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.

【詳解】由x=4,得樣本數(shù)據(jù)2xi+1,2X2+1,…，2xn+1的平均數(shù)為2Z+l=2x4+l=9,

由s,=1,得樣本數(shù)據(jù)221+1,212+1,…，2xn+1的方差為4s，=4.

故選：A

（2024?四川成都?三模）“數(shù)九”從每年“冬至”當(dāng)天開始計(jì)算，每九天為一個(gè)單位，冬至后的第81天，

“數(shù)九”結(jié)束，天氣就變得溫暖起來(lái).如圖，以溫江國(guó)家基準(zhǔn)氣候站為代表記錄了2023—2024年從“一

九”到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫”（單位:?！鉉），下列說(shuō)法正確的是（）

數(shù)九寒天氣溫對(duì)比

-1平均氣溫=］多年平均氣溫單位：℃

106智

9.69.596

一九二九三九四九五九六九七九八九九九

A.“四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升

B.“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”低0.1”。℃

C.“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小于“多年平均氣溫”的方差

D.“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差

【答案】。

【分析】由圖表數(shù)據(jù)分析可判斷A,B；由方差的意義可判斷C；由極差的計(jì)算公式分析D

【詳解】對(duì)于4“八九”、“九九”的平均氣溫比“七九”的“平均氣溫”低，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”高o.rc"，故口錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由圖表，“平均氣溫”的波動(dòng)比“多年平均氣溫”的波動(dòng)大，

貝『'一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差大于“多年平均氣溫”的方差，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差為：10.6-5.4=5.2,

“多年平均氣溫”的極差為10.7—5.3=5.4,

貝「'一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差，故。正確.

故選：D

（2024?陜西?三模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共

3小題,每小題6分，滿分18分;②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選

錯(cuò)的得0分;③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分;若某小題正確

選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）.已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試

中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了

一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】。

【分析】先對(duì)各題得分情況分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，再對(duì)總得分情況分析排序，根據(jù)中位數(shù)規(guī)定即可求得.

【詳解】由題意得小明同學(xué)第一題得6分：

第二題選了2個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種,分別是得。分、4分和6分；

第三題選了1個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種,分別是得0分、2分和3分；

由于相同總分只記錄一次，因此小明的總得分情況有：

6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，所以中位數(shù)為10^12=11.

故選：C.

(2024?浙江?三模)在對(duì)某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個(gè)項(xiàng)目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層

隨機(jī)抽樣,如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人,其方差分別為15,10,由此估計(jì)

樣本的方差不可能為()

A.11B.13C.15D.17

【答案

【分析】根據(jù)題意，設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為濟(jì)女生的平均數(shù)為歹，總體的平均數(shù)為而，方差

為52,結(jié)合方差的公式，分析選項(xiàng)，即可求解.

【詳解】設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為萬(wàn)，女生的平均數(shù)為。總體的平均數(shù)為面,方差為s2,

-80-120-23-

則切=布西'+布防"=+耳"

一=石口5+(歷一句］+尼［10+(上研］

=年［15+蓑(石一則+五1。+&(元一團(tuán)［=12+段(歷一方>12,

結(jié)合選項(xiàng)，可得A項(xiàng)不符合.

故選：4

［題14］(2024?安徽安慶?三模)已知一組數(shù)據(jù)力1,磔…，6加的平均數(shù)為石，另一組數(shù)據(jù)％,生，…，外的平均數(shù)為

y［x^y).若數(shù)據(jù)如力2,…，%m,yi,y2,…■的平均數(shù)為z=ax-\-(1—其中］VQVI,則館,打的大小

關(guān)系為()

A.m〈nB.m>nC.m=nD.館,九的大小關(guān)系不確定

【答案】B

【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義表示元,歹,凡結(jié)合已知列等式，作差比較即可.

【詳解】由題意可知?+x2-\---}rxm=mx,Ji+g2H---卜現(xiàn)=麗,

xx+x2~\---\~xm+yi+y2~\---\~yn—(m+n)z,^mx+ny—(m+n)z,

z=ax+(1—Q)歹，所以mx+ny=(m+n)z—(m+n)\_ax+(1—a)y］,

所以m,=(m+ri)a,n=(7n+72)(l—a),兩式相減得7n—?r=(m+n)(2a—1)>0,

所以m>n.

故選

【題15】(2024?陜西榆林?三模)在一次數(shù)學(xué)?？贾?，從甲、乙兩個(gè)班各自抽出10個(gè)人的成績(jī)，甲班的十個(gè)人成

績(jī)分別為力1、力2、…、力io,乙班的十個(gè)人成績(jī)分別為yi,y2,…,yio?假設(shè)這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同、方差也相

同，則把這20個(gè)數(shù)據(jù)合并后()

A.中位數(shù)一定不變，方差可能變大B.中位數(shù)可能改變，方差可能變大

C.中位數(shù)一定不變，方差可能變小D.中位數(shù)可能改變，方差可能變小

【答案】％

【分析】不妨設(shè)/14力24N10,加〈改4U10,表達(dá)出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)相同得到

力5<仍4%&力6或仍《254力6&%，則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是或者竺;”,中位數(shù)不變，再

設(shè)第一組數(shù)據(jù)的方差為$2,平均數(shù)為心第二組數(shù)據(jù)的方差為$2,平均數(shù)為歹，根據(jù)公式得到合并后平

均數(shù)為0,方差為s',S，2=S2+—(X—(Z))2+—(7/—0)2>s)得到結(jié)論.

【詳解】不妨設(shè)61412&…&力10，%&沙2&…4%0,

則的、電、…、的。的中位數(shù)為氣9，%、紡、…神的中位數(shù)為"選，

因?yàn)?；&=一夏，所以跟WgW%Wg或y5Wx5Wt6W為，

則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是苦曳或者竺獸，所以中位數(shù)不變.

設(shè)第一組數(shù)據(jù)的方差為52,平均數(shù)為％,第二組數(shù)據(jù)的方差為52,平均數(shù)為歹,

合并后總數(shù)為20,平均數(shù)為在方差為s,2,

s"=而％{1M+d)2]+1。0+(歹一切2]}

=y[s2+(x—<5)2]+1=+(歹-初2]=,2+-i-(x-—)2+一胡>?2.

如果均值相同則方差不變，如果均值不同則方差變大.

故選：A.

二、多選題

(2024?全國(guó)?三模)在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，甲、乙兩個(gè)班的成績(jī)情況如下表：

班級(jí)人數(shù)平均分方差

甲45881

乙45902

記這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)的總平均分為現(xiàn)總方差為$2,則()

A.x—88B.x—89C.s?=8.6D.s?=2.5

【答案】BD

【分析】代入公式計(jì)算即可.

【詳解】依題意得x=45X8,45X9°=89,s2=-^-x([1+(88-89)2])+票x([2+(90-89)2])

yuyuyu

=2.5.

故選：BD.

(2024?廣東廣州?三模)在某次學(xué)科期末檢測(cè)后,從全部考生中選取100名考生的成績(jī)(百分制，均為

整數(shù))分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)五組后，得到如下圖的頻率分布直方圖，則

A.圖中a的值為0.005B.低于70分的考生人數(shù)約為40人

C.考生成績(jī)的平均分約為73分D.估計(jì)考生成績(jī)第80百分位數(shù)為83分

【答案】AC

04

【分析】利用頻率分布直方圖逐項(xiàng)求解

【詳解】對(duì)于4由（2a+0.02+0.03+0.04）X10=1,解得a=0.005,故，對(duì);

對(duì)于8,低于70分的考生人數(shù)約為（0.005+0.04）x10x100=45,故B錯(cuò)；

對(duì)于。，考生成績(jī)的平均分約為

005x10x55+0.04x10x65+0.03x10x75+0.02x10x85+0.005x10x95=73,故。對(duì)；

對(duì)于D,成績(jī)落在［50,80）內(nèi)頻率為（0.005+0.04+0.03）X10=0.75,

落在［50,90）內(nèi)頻率為（0.005+0.04+0.03+0.02）x10=0.95,

故考生成績(jī)第80百分位數(shù)落在［80,90）,設(shè)為m,

由0.75+（館一80）x0Q2=0.8,解得巾=82.5,

故考生成績(jī)第80百分位數(shù)為82.5分，故。錯(cuò)誤；

故選：AC

U79］（2024?河北?三模）根據(jù)中國(guó)報(bào)告大廳對(duì)2023年3月~10月全國(guó)太陽(yáng)能發(fā)電量進(jìn)行監(jiān)測(cè)統(tǒng)計(jì)，太陽(yáng)能

發(fā)電量（單位:億千瓦時(shí)）月度數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：

月份3456

發(fā)電量/億千瓦242.9230.8240.5259.3

時(shí)4793

月份78910

發(fā)電量/億千瓦246.0

258.9269.19244.31

時(shí)6

關(guān)于2023年3月~10月全國(guó)太陽(yáng)能發(fā)電量，下列四種說(shuō)法正確的是（）

A.中位數(shù)是259.115B.極差是38.32

C.第85百分位數(shù)是259.33D.第25百分位數(shù)是240.59

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意，由中位數(shù)，極差，百分位數(shù)的定義，代入計(jì)算,逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】I爭(zhēng)數(shù)據(jù)從小到大用卜序可得230.87,240.59,242.94,244.31,246.06,258.9,259.33,269.19,共8個(gè)

數(shù)據(jù)，

所以中位數(shù)是244.311246.06=245.185,故4錯(cuò)誤；

極差是269.19-230.87=38.32,故B正確；

因?yàn)?X0.85=6.8,所以第85百分位數(shù)是第7個(gè)數(shù)，即259.33,故C正確；

因?yàn)?X0.25=2,所以第25百分位數(shù)是240.5”242.94=241765,故D錯(cuò)誤；

故選:

（2024?廣東汕頭?三模）下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說(shuō)法判斷正確的是（）

A.樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差B.樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)

C.樣本乙的方差一定小于樣本甲的方差D.樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)分布的最小值和最大值判斷A;根據(jù)眾數(shù)、方差、中位數(shù)的概念，并結(jié)合圖象判斷

BCD.

【詳解】對(duì)于A,甲的數(shù)據(jù)介于［1.5,7.5］之間，極差小于或等于6;乙的數(shù)據(jù)分布于［2.5,8.5］,極差小

于或等于6；從而甲和乙的極差可能相等，A錯(cuò)誤；

對(duì)于根據(jù)頻率分布直方圖可知，甲的眾數(shù)介于［2.5,5.5）之間，乙的眾數(shù)介于（5.5,6.5］,乙的眾數(shù)

大于甲的眾數(shù)正確；

對(duì)于。，甲的數(shù)據(jù)比較分散，乙的數(shù)據(jù)比較集中，因此乙的方差小于甲的方差，。正確；

對(duì)于。，甲的各組頻率依次為：0.15,0.20,0.20,0.20,0.15,0.10,其中位數(shù)位于［3.5,4⑸之間，

乙的各組頻率依次為：0.05,0.10,0.15,0.35,0.20,0.15,其中位數(shù)位于［5.5,6.5）之間,

所以甲的中位數(shù)小于乙的中位數(shù)，。正確.

故選：BCD

（2024?黑龍江?三模）在某市初三年級(jí)舉行的一次體育考試中（滿分100分），所有考生成績(jī)均在［50,

100］內(nèi)，按照［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］分成五組，甲、乙兩班考生的成績(jī)占比如圖所

示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

—甲班成績(jī)占比----乙班成績(jī)占比

A.成績(jī)?cè)冢?0,80）的考生中，甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)

B.甲班成績(jī)?cè)冢?0,90）內(nèi)人數(shù)最多

C.乙班成績(jī)?cè)冢?0,80）內(nèi)人數(shù)最多

D.甲班成績(jī)的極差比乙班成績(jī)的極差小

【答案】ACD

【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖逐個(gè)分析判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,由圖知,每一組中的成績(jī)占比都是以各自班級(jí)的總?cè)藬?shù)為基數(shù)的，

所以每一組中的甲班、乙班人數(shù)不能從所占的百分比來(lái)判斷，敵人錯(cuò)誤；

對(duì)于由圖可知甲班成績(jī)主要集中在［80,90），乙班成績(jī)主要集中在［60,70）,8正確，。錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由圖可知甲班成績(jī)的極差和乙班成績(jī)的極差的大小無(wú)法確定，故。錯(cuò)誤.

故選：ACD

三、解答題

（2024?青海海南?二模）某青少年跳水隊(duì)共有100人,在強(qiáng)化訓(xùn)練前、后,教練組對(duì)他們進(jìn)行了成績(jī)測(cè)

試,分別得到如圖1所示的強(qiáng)化訓(xùn)練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強(qiáng)化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖.

⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(jī)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.

⑵我們規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”.

將上面的表格補(bǔ)充完整,并回答能否有99.5%的把握認(rèn)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān).

附:?！?a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'"一Q+6+C+”

P0.00

0.050.0100.001

初5

6.637.87

k03.84110.828

59

【答案】（1）81.4

（2）表格見解析，有.

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù),結(jié)合平均數(shù)公式,即可求解；

⑵根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列寐表，計(jì)算卡方，并與臨界值對(duì)比分析即可求解.

【詳解】（1）強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(jī)約為55x0.04+65X0.16+75x0.2+85x0.32+95x0.28=

81.4

⑵根據(jù)圖1可知，強(qiáng)化訓(xùn)練前的優(yōu)秀人數(shù)為100x0.21+100x0.19=40,

此時(shí)非優(yōu)秀人數(shù)為100—40=60,

根據(jù)圖2可知，強(qiáng)化訓(xùn)練后的優(yōu)秀人數(shù)為100x0.32+100x0.28=60,

此時(shí)非優(yōu)秀人數(shù)為100-60=40,補(bǔ)充完整的表格為

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)

強(qiáng)化訓(xùn)練前4060